ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: f ( )=. Μονάδες Α. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R. Πότε η ευθεία y=λ+β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z = β) Μια συνάρτηση f :A R λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, Aισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f( ) f( ) γ) Για κάθε R = R { συν = } ισχύει: ( εφ )' = συν ημ δ) Ισχύει ότι: lim = + ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y= που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. Μονάδες ΘΕΜΑ Β Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με z ικανοποιούν τις σχέσεις: 3i, οι οποίοι
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ z 3i + z+ 3i = και w = z 3i + z 3i Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι z + 3i = z 3i Μονάδες 4 Β3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w Μονάδες 8 Β4. Να αποδείξετε ότι: z-w = z Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f:r R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με f ()=f()=, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: (f ()+f ()-)=f ()+f () για κάθε R. Γ. Να αποδείξετε ότι: f()=ln( -), R Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3 Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής. Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( -)=συν έχει ακριβώς π μια λύση στο διάστημα (, ) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g: R κάθε R ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f()> και g()> R, οι οποίες για
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ii) iii) f() = t g(+ t) t g() = f(+ t) dt dt Δ. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και ότι f()=g() για κάθε R. Μονάδες 9 Δ. Να αποδείξετε ότι: f()=, R Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: lim ln f () f Μονάδες 4 Μονάδες 5 Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης F() = f (t )dt τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση = Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σελίδα 6 σχολικό βιβλίο Α. Σελίδα 8 σχολικό βιβλίο Α3. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Είναι z 3i = z 3i = z+ 3i. Οπότε z 3i z 3i z 3i z 3i + + = = =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι κύκλος C με κέντρο Κ(,3) και ακτίνα ρ =
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β. Έχουμε z 3i = z 3i = z 3i z 3i = z 3i z+ 3i = Άρα z + 3i = z 3i Β3. w= z 3i+ = z 3i+ z+ 3i= z+ z= R(z) z 3i Άρα w Α τρόπος Αν z = + yi με,y Έχουμε C: + (y 3) = = y 3,οπότε [,] Οπότε R(z) w Β τρόπος: w = z 3i + z 3i z 3i z 3i z 3i + z 3i = + + = Άρα w Β4. Α τρόπος z w = + yi = + yi = + y = + y = z Β τρόπος Έχουμε w= z 3i+ z w= 3i z 3i z 3i z w = 3i = 3i ( z+ 3i) = z = z z 3i ΘΕΜΑ Γ f + f = f + f ή Γ. Έχουμε: f f f f + = + ή ( f ) = f
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Άρα υπάρχει c ώστε Για = έχουμε: f = f + c, f = f + c, οπότε c = Επομένως f = f f = () Αν g =, τότε g =,. Επειδή g ( ) =, g <, για κάθε < και g >, για κάθε >,η g στο = παρουσιάζει ελάχιστο το g() = Άρα για κάθε ισχύει g g() > Από () προκύπτει: f = ( ) Επομένως f = ή f = ln ( ) Άρα υπάρχει f = ln + c, c ώστε Για = έχουμε: f( ) = ln+ c, οπότε c = f() = ln, Επομένως Γ. Για κάθε έχουμε: f = Έχουμε f = = Το πρόσημο της f, το είδος μονοτονίας της f και το ακρότατο της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f () + f() Γνησίως φθίνουσα Γνησίως αύξουσα Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Για = η f παρουσιάζει ελάχιστο το f() = = Γ3. Για κάθε έχουμε: f ( )
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Θεωρούμε την συνάρτηση h Οπότε f ( ) =, R ( ) =. h, Η h είναι παραγωγίσιμη στο με h = ( ) Έχουμε h = = + h + h Γνησίως αύξουσα Γνησίως φθίνουσα h() = lim ( ) = + lim lim lim = = = ( ) lim h = lim = = =, αφού lim = + lim h lim + + και lim + =+ H h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A (,] οπότε ha = ( limh,h = (, ] και αφού υπάρχει μοναδικό ξ (,) ώστε ( ) δηλαδή h(a ) f ξ = Για ξ< < είναι =, h ξ =, h ξ < h h() >, δηλαδή f > Για <ξείναι h h( ) h() f < Η f στο =ξπαρουσιάζει σημείο καμπής < ξ <, δηλαδή
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ H h είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A =, +, οπότε [ ) = ( = ( ] ha limh,h, και αφού + h(a ) υπάρχει μοναδικό ξ (, + ) ώστε h( ξ ) =, f ξ = δηλαδή Για f > Για < <ξ είναι >ξ είναι f < h > h ξ h() >, δηλαδή h < h ξ h() <, δηλαδή Η f στο =ξπαρουσιάζει σημείο καμπής Άρα η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής Γ4. Θεωρούμε την συνάρτηση π ϕ = ln( ) συν,, π Η φ είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων ϕ = ln συν = < π π π π π ϕ ln = συν = f > f ( ) = Άρα ϕ( ) ϕ π <, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση φ()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο π, π Για κάθε, έχουμε ϕ = +ημ >
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο π,, οπότε η εξίσωση φ() = δηλαδή η εξίσωση ( ) λύση στο διάστημα π, ΘΕΜΑ Δ Δ. Θέτουμε u = + t du = + t dt du = dt Οπότε Επομένως t u ( + ) ln =συν έχει ακριβώς μια u gu dt = du = g t gu Για t = έχουμε u = Για t = έχουμε u = u du u u f g( u) = = = + f du f du gu gu du Επειδή η συνάρτηση u gu συνεχών συναρτήσεων η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο είναι συνεχής στο ως πηλίκο u du είναι gu Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f = f g =, () g
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ u Ομοίως αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση g = + du f( u) είναι παραγωγίσιμη στο με g = g f =, R () f Από (),() προκύπτει: f g = g f f g g f = g f f g g f f = ή = οπότε, υπάρχει g σταθερά c ώστε c g =, Για = έχουμε: c =, αφού f() = g() =. Άρα f() = g(), Δ. Έχουμε f g = f f = f ή = f Οπότε υπάρχει c ώστε = + c Για =: c =. Επομένως f = και αφού f >, τότε f =, Δ3. + u= u u ln f ln ( ) lim = lim = lim = lim = lim = lim = u u u (u) f lim ( u ) = u t Δ4. F = f( t) dt= dt,
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Επειδή η συνάρτηση ( t) t ϕ = είναι συνεχής στο, η F είναι παραγωγίσιμη στο (οπότε και συνεχής στο ) με F = >, Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο Για για κάθε [,] ισχύει F F = Το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης F,τους άξονες και y y και την ευθεία με εξίσωση = είναι: E ( Ω= ) F ( ) d = ( ) F ( ) d = F ( ) F + ( ) d = d = = τμ Επιμέλεια: Κούσης Π. Σιφναίος Δ. Τζωρτζίνης Ι. Φιλιόγλου Β. Φλωρόπουλος Α.