Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την πράστση: ( ) [ ( )] Ν δείξετε ότι οι πρστάσεις : Α = 8 κι Β = ( ) είνι ντίθετες 8
6 Ν δείξετε ότι οι πρκάτω πρστάσεις είνι ντίστροφες : Α = κι Β = ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ 7 Αν γ γ = με δ 0 ν ποδείξετε ότι : = δ δ 8 Αν γ κ λ κγ λδ = με δ 0 τότε ν δείξετε ότι : = δ ρ ν ργ νδ 9 Αν γ γ γ = (δ 0 κι δ 0) ν δείξετε ότι : = δ δ δ γ 0 Αν = = κι γ = 8 τότε ν υπολογιστούν τις τιμές των,, γ Η περίμετρος ενός τριγώνου είνι 7 Ν ρείτε τ μήκη των πλευρών του, ν είνι γνωστό ότι είνι νάλογες με τους ριθμούς :,, Αν z = =, ν ποδείξετε ότι : γ γ γ ( ) ( γ) (γ ) z = 0 ψω ωχ χψ Αν = = κι χ ψ ω 0, 0 ψω ωχ χψ ν δείξετε ότι κθένς πό τους λόγους υτούς ισούτι με
Αν z μ λ κ = = κι γ z = = ν δείξετε ότι : z μ λ κ γ μ λ κ = ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ν γράψετε σε πλούστερη μορφή τις πρστάσεις : : γ ( ) ( ) δ ( 0,) ( 0,) ε ( ) 6 Υπολογίστε τις πρστάσεις : ( ) ( 0,) γ (0,) : ( 0) 7 Ν πλοποιηθούν οι πρκάτω πρστάσεις : ( ) 8 : [ ( ) 0 ] 8 Ν υπολογίσετε την πράστση : 9 9 7 9 Αν ν είνι κέριος θετικός ριθμός, τότε ν υπολογίσετε την πράστση : Α = ( ) ν ( ) ν ( ) ν
0 Γι ν = ν υπολογίσετε τις πρκάτω πρστάσεις : A B 0ν ν ν ( ) ( ) ( ) ( ) = ν = ν ν ν ( ) ( ) ν ν ν Αν = 0 κι = 0, ν υπολογίσετε την πράστση : Α = ( ) : [ ( ) ] Αν = κι = τότε ν υπολογίσετε την πράστση : Αν = κι = ν υπολογιστούν οι τιμές των πρστάσεων: Α = ( ) : ( :) Β = ( : ) ( : ) Ν υπολογίσετε τον ριθμό ότν: = 9 = 9 7 Αν 8 = ν υπολογιστεί ο άγνωστος 6 Ν λυθεί η εξίσωση : 0 = 0 γ γ γ 7 Ν ποδείξετε ότι : = γ 8 Γι ποιά τιμή του λ η πράστση λ λ γράφετι με μορφή δύνμης με άση (); 9 Ν ρεθεί ο κέριος ν γι τον οποίο ισχύει : ν 7 = 7
ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ 0 Αν ο φυσικός ριθμός είνι περιττός, τότε ν ποδείξετε ότι ο ριθμός είνι επίσης περιττός Αν ο φυσικός ριθμός είνι άρτιος, τότε ν ποδείξετε ότι ο ριθμός είνι επίσης άρτιος Αν ο ριθμός είνι άρτιος κι ο περιττός, τότε ν ποδείξετε ότι ο είνι περιττός, ενώ ο άρτιος Ν ποδείξετε ότι, ν ο είνι άρρητος κι ο ρ είνι ρητός, τότε οι ριθμοί ρ, ρ κι ρ (ρ 0) είνι άρρητοι (- Άλγερ Α Λυκείου - ΟΕΔΒ 989) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ & ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Ν κάνετε τις πρκάτω πράξεις : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) N συμπληρωθούν οι ισότητες : = ( ) = γ = 6 Ν μεττρπούν σε γινόμεν οι πρκάτω πρστάσεις: 6 0δ 8
