ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μθημτικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 18 Δεκεμβρίου 009 ΓΕΝΙΚΑ Είνι γνωστό ότι στ σχολικά Μθηµτικά, λλά κι στ πνεπιστηµικά, οι κωνικές τοµές µελετούντι (σχεδόν) πάντ µε τις µεθόδους της Ανλυτικής Γεωµετρίς (Α. Γ.). Η κτάστση υτή δηµιουργήθηκε σιγά-σιγά πό την εποχή κόµη του Νικηφόρου Θεοτόκη (1731-1800 µ.χ) ο οποίος στο έργο του, Στοιχεί Μθηµτικών εκ πλιών κι νεωτέρων συνερνισθέντ (Μόσχ 1798-1799) µελετά τις κωνικές τοµές κι µε µεθόδους της Α. Γ.. Η πράδοση υτή έχει δηµιουργήσει σήµερ την ντίληψη σε πολλούς σχολούµενους µε την Γεωµετρί, ότι οι κωνικές τοµές δεν είχν ποτέ µελετηθεί µε µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς (Ε. Γ.). Η λήθει βέβι είνι εντελώς διφορετική. Λίγ Ιστορικά Στοιχεί Αφορµή γι την νκάλυψη των κωνικών τοµών φίνετι ότι ήτν το περίφηµο «ήλιον Πρόβληµ»: Ν κτσκευστεί, µε κνόν κι διβήτη, κµή κύβου ο οποίος ν έχει όγκο διπλάσιο του όγκου ενός δοσµένου κύβου. Το πρόβληµ πρέµενε άλυτο γι πολλά χρόνι, µέχρι τη στιγµή που, όπως µς πληροφορεί ο Πρόκλος (450 περίπου µ.χ.), ο Ιπποκράτης ο Χίος ( 430 π.χ.) έκνε έν σηµντικό βήµ: διπίστωσε ότι το πρόβληµ είνι ισοδύνµο µε το ν πρεµβληθούν δυο µέσες νάλογοι µετξύ των τµηµάτων κι, όπου η κµή του δοθέντος κύβου, δηλδή ν κτσκευστούν τµήµτ κ, λ που ικνοποιούν τις σχέσεις κ κ λ. λ Τότε εύκολ προκύπτει κ 3 3, δηλδή το ζητούµενο τµήµ είνι το κ. Κτά πληροφορίες του Ερτοσθένη του Κυρηνίου (75-195 π.χ.) λλά κι του βυζντινού σχολιστή Ευτόκιου (6 ο ιών µ.χ.), ο πρώτος που συνέδεσε τ τµήµτ κ, λ µε τις τοµές κώνου φίνετι ότι ήτν ο Μένιχµος (375-35 π. Χ.) ο οποίος κι

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί έδωσε δυο «λύσεις» στο πρόβληµ υτό. Στην πρώτη θεωρώντς τ τµήµτ κ, λ σν τοµή δυο πρβολών κι στη δεύτερη σν τοµή µις πρβολής κι µις υπερβολής. Βέβι οι «λύσεις» υτές δεν είνι µε κνόν κι διβήτη, φού οι κµπύλες υτές δεν κτσκευάζοντι µε τον τρόπο υτό. Όπως ποδείχθηκε το 1837 (Θεώρηµ P.L. Wantzel) το «δήλιον πρόβληµ», όπως κι υτό της «τριχοτόµησης γωνίς», είνι δύντο. Στην συνέχει µε τις κωνικές τοµές σχολήθηκν ο Αριστίος ο πρεσβύτερος (30 π.χ. περίπου), ο Ευκλείδης (300 π.χ.) που έγρψν σχετικά βιβλί κι ο Αρχιµήδης ( 87-1 π.χ.). Η σχεδόν όµως εξντλητική µελέτη τους µε µεθόδους της Ε.Γ., ήλθε τον επόµενο ιών, µε τον Απολλώνιο του Περγίο ( 60-180 π.