ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Μ Τετάρτη 7 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α είξτε ότι για µια γωνία ω ισχύει ηµ ω+ συν ω= (5 µονάδες) Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Αν το πολυώνυµο P() έχει παράγοντα το (-ρ) τότε P(ρ) = 0 β) Για τη γωνία ω ισχύει πάντοτε ηµ ( π ω) = ηµω γ) Για τους θετικούς αριθµούς θ και θ ισχύει: ln θ = lnθ lnθ θ δ) Αν σ ένα σύστηµα µε εξισώσεις και αγνώστους ισχύουν D 0 και D=0 και Dy=0, τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις ε) Η συνάρτηση f ( ) = είναι γνησίως αύξουσα στο R (5 µονάδες) ΘΕΜΑ Β Β είξτε ότι A( ) = = ηµ π εϕ + εϕ( π + ) ( ηµ + συν) ηµ Β είξτε ότι η B( ) = = Β3 Να λυθεί η εξίσωση Α ( ) = B( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β4 Έστω η συνάρτηση f ( ) = A( ) B( ) Βρείτε τη µέγιστη τιµή Μ, την ελάχιστη τιµή ε καθώς και την περίοδο Τ της συνάρτησης f() ΘΕΜΑ Γ 5 4 3 Έστω πολυώνυµο P( ) = 3 7 + ( λ + 6) + 7+ µ για το οποίο ισχύουν: i) Το είναι παράγοντας του P() ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() µε το (+) είναι 3 Γ είξτε ότι λ= και µ=0 Γ Για λ= και µ=0, i) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης του P() µε το ( ) ii) Nα βρεθούν τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση του P() είναι πάνω από την ευθεία y= + 4 Γ3 Έστω το πολυώνυµο: ΘΕΜΑ 5 4 3 Q( ) = + ( a+ β) 7 + ( 3a+ β) + ( κ+ 6) + ( κ ) Βρείτε τους αριθµούς α, β και κ ώστε P( ) = Q( ) για κάθε R ( + ) + Έστω οι συναρτήσεις f ( ) = ln + και g ( ) = -4 + 3 Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και να απλοποιηθεί ο τύπος της Nα λυθεί η εξίσωση g( ) = 5+ 3 ln (5 µονάδες) 3 Βρείτε τις τιµές του ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() να µην είναι πάνω από τον άξονα ( ) 6 4 4 Να λύσετε την ανίσωση f g( ) + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Ε_3ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Μ Τετάρτη 7 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Σχολικό βιβλίο σελ 60 Α α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β A( ) = = = = σϕ+ εϕ συν ηµ + συν + ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ = = = ηµ συν + ηµ Β Β3 ( ) + ηµ συν ηµ ηµ + συν + ηµ συν ηµ συν B( ) = = = π = + κπ 6 π A( ) = B( ) ηµ = ηµ = ηµ ή 6 π = π + κπ 6 π = + κπ ή κ Z 5π = + κπ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Ε_3ΜλΓΑ(α) Β4 Η συνάρτηση f ( ) έχει τύπο: f ( ) = A( ) B( ) = ηµ Ισχύει ηµ ηµ 3 f ( ) 3 Άρα η ελάχιστη τιµή της είναι και η µέγιστη τιµή της είναι π Η περίοδος είναι Τ = = π ΘΕΜΑ Γ Γ Αν παράγοντας του P() τότε P (0) = 0 οπότε µ=0 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() µε (+) είναι το 3 τότε: P( ) = 3 3+ 7 + λ + 6 7 + 0 = 3 λ = Γ Για λ= και µ=0 έχουµε: 5 4 3 P( ) = 3 7+ 8 + 7 Η διαίρεση γίνεται ως εξής: + + 5 4 3 3 7 8 7 + 4 5 3 4 3-3 - 3 + 8 + 7 + 3 6 4 3 3 + + 7 + 3 3-6 + + 4 + 4 3 3 3 + H ταυτότητα της διαίρεσης είναι: 3 P( ) = ( )( 3 3+ ) + + 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Ε_3ΜλΓΑ(α) 3 Γ3 Πρέπει P( ) > + 4 ( )( 3 3 + ) + + 4 > + 4 3 ( )( 3 3 + ) > 0 (Ι) 3 3 Πιθανές ακέραιες ρίζες του Q( χ ) = 3 3+ είναι ±, ± Με σχήµα Hornr έχω: -3-3 - - 5 - Άρα Q( ) = ( + )( 5+ ) Οπότε (Ι) ( )( 5 + )( + ) > 0 Άρα =5-6=9, = ր ց -5 0, = 0 = ± Το πρόσηµο των παραγόντων του γινόµενου αλλά και του γινοµένου τους φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: X - - + 0 - - - 0 + + 5 + + + + 0 - - 0 + + - - 0 + + + + Γινόµενο - 0 + 0-0 + 0-0 + Άρα (, ), (, + ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 5
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Γ4 Πρέπει P()=Q() a β α β κ κ α + β = 3 α 3α β 8 = + = β = κ + 6 = 7 κ = κ = 0 5 4 3 5 4 3 3 7 + 8 + 7 = + ( + ) 7 + ( 3 + ) + ( + 6) + ΘΕΜΑ Ορίζεται αν και + + 0 + 0 ( ) ( ) ( ) ( + ) + + αφού για τον αριθµητή έχουµε: > 0 > 0 > 0 > 0 > > ( ) ( ) ր ( + ) ± ( ) = + 4 = + + 4 = + = > 0 και = οπότε γράφεται ( ) ( ) ց Άρα πρέπει 0 και > δηλαδή A f = (, + ) Τότε απλοποιείται ως εξής: ( ) ( ) ( ) f ( ) = ln = ln 4 4 + 3 H g() γράφεται: g( ) = - 4 + 3= + 3 = 5+ 3 ln 4 + 3 5 + 3 Άρα g( ) = = 4 + 3 = 5 + 3 4 5 = 0 Είναι ր5 δεκτή 4 ± 6 ( 4) 4 ( 5) 36 και = ց απορ = = Άρα = 5 = ln 5 δεκτή + + ( ) 3 Αρκεί f ( ) 0 ln ln + ( ) ( + + )( ) + ( ) ln ln ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 5