Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( αβ,, ) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, ),, δηλαδή για κάθε ισχύει: lim f () f y ( ) O a β Ερώτηση θεωρίας Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα αβ;, Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ,, ] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, ), ισχύει:, δηλαδή για κάθε lim f () f και επιπλέον lim f () f ( ) και lim f () f ( ) y O [ ] a β Σαν εξάσκηση διατυπώσετε τους ανάλογους ορισμούς ώστε η f να λέγεται συνεχής στα διαστήματα της μορφής (,, ] [, ) Πρόσεξε Ότι Σύμφωνα με τον ορισμό μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής στο,, χωρίς να είναι γενικά συνεχής στα α και β Αυτό φαίνεται να είναι μια ιδιοτροπία του ορισμού, όπως φαίνεται στο σχήμα 1

γ f συνεχής στο, αλλά όχι στα α και β αν την εξετάσουμε γενικά σε όλο το πεδίο ορισμού της Επομένως δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και συνεχής στο, τότε κατ ανάγκη είναι συνεχής στο διάστημα, Το χαρακτηριστικό μιας συνάρτησης f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής γραμμή για κάθε και μόνο Το Θεώρημα του Bolzano Ερώτηση θεωρίας 3 Απάντηση Θεώρημα του Bolzano Να διατυπωθεί το Θεώρημα του Bolzano Να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος του Bolzano Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f( ) f( ), τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε f( ) Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f() στο ανοικτό διάστημα (, ) Γεωμετρική ερμηνεία Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [, ] Επειδή τα σημεία A(,f ( )) και B(,f ( )) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο y f(β) B(β, f(β)) a O β f(a) Α(α,f(α)) Α y Πρόσεξε Ότι y O a f()> β O a f()< β Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό,

τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Β Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της y ρ 1 + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του Γ Το συμπέρασμα του Θεωρήματος Bolzano είναι ισοδύναμο με τα εξής: α Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο β Η εξίσωση f(), έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Δ Το θεώρημα του Bolzano είναι υπαρξιακό και όχι υπολογιστικό, αφού μας εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας χωρίς ταυτόχρονα να προσδιορίζει την τιμή της Ε Το θεώρημα του Bolzano μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας, είναι όμως δυνατόν να υπάρχουν περισσότερες όπως είναι φανερό από το σχήμα Επίσης μπορεί να υπάρχει ρίζα στο, χωρίς να είναι f( ) f( ) Στ Το αντίστροφο του θεωρήματος του Bolzano δεν ισχύει γενικά, και αυτό σημαίνει ότι: Υπάρχει συνάρτηση f: Συνεχής στο, με ρίζα στο,, χωρίς να είναι f( ) f( ) Με f( ) f( ), έχει ρίζα στο,, χωρίς να είναι συνεχής στο, Για παράδειγμα στη συνάρτηση του διπλανού σχήματος η εξίσωση f() έχει ρίζα στο, χωρίς να είναι, f f Επίσης στη συνάρτηση του διπλανού σχήματος είναι ff αλλά η εξίσωση f() δεν έχει ρίζα στο, γιατί δεν είναι συνεχής στο, Επομένως αν κάποια από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος δεν ισχύει, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε αν ισχύει το συμπέρασμα 3

Ζ Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια μονότονη στο διάστημα [, ] και ισχύουν για αυτήν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, τότε η εξίσωση f(), έχει μοναδική ρίζα στο Η Αν κατά τη διαδικασία εφαρμογής το θεωρήματος Bolzano προκύψει ότι ff τότε η ρίζα βρίσκεται στο κλειστό διάστημα, με: αν f( ), αν f( ),, αν ff Θ Αν η συνάρτηση f:, είναι συνεχής στο, και είναι f() για κάθε,, τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, Έτσι όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,, με f() για κάθε,, αρκεί να γνωρίζουμε μια τιμή της για να γνωρίζουμε το πρόσημο των τιμών της στο, Απόδειξη Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο, τότε θα υπάρχουν τουλάχιστον δυο, 1, με 1 ώστε f1f1 Αν δεχθούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι 1, τότε στο διάστημα, θα ίσχυε το θεώρημα Bolzano, οπότε θα υπήρχε, 1 με f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, Ι Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και 1,, εξίσωσης f(), τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα, Ια 1, άτοπο, άρα η συνάρτηση f δυο διαδοχικές ρίζες της Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα και αυτό διότι η αντίστοιχη πολυωνυμική συνάρτηση f είναι συνεχής στο και τα όρια της συνάρτησης f αντίστοιχα για: είναι ή, είναι ή 3 Για παράδειγμα για το πολυώνυμο f() έχουμε: im f (), άρα υπάρχει, ώστε f( ), im f (), άρα υπάρχει, ώστε f( ) Συνεπώς για την συνεχή συνάρτηση f ισχύει το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα,, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε f Ιβ Αν για τη συνεχή f που ορίζεται στο ανοικτό διάστημα,, ισχύει ότι: im f () και, και αυτό διότι: Εφόσον 1 im f (), τότε η εξίσωση f() έχει τουλάχιστον μια ρίζα im f (), συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κ πολύ κοντά στο α, με, ώστε f, γιατί αν για κάθε πολύ κοντά στο α με, ίσχυε 4

