Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/15 Clasele primare P311. Scrie în casete toate numerele de la 1 la 19, o singură dată fiecare, astfel încât să obţii rezultatul dat: + = + = + = + = + = 9. (Clasa I ) Ana Stoica, elevă, Iaşi Soluţie. 1 + 19 = 11 + 18 = 1 + 17 = 13 + 16 = 14 + 15 = 9. P31. Scrie numerele de la la 9 în grupe de câte patru astfel încât, în fiecare grupă, numerele scrise să fie în ordine descrescătoare şi vecine. (Clasa I ) Daniela Mititelu, elevă, Iaşi Soluţie. 9876, 8765, 7654, 6543, 543, 431, 31. P313. Fratele meu este cu 3 ani mai mic decât mine, iar eu am 8 ani. Care va fi suma vârstelor noastre peste ani? (Clasa I ) Denisa Apetrei, elevă, Iaşi Soluţie. Peste doi ani suma vârstelor va fi 1 ani + 7 ani = 17 ani. P314. Două numere îndeplinesc condiţiile: a) suma lor este 81 şi b) dacă din primul număr se scade 9, rezultatul va fi dublul celui de-al doilea. Aflaţi numerele. (Clasa a II-a) Maria Racu, Iaşi Soluţie. a + b = 81, a = 9 + b b + 9 + b = 81 3b + 9 = 81 3b = 7 b = 4, a = 57. P315. Un număr de două cifre se numeşte ordinar dacă are suma cifrelor mai mare decât suma cifrelor vecinului său mai mic. Scrieţi toate numerele ordinare care au suma cifrelor 8. (Clasa a II-a) Georgiana Avădanei, elevă, Iaşi Soluţie. Numerele de două cifre care au suma cifrelor 8 sunt: 17, 6, 35, 44, 53, 6, 71, 8. Numărul 8 nu este ordinar deoarece 7 + 9 = 16, 8 + = 8, 16 > 8. Celelalte şapte numere sunt ordinare. P316. Completaţi un pătrat 4 4 cu numerele, 3, 4, 5, 6, 7, 8 astfel încât ele să fie scrise crescător şi consecutiv pe fiecare linie şi fiecare coloană. De câte ori apare numărul 5? 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 (Clasa a II-a) Bianca Gimiga, elevă, Iaşi Soluţie. Singura completare posibilă este cea din figura alăturată. Numărul 5 apare de patru ori. P317. Câte triunghiuri sunt în figura alăturată? (Clasa a III-a) Ecaterina Brînzac, elevă, Iaşi Soluţie. Sunt atâtea triunghiuri câte segmente distincte se pot forma cu punctele B, C, D, E, F, G, adică 5+4+3++1 = 15. A B C D E F G P318. Găsiţi numerele naturale ab astfel încât ab = b + b b + b b b. (Clasa a III-a) Nicolae Ivăşchescu, Craiova 143
Soluţie. Dacă b 5, suma din dreapta este un număr de trei cifre. Verificând celelalte valori posibile, obţinem singura soluţie b = 4, a = 8: 84 = 4+4 4+4 4 4. P319. Să se arate că niciun număr din şirul 5, 1, 15,,..., 1 nu poate avea suma cifrelor egală cu 15. (Clasa a III-a) Alexandra Mădălina Ciobanu, elevă, Iaşi Soluţie. Un număr din acest şir poate avea ultima cifră sau 5. Suma cifrelor este maximă dacă cifra unităţilor este 5, iar cifra zecilor este 9. Concluzionăm că suma poate fi maximum 14. P3. Putem găsi şase numere consecutive de forma 7 n a căror sumă să fie un număr par? (Exemplu: 14, 1, 8 sunt numere consecutive de forma 7 n.) (Clasa a III-a) Cristina Chelaru, elevă, Iaşi Soluţie. Fie 7 a, 7 (a + 1), 7 (a + ), 7 (a + 3), 7 (a + 4), 7 (a + 5) cele şase numere consecutive de forma 7 n. Printre numerele a, a + 1, a +, a + 3, a + 4, a + 5, trei numere sunt impare. Deoarece numărul 7 este impar, atunci trei dintre numerele considerate vor fi pare, iar celelalte trei vor fi impare. Rezultă că suma celor şase numere este de fiecare dată un număr impar. P31. Mama şi cei cinci copii ai săi au împreună 86 ani. Vârstele copiilor sunt numere pare consecutive. La naşterea celui mai mic copil, mama avea triplul vârstei celui de-al treilea copil. Aflaţi vârstele celor şase. (Clasa a IV-a) Nicolae Vieru, Iaşi Soluţie. Vârstele copiilor în ordine descrescătoare sunt: a + 8, a + 6, a + 4, a +, a. În prezent mama are vârsta 3 (a + 4) + a = 4a + 1. Înseamnă că 9a + 3 = 86, de unde rezultă a = 6 (ani). Vârstele copiilor sunt: 6 ani, 8 ani, 1 ani, 1 ani şi 14 ani. Mama are 4 6 + 1 = 36 (ani). P3. Numerele naturale x 1, x,..., x n au proprietatea că fiecare dintre ele, începând cu al doilea, este jumătatea sumei tuturor numerelor scrise înaintea lui. Aflaţi n ştiind că x n = 9. (Clasa a IV-a) Doina Ivaşcu, elevă, Iaşi Soluţie. x 1 + x +... + x n 1 = 9 = 18 x 1 + x +... + x n = 18 : 3 = 1 x 1 + x +... + x n 3 = 1 : 3 = 8 Deoarece 8 nu se împarte exact la 3, înseamnă că x 1 = 8, x = 4, x 3 = 6, x 4 = 9 şi n = 4. P33. Daţi un exemplu de 39 numere pare, consecutive, mai mari ca 39 şi a căror sumă se împarte exact la 4. (Clasa a IV-a) Andreea Munteanu, elevă, Iaşi Soluţie. Fiecare din cele 39 numere se împarte exact la. Este necesar ca suma câturilor să se împartă exact la. Acest lucru este posibil dacă câturi sunt impare şi 19 câturi sunt pare. Rezultă că primul şi ultimul cât trebuie să fie impare. Exemplu de astfel de numere: 4, 44, 46,..., 118. P34. Un dreptunghi format din pătrăţele având latura de 1 cm are perimetrul de cm. Se completează pătrăţelele dreptunghiului respecând regulile următoare: 144
