ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι µι συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, ότν υπάρχει πργµτικός ριθµός Τ > 0 τέτοιος, ώστε γι κάθε x A ν ισχύει: i) x + T A, x - T A κι ii) f(x + T) = f(x - T) = f(x) Ο πργµτικός ριθµός Τ λέγετι περίοδος της συνάρτησης f. β. Η συνάρτηση ηµίτονο ορίζετι στο σύνολο Α = Â κι είνι περιοδική µε περίοδο Τ = π. Η συνάρτηση συνηµίτονο ορίζετι στο σύνολο Α = Â κι είνι περιοδική µε περίοδο Τ = π. Η συνάρτηση εφπτοµένη ορίζετι στο σύνολο Α = Â - {x συνx 0} κι είνι περιοδική µε περίοδο Τ = π. Η συνάρτηση συνεφπτοµένη ορίζετι στο σύνολο Α = Â-{x ηµx 0} κι είνι περιοδική µε περίοδο Τ= π.. Γι τις τριγωνοµετρικές συνρτήσεις ηµx, συνx κι εφx ν γράψετε τ διστήµτ µονοτονίς τους. Η συνάρτηση ηµίτονο ορίζετι στο σύνολο Α = Â κι σε διάστηµ µις περιόδου Τ= [0,π] είνι: γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [0, π ]. γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ [ π, π], 3π γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ [π, ] 3π γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, π]. Η συνάρτηση συνηµίτονο ορίζετι στο σύνολο Α=Â κι σε διάστηµ µις περιόδου Τ=[0,π] είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ [0, π ]. γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ [ π, π], 3π γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [π, ] κι

3π γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, π]. Η συνάρτηση εφπτοµένη ορίζετι στο σύνολο Α = Â - {x συνx 0} κι σε διάστηµ µις περιόδου Τ = ( - π, π ) είνι γνησίως ύξουσ. 3. Γι τις τριγωνοµετρικές συνρτήσεις ηµx, συνx κι εφx ν γράψετε τις θέσεις, το είδος κι τις τιµές των κροτάτων τους ( όπου υπάρχουν). Η συνάρτηση ηµίτονο ορίζετι στο σύνολο Α = Â κι σε διάστηµ µις περιόδου Τ= [0,π] γι x = π, προυσιάζει µέγιστο το ηµ π = 1 κι 3π 3π γι x =, προυσιάζει ελάχιστο, το ηµ = -1. Η συνάρτηση συνηµίτονο ορίζετι στο σύνολο Α = Â κι σε διάστηµ µις περιόδου Τ=[0,π] γι x = 0, προυσιάζει µέγιστο το συν0 = 1 γι x = π, προυσιάζει ελάχιστο το συνπ = 1 κι γι x = π, προυσιάζει µέγιστο το συνπ = 1 Η συνάρτηση εφπτοµένη ορίζετι στο σύνολο Α = Â - {x συνx 0} κι δεν έχει κρόττ. 4. Γι τις τριγωνοµετρικές συνρτήσεις ηµx, συνx, εφx κι σφx ν σχεδιάσετε τις γρφικές τους πρστάσεις. Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ηµx, συνx εφx κι σφx είνι:

3 5. ίνετι η συνάρτηση f(x) = ρ ηµ(ω x), όπου ρ κι ω θετικοί πργµτικοί ριθµοί. Ν νφέρετε τον ρόλο των πρµέτρων ρ κι ω στην γρφική πράστση της συνάρτησης f. Σε µι συνάρτηση της µορφής f(x) = ρ ηµ(ω x), όπου ρ, ω > 0: Το ρ κθορίζει τη µέγιστη τιµή της, που είνι ίση µε ρ κι την ελάχιστη τιµή της που είνι ίση µε -ρ π Το ω κθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είνι ίση µε Τ = ω 6. Ν δώσετε τους ορισµούς: πολυώνυµο, στθερό πολυώνυµο, µηδενικό πολυώνυµο, ίσ πολυώνυµ κι βθµός πολυωνύµου ριθµητική τιµή πολυωνύµου κι ρίζ πολυωνύµου.

