KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD

KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31

Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed objektid Järjendid Permutatsioonid Kombinatsioonid 3 Induktsioon Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 2 / 31

Järgmine punkt 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed objektid Järjendid Permutatsioonid Kombinatsioonid 3 Induktsioon Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 3 / 31

Mõned tähistused Lõplik naturaalarvude hulk [n] tähistagu naturaalarvude alamhulka {1,...,n} n-hulk ja k-alamhulk Nimetame n-hulgaks hulka, mille elementide arv on n. Alamhulka B A nimetame hulga A k-alamhulgaks, kui B = k Iversoni sulud (tulnud matemaatikasse programmeerimiskeelst APL) { 1, kui predikaat P on tõene; [P] := 0, kui predikaat P on väär. Kenneth E. Iverson (1920 2004) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 4 / 31

Näide: lõpliku hulga võimsus Olgu U universaalne hulk siis lõpliku hulga X võimsus on arvutatav elementide loendamise teel: X = 1 = x X = [x X ] = x U = [x X ] x Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 5 / 31

Järjend Definitsioon n-hulga elementidest moodustatud järjestatud k-kohalist loendit nimetatakse järjendiks (ka k-järjendiks). Kaht järjendit loetakse võrdseks, kui nende pikkused ja vastavatel positsioonidel olevad elemendid on samad. Järjendit nimetatakse eesti k. ka ennikuks või korteežiks (ingl. k. tuple). Hulga A elementidest moodustatud järjendit nimetatakse ka stringiks või sõneks tähestikus A. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 8 / 31

Järjendite arv Teoreem 1.5.1 n-hulga k-järjendite arv on n k Tõestus. Järjendi esimese liikme valikuks on n erinevat võimalust, teise elemendi valikuks on n võimalust jne. Seega on k-järjendit võimalik koostada kokku n n... n = n k erineval viisil. Näiteks kahekohalisi järjendeid hulgast [3] on 9 tükki: 11,12,13,21,22,23,31,32,33 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 9 / 31

Järjendite arv (2) Teoreem 1.5.2 Kui järjendi moodustamisel valitakse selle esimene liige k 1 erineva elemendi hulgast, teine element k 2 erineva elemendi hulgast jne ning n-is liige k n erineva elemendi hulgast, siis on võimalike järjendite arv k 1 k 2... k n. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 10 / 31

Permutatsioonid Lõpliku hulga elementide ümberjärjestamist nimetatakse permuteerimiseks ning selle tulemusena saadavaid järjendeid permutatsioonideks. Definitsioon n-hulga A = {a 1,...a n } permutatsiooniks (vahel ka n-permutatsiooniks) nimetatakse üks-ühest kujutust π : [n] A. Põhihulga A kõigi permutatsioonide hulka tähistame sümboliga Π A ning permutatsioonide arvu sümboliga P n = Π A. Hulga [n] permutatsioonide hulka tähistatakse sümboliga S n, st S n = {π(1)...π(n) π Π [n] }. Näiteks: S 3 = {123,132,213,231,312,321}. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 12 / 31

Permutatsioonide arv Kuna permutatsioonis esineb hulga iga element täpselt ühel korral, siis n-permutatsiooni esimest elementi saab valida n erineval viisil, teist elementi n 1 erineval viisil jne. Seega on n-hulga A kõigi permutatsioonide arv P n = n (n 1) 1 = n!. Seega kehtib Teoreem 1.6.1 n objekti permutatsioonide arv on n!. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 13 / 31

Järjestatud alamhulgad Definitsioon n-hulga A k-permutatsiooniks nimetatakse hulga A mistahes k-alamhulga täielikku lineaarset järjestust a 1 a k, kus a 1 A,,a k A. Näiteks Hulga [3] kõik 2-permutatsioonid on 12, 13, 21, 23, 31, 32 ning 1-permutatsioonid 1,2,3. Variatsioonid k-permutatsioone nimetatakse kirjanduses ka variatsioonideks (v.k - razmeweni ); variatsioonide arvu tähistusi: V k n, A k n Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 14 / 31

k-permutatsioonide arv Teoreem 1.7.1 n-hulga k-permutatsioonide arv on n! = n(n 1) (n k + 1) (n k)! Tõestus. Analoogiliselt Teoreemiga 1.6.1, esimese liikme valikuks on n erinevat võimalust, teise elemendi valikuks on n 1 võimalust jne. kuni k-nda liikme valikuks n k + 1 võimalust. m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 15 / 31