f(), τότε θα είχαμε Εφόσον im f (), άτοπο γιατί im f () im f (), συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα λ πολύ κοντά στο β, με, ώστε f(), τότε θα είχαμε f, γιατί αν για κάθε πολύ κοντά στο β με, ίσχυε im f (), άτοπο γιατί im f () Συνεπώς στο διάστημα, ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘBolzano, Όμοια εργαζόμαστε και όταν έχουμε im f () και im f () Ιγ Αν για τη συνεχή f που ορίζεται στο ανοικτό διάστημα,, ισχύει ότι: im f () q και ρίζα, im f () s, τότε η εξίσωση f() έχει τουλάχιστον μια και αυτό διότι: Είτε εργαζόμενοι όπως στο θ βρίσκουμε ένα διάστημα, στο οποίο ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano ή q κατασκευάζουμε τη συνάρτηση g() f(), η οποία είναι συνεχής s στο, με ffqs, επομένως για την g ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, άρα υπάρχει, ώστε g Όμοια εργαζόμαστε και όταν έχουμε g f f im f () q και im f () s 5

41 Τεχνική αντιμετώπιση Τεχνική Α: Εύρεση προσήμου συνεχούς συνάρτησης Στη περίπτωση που θέλουμε να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης, εργαζόμαστε ως εξής Βρίσκουμε τις ρίζες της συνάρτησης και τις διατάσουμε στον άξονα των πραγματικών αριθμών Ο άξονας χωρίζεται σε διαστήματα σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε τη τιμή f( ) Το πρόσημο της f στο διάστημα που επιλέχθηκε το, είναι αυτό του προσήμου του f( ) Παραδείγματα 1 Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f() ημ συν, [, ] Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της f() στο [, ] 5 Έχουμε ημ συν ημ συν εφ 1 ή 4 4 Οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα, 4, 5, 4 4 και 5, 4 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα Διάστημα, 4 5, 4 4 5, 4 A, 4, 5 B, 4,, Επιλεγμένος αριθμός f 1 1 1 Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα 5,,, 4 4 6 είναι f(), ενώ στο διάστημα

5, 4 4 είναι f() Τεχνική Β: Έλεγχος αν ισχύει το θεώρημα Bolzano σε δίκλαδη συνάρτηση Στη περίπτωση που θέλουμε να ελέγξουμε αν ισχύει το θεώρημα του Bolzano σε δίκλαδη συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα, εργαζόμαστε ως εξής: A Διαπιστώνουμε, βρίσκοντας τα πλευρικά όρια και τη τιμή f, αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής του τύπου f είναι ετερόσημες Β Διαπιστώνουμε αν οι τιμές f και Γ Αν επί πλέον ζητείται να βρούμε το, του θεωρήματος Bolzano με f, λύνουμε τις δυο εξισώσεις που καθορίζονται από τους κλάδους και βρίσκουμε τις τιμές του θ Παραδείγματα Να δειχθεί ότι για τη συνάρτηση f με το θεώρημα Bolzano και να βρεθεί ο με i Εξετάζουμε τη συνέχεια στη θέση 1 f1 311 1, im f () im 3 1 1 1 1 1 im f () im 5 1 1 1 1 1,, 3 1 1 f() εφαρμόζεται 5 4 1, f του θεωρήματος Bolzano επομένως η συνάρτηση f είναι συνεχής στη θέση 1 και γενικά στο, ii Βρίσκουμε τις τιμές στα άκρα f 1 f 81, iii, επομένως είναι ff, συνεπώς ισχύει το θεώρημα του Bolzano, άρα υπάρχει, με f 3 1, 13 1 f() f() 5 4 1 1 13 1 13 ή 1 1 13 4 ή 1 5 Τεχνική Γ: Ύπαρξη ρίζας σε διάστημα Στη περίπτωση που μας ζητείται να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε ένα 7