1) după ce se completează prima linie se trece la completarea liniei a doua ş.a.m.d; ) 1 se scrie o singură dată, de două ori,..., n se scrie de n ori. Să se afle n, ştiind că procedând în acest fel toate pătrăţelele au fost completate. (Clasa a IV-a) Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Dreptunghiul are 1 + + 3 +... + n = n(n + 1) : pătrăţele. Pe de altă parte, numărul pătrăţelelor este L l. Înseamnă că n (n + 1) = L l. Deoarece L l este produsul a două numere consecutive şi L + l = 1, iar 7 3 = 6 7, urmează că n = 6. Alte soluţii nu mai sunt. Clasa a V-a V.186. Determinaţi ultimele două cifre ale numărului A = 7+7 +7 3 +...+7 15. Iulian Oleniuc, elev, Iaşi Soluţie. Observăm că 1 + 7 + 7 + 7 3 = 4. Atunci A = 7 + 7 + 7 3 + (1 + 7 + 7 + 7 3 ) (7 4 + 7 8 +... + 7 1 ) = 399 + M 1, deci utlimele două cifre ale numărului A sunt 99. V.187. Stabiliţi în câte zerouri se termină scrierea zecimală a produsului A = 116 117... 15. Ionel Tudor, Călugăreni, Giurgiu Soluţie. Observăm că A = B, unde B = 116 117... 15. Produsul B conţine de factori care se divid cu 5. Dintre acestea, 4 se divid cu 5, 8 se divid chiar cu 15 şi se divid cu 65. Prin urmare, exponentul lui 5 în descompunerea în factori primi a lui B este + 4 + 8 + = 5. Factorul apare la un exponent mai mare, prin urmare B se termină în 5 de zerouri. Rezultă că scrierea zecimală a lui A se termină în 5 zerouri. V.188. Arătaţi că 3 4 5 6 7... 14 15 > 1 15. Viorica Momiţă, Iaşi Soluţie. Cum 3 > 1, 4 5 > 3 4,..., 14 15 > 13 14 > 1 3 3 4 4 5... 13 14 14 15 = 1 15. V.189. Demonstraţi că nu există numere naturale nenule m, n şi k pentru care 4 m + 9 n+1 = k + k + 1. Ionuţ Ivănescu, Craiova Soluţie. Cum U(4 m ) = 6 şi U(9 n+1 ) = 9, rezultă că U(4 m + 9 n+1 ) = 5, deci numărul 4 m + 9 m+1 se divide cu 5. Pe de altă parte, avem:, rezultă că 3 4 5 6 7... 14 15 restul împărţirii lui k la 5 1 3 4 restul împărţirii lui k la 5 1 4 4 1 restul împărţirii lui k + k + 1 la 5 1 3 3 1 Rezultă că numărul k +k+1 nu poate fi divizibil cu 5 şi, de aici, concluzia problemei. V.19. Arătaţi că există o infinitate de perechi (n, n + 1), cu n N, astfel încât atât n, cât şi n + 1 se pot scrie ca sumă de trei pătrate perfecte nenule. Nicolae Ivăşchescu, Craiova 145
Soluţie. Dacă n = 6k, k N, atunci n = k + (4k) + (3k), iar n + 1 = 1 + k + (5k). V.191. Demonstraţi că orice număr natural mai mare ca 5 se poate scrie ca suma dintre un număr prim şi un număr compus. Mariana-Liliana Popescu, Suceava Soluţie. Dacă n este număr par, atunci n = + n 1, cu n 1. Dacă n = 6k + 1, k 1, atunci n = 3 + (3k 1), cu 3k 1. Dacă n = 6k + 3, k 1, putem considera pentru n chiar această scriere. În sfârşit, dacă n = 6k + 5, k 1, avem că n = + 3(k + 1), cu k + 1 3. V.19. Determinaţi valorile numărului natural a pentru care există numere naturale distincte x şi y astfel încât 3x + 7y = 1a. Gheorghe Iurea, Iaşi Soluţie. Pentru a 7 există x = a 7 şi y = a+3 astfel încât 3(a 7)+7(a+3) = 1a. Cum 3 1 + 7 = 3 1, 3 11 + 7 1 = 4 1, 3 1 + 7 = 5 1 şi 3 13 + 7 3 = 6 1, valorile a {3, 4, 5, 6} sunt, de asemenea, soluţii ale problemei. Se observă că numerele a {, 1, } nu convin. În concluzie, a N\{, 1, }. Clasa a VI-a VI.186. O grădină are forma dreptunghiului ABCD (AB > CD) şi este împărţită în două parcele: dreptunghiul MNP B şi,,colţul haşurat. Se ştie că AP = CM, iar partea haşurată are aria de două ori mai mare şi perimetrul cu 4 mai mare decât D C aria, respectiv perimetrul dreptunghiului M N P B. Aflaţi lungimile segmentelor AB şi CD ştiind că se exprimă, în N M metri, prin numere naturale. Gabriel Popa, Iaşi A P B Soluţie. Notăm AP = CM = x, BP = a şi BM = b. Din P AP NMCD = P MNP B + 4 obţinem că x = 1(m) şi, de aici, rezultă că a, b N. Din A ABCD = 3 A MNP B deducem că (a + 1)(b + 1) = 3ab, de unde (a 5)(b 5) = 75. Cum a > b, putem avea (a, b) {(8, 6); (3, 8); (, 1)}. În concluzie, (AB, CD) {(9, 16); (4, 18); (3, )}. VI.187. Determinaţi restul împărţirii numărului N = 15 4 4 15 prin 9. Viorica Dogaru, Giurgiu Soluţie. Avem: 15 4 = (M 9 1) 4 = M 9 +( 1) 4 = M 9 +1; 4 15 = (4 3 ) 671 4 = (M 9 + 1) 671 16 = (M 9 + 1) 16 = M 9 + 7, deci N = (M 9 + 1)(M 9 + 7) = M 9 + 7. VI.188. Fie p un numar natural cu proprietatea că, oricare ar fi numerele a, b {1,,..., p 1}, produsul ab nu este divizibil cu p. Arătaţi că p este număr prim. Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Evident, p = 1 nu verifică ipoteza problemei. Fie p ca în enunţ şi să presupunem că p nu ar fi număr prim. Atunci p va avea o pereche de divizori proprii (nu neapărat distincţi) de formad, p d, cu d {1,,..., p 1}. Ar rezulta că 146
produsul d p = p nu se divide cu p, contradicţie. Astfel, rămâne adevărată concluzia d problemei. VI.189. Determinaţi numerele prime p şi q pentru care p + q = 1q + p. Titu Zvonaru, Comăneşti Soluţie. Dacă p = avem 1q q = şi nu obţinem soluţii, iar dacă q = avem p p 8 = şi, de asemenea, nu avem soluţii. Rezultă că p şi q sunt impare. Relaţia dată se poate scrie sub forma p q (p q) = q, deci (p q)(p + q 1) = q. Cum p q nu se divide cu q, atunci p = kq + 1 şi rezultă că (p q)(k + 1) = q. Cu acelaşi argument, k = tq 1 şi atunci p = tq q + 1 şi (tq q + 1)t =. Dacă t ar fi par, atunci p = tq q + 1 ar fi par, contradicţie. Rămâne că t {1, 5, 5}. Prin verificare directă, convine doar varianta t = 5, când p = 43 şi q = 3. VI.19. Considerăm a, b, c şi d cifre nenule în baza 1 (la litere diferite corespund cifre diferite) astfel încât numărul N = abc (d) cba (d) este multiplu de 63. Stabiliţi câte astfel de 4-uple (a, b, c, d) există. Neculai Stanciu, Buzău Soluţie. Se impun condiţiile d > a, d > b, d > c (pentru că a, b, c sunt cifre în baza d) şi a > c (pentru a putea fi efectuată scăderea). Avem: N = (ad + bd + c) (cd + bd + a) = d (a c) (a c) = (a c)(d 1)(d + 1). Cum N..7, avem variantele: (i) a c = 7; atunci (a, c) = (8, 1), deci d = 9 şi N = 7 8 1 nu se divide cu 63. (ii) d 1 = 7; atunci d = 8, deci N = 63 (a c)..63. Perechea (a, c) poate fi aleasă în 7 6 = 1 moduri (pentru că a, c {1,,..., 7} şi a > c) şi, în fiecare caz, valoarea lui b poate fi aleasă în câte 5 moduri. Rezultă 1 5 = 15 soluţii. (iii) d + 1 = 7; atunci d = 6, deci N = 35(a c). Cum a, c 5, nu este posibil ca a c să se dividă cu 9, deci nu avem soluţii în acest caz. În conlcuzie, există 15 4-uple cu proprietăţile dorite. VI.191. Fie n un număr natural nenul. Determinaţi numărul soluţiilor întregi (x 1, x,..., x n ) ale ecuaţiei x 1 x... x n n + 1 =. Gheorghe Iurea, Iaşi Soluţie. Dacă (a 1, a,..., a n ) este soluţie a ecuaţiei din enunţ, atunci a i { 1, 1}, i = 1, n. Pentru n = k, egalitatea a 1 a... a k k + 1 = este echivalentă cu a 1 a 3... a k 1 +1 =. Putem elege a 1, a 3,..., a k 3 în mod arbitrar, iar a k 1 va fi bine determinat prin a k 1 = a 1 a 3... a k 3. Cum a, a 4,..., a k pot fi arbitrar alese din mulţimea { 1, 1}, rezultă că ecuaţia dată are k 1 = n 1 soluţii. Dacă n = k + 1, procedând analog, găsim tot n 1 soluţii ale ecuaţii din enunţ. VI.19. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Notăm cu D simetricul lui C faţă de dreapta BI şi cu E simetricul lui B faţă de dreapta CI. Demonstraţi că ID BE dacă şi numai dacă IE CD. Titu Zvonaru, Comăneşti Soluţie. Fie m(òb) = b, m(òc) = c. Din motive de simetrie, deducem uşor că punctul D aparţine dreptei AB, iar punctul E aparţine dreptei AC; notăm {T } = AC DI. Deoarece BCD este isoscel (BC = BD) şi BI, CI sunt 147
bisectoarele unghiuriloròb, respectivòc, avem că m(õbcd) = 9 b, m(õicd) = m(õidc) = 9 b c, m(õt CD) = 9 b c şi, analog, m(õbec) = 9 c. CumÔIT C este unghi exterior T CD, rezultă că m(ôit C) = m(õidc) + m(õt CD) = 9 b c + 9 b c = 18 b 3c. Astfel, avem ID BE = ÔIT C ÕBEC 18 b 3c = 9 c b + c = 45. Analog se arată că IE CD b + c = 45, de unde concluzia problemei. D T A E C I B Clasa a VII-a {z } n+1 {z } n {z } n {z } n VII.186. Dacă n este număr natural nenul, arătaţi că numerele... 99... 9 şi... 99... 9 sunt compuse. {z } n {z } n Titu Zvonaru, Comăneşti Soluţie. Avem:... 99... 9 = 1 n + 1 n 1 = ( 1 n 1)(1 n + 1) şi {z } n+1 {z } n... 99... 9 = 1 n+1 + 1 n 1 = 1 n + 1 n 1 = (4 1 n + 1)(5 1 n 1), ceea ce arată că numerele din enunţ sunt compuse. VII.187. Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive, arătaţi că a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) 1abc. Romeo Cernat, Iaşi (a + b) Soluţie. Este imediată inegalitatea 4. Scriem încă două inegaliţăţi ab similare şi, prin adunarea lor, obţinem o relaţie echivalentă cu cea din enunţ. A P D VII.188. Pe laturile AB, CD şi AD ale paralelogramului ABCD se consideră punctele M, N, 3 4 S S N M E F respectiv P şi fie {E} = BP M N, {F } = S CP MN. Notăm cu S, S 1, S, S 3 şi S 4 ariile S1 suprafeţelor ABCD, BM E, CN F, AM EP, respectiv DNF P. Demonstraţi că S 4( S 1 S + S 3 S 4 ). B C Mihai Haivas, Iaşi Soluţie. Cum A P BC = 1 A ABCD, înseamnă că S 1 + S + S 3 + S 4 = 1 S. Atunci 4 S = (S 1 + S + S 3 + S 4 ) 4( S 1 S + S 3 S 4 ), conform inegalităţii mediilor MA MG. VII.189. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 3BC şi punctele E, F (AB) astfel încât AE = EF = F B. Dacă {N} = CF AD, arătaţi că NE DF. Cătălin Cristea, Craiova Soluţie. Triunghiurile ADE şi BCF sunt dreptunghice isoscele, prin urmare 148
D C m(õade) = m(õbcf ) = m(õdcn) = 45. Rezultă că m(õdnc) = 18 9 m(õdcn) = 45, deci m(ödmn) = 18 m(õade) m(õdnc) = 9, E unde {M} = DE CN. Astfel, DM este înălţime A F B în NDF şi, cum F A este tot înălţime, punctul E va fi ortocentrul acestui triunghi. De aici rezultă că M NE DF. VII.19. Fie ABCD un patrulater cu AB +CD = BC +AD. Arătaţi că AB CD dacă şi numai dacă cercurile de diametre BC, respectiv AD sunt tangente. Ioan Săcăleanu, Hârlău, Iaşi N Soluţie. Notăm cu O 1 şi O mijloacele laturilor AD, respectiv BC. Presupunem întâi că AB CD; cum O 1 O este linie mijlocie în trapezul/paralelogramul ABCD, AB + CD AD + BC rezultă că O 1 O = = = r 1 + r, deci cercurile de diametre AB şi BC sunt tangente. Reciproc, presupunem că cele două cercuri sunt tangente şi fie AD + BC S mijlocul lui BD. Avem: O 1 O = r 1 + r = = AB + CD = O 1S + O S, conform teoremei liniei mijlocii aplicată în triunghiurile ABD şi ABC. Deducem că S O 1 O, de unde O 1 O AB CD. VII.191. Fie M mijlocul bazei mari AB a trapezului ABCD şi E un punct pe diagonala AC. Notăm {P } = CM BE, {F } = AP BC, {G} = F E AD, {Q} = CG DE, {N} = AQ CD. Arătaţi că N este mijlocul bazei mici CD. Eugeniu Blăjuţ, Bacău Soluţie. Aplicând teorema lui Ceva în ABC, obţinem că CE EA AM MB BF CE = 1, de unde F C EA = CF. Deducem că EF AB, deci GE CD, prin urmare F B AG GD = AE. Însă, din teorema lui Ceva aplicată în EC ACD, obţinem că AG GD DN NC EC = 1. Rezultă că AE DN = 1, adică N este mijlocul lui CD. NC G D N C Q E A M B VII.19. Un dreptunghi are perimetrul de 58m. Este posibil să luăm zece puncte pe conturul dreptunghiului astfel încât distanţa dintre oricare două puncte consecutive să fie de 5m? P F Gabriel Popa, Iaşi Soluţie. Răspunsul este afirmativ: fie ABCD dreptunghiul şi X 1, X, X 3 AB, X 4, X 5 BC, X 6, X 7, X 8 CD, X 9, X 1 DA astfel încât AX 1 = BX 4 = CX 6 = DX 9 = 3m, AX 1 = BX 3 = CX 5 = DX 8 = 4 m şi X 1 X = X X 3 = X 4 X 5 = X 6 X 7 = X 7 X 8 = X 9 X 1 = 5m. Pentru această configuraţie, toate cerinţele din enunţ sunt îndeplinite. 149
Clasa a VIII-a VIII.186. Pe planul triunghiului ABC cu m(ba) = 9 se ridică perpendiculara AP. Notăm cu M şi N proiecţiile punctului A pe P B, respectiv P C. Demonstraţi că ÕABN ÖACM dacă şi numai dacă P B = P C. Gabriel Popa, Iaşi Soluţie. Cum AC AP şi AC AB, rezultă că AC (P AB), deci AC P B. Avem şi AM P B, aşadar P B (CAM). Analog se arată că P C (BAN). Fie {H} = BN CM; atunci AH = (CAM) (BAN) şi, din cele de mai sus, obţinem că P B AH şi P C OH, adică AH (P BC). În triunghiul P BC, CM şi BN sunt înălţimi. Se obţine uşor că P B = P C dacă şi numai dacă CM = BN. UnghiurileÕABN şiöacm sunt congruente dacă şi numai dacă AB = AC (via triunghiurile dreptunghice HAB şi HAC), fapt care se petrece dacă şi numai dacă BN = CM (via triunghiurile dreptunghice ABN şi ACM). VIII.187. Determinaţi numerele reale x, y şi z, ştiind că x 4 + 7y = 3(y 3 + 7), y 4 + 7z = 3(z 3 + 7) şi z 4 + 7x = 3(x 3 + 7). Vasile Chiriac, Bacău Soluţie. Adunând membru cu membru relaţiile din enunţ, obţinem căp(x 4 + 3x 3 + 7x + 81) =, adicăp(x + 3) (x 3x + 9) =. Cum (x + 3) şi x 3x + 9 >, rezultă că x + 3 = y + 3 = z + 3 =, aşadar x = y = z = 3. VIII.188. Dacă x şi y sunt numere reale pentru care au sens radicalii, arătaţi că 44 x y + 76 + 6 151 4x + y + 7x + 7y + 35 15. Cristian Pătraşcu şi Andrei Spătaru, elevi, Craiova Soluţia 1 (Păucă Georgiana-Sânziana, Hălăucă Andrei, elevi, Truşeşti (Botoşani)). Se aplică inegalitatea mediilor pentru fiecare termen al sumei din membrul stâng: 44 x y + 76 44 + (x y + 76), 6 7 + (755 x + y) 151 4x + y, 7 + (x + y + 5) 7x + 7y + 35. Prin adunarea acestor inegalităţi, se obţine imediat inegalitatea cerută. Soluţia (a autorilor). Notăm cu A numărul din membru stâng al inegalităţii din enunţ. Folosind inegalitatea C-B-S, avem: A (44 +(6 ) +( 7) )((x y + 76) + (755 x + y) + (x + y + 5)) = 15 15, de unde cerinţa problemei. VIII.189. Dacă x, y, z sunt numere reale, arătaţi că (3x y + z) 4 + (x + 3y z) 4 + (x y 3z) 4 16 7 (x + y + z)4. Constantin Dragomir, Piteşti Soluţie. Cum 3(u +v +w ) (u+v+w), u, v, w R, avem că 3(a 4 +b 4 +c 4 ) (a + b + c ) + b + c) (a (a + b + c)4 =, deci a 4 + b 4 + c 4 (a + b + c)4. 3 9 7 Luăm a = 3x y + z, b = x + 3y z şi c = x + y + 3z şi obţinem inegalitatea din enunţ. Avem egalitate când a = b = c, deci pentru x = y = z. VIII.19. Fie a 1, a,..., a n [ 1, ) (, 1] şi x 1, x,..., x n [1, ), astfel 15
încâtèx 1 a 1 +Èx a +... +Èx n a n = x 1 a 1 + x a +... + x n a n. Arătaţi că x 1 + x +... + x n n. Când se atinge egalitatea? Cecilia Deaconescu, Piteşti Soluţie. Observăm căèx k a k x k (această inegalitate revine, după calcule, la (x k a k ) ), cu egalitate dacă şi numai dacă x k = a k a k. Ţinând cont de egalitatea din enunţ, decucem că x 1 = a 1, x = a,..., x n = a n şi atunci x 1 + x +... + x n = (a 1 + a +... + a n) (1 + 1 +... + 1) = n. Avem egalitate dacă şi numai dacă a k { 1, 1} şi x k =, oricare ar fi k {1,,..., n}. VIII.191. Rezolvaţi în numere întregi ecuaţia 13x + 14x + 1 = 9 x. Dan Popescu, Suceava Soluţia 1 (Păucă Georgiana-Sânziana, Truşeşti (Botoşani)). Evident, x = este soluţie a ecuaţiei. Căutăm soluţiile x N. Scriind ecuaţia în forma (x + 1)(13 + 1) = 9 x sau, încă, (x + 1)[1z + (x + 1)] = 9 x, deducem că 3 x + 1, adică x = 3k 1, k N. Înlocuind în ecuaţia precedentă, obţinem ecuaţia: k(13k 4) = 93k. Cum k = 1 este o soluţie, rezultă că ecuaţia iniţială are soluţia x =. Arătăm acum că ecuaţia în k nu are soluţii k 1. Într-adevăr, dacă ar exista un astfel de k, am avea k 9 3k şi 13k 4 9 3k. De aici, ţinând seama şi de faptul că 13k 4 1, rezultă că 3 k şi 3 13k 4. Dar 13k 4 = (1k 3) + (k 1), deci 3 k 1, în contradicţie cu 3 k. În concluzie, ecuaţia dată are soluţiile şi. Soluţia (a autorilor). Se obervă că x = este soluţie. Ecuaţia nu admite soluţii negative, deoarece membrul stâng ar fi număr întreg, în timp ce 9 x Q\Z, x Z. Dacă x N, ecuaţia se scrie sub forma (x + 1)(13x + 1) = 3 x ; rezultă că x + 1 = 3 a, 13x+1 = 3 b, cu a, b N, a+b = x, a < b. Deducem că 1x = 3 b 3 a = 3 a (3 b a 1) şi, cum x = 3 a 1../3, obţinem că a = 1, de unde x =. În concluzie, soluţiile ecuaţiei date sunt x {, }. Soluţia 3 (Hălăucă Andrei, elev, Truşeşti (Botoşani)). Se constată direct că x = şi x = sunt soluţii ale ecuaţiei. Acestea sunt singurele soluţii, căci parabola f(x) = 13x + 14x + 1 şi exponenţiala g(x) = 9 x, x R, nu pot avea mai mult de două puncte de intersecţie. VIII.19. Dacă n este număr natural nenul, arătaţi că A = n 1 ( n 1)( n+1 1) nu poate fi cub perfect. Lucian Tuţescu şi Liviu Smarandache, Craiova Soluţia 1 (Hălăucă Andrei, elev, Truşeşti (Botoşani)). Vom arăta că ( n 1) 3 < A < ( n ) 3, de unde va rezulta afirmaţia cerută. Într-adevăr, avem A < n 1 n n+1 = 3n = ( n ) 3, iar faptul că A > ( n 1) 3, adică n 1 ( n 1)( n+1 1) > ( n 1) 3, se verifică prin calcul direct. Soluţia (a autorilor). Pentru n = 1, obţinem A = 3, care nu este cub perfect. Fie n şi presupunem, prin absurd, că A este cub perfect; cum n 1 este par şi n 1, n+1 1 sunt impare, rezultă că n = 3k + 1, unde k N. Se observă că n 1 şi n+1 1 sunt prime între ele, deci vom avea n 1 = m 3 şi n+1 1 = p 3. Atunci m 3 + 1 = n, deci (m + 1)(m m + 1) = n ; însă m m + 1 este număr impar şi se impune ca m m + 1 = 1, de unde m = 1, adică n = 1, contradicţie. 151