χ.), τον επονοµζόµενο κι «Μέγ Γεωµέτρη» µε το περίφηµο έργο του Κωνικά (7 βιβλί κι 1 χµένο). επόµενος µεγάλος στθµός στην πορεί µελέτης των κωνικών τοµών, ήτν η µελέτη τους υπό το πρίσµ της Προβολικής Γεωµετρίς τον 17 ο ιών. Ενδιφέρον γι τις κωνικές τοµές υπήρξε κι τον προηγούµενο ιών, λόγω της νάπτυξης της Άλγεβρς που οδήγησε βθµιί στην δηµιουργί της Ανλυτικής Γεωµετρίς, λλά κι των εφρµογών τους στην Αστρονοµί (τροχιές πλνητών, κοµητών κλπ). Μπροστά σε υτή την εθνική κληρονοµιά, το πύγσµ θ έλεγ της Αρχίς Ελληνικής Γεωµετρικής σκέψης, θεώρησ σκόπιµο ν δώσω τις ποδείξεις όλων των εφρµογών κι σκήσεων που υπάρχουν στο τωρινό σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου κι φορούν γενικές ιδιότητες των κωνικών τοµών, πρβολής, έλλειψης, κι υπερβολής µε µεθόδους της Ε. Γ. κι µε βάση τους ορισµούς κι την θεωρί που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο (οι ρχίοι Έλληνες Γεωµέτρες όριζν τις κωνικές τοµές διφορετικά, λλά ισοδύνµ). Φυσικά κι οι προτάσεις της θεωρίς που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο ποδεικνύοντι µε τις µεθόδους της Ε.Γ. λλά θ τις προυσιάσω σε άλλη ευκιρί. Οι λύσεις των σκήσεων υτών, γίνοντι κριβώς µε τη χρήση των ορισµών κι γενικά της θεωρίς του σχ. βιβλίου, ώστε ν είνι άνετη η διδσκλί τους στην Β Λυκείου κτεύθυνσης. Σκοπός του διδκτικού υτού υλικού είνι : ) Ν νδειχθεί κι ν φνεί έν µέρος της µελέτης των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ε.Γ., όπως περίπου τις µελέτησν οι Αρχίοι Έλληνες, 000 χρόνι πριν βρουν πρκτικές εφρµογές. β) Ν γίνει δυντή η σύγκριση των µεθόδων της Ε.Γ., οι οποίες χρκτηρίζοντι πό κοµψότητ κι λιτότητ, σε σχέση µε την λγεβρική βάσνο των µεθόδων της Α.Γ. Αυτό βέβι δεν σηµίνει ότι δεν υπάρχουν κι προβλήµτ Γεωµετρίς που λύνοντι πιο πλά µε την Α.Γ., πλά -πό επιστηµονικής πλευράς- επιλέγουµε κάθε φορά υτό που µς «συµφέρει» ή δίνει κοµψή λύση. Μπορούµε όµως γενικά ν πούµε ότι η Ε.Γ. υπερτερεί σε πιδγωγική ξί, ενώ η Α.Γ., άλγεβρ στην ουσί, είνι χρήσιµη σε πρκτικές εφρµογές (σύγχρονες µετρήσεις ποστάσεων, εµβδών, όγκων κλπ), γ) Ν µπορέσουν οι κθηγητές που διδάσκουν στην Β Λυκείου, ν προυσιάσουν στους µθητές τους, ν υπάρχει χρόνος, τουλάχιστον µι άσκηση ή εφρµογή πό κάθε κωνική τοµή του σχ. βιβλίου κι µε µεθόδους της Ε.Γ., ώστε ν δουν οι µθητές κι «τον άλλο πλιό κλό δρόµο» κι ν ισθνθούν, ίσως, το «χµένο Γεωµετρικό άρωµ», σε έν µη σκησιολογικό - εξετστικό τοµέ των µθηµτικών (γενικές ιδιότητες - θεωρήµτ κωνικών) ξιοποιώντς κι τις γνώσεις τους πό την Ε.Γ. Σηµ. Τ σχήµτ στην εργσί υτή έγινν µε την βοήθει του προγράµµτος uclidraw, προσφορά του Κθηγητή του Πνεπιστηµίου Κρήτης, κ. Πάρη Πάµφιλου τον οποίο κι ευχριστώ.

