ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά ένα ύνοο το οποίο είναι αποτέεµα µιας απεικόνιης υνάρτηης των τοιχείων του δειγµατοχώρου τους πραγµατικούς αριθµούς. Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουµε το παρακάτω παράδειγµα: έτω ότι ρίχνουµε δύο νοµίµατα τότε ως γνωτόν ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι ίος µε: Ω ΚΚ ΚΓ ΓΚ ΓΓ} Ας υποθέουµε ότι µας ενδιαφέρει ο αριθµός των Κ τα οποία εµφανίζονται και ας υµβοίουµε τον αριθµό αυτό µε Χ. Τότε εάν κατά την εκτέεη του πειράµατος υµβεί το γεγονός ΚΚ η αντίτοιχη τιµή του Χ είναι. Εάν υµβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ η αντίτοιχη τιµή του Χ είναι και εάν τέος υµβεί το γεγονός ΓΓ η αντίτοιχη τιµή του Χ είναι. Έτι ορίαµε έναν τρόπο µε την βοήθεια του οποίου ε κάθε δειγµατοηµείο αντιτοιχούµε έναν πραγµατικό αριθµό µ άα όγια ορίαµε µια υνάρτηη Χ µε πεδίο οριµού τον δειγµατοχώρο και πεδίο τιµών το υπούνοο } των πραγµατικών αριθµών. Έτι οιπόν έχουµε τον παρακάτω οριµό: Οριµός.. Μια τυχαία µεταβητή Χ χάριν υντοµίας τ.µ. είναι µία υνάρτηη µε πεδίο οριµού έναν δειγµατοχώρο Ω και πεδίο τιµών ένα υπούνοο των πραγµατικών αριθµών δηαδή η : Ω R. Παρατήρηη.. Στην πραγµατικότητα αν θεωρήουµε µια οποιαδήποτε υνάρτηη Χ µε πεδίο οριµού έναν δειγµατοχώρο Ω τον οποίο έχει οριτεί µια -άγεβρα γεγονότων I και πεδίο τιµών ένα υπούνοο των πραγµατικών αριθµών τότε η εν όγω υνάρτηη θεωρείται ότι είναι µια τυχαία µεταβητή εάν ικανοποιεί την υνθήκη: για κάθε πραγµατικό αριθµό το ύνοο: 9

] ω / Χ ω }..3 είναι ένα γεγονός του Ω αναφορικά µε την -άγεβρα I. Είναι φανερό ότι εάν αν -άγεβρα I θεωρήουµε το δυναµούνοο του Ω τότε κάθε πραγµατική υνάρτηη του δειγµατοχώρου θεωρείται τυχαία µεταβητή. Για τις εφαρµογές του εν όγω υγγράµµατος θεωρούµε ότι όες οι πραγµατικές υναρτήεις που ορίζονται έναν δειγµατοχώρο είναι τυχαίες µεταβητές. Αν υποθέουµε ότι τον δειγµατοχώρο Ω µαζί µε την -άγεβρα του I ορίζεται ένα «µέτρο» πιθανότητας και µια τυχαία µεταβητή Χ τότε µε την βοήθεια της Χ ορίζουµε το R τον οποίο χώρο είναι οριµένη µια -άγεβρα Β καούµενη -άγεβρα του Borl ένα µέτρο πιθανότητας L ως εξής: L A A ω / ω A}..4 για όα τα Α Borl γεγονότα του R. Το µέτρο πιθανότητας L καείται νόµος ή κατάνοµή της τ.µ. Χ. Οριµός..5 Έτω τώρα ότι δίνεται µια τ.µ. Χ τότε ορίζουµε µια υνάρτηη F : R R µε τύπο: F L ] ] ω Ω : ω }..6 Η υνάρτηη F καείται υνάρτηη κατανοµής disribuio ucio της τ.µ. Χ υνήθως γράφουµε. F Εάν δυο τ.µ. Χ και Υ έχουν την ίδια υνάρτηη κατανοµής δηαδή F τότε έµε ότι οι τ.µ. είναι ιόνοµες ή ταυτοτικά κατανεµηµένες. Πρόταη..7 Η υνάρτηη κατανοµής ιδιότητες: F Η F είναι αύξουα. 3 Η F είναι υνεχής από δεξιά ε όα τα F lim F. + 4 F lim F και F F Y της τ.µ. Χ έχει τις παρακάτω R δηαδή: F + lim F. + 5 a < b F b F a a b

