Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμπληρώνει την ενότητα «Αξιολόγηση Εργασίας» και στα δύο αντίγραφα και επιστρέφει το ένα στον φοιτητή μαζί με τα σχόλια επί της Γ.Ε., ενώ κρατά το άλλο για το αρχείο του μαζί με το γραπτό σημείωμα του Συντονιστή, εάν έχει δοθεί παράταση. Σε περίπτωση ηλεκτρονικής υποβολής του παρόντος εντύπου, το όνομα του ηλεκτρονικού αρχείου πρέπει να γράφεται υποχρεωτικά με λατινικούς χαρακτήρες και να ακολουθεί την κωδικοποίηση του παραδείγματος: Π.χ., το όνομα του αρχείου για τη 4η Γ.Ε. του φοιτητή ΙΩΑΝΝΟΥ στη ΠΛΗ1 πρέπει να γραφεί: «ioannou_ge4_plh1.doc». ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ονοματεπώνυμο Διεύθυνση Τηλ/φωνο Ηλ/νική διεύθυνση φοιτητή Κωδικός Θ.Ε. Κωδικός Τμήματος ΠΛΗ 1 Ακ. Έτος 011-1 α/α Γ.Ε. 4 Ονοματεπώνυμο Καθηγητή - Συμβούλου Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής σύμφωνα με το ακ. ημερολόγιο (ημέρα Τρίτη) Ημερομηνία αποστολής Γ.Ε. από τον φοιτητή Επισυνάπτεται (σε περίπτωση που έχει ζητηθεί) η άδεια παράτασης από τον Συντονιστή; 0/03/01 ΟΧΙ Υπεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαιώνω ότι είμαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιμασία της είναι πλήρως αναγνωρισμένη και αναφέρεται στην εργασία. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδομένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασμένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιμάστηκε από εμένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριμένη Θεματική Ενότητα.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ημερομηνία παραλαβής Γ.Ε. από τον φοιτητή Ημερομηνία αποστολής σχολίων στον φοιτητή Βαθμολογία (αριθμητικώς, ολογράφως) Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Καθηγητή-Συμβούλου ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> 1/8

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 13 Φεβρουαρίου 01 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 16 Μαρτίου 01 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετώνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των υποδείξεων και παραπομπών στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της τέταρτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα 5 (Παράγωγος) Ενότητα 6 (Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού) Ενότητα 7 (Ακρότατα) Ενότητα 8 (Το ανάπτυγμα Taylor) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Λογισμός Μιας Μεταβλητής» του Γ. Δάσιου. Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη http://edu.eap.gr/pli/pli1/students.htm ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Λογισμός Παράγωγοι, Βασικά Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού, Σειρές Taylor. Στόχοι: Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η κατανόηση της έννοιας της παραγώγου και των εφαρμογών της στον υπολογισμό ορίων, εύρεσης ακρότατων και μελέτης συνάρτησης. Επίσης σκοπός είναι η κατανόηση ανάπτυξης και εφαρμογής της πολυωνυμικής προσέγγισης μέσω των σειρών Taylor. ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> /8

Άσκηση 1 (5 μονάδες) α) (Μον. 10) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο a b, εάν 4 f( ). 9, εάν 4 Να προσδιορισθούν τα a, b ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη για κάθε. β) (Μον. 9) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την πρώτη παράγωγο των συναρτήσεων i) g 5 ii) ln 1 h ( ) 1 m γ) (Μον. 6) Να υπολογίσετε την δεύτερη παράγωγο l () της συνάρτησης l cos n όπου m, n μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και στην συνέχεια τις τιμές l (0), l (0), l (π), l (π). iii) k ln 1 1 ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> 3/8

Άσκηση (15 μονάδες) α. (Μον. 7) Με χρήση του θεωρήματος μέσης τιμής να αποδείξετε ότι ισχύει sin cos 1 για κάθε 0,. β. (Μον. 8) Θεωρούμε την συνάρτηση f ( ). i) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας Τ που εφάπτεται στο γράφημα της f (σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οy) στο σημείο ( t, f ( t )) όπου t>0. ii) Στη συνέχεια, να δείξετε ότι η ευθεία Τ τέμνει τον άξονα των σε μοναδικό σημείο με γνήσια θετική τετμημένη. Την τετμημένη αυτή να την ονομάσετε g(t) και να καθορίσετε τον τύπο της. iii) Να δείξετε ότι ορίζεται ακολουθία θετικών αριθμών με δεδομένο 1 > και τον αναδρομικό τύπο n 1 g( n), n=1,,3,. Δείξτε ότι η ακολουθία αυτή είναι κάτω φραγμένη από το, φθίνουσα και βρείτε το όριό της. Υπόδειξη: Η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας στο γράφημα της y f ( ) στο σημείο ( 0, f ( 0)) είναι y f ( 0 ) f ( 0 )( 0 ). Δηλαδή η εφαπτομένη ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) f '( 0) y f ( ) f ( )( ) 0 0 0 f ( 0) y f ( ) 0 ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> 4/8