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 3. ΠΑΡΑΒΟΛΗ 1. Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 9. «Μι χορδή πρβολής τέµνει την πρβολή στ σηµεί Α, Β κι διέρχετι πό την εστί της Ε. Ν ποδειχθεί ότι το γινόµενο των ποστάσεων των Α, Β πό τον άξον της πρβολής είνι στθερό». Λύση Έστω πρβολή µε διευθετούσ (δ), εστί Ε κι πράµετρο ΕΜ p. Αν πράγµτι το γινόµενο υτό είνι στθερό, θ είνι το ίδιο γι οποιοδήποτε χορδή που διέρχετι πό την εστί, άρ κι γι την κάθετη στον άξον. Εύκολ βρίσκουµε τότε ότι ΑΖ ΒΗ ΑΖ p (υτή η κάθετη λέγετι εστικτοµή κι είνι ίση µε την πράµετρο της πρβολής). Θ προσπθήσουµε λοιπόν ν δείξουµε υτό. P (δ) Z Είνι ΑΖ pz, B p (βλ. σηµείωση), οπότε ΑΖ ΒΗ 4p ΟΖ (1) Από τ όµοι τρίγων ΑΕΖ, ΗΒΕ έχουµε (ΑΕ ΑΡ ΜΖ, ΒΕ ΒΚ Μ) Z Z Z p / + Z Z p / p Z ή ή B p / + p / p Οπότε 4ΟΖ p κι πό την (1), ΑΖ ΒΗ p. Πρτηρούµε ότι κι το γινόµενο των ποστάσεων των προβολών των Α, Β στον άξον της πρβολής, πό την κορυφή της πρβολής είνι στθερό (κι ίσο µε p /4). Σηµείωση Η ισότητ ΑΖ pz είνι µι ιδιότητ - χρκτηριστική- της πρβολής («σύµπτωµ» κτά τους ρχίους Έλληνες γεωµέτρες) που ποδεικνύετι µε βάση τον ορισµό της κι το Πυθ. Θεώρηµ κι εποµένως µπορούµε ν την χρησιµοποιούµε κι στην Ε.Γ. Στην Α.Γ. η ισότητ υτή ντιστοιχεί στην γνωστή µς εξίσωση πρβολής κλπ. Σχετική άσκηση Ισχύει το ντίστροφο: Αν το γινόµενο των ποστάσεων των άκρων µις χορδής ΑΒ πρβολής πό τον άξονά της είνι ίσο µε p, τότε η χορδή υτή διέρχετι πό την εστί της πρβολής. B

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 4. Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 96 (κι 98). «Αν οι εφπτόµενες πρβολής σε δυο σηµεί της Α, Β τέµνοντι πάνω στη διευθετούσ της, τότε η χορδή ΑΒ διέρχετι πό την εστί της πρβολής κι ντίστροφ». Λύση Έστω ότι οι εφπτόµενες στ σηµεί Α, Β τέµνοντι στο σηµείο Τ της διευθετούσς κι ΑΗ κάθετη στην διευθετούσ. Λόγω κι της νκλστικής ιδιότητς της 0 εφπτόµενης, τ τρίγων ΗΑΤ, ΑΤΕ είνι ίσ, οπότε η γωνί T 90 (υτό είνι το ζητούµενο της εφρµογής της σελίδς 98). Όµοι βρίσκουµε ότι η γωνί 0 TB 90, οπότε τ σηµεί Α, Ε, Β είνι συνευθεικά. (δ) T T ' B Αντίστροφ: Έστω µι χορδή ΑΕΒ πρβολής κι οι εφπτόµενες στ σηµεί Α, Β της πρβολής που τέµνουν την διευθετούσ στ σηµεί Τ, Τ ντίστοιχ. Τότε, 0 o όπως προηγουµένως T 90, λλά κι B T 90. Έτσι οι κάθετες ευθείες ΕΤ κι ΕΤ στην ΑΒ, συµπίπτουν, άρ κι τ σηµεί Τ, Τ. Εποµένως οι εφπτόµενες τέµνοντι πάνω στην διευθετούσ (κι µάλιστ τέµνοντι κάθετ: οι ΤΑ, ΤΒ είνι διχοτόµοι πρπληρωµτικών γωνιών ). Σχετική άσκηση ) Οι εφπτόµενες σε δυο διφορετικά σηµεί µις πρβολής τέµνοντι. β) Ο γ. τόπος των σηµείων (του επιπέδου µις πρβολής) πό τ οποί άγοντι κάθετες εφπτόµενες στη πρβολή είνι η διευθετούσ της.

