ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων. Εδώ παρουσιάζουµε µια µεθοδολογία επίλυσης βασισµένη στους µετασχηµατισµούς Laplace. Αυτή η µέθοδος είναι σηµαντική για τη θεωρία των κυκλωµάτων όχι µόνο διότι απλοποιεί την επίλυση των εξισώσεων ενός δικτύου αλλά κυρίως διότι µας οδηγεί στην έννοια της συνάρτησης µεταφοράς. Όπως θα δείξουµε παρακάτω, αυτή η έννοια είναι θεµελιώδης για τη θεωρία και το σχεδιασµό συστηµάτων. Σ' αυτό το κεφάλαιο θα αναπτύξουµε τις βασικές ιδιότητες των µετασχηµατισµών Laplace και θα κάνουµε χρήση αυτών για την ανάλυση απλών κυκλωµάτων. Άλλες εφαρµογές θα δοθούν σε επόµενα κεφάλαια. Ορισµός οσµένης µίας συνάρτησης f(), σχηµατίζουµε το ολοκλήρωµα F( ) = f( ) e d (2.1) Το ολοκλήρωµα αυτό ορίζει µια συνάρτηση του για κάθε για το οποίο συγκλίνει. Η συνάρτηση F() που σχηµατίστηκε ονοµάζεται µονόπλευρος µετασχηµατισµός Laplace της f(). Ο όρος µονόπλευρος συχνά θα παραλείπεται. Η παράσταση f () F () θα σηµαίνει ότι οι συναρτήσεις f() και F() σχηµατίζουν ένα ζεύγος µετασχηµατισµού Laplace, π.χ. ότι η F() είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της f(). Στην επόµενη παράγραφο θα προσδιορίσουµε το µετασχηµατισµό Laplace διαφόρων στοιχειωδών συναρτήσεων. Τα περισσότερα παραδείγµατα είναι βασισµένα στο ολοκλήρωµα p 1 e d = Re( p) > p και του οποίου η απόδειξη ακολουθεί την απλή ταυτότητα (2.2)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE T p 1 e e d = p Πράγµατι, εάν Re( p ) > τότε e p όταν το T και προκύπτει η (2.2.). Παράδειγµα 2.1 (α) Θα βρούµε το µετασχηµατισµό Laplace της συνάρτησης f()=1. Εισάγοντας την στην (2.1) παίρνουµε για Re>. Στον πίνακα αναγράφεται pt 1 F ()= e d= 1 1 > (β) Λαµβάνοντας υπόψη τη συνάρτηση f ()= e c όπου c είναι µία θετική ή αρνητική σταθερά, µε τη χρήση της (2.1) παράγεται η F() = c ( c) e e d = e d Το τελευταίο ολοκλήρωµα είναι το ίδιο µε αυτό της σχέσης (2.2) όπου p=-c άρα, ισούται µε 1/(-c) µε την προϋπόθεση ότι Re(-c)>. Άρα συµπεραίνουµε ότι e c 1 Re > Re c c (2.3) (2.4) Όπως βλέπουµε από τη (2.4) η συνάρτηση F() υπάρχει για Re()>Re(c). Για παράδειγµα, εάν f ()= e 3, τότε η F() υπάρχει για Re()>-3 και ισούται µε 1/(+3). Εάν f ()= e 4 τότε η F() υπάρχει για Re()>4 και ισούται µε 1/(-4). Αυτό δείχνει ότι εάν η f() είναι µη φραγµένη το ολοκλήρωµα στην (2.1) µπορεί να υπάρχει, µε την προϋπόθεση ότι το είναι ικανοποιητικά µεγάλο. Για την εκθετική συνάρτηση f ()= e c η σύγκλιση είναι βέβαιη αν η συνάρτηση που ολοκληρώνουµε fe () τείνει στο όταν το, για Re()>c. Θα υποθέσουµε ότι για όλες τις συναρτήσεις που θα µελετήσουµε ισχύει για κάθε για το οποίο το ολοκλήρωµα συγκλίνει. fe () üôáí (2.5) Στην ανάπτυξή µας εδώ οι τιµές του, για τις οποίες η F() υπάρχει, δε θα προσδιορίζονται. Θα είναι επαρκές να γνωρίζουµε ότι η F() υπάρχει για ένα ικανοποιητικά µεγάλο. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1. Η συνθήκη (2.5) είναι ικανή αλλά δεν είναι αναγκαία για τη σύγκλιση του ολοκληρώµατος (2.1). Υπάρχουν παθολογικές συναρτήσεις για τις οποίες η συνάρτηση που ολοκληρώνουµε f () e δεν τείνει στο καθώς αλλά το ολοκλήρωµα συγκλίνει. Τέτοιες συναρτήσεις όµως, δε θα ληφθούν υπόψη εδώ. 2. Ο µετασχηµατισµός Laplace µιας συνάρτησης ορίζεται για κάθε πραγµατικό ή µιγαδικό για το οποίο το ολοκλήρωµα στην 2.1 συγκλίνει. Έτσι, εάν f ()= e 3, τότε η F() υπάρχει για κάθε =a+jω για το οποίο α>3. Για τις εφαρµογές του κεφαλαίου θα είναι αρκετό να καθορίσουµε την F() µόνο για πραγµατικές τιµές του. Περιστασιακά, µιγαδικές τιµές του λαµβάνονται επίσης υπ' όψη αλλά - 2.2-1/1/25
ΕΙΣΑΓΩΓΗ κυρίως για αλγεβρικούς χειρισµούς της αναλυτικής µορφής της F() (απλοποιήσεις σε απλά κλάσµατα). Σηµειώνουµε πως για πιο προχωρηµένες εφαρµογές, η µεταβλητή πρέπει να πάρει µιγαδικές ή αµιγείς φανταστικές τιµές. Στο κεφάλαιο 8, για παράδειγµα, καθορίζεται η F() για =jω. Η προκύπτουσα συνάρτηση F(jω) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier της f(). 3. Θα έπρεπε να τονίσουµε τη διαφορά ανάµεσα στο µετασχηµατισµό Laplace F() µίας συνάρτησης f() και της αναλυτικής µορφής της F(). Θεωρούµε, για παράδειγµα, το ζεύγος e 3 1 /( 3). Στην περίπτωση αυτή η F() υπάρχει και ισούται µε 1/(-3) µόνο αν Re()>3. Από την άλλη η συνάρτηση 1/(-3), υπάρχει επίσης και εάν Re <3, αλλά δεν υπάρχει µόνο για =3. Οι µετασχηµατισµοί Laplace χρησιµοποιούνται για να απλοποιήσουν τη λύση των διαφορικών εξισώσεων. Αυτό βασίζεται στο ακόλουθο θεώρηµα. Το θεώρηµα της παραγώγου Επιθυµούµε να εκφράσουµε το µετασχηµατισµό Laplace f e () d της παραγώγου f () της συνάρτησης f() σε όρους του µετασχηµατισµού Laplace F() της συνάρτησης f(). Για το λόγο αυτό ολοκληρώνουµε κατά τµήµατα : f () e d= e df () = fe () + fe () d = f( ) e f( ) e + f() e d() Το τελευταίο ολοκλήρωµα ισούται µε F() και ο όρος f( ) e ισούται µε µηδέν, διότι είναι το όριο της f() e όταν [βλέπε (2.5)]. Άρα, το δεξιό µέρος της εξίσωσης (2.6) ισούται µε F()-f(). Έτσι καταλήγουµε στο σηµαντικό συµπέρασµα ότι ο µετασχηµατισµός Laplace της f () ισούται µε F ( ) f ( ): (2.6) f () F() f( ) (2.7) Παρακάτω θα δώσουµε ένα απλό παράδειγµα για τη χρήση της (2.7) στην λύση µίας διαφορικής εξίσωσης. Επιθυµούµε να λύσουµε την εξίσωση y () + 3y() = (2.8) µε την αρχική συνθήκη y()=2. Για το λόγο αυτό πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε e και ολοκληρώνουµε από έως. Αυτό µας δίνει: [ y ( ) + 3y( )] e d = (2.9) διότι έχουµε υποθέσει ότι η (2.8) ισχύει για κάθε. ε γνωρίζουµε όµως ακόµα τη λύση της y() της (2.8). Υποθέτουµε, όµως, ότι η y() έχει µετασχηµατισµό Laplace ye () Από το θεώρηµα της παραγώγου (2.7) έπεται ότι d= Y(). y () e d = Y() y() = Y() 2 (2.1) 1/1/25-2.3 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE και από την (2.9) συνεπάγεται ότι Y () 2 + 3Y () = (2.11) Άρα ο µετασχηµατισµός Laplace Y() της άγνωστης y() ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση (2.11). Επιλύνοντας την (2.11) λαµβάνουµε 2 Y ()= + 3. Όπως έχουµε δει από την (2.4) το παραπάνω κλάσµα είναι ο µετασχηµατισµός της συνάρτησης 2e 3. Άρα, η λύση της εξίσωσης (2.8) είναι η εκθετική συνάρτηση y ()= 2e 3. Παράδειγµα 2.2 Ένας πυκνωτής µε αρχική τάση v συνδέεται µε µια αντίσταση όπως φαίνεται στο σχήµα (2.1.