4. Πολυώνυµο µε µετβλητή x ονοµάζετι κάθε πράστση της µορφής: ν x ν + ν-1 x ν-1 + + 1 x + 0, όπου ν είνι ένς φυσικός ριθµός κι 0, 1,, ν είνι πργµτικοί ριθµοί. β. Στθερό πολυώνυµο ονοµάζετι κάθε πολυώνυµο της µορφής 0, δηλδή οι πργµτικοί ριθµοί. γ. Μηδενικό πολυώνυµο ονοµάζετι το στθερό πολυώνυµο 0. δ. Ίσ ονοµάζοντι δύο πολυώνυµ µ x µ + + 1 x + 0 κι β ν x ν + + β 1 x + β 0, µε µ ν ότν: 0 = β 0, 1 = β 1,, ν = β ν κι ν+1 = ν+ = = µ = 0 ε. Βθµός πολυωνύµου ονοµάζετι ριθµός k σε κάθε πολυώνυµο που πίρνει την µορφή: k x k + k-1 x k-1 + + 1 x + 0, µε k 0 ΣΧΟΛΙΑ Κάθε στθερό κι µη µηδενικό πολυώνυµο έχει βθµό 0. Γι το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζετι βθµός. στ. Αριθµητική τιµή πολυωνύµου γι x = ρ ονοµάζετι ο πργµτικός ριθµός P(ρ) = ν ρ ν + ν-1 ρ ν-1 + + 1 ρ + 0 που προκύπτει ν σε έν πολυώνυµο P(x) = ν x ν + ν-1 x ν-1 + + 1 x + 0 ντικτστήσουµε το x µε έν ορισµένο πργµτικό ριθµό ρ. ζ. Ρίζ ενός πολυωνύµου P(x) ονοµάζετι ο ριθµός ρ ότν P(ρ) = 0 7. Ν γρφτεί η τυτότητ της διίρεσης του πολυωνύµου Ρ(x) µε το πολυώνυµο δ(x) Γι κάθε ζεύγος πολυωνύµων (x) κι δ(x) µε δ(x) 0 υπάρχουν δυο µονδικά πολυώνυµ π(x) κι υ(x), τέτοι ώστε: (x) = δ(x)π(x) + υ(x), όπου το υ(x) ή είνι το µηδενικό πολυώνυµο ή έχει βθµό µικρότερο πό το βθµό του δ(x). το (x) λέγετι διιρετέος, το δ(x) διιρέτης, το π(x) πηλίκο κι το υ(x) υπόλοιπο της διίρεσης. ΣΧΟΛΙΟ Αν σε µι διίρεση είνι υ(x) = 0, τότε η διίρεση λέγετι τέλει κι η τυτότητ της διίρεσης γράφετι (x) = δ(x) π(x)

5 Στην περίπτωση υτή λέµε ότι το δ(x) διιρεί το (x) ή ότι το δ(x) είνι πράγοντς του (x) ή ότι το (x) διιρείτι µε το δ(x) ή κόµη ότι το δ(x) είνι διιρέτης του (x). 8. Ν ποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύµου Ρ(x) µε το x-ρ είνι ίσο µε την τιµή που πολυωνύµου γι x = ρ. Η τυτότητ της διίρεσης του πολυωνύµου Ρ(x) µε το πολυώνυµο x - ρ γράφετι. P(x) = (x - ρ)π(x) + υ(x) Επειδή ο διιρέτης x - ρ είνι πρώτου βθµού, τότε το υπόλοιπο της διίρεσης θ είνι έν στθερό πολυώνυµο υ. Έτσι έχουµε: P(x) = (x - ρ)π(x) + υ Αν θέσουµε x = ρ, πίρνουµε: P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ = 0 + υ = υ Εποµένως το υπόλοιπο της διίρεσης ενός πολυωνύµου Ρ(x) µε το x-ρ είνι ίσο µε την τιµή που πολυωνύµου γι x = ρ. 9. Ν ποδείξετε ότι έν πολυώνυµο Ρ(x) έχει πράγοντ το x-ρ ν κι µόνο ν το ρ είνι ρίζ του Ρ(x). ΕΥΘΥ Έστω ότι το x - ρ είνι πράγοντς του Ρ(x). Τότε ισχύει: P(x) = (x - ρ)π(x) Από την ισότητ υτή γι x = ρ πίρνουµε