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 5 3. Άσκηση 4, σελίδ 100. «Έστω Μ σηµείο της πρβολής y px. Ν ποδειχθεί ότι ο κύκλος µε διάµετρο ΕΜ, όπου Ε η εστί της πρβολής, εφάπτετι στον άξον y y». Απόδειξη Έστω πρβολή µε διευθετούσ (δ), εστί Ε κι πράµετρο ΕΜ p. Ο άξονς y y στην Ε.Γ. είνι πλά η κάθετη στο µέσο Ο του κθέτου τµήµτος ΕΗ στη διευθετούσ. (y) Z B (δ) Λ Έστω ΜΖ κάθετη στην διευθετούσ, άρ κι στην ΟΒ, Κ το µέσο του ΕΜ κι ΚΑ κάθετη στην ΟΒ. Γι ν δείξουµε ότι η ευθεί ΟΒ είνι εφπτοµένη στο κύκλο διµέτρου ΕΜ ρκεί ν δείξουµε ότι ΚΑ (ΕΑΜ ορθ. τρίγωνο στο Α κλπ). Από το τρπέζιο ΟΕΜΒ όπου η ΚΑ είνι διάµεσός του, έχουµε διδοχικά + B + B ZB + B Z ό.έ.δ. Σχετική Άσκηση Ο κύκλος µε διάµετρο µι χορδή πρβολής που διέρχετι πό την εστί της, εφάπτετι στην διευθετούσ της.

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 6 4. Άσκηση 5, σελίδ 100. «Έστω η πρβολή y px κι (ε) η εφπτοµένη σε έν σηµείο της Α. Αν η ευθεί ΟΑ τέµνει τη διευθετούσ της πρβολής στο σηµείο Β, ν ποδειχθεί ότι ΒΕ//(ε)». Λύση Έστω πρβολή µε διευθετούσ (δ), εστί Ε κι πράµετρο ΕΝ p. Έστω ότι η εφπτοµένη στο Α τέµνει τον άξον της πρβολής στο σηµείο Κ. Φέρνουµε την ΑΗ κάθετη στην διευθετούσ (δ), η οποί είνι πράλληλη στον άξον (συµµετρίς) της πρβολής. Από την νκλστική ιδιότητ της εφπτοµένης στο Α, έχουµε ότι η ευθεί ΑΚ είνι διχοτόµος της γωνίς ΗΑΕ κι το τρίγωνο ΑΚΕ ισοσκελές. Αν η ΒΕ είνι πράγµτι πράλληλη στην ΑΚ, βάση του ισοσκελούς τριγώνου ΑΚΕ, τότε B κι η ΒΕ θ είνι διχοτόµος της γωνίς Z, εξωτερικής γωνίς του τριγώνου ΑΟΕ, κι ντίστροφ. Αρκεί λοιπόν ν δειχθεί υτό (δ) N (ε) B Z Από τ όµοι τρίγων ΒΝΟ, ΒΗΑ έχουµε B N, φού Α, Ο σηµεί της πρβολής. B Εποµένως πό ντίστροφο του θεωρήµτος εξωτερικής διχοτόµου τριγώνου (ΑΟΕ), η ΕΒ είνι διχοτόµος της γωνίς Z. Έτσι έχουµε B +, οπότε B άρ ΒΕ//ΚΑ, ό. έ. δ. Σχετική άσκηση Μι χορδή ΑΓ πρβολής, µε εστί Ε τέµνει την διευθετούσ της στο σηµείο Β. Τότε η ΕΒ είνι διχοτόµος της εξωτερικής γωνίς Ε του τριγώνου ΑΕΓ.