α). Θα υπολογίσουµε την τάση. Είναι προφανές ότι, C dv () d + Gv () =, v ( ) = v πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µε e και ολοκληρώνοντας από έως λαµβάνουµε C[ V( ) v ] + GV( )= όπου V() είναι ο µετασχηµατισµός Laplace της. Αυτό αποφέρει v V üðï õ = ve G ()= C. + G C (2.12) v o + C Cv'() R G i () g R C + I R RC (á) - - (â) Ó ÇÌÁ 2.1 Θεωρούµε την παρακάτω εξίσωση y () + 3y() = 6, (2.13) µε αρχική συνθήκη y()=. Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε e από έως παίρνουµε και ολοκληρώνοντας 6 (2.14) Y () + 3Y () = διότι y()= και ο µετασχηµατισµός Laplace της f()=6, ισούται µε 6/ [βλέπε (2.3)]. Άρα λοιπόν 6 Y () = ( + 3 ). - 2.4-1/1/25
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για να υπολογίσουµε το y() πρέπει να βρούµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace της 6/(+3), πρέπει να βρούµε µια συνάρτηση y() της οποίας ο µετασχηµατισµός Laplace θα ισούται µε 6/(+3). Η γενική µέθοδος προσδιορισµού της y() αναπτύσσεται στην επόµενη παράγραφο. Στην παρούσα περίπτωση χρησιµοποιούµε την απλή ταυτότητα Αλλά [βλέπε (2.3) και (2.4)] 6 2 2 =. ( + 3) + 3 2 2 2 2e -3 + 3 Έτσι η λύση y() της 2.13 είναι η συνάρτηση y ()= 2 2e 3. Παράδειγµα 2.3 Ένα παράλληλο κύκλωµα R-C συνδέεται µε µια σταθερή πηγή ρεύµατος i ()= g I, όπως φαίνεται στο σχήµα (2.1.β) θα υπολογίσουµε την απόκριση µηδενικής κατάστασης. Σ' αυτήν την περίπτωση C dv () (2.15) + Gv () = I, v() = d ηλώνοντας µε V() το µετασχηµατισµό Laplace της, συµπεραίνουµε από τα παραπάνω ότι CV () + GV ( )= I (2.16) διότι v()= και ο µετασχηµατισµός Laplace της σταθεράς I ισούται µε I/. Αυτό σηµαίνει ότι Για να βρούµε το σηµειώνουµε ότι V() = 1. + ( G + C) I I I = G G G ( + C) + G C Άρα v RI e RC () = ( 1 ). Ο Αµφίπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace Ο µετασχηµατισµός Laplace F() όπως ορίστηκε στην (2.1) περιλαµβάνει τις τιµές της συνάρτησης f() για κάθε στην ολοκλήρωση (, ). Αυτό είναι κατάλληλο για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων για τις οποίες. Στην θεωρία των κυκλωµάτων και σε άλλες εφαρµογές είναι µερικές φορές επιθυµητό να λαµβάνουµε υπόψη τις τιµές της f() σε ολόκληρο τον άξονα των πραγµατικών αριθµών για να οριστεί κατά αυτόν τον τρόπο η F(). Αυτό οδηγεί στην συνάρτηση F () = fe () d (2.17) 1/1/25-2.5 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE η οποία είναι γνωστή ως αµφίπλευρος µετασχηµατισµός Laplace της f(). Εάν η συνάρτηση f() είναι αιτιατή π.χ. εάν f()= για <, τότε το ολοκλήρωµα της (2.17) ισούται µε το ολοκλήρωµα της (2.1). Στο κεφάλαιο αυτό δε θα κάνουµε χρήση της (2.17). Ο συµβολισµός της F() θα χρησιµοποιείται µόνο για µονόπλευρους µετασχηµατισµούς. - 2.6-1/1/25