Πρόσεξε Ότι Ο δρόμος προς τις εξετάσεις Συνέχεια σε κλειστό διάστημα διάστημα, ή, και γενικότερα: Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α 1 Η εξίσωση f () έχει μια τουλάχιστον ρίζα (, ), Α Υπάρχει (, ) έτσι ώστε f ( ), Α 3 Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των σε ένα σημείο με τετμημένη (, ), εργαζόμαστε ως εξής: Εξασφαλίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο [, ] Δείχνουμε ότι f( ) f( ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [, ] Ένας άλλος τρόπος είναι να δείξουμε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για μια αρχική συνάρτηση της f (θα το διδαχθούμε στο κεφάλαιο των παραγώγων), Γενικευμένο Bolzano Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Β 1 Η εξίσωση f () έχει μια τουλάχιστον ρίζα [, ], Β Υπάρχει [, ] έτσι ώστε f ( ), Β 3 Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των σε ένα σημείο με τετμημένη [, ], εργαζόμαστε ως εξής: Εξασφαλίζουμε ότι η f είναι συνεχής στο [, ] Δείχνουμε ότι f( ) f( ) Διακρίνουμε περιπτώσεις, εργαζόμενοι ως εξής: Αν f( ), τότε, Αν f( ), τότε, Αν f( ) f( ), εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [, ], οπότε (, ) Τελικά [, ] Παραδείγματα e 3 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο,1 3 Να δειχθεί ότι η εξίσωση Αφού το δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι το μηδέν, θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή την f:,1 με f() e 3 Η f είναι συνεχής σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων και f() 1, f(1) e3, επομένως f() f(1), άρα ισχύει το θεώρημα του Bolzano, συνεπώς,1 τέτοιος ώστε f e 3 υπάρχει 8

1 4 Να δειχθεί ότι η εξίσωση n έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,1 e Μετασχηματίζουμε την εξίσωση n στην ισοδύναμή της μορφή: n και θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή την 1 f:,1 e με f() n 1 1 Η f είναι συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και f 1, e e 1 f(1) 1, επομένως f f(1), άρα ισχύει το θεώρημα του Bolzano, συνεπώς e 1 υπάρχει,1 τέτοιος ώστε f n n e,, με f ( ) f( ) Να δειχθεί ότι η 5 Έστω f συνεχής συνάρτηση στο εξίσωση f () έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, f( ) f( ) Η σχέση f( ) f( ) μας δίνει: ή f( ) f( ) Αν f( ) f( ), τότε οι αριθμοί 1 και είναι ρίζες της εξίσωσης f() Αν f( ) f( ), τότε f( ) f( ) f( ) f( ) f ( ), επομένως ισχύει για την f στο διάστημα, το θεώρημα του Bolzano, συνεπώς τέτοιο ώστε f() Επομένως σε κάθε περίπτωση ότι η εξίσωση f() έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, υπάρχει τουλάχιστον ένα, Τεχνική Δ: Ύπαρξη ρίζας χωρίς να ορίζεται το διάστημα στο οποίο ανήκει Στη περίπτωση που μας ζητείται να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα, χωρίς να ορίζεται το διάστημα στο οποίο ανήκει, εργαζόμαστε ως εξής: Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή f() και δείχνουμε ότι η συνάρτηση f που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, είναι συνεχής Επειδή δεν μας καθορίζεται το διάστημα στο οποίο ζητάμε τη ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής f(), (f συνεχής), το θεώρημα του Βolzano δεν μπορεί να εφαρμοστεί άμεσα α Στην περίπτωση αυτή προσπαθούμε με δοκιμές να βρούμε τους αριθμούς,,, για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Βolzano στο [, β] Αν αυτό δεν είναι δυνατόν, εργαζόμαστε ως εξής: β Βρίσκουμε ένα όριο της μορφής: im f (), οπότε κοντά στο α η 9 συνάρτηση f παίρνει θετικές τιμές, συνεπώς υπάρχει 1 κοντά στο α ώστε