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 7 5. Άσκηση 6, σελίδ 100. «Αν η εφπτοµένη της πρβολής στο σηµείο της Α τέµνει τη διευθετούσ στο σηµείο Β κι τον άξον y y στο σηµείο Κ, ν ποδειχθεί ότι o (i) B 90, (ii) κάθετη στην B, (iii) ()(B)». Απόδειξη (i) Αν κι είνι η εφρµογή, σελίδ 98, του σχ. βιβλίου θ δώσουµε νεξάρτητη πόδειξη (βλ. κι άσκηση πρπάνω). Έστω ΑΗ κάθετη στη διευθετούσ (δ). Από την νκλστική ιδιότητ της εφπτοµένης της πρβολής στο Α, προκύπτει ότι η ΑΒ είνι διχοτόµος της γωνίς. Έτσι τ τρίγων ΑΗΒ κι ΑΕΒ είνι ίσ (ΑΗ o ΑΕ), οπότε κι B 90. (δ) (y) Z B N P (ε) (ii) Από την νκλστική ιδιότητ της εφπτοµένης της πρβολής στο Α, προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΕΖ είνι ισοσκελές. Έτσι ρκεί ν δείξουµε ότι Κ µέσο της ΑΖ. Προς τούτο ρκεί ν δειχθεί ότι το Ο είνι µέσο του ΖΡ (ΑΡ κάθετη στον άξον της πρβολής) φού η ΟΚ είνι πράλληλη στην ΑΡ. Πράγµτι τ ορθογώνι τρίγων ΗΖΝ κι ΑΕΡ είνι ίσ, φού λόγω ΗΑ ΑΕ ΕΖ κι ΗΑ//ΕΖ το τετράπλευρο ΗΑΕΖ είνι πρλληλόγρµµο (ρόµβος) οπότε ΗΖ ΑΕ κλπ. Άρ ΖΝ ΕΡ, οπότε λόγω κι ΟΝ ΟΕ το Ο είνι µέσο της ΖΡ. (iii) Επειδή το ΕΚ είνι ύψος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΕΒ πό γνωστό θεώρηµ στις µετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο, έχουµε το ζητούµενο. Σχετική άσκηση Η εφπτοµένη σε έν σηµείο Α πρβολής τέµνει τον άξον της σε έν σηµείο το οποίο είνι συµµετρικό της προβολής του Α πάνω στον άξον της ως προς την κορυφή της. (Από υτήν την ιδιότητ προκύπτει έν πλός τρόπος χάρξης της εφπτόµενης πρβολής σε έν σηµείο της).

