Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται στα εξής βασικά βήματα: Προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της y ) Ελέγχουμε την περιοδικότητα της και τις συμμετρίες της γραφικής παράστασης C Εξετάζουμε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια 4 Προσδιορίζουμε τις ' και '' και βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της, τα διαστήματα κυρτότητας, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής 5 Υπολογίζουμε τα όρια στα άκρα όλων των ανοικτών διαστημάτων του πεδίου ορισμού της και προσδιορίζουμε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης 6 Προσδιορίζουμε τα σημεία τομής της C με τους άξονες 7 Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της όπου σημειώνουμε το πρόσημο των ' ) και '' ) και τα όρια που υπολογίσαμε 8 Με βάση τα παραπάνω κατασκευάζουμε προσεγγιστικά την γραφική παράσταση της Β ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Να μελετηθεί η συνάρτηση με τύπο ) + Λύση i H έχει πεδίο ορισμού A R, και είναι συνεχής στο R Είναι ) ) ) ) ' + +, Aμε ) ' 0 0 ) 0 ) + ) 0 ± Επίσης ) ) " ) 6, για κάθε A με " ) 0 6 0 0

6 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Μονοτονία της Για κάθε, ) είναι ' ) > 0οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο, ] Για κάθε,) είναι ' ) < 0οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο[,] Για κάθε, + ) είναι ' ) 0, + > οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο [ ) Ακρότατα Στα σημεία και η παρουσιάζει τοπικά ακρότατες τιμές Ειδικότερα στο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το ) 4 και στο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το ) 0 Κυρτότητα της Για κάθε,0) είναι " ) < 0οπότε η στρέφει τα κοίλα κάτω στο,0] Για κάθε 0, + ) είναι " ) > 0οπότε η στρέφει τα κοίλα άνω στο [ 0, + ) Σημεία καμπής Στο 0 0 η παρουσιάζει καμπή με ΣΚ το A 0, 0) ) δηλαδή το A 0, ) Ασύμπτωτες: Δεν υπάρχουν αφού η είναι πολυωνυμική Σημεία τομής με τους άξονες Για 0 είναι 0) οπότε η C τέμνει τον yy στο A0, ) Για y 0 είναι + 0 + 0 ) ) 0 ) ) ) )[ ) ] ) + 0 + 0 + ) 0 ή ή οπότε η C εφάπτεται του άξονα στο σημείο ) B,0 και τον τέμνει στο Γ,0) Επίσης είναι im ) και im ) + + Πίνακας Μεταβολών Γραφική Παράσταση

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Άσκηση + Να μελετηθεί η συνάρτηση με τύπο ) Λύση Η έχει πεδίο ορίσμου A R{ R: 0} R {} με + + ) ) + ) ) ) + ) ' ) ) ) για κάθε A ) ) Είναι ' ) < 0, για κάθε A και ) 6 " ) 4 για κάθε A ) ) ) Επίσης έχουμε " ) 0, για κάθε A και " ) > 0 6 ) > 0 > 0 > Μονοτονία της Για κάθε,) είναι ' ) < 0οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο,) και για κάθε, + ), είναι ' ) < 0οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα για το, + ) Ακρότατα: Δεν υπάρχουν αφού η ' δεν έχει κρίσιμα σημεία Κυρτότητα της Για κάθε,) είναι " ) < 0οπότε η στρέφει τα κοίλα κάτω στο,) και για κάθε, + ) είναι " ) > 0οπότε η στρέφει τα κοίλα άνω στο, + ) Σημεία καμπής: Δεν υπάρχουν αφού στο 0 εκατέρωθεν του οποίου αλλάζει πρόσημο η δεύτερη παράγωγος η συνάρτηση δεν ορίζεται Ασύμπτωτες im ) im + α Είναι im ) im + + + + + β Επίσης im ) im ± ± Άρα η ευθεία με εξίσωση είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη του διαγράμματος της Άρα η ευθεία με εξίσωση είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C, στα + και