. ιακριτές και υνεχείς τυχαίες µεταβητές κατανοµές Α ιακριτές τυχαίες µεταβητές κατανοµές Μια τυχαία µεταβητή Χ καείται διακριτή αν το πήθος των τιµών της είναι ένα πεπεραµένο ή το πού αριθµήιµο ύνοο και κάθε µια από αυτές τις τιµές έχει θετική πιθανότητα. ηαδή αν η Χ είναι µια διακριτή τ.µ. και παίρνει τις τιµές ας υποθέουµε ακόµα ότι: < τότε οι πιθανότητες Είναι φανερό ότι: < ω / ω } p >. } p Οριµός.. Η υνάρτηη που ορίζεται από τον τύπο: p } αού.. καείται πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Χ probabili dsi ucio. Είναι φανερό ότι η πυκνότητα πιθανότητας µιας τ.µ. ικανοποεί τις παρακάτω ιδιότητες: α και β Η πυκνότητα πιθανότητας και η υνάρτηη κατανοµής µιας τ.µ. υνδέονται ως εξής: F } } F F } < } } Αναφέρουµε παρακάτω οριµένες πυκνότητες πιθανότητας οι οποίες εµφανίζονται υνήθως την πράξη και χρηιµοποιούνται την υνέχεια του υγγράµµατος. Λέµε οιπόν ότι µια τ.µ. Χ ακοουθεί: } α την διωνυµική κατανοµή biomial disribuio µε παραµέτρους και p υµβοικά B ; p εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της δίνεται από την:

! } p p p p!!..3 β την κατανοµή oisso oisso disribuio µε παράµετρο µε > υµβοικά εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ιούται µε: }..4! γ την γεωµετρική κατανοµή gomrical disribuio µε παράµετρο r µε <r< εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ιούται µε: } r r..5 Β Συνεχείς τυχαίες µεταβητές κατανοµές Έτω τώρα ότι το το πήθος των τιµών µιας τ.µ. Χ είναι ένα µη-αριθµήιµο ύνοο τέτοιο ώτε }. Η τ.µ. Χ καείται αυτή την περίπτωη υνεχής. Τις περιότερες φορές υποθέτουµε ότι υπάρχει µια πραγµατική µη αρνητική υνάρτηη η εγόµενη πυκνότητα πιθανότητας τέτοια ώτε: F d R..6 Από τον οριµό της πυκνότητας πιθανότητας είναι εύκοο να δει κανείς ότι: d..7 ενώ df για όα τα για τα οποία η είναι υνεχής. d Οι χρηιµότερες υνεχείς τ.µ. είναι αυτές των οποίων η πυκνότητα πιθανότητας δίνεται παρακάτω. Θα έµε ότι µια τ.µ. Χ ακοουθεί: α την οµοιόµορφη κατανοµή uiorm disribuio µε παραµέτρους α και β υµβοικά U α β εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την: β [ α β ] α < β β α..8 αού την κανονική κατανοµή ormal disribuio µε παραµέτρους µ και υµβοικά N µ εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίη µε:

µ R µ R > π..9 Εάν µ και τότε έµε ότι η τ.µ. Χ ακοουθεί την τυπική κανονική κατανοµή sadard ormal disribuio. γ την αρνητική εκθετική κατανοµή gaiv poial disribuio µε παράµετρο µε > εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίη µε: >.. δ την γάµµα κατανοµή gamma disribuio µε παραµέτρους α και β µε α β> εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την χέη: όπου η υνάρτηη: Γ α β > a Γ α β.. α α d καείται υνάρτηη γάµµα. Μπορεί να δειχθεί ότι : Γ a a Γ a απ όπου παίρνουµε Γ! για φυικό. Η αρνητική εκθετική κατανοµή είναι ειδική περίπτωη της γάµµα κατανοµής για α και β/. Ακόµα την περίπτωη που το α/ και β τότε η γάµµα κατανοµή ονο- µάζεται χι-τετράγωνο µε έναν βαθµό εευθερίας υµβοικά. Το παρακάτω θεώρηµα περιγράφει πως βρίκουµε την πυκνότητα πιθανότητας µιας υνάρτηης µιας τ.µ. όταν είναι γνωτή η π.π. της αρχικής τ.µ. χ Θεώρηµα.. µεταχηµατιµός µιας τυχαίας µεταβητής Έτω η τ.µ. Χ µε υνεχή εκτός ενδεχοµένως πεπεραµένου πήθους ηµείων π.π. η οποία είναι θετική για και για τα υπόοιπα. Έτω g : T µια αµφιµονοήµαντη και επί υνάρτηη. Υποθέτουµε ακόµα ότι η υπάρχουα αντίτροφη υνάρτηη g : T είναι παραγωγίιµη και η παράγωγός της είναι υνεχής. Εάν ορίουµε την τ.µ. Y g τότε η πυκνότητα πιθανότητας της δίνεται από την χέη: 3

Y [ g ] d d g T T '..3.3 Αριθµητικά χαρακτηριτικά µιας τυχαίας µεταβητής Έτω Χ µια τ.µ. και έτω ότι η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι γνωτή. Τότε τουάχιτον θεωρητικά µπορούµε να υποογίουµε όες τις πιθανότητες οι οποίες µας ενδιαφέρουν. Από µαθηµατική άποψη όµως υπάρχουν ποές φορές δυκοίες που κάνουν αυτούς τους υποογιµούς αδύνατους. Γι αυτό δίνουµε παρακάτω οριµένους αριθµούς που χαρακτηρίζουν την τ.µ. Χ ή την κατανοµή της. Οριµός.3. Η µέη τιµή ma ή µαθηµατική επίδα pcaio µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας είναι ο αριθµός: µ E + d διακριτή υνεχής.3. µε την προυπόθεη ότι οι ποότητες του δεξιού µέους έχουν νόηµα δηαδή τόο το άθροιµα όο και το οοκήρωµα του δεξιού µέους είναι πεπεραµένα. Εάν τώρα g είναι µια πραγµατική υνάρτηη τότε η υνάρτηη Y g είναι µια τ.µ. Η µέη τιµή της Υ όταν υπάρχει υποογίζεται: E Y E[ g ] + g g d διακριτή υνεχής.3.3 Οριµός.3.4 α Εάν g r τότε η µέη τιµή της Y g καείται ροπή r-τάξεως της τ.µ Χ. β Εάν g ΕΧ r τότε η µέη τιµή της Y g καείται κεντρική ροπή r-τάξεως της τ.µ Χ. Είναι φανερό ότι η ροπή πρώτης τάξεως µιας τ.µ είναι η µέη της τιµή ενώ η 4

κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα µηδέν. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουιάζει η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης µιας τ.µ. η οποία καείται διαπορά της τ.µ. ηαδή η διαπορά µιας τ.µ. Χ δίνεται από την χέη: Χ V E[E ] E E.3.5 Η τετραγωνική ρίζα της διαποράς καείται τυπική απόκιη της τ.µ. Η µέη τιµή καθώς και η διαπορά τ.µ µε κατανοµές αυτές που αναφέρθηκαν την παράγραφο. δίνονται αναυτικά τον πίνακα που υπάρχει το τέος του υγγράµµατος. Η παρακάτω ανιότητα δίνει ένα άνω φράγµα µιας ενδιαφέρουας πιθανότητας µε την βοήθεια της µέης τιµής και της διαποράς µιας τ.µ. Πρόταη.3.6 Aνιότητα του Tchbichv Έτω Χ µια τ.µ. µε πεπεραµένη µέη τιµή ΕΧ και διαπορά Χ. Τότε για οιονδήποτε θετικό αριθµό c έχουµε: E c}.3.7 c Οριµός.3.8 Η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. Χ ορίζεται από την χέη: M διακριτή E.3.9 + d υνεχής δοθέντος ότι οι ποότητες τος δεξί µέος του οριµού είναι πεπεραµένες υνήθως για c c για κάποιο c>. Το παρακάτω θεώρηµα δίνει τις βαικές ιδιότητες της ροπογεννήτριας µιας τ.µ. Θεώρηµα.3. α M πάντα. Το ηµείο µπορεί να είναι και το µοναδικό ηµείο το οποίο υπάρχει η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. β d d M E N.3. µε την προυπόθεη ότι η ροπή οτής τάξης του δεξιού µέους είναι πεπεραµένη. 5

