ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ Εφαρμ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Εαρινό εξάμηνο 7/8
Άσκηση Μόνιμα σφάλματα & ευστάθεια συστημάτων ΟΜΑΔΑ Α - 7//8 Δίνεται το παρακάτω κλειστό σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G : α Υπολογίστε το r r β Βρείτε σε κάθε περίπτωση κατάλληλο ελεγκτή ώστε το μόνιμο σφάλμα να είναι α Μόνιμο σφάλμα r R R lim E lim lim G r : R : R lim E lim lim G β Προσδιορισμός ελεγκτή C : lim lim Για r R πρέπει C ώστε R lim E lim lim C G Για r R lim E lim lim C G R πρέπει C ώστε!!
Δίνεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο Q a b Εξετάστε με το κριτήριο Ruh την ευστάθεια σχεδιάστε το πεδίο ευστάθειας O πίνακας οι συντελεστές Ruh είναι: a b c b b b a όπου b a 6 b b c b b αντικαθιστώντας το b b c a όταν 6b 6 a b 6 a είναι b a 6 είναι b a όταν a 6, b έχουμε: c b b 6b 6 a 6 a Επίσης d b Σχεδιάζουμε την περιοχή ευστάθειας:
Άσκηση Μόνιμα σφάλματα & ευστάθεια συστημάτων ΟΜΑΔΑ B - 8//8 Δίνεται σύστημα ελέγχου με μόνιμο σφάλμα lim lim E : α Υπολογίστε το r G β Υπολογίστε το r G γ Βρείτε σε κάθε περίπτωση τον κατάλληλο ελεγκτή ώστε το μόνιμο σφάλμα να είναι Μόνιμο σφάλμα α β r R :, G R lim E lim lim G r R, G : lim R lim E lim G lim lim γ Προσδιορισμός ελεγκτή : Για r R πρέπει C D ώστε C R lim E lim lim C G Για r R lim E lim lim C G D R πρέπει C ώστε D!! D 5
Δίνεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο Q a 8 a 8a Εξετάστε με το κριτήριο Ruh την ευστάθεια σχεδιάστε το πεδίο ευστάθειας O πίνακας οι συντελεστές Ruh είναι: a b 8a 8 8a a b 8a a8 a a a a 6a Άρα ευσταθές όταν a 6a Η εξίσωση a 6a δίνει τον παρακάτω πίνακα τιμών: a 5 8 Το πεδίο ευστάθειας είναι: 5
Άσκηση Τόπος ριζών & Σύνθεση με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών ΟΜΑΔΑ Α&Β - 8/5/8 Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G α Βρείτε ελεγκτή PD με συνάρτηση μεταφοράς C z ώστε το κλειστό σύστημα ελέγχου να έχει επιθυμητούς πόλους j, β Σχεδιάστε τον τόπο ριζών του νέου συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς z ' G α Προσδιορισμός ελεγκτή PD C z Επιθυμητοί πόλοι: j, Υπολογισμός της ρίζας z με το κριτήριο γωνιών: 8 z είναι 8 an 7, άρα 8 z 5 an an 5 8 z 9 z 5 5 Υπολογισμός του με το κριτήριο μέτρων: z 9 Εφόσον 5, z 9 9, άρα C z 9 ελεγκτής PD 6
' 9 β Tόπος ριζών: G Το σύστημα έχει n πόλους: ασύμπτωτη: 8, m ρίζα: z 9, n m, άρα Σημεία διακλάδωσης: dg d, δηλαδή 56 με λύσεις:, 68 αποδεκτά Σημεία τομής με το φανταστικό άξονα: Q Q P 56 7 56 Για j είναι: Q j j 56 j 56 οπότε πρέπει: R Q j 56 mq j ή 5 Οπότε η εξίσωση γίνεται: 8 88 96 8 Το σύστημα είναι ευσταθές 5 οι δύο πόλοι είναι οι επιθυμητοί j, 7
Άσκηση Αρμονικά διαγράμματα Nyqui ΟΜΑΔΑ Α - /5/8 Σχεδιάστε το διάγραμμα Nyqui συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς G Βρείτε ασύμπτωτες, σημεία τομής με τον πραγματικό τον φανταστικό άξονα κλπ Επίσης υπολογίστε συνθήκη ευστάθειας περιθώριο κέρδους του κλειστού συστήματος επαληθεύστε τα αποτελέσματα με το κριτήριο Ruh G P, με Q n, m τύπος a έχουμε j : a 9, n m 7 [ m n m n m a n a ] [ ] j j G j j j j j j j j όπου R G j mg j : R G j ασύμπτωτος mg j : R G j mg j 8
Τομή με πραγματικό άξονα: y mg j Για R G j είναι: 5 x Περιθώριο κέρδους: x 5, άρα Επαλήθευση ευστάθειας - Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: Q Q P O πίνακας οι συντελεστές Ruh είναι: b b Οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές Άσκηση Αρμονικά διαγράμματα Nyqui ΟΜΑΔΑ B - /5/8 Σχεδιάστε το διάγραμμα Nyqui συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς 8 G Βρείτε σημεία τομής με τον πραγματικό τον φανταστικό άξονα καθώς τη συνθήκη ευστάθειας το περιθώριο κέρδους του κλειστού συστήματος επαληθεύστε τα αποτελέσματα με το κριτήριο Ruh 8 P G, με n, m τύπος a Q έχουμε j : a, n m 7 [ m n m n m a n a ] [ ] G j 8 j j j j j j 8 j j 8 j8 G j 9
8 5 όπου R G j 8 8 m G j : R G j mg j : R j G m G j Τομή με φανταστικό άξονα: x R G j 8, άρα 8 89 5 Για 89 8 898 8 είναι: y mg j 8 8 Τομή με πραγματικό άξονα: y mg j 8, άρα Για 8 είναι: x R G j Περιθώριο κέρδους: 5 x 8 Επαλήθευση ευστάθειας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: Q Q P 8 5 8 8 O πίνακας οι συντελεστές Ruh είναι: 5 b 8 8 8 b 8 8 Οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές 5
Άσκηση Εξισώσεις στο Χώρο κατάστασης & λύση ΟΜΑΔΑ Α&Β - 5/6/8 Έστω πραγματικό σύστημα με εξισώσεις: x x u x y x x α Υπολογίστε σχεδιάστε τις ελεύθερες χρονικές αποκρίσεις δηλαδή u των μεταβλητών x, x καθώς την τροχιά x, x με αρχικές συνθήκες x β Βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς από τους χαρακτηριστικούς πίνακες A, B, C α Το ελεύθερο σύστημα u έχει εξίσωση: x x x A Η λύση είναι X x ή x x, όπου A ή A A Οπότε A A Με ανάλυση σε κλάσματα είναι: A A A A A A, διότι A A A A, διότι A A A A, διότι A A A A, διότι A A
Άρα Και Άρα x ή x x x x Διερεύνηση μέγιστο ή ελάχιστο: ln 6 6 d dx x 7 6 ln 6 6 d dx ή 7 m οπότε 5 7 7 x m δηλαδή ελάχιστο Χρονικές αποκρίσεις: Τροχιά κατάστασης
β Συνάρτηση μεταφοράς B C G, όπου A Οπότε: C B C G