8 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Σημεία τομής με τους άξονες Για 0 είναι 0) οπότε η C τέμνει τον άξονα y y στο A 0, ) + Για y 0 είναι 0 + 0 οπότε η C τέμνει τον άξονα στο Β,0 Πίνακας Μεταβολών Γραφική Παράσταση Άσκηση + Να μελετηθεί η συνάρτηση με τύπο ) Λύση Η έχει πεδίο ορισμού A R{ R: 0} R {} ) ) ) ) ) + + + + ) Είναι ' ) ) ) 4 4, για κάθε R{} ) ) Η ) ' 0 4 7 ή + 7 Το πρόσημο της ' φαίνεται στο διπλανό πίνακα: ) ) )[ ) ] 4 4 4 Είναι " ) 4 ) ) ) ) ) ) )[ ) 4 4 4) ] 4 4 ) ) ) 4+ 4 + 4+ ) 7 4 ) ) ) 4, για κάθε A R {}

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 9 Είναι φανερό ότι " ) 0, για κάθε A R{} Είναι: " ) > 0 4 ) > 0 > 0 > και ) < 0 < Το πρόσημο της " φαίνεται στον διπλανό πίνακα: Μονοτονία της Για κάθε, 7) είναι ' ) > 0οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο, 7 Για κάθε ) ) 7, ή, 7 + είναι ' ) < 0οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα 7,),, + 7 Για κάθε + 7, + ) είναι ' ) > 0άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο + 7, + ) Ακρότατα της Επειδή για κάθε, 7) είναι ' ) 0 έπεται ότι η παρουσιάζει στο 0 7 για κάθε, 7) > και για κάθε 7,) τοπικό μέγιστο το ) ' < 0και για κάθε 7, ) + τοπικό ελάχιστο το + 7) 4+ 7 + είναι ) η παρουσιάζει στο 0 7 είναι ' ) < 0 7 4 7 Επίσης + + είναι ' ) > 0οπότε Κυρτότητα της Επειδή για κάθε,) είναι " ) < 0, η στρέφει τα κοίλα κάτω στο,) Επειδή για κάθε, + ) είναι " ) > 0, η στρέφει τα κοίλα άνω στο, + ) Σημεία καμπής Εκατέρωθεν του 0 αλλάζει πρόσημο η " αλλά στο σημείο αυτό η δεν παρουσιάζει καμπή αφού A Ασύμπτωτες α im ) im + im ) im + + + + Άρα η ευθεία με εξίσωση είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C β Η ευθεία με εξίσωση y + είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στα + και διότι: ) + λ im im και ± ± [ ) ] + + + β im λ im ) ) im im ± ± ± ±

40 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Σημεία τομής της C με τους άξονες Για 0 έχουμε 0) οπότε η C τέμνει τον y y στο + Για y 0 έχουμε 0 + 0 Επίσης έχουμε: + + im ) im και im ) im + + + Πίνακας Μεταβολών A 0,, αδύνατη) Άρα η C δεν τέμνει τον άξονα Γραφική παράσταση Άσκηση 4 Να μελετηθεί η συνάρτηση με τύπο: ) ) Λύση Η έχει πεδίο ορισμού A R{ R: ) 0} R{ 0,} ) Είναι ' ) ) ) Η ' ) 0 0 Το πρόσημο της ' φαίνεται στο διπλανό πίνακα:, για κάθε A R{ 0,} ) ) )[ ) ] Επίσης '' ) 4 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 4 4 ) )