6 P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) P(ρ) = 0 π(ρ) P(ρ) = 0 δηλδή το ρ είνι ρίζ του Ρ(x). ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ Έστω ότι το ρ είνι ρίζ του Ρ(x) τότε ισχύει Ρ(ρ) = 0. Είνι: P(x) = (x - ρ)π(x) + υ (1) γι x = ρ πίρνουµε P(ρ) = (ρ - ρ)π(ρ) + υ 0 = 0 π(ρ) + υ υ = 0 Κι η (1) σχέση γράφετι: P(x) = (x - ρ)π(x) που σηµίνει ότι το x - ρ είνι πράγοντς του Ρ(x). 10. Τι ονοµάζετι πολυωνυµική εξίσωση βθµού ν Πολυωνυµική εξίσωση βθµού ν ονοµάζετι κάθε εξίσωση της µορφής v x ν + v-1 x ν-1 + + 1 x + 0 = 0, v 0 11. Τι ονοµάζετι ρίζ µις πολυωνυµικής εξίσωσης; Ρίζ µις πολυωνυµικής εξίσωσης ονοµάζουµε κάθε ρίζ του πολυωνύµου P(x) = v x ν + v-1 x ν-1 + + 1 x + 0, δηλδή κάθε ριθµό ρ, γι τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0. 1. Ποι ισοδυνµί χρησιµοποιούµε γι την επίλυση µις πολυωνυµικής εξίσωσης Ρ(x) = 0 Η επίλυση µι εξίσωσης µε τη µέθοδο υτή στηρίζετι στην ισοδυνµί: P 1 (x) P (x) P k (x) = 0 (P 1 (x) = 0 ή P (x) = 0 ή P k (x) = 0) ηλδή, γι ν λύσουµε µι πολυωνυµική εξίσωση Ρ(x) = 0, πργοντοποιούµε το Ρ(x) κι

7 νγόµστε έτσι στην επίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων µικρότερου βθµού. 13. N ποδείξετε ότι ν ο κέριος ρ 0 είνι ρίζ µις πολυωνυµικής εξίσωσης, τότε ο ρ είνι διιρέτης του στθερού όρου της ο. (θεώρηµ των κερίων ριζών) Αν o ρ 0 είνι ρίζ της εξίσωσης, τότε διδοχικά έχουµε v ρ ν + v-1 ρ ν-1 + + 1 ρ + 0 = 0 0 = v ρ ν v-1 ρ ν-1 1 ρ 0 = ρ( v ρ ν-1 v-1 ρ ν- 1 ) Επειδή οι ρ, 1,,, ν είνι κέριοι έπετι ότι κι o v ρ ν-1 v-1 ρ ν- 1 είνι κέριος. Από την τελευτί ισότητ συµπερίνουµε, ότι ο ρ είνι διιρέτης του 0. 14. Πότε µι συνάρτηση ονοµάζετι κολουθί. Ακολουθί λέγετι κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο N των θετικών κερίων. ΣΧΟΛΙΑ Μι κολουθί συµβολίζετι µε το γράµµ κι η τιµή της στο ν µε ν κι διβάζετι «µε δείκτη ν». Οι τιµές 1,, 3 κτλ. λέγοντι κτά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κτλ. της κολουθίς. Ο ν λέγετι νιοστός ή γενικός όρος της κολουθίς. Μι κολουθί ορίζετι πλήρως ν γνωρίζουµε τον νιοστό όρο της. Αφού το πεδίο ορισµού µις κολουθίς είνι το N η γρφική της πράστση ποτελείτι πό σηµεί µε τετµηµένες θετικούς κέριους ριθµούς. Μι κολουθί ορίζετι ν γνωρίζουµε ένν νδροµικό τύπο της (δηλδή µι σχέση που ν προσδιορίζει την σύνδεση δύο ή περισσότερων διδοχικών όρων της ) κι όσους ρχικούς όρους µς χρειάζοντι, ώστε ο νδροµικός τύπος ν ρχίσει ν δίνει όρους 15. Ν δώσετε τον ορισµό της ριθµητικής προόδου κι ν ποδείξετε τον τύπο που υπολογίζει τον νιοστό της όρο, ν είνι γνωστοί ο πρώτος της όρος κι η διφορά της. Μι κολουθί ονοµάζετι ριθµητική πρόοδος, ν κάθε όρος της προκύπτει πό τον προηγούµενο του µε την πρόσθεση του ίδιου πάντοτε ριθµού. ηλδή : ν+1 = ν +ω γι κάθε ν N *