Ο δρόμος προς τις εξετάσεις Συνέχεια σε κλειστό διάστημα 1 f Βρίσκουμε ένα όριο της μορφής: im f (), οπότε κοντά στο β η συνάρτηση f παίρνει αρνητικές τιμές, συνεπώς υπάρχει κοντά στο β ώστε f Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα, 1 αν 1 ή στο διάστημα, 1 αν 1 γ Βρίσκουμε τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της, τα οποία θα είναι ετερόσημα, οπότε μιας και η συνάρτηση είναι συνεχής: εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano, σε κατάλληλο διάστημα, εργαζόμενοι όπως στο β βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f, συμπεραίνουμε ότι το ανήκει στο σύνολο τιμών και επειδή f συνεχής, εφαρμόζοντας το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών έχουμε το ζητούμενο Παραδείγματα e 6 Να δειχθεί ότι η εξίσωση n,, έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα e Μετασχηματίζουμε την εξίσωση n,, στην ισοδύναμη εξίσωση: e ln,, και θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της e εξίσωσης, δηλαδή την f:, με f() n η οποία είναι συνεχής 1 ος Τρόπος e e Παρατηρούμε ότι f(1) n1 e και f(e) ne 1 e Επομένως f(1) f(e), συνεπώς για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα 1, e, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,e e τέτοιο ώστε f( ) n ος Τρόπος im f () im n e, άρα η συνάρτηση f για όσο κοντά θέλουμε στο, παίρνει αρνητικές τιμές, συνεπώς υπάρχει 1, 1, ώστε f1 e im f () im n, άρα η συνάρτηση f για όσο μεγάλα θέλουμε, παίρνει θετικές τιμές, συνεπώς υπάρχει, 1, ώστε f f 1 f, συνεπώς για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα,, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα Οπότε, 1 1

e 1, τέτοιο ώστε f( ) n 7 Να δειχθεί ότι η εξίσωση ne,, έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή την f:, με f() ne η οποία είναι συνεχής 1 Έχουμε f(1) n1e e Είναι όμως δύσκολο να βρούμε κάποιο, ώστε f( ), και επειδή η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, θα αναζητήσουμε το im f () Έχουμε: im f () im n e, συνεπώς η συνάρτηση f παίρνει αρνητικές τιμές για όσο κοντά θέλουμε στο, επομένως υπάρχει 1 όσο κοντά θέλουμε στο, ώστε f( ) Οπότε, f 1 f, συνεπώς για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα,1 θεωρήματος Bolzano στο διάστημα τέτοιο ώστε f( ) n e ne 8 Να δειχθεί ότι η εξίσωση,, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,1,1 Μετασχηματίζουμε την εξίσωση ne,, στην ισοδύναμη εξίσωση: ne,, και θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της f:, με f() ne η οποία είναι συνεχής εξίσωσης, δηλαδή την Έχουμε f(1) n1ee Επειδή η συνάρτηση f δεν ορίζεται στο, θα αναζητήσουμε το Έχουμε: im f () im n e im f (), συνεπώς η συνάρτηση f παίρνει αρνητικές τιμές για όσο κοντά θέλουμε στο, επομένως υπάρχει 1 όσο κοντά θέλουμε στο, ώστε f( ) Οπότε, f 1 f, συνεπώς για τη συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα,1 θεωρήματος Bolzano στο διάστημα,1 τέτοιο ώστε f( ) n e 9 Έστω f: συνεχής συνάρτηση με f (1) f() f(3) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f () έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Από την ισότητα f(1) f() f(3) συμπεραίνουμε ότι: Είτε: f(1) f() f(3), οπότε το ζητούμενο είναι προφανές Είτε δυο από τους f(1),f(),f(3) είναι ετερόσημοι Αν λοιπόν f(1) f(), εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano, στο διάστημα συνεπώς υπάρχει 1, f( ), ώστε να ισχύει: Όμοια και για τις άλλες δυο περιπτώσεις, f(1) f(3) και f() f(3) 1,, 11

Τεχνική Ε: μοναδικότητα της ρίζας Στη περίπτωση που μας ζητείται να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα,, εργαζόμαστε ως εξής: Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή f() και δείχνουμε ότι η συνάρτηση f που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, είναι συνεχής Εφαρμόζουμε τις τεχνικές Γ ή Δ και δείχνουμε ότι η εξίσωση έχει αρχικά τουλάχιστον μια ρίζα σε κάποιο διάστημα της μορφής: (, ) ή [, ] Για να αποδείξουμε επί πλέον ότι η ζητούμενη ρίζα (, ) ή [, ] είναι μοναδική, τότε: Α Αρκεί (όχι και πρέπει) να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι είτε γνησίως μονότονη είτε «1-1» στο [, ] Β Αν δεν είναι 1-1 ή γνήσια μονότονη στο [, ], Υποθέτουμε ότι έχει δυο ρίζες και καταλήγουμε σε άτοπο Πρόσεξε Ότι Σε ποιο σύνθετες περιπτώσεις εργαζόμαστε ως εξής: i Δείχνουμε ότι το ολικό ελάχιστο ή το ολικό μέγιστο της συνάρτησης f είναι το μηδέν, δηλαδή δείχνουμε ότι, είτε υπάρχει [, ] με f( ) ymin και f() για κάθε, ii είτε ότι υπάρχει [, ] με f( ) yma και f() για κάθε iii Κάνουμε πλήρη μελέτη της συνάρτησης f για μονοτονία και ακρότατα στο [, ] Η ρίζα δεν είναι μοναδική Η ρίζα είναι μοναδική iv Δείχνουμε ότι έχει μια προφανή ρίζα και μετά αποδεικνύουμε ότι δεν έχει άλλη Σχόλιο Οι τεχνικές αυτές θα μας απασχολήσουν αργότερα 1