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 4 )[ ) ) ] ) 4 + 4) 4 4 ) ) ) + + ) ) ), για κάθε A R{ 0,} Η ) " 0 + 0 που είναι αδύνατη στο R{ 0,} οπότε " ) 0 A Για το πρόσημο της " έχουμε: ) ) ) " > 0 + > 0 > 0 ) > 0 < 0 ή > και ) < 0 0,) Μονοτονία της Για κάθε,0) είναι ' ) > 0οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο,0) Για κάθε 0, είναι ' ) > 0οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο 0, Για κάθε, είναι ' ) < 0οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο, Για κάθε, + ) είναι ' ) < 0οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο, + ), για κάθε Ακρότατα της Επειδή για κάθε 0, είναι ' ) > 0 και για κάθε, είναι ' ) < 0η πα- ρουσιάζει στο σημείο 0 A τοπικό μέγιστο το 4 Κυρτότητα της Για κάθε,0) είναι " ) > 0 οπότε η στρέφει τα κοίλα άνω στο,0) Για κάθε 0,) είναι " ) < 0 οπότε η στρέφει τα κοίλα κάτω στο 0,) Για κάθε, + ) είναι " ) > 0οπότε η στρέφει τα κοίλα άνω στο, + ) Σημεία καμπής Εκατέρωθεν των σημείων 0 και αλλάζει πρόσημο η " Επειδή όμως τα σημεία 0 και δεν ανήκουν στο Α η δεν παρουσιάζει σημεία καμπής

4 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Ασύμπτωτες α ) Είναι im im + 0 0 ) και im ) im ασύμπτωτη της + + 0 0 ) Άρα η ευθεία με εξίσωση 0 είναι κατακόρυφη C β Είναι im ) im ) και im ) im + ασύμπτωτη της + + ) Άρα η ευθεία με εξίσωση είναι κατακόρυφη C Η ευθεία με εξίσωση y 0είναι οριζόντια ασύμ- Επίσης im ) im 0 ± ± ) πτωτη της C, στα + και Σημεία τομής με τους άξονες Δεν υπάρχουν σημεία στα οποία η ενώ για y 0 προκύπτει αδύνατη εξίσωση Πίνακας Μεταβολών C τέμνει τους άξονες αφού στο 0 0 η δεν ορίζεται Γραφική Παράσταση Άσκηση 5 Να μελετηθεί η συνάρτηση με τύπο ) Λύση Η έχει πεδίο ορισμού A { R: > 0} 0, + ) Είναι ) ) n) n ) n ' e e n e ) n+ n) n + n+ )

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 4 Η ' ) 0 n+ 0 n n n e e Είναι ' ) > 0 n> n> n > e e Το πρόσημο της ' φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Επίσης ) [ )] [ n )] n ) ) n " n e n e + + n + + e n + ) n ) ) n n ) ) n e n n + + e e n + n + + e ) ) n ) n n n e n + + + + + + e, για κάθε A Παρατηρούμε ότι για κάθε A 0, + ) είναι " ) 0 και μάλιστα " ) > 0, για κάθε A Μονοτονία της Για κάθε 0, e είναι ' ) < 0 οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, e Για κάθε, + e είναι ' ) > 0οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο, + e Ακρότατα της Επειδή για κάθε 0, e είναι ' ) < 0και για κάθε, + e είναι ' ) > 0 η πα- ρουσιάζει στο 0 A τοπικό ελάχιστο το e e e Κυρτότητα της Επειδή για κάθε 0, + ) είναι " ) > 0η στρέφει τα κοίλα άνω στο 0, + ) Σημεία καμπής Δεν υπάρχουν διότι η " διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 0, + ) A Ασύμπτωτες Δεν υπάρχουν e

44 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Επίσης έχουμε: ) n im im im e διότι: + + + 0 0 0 n + n) im n im im im ) 0 + + + + 0 0 0 0 Επίσης im ) im ) + + + + + Πίνακας Μεταβολών Γραφική Παράσταση Άσκηση 6 e e Να εξετάσετε τη συνάρτηση με ) ως προς τη μονοτονία και τις ασύμπτωτες e + e Λύση ) ) e + e e e e + e + e e + 4 Έχουμε: ' ) > 0 ) ) e + e e + e e + e ) για κάθε R Άρα η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R Προφανώς κατακόρυφες ασύμπτωτες δεν υπάρχουν διότι η είναι συνεχής στο R Χρησιμοποιώντας γνωστό κριτήριο εξετάζουμε την ύπαρξη πλαγίων ή οριζοντίων ασυμπτώτων: ) e e e e ) im im im 0 + ) + e + e + e + e ) [ ) ] e e im 0 im ) im + + + e + e ) Ομοίως βρίσκουμε: im 0, ) im Συνεπώς οι ευθείες y και y είναι οριζόντιες ασύμπτωτες στο + και στο αντιστοίχως Άσκηση 7 n Έστω η συνάρτηση με ) * όπου v N {} Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως v προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα, τα σημεία καμπής και τις ασύμπτωτες Στη συνέχεια να σχεδιάσετε πρόχειρη γραφική παράσταση της