γ 6 δ γ γ 0 γδ ε κλ 0κ λ κλ στ ν ν 7 Ομοίως: ( ) γ ( ) ( ) ( ) γ (κ λ) 6 (κ λ) (κ λ) δ ( ) ( ) ε ( ) γ ( ) στ (γ δ) (δ γ) (γ δ) ζ ( ) ( ) ( )( ) η ( )( ) ( ) θ ( ) ι ( ) ι ( ) ( ) 8 Ν γίνουν γινόμενο οι πρστάσεις: 6 9 γ δ 6 ε 9 9 6 στ 8 6 ζ ν v η θ 8 8 ι ν ν ι ( ) 6 ι ( 7) ιγ ( ) ( ) ιδ ( ) ιε ( 8) 9( ) ιστ ( ) 9 Ν γίνουν γινόμεν οι πρκάτω πρστάσεις : 8
γ δ ε στ 6 ζ ( ) θ 7 η 9 0 Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις ( ) z γ δ ε 8 8 στ ζ ( ) ( ) η ( ) ( ) ( ) θ ι 7 8 8 Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις : 7 γ 7 δ ε στ ζ η θ ( ) ( ) ι ( ) ( z) (z ) ι 0 ι ( )( ) 60 ιγ ( 7) ( 7) Ν γίνουν γινόμενο οι πρστάσεις : ( )( ) ( ) 6 9 γ δ ω ω ε
στ 8 Αν ω = 0 τότε ν γίνει γινόμενο η πράστση : ( ) ( ω) ( ω) Ν πλοποιηθούν οι πρκάτω πρστάσεις: 0 6 γ γ 8 8 δ 6 ε ζ θ ι ιγ 6 8 γ γ γ στ η ι t 6 t 9 8 6 8 tp p p ( ) ( ) ι ( ) ( 8) Ν εκτελεστούν οι πρκάτω πράξεις: γ ε στ 8 9 7 9 0 6 9 6 9 9 δ ( ) 6
ζ 6 : 7 9 η : θ 8 8 6 Ν ποδείξετε ότι: ( ) ( ) = ( ) 7 Αν = κι = ν δείξετε ότι : = 0 = 6 8 Ν ποδείξετε ότι ν : γ = γ = γ = τότε γ = 0 9 Ν δείξετε ότι : ( ) () = ( ) 0 Ν ποδείξετε ότι: = ( ) ( ) Ν ποδείξετε ότι : = Αν ( ) = () ν δείξετε ότι = Αν = ν ποδείξετε ότι : = Aν είνι = κι = ποδείξετε ότι : = (με 0,, ) ν Αν ( ) = (με 0) ν δείξετε ότι = 6 Αν γ = 0 ν δείξετε ότι : = γ
7 Αν γ = 0 τότε ν ποδείξετε ότι : γ = 8 Αν γ = 0 κι γ 0 κι γ = 0 ν δείξετε ότι : = γ 9 Αν γ =, γ = κι γ =, ν ποδείξετε ότι : γ = 6 60 Αν ν δείξετε ότι : v ν = Ν υπολογίσετε το άθροισμ : S = 8 6 6 8 6 6 Αν γ 0 κι ισχύει ( γ) ( γ) = 0 ν ποδείξετε ότι = 6 Αν ( )( ) = ( ) ν δείξετε ότι = = 6 Ν ποδείξετε ότι ( ) = 6 ( ) κι με την οήθει της πρπάνω σχέσης ν υπολογίσετε τη δύνμη 6 6 Αν = ν ποδείξετε ότι : = = 6 Ν ποδείξετε ότι : 8 = 6 ( ) ( = ( ) ) με, 66 Ν λυθεί η εξίσωση : ( ) ( ) = 0
67 Ν λυθεί η εξίσωση : ( ) ( ) = ( ) 68 Ν υπολογίσετε την πράστση : Α = 69 Αν γ = 0 ν ρείτε την τιμή του κλάσμτος : Κ = γ (γ ) γ 70 Αν = κι = τότε ν ρεθούν τ, 7 Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός 7 8 είνι πολλπλάσιο του 6 7 Αν = κι = ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων : κι (Mathematicagr )
Αν γ ( ) γ 0 ν δείξετε ότι : = = γ Αν > 0 ν δείξετε ότι : Αν > > γ τότε ν δείξετε ότι : (-)(-γ)(γ-) < 0 Aν < ν ποδείξετε ότι : < < Ν δείξετε ότι : γ γ γ 6 Αν, πργμτικοί ριθμοί ν ποδείξετε ότι : 0 γ γ γ 7 Aν > ν ποδείξετε ότι : > 8 Αν είνι > > 0 ν ποδείξετε ότι : > (-) 9 Αν είνι < < 8 ν ρείτε μετξύ ποιών τιμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: Α = Β = 0 Αν είνι > ν ποδείξετε ότι : > Αν είνι > > ν ποδείξετε ότι : > (-) Aν ω ν ποδείξετε ότι : ω 8 ω ω