Άσκηση 3. (0 μονάδες) α) (Μον. 16) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : 1 i) lim 1, ii) ln( b) lim, a, b>0, iii) lim a β) (Μον. 4) Εφόσον υπολογίσετε το όριο lim 1 1 ln, iv) lim sin cos n, να δείξετε ότι lim n 1 1. n. ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> 5/8

Άσκηση 4 (5 μονάδες) 1 α) (Μον.15) Δίνεται η συνάρτηση f( ) 1, με,. Να προσδιορίσετε: i) Τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία είναι α) αύξουσα, β) φθίνουσα ii) Τα τοπικά ακρότατά της (μέγιστα και ελάχιστα). iii) Τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της στα οποία α) στρέφει τα κοίλα άνω, β) στρέφει τα κοίλα κάτω. iv) Τα σημεία καμπής. v) Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Οy. vi) Τις ασύμπτωτες της f. vii) Συνοψίστε σε έναν πίνακα τα παραπάνω στοιχεία και δώστε μία γραφική παράσταση της συνάρτησης. β) (Μον.10) Σε ορθοκανονικό σύστημα Οy θεωρούμε σημείο Α στο πρώτο τεταρτημόριο του μοναδιαίου 1 κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων και τις προβολές αυτού Β και Γ Γ Α στους άξονες των, y αντίστοιχα. Να βρεθεί η θέση του Α ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΟΓ να είναι μέγιστο. Υπόδειξη: Για τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου ισχύει ΟΒ +ΟΓ =1 (Πυθαγόρειο Θεώρημα). 0.5 Ο Β 0.5 1 ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> 6/8

Άσκηση 5 (Μον. 15) 1 α) (Μον. 6) Δίνεται η συνάρτηση f()=. Να δείξετε ότι η n-οστής τάξης παράγωγός της είναι (1 ) ( n) ( n 1)! f ( ), n. n (1 ) β) (Μον. 6) Nα υπολογίσετε το ανάπτυγμα Maclaurin της f καθώς και τις τιμές του για τις οποίες υπάρχει απόλυτη σύγκλιση. γ) (Μον. 3) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο αποτέλεσμα, να υπολογιστεί το άθροισμα της σειράς n 1 1 3 n n ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> 7/8