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 45 Λύση v v v n v n A 0, + ) Είναι ' ) v v+ v v Έχουμε ' ) 0 n e Επομένως το e είναι το μοναδικό κρίσιμο v σημείο Επίσης ' ) > 0 < e v και ' ) < 0 > e v v v v+ ) v v n) v [ v+ ) + v v+ ) n] Επίσης " ) v+ v+ v v+ ) n v+ ) v + Έχουμε ) v+ Επίσης + ) ) + ) v+ vv + ) v + " 0 n e v v v+ " > 0 > e vv ) Άρα στο σημείο θέση e vv + παρουσιάζει καμπή Σχετικά με τις ασύμπτωτες έχουμε: Οριζόντιες - πλάγιες ασύμπτωτες ) n n) im im im im 0 και + + v+ + v+ + v+ v+ ) ) + n + n) im ) 0) im im im 0 + + v v + v + v ) Επομένως η ευθεία y 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Κατακόρυφες ασύμπτωτες: n im ) im im n im ) ) v + 0+ 0+ v 0+ 0+ Άρα η ευθεία 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της : v+ vv ) v Είναι e + > e διότι v + > και η v v+ ) e είναι v v γνησίως αύξουσα συνάρτηση) Έτσι στη θέση e η παρουσιάζει τοπικό και ολικό) μέγιστο ενώ στη θέση v+ + ) e vv η παρουσιάζει καμπή Με βάση τον πίνακα αυτό σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της :

46 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Δ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Να μελετηθεί η συνάρτηση με ) και να γίνει η γραφική της παράσταση Δίνεται η συνάρτηση με ) + 8) ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία, τα 9 ακρότατα και τις ασύμπτωτες και να γίνει η γραφική της παράσταση Να σχεδιαστεί μια παραγωγίσιμη συνάρτηση χωρίς να γίνει αναφορά στον τύπο της) η οποία να έχει οριζόντιες ασύμπτωτες τις ευθείες y, y και α Κανένα ακρότατο, β Ένα τοπικό ακρότατο γ Δύο τοπικά ακρότατα δ Τρία τοπικά ακρότατα 4 Να μελετηθούν οι συναρτήσεις και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις: ) 4 + ) e ) n e 4 ) e 5 ) n 6 ) e 7 ) 8 ) συν e + 5 Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση με τύπο ) + λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της για δύο αντίθετες τιμές του οι οποίες και να προσδιοριστούν Στη συνέχεια να γίνει η μελέτη αυτής της συνάρτησης και η γραφική της παράσταση Απ: Οι τιμές του ± ) + 6 Να μελετηθεί η συνάρτηση με ) n Ποιο είναι το σύνολο τιμών της; Να καθοριστεί η αντίστροφη της η ) και το σύνολο τιμών της αντίστροφης Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των και Τέλος να αποδειχθεί η σχέση: ) < < ) για κάθε,) και να ερμηνευθεί γεωμετρικά με βάση τις γραφικές παραστάσεις των και 7 Να μελετηθεί η συνάρτηση με τύπο ) n και να γίνει η γραφική της παράσταση Στη συνέχεια, αφού αποδειχθεί ότι n για κάθε > 0, να ερμηνευθεί γεωμετρικά η ανισότητα αυτή με βάση τη γραφική παράσταση της

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 47 8 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ) Να γίνει μια πρόχειρη γραφική παράσταση της 9 Δίνεται η συνάρτηση με ) α Να μελετηθεί η συνάρτηση και να γίνει η γραφική της παράσταση β Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ για τις διάφορες τιμές του λ R ημ 0 Να μελετηθεί η συνάρτηση με ) και να γίνει η γραφική της παράσταση + ημ Ε ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Α Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση α ) / β g ) e + + Β Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων ) λ και g ) μ για τις διάφορες τιμές των λ,μ R