.4 Πουδιάτατες τυχαίες µεταβητές: κατανοµές και ροπές Εάν είναι δυό διακριτές τ.µ. οι οποίες ορίζονται τον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω και οι οποίες παίρνουν τιµές ένα ύνοο. Οριµός.4. Εάν ορίουµε µια υνάρτηη τον τύπο: το από }.4. τότε η υνάρτηη αυτή καείται από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. έχει δε τις παρακάτω ιδιότητες: a β B B} B B B και ιδιαίτερα: Η υνάρτηη που ορίζεται από την χέη: B γεγονότα.4.3 είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Οι π.π. καούνται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της. 3 Η υνάρτηη F που δίνεται από την χέη: F.4.4 } καείται από κοινού υνάρτηη κατανοµής των τ.µ. οι δε ιδιότητες της είναι ανάογες εκείνων της υνάρτηης κατανοµής µιας τ.µ. 4 Εάν για κάθε τέτοιο ώτε > ορίουµε την υνάρτηη από την χέη: }.4.5 τότε η εν όγω υνάρτηη καείται δεµευµένη ή υπό υνθήκες πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι. 6

Έτω τώρα δυο υνεχείς τ.µ. οι οποίες ορίζονται τον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο Ω και οι οποίες παίρνουν τιµές ένα ύνοο. Οριµός.4.6 Εάν υπάρχει µια υνάρτηη a β το τ.ω: B B} d d B B γεγονότα και ιδιαίτερα: τότε η υνάρτηη καείται από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ.. B B + + Η υνάρτηη που ορίζεται από την χέη: + d.4.7 είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Οι π.π. καούνται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της. 3 Η υνάρτηη F που ορίζεται από την χέη: F } d d.4.8 καείται από κοινού υνάρτηη κατανοµής των τ.µ.. 4 Εάν για κάθε τέτοιο ώτε > ορίουµε την υνάρτηη από την χέη:.4.9 τότε η εν όγω υνάρτηη καείται δεµευµένη ή υπό υνθήκες πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι. Όοι οι παραπάνω οριµοί γενικεύονται και την περίπτωη που έχουµε περιότερες από δυο τ.µ διακριτές ή υνεχείς. Εάν δυο τ.µ. και Y g µία τ.µ. η οποία είναι υνάρτηη 7

των τ.µ. τότε: Οριµός.4. Η µαθηµατική επίδα ή µέη τιµή της τ.µ. ορίζεται από την χέη: EY Eg + + g g d d Y g διακριτές υνεχείς µε την προυπόθεη ότι οι ποότητες του δεξιού µέους έχουν νόηµα δηαδή είναι πεπεραµένες. Ακόµα: Οριµός.4. Η διαπορά της τ.µ. Y g ορίζεται από την χέη: Y + + [ g Eg [ g Eg ] ] d d όταν οι ποότητες του δεξιού µέους είναι πεπεραµένες. διακριτές υνεχείς Οριµός.4. Η από κοινού ροπογεννήτρια των τ.µ δίνεται από την: + διακριτές M + + + dd υνεχείς Ο παραπάνω οριµός µπορεί να γενικευτεί εύκοα και την περίπτωη µιας τ.µ. Y g. Οριµός.4.3 Η υνδιαπορά των τ.µ ορίζεται να είναι ο παρακάτω αριθµός: E[ E E ] E C E E Εάν C τότε οι τ.µ. καούνται αυχέτιτες. Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ένα άνω και κάτω φράγµα της υνδιαποράς δυο τ.µ. 8