Αν,, γ είνι θετικοί ριθμοί, τότε ν δείξετε ότι : γ γ Αν,, γ είνι θετικοί ριθμοί, τότε ν δείξετε ότι : ( )( )(γ ) 8γ Αν,,γ είνι θετικοί ριθμοί,τότε ν δείξετε ότι : () ()(γ)(γ) 8γ 6 Αν 0 < < κι < < ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών περιέχοντι οι τιμές των πρστάσεων: γ δ ε 7 Αν > ν ποδείξετε ότι : 7 > 8 Αν < κι < ν ποδείξετε ότι : < 9 Αν = ν ποδείξετε ότι : 9 0 Αν, είνι ετερόσημοι τότε ν δείξετε ότι : Αν > τότε : > Αν > 0 τότε : Ν δείξετε ότι : γ ( γ) Αν, θετικοί κι = τότε ν δείξετε ότι : ( )( ) 9
Γι τους θετικούς ριθμούς,, γ, δ ν ποδείξετε ότι : < 6 Δίνοντι οι πργμτικοί ριθμοί, γι τους οποίους ισχύει < < Ν γράψετε σε μι σειρά πό τον μικρότερο προς τον μεγλύτερο τους ριθμούς :,, ( ), (-) 7 Aν γ ( γ) ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές,, γ είνι ισόπλευρο 8 Αν < κι γ < δ, τότε ν ποδείξετε ότι : δ < γ 9 Έστω έν ορθογώνιο πρλληλόγρμμο με πλευρές, Ν εκφράσετε με μθημτικές σχέσεις τις προτάσεις «Το εμδό του ορθογωνίου είνι μικρότερο πό 0m» κι «Η περίμετρος του ορθογωνίου είνι τουλάχιστον m» (Mathematicagr )
Ν υπολογίσετε την πράστση : Α = Ν υπολογίσετε την πράστση : Α = Ν υπολογίσετε την πράστση : Α = Aν < < γ τότε ν πλοποιηθεί η πράστση : Α = - γ - γ - Αν είνι > ν υπολογίσετε την πράστση : Α = 8 6 Αν <, γράψτε χωρίς τις πόλυτες τιμές την πράστση : Α = 6 7 Αν ν ρεθεί η μορφή της πράστσης : χωρίς τις πόλυτες τιμές Α = 8 Αν < < γ ν υπολογίσετε την πράστση : Α = γ γ
9 Ν συμπληρωθεί ο πρκάτω πίνκς, όπως υποδεικνύετι στην πρώτη του σειρά Απόλυτη Τιμή Απόστση Διάστημ ή Ένωση Διστημάτων > d(, ) > (, ) (, ) < d(, ) < d(, ) > 6 d(, ) d(, ) [, ] (9, ) (, ] [, ) (, ) (, ) ( Βσισμένη στην Άλγερ Α Λυκείου - ΙΤΥΕ 0 ) 0 Ν ποδείξετε ότι : = Αν, πργμτικοί ριθμοί διάφοροι του μηδενός ν ποδείξετε ότι : = Αν, με 0 κι = οι ριθμοί, είνι ομόσημοι τότε ν δείξετε ότι
Αν, με ±, > κι = ριθμοί, εινι ετερόσημοι ν δειχτεί ότι οι Αν ν ποδείξετε ότι : Ν δείξετε ότι : = 6 Αν = 0 με 0 ν δείξετε ότι οι ριθμοί, είνι ετερόσημοι 7 Αν ν δείξετε ότι : 6 8 Αν < κι ω < ν δείξετε ότι : ω < 9 Αν, πργμτικοί ριθμοί διάφοροι του μηδενός ν ποδείξετε ότι : < 0 Aν 6 ν ποδείξετε ότι : < Αν, πργμτικοί ριθμοί ν δείξετε ότι : ( Ν δείξετε ότι : - = ( ) ) Ν δείξετε ότι : Ν ποδείξετε ότι : Αν λ < λ κι < ν δείξετε ότι : λ <
