Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές πτυχές της θεωρίς ώστε ν είνι εύκολη η επίλυση των κλσσικών προβλημάτων όπως η βρχυστόχρονος κι η λυσοειδής κμπύλη, κι φ' ετέρου ν χρησιμεύσουν ως μί επίδειξη των δυντοτήτων του L A TEX κι του X L A TEX συγκεκριμέν, λλά κι με την πηγί μορφή τους ν ποτελέσουν έν πράδειγμ κι μί βάση γι τη συγγρφή πρόμοιων άρθρων. Η ντιμετώπιση του θέμτος είνι χλρή κι βσίζετι κυρίως στο βιβλίο των Mathews-Walker[10]. Αν ενδιφέρεστε γι μθημτική υστηρότητ μπορείτε ν ντρέξετε σε ρκετά βιβλί[2, 4, 8, 9, 5, 11]. Από την άποψη των φυσικών το κυριότερο δεν είνι η υστηρότητ της λογικής πόδειξης όσο η μάλλον λογική πργωγή συμπερσμάτων που ν συμφωνούν με τη μητέρ φύση. Ότν οι εξισώσεις μς συμφωνούν με τ πειρμτικά δεδομέν τότε είνι (μάλλον) σωστές, ιδίως ν είνι κι όμορφες... E 1 Λογισμός των Μετβολών Όλοι μς ξέρουμε τι είνι μί συνάρτηση (function) y = f(x), f : R R. Αν στη θέση του x βάλουμε μί συνάρτηση του x τότε η πεικόνιση ονομάζετι πάλι συνάρτηση, λίγο σύνθετη, λλά συνάρτηση. Ας θεωρήσουμε μί συνάρτηση F (y, y, x) όπου y = dy. Μί πεικόνιση της συνάρτησης y(x) σε έν ριθμό λέγετι συνρτησικό (functional). Έν πράδειγμ είνι το ορισμένο ολοκλήρωμ I = F (y, y, x) = I[y(x)] (1) Ο ριθμός I εξρτάτι όχι πό το x λλά πό τη συνάρτηση y(x). 1
Ας υποθέσουμε τώρ ότι θέλουμε ν μεγιστοποιήσουμε ή ελχιστοποιήσουμε την τιμή του ριθμού I, ή γενικά ν βρούμε το κρόττό της, όποιο κι νά 'νι. Θέλουμε δηλδή ν βρούμε την κτάλληλη y(x) γι ν κάνουμε στάσιμη την τιμή του Ι. Πώς θ το κτφέρουμε υτό; Ας ξεκινήσουμε με μί τυχί συνάρτηση y(x) που ικνοποιεί τις συνορικές συνθήκες που επιθυμούμε στ σημεί (, y()) κι (β, y(β)). Έν κόλπο είνι ν μετβάλλουμε την y(x) έτσι y(x) y(x) + aη(x) (2) όπου ο ριθμός a είνι μικρός κι η(x) τυχί συνάρτηση. Επειδή η y(x) έχει συγκεκριμένες τιμές στ άκρ η μετβολή της εκεί πρέπει ν είνι μηδέν άρ πιτούμε η() = η(β) = 0 Επειδή η συνάρτηση είνι στάσιμη γι την y(x) πρέπει ν ισχύει di da = d F (y, y, x) = 0 (3) da Τώρ περνάμε την πργώγιση μέσ στο ολοκλήρωμ (θεωρώντς ότι νήκουμε στις περιπτώσεις που υτό επιτρέπετι) κι χρησιμοποιούμε τον τύπο γι την ολική πράγωγο μίς συνάρτησης πολλών μετβλητών di = I dy + I dy + I da da da x da di β { F da = η + F } η (4) Με πργoντική ολοκλήρωση του δεύτερου όρου της ολοκληρωτές υπολογίζουμε εύκολ: di da = F β η β { F + η d ( ) } F η (5) Στο δεύτερο μέλος ο πρώτος όρος μηδενίζετι λόγω της πίτησης η() = η(β) = 0 κι έτσι πομένει { F d ( )} F η = 0 (6) γι κάθε συνάρτηση η(x). Προφνώς υτό ισοδυνμεί με F d ( ) F = 0 (7) που είνι γνωστή ώς εξίσωση Euler-Lagrange. Αυτή είνι τελείως ισοδύνμη με το ρχικό πρόβλημ κροτάτου, εφόσον συμπεριλάβουμε κι τις κτάλληλες συνορικές συνθήκες. 2
