3.2 Eνα υψιπερατό φίλτρο έχει την εξής µορφή: y(n)=-0.9y(n-1)+0.1x(n). Βρείτε την απόκριση συχνότητας Η(e jω ) για α)ω=0, και β)ω=π Λύση

Transcript

1 Μετπτ. Πρόγρµµ / ΨΕΣ Λύσεις σκ.κεφ DTFT ΚΕΦ. DTFT ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΣΕΩΝ. Βρείτε το φάσµ δηλ. τον Μετσχ. Fourir ικριτού Χρόνου (DTFT γι τ επόµεν σήµτ: x(nδ(n+δ(n-+δ(n- β x(nδ(n+-δ(n- γ x(nu(n+-u(n- x(nδ(n+δ(n-+δ(n- - n - n - Χ x[n] x[n] + + n n β x(nδ(n+-δ(n- Χ x[n] -j(- ω - jsinω - γ x(nu(n+-u(n- Χ n n - x(n -j(-ω + cosω + cosω + cosω -j(-ω j(-ω -j ω -. Eν υψιπερτό φίλτρο έχει την εξής µορφή: y(n-.9y(n-+.x(n. Βρείτε την πόκριση συχνότητς γι ω, κι βωπ - Υ.9Υ +.Χ Υ. - Χ +.9 Γι Γι. ω ( ω π (π -iπ (. Στό σχήµ. δίνετι το διάγρµµ ενός φίλτρου. Βρείτε την πόκριση συχνότητς κι δικιολογείστε τον "ζωνοδιβτό" χρκτήρ του φίλτρου. Τ Τ (ω db x(n + Σχήµ. y(n Κνονικοποιηµένη συχνότητ (Nyquist Σχήµ.β

2 Μετπτ. Πρόγρµµ / ΨΕΣ Λύσεις σκ.κεφ DTFT Από το διάγρµµ βρίσκουµε την εξίσωση διφορών: y(nx(n+.9y(n--.8y(n- Y Χ +.9Υ - -.8Υ Υ Χ [(.9cosω +.8cosω + (.9sinω.8sinω ] / Στο διάγρµµ.β φίνετι η πόκριση συχνότητς που δικιολογεί το φίλτρο ως ζωνοδιβτό.. Στό σχήµ. δεικνύετι η πόκριση συχνότητς ενός φίλτρου που µηδενίζει την πρεµβολή της τροφοδοσίς (6 z σε ΚΓ (ηλεκτροκρδιογράφηµ. εξίσωση διφορών είνι η κόλουθη: y(n.8y(n--.98y(n-+x(n-.9x(n-+x(n- Βρείτε το µέτρο κι την φάση του γι ω κι β ω.π (µε το Matlab frqz π.. β. Σχήµ.. Εν γρµµικό σύστηµ χρκτηρίζετι πό την εξής εξίσωση διφορών: y(n.8y(n-+x(n Βρείτε την πόκριση συχνότητς βυπολογείστε (κι σχεδιάστε την πόκριση y ss (n στη στθερή κτάστση µε διέγερση: x(ncos(.πnu(n Από την Ε έχουµε: j.77 β Γι ω.π (.π K.98 - j.π.8 y ss.98cos(.πn cos(.π(n-...π.π π ω.6 Ν βρεθεί ο DTFT, X, του σήµτος : x(n{ }. X x[n] - jnω + jω + jω.7 Εάν G (ω είνι o DTFT, του σήµτος g (n, ν υπολογισθεί ο DTFT γι τ σήµτ g (n, g (n, g (n που φίνοντι στο σχήµ.7 g (ng (n+g (n- G G +G - g (ng (n-+g (-n+ G - G + jω G - g (ng (n+g (-n+7 G G + 7 G -