Clasa a IX-a IX.156. Pentru a, b R, se consideră ecuaţia x + ax + b = şi funcţia f : R\n a ax + b f(x) = o R, x + a. Ştiind că ecuaţia are soluţiile reale distincte x 1 şi x, arătaţi că, pentru orice t R\n a, x 1, x o, între t şi f(t) se află exact una dintre soluţiile ecuaţiei. Mihai Dicu, Craiova Soluţie. Considerăm funcţia g : R R, g(x) = x + ax + b. Prin calcul, se arată că g(f(t)) = g(t) ; cum >, rezultă că g(t) şi g(f(t)) au semne contrare şi, (t + a) de aici, concluzia problemei. IX.157. Fie a, b şi c numere reale astfel încât a + b + c = abc. Demonstraţi că É1 + 1 a +É1 + 1 b +É1 + 1 c 3. Andrei Nicolaescu şi Cristian Pătraşcu, elevi, Craiova Soluţia 1 (a autorilor). Cum a + b + c = abc, există un triunghi ABC astfel încât a = tg A, b = tg B şi C = tg C. Inegalitatea din enunţ revine lap 1 sin A 3. Folosind inegalitatea lui Bergström şi binecunoscuta sin A + sin B + sin C 3 3, 1 (1 + 1 + 1) obţinem căp sin A Psin A 9 3 3 = 3 şi, astfel, soluţia este completă. Soluţia (Titu Zvonaru). Observăm că 1 a + 1 b + 1 = c 1 a + 1 b + 1 c + (ab + bc + ca) 1 abc ab + 1 bc + 1 + = 3. Folosind definiţia modulului unui număr ca complex şi inegalitatea triunghiului, avem: 1 + 1 a i 3 + 1 a + 1 b + 1 c i= =X Xr1 + 1 a =Ê9 + 1 a + 1 b + 1 c 9 + 3 = 3. IX.158. Se consideră triunghiul ABC cu m(ba) 6. Arătaţi că 3 a max{b, c}. 3 Ovidiu Pop, Satu Mare Soluţie. Cum m(ba) hπ 3, π, avem cos A 1,, 1 deci b + c a 1 bc, aşadar b + c bc a. Dar b + c bc =b c Œ 3 + c c Œ 3, prin urmare a c Œ 3, adică 3 3 a c. Analog se arată că 3 3 a b. IX.159. Pe laturile AB, BC şi CA ale triungiului ABC se consideră punctele P, M, respectiv N astfel încât 3AP = BP, iar cevienele AM, BN şi CP să fie 15
concurente. Dacă raportul ariilor triunghiurilor MNP şi ABC este 6, arătaţi că 5 una dintre cevienele AM şi BN este mediană. Andi Brojbeanu, elev, Târgovişte Avem: Soluţie. AP AB AN 3 5 S MNP S ABC NC BP BA BM k k + 1 3 k + 3 Egalând S MNP S ABC cu 6 5 Dacă BM MC = 1 S AP N S BMP S ABC S ABC BC CM CB CN CN = k, din teorema lui Ceva obţinem că NA = 3 k. S CMN S ABC = 1 k k + 3 CA = 1 5 1 k + 1 = 1 1 5 1k + 13k + 15 k + 5k + 3. şi efectuând calculele, obţinem ecuaţia k 5k+3 =, cu soluţiile k 1 = 1 şi k = 3. În primul caz, BM = MC, în cel de-al doilea, CN = NA. IX.16. Fie AB baza mare a trapezului ABCD, iar M, N, P şi Q mijloacele segmentelor AD, BC, AC, respectiv BD. a) Demonstraţi că ABCD este patrulater circumscriptibil dacă şi numai dacă P Q MN = sin(a + B) sin A + sin B. b) Arătaţi că ABCD este trapez isoscel circumscriptibil dacă şi numai dacă P Q MN = cos A. Claudiu-Ştefan Popa, Iaşi Soluţie. a) Ducem CE AD, cu E AB; din BCE, folosind teorema sinusurilor, obţinem că BC D C sin A = CE sinb = BE sinõbce. Însă CE = AD, BE = AB CD şi sinõbce = sin(π M N (ba +ÒB)) = sin(ba +ÒB), deci BC = (AB CD) P Q sin A sin B şi AD = (AB CD) sin(a + B) sin(a + B). Astfel, A E B ABCD este circumscriptibil AB + CD = BC + sin A + sin B AD AB + CD = (AB CD) sin(a + B) P Q MN B P A MN = P Q M N sin A + sin B sin(a + B) sin A + sin B = sin(a + B). sin(a + B) b) Avem = cos A sin A cos B+cos A sin B = sin A cos A+sin B cos A sin A + sin B sin A(cos B cos A) = cos A = cos B A = B, de unde cerinţa problemei. Clasa a X-a X.156. Rezolvaţi în R ecuatiaèx + x x 153 +Èx x + =Èx x. x x Marian Cucoaneş, Mărăşeşti C
Soluţie. Din condiţiile de existenţă pentru radicali găsim că x [1, ). Notăm x = t, deci x = t, t [1, ); ecuaţia devine t + t + t t = t t + t, sau t + t(t 1) = t t, adică t(t + 1)(t 1) = t(t 1). Obţinem că t {1, }, de unde x {1, }. X.157. Fie a, b (, 1) (1, ), cu ab 1. Rezolvaţi în R ecuaţia a x log ab a + b x log ab b = a x b x. Mihai Dicu, Craiova Soluţie. Împărţind în ambii membri prin ax b x, ecuaţia se scrie sub forma f(x) = 1, unde f : R R este definită prin f(x) = 1 log ab a+ 1 log ab b. Considerând b x a x cazurile: (i) a > 1, b > 1; (ii) a < 1, b < 1; (iii) a < 1 < b (sau b < 1 < a) şi ab < 1; (iv) a < 1 < b (sau b < 1 < a) şi ab > 1, se arată că f este, de fiecare dată, funcţie strict monotonă, deci injectivă. Astfel, ecuaţia f(x) = 1 are cel mult o soluţie. Cum f() = 1, rezultă că x = este unica soluţie a ecuaţiei. X.158. Fie a, b R astfel încât ecuaţia z 3 + az + b = să aibă trei soluţii complexe distincte şi cu acelaşi modul. Arătaţi că aceste soluţii sunt afixele vârfurilor unui triunghi echilateral. Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin Soluţia 1 (Hălăucă Andrei, elev, Truşeşti (Botoşani)). Fie punctele A(z 1 ), B(z ), C(z 3 ). Ele sunt trei puncte distincte pe cercul C(O, R), unde R = z 1 = z = z 3. Centrul de greutate al triunghiului ABC are afixul z = 1 3 (z 1 + z + z 3 ) =, conform uneia dintre relaţiile Viète relativ la ecuaţia z 3 + az + b =. Aşadar, pentru triunghiul ABC originea este atât centrul cercului circumscris cât şi centrul său de greutate, deci el este echilateral. Soluţia (a autorilor). Dacă z 1, z şi z 3 sunt soluţiile ecuaţiei din enunţ, atunci z 1 + z + z 3 =, z 1 z + z 1 z 3 + z z 3 = a şi z 1 z z 3 = b. Dacă z 1 = z = z 3 = r, atunci: z 1 + z + z 3 = r + r + r = r (z 1 z + z 1 z 3 + z z 3 ) = z 1 z z 3 z 1 z z 3 a = z 1, z, z 3 sunt rădăcinile cubice complexe ale lui b. Astfel, este adevărată cerinţa problemei. a X.159. Dacă a, b, c, d şi e sunt numere reale pozitive, arătaţi căp 5 bcde Pa. Mihai Crăciun, Paşcani Soluţia 1. Din inegalitatea mediilor, obţinem că a5 5 5ra +b+c+d+e 5 bcde bcde bcde a = 5a şi încă patru relaţii similare. Adunând membru cu membru, rezultă căp 5 bcde + 4Pa 5Pa, de unde inegalitatea dorită. Pa 5 Soluţia. Funcţia putere este convexă; din inegalitatea lui Jensen, Pa 6 a 6. AtunciP 5 =Pa6 bcde =Pa. 6 5 Pa abcde 5 abcde 154 (Pa)(Pa 5 = )5 (Pa) ( 5 abcde) 5 abcde abcde 5
X.16. Demonstraţi că, în orice triunghi ascuţitunghic, este adevărată inegalitatea cos 4 A + B cos4 + C cos4 3 16 + r R. Neculai Roman, Mirceşti, Iaşi Soluţie. Avem: cos 4 A = 1 (cos A + 4 cos A + 3) şi încă două relaţii similare. 8 AtunciPcos 4 A = 1 8 (Pcos A + 4Pcos A + 9) = 1 [( 1 4 cos A cos B cos C) + 8 41 + R+9i= r 1 4r (1 4 cos A cos B cos C + 8 R ) 1 8 1 1 + 4r R = 3 16 + r R. Clasa a XI-a XI.156. Fie n N, n. Spunem că matricele A, B M n (R) sunt legate dacă AB + BA = O n. a) Arătaţi că există două matrice legate care nu comută. b) Dacă A şi B sunt legate, demonstraţi că det(a + B ). Dumitru Crăciun, Fălticeni Soluţie. a) De exemplu, luăm A = ˆ1............... 1 şi B = ˆ... 1.......... 1... b) Dacă AB + BA = O n, atunci (A + B) = A + B, prin urmare det(a + B ) = [det(a + B)]. XI.157. Fie α, β R, α β şi şirul (x n ) n 1 definit prin x 1 = α, x = β şi x n+ + x n x n+1, n N. Dacă şirul dat este convergent, arătaţi că α = β. Răzvan Drînceanu şi Liviu Smarandache, Craiova Soluţie. Din npk=1 (x k+ + x k ) npk=1 x k+1 obţinem că x n+ + x 1 x n+1 + x, deci x n+ x n+1 β α, n N. Atunci lim (x n+ x n+1 ) β α, de unde n β α. Însă β α, prin urmare α = β. XI.158. Dacă x, y R, x 1, arătaţi că x sin y + x cos y x + 1. D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti Soluţie. Pentru a [, 1], definim f : [1, ) R, f(x) = x a + x 1 a x 1. Cum f (x) = ax a 1 +(1 a)x a 1 şi f (x) = a(a 1)(x a +x a 1 ), x 1, deducem că f este descrescătoare, deci f (x) f (1) =. Atunci f este descrescătoare, prin urmare f(x) f(1) =. În concluzie, xa + x 1 a x + 1, x [1, ), a [, 1], cu egalitate pentru x = 1 sau a {, 1}. Luând a = sin y, obţinem cerinţa problemei. XI.159. Fie a R\{ 1, } şi f : R R o funcţie continuă în, cu f() = şi astfel încât af(ax)+f(x) = f(a x)+af(a 1 x), x R. Arătaţi că f(a k x) = a k f(x), x R, k Z. Sven Cortel, Manchester, UK 155
Soluţie. Considerăm funcţia g : R R, g(x) = f(ax) f(a 1 x); relaţia din enunţ se scrie sub forma ag(x) = g(ax), x R. Prin inducţie, se arată că a k g(x) = g(a k x), k Z, x R. I. Dacă a = 1, concluzia este evidentă. II. Dacă a ( 1, ) (, 1), arătăm întâi, prin inducţie, că f(a n x) f(x) = g(a n 1 x) + g(a n 3 x) +... + g(ax). Atunci f(a n x) f(x) = ag(x) (1 + a +... + a n ) = ag(x) an 1 a. Trecem la limită după n şi obţinem că f(x) = a 1 a 1 g(x) = 1 a 1 g(ax) = 1 a 1 (f(a x) f(x)), deci a f(x) = f(a x). Trecem x a 1 x şi deducem că af(a 1 x) = a 1 f(ax), prin urmare af(x) + f(x) = a f(x) + a 1 f(ax), de unde (1 a )f(x) = a 1 (1 a )f(ax), prin urmare af(x) = f(ax), x R. Se arată acum uşor, prin inducţie, că are loc cerinţa problemei. III. Dacă a (, 1) (1, ), notăm b = a 1 ( 1, 1) şi demonstrăm prin inducţie, că f(x) f(u n x) = g(u n 1 x) + g(u n 3 x) +... + g(ux) şi soluţia continuă ca în cazul II. XI.16. Fie (x n ), (y n ) şi (z n ) şiruri de numere întregi definite prin relaţiile x n+1 = y n + z n, y n+1 = x n + z n şi z n+1 = x n + y n, n N, unde x 1, y 1, z 1 sunt numere întregi date. Demonstraţi că există a, b, c, d, e, f, g Z (care se pot alege într-o infinitate de moduri esenţial distincte) pentru care ax n + by n + cz n + dx n y n + ex n z n + fy n z n = g, n N. Marian Tetiva, Bârlad Soluţie. Considerăm şirul (g n ) de termen general g n = ax n +by n +cz n +dx n y n + ex n z n + fy n z n. Impunem condiţia g n+1 = g n, n N ; folosind relaţiile de recurenţă obţinem, identificând coeficienţii lui x n, y n,..., y n z n, sistemul de ecuaţii b + c + f = a, a + c + e = b, a + b + d = c, a + d + e =, b + d + f =, c + e + f =. Cum acest sistem admite soluţia (a, b, c, a b + c, a + b c, a b c), a, b, c Z, concluzia rezultă; desigur, odată ce am fixat a, b, c, d, e, f, trebuie ales g 1 = ax 1 + by 1 + cz 1 + dx 1 y 1 + ex 1 z 1 + fy 1 z 1. Clasa a XII-a XII.156. Determinaţi funcţiile derivabile y = y(x), x (, ), cu proprietatea că x(x + 1) y (x) + y(x) = e x (x + 1). Adrian Corduneanu, Iaşi x Soluţie. Observând că forma 1 = x + 1 (x + 1), ecuaţia se scrie sub x y x + 1 = e x x. Rezultă că există c R astfel încât x + 1 y = ex +c, prin urmare funcţile căutate sunt cele de forma y c (x) = (x + 1)(ex + c), x (, ), c R. x 156
=Z x XII.157. Calculaţi I Z =Z Soluţie. Avem: =Z (x + ) + 6 cos (x + ) 4 cos x dx Z Z cos x (x + ) 3 Z(x+) 3 cos sin x dx cos x cos x dx (x + ) (x + ) 3 + sin x (x + ) XII.158. 1 Considerăm a n =Zπ + 4x + 1 (x + dx+6z ) 4 cos x dx, unde x (, ). =Z Mihaela Berindeanu, Bucureşti x (x + ) 3 cos x (x + ) cos x dx 3 Z (x + ) dx x cos x (x + ) dx (x + ) (x + ) 3 sin x dx = cos x sin x dx = (x + ) (x + ) cos x (x + ) 3 + C. π 6 1 sin n x 1 + sin n x ctg x dx, n N. Determinaţi limita şirului (a n ) n 1. Ionel Tudor, Călugăreni şi Stelian Piscan, Giurgiu Soluţie. Cu substituţia sin x = t, obţinem că 1 t a n =Z1 n dt t =Z1 n 1 (1 t n ) 1 + tn t t n (1 + t n ) dt = (tn = y) = 1 Z1 n 1 n (ln y ln(1 + y))1 1 ln. 1 n = 1 y 1 y(1 + y) dy = n 1 + n ln 1 1 n +n ln ln, prin urmare lim a n = n XII.159. Fie f : [, 1] R o funcţie continuă astfel încâtr1 f(x)dx =. Demonstraţi că (R1 xf(x)dx) R1 (1 x )f (x)dx. Florin Stănescu, Găeşti Soluţie. Folosind formula de integrare prin părţi, Z1Z1 f(t)dtdx =Z1 Z1 x f(t)dtdx =Z1 xf(x)dx. Utilizând C-B-S (forma x x căz1 integrală), obţinem xf(x)dx = Z1 Zx f(t)dt dx Z1 1 dx Z1 Zx Z1 f(t)dt x Zx problemei. dx Z1 Zx f (t)dt dx = 1 Z1 1 dt Zx f (t)dt dx =Z1 x Zx f (t)dt dx = f (x)dx Z1 x f(x)dx, de unde concluzie XII.16. Fie P k R[X], k N, cu proprietatea că P k (n) = S k (n), n N, unde S k (n) = 1 k + k +... + n k. Demonstraţi că P k este polinom de grad k + 1, care se divide cu X(X + 1). Ovidiu Pop, Satu-Mare Soluţie. Avem că (x + 1) k+1 x k+1 = Ck+1 1 xk + Ck+1 xk 1 +... + Ck+1 k x + Ck+1 k+1, x R, k N. Dând lui x valorile 1,,..., n şi sumând egalităţile obţinute, deducem că (n + 1) k+1 (n + 1) = C 1 k+1s k (n) + C k+1s k 1 (n) +... + C k k+1s 1 (n), 157
oricare ar fi k N şi n N. Cum S k (n) = P k (n), k N şi relaţia precedentă are loc pentru o infinitate de valori ale lui n, rezultă că (X + 1) k+1 (X + 1) = C 1 k+1p k + C k+1p k 1 +... + C k k+1p 1, k N. Atunci P k = 1 k + 1 [(X + 1)k+1 (X + 1) (C k+1 P k 1 +... + C k k+1 P 1)] şi, evident, P 1 = 1 X(X + 1). Din acest moment, cerinţele problemei se demonstrează prin inducţie matematică. Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 1/15 A. Nivel gimnazial G76. Determinaţi valoarea maximă a numărului real α pentru care x3 a + y3 b αxy(x + y), oricare ar fi numerele reale pozitive x, y, a şi b. a + b Alexandru Blaga, Satu Mare Soluţie. În soluţia problemei IX.15 (a se vedea RecMat 1/15, p.63) s-a arătat că x3 a + y3 xy(x + y), x, y, z, b (, ), deci α max. Pe de altă parte, pentru b a + b a = b şi x = y, obţinem că x3 a αx3, x, a (, ), prin urmare α. În a concluzie, valoarea maximă cerută a lui α este. G77. Fie x 1, x,..., x n+1 (unde n N ) numere reale pozitive cu n+1 x i = Pi=1 n + 1. Arătaţi că n+1 Pi=1 x i nx i + n + 1 1. Lucian Tuţescu şi Teodora Rădulescu, Craiova Soluţie. Din inegalitatea mediilor, nx 1 +n+1 (n+1) n+1è(x 1 )n 1 n+1. Atunci x 1 nx 1 + n + 1 x 1 1 = (n + 1) n+1èx n n + 1 n+1 1 x 1 n + 1 x1 + 1 +... + 1 = n + 1 1 x 1 + n. Scriem încă n inegalităţi similare şi, prin sumarea lor, obţinem că (n + 1) n+1 x i Pi=1 nx i + n + 1 1 (n + 1) n+1 (x i + n) = 1. Se obţine egalitate pentru x 1 = Pi=1 x =... = x n+1 = 1. G78. Demonstraţi că nu există numere naturale nenule n pentru care numărul a n = 5 n + 5 n+1 +... + 5 n 1 să fie pătrat perfect. Radu Miron, elev, Iaşi Soluţie. Presupunem, prin absurd, că a n ar fi pătrat perfect pentru un anumit n N. Cum a n = 5 n (1 + 5 +... + 5 n 1 ) şi numerele 5 n şi b = 1 + 5 +... + 5 n 1 158