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 8 6. Άσκηση 7, σελίδ 100. «Έστω η πρβολή y px κι έν σηµείο της Α. Φέρνουµε την εφπτοµένη της πρβολής στο Α που τέµνει τον άξον x x στο Β κι την πράλληλη πό το Α στον άξον x x που τέµνει τη διευθετούσ στο Γ. Ν ποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είνι ρόµβος µε κέντρο στον άξον y y». Απόδειξη Έστω πρβολή µε διευθετούσ (δ), εστί Ε κι πράµετρο ΕΝ p. Επειδή Α σηµείο της πρβολής έχουµε ΑΓ ΑΕ. Από την νκλστική ιδιότητ της πρβολής προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΕΒ είνι ισοσκελές, οπότε ΑΓ ΑΕ ΒΕ κι λόγω ΑΓ//ΒΕ το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είνι ρόµβος. Έστω Μ το σηµείο τοµής της ΑΒ µε την ευθεί (y) (άξον y y στην Α.Γ.). ρκεί τώρ ν δειχθεί ότι το Μ είνι µέσο της διγωνίου ΑΒ του ρόµβου. (δ) (y) Γ B N Έστω ΑΚ κάθετη στον άξον της πρβολής. Επειδή ΒΓ ΕΑ κι ΓΝ ΑΚ τ ορθογώνι τρίγων ΒΓΝ, ΕΑΚ είνι ίσ, οπότε ΒΝ ΕΚ κι λόγω Ο µέσο του ΝΕ, το Ο είνι κι µέσο του ΒΚ. Έτσι η ΟΜ ως πράλληλη στην πλευρά ΑΚ του τριγώνου ΑΒΚ, πό το µέσο Ο του ΒΚ, διέρχετι πό το µέσο Μ του ΑΒ κλπ. Σχετική άσκηση Η εφπτοµένη πρβολής µε εστί Ε, σε έν σηµείο της Α είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΕΓ, όπου Γ η προβολή του σηµείου Α στη διευθετούσ. Σηµείωση ίνι κλύτερ ν προηγηθεί η άσκηση 7 της 6, φού τότε το ερώτηµ 6(ii) προκύπτει άµεσ πό την άσκηση 7. * *

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 9 Β. ΕΛΛΕΙΨΗ 7. Πρότση σελίδς 104 (Θεωρί) Η µικρότερη διάµετρος µις έλλειψης είνι ο µικρός της άξονς κι η µεγλύτερη ο µεγάλος της άξονς. Απόδειξη Έστω µι έλλειψη µε ηµιάξονες, β, > β, κι εστίες Ε, Σ.. Αρκεί ν δειχθεί ότι γι κάθε διάµετρο της έλλειψης Γ ισχύει β Γ, εφόσον κι οι άξονες της έλλειψης είνι προφνώς κι διάµετροι υτής. Αρκεί σφλώς ν δειχθεί ότι β ΟΓ. Γ Α Ε Π Ο Σ Β Από το τρίγωνο ΓΣ κι το πρλληλόγρµµο ΕΓΣ έχουµε Γ ΟΓ ΓΣ + Σ ΓΣ + ΓΕ, οπότε ΟΓ. Είνι ΟΓ ΓΠ + ΟΠ κι επειδή το Γ είνι σηµείο της έλλειψης (βλ. σηµείωση) Π ΓΠ έχουµε + 1 ή ΓΠ β β - ΟΠ. β Έτσι έχουµε ΟΓ β β - ΟΠ + ΟΠ β + ΟΠ β (1 - ) β, εποµένως ΟΓ β. Η ισότητ ισχύει ότν ΟΠ0, δηλδή ότν η ΟΓ τυτίζετι µε τον µικρό ηµιάξον. Σηµείωση Π ΓΠ Η ισότητ + 1 είνι µι ιδιότητ - χρκτηριστική- της έλλειψης κι β είνι ντίστοιχη της γνωστής µς εξίσωσης έλλειψης στην Α. Γ. Ή ιδιότητ υτή ποδεικνύετι (όπως κι η εξίσωση της έλλειψης) µε βάση τον ορισµό της έλλειψης, το Πυθ. Θεώρηµ, θεώρηµ διµέσων κλπ. εν έχει σχέση εποµένως µε τις µεθόδους της Α.Γ., άρ µπορούµε ν την χρησιµοποιούµε στην Ευκλείδει Γεωµετρί των κωνικών τοµών. Συνήθως στ ρχί κείµεν εµφνίζετι µε την ισοδύνµη γεωµετρική µορφή ΓΠ β (λόγος εµβδών) («σύµπτωµ» κτά τους ρχίους Έλληνες Π ΠB γεωµέτρες- Π ΠΒ - ΟΠ κλπ).