8 Όπου ο ριθµός ω= ν+1 - ν ονοµάζετι διφορά της προόδου. Από τον ορισµό της ριθµητικής προόδου έχουµε τις πρκάτω ισότητες: Προσθέτοντς κτά µέλη της ν υτές ισότητες κι εφρµόζοντς την ιδιότητ της διγρφής βρίσκουµε ν = 1 + (ν-1)ω 16. Ν ποδείξετε ότι: οι ριθµοί, β, γ είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου ν κι µόνο ν ισχύει β=+γ. Πώς ονοµάζετι ο ριθµός β; Αν πάρουµε τρεις διδοχικούς όρους, β, γ µις ριθµητικής προόδου µε διφορά ω, τότε:, β, γ διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου β +β + ω = + ω + γ β = + γ β = + ω γ = β + ω β = + ω β + ω = γ ΣΧΟΛΙΟ Ο β λέγετι ριθµητικός µέσος των κι γ 17. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των ν πρώτων όρων µις ριθµητικής προόδου δίνετι πό τις σχέσεις ) S ν = ν (1 + ν ) β) S ν = ν [1 +(ν-1)ω] ) Έχουµε: S ν = 1 + ( 1 + ω) + ( 1 + ω) + + ( ν ω) + ( ν ω) + ν κι S ν = ν + ( ν ω) + ( ν ω) + + ( 1 + ω) + ( 1 + ω) + 1

9 κι προσθέτοντς κτά µέλη τις πρπάνω ισότητες προκύπτει: S ν = ( 1 + ν ) + ( 1 + ν ) + +( 1 + ν ) + ( 1 + ν ) S ν = ν ( 1 + ν ) S ν = ν (1 + ν ) β) Eπειδή ο νιοστός όρος µις ριθµητικής προόδου είνι: ν = 1 + (ν 1)ω, τότε το πρπάνω άθροισµ γράφετι: S ν = ν (1 + ν ) = ν ν [1 + 1 + (ν 1)ω ] = [1 + (ν 1)ω ] άρ S ν = ν [1 +(ν-1)ω] 18. Ν δώσετε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου κι ν ποδείξετε τον τύπο που υπολογίζει τον νιοστό της όρο, ν είνι γνωστοί ο πρώτος της όρος κι ο λόγος της. Μι κολουθί ονοµάζετι γεωµετρική πρόοδος, ν κάθε όρος της προκύπτει πό τον προηγούµενο του µε πολλπλσισµό επί τον ίδιο πάντοτε µη µηδενικού ριθµό. ηλδή : ν+1 = ν λ γι κάθε ν N * κι 1 0 Ο ριθµός λ = ν+ 1 ονοµάζετι λόγος της προόδου. ν Από τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου έχουµε τις πρκάτω ισότητες: Πολλπλσιάζοντς κτά µέλη τις ν υτές ισότητες κι εφρµόζοντς την ιδιότητ της διγρφής, βρίσκουµε ν = 1 λ ν-1 19. Ν ποδείξετε ότι: τρεις µη µηδενικοί ριθµοί, β, γ είνι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, ν κι µόνο ν ισχύει β = γ. Αν πάρουµε τρεις διδοχικούς όρους, β, γ µις γεωµετρικής προόδου µε λόγο λ, τότε:

10, β, γ διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου β = λ γ = β λ β = λ β λ = γ β β λ = λ γ β = γ ΣΧΟΛΙΟ Ο θετικός ριθµός γ λέγετι γεωµετρικός µέσος των κι γ 0. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ των ν όρων µις γεωµετρικής προόδου ( ν ) µε λόγο λ 1 είνι ν λ 1 S ν = 1 λ 1 Έστω S ν = 1 + 1 λ + 1 λ + + 1 λ ν -1 (1) Πολλπλσιάζουµε τ µέλη της (1) µε τον λόγο λ κι έχουµε: λ S ν = 1 λ + 1 λ + 1 λ 3 + + 1 λ ν () φιρούµε πό τ µέλη της () τ µέλη της (1) κι έχουµε: λ S ν S ν = 1 λ ν 1 (λ 1) S ν = 1 (λ ν λ 1 1) S ν = 1 λ 1 ν γι λ 1 ΣΧΟΛΙΟ Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είνι λ = 1, τότε το άθροισµ των όρων της είνι S v = ν 1 φού όλοι οι όροι της προόδου είνι ίσοι µε 1. 1. N δώσετε τον ορισµό της εκθετικής συνάρτησης µε βάση έν θετικό ριθµό, ν νφέρετε το πεδίο ορισµού της κι το σύνολο τιµών της κι ν γράψετε το είδος της µονοτονίς της γι τις διάφορες τιµές του θετικού ριθµού. Έστω > 0 µε 1. Ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση µε βάση την συνάρτηση f(x) = x. ΣΧΟΛΙΟ Αν = 1, τότε έχουµε την στθερή συνάρτηση f(x) = 1 x = 1. Γι την εκθετική συνάρτηση f(x) = x έχουµε ότι:

11 Αν > 1 Έχει πεδίο ορισµού Α = Â. Έχει σύνολο τιµών f(α) = (0, + ) Είνι γνησίως ύξουσ στο Ρ δηλδή ισχύει η συνεπγωγή x Αν x 1 < x τότε 1 x < Η γρφική της πράστση είνι: Αν 0 < < 1 Έχει πεδίο ορισµού Α = Â. Έχει σύνολο τιµών f(α) = (0, + ) Είνι γνησίως φθίνουσ στο Ρ δηλδή ισχύει η συνεπγωγή Αν x 1 < x τότε > x 1 x Η γρφική της πράστση είνι: η οποί τέµνει τον άξον yy στο σηµείο (0, 1) κι έχει σύµπτωτη τον ρνητικό ηµιάξον Οx η οποί τέµνει τον άξον yy στο σηµείο (0, 1) κι έχει σύµπτωτη τον θετικό ηµιάξον Οx.. Ν διτυπώσετε τον νόµο της εκθετικής µετβολής. Τι ονοµάζετι ηµιζωή ή χρόνος υποδιπλσισµού µις ρδιενεργής ουσίς; Ο νόµος της εκθετικής µετβολής εκφράζετι πό µι εκθετική συνάρτηση Q(t) µε τύπο: Όπου Q o είνι η ρχική τιµή του Q ( γι t = 0) Κι c µι στθερά γι την οποί: Αν c > 0 η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ. Αν c < 0 η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ Q(t) = Q o e ct 3. Έστω > 0, 1 κι θ >0. Ν δώσετε τον ορισµό του λογρίθµου θ µε βάση τον πργµτικό ριθµό.; Ποι είδη λογρίθµων γνωρίζετε κι πως συµβολίζοντι;

1 Αν > 0, 1 κι θ >0, τότε η εξίσωση x = θ έχει µονδική λύση. Την µονδική υτή λύση την συµβολίζουµε µε log θ κι την ονοµάζουµε λογάριθµο του θ µε βάση. ηλδή ισχύει: Αν > 0, 1 κι θ >0 τότε x = θ x = log θ log θ = θ Είδη λογρίθµων εκδικοί λογάριθµοι, έχουν βάση το 10 κι συµβολίζοντι µε logθ Φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθµοι, έχουν βάση τον ριθµό e κι συµβολίζοντι µε lnθ Λογάριθµοι µε βάση > 0 κι 1 κι διφορετικό µε των ριθµών 10 κι e 4. Αν > 0 κι 1 ποδείξετε ότι log 1 = 0 κι log = 1 Έστω: log 1 = x x = 1 x = ο x = 0 Εποµένως είνι log 1 = 0 Έστω: log = y y = y = 1 y = 1 ΣΧΟΛΙΟ Εποµένως είνι log = 1 Γι τους φυσικούς λογάριθµους ισχύουν: e x lnθ = θ x = lnθ e = θ ln1 = 0 lne = 1 5. Αν > 0, 1 κι θ 1, θ > 0 ν ποδείξετε ότι: log (θ 1 θ ) = log θ 1 + log θ