Για τον προγραμματισμό της μελέτης σας υπάρχει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης το οποίο περιέχεται στον Οδηγό Σπουδών της Θ.Ε. Ο ακόλουθος πίνακας δεν έχει σκοπό να υποκαταστήσει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης, αλλά να υποδείξει ορισμένα σημεία του διδακτικού υλικού τα οποία σχετίζονται αμέσως με τις ασκήσεις της 4 ης Γ.Ε. Άσκηση Θεωρία Συναφείς Ασκήσεις Άλλες Ασκήσεις 1 Η άσκηση αναφέρεται στην έννοια της παραγώγου και σε εφαρμογή των κανόνων παραγώγισης..η αντίστοιχη θεωρία είναι: Ενότητα 5 του βιβλίου (Παράγωγοι) και ειδικότερα οι 1,,3. Σ.Ε.Υ.: Λογισμός. Παράγωγοι (Κεφ.6) Εργασία 4,010-11,Ασκ1(ι,ιι) Εργασία 4,009-10,Ασκ1(ι,ιι) Εργασία 4,008-09,Ασκ1(ι,ιι) Εργασία 4,007-08 Ασκ.. Εργασία 4,006-07 Ασκ.β Ασκ.4α. Εργασία 4, 00-3, Άσκ.1 Σ.Ε.Υ. Ασκήσεις του αρχείου: Παράγωγοι (Κεφ.6) Εργασία 4,007-08 Ασκ Ασκ. αυτοαξιολόγησης της ενότητας 5 του βιβλίου Για το α ερώτημα εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής για την απόδειξη ανισώσεων. Στο ερώτημα β τίθεται το θέμα του προσεγγιστικού υπολογισμού ριζών μέσω επαναληπτικής μεθόδου. Η σχετική θεωρία είναι: Ενότητα 6 του βιβλίου (Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού) και ειδικότερα η 6.1 και η 6.. 3 Η άσκηση αναφέρεται σε εφαρμογή της παραγώγου στον υπολογισμό ορίων. Η αντίστοιχη θεωρία βρίσκεται στην 6.3 του βιβλίου και στην 7.8 του αρχείου «Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού» στο Σ.Ε.Υ. 4 Το α ερώτημα αφορά την μελέτη συνάρτησης (Διαστήματα μονοτονίας, τοπικά και ολικά ελάχιστα-μέγιστα, σημεία καμπής, κυρτότητα καμπύλης, ασύμπτωτες) Ενότητα 7 του βιβλίου (Ακρότατα). Στο β ερώτημα έχουμε μία εφαρμογή εύρεσης μεγίστου σε γεωμετρικό πρόβλημα. 5 Οι βασικές έννοιες για την πολυωνυμική προσέγγιση συναρτήσεων υπάρχουν στην Ενότητα 8 του βιβλίου μας και στο Σ.Ε.Υ. (σειρές Taylor). Παράδειγμα σελ.94, άσκηση αυτοαξιολόγησης 1 σελ.96 του βιβλίου. Εργασία 4, 010-11,Ασκ1(ιιι) Εργασία 4, 009-10,Ασκ1(ιιι) Εργασία 4, 008-09,Ασκ1(ιιι) Εργασία 4,005-06,Ασκ. 7 Εργασία 4,00-03,Ασκ. 5 Εργασία 4 004-5 Άσκ.3 Εργασία 4, 006-07,Ασκ.7 Σ.Ε.Υ. Παραδείγματα 7.8. 7.8.8. Εργασία4 010 Ασκ(i) Εργασία4 009 Ασκ(i) Εργασία4 008 Ασκ Σ.Ε.Υ. Κεφ. 7., 7.3, 7.4(πρδ. 7.4.3), 7.5 (Πρδ. 7.5.1), 7.6 (Πρδ. 7.5.1, 7.5.) Εργασία 4, 010, Ασκ. 3 Εργασία 4, 009, Ασκ. 3 Εργασία 4, 008, Ασκ. 3 Εργασία 4, 007, Ασκ. 3 Εργασία 4, 006, Ασκ. 5 Εξετ. 010-11(α), Άσκ. 4 Α Εξετ. 009-10(α), Άσκ.4ii(a,b) Εργασία 4 005-6 Άσκ. 5 α Εργασία 4, 007, Ασκ. 4β Σ.Ε.Υ. Παραδείγματα 1, 3(α), Εργασία4 010 Ασκ. 4, Εργασία4 009 Ασκ. 4, Εργασία6 008 Ασκ. 5(δ), Εργασία4 008 Ασκ. 4, Εργασία5 007 Ασκ. 1, Εργασία4 005 Ασκ. 6, Εργασία6 004 Ασκ. 9(α). Σ.Ε.Υ. Ασκήσεις του αρχείου: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού (Κεφ.7) και ειδικότερα της 7.1.4 Εργασία 4,006-07 Ασκ.4β, Ασκ. 7 Εργασία 4, 001-0,Ασκ1 Εργασία 4 004 Ασκ6(γ) Εργασία 4, 007, Ασκ.4 Εργασία 4, 008, Ασκ.γ Εργασία 4, 006, Ασκ.6 Εξετ. 010-11(β), Άσκ.4Α Εξετ. 009-10(β), Άσκ.4α Εργασία5 001 Ασκ. 1(α), Εργασία6 001 Ασκ. 10, Εργασία5 00 Ασκ. 1, Εργασία6 00 Ασκ. 10, Εργασία4 003 Ασκ. 9, Εργασία4 003 Ασκ. 10, Εργασία6 003 Ασκ. 10, Εργασία4 004 Ασκ. 6(β)(γ). Σημείωση: Οι παραπάνω παραπομπές αναφέρονται στο βιβλίο «Λογισμός μίας μεταβλητής», Τόμος Α του Γεωργ. Δάσιου (αναφέρεται ως Βιβλίο στον προηγούμενο πίνακα) και στο υλικό που υπάρχει αναρτημένο στην ιστοσελίδα http://edu.eap.gr/pli/pli1/. Για παράδειγμα, η παραπομπή Εργασία1 010 Ασκ5β αναφέρεται στην Άσκηση 5β της Εργασίας 1 του ακαδημαϊκού έτους 010-11. Όλες οι παραπομπές σε Ασκήσεις του Σ.Ε.Υ. αναφέρονται σε λυμένες ασκήσεις. ΠΛΗ1 ΕΡΓ_4 011-01 <ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ> 8/8