ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας
ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,.. } το σύνολο των ακεραίων αριθμών Q = m : m, n Z, n 0 το σύνολο των ρητών n αριθμών, δηλαδή το σύνολο των κλασμάτων R : το σύνολο των πραγματικών αριθμών Ν Ζ Q R
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R θεωρείται ότι συμπίπτει με το σύνολο των σημείων μιας απέραντης ευθείας, η οποία λέγεται η ευθεία των πραγματικών αριθμών ή ο άξονας των πραγματικών αριθμών. Ειδικότερα, τα στοιχεία του υποσυνόλου Ζ σημειώνονται επί της πραγματικής ευθείας ως εξής: 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
Για την αλγεβρική παράσταση των σημείων του επιπέδου χρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο σύστημα δύο αξόνων. Οι κάθετες προβολές ενός σημείου Ρ του επιπέδου επί των δύο αξόνων ορίζουν δύο αριθμούς, y οι οποίοι λέγονται οι συντεταγμένες του σημείου Ρ, και ορίζουν αυτό μονοσήμαντα.
Το σημείο σημειώνεται επίσης ως (,y), δηλαδή Ρ = (,y). Αντιστρόφως, ένα τυχαία επιλεγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών ορίζει ένα σημείο Ρ = (,y) του επιπέδου y P
Πραγματικές συναρτήσεις. Έστω Α, Β κάποια σύνολα. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β είναι ένας κανόνας, βάσει του οποίου, σε κάθε στοιχείο Α αντιστοιχίζεται ένα μόνον στοιχείο yβ, το οποίο σημειώνεται επίσης ως f(). Το μονοσήμαντα ορισμένο αυτό στοιχείο λέγεται εικόνα του. O προηγούμενος ορισμός διατυπώνεται συμβολικά ως εξής: f : A B A f ( ) B
Αν Α,ΒR τότε η f λέγεται μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής (πραγματική συνάρτηση). Το λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Λέγεται επίσης, ότι η μεταβλητή y είναι συνάρτηση της μεταβλητής.
Παράδειγμα Σε κάποια χώρα ο προσδιορισμός του φόρου εισοδήματος γίνεται ως εξής: Οι πρώτες 10000 φορολογούνται με συντελεστή 5%, οι υπόλοιπες 20000 φορολογούνται με συντελεστή 10%, ενώ το υπόλοιπο κεφάλαιο φορολογείται με συντελεστή 20%. Επομένως, ο φόρος φ που αντιστοιχεί στο εισόδημα Ε είναι η εξής συνάρτηση του Ε: f ( E), 0 E
όπου 0.05, αν 0 10000 ( E ) 0.05 10000 0.1( 10000), αν 10000 30000 0.05 10000 0.1 20000 0.2( 30000), αν 30000
Μετά την εκτέλεση των πράξεων, η έκφραση λαμβάνει την εξής τελική μορφή: 1, αν 0 10000 20 1 ( E ) -500, αν 10000 30000 10 1 3500, αν 30000 5 Π.χ. σε κεφάλαιο Ε=22450 αντιστοιχεί φόρος 1 500 22450 1745 10
ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πεδίο ορισμού Α: το σύνολο των πραγματικών αριθμών, για τους οποίους η παράσταση f() έχει έννοια. π.χ. Για τη συνάρτηση είναι το σύνολο y Α = { R: -1 1}= [-1, 1] 1 2 το πεδίο ορισμού Το πεδίο ορισμού είναι συνήθως είτε διάστημα, είτε ένωση διαστημάτων.
Παράδειγμα 1 f ( ) 1 1 Πρέπει {-10 και +10} 1 και -1 Άρα το πεδίο ορισμού είναι Α={R/-1 και 1}
Ακόμη κάποιοι ορισμοί... y=f(), A, πραγματική συνάρτηση και A 1 A, Γνησίως αύξουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 )<f( 2 ), 1, 2 A 1 Αύξουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ), 1, 2 A 1 Γνησίως φθίνουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 )>f( 2 ), 1, 2 A 1 Φθίνουσα στο A 1 όταν 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ), 1, 2 A 1 Γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα γνησίως μονότονη συνάρτηση
f f ( 2 ) ( 1 ) f f ( 1 ) ( 2 ) 1 2 1 2 Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση
Ακρότατα συνάρτησης Η f έχει ελάχιστο στο 0 όταν: f()f( 0 ) Α. Η τιμή f( 0 ) λέγεται ελάχιστο της f Η f έχει μέγιστο στο 0 όταν: f()f( 0 ) Α. Η τιμή f( 0 ) λέγεται μέγιστο της f Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ακρότατα της f στο 0
y 30 10 y y=- 2 +2 20 10 y = 2 +2 0-5 0 5-10 0-20 -5-3 -1 1 3 5-10 Ελάχιστο -30 Μέγιστο
Εξίσωση ευθείας y=α+β 20 y 20 y 3 y 10 y =3-2 10 y =-3-2 1 y =-2 0-5 -3-1 1 3 5-10 0-5 -3-1 1 3 5-10 -5 0 5-1 -20 α>0-20 α<0-3 α=0 α : κλίση της ευθείας ή συντελεστής διεύθυνσης β : το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει το άξονα y
Κάποιες βασικές συναρτήσεις Δυνάμεις y= ν y= y= 2 y ν=1 ν=2 ν=1/2 y= 3 y 1 ν=3 ν=-1
Κάποιες βασικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση y=e, R, e=2.7182818 y =e 1
Εκθετική συνάρτηση Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο πραγματικών. των Παίρνει γνήσια θετικές τιμές. Είναι αύξουσα, και μάλιστα οριακά αυξάνει ταχύτερα απ όλες τις θετικές δυνάμεις.