Kombinatsioonid Käesolevas kursuses nimetame kombinatsiooniks (või ka k-kombinatsiooniks) hulga A iga k-alamhulka. Tähistame k-kombinatsioonide hulka sümboliga ( A k) ning kõigi selliste kombinatsioonide arvu sümboliga ( n k), kus n = A. Näiteks Hulga [3] kõik 2-kombinatsioonid moodustavad hulga ( [3] 2 ) = {12,13,23}. Kombinatsioonid loetakse võrdseteks, kui neisse kuuluvad samad elemendid sõltumata järjekorrast. Näiteks 2-kombinatsioonid 12 = 21, kuid 13 23 123. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 17 / 31

Kombinatsioonide arv Teoreem 1.8.1 ( ) n n! = k k!(n k)! Tõestus. n-hulga k-kombinatsiooni võib vaadelda k-permutatsioonina, kuid pidades silmas, et samadest elementidest koosnevad kombinatsioonid on võrsed, elementide järjestusest sõltumata. Seega on k-kombinatsioone k! korda vähem kui k-permutatsioone, sest nii paljudel erinevatel viisidel saab k-hulga elemente ümber paigutada e. permuteerida. m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 18 / 31

Binoomkordajad Kombinatsioonide arvu tähistavat sümbolit ( n k) nimetatakse binoomkordajaks. Binoomkordaja tähisena kasutatakse kirjanduses ka sümboleid C n k,c(n,k), nck, n Ck. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 19 / 31

Binoomi teoreem Teoreem 3.1.1 Iga täisarvu n 0 korral (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k Tõestus. Avades binoomis (a + b) n = (a + b)(a + b) (a + b) sulud saame tulemuseks üksliikmete C k a k b n k summa. Iga üksliikme moodustamiseks tuleb igast tegurist (a + b) valida kas a või b ning selliseid üksliikmeid tekib parajasti nii palju kui mitmel juhul on valitud a. Seega on kordaja C k väärtuseks k-alamhulkade arv n-hulgas. m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 20 / 31

Binoomkordajate omadusi 1 n ( n ) k=0 k = 2 n (n-hulga alamhulkade arv); 2 n k=0 ( 1)k( n k) = 0 (paaris- ja paaritu võimsusega alamhulkade arvud on võrdsed). Tõestus. Valime binoomi teoreemis a = b = 1: ( ) ( n n = k k n k=0 n k=0 ) 1 k 1 n k = (1 + 1) n = 2 n Valime binoomi teoreemis a = 1 ja b = 1: n k=0( 1) k( ) n n ( ) n = k ( 1) k 1 n k = ( 1 + 1) n = 0 k k=0 m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 21 / 31

Veel binoomkordajate omadusi (Teoreem 1.8.2 (a)) 3 ( n k) = ( n n k) ; Tõestus. Seos on lihtne järeldus Teoreemist 1.8.1 : ( ) ( ) n n! n = k k!(n k)! = n k m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 22 / 31

Veel binoomkordajate omadusi (Teoreem 1.8.2 (b)) 4 kui n,k > 0, siis ( ) ( n 1 k 1 + n 1 ) ( k = n ) k. Paneme tähele, et 1 n k + 1 k = k + n k k(n k) = n k(n k). Korrutades seda võrrandit avaldisega (n 1)! ja jagades avaldisega (k 1)!(n k 1)! saame (n 1)! (k 1)!(n k)(n k 1)! + (n 1)! k(k 1)!(n k 1)! = n(n 1)! k(k 1)!(n k)(n k 1)! Sellest saab lihtsustamise tulemusl valemi, mis on samaväärne tõestatava soesega : (n 1)! (n 1)! + (k 1)!(n k)! k!(n k 1)! = n! k!(n k)! m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 23 / 31

Pascali kolmnurk n ( n ) 0 ( n ) 1 ( n ) 2 ( n ) 3 ( n ) 4 ( n ) 5 ( n 6) 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 Blaise Pascal (1623 1662) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 24 / 31

Pascali kolmnurk 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Blaise Pascal (1623 1662) Pascali kolmnurk sümmeetriline vertikaaltelje suhtes. Pascali kolmnurgas võrdub iga arv kahe tema kohal asuva kahe arvu summaga. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 25 / 31

