Φινόμενο Doppler με επιτχυνόμενο πρτηρητ κι όχι μόνο! Έν πυροσβεστικό όχημ κινείτι με στθερ τχύτητ υ =7Km/h προς κίνητο υ μοτοσικλετιστ. υ Κάποι στιγμ = που πέχουν πόστση d=684m το πυροσβεστικό όχημ ρχίζει ν εκπέμπει χο συχνότητς =44Hz γι χρονικό διάστημ Δ=5s κι ο μοτοσικλετιστς ρχίζει ν κινείτι προς υτό με στθερ επιτάχυνση =m/s. H τχύτητ διάδοσης του χου στον έρ υ=4m/s.. γίνει σε βθμολογημένους άξονες το διάγρμμ της συχνότητς του χου που λμβάνει ο μοτοσικλετιστς σε συνάρτηση με το χρόνο. βρείτε: β. πόσ ηχητικά κύμτ εκπέμπει η πηγ-πυροσβεστικό κι πόσ λμβάνει ο μοτοσικλετιστς - πρτηρητς στο χρονικό διάστημ πό = έως = s; Εξηγείστε γιτί ο μοτοσικλετιστς δεν λμβάνει το ίδιο πλθος κυμάτων με υτό που εκπέμπει η πηγ -πυροσβεστικό στο νωτέρω χρονικό διάστημ; γ. πόσ ηχητικά κύμτ λμβάνει ο μοτοσικλετιστς - πρτηρητς πό = την μέχρι τη στιγμ της συνάντησς του με το πυροσβεστικό όχημ; Εδώ ο μοτοσικλετιστς λμβάνει το ίδιο πλθος κυμάτων με υτό που εκπέμπει η πηγ - πυροσβεστικό στο νωτέρω χρονικό διάστημ; δ. πόσ ηχητικά κύμτ λμβάνει ο μοτοσικλετιστς - πρτηρητς στο χρονικό διάστημ μοτοσικλετιστς - πρτηρητς = έως =s; ε. μέχρι ποιά χρονικ στιγμ κούει χο ο μοτοσικλετιστς - πρτηρητς; πάντηση Βσίλης Τσούνης www.bsounis.gr mail@bsounis.gr
. Η πηγ πυροσβεστικό ενώ ρχίζει ν εκπέμπει χο την, ο μοτοσικλετιστς πρτηρητς ρχίζει ν κούει χο ργότερ, την χρονικ στιγμ, ότν συνντά τ ηχητικά κύμτ, όπως φίνετι στο σχμ. υ υ s s 8s Μέχρι τότε ο μοτοσικλετιστς έχει μεττοπισθεί Δx = κι ο χος κτά Δx = υ Προφνώς Δx Δx = d υ = d.i 4 = 684 4-684 πό όπου βρίσκουμε = s. Άρ ο μοτοσικλετιστς πρτηρητς ρχίζει ν κούει χο ργότερ γι s. Η πηγ πυροσβεστικό κι ο μοτοσικλετιστς πρτηρητς έστω ότι θ συνντηθούν την χρονικ στιγμ. Μέχρι τότε ο μοτοσικλετιστς έχει μεττοπισθεί Δx = κι το πυροσβεστικό όχημ κτά Δx = υ. Προφνώς Δx Δx = d υ = d.i = 684-684 πό όπου βρίσκουμε 8s μοτοσικλετιστς κι το πυροσβεστικό όχημ συνντώντι την = 8s. υ + υ Πριν την συνάντηση ο μοτοσικλετιστς κούει χο με συχνότητ υ - υ υ + υ - υ.i 4 + = 44 4 - = 5 + 9 (.I) γι s < 8s. Άρ ο Γι = =s η λμβνόμενη συχνότητ είνι = 548 Ηz, γι s = 6Ηz κι γι - = 8 s μέσως πριν συνάντηση του μοτοσικλετιστ με το πυροσβεστικό η λμβνόμενη συχνότητ είνι = 69 Ηz, υ - υ Μετά την συνάντηση ο μοτοσικλετιστς κούει χο με συχνότητ υ + υ υ - υ + υ.i 4 - = 44 4 + = 6-8 (.I) γι > 8s. Την χρονικ στιγμ = 8 s μέσως μετά την συνάντηση του μοτοσικλετιστ με το πυροσβεστικό η λμβνόμενη συχνότητ είνι = 6 Ηz. Η γρφικ πράστση της συχνότητς της συχνότητς λψης με τον χρόνο φίνετι στο πρκάτω διάγρμμ. Βσίλης Τσούνης www.bsounis.gr mail@bsounis.gr