3 Μετπτ. Πρόγρµµ / ΨΕΣ Λύσεις σκ.κεφ DTFT g g n n g g n n Σχήµ.7 Πρτήρηση Σν επλήθευση της µορφής g (ng (n-+g (-n+ υπολογίζουµε: Α πο το σχήµ g (, g (,g (, g ( κλπ Β πο την σχέση g (ng (n-+g (-n+ g (g (-+g (+, g ( g (-+g (, κλπ.8 Μι εξίσωση διφορών, νπράστση της µεθόδου ριθµητικής ολοκλήρωσης του Simpson, δίνετι πό την πρκάτω σχέση: y(n y(n- + /{x(n + x(n- + x(n-}. Προσδιορίστε την πόκριση συχνότητς του πρπάνω φίλτρου. : Με εφρµογή του DTFT προκύπτει: Χ Υ * y(n- y(n Γι ω είνι ω κι γι ωπ/ είνι ωπ/ /-.db. 6 x(n- x(n- x(n.9 Ο τύπος της τρπεζοειδούς ολοκλήρωσης µπορεί ν νπρστθεί σν έν IIR ψηφικό φίλτρο µε την πρκάτω εξίσωση διφορών: y(n y(n- +/ {x(n+ x(n-} µε y(-. Ν προσδιορίστε την πόκριση συχνότητς του πρπάνω φίλτρου. : Με εφρµογή του DTFT προκύπτει: Y X * Γι ω είνι ω κι γι ωπ είνι ωπ.. Θεωρείστε έν LTI σύστηµ δικριτού χρόνου µε κρουστική πόκριση που δίνετι πό τη σχέση: h(n(. n u(n. Κθορίστε την πόκριση συχνότητς του συστήµτος κι προσδιορίστε την τιµή της γι ω±π/. Ποιά είνι η στθερή κτάστση y(n του συστήµτος γι είσοδο x(ncos(πn/u(n : κρουστική πόκριση του συστήµτος είνι: h(n{,.,.,., }

4 Μετπτ. Πρόγρµµ / ΨΕΣ Λύσεις σκ.κεφ DTFT Με εφρµογή του DTFT έχουµε: +. + (. + ( κι η τιµή της γι ω±π/ είνι: ωπ/ ω-π/.78 Με την εφρµογή του σήµτος x(ncos(πn/u(n στη στθερή κτάστση το πλάτος προκύπτει (π/.78 κι η φάση θ-8.67 ή -. rad. ηλδή είνι:y ss.78 cos[(nπ/-.].. Ν βρεθεί η πόκριση συχνότητς (DTFT του ψηφικού συστήµτος (φίλτρου που περιγράφετι πό την κόλουθη εξίσωση διφορών: y(n-.8y(n-+.x(n Υ Υ +.Χ Υ Υ.Χ Υ [+.8 - ].Χ Y. Χ Υπολογείστε τον DTFT στο σήµ: x(n{,,,,} θεωρώντς ότι η χρονική στιγµή n ντιστοιχεί στο δείγµ τιµής κι βστο δείγµ τιµής κι γ στο δείγµ τιµής. Σε τι διφέρουν οι τρείς περιπτώσεις. Από τον ορισµό έχουµε; β β γ Οµοίως γ x(n n n x(n n x(n Είνι προφνές ότι οι τρείς DTFT έχουν το ίδιο µέτρο κι διφέρουν κτά έν πράγοντ φάσεως. Το ποτέλεσµ υτό µπορούσε βεβίως ν εξχθεί κι πό την ιδιότητ κθυστέρησης του DTFT. Υπολογείστε κι σχεδιάστε την πόκριση συχνότητς (DTFT του συστήµτος των σκήσεων. κι. µε το Matlab. Τι συµπερίνετε γι τον τύπο των φίλτρων που υλοποιούντι. Χρησιµοποιούµε την εντολή frqz δίνοντς ορίσµτ : Γι το πρώτο (σκηση. b[];a[,-.]; frqz(b,a κι γι το δεύτερο (σκηση. b[.];a[,.8]; frqz(b,a

5 Μετπτ. Πρόγρµµ / ΨΕΣ Λύσεις σκ.κεφ DTFT Magnitud (db ω xπ rad/sampl Magnitud (db ω π rad/sampl Oι πρπάνω υπολογισµοί µπορούν ν γίνουν κι µε πλές εντολές. πχ η συνάρτηση +.8 υπολογίζετι ως εξής: w:pi/:pi; h../(+.8*xp(-j*w; plot(w/pi,*log(abs(h Από την µορφή των ποκρίσεων µέτρου φίνετι ότι το πρώτο είνι βθυπερτό φίλτρο κι το δεύτερο υψιπερτό.. Υπολογείστε την πόκριση µέτρου κι τις κρουστικές ποκρίσεις h (n, h (n των συστηµάτων µε DTFTs :.7 κι j +.7. ω Tι πρτηρείτε. Απο τ ζεύγη των µετσχηµτισµών DTFT γνωρίζουµε ότι h (n.7 n u(n κι h (n(-.7 n u(n Με το matlab βρίσκουµε κι σχεδιάζουµε (εντολές: frqz, impz Magnitud (db.7 Magnitud (db ω Πρτηρούµε ότι οι δύο υτές συνρτήσεις ποτελούν συµµετρικά ως προς ωπ/ φίλτρ. Το πρώτο είνι βθυπερτό κι το δεύτερο υψιπερτό h (n.7 n u(n. h (n(-.7 n u(n. -. -