Μπορούμε κόμ ν ορίσουμε δf δy = F d ( ) F ως την συνρτησική πράγωγο (functional derivative) της συνάρτησης F ώς προς τη συνάρτηση y. (8) 1.1 Η Αρχή του Hamilton Ας θυμηθούμε την Αρχή του Hamilton: Θεώρημ 1.1 Η τροχιά που θ κολουθήσει έν φυσικό δυνμικό σύστημ μετξύ των σημείων Α κι Β του μορφικού χώρου στ οποί βρίσκετι τις χρονικές στιγμές t 1 κι t 2, είνι εκείνη που κάνει σττικό το επικμπύλιο ολοκλήρωμ t2 S = L(q i, q i, t) dt (9) t 1 ή ισοδύνμ t2 δ L(q i, q i, t) dt = 0 (10) t 1 όπου L η Langrangian (Λνγρνζινή) του συστήμτος L = T V = K V, L = L(q i, q i, t), q i οι γενικευμένες συντετγμένες κι η τελεί σημίνει πργώγιση ως προς τον χρόνο q j = dq j. Το χρονικό ολοκλήρωμ της Λνγκρζινής είνι η δράση dt S. Η προηγούμενη με βάση τη σττικότητ του συνρτησικού (δράσης) οδηγεί στις εξισώσεις Lagrange L d ( ) L = 0 (11) q i q i οι οποίες είνι ισοδύνμες με τον δεύτερο νόμο του Νεύτων γι το δεδομένο σύστημ... 1.2 Μερικές πλουστεύσεις 1.2.1 Η F δεν εξρτάτι πό το y. Από την εξίσωση Euler-Lagrange (7) βλέπουμε άμεσ ότι ν η συνάρτηση F δεν εξρτάτι ( ) πό το y τότε η μερική της πράγωγος ως προς y είνι μηδέν επομένως d F = 0 που σημίνει ότι F = c (12) 3
όπου c μί στθερά. Η εξίσωση υτή είνι πρώτης τάξης κι συνεπώς ευκολότερη της (7). 1.2.2 Η F δεν εξρτάτι πό το x. Αν τώρ η συνάρτηση F δεν περιέχει εκπεφρσμέν το x, δηλδή είνι της μορφής F = F (y, y ) τότε η μερική της πράγωγος ως προς x θ είνι μηδέν, δηλδή F x = 0, επομένως df = F x + F y + F = F y + d = F y + d = d ( y F y ( y F ) ( y F ) ) ( ) y d F y F (13) όπου στο προτελευτίο βήμ χρησιμοποιήθηκε η εξίσωση Euler-Lagrange. Επομένως ( d F y F ) = 0 F y F = c (14) που ποτελεί μί πρώτης τάξης διφορική, πάλι ευκολότερη της Euler-Lagrange. Η εξίσωση υτή νφέρετι κι ως τυτότητ του Beltrami[1]. Επίσης το ριστερό μέρος της είνι ο μετσχημτισμός Legendre της F ως προς y. Στην περίπτωση που η F είνι η langrangian L η (14) είνι η Hamiltonian (που γι ολόνομ συστήμτ) δεν είνι πρά η ολική (μηχνική) ενέργει του συστήμτος! Τότε ονομάζετι (ολοκλήρωμ) τυτότητ του Jacobi. 1.2.3 Η F δεν εξρτάτι πό το y. 0 ή Στην περίπτωση υτή η εξίσωση Euler-Lagrange μς δίνει την πλή εξίσωση F y (x, y) = F (x, y) = 0 (15) 4