69 (Hz) 6 548 5 N 6 6 56, 8 5 (s) 5,5 β. Στο χρονικό διάστημ πό έως s η πηγ εκπέμπει με στθερ συχνότητ =44Hz κι το πλθος των κυμάτων που εκπέμπει είνι - =44 - = 44 κύμτ..i Ο πρτηρητς όμως δεν λμβάνει κύμτ σε όλο νωτέρω χρονικό διάστημ λλά πό s έως s κι επειδ η συχνότητ λψης είνι μετβλητ =5 + 9 (.I) γι s <8s, το πλθος των κυμάτων που λμβάνει υπολογίζετι πό το γρμμοσκισμένο εμβδόν της () πό s έως s [ δείτε την εξγηση στο ο σχόλιο στο τέλος 548 +6 της άσκησης] N = ( - ) N = 67s. Πρτηρούμε ότι ο πρτηρητς έλβε λιγότερ 78 κύμτ κι υτό είνι λογικό γιτί τ κύμτ που εξέπεμψε η πηγ στην περιοχ των s, -,s δεν έχουν φθάσει κόμη στο μοτοσικλετιστ πρτηρητ [ δείτε μι μεγλύτερη νάλυση στο ο σχόλιο στο τέλος της άσκησης]. γ. Μέχρι την χρονικ στιγμ της συνάντησης μοτοσικλετιστ πυροσβεστικού την Βσίλης Τσούνης www.bsounis.gr mail@bsounis.gr 8s η πηγ εκπέμπει με στθερ συχνότητ =44Hz πό έως 8s κι το πλθος των κυμάτων που εκπέμπει είνι -.I =44 8 - = 59 κύμτ. Ο πρτηρητς δεν λμβάνει κύμτ σε όλο νωτέρω χρονικό διάστημ λλά πό έως s 8s κι επειδ η συχνότητ λψης είνι μετβλητ =5 + 9 (.I) γι s <8s, το πλθος των κυμάτων που λμβάνει υπολογίζετι πό το εμβδόν της () πό s έως 548 +69 8s [ βλ.σχμ] N = (8- ) N = 59 κύμτ.
Πρτηρούμε ότι ο πρτηρητς έλβε τον ίδιο ριθμό κυμάτων με υτά που εξέπεμψε η πηγ κι υτό είνι λογικό, γιτί τ όλ τ κύμτ που εξέπεμψε η πηγ συνντούν τον μοτοσικλετιστ κι δεν υπάρχει κθυστέρηση λψης στ κύμτ που εκπέμφθηκν την 8s διότι ο πρτηρητς συνάντησε δη την πηγ. δ. Εδώ θέλει λίγο προσοχ γιτί μετά την 8s πηγ κι πομκρύνετι δη πό υτν. Μετά την πρτηρητ δίνετι πό την σχέση λμβνόμενη συχνότητ είνι Ο πρτηρητς πό s έως ο πρτηρητς έχει προσπεράσει την 8s η συχνότητ λψης πό τον =6-8 (.I). Γι = 8 s =6 Ηz κι = Ηz. κι =s η 8s λμβάνει N = 59. Τ κύμτ που λμβάνει πό 8 s, υπολογίζετι πό το εμβδόν της () [βλ. σχμ] 6 + N = -8 N = 46 κύμτ. Το συνολικό πλθος κυμάτων που έλβε ο πρτηρητς N, ολ = 59 + 46 N, ολ = 86κύμτ. μέχρι την =s είνι ε. Στο χρονικό