Ιδιότητες εκθετικής συνάρτησης Αν,yR τότε: e e y y 0 1 e e e 1 y y y e e e e 1 e e y e
Λογάριθμος Έστω >0.Τότε ορίζουμε ln ή log e ως τον αριθμό yr με την ιδιότητα e y = 1 y y ln e, 0, y y = ln
Λογάριθμος Έχει πεδίο ορισμού τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς Είναι αύξουσα αλλά αυξάνει πολύ αργά, πιο αργά απ όλες τις θετικές δυνάμεις.
Ιδιότητες λογαρίθμου Έστω,y>0 τότε Απόδειξη lny = ln + lny Θέτοντας ln =α και lny = β έχουμε =e α και y =e β. Άρα y = e α e β = e α+β. Επομένως, lny =lne α+β =α+β. 1 ln ln y y ln ln ln y y ln(y) ln y ln y ln ln y ln1 0 ln 0
Αλλαγή βάσης Εκτός από την νεπέρια βάση (e), η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση μπορούν να οριστούν και ως προς οιαδήποτε γνήσια θετική βάση α 1, συνήθως α>1. Οπότε μπορούν να οριστούν οι συναρτήσεις: α : εκθετική με βάση α log α : λογαριθμική με βάση α
Αλλαγή βάσης Ισχύει y a log a y α log a y y log a Η εκθετική ή λογαριθμική συνάρτηση με βάση α μπορεί a e πάντα να εκφραστεί με βάση e : ln a, log a ln ln a
Πολυωνυμικές συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού R καλούνται οι συναρτήσεις της μορφής : f()=α o +α 1 1 +α 2 2 + +α n n, με α n 0 Ο βαθμός (degree) του πολυωνύμου καθορίζεται από τον όρο με την μεγαλύτερη δύναμη
Πολυωνυμική συνάρτηση 1 ου βαθμού Γραμμική συνάρτηση f()=α+β Πολυώνυμο 2 ου βαθμού Τετραγωνική ή παραβολική συνάρτηση f()=α 2 +β+γ, α 0 Πολυώνυμο 3 ου βαθμού κυβική συνάρτηση f()=α 3 +β 2 +γ+δ, δ 0
Σύνθεση συναρτήσεων Η σύνθεση δύο συναρτήσεων, των f() και g(), ορίζεται ως εξής: f(g()) ή f ० g() ή (f ० g)() Δηλαδή στην f() αντικαθιστούμε το με την g() Παράδειγμα 1) Αν f() = 2 και g() = -1 τότε f(g()) = (-1) 2 1) Αν f() = 2 +1 και g() = ln τότε g(f() = ln( 2 +1) 1) Αν f() = e και g() = 2 τότε f(g()) = e 2
Συνέχεια συναρτήσεων Γεωμετρική έκφραση της συνεχείας της y = f() Αν μια απειροελάχιστη μεταβολή Δ στο σημείο μπορεί να προκαλέσει μια ουσιώδη (όχι απειροελάχιστη) μεταβολή Δy του y η συνάρτηση είναι ασυνεχής στο. Η απότομη μεταβολή του y εμφανίζεται ως μια διακοπή της συνέχειας του διαγράμματος της συνάρτησης. Συνεχής στο Ασυνεχής στο Η συνάρτηση f θα λέγεται συνεχής στο σημείο όταν Δ0 Δy0 ή όταν lim y 0 0
Παράγωγος Παράγωγος συνάρτησης συμβολίζεται: y' f '( ) dy d df ( ) d f ( ) y f ( ) f ( ) Το όριο lim lim 0 0 λέγεται παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο. Δείχνει για κάθε τιμή του ποια είναι η η αντίστοιχη μεταβολή του y αν μεταβληθεί οριακά η τιμή του. f () παριστάνει την στιγμιαία ταχύτητα μεταβολής της f στο σημείο, δηλαδή την ταχύτητα με την οποία η f τείνει να λάβει γειτονικές τιμές της. Η παράγωγος καλείται και (οριακός) ρυθμός μεταβολής της y ως προς το d d
Κανόνες παραγώγισης 2 3) ) ( 2) ) ( 1) g g f g f g f g f g f g f g f g f
Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων f() f () c=σταθερά 0 1 ν ν ν-1 e e ln 1/ α α lnα 1 /(2 ) ημ συν συν -ημ f()=5 f ()=5 =0 f()= f ()= =1 f()= 4 f ()=4 3 f()=e f ()= e f()=ln f ()= 1/ f()=5 f ()= 5 ln5...
Παραδείγματα παραγώγων 1) f() = 3 + 2 + +1 (f+g) =f +g f () = ( 3 + 2 + +1) = = ( 3 ) + ( 2 ) + +1 = 3 2 + 2 + 1 + 0 2) f() = e (f g) =f g+f g f() = (e ) = e + (e ) = 1 e + e
Παραδείγματα παραγώγων 1) f() = 3 + 2 + +1 f () = ( 3 + 2 + +1) = = ( 3 ) + ( 2 ) + +1 = 3 2 + 2 + 1 + 0 2) f() = e f() = (e ) = e + (e ) = 1 e + e
Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης f (g()) = (f ० g) () = f (g())g () Παραδείγματα Αν f() = 3 και g() = 2 + τοτε f(g()) = ( 2 +) 3 [( 2 +) 3 ] = 3( 2 +) 2 ( 2 +) = 3( 2 +) 2 (2+1) [f() α ] = αf() α-1 f () Αν f() = ln και g() = 3+1 τότε f(g()) = ln(3+1) ln [f()] = [1/(3+1)](3+1) = [1/(3+1)]3 ln [(f()] = [1/f()]f ()