Θεώρηµα.4.4 Ανιότητα του chwarz Ιχύει: C Οι διαπορές τυχαίων µεταβητών υνδέονται µε τις υνδιαπορές τους µε την βοήθεια της παρακάτω χέης. Θεώρηµα.4.5 Ιότητα του Biam Εάν j j τ.µ. µε πεπεραµένη διαπορά τότε: + + + j j i< j C i j.4.6 Εάν οι τ.µ. j j είναι ανά δύο αυχέτιτες τότε έχουµε: j j + +.4.7 Εάν τους οριµούς η π.π. αντικαταταθεί από µια δεµευµένη πυκνότητα τότε η αντίτοιχη µέη τιµή και διαπορά έγονται δεµευµένη µέη τιµή και δεµευµένη διαπορά αντίτοιχα δηαδή έχουµε τους παρακάτω οριµούς: Οριµός.4.8 Η δεµευµένη ή υπό υνθήκες µέη τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι ορίζεται από την χέη: επίης: E + d διακριτές υνεχείς δο- Οριµός.4.9 Η δεµευµένη ή υπό υνθήκες διαπορά της τ.µ. θέντος ότι ορίζεται από την χέη + [ [ E E ] ] d διακριτές υνεχείς Παρατήρηη.4. Είναι φανερό από τον οριµό.4.8 ότι η δεµευµένη µεη τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι είναι µια υνάρτηη του έτω φ δηαδή: 9

φ E Η τ.µ. φ παριτάνεται επίης και αν E. ηαδή η τ.µ E ορίζεται από την χέη: Επειδή η E E φ E είναι µια τ.µ. έχει νόηµα να µιάµε για την µέη τιµή της. Θεώρηµα.4. Ιχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: i E E[ g ]} E[ g ] ii E[ g g ] g E[ g ] iii [ E ] µε την προυπόθεη ότι όες οι ποότητες που εµφανίζονται παραπάνω έχουν νόηµα..5 Στοχατική Ανεξαρτηία τ.µ. Οριµός.5. Οι τ.µ καούνται τοχατικά ανεξάρτητες εάν: B B } B } }.5. B για οποιαδήποτε υπούνοα γεγονότα B B των πραγµατικών αριθµών. Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ιοδύναµους οριµούς της ανεξαρτηίας δυο τ.µ. Θεώρηµα.5.3 Οι τ.µ είναι τοχατικά ανεξάρτητες εάν και µόνον εάν ιχύει µια από τις παρακάτω χέεις: α F F F β γ M M M Άµεες υνέπειες του οριµού της ανεξαρτηίας δυό τυχαίων µεταβητών δίνονται από την παρακάτω πρόταη. Πρόταη.5.4. Εάν οι τ.µ. είναι τοχατικά ανεξάρτητες τότε: E g g ] E[ g ] E[ g ] [ Από το γεγονός αυτό εύκοα µπορεί να δει κανείς ; ότι: εάν δυο τ.µ. είναι 3

ανεξάρτητες τότε είναι και αυχέτιτες. Το αντίτροφο εν γένει δεν ιχύει. M M M + + 3 Εάν Y g Y g τότε οι τ.µ. Y Y είναι και αυτές ανεξάρτητες. Το ακόουθο θεώρηµα είναι ένα από τα πουδαιότερα αποτεέµατα που υναντά κανείς τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Συνδέει την κατανοµή µιας υγκεκριµ- µένης υνάρτηης ανεξαρτήτων τ.µ. µε την κανονική κατανοµή φανερώνοντας έτι την πουδαιότητα της κανονικής κατανοµής. Θεώρηµα.5.5 Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Εάν οι είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες τ.µ. µε πεπεραµένη µέη τιµή και διαπορά και θέουµε: τότε: + +.5.6 E Φ όπου Φ η υνάρτηη κατανοµής την τυπικής κανονικής κατανοµής..5.7 Παρατήρηη.5.8 Ο τρόπος ύγκιης που περιγράφεται το παραπάνω θεώρηµα έγεται ύγκιη κατά κατανοµή Μ άα όγια το Κ.Ο.Θ. αναφέρει ότι: E N.5.9 ή επειδή E µ έχουµε: µ N.5. ή ιοδύναµα: N µ.5. Τέος εάν έχουµε: µ N.5. 3