διάστημ 8 5s το πλθος των κυμάτων που εξέπεμψε η πηγ είνι - =44 5-8 8 κύμτ. Το πλθος υτό ο.i μοτοσικλετιστς το λμβάνει πό Γι = 8 s πλθος των κι η λμβνόμενη συχνότητ είνι 8s μέχρι κάποι χρονικ στιγμ που δη ζητείτι. =6 Ηz κι =6-8. Το 8 κυμάτων που λμβάνει ο πρτηρητς υπολογίζετι πό το εμβδόν της () 6 +6-8 πό = 8 s έως [βλ. σχμ] = -8 576-8 8 = -8 6 = 576-8 -8-4 +86 η λύση της οποίς δίνει = 6,5s που είνι η χρονικ στιγμ μέχρι την οποί κούει τον χο ο μοτοσικλετιστς. ο Σχόλιο: Ο πρτηρητς μέχρι =s λμβάνει λιγότερο πλθος κυμάτων O πρτηρητς μέχρι τ =s έλβε λιγότερ 78 κύμτ πό όσ εξέπεμψε η πηγ κι υτό είνι λογικό γιτί τ κύμτ που εξέπεμψε η πηγ στην περιοχ των s, -,s δεν έχουν φθάσει κόμη στο μοτοσικλετιστ πρτηρητ. Το πλθος των 78 που εξέπεμψε η πηγ με = 44Hz κι δεν τ έλβε ο πρτηρητς ντιστοιχούν σε χρονικό.i διάστημ κι εκπέμφθηκν την χρονικ περιοχ -,s 78 =44 πό όπου =,s δηλδ τ κύμτ που εξέπεμψε η πηγ πό 8,8s έως s δεν έχουν φθάσει κόμη στον πρτηρητ..κι διφορετικά Ο μοτοσικλετιστς την =s έχει δινύσει διάστημ Δx = Δx =. m Eκείνη την στιγμ δέχετι το κύμ που η πηγ εξέπεμψε την χρονικ στιγμ ενώ είχε δινύσει διάστημ Δx = υ - Δx = υ. Ο χος που εξέπεμψε η πηγ την μέχρι Βσίλης Τσούνης www.bsounis.gr mail@bsounis.gr 4
την =s που συνντά τον πρτηρητ δινύει διάστημ Δx = υ -..κι πό το σχμ έχουμε υ - υ 684 4-684 = 8,8s. άρ ο πρτηρητς μέχρι τ s έλβε τ κύμτ που εξέπεμψε η πηγ πό s έως 8,8s. υ υ s ο Σχόλιο: Ο υπολογισμός του πλθους των κυμάτων που λμβάνει ο πρτηρητς ότν η συχνότητ λψης είνι μετβλητ. Εδώ ο πρτηρητς λμβάνει κύμτ με συχνότητ λψης μετβλητ κι συγκεκριμέν γρμμικ συνάρτηση του χρόνου που δίνετι πό την εξίσωση + k (k στθερ ποσότητ). Σε κάποιο πειροστό χρονικό διάστημ [, + d] η συχνότητ λψης μπορεί ν θεωρηθεί στθερ. ν dn το λμβνόμενο πλθος κυμάτων στο χρονικό διάστημ [, + d]η συχνότητ λψης έχει dn εξίσωση ορισμού =. d, (Hz) de d (s) Έτσι το πλθος των λμβνόμενων κυμάτων στο πειροστό χρονικό διάστημ d είνι + d dn d που πό το σχμ φίνετι ότι ισούτι με το εμβδόν του γρμμοσκισμένου τμμτος που με σχεδόν τέλει προσέγγιση τείνει σε ορθογώνιο dn d = de. Το πλθος των λμβνόμενων κυμάτων σε πεπερσμένο χρονικό διάστημ [, ], που είνι στ όρι ισχύος της νωτέρω συνάρτησης, είνι = Ε = Εμβδόν, = dn = de Βσίλης Τσούνης www.bsounis.gr mail@bsounis.gr 5