13 Έστω ότι είνι: log θ 1 = x κι log θ = y, τότε ισοδύνµ έχουµε log log θ θ 1 = x = y x y = θ 1 = θ κι πολλπλσιάζοντς κτά µέλη έχουµε: x 1 x = θ 1 θ x 1 +x = θ 1 θ log (θ 1 θ ) = x 1 + x log (θ 1 θ ) = log θ 1 + log θ θ 6. Αν > 0, 1 κι θ 1, θ, > 0 ν ποδείξετε ότι: log 1 θ = log θ 1 - log θ Έστω ότι είνι: log θ 1 = x κι log θ = y, τότε ισοδύνµ έχουµε: log log θ θ 1 = x = y x y = θ 1 = θ κι διιρώντς κτά µέλη έχουµε: x 1 : x = θ 1 : θ x 1 - x θ = θ 1 : θ log (θ 1 :θ ) = x 1 - x log 1 = log θ 1 - log θ θ 7. Αν > 0, 1 κι θ > 0 κι κ Á ν ποδείξετε ότι: log θ κ = κ log θ Αν ονοµάσουµε : log θ = x έχουµε ισοδύνµ: log θ = x x = θ kx = θ k k x = log θ k log θ k = k log θ 8. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε θ > 0 ισχύει: log ν θ = ν 1 log θ 1 Επειδή γι κάθε θ > 0 ισχύει ν θ = θ ν, έχουµε: 1 log ν θ = log ν θ = ν 1 log θ ΣΧΟΛΙΟ

14 Αν κι οι χρησιµοποιούµενες βάσεις των λογρίθµων είνι συνήθως το 10 κι το e, εντούτοις µερικές φορές πιτείτι ν υπολογίσουµε λογάριθµους µε άλλη βάση. Ο υπολογισµός υτός µπορεί ν γίνει µε τον κόλουθο τύπο, που είνι γνωστός ως τύπος λλγής βάσης των λογρίθµων. Αν, β > 0, µε, β 1 τότε γι κάθε θ > 0 ισχύει: log β θ = log log θ β Ειδικά γι την µεττροπή ενός λογρίθµου σε φυσικό ισχύει: log β θ = ln θ ln β 9. Έστω > 0, 1, τι ονοµάζετι λογριθµική συνάρτηση µε βάση τον ριθµό ; Ν νφέρετε το πεδίο ορισµού της κι το σύνολο τιµών της κι ν γράψετε το είδος της µονοτονίς της γι τις διάφορες τιµές του θετικού ριθµού. Έστω > 0, 1 Η συνάρτηση f : (0, + ) Â µε f(x) = log x ονοµάζετι λογριθµική συνάρτηση µε βάση. Αν > 1 τότε η συνάρτηση f(x) = log x έχει: Πεδίο ορισµού Α = (0, + ) Σύνολο τιµών f(a) = Â Είνι γνησίως ύξουσ, δηλδή ν x 1 < x τότε log x 1 < log x Έχει γρφική πράστση Αν 0 < <1 τότε η συνάρτηση f(x) = log x έχει: Πεδίο ορισµού Α = (0, + ) Σύνολο τιµών f(a) = Â Είνι γνησίως φθίνουσ, δηλδή ν x 1 < x τότε log x 1 < log x Έχει γρφική πράστση Που τέµνει τον xx στο σηµείο Α(1, 0) κι έχει σύµπτωτη τον ηµιάξον Οy Που τέµνει τον xx στο σηµείο Α(1, 0) κι έχει σύµπτωτη τον ηµιάξον Οy ΣΧΟΛΙΑ Ισχύει η ισοδυνµί: log x 1 = log x x 1 = x Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων y = log x κι y = x είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί που διχοτοµεί τις γωνίες xoy κι x Οy