6 Αν, 0 ν δείξετε ότι : 7 Ν ποδειχτεί η ισοδυνμί : < > 8 Αν ν δείξετε ότι : 6 9 Ν ποδείξετε γι ±, ότι η ισότητ ισχύει μόνο ότν > 0 = 0 Αν =, γ =, ω = γ ω γ 6 ν ποδείξετε ότι : όπου,, γ,,, ω μη μηδενικοί πργμτικοί ριθμοί Αν ν ποδείξετε ότι, όπου, πργμτικοί ριθμοί Aν,,, πργμτικοί ριθμοί με, 0 κι = ( ), = ( ), τότε ν ποδείξετε ότι : = κι = Αν, ν δείξετε ότι : ( ) Βρείτε τις τιμές του γι τις οποίες ισχύουν : ( )( 0) = 0 κι 7 Aν = τότε τι συμπέρσμ γάζετε γι τους ριθμούς, ;
6 Αν < κι < ν ρείτε που μετάλλετι η πράστση ( ) 7 Ν δείξετε ότι ο ριθμός = [, ] νήκει στο διάστημ 8 Αν κ < λ < μ < ν κι λ < < μ ν δείξετε ότι η πράστση : Α = κ - λ - μ - είνι νεξάρτητη του ν - 9 Γι ποιες τιμές του έχει έννοι η πράστση : 0 0 Ν ρεθούν οι κέριες τιμές του γι τις οποίες ισχύει : d(, ) < 8 ( Mathematicagr )
Αν 6 = 6 ν υπολογίσετε τον Ν υπολογίσετε την ριθμητική τιμή της πράστσης : ότν = κι = Αν = κι = ν δείξετε ότι οι πρστάσεις : είνι ίσες Α = 6 κι Β = Ν πλοποιήσετε την πράστση : Α = Ν υπολογίσετε την πράστση : Α = ( ) 6 9 6 Ν πλοποιήσετε την πράστση : 9 9 9 7 Ν υπολογίσετε την πράστση : 8 6 8 6 8 Ν υπολογίσετε την πράστση : 8 6 9 Ν πλοποιηθούν τ ριζικά :, 9 8, 0 Ν πλοποιήσετε την πράστση :
Ν πλοποιηθεί η πράστση : ότν [0,) (, ) Ν γράψετε την πράστση με τη οήθει μις μόνο ρίζς : Ν πλοποιήσετε τ ριζικά : 9 ( ) 6,,, 08 6 Αν = κι =, τότε ν υπολογίσετε τις πρστάσεις : κι Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις : 8 8 8 7 γ 8 0 80 00 δ 6 7 ε ( 0 8 00 7 0): 0 6 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις : γ δ ε 7 Ν υπολογίσετε την πράστση : 8 Ν γίνουν οι πράξεις : 6 0 7
9 Ν υπολογίσετε το γινόμενο : Γ = 7 0 Ν μεττρπούν οι πρστάσεις σε ισοδύνμες με ρητό προνομστή : γ δ ε 9 στ 9 ζ η θ ( ) ι ι (με > ) ι ιγ Ν γίνουν οι πράξεις : Ν γίνουν οι πράξεις : Ν γίνουν οι πράξεις : ( ) ( )
Ν γίνουν οι πράξεις : Αν 0 < < ν δείξετε ότι : = 6 Ν δείξετε ότι : ( ) ( ) 9 9 = 7 Ν δείξετε ότι : ( ) ( ) = 8 Αν, > 0 ν ποδείξετε ότι : 9 Ν δείξετε ότι : 0 > 0 Ν συγκρίνετε τους ριθμούς κι Ν δείξετε ότι : 0 > Ν εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητ =, ότν, είνι μη ρνητικοί πργμτικοί ριθμοί Αν,, γ θετικοί ριθμοί, τότε ν ποδείξετε ότι : γ γ γ = ( ) γ γ)( γ)( γ)(
Γι ποιες τιμές του έχουν έννοι οι πρστάσεις : Α = 7 Β = 8 Γ = Αν = 0, κι = ( 0, 6 ) 6, τότε ν υπολογίσετε την πράστση : Α = 6 Αν = ν υπολογίσετε την πράστση : Α = (Mathematicagr )