1.3 Γενικεύσεις Γι έν συνρτησικό δύο συνρτήσεων F (y, y, z, z, x) έχουμε I[y(x), z(x)] = με συνορικές συνθήκες y() = y 1, y(β) = y 2 z() = z 1, z(β) = z 2 F (y, y, z, z, x) (16) Απλώς γράφουμε την εξίσωση Euler-Lagrange κι γι τις δύο συνρτήσεις δf δy = F d ( ) F = 0 δf δz = F z d ( ) F = 0 z (17) Αν εμφνίζοντι κι νώτερες πράγωγοι της συνάρτησης y δηλδή π.χ. F = F (y, y, y, x) με τις y, y στθερές στ άκρ, τότε εύκολ δf δy = F d F + d2 F = 0 (18) 2 Στη γενική περίπτωση έχουμε την εξίσωση Euler-Poisson F d F dn + + ( 1)n n F = 0 (19) (n) Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερες πό μί νεξάρτητες μετβλητές π.χ. f = f(x, y) τότε η συνάρτηση F γίνετι F (f, f x, f y, x, y), όπου χρησιμοποιήθηκε ο γνωστός συμβολισμός f x = f. Τότε ξνά σε πρώτη τάξη θ έχουμε: x ( ) F δf δf = F f d f x d ( ) F = 0 (20) dy f y Κι τώρ η περίπτωση των μή στθερών άκρων. Γι ρχή ς φήσουμε το y(β) ν είνι τυχίο. Με την ίδι φιλοσοφί όπως κι πριν κτλήγουμε σε μί εξίσωση πρόμοι με την (5) δi = F β η β { F + d ( )} F η (21) 5
Εδώ πρέπει ν φιλοσοφήσουμε. Αν η εξίσωση Euler-Lagrange δεν ισχύει τότε θ μπορούμε ν βρούμε μί συνάρτηση η(x) που ν τυχίνει ν μηδενίζετι στο άκρο β δηλδή η(β) = 0 η οποί θ λλάζει το I. Επομένως φού θέλουμε υτά ν ισχύουν γι κάθε τυχίο η(x) πρέπει ν ισχύει πάλι η Euler-Lagrange κι επιπρόσθετ άν θέλουμε ν κάνουμε μηδέν τη μετβολή του I (σττική τιμή), πρέπει ν πιτήσουμε f = 0 (22) β Έτσι ν φήσουμε τη y(x) ν μετβάλλετι κι στ δύο άκρ θ έχουμε τις συνθήκες f = 0 x= f (23) = 0 x=β Κάτι πιό δύσκολο τώρ. Ας θεωρήσουμε ότι στο άκρο έχουμε δy = 0 ενώ στο άκρο β έχουμε τη συνάρτηση y ν κινείτι ελεύθερ μένοντς όμως πάνω στην κμπύλη g(y, x) = 0. Η μέθοδος τώρ δίνει } x x { F F δi = δy + δy + F = F β η β { F + d ( F )} η + F (β) x (24) φού τώρ μπορεί ν μετβληθεί κι το x στη θέση x = β. Από το σχήμ βλέπουμε ότι (σε πρώτη προσέγγιση τουλάχιστον) y = η(β) + y (β) x. Επειδή τ x, y δεσμεύοντι με την g(x, y) στο άκρο β έχουμε g x g g x + x y = 0 ή g x + (η + y x) = 0 ή ( g g x + y x ) x + g η = 0 (25) Επομένως η πίτηση στάσιμης τιμής του I, δi = 0 κτλήγει στην εξίσωση Euler- Lagrange κι στη συνθήκη F η + F x = 0, στο x = β (26) 6
Με πλοιφή των η, x πό τις (25) κι (26) προκύπτει η ζητούμενη σχέση στο σημείο β: ( F y F ) g F g, στο x = β (27) x 1.4 Συνρτησικά υπό περιορισμούς Στο μέρος υτό θ δούμε πως μπορούμε ν λύσουμε προβλήμτ στ οποί νξητούμε το στάσιμο ενός συνρτησικού στ οποίο υπάρχει κι κάποιος περιορισμός, είτε είνι μί σχέση μετξύ των y κι x, είτε η στθερότητ ενός άλλου συνρτησικού του y, είτε κάποιος άλλος περιορισμός. Πρίν όμως πρέπει ν θυμιθούμε τους πολλπλσιστές Lagrange. 1.4.1 Οι πολλπλσιστές Lagrange Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε ν μεγιστοποιήσουμε μί συνάρτηση δύο μετβλητών f(x, y). Τότε πρέπει προφνώς ν πιτήσουμε f x = 0, f y = 0 (28) Άν τώρ θέλουμε ν μεγιστοποιήσουμε την F (x, y) υπό τον περιορισμό g(x, y) = c, πρέπει πάλι df = f x + f y dy = 0. Μόνο που τώρ τ, dy δέν είνι νεξάρτητ ώστε ν ισχύει η (28). Τ, dy υπόκειντι στη συνθήκη dg = g x + g y dy 7