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 10 8. Εφρµογή σελίδς 109. x y «ίνοντι η έλλειψη + 1 κι ο κύκλος x + y.έστω Μ 1 (x 1, y 1 ) β σηµείο της έλλειψης κι Μ (x 1, y ) σηµείο του κύκλου υτού. Ν ποδειχθεί ότι η εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Μ 1 κι η εφπτοµένη του κύκλου στο Μ τέµνοντι πάνω στον άξον x x» Απόδειξη Επνδιτύπωση στη γλώσσ της Ε.Γ: Έστω έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξον, µικρό β, εστίες Ε, Σ κι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο τοµής των ξόνων της έλλειψης κι κτίν. πό έν σηµείο Μ της έλλειψης θεωρούµε κάθετη στον µεγάλο άξονά της που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ν. Τότε η εφπτοµένη του κύκλου στο Ν κι της έλλειψης στο Μ τέµνοντι πάνω στον µεγάλο άξον (συµµετρίς) της έλλειψης. Έστω ότι η εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Μ τέµνει τον µεγάλο άξον στο Τ. Αρκεί ν δειχθεί ότι η ΤΝ είνι εφπτόµενη του κύκλου ή ότι το τρίγωνο ΟΝΤ είνι ορθογώνιο στο Ν. N θ ω Z P Σ Β T Ισοδύνµ ρκεί ν δειχθεί ότι ΟΝ ΟΡ ΟΤ ή ΟΡ ΟΤ (τότε τ τρίγων ΟΝΡ, ΟΝΤ είνι όµοι κλπ). Προεκτείνουµε την ΕΜ κτά τµήµ ΜΗ ΜΣ, οπότε ΗΕ (συνηθισµένη κίνηση στην έλλειψη). Λόγω κι της νκλστικής ιδιότητς της εφπτοµένης στο Μ, η ΜΤ είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΣΗ, Ζ µέσο του ΣΗ, οπότε ΟΖ ΗΕ ή ΟΖ, κι ΟΖ//ΗΕ. Z P Ισοδύνµ τώρ ρκεί ν δειχθεί ότι, δηλδή ρκεί ν δειχθεί ότι τ T Z τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι. Ήδη έχουν κοινή την γωνί Ο. Θ δείξουµε ότι κι Λόγω του εγγρψίµου τετρπλεύρου ΡΜΖΣ έχουµε Z θ ω. Έτσι έχουµε ZP ZT. ZP ΣP κι λόγω ΟΖ//ΜΕ

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 11 ZP ΜΖΡ - ZΟ ΣP - θ ZT ( ΣP εξωτερική του τριγώνου ΣΜΤ) Έτσι τ τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι κλπ.. Πόρισµ Αν η εφπτοµένη στο σηµείο Μ της έλλειψης τέµνει τον µεγάλο άξον ΑΒ στο σηµείο Τ κι Ρ η προβολή του Μ σε υτόν, τότε ισχύει ΟΡ ΟΤ. 9. Εφρµογή, σελίδ 110. «Έστω έλλειψη κέντρου Ο µε µεγάλο άξον ΑΒ κι εστική πόστση ΕΣ γ κι σηµείο Κ πάνω στην ευθεί του µεγάλου άξον ώστε ΟΚ /γ. Στο σηµείο Κ θεωρούµε µι ευθεί (δ) κάθετη στον µεγάλο άξον της έλλειψης. Ν ποδειχθεί ότι ο λόγος των ποστάσεων ενός σηµείου της έλλειψης πό την εστί της που βρίσκετι πάνω στο τµήµ ΟΚ κι την ευθεί (δ), είνι στθερός κι ίσος µε την εκκεντρότητ της έλλειψης». (Η ευθεί (δ) λέγετι διευθετούσ της έλλειψης) Λύση Έστω Κ δεξιά του Ο. Είνι ΟΚ γ > ΟΒ. Θ δείξουµε ότι Σ ε. (δ