Induktsioon Tähistagu A(z) fakti, et naturaalarvulist parameetrit sisaldav väide A kehtib vähemalt selle parameetri väärtuse z N korral Matemaatilise induktsiooni reegel: A(0) x(a(x) A(x + 1)) xa(x)... ja üldisemal kujul e tugev induktsiooni reegel: z( y(y < z (A(y) A(z))) xa(x) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 27 / 31

Induktsiooni kasutamise näide (1) Koosnegu šokolaaditahvel m n ruudust. Tõestada, et tahvlit mööda jooni murdmise teel tükeldades tuleb teha mn 1 murdmist Baas Kui tahvli mõõtmed on 1 1, saab teha 0 murdmist. Samm Eeldame, et väide kehtib iga tahvli korral, millel on vähem kui k ruutu. Võteme k ruuduga tahvli ning murrame pooleks, nii et ühele jääb c ja teisele d ruutu, sega c < k, d < k ja c + d = k. Kahe tekkinud tüki jaoks kehtib (tugev) induktsiooni eeldus. Tükeldades mõlemad tahvli osad lõpuni on murdmiste arv kokku 1 + (c 1) + (d 1) = c + d 1 = k 1 m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 28 / 31

Veel induktsiooni kasutamisest, seekord VÄÄRAST KASUTAMISEST! Kui tasandil olevad n sirget pole paarikaupa paralleelsed, siis läbivad need sirged kõik ühte punkti. Tõestus. Väide kehtib ühe ja kahe sirge korral. Näitame, et väite kehtimisest n 1 sirge korral järeldub kehtivmine n sirge korral. Olgu meil n sirget a,b,c,d,... Jätame sellest hulgast välja sirge c. Järele jäänud n 1 sirgest peavad induktsiooni eelduse põhjal läbima kõik punkti P. Seetõttu on P sirgete a ja b lõikepunkt. Paneme nüüd sirge c tagasi ja jätame välja sirge d. Jällegi saame n 1 sirget, mille ühine punkt olgu Q, mis on samuti sirgete a ja b lõikepunkt. Järelikult Q = P. Seda ühist punkti läbivad kõik sirged, ka sirged c ja d. m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 29 / 31

Veel induktsiooni kasutamisest, seekord VÄÄRAST KASUTAMISEST! Kui tasandil olevad n sirget pole paarikaupa paralleelsed, siis läbivad need sirged kõik ühte punkti. Tõestus. Väide kehtib ühe ja kahe sirge korral. Näitame, et väite kehtimisest n 1 sirge korral järeldub kehtivmine n sirge korral. Mis on selles tõestuses valesti? välja sirge c. Järele jäänud n 1 sirgest peavad induktsiooni eelduse põhjal läbima kõik punkti P. Seetõttu on P sirgete a ja b lõikepunkt. Paneme nüüd sirge c tagasi ja jätame välja sirge d. Jällegi saame n 1 sirget, mille ühine punkt olgu Q, mis on samuti sirgete a ja b lõikepunkt. Järelikult Q = P. Seda ühist punkti läbivad kõik sirged, ka sirged c ja d. m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 29 / 31

Veel induktsiooni kasutamisest, seekord VÄÄRAST KASUTAMISEST! "Tõestus" kasutab eeldust, et sirgeid on vähemalt 4. Me kontrollisime ainult juhte n = 1 ja n = 2. Juhul n = 3 on väide väär ja on väär ka kõigi järgnevate väärtuste korral. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 30 / 31

Tüüpiline induktsiooni kasutamise näide Näidata, et n j=k ( ) j = k ( ) n + 1 k + 1 Baas. Kui n = k, siis ( k) ( k = k+1) = 1 Samm. Oletame, et väide kehtib n korral ning näitame, et siis kehtib see ka n + 1 korral: n+1( ) j j=k k = = n ( ) ( j n + 1 + j=k k k ( ) n + 2 k + 1 ) = ( ) n + 1 + k + 1 ( n + 1 k ) = Viimane võrdus tuleneb binoomkordajate omadusest (teoreem 1.8.2 (b), Pascali kolmnurge element võrdub kahe vahetult tema kohal asetseva elemendi summaga.) m.o.t.t. Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 31 / 31