οπότε Η προηγούμενη δίνει f x g x = f y g y f x λg x = 0, f y λg y = 0 (29) όπου ο ριθμός λ είνι μί στθερά που ονομάζετι ένς πολλπλσιστής Lagrange. Αυτό όμως ισοδυνμεί με μεγιστοποίηση της συνάρτησης f λg χωρίς τον περιορισμό. 1.4.2 Εξωτερικές συνθήκες Ας υποθέσουμε ότι εκτός πό το πρόβλημ της σττικότητς του συνρτησικού I[y i (x)] = έχουμε κι κάποιες συνθήκες F (y 1, y 2,..., y n, y 1, y 2,..., y n, x) (30) f 1 (y 1, y 2,..., y n, x) = 0 f 2 (y 1, y 2,..., y n, x) = 0. f m (y 1, y 2,..., y n, x) = 0 (31) Τότε[7] μπορούμε ν τροποποιήσουμε τη συνάρτηση F προσθέτοντς τις f j πολλπλσισμένες με κάποιο λ j πολλπλσιστή Lagrange. Δηλδή νζητούμε λύση γι το συνρτησικό ( ) β m I[y i (x)] = F (y i, y i, x) + λ j f j (q i, x) (32) ή ελευθερώνοντς λίγο τον συμβολισμό κι χρησιμοποιώντς τη σύμβση Einstein γι τους επνλμβνώμενους δείκτες (που θροίζοντι άσχετ πό ν είνι κι οι δύο κάτω ή πάνω) δ (F + λ j f j ) = 0 (33) 1.4.3 Ισοπεριμετρικό Πρόβλημ Σε πολλές περιπτώσεις πρέπει ν κάνουμε στσιμο το συνρτησικό I[y i (x)] = j F (y 1, y 2,..., y n, y 1, y 2,..., y n, x) (34) 8
διτηρώντς όμως έν ορισμένο ολοκλήρωμ στθερό: f(y 1, y 2,..., y n, x) = c (35) Η ονομσί ισοπεριμετρικές συνθήκες, προέκυψε πό το πρόβλημ του Dido, δηλδή την εύρεση του μεγίστου εμβδού που περικλύετι σε δεδομένου μήκους περίμετρο. Κι πάλι με τους πολλπλσιστές του Lagrange ρκεί ν νζητήσουμε τη στσιμότητ του F (y 1, y 2,..., y n, y 1, y 2,..., y n, x) λf(y 1, y 2,..., y n, x) (36) οπότε γράφουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange γι τη συνάρτηση υτή. 9
Ανφορές [1] URL: www.wikipedia.com. [2] Constantin Caratheodory. Calculus of Variations and Partial Defferential Equations of the first order. American Mathematical Society, 1999. [3] Herbert Goldstein, Charls Poole κι John Safco. Classical Mechanics, 3rd Edition. Pearson Education, 2002. [4] R. Gourant. Calculus of Variations. New York Univercity, 1962. [5] Γεώργιος Κτσιάρης. Προχωρημένες Σπουδές στη Κλσσική Μηχνική. Ελληνικό Ανοιχτό Πνεπιστήμιο, 2006. [6] Πέτρος Ιωάννου κι Θεοχάρης Αποστολάτος. Στοιχεί Θεωρητικής Μηχνικής. Leader books, 2004. [7] Cornelius Lanczos. The Variational Priciples of Mechanics. Univercity of Torondo press, 1949. [8] H. Lauwerier. Calculus of Variations in Mathematical Physics. Mathematisch Centrum Amsterdam. 1966. [9] Philip Morse κι Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics. Feshbach Publishing, 1981. [10] Mathews - Walker. Mathematical Methods of Physics. Addison-Wesley, 1970. [11] Robert Weinstock. The Calculus of Variations. Dover, 1974. 10