Παραδείγματα Ο δρόμος προς τις εξετάσεις Συνέχεια σε κλειστό διάστημα 1 Να δειχθεί ότι η εξίσωση n e,, Θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή την f:, με f() ne,, η οποία είναι συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων 1 1 1 Έχουμε f n e 1 1 1 και f(1) n1ee e e e 1 1 Επομένως f f(1), άρα ισχύει για την f στο,1 e e το θεώρημα του Bolzano, 1 συνεπώς υπάρχει,1,, ώστε f n e e Η ρίζα, είναι μοναδική γιατί η συνάρτηση f() ne,, είναι γνήσια αύξουσα σαν άθροισμα των γνησίων αυξουσών συναρτήσεων, g() n και h() e 11 Να δειχθεί ότι η εξίσωση, έχει μοναδική ρίζα στο e 3,, έχει μοναδική ρίζα στο,1 Μετασχηματίζουμε την εξίσωση e 3,, στην ισοδύναμη εξίσωση: e 3,, και θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή την f: με f() e 3 η οποία είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών, άρα και στο,1 Έχουμε f e 3 και 1 f(1) e 3e1 Επομένως ff(1), άρα ισχύει για την f στο συνεπώς υπάρχει,1, ώστε Η ρίζα,1 f e 3,1 το θεώρημα του Bolzano, είναι μοναδική γιατί η συνάρτηση γνήσια αύξουσα σαν άθροισμα των γνησίων αυξουσών συναρτήσεων, g() h() 3 f() e 3,, είναι e και Τεχνική Στ: Ύπαρξη περισσοτέρων της μιας ριζών σε διάστημα Στη περίπτωση που μας ζητείται να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει τουλάχιστον δυο ή περισσότερες ρίζες σε ένα διάστημα, ή,, εργαζόμαστε ως εξής: Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή f() και δείχνουμε ότι η συνάρτηση f που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, είναι συνεχής Χωρίζουμε το διάστημα (α,β) σε δυο ή περισσότερα, (ανάλογα τη περίπτωση) ξένα μεταξύ τους υποδιαστήματα και σε κάθε ένα από αυτά εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano Εφαρμόζουμε τις τεχνικές Γ ή Δ και δείχνουμε ότι η εξίσωση έχει αρχικά τουλάχιστον μια ρίζα σε κάποιο διάστημα της μορφής: (, ) ή [, ] 13

Παραδείγματα Ο δρόμος προς τις εξετάσεις Συνέχεια σε κλειστό διάστημα 1 Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο διάστημα, Μετασχηματίζουμε την εξίσωση 3,, στην ισοδύναμη εξίσωση: 3,, και θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή την f: με f() 3 η οποία είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών, άρα και στα διαστήματα:, και, Έχουμε: 4 f 3 και f() 3 1 Επομένως f f(), άρα ισχύει για την f στο, το θεώρημα του Bolzano, συνεπώς υπάρχει 1,, ώστε f 1 31 1 Επίσης έχουμε: 4 f() 31 και f 3 Επομένως f f(), άρα ισχύει για την f στο, το θεώρημα του Bolzano, συνεπώς υπάρχει, f 3, ώστε Συνεπώς η εξίσωση 3 έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο διάστημα, 3 n 5 5,, έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο διάστημα 1,4 3 Μετασχηματίζουμε την εξίσωση 3 n 5 5,, στην ισοδύναμη 13 Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3 3 εξίσωση: 3 n 5 5,, και θεωρούμε τη συνάρτηση που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή την f: με 3 f() 3 n 5 5,, η οποία είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών, άρα και στα διαστήματα: 1, 3 και 3, 4 f 1 31 n11 51 511 και Έχουμε: 3 3 f(3) 33 n3 53 53745153 Επομένως f1 f(3), άρα ισχύει για την f στο 3 συνεπώς υπάρχει 1,3, ώστε 1 14 1, 3 το θεώρημα του Bolzano, f 3 n 5 5 1 1 1 1 1 1