ή ιοδύναµα: N µ..5.3 3

.6 Ακήεις.6. Μια τ.µ. Χ έχει κατανοµή πυκνότητα πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: 3 4 p 6 4 6 6 6 α Να βρεθεί η υνάρτηη κατανοµής της Χ και να γίνει η γραφική της παράταη. β Να βρεθεί η µέη τιµή E και η διαπορά V της Χ. 4 6 6 Η υνάρτηη κατανοµής της Χ είναι ίη µε: 6 5 6 F } 6 5 6 η δε γραφική της παράταη είναι < < < < 3 3 < 4 4 F 5/6 F /6 5/6 3 4 β Η µέη τιµή της είναι ίη µε: 4 E 6 4 6 6 6 4 6 6 } + + + 3 + 4 33

Ακόµα: E 4 6 4 6 6 6 4 6 6 } + + + 3 + 4 5 άρα η διαπορά της είναι ίη µε: V E E 5.6. Η τυχαία µεταβητή Χ έχει πυκνότητα πιθανότητας: α Να βρεθεί η ταθερά θ έτι ώτε η νάναι πυκνότητα πιθανότητας. β Να βρεθούν οι πιθανότητες: Ρ Ι Ρ } ΙΙ 5} θ θ αου γ Να βρεθεί η ταθερά c τέτοια ώτε: Ρ c} 8 δ Να βρεθεί η µέη τιµή E και η διαπορά V της Χ. α Ξέρουµε ότι για νάναι η πυκνότητα πιθανότητας θα πρέπει: + δηαδή: θ d d 4θ θ 5 θ θ θ 5 5 αου β Ι Ρ } d 6 γ και: ΙΙ 5} d d 5 5 Ρ Έχουµε ότι: c} Ρ 8 d d 8 c 5 5 5 c 4 c 5 c 5 5 5 c 5 c 8 δ Η µέη τιµή της είναι ίη µε: 5 E d d ; 5 5 5 34

Ακόµα: 8 3 5 5 5 5 3 d d E και έτι η διαπορά της είναι ίη µε: 8 8 E E V.6.3 Εάν η τ.µ τότε α ΕΧ β Χ α Έχουµε:!!!! } a a E β Χ E[E ] E E ή Χ E[Χ]+EE Τώρα:!!! } ] [ E οπότε Χ E[Χ]+EE +..6.4 Έτω ότι η τ.µ. α Να δειχθεί ότι M β Με την βοήθεια του α υποογίτε την µέη τιµή και διαπορά της Χ. α Εχουµε: E M!! β Ξέρουµε: } d d M d d E ακόµα 35

E d d d d M } + + οπότε Χ E E +.6.5 ιωνυµική κατανοµή Από την γενική απογραφή κατατηµάτων ενός έτους διαπιτώθηκε ότι % των κατατηµάτων ειτουργούε χωρίς άδεια του αρµόδιου Υπουργείου. Επιέγουµε 6 κατατήµατα τυχαία ποιά η πιθανότητα: α ακριβώς 4 από αυτά να ειτουργούαν χωρίς άδεια του Υπουργείου β τουάχιτον 4 από αυτά να ειτουργούαν χώρις άδεια του Υπουργείου γ το πού 3 από αυτά να ειτουργούαν χώρις άδεια του Υπουργείου δ τουάχιτον 4 από αυτά να ειτουργούαν µε άδεια του Υπουργείου. ιωνυµικό πείραµα: δυό δυνατά αποτεέµατα επιτυχία το κατάτηµα ειτουργούε χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου Ρ«επιτυχίας» p και 6 αριθµός των επαναήψεων Εάν Χαριθµός των κατατηµάτων που ειτουργούαν χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου τότε 6! 4 64 4 α ΡΧ4 9 5 9... 4!6 4! η πιθανότητα µπορεί να υποογιτεί µε την χρήη διωνυµικών πινάκων; β ΡΧ 4 ΡΧ4 +ΡΧ5 +ΡΧ6 6! 4!6 4! 4 9 6! + 5!6 5! 9 6! + 6!6 6! 9 64 5 65 6 66... γ ΡΧ 3 ΡΧ3 +ΡΧ +ΡΧ +ΡΧ ανάογα µε το β... δ Ρτουάχιτον 4 από αυτά να ειτουργούαν µε άδεια του Υπουργείου Ρ4 ή 5 ή 6 κατατήµατα ειτουργούαν µε άδεια του Υπουργείου Ρ ή ή κατατήµατα ειτουργούαν χωρίς την άδεια του Υπουργείου ΡΧ ΡΧ + ΡΧ + ΡΧ... ανάογα µε το β.6.6 Κανονική κατανοµή Το IQ αποτεεί δείκτη ευφυίας των ατόµων και 36

ακοουθεί την κανονική κατανοµή µε µέη τιµή µ και τυπική απόκιη 5. Αν Χ είναι ο δείκτης ευφυίας ενός ατόµου να βρεθούν οι παρακάτω πιθανότητες: α ΡΧ < 8 β ΡΧ > γ ΡΧ < 94 δ ΡΧ > 73 ε Ρ < Χ < τ Ρ73 < Χ <8 ζ Ρ73 < Χ < 94 Εχουµε: Χ 8 α < 8 Ρ < Ρ Ζ < 88493 5 5 Χ β > Ρ > Ρ Ζ > 8 Ρ Ζ < 8 5 5 78845 855 Χ 94 γ < 94 Ρ < Ρ Ζ < 4 Ρ Ζ > 4 5 5 Ρ Z < 4 6554 344578 µε χρήη των κανονικών πινάκων Χ 73 δ > 73 Ρ > Ρ Ζ > 8 Ρ Ζ < 8 9647 5 5 Χ ε < < Ρ < < 5 5 5 Ρ < Ζ < 8 Ρ Ζ < 8 Ρ Ζ < 78845 5 8845 73 Χ 8 τ 73 < < 8 Ρ < < 5 5 5 Ρ 8 < Ζ < Ρ Ζ < Ρ Ζ < 8 Ρ Ζ < Ρ Ζ > 8 Ρ Ζ < Ρ Ζ < 8} Ρ Ζ < + Ρ Ζ < 8 88493 + 9647 849 73 Χ 94 ζ 73 < < 94 Ρ < < 5 5 5 Ρ 8 < Ζ < 4 Ρ4 < Ζ < 8 Ρ Ζ < 8 Ρ Ζ < 4 9647 6554 38648 37

.6.7 Τυπική κανονική κατανοµή Αν Ζ Ν να βρεθεί η ταθερά c τις παρακάτω περιπτώεις: α Z < c 9554 β Z > c 3 γ Z < c 385 δ < Z < c 9 α Z < c9554 c θετικό από τους κανονικούς πίνακες c7 β Z > c3 Z < c39679 c θετικό από τους κανονικούς πίνακες c85 γ Z < c 385 c αρνητικό Z < c ΡΖ > c Z < c 385695 από τους κανονικούς πίνακες c5 c5 δ <Z<c 9 ΡΖ < c ΡΖ < Z < c84345 9 ΡΖ < c 96345 από τους κανονικούς πίνακες c79..6.8 Κατανοµή oisso Ένας εντοµοόγος µεετά τον αριθµό των ζωύφιων τα φύα ενός δένδρου. Ο αριθµός αυτός ακοουθεί την κατανοµή oisso µε παράµετρο. α Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύο µε τουάχιτον 5 ζωύφια; β Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύο χωρίς κανένα ζωύφιο; Εάν Χ αριθµός των ζωύφιων ε ένα φύο του δένδρου τότε και είναι γνωτό: Ρ Χ...! α Ρ Χ 5 Ρ Χ < 5 Ρ Χ 4 93 977 από τους πίνακες oisso µε και κ4. β Ρ Χ 45!.6.9 Ο αριθµός των µικροβίων Χ που βρίκονται ένα χώρο V είναι µια τ.µ.. Να προδιοριθεί ο αν είναι Χ > 999. Έχουµε: Χ > 999 ΡΧ ΡΧ Ρ Χ! l 69 38

.6. Εκθετική κατανοµή Η διάρκεια ζωής ε χρόνια µιας ηεκτρικής υκευής έχει την αρνητική εκθετική κατανοµή µε παράµετρο. Ποιά η πιθανότητα ότι η εν όγω ηεκτρική υκευή θα πρέπει ν αντικαταταθεί όχι αργότερα από 5 χρόνια; Μετά από 7 χρόνια; Εχουµε: Ρ Χ 5 Ρ Χ 7 5 5 5 d d + 39. + 7 d + 7. d. + 7.7 49.6. Εάν η τ.µ Χ ακοουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους α και β να βρεθεί η κατανοµή της τ.µ Y l. Η π.π. της τ.µ. Χ είναι ως γνωτόν ίη µε: Γ α β Εδώ: α a β > g : + T + g l g & οπότε από γνωτό θεώρηµα έχουµε: d d α α β β Y R a a Γ α β Γ α β.6. Έτω Χ Υ τ.µ µε από κοινού π.π. την: Y + > αού Να δειχθεί ότι οι τ.µ. Χ Υ είναι ανεξάρτητες Οι περιθωριακές π.π. των τ.µ. Χ Υ είναι ίες µε: + Y d d > 39

+ και όµοια d d Επειδή τώρα: οι τ.µ. Χ Υ είναι ανεξάρτητες. Y Y > + Y Y.6.3 Κ.Ο.Θ. Εργοτάιο κατακευάζει υωρευτές η διάρκεια ζωής κάθενός εκ των οποίων ακοουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε µέο 3 ώρες. ιαέγουµε από αυτούς τους υωρευτές τυχαία. Να υποογιτεί η πιθανότητα αυτοί να δουεύουν υνοικά πάνω από 8 ώρες. Έτω τ.µ. που εκφράζουν την διάρκεια ζωής κάθενός εκ των υωρευτών τότε: i i & 3 Η ζητούµενη πιθανότητα µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ. γίνεται: + + + > 8} > 8} E 8 6 > }.8. E > 5} E < 5} Φ5 93393 66 γιατί: E E 3 6 ώρες και 3.8. ώρες.6.4 Ένα κανονικό νόµιµα ρίχνεται ανεξάρτητα φορές και έτω µια τ.µ. που δηώνει τον υνοικό αριθµό κεφαών που εµφανίτηκαν. Υποογίτε την µικρότερη τιµή του για την οποία έχουµε: όπου: 5 } 95 Εάν θεωρήουµε τις ρίψεις αν ανεξάρτητες τ.µ. τότε: 4

& E B i B i i i µ οπότε µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ. η ζητούµενη πιθανότητα γίνεται: } }} } } } } } } } } 5 } 5 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Φ µ µ Επειδή θέουµε: 97 964 96 96 975 95 Φ Φ.6.5 Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε j p B j j. Τότε η τ.µ. p B + + όπου + +. Χρηιµοποιώντας το µονοήµαντο της αντιτοιχίας µεταξύ της πυκνότητας πιθανότητας µιας τ.µ. και της ροπογεννήτριάς της είναι αρκετό να δείξουµε ότι η ροπογεννήτρια της τ.µ. + + είναι εκείνη µιας τ.µ. µε κατανοµή την. Από την ανεξαρτηία των τ.µ. έχουµε: p B q p q p q p M M M M + + + + + και αυτή είναι η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. µε p B + +. Παρατήρηη Η παραπάνω ιδιότητα καείται αναπαραγωγική µε την έν- 4

νοια ότι το άθροιµα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβητών µε την ίδιου τύπου κατανοµή έχει κατανοµή του ίδιου τύπου. Η κατανοµή oisso η κανονική κατανοµή η γάµµα κατανοµή είναι µερικά παραδείγµατα κατανοµών που έχουν την ιδιότητα αυτή. Πράγµατι µπορεί να αποδειχθεί µε τρόπο ανάογο όπως παραπάνω ότι ιχύουν τα εξής: i Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε j j j. Τότε η τ.µ. + + όπου + +. ii Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε N µ j. Τότε η τ.µ. j j j όπου µ µ + + + +. µ + + N µ iii Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώτε j j ακοουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους α β. Τότε η τ.µ. µέτρους j + ακοουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραα α + + α. + α β όπου Γενικά η αναπαραγωγική ιδιότητα που περιγράψαµε παραπάνω δεν ιχύει. Για παράδειγµα εάν Χ Υ είναι δυό ανεξάρτητες τ.µ. που ακοουθούν την οµοιό- µορφη κατανοµή το άθροιµά τους Χ+Υ δεν ακοουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή αά µια κατανοµή που ονοµάζεται τριγωνική. 4