f(3) 33 n3 53 53745153 και 3 Έχουμε: 3 f434n44 54 54n4648 n44 Επομένως f3f(4), άρα ισχύει για την f στο 3 συνεπώς υπάρχει 3,4, ώστε Τελικά, η εξίσωση 3 διάστημα 1, 4 3, 4 το θεώρημα του Bolzano, f 3 n 5 5 3 n 5 5,, έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο Τεχνική Ζ: Συνάρτηση που διατηρεί σταθερό πρόσημο Στη περίπτωση που μας ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε ένα διάστημα Δ, εργαζόμαστε ως εξής: Με εις άτοπο απαγωγή και γνωρίζοντας ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει f() για κάθε, (, ) τότε οι τιμές τις f έχουν σταθερό πρόσημο στο (, ), δηλαδή είναι: ή f() για κάθε (, ) ή f() για κάθε (, ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και 1, ρ δυο διαδοχικές ρίζες της, με 1 ρ, τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, ρ, δηλαδή είναι: ή f() για κάθε, ρ ή f() 1 1 για κάθε, ρ 1 Παραδείγματα 14 Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει κάθε, i Να δειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα, ii Αν f(), να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f f () 4, για i Έστω ότι η συνάρτηση f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, επομένως θα υπάρχουν, 1, με 1 f1f Συνεπώς, αν καλέσουμε min 1, ma 1, τότε f f διάστημα,, τέτοιο ώστε f,, ώστε να είναι και, οπότε για την f έχει εφαρμογή στο το θεώρημα του Bolzano, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα Άρα η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα, f( ) f( ) f( ) Επομένως έχουμε: f ( ) 4 4, άτοπο,,, 15

ii f () 4,, f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, f() f () 4,, f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, f () 4,, f() 15 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: για τις οποίες ισχύει: n f() e f() g() για κάθε Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Έστω ότι η συνάρτηση f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, επομένως θα υπάρχουν, 1 με 1, ώστε να είναι f1f Συνεπώς, αν καλέσουμε min 1, και ma 1, τότε έχει εφαρμογή στο διάστημα, τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε f f f, οπότε για την f το θεώρημα του Bolzano, άρα υπάρχει f() f() f() Επομένως έχουμε: nf() ef()g() ne 1,,,, άτοπο Άρα η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Τεχνική Η: Ύπαρξη ή ξ ή θ ή ώστε να ικανοποιείται μια σχέση Στη περίπτωση που μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει κάποιο ή ή ή (δεν έχει σημασία το πώς το καλούμε) ώστε να ισχύει μια σχέση με συνηθέστερη μορφή μια από τις ακόλουθες: f g f f ( ) f( ) f g εργαζόμαστε ως εξής: i Θέτουμε στη ζητούμενη σχέση, όπου ή ή ή το, κάνουμε πράξεις και φέρνουμε τη ζητούμενο στη μορφή: h() ii Δείχνουμε ότι η συνάρτηση h που καθορίζει το 1 ο μέλος της εξίσωσης, είναι συνεχής iii Δείχνουμε ότι έχει εφαρμογή το θεώρημα του Bolzano για τη συνάρτηση h σε κατάλληλο διάστημα Πρόσεξε Ότι Αν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι: 16

Η εξίσωση f() g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα (, ) ή [, ], Υπάρχει (, ) ή [, ] έτσι ώστε να ισχύει f( ) g( ), Οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη (, ) ή [,, ] τότε: Θέτουμε στη ζητούμενη σχέση, όπου ξ το και: ή θεωρούμε τη συνάρτηση: h() f() g(),, ή μετασχηματίζουμε τη δοσμένη εξίσωση σε άλλη μορφή, οπότε θα προκύψει μια νέα συνάρτηση h για την οποία θα εφαρμόζονται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano στο [, ] ή θα βρίσκουμε τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της, τα οποία θα είναι ετερόσημα και θα ισχύει ένα από τα εξής: είτε Lim f () ή Lim f () και Lim f () ή Lim f (), οπότε θα υπάρχουν, 1 (, ) με 1 πολύ κοντά στο α, και πολύ κοντά στο β, τέτοια ώστε f( 1) και f( ), οπότε στο διάστημα [ 1, ] εξασφαλίζουμε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano, οπότε και την ύπαρξη ρίζας στο ( 1, ) (, ) είτε Lim f () ή Lim f () και Lim f () ή Lim f (), οπότε θα υπάρχουν, 1 (, ) με 1 πολύ κοντά στο α, και πολύ κοντά στο β, τέτοια ώστε f( 1) και f( ), οπότε στο διάστημα [ 1, ] εξασφαλίζουμε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Bolzano, οπότε και την ύπαρξη ρίζας στο ( 1, ) (, ) Παραδείγματα 16 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:1,3 Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα f 1 3 1,3, ώστε να ισχύει: 1 3 Θέτουμε στη ζητούμενη σχέση όπου ξ το οπότε αναζητάμε τουλάχιστον μια λύση f 1 3 1, 3 της εξίσωσης: 1 3 Επειδή το δεύτερο μέλος δεν ορίζεται για 1 και 3, κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών και καταλήγουμε στην εξίσωση: f 1 3 3 3 1 f 1 3 3 3 1 Οδηγούμαστε λοιπόν στη συνάρτηση: g() f 1 3 3 3 1, 1,3 1, 3 Έχουμε: g1 f1 113111 3 31 1 και g(3) f 31333333931 18 17, η οποία είναι συνεχής στο

Επομένως g1 g(3), άρα ισχύει για την g στο συνεπώς υπάρχει 1, 3, ώστε g f 1 3 3 3 1 1, 3 το θεώρημα του Bolzano, f 1 3 1 3 17 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:, αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, με f και f Να, ώστε να ισχύει: f Θέτουμε στη ζητούμενη σχέση όπου ξ το οπότε αναζητάμε τουλάχιστον μια λύση, f f της εξίσωσης: Οδηγούμαστε λοιπόν στη συνάρτηση: g() f,, συνεχής στο, Έχουμε: gf και g f Επομένως f, η οποία είναι f g g( ), άρα ισχύει για την g στο, το θεώρημα του Bolzano, συνεπώς υπάρχει,, ώστε gf f 18 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και «1-1» στο διάστημα 3,5, να δείξετε ότι υπάρχει f (3) f(5) τουλάχιστον ένα 3,5, ώστε να ισχύει: f 3 Θέτουμε στη ζητούμενη σχέση όπου ξ το οπότε αναζητάμε τουλάχιστον μια λύση 3,5 της εξίσωσης: f(3) f(5) f 3f () f (3) f (5) 3f () f (3) f (5) 3 Οδηγούμαστε λοιπόν στη συνάρτηση: g() 3f() f(3) f(5), 3,5, η οποία είναι συνεχής στο 3,5 Έχουμε: g 3 3f (3) f (3) f (5) f (3) f (5) και g53f(5) f(3) f(5) f(5) f(3) f(3) f(5) f:11 Επομένως g 3g(5) 4f (3) f (5), ( 3 5 f(3) f(5) την g στο 3,5 το θεώρημα του Bolzano, συνεπώς υπάρχει 3,5 ), άρα ισχύει για f(3) f(5) g3f( ) f(3) f(5) f 3, α,β IR με α < β, για την οποία ισχύει: 19 Δίνεται η συνάρτηση f:, (1) για κάθε,y, f() f(y) y i η f είναι συνεχής ii Αν α f() β Να αποδείξετε ότι: για κάθε,, τότε υπάρχει ξ α,β, ώστε με h(ξ)=ξ 18

i Θα δείξουμε ότι για κάθε, lim f() f( ) : lim f() f( ) ή ισοδύναμα: Η δοσμένη σχέση μας δίνει: f() f( ) f() f( ) Επειδή lim lim, από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: lim f() f( ) lim f() f( ) o ii Θεωρούμε τη συνάρτηση: h() f(), Η h είναι συνεχής στο,, ως διαφορά των συνεχών συναρτήσεων f (), με h( ) f( ) α Είναι: και επειδή f() h(β) f( ) β έχουμε: f( ) f( ) h( ) Άρα h( ) h( ) f( ) f( ) h( ) Αν h( ) h( ) τότε h( ) ή h( ) οπότε f( ) με ή Αν h( ) h( ) από το θεώρημα του Bolzano υπάρχει (α, β) με h( ) f( ) ξ f( ) ξ Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, υπάρχει, με f( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό zci IR η εξίσωση τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα (1, 1) Η εξίσωση z z z z είναι ισοδύναμη με την 1 1 ( 1) z z z z ( 1), 1 z z zz 1 1 Θεωρούμε τη συνάρτηση: f: 1,1 με f() ( 1) z z z z ( 1) Αν z i,,, έχουμε: f() (1) ( α) i(β-β) ( ) i(β-β) ( 1) f() ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) η οποία είναι συνεχής στο 1,1 διότι: οι υπόριζες ποσότητες είναι συνεχείς συναρτήσεις, ως δευτεροβάθμιες πολυωνυμικές και οι συναρτήσεις οι 1, +1 είναι συνεχείς, συνεπώς η f είναι συνεχής σαν πράξεις συνεχών Είναι f( 1) 4 και f(1) 4, οπότε f( 1) f(1) 16 Είναι γιατί z CI IR, οπότε έχει εφαρμογή το θεώρημα του Bolzano, επομένως υπάρχει 1, 1 ώστε: z z z z f( ) ( 1) zz zz ( 1) 1 1 έχει 19

413 Ασκήσεις με υπόδειξη λύσης Υποδείξεις Bolzano στο [1,e] για την f() ln ln Bolzano στα [,1] και [1, ] για την 3 f() 4 3 8 6 Δείξτε τη συνέχεια στο 1 και Bolzano στα [ 1,1] και [1, ] και μονοτονία Απαλοιφή παρονομαστών και για τη συνάρτηση που θα προκύψει εφαρμόστε Bolzano στα [ 1,] και [,1] Bolzano στο [, ] για την h() f() Bolzano στο [, ] για την h() f() Bolzano στο [, ] για την h() f() g() Κάντε απαλοιφή παρονομαστών και για τη συνάρτηση που θα προκύψει Bolzano στο [, ] Κάντε απαλοιφή παρονομαστών και για τη συνάρτηση που θα προκύψει Bolzano στο [, ] Διάβασε τις τεχνικές Γ, Η Εκφωνήσεις Θέμα 1 ον Έστω η εξίσωση ln ln Να δείξετε ότι έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1, e) Θέμα ον 3 Έστω η εξίσωση 4 3 8 6 Να δείξετε ότι έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο (, ) Θέμα 3 ον 1, 1 1 Έστω η συνάρτηση f() Να δείξετε ότι 3 61, 1 έχει ακριβώς δυο ρίζες στο ( 1, ) Θέμα 4 ον Έστω η εξίσωση, με, β, γ (, π) Να δείξετε 1 1 ότι έχει δυο ακριβώς ρίζες στο ( 1, 1) Θέμα 5 ον Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [, β] και ισχύει f() για κάθε [, β] Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [, β] Θέμα 6 ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο [, β] και για την οποία ισχύει ότι f( ) f( ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα [, β] τέτοιο ώστε f( ) o Θέμα 7 ον Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g οι οποίες ορίζονται στο [, β] και για τις οποίες ισχύει ότι f( ) f( ) g( ) g( ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f() g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [, β] Θέμα 8 ον Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [, β] με, και ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε [, β] Να δείξετε ότι υπάρχει f( ) [, β] τέτοιο ώστε να ισχύει f( ) Θέμα 9 ον Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [, β] και ισχύει f( ) f( ) για κάθε [, β] Να δείξετε ότι υπάρχει f( ) f( ) (, β) τέτοιο ώστε να ισχύει Θέμα 1 ον Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f, g οι οποίες ορίζονται στο [, β] και

Αν για κάθε (, ) είναι f(),τότε θα καταλήξετε σε άτοπο, οπότε Εξασφαλίστε τη συνέχεια στη θέση 1, δηλαδή 1 im f() f( 1) και im f() f( 1) 1 καθώς f( ) f() Διάβασε τη τεχνική Στ και μελέτησε τα λυμένα παραδείγματα Διάβασε τη τεχνική Ε και μελέτησε τα λυμένα παραδείγματα Δείξτε ότι ισχύει το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα [ 1,1] για τη συνάρτηση h() f() 3 Δείξτε ότι f(1)< και f(3)> Με κριτήριο παρεμβολής βρείτε το imf() Bolzano στο,1 για τις οποίες ισχύει ότι f( ), f( ) και g() για κάθε (, β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο Θέμα 11 ον Έστω η συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα [, ] Αν 1,, 3 (, β) και ισχύει ότι f(1) f() f(3), να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, β) ώστε να ισχύει f( ) Θέμα 1 ον ( 1), 1 Δίνεται η συνάρτηση f με f(), 1 1, 1 1 Να προσδιορισθούν οι παράμετροι, ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [, ] Θέμα 13 ον Δείξτε ότι η εξίσωση 5 έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο, π Θέμα 14 ον * Δείξτε ότι η εξίσωση ln e έχει ακριβώς μια ρίζα στο Θέμα 15 ον f() Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι Lim 1 1 και (1) (1)f() ( 1) για κάθε i Να βρεθούν οι τιμές f( 1) και f(1) ii Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε ένα τουλάχιστον σημείο ( 1, 1) Θέμα 16ον Η συνάρτηση f: είναι συνεχής στο Αν f()=f(4)= και f(3)>f(3+3) για κάθε, να αποδείξετε ότι: 1, 3 τέτοιο ώστε f(ξ)= Υπάρχει Υπάρχει 3, 3 τέτοιο ώστε f Θέμα 17ον * Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει: f() e i Να βρεθεί η τιμή f() 1 ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() e έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα,1 iii Αν f(α) = και f(β) = e - 1, α < β, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, έτσι ώστε f( ) f(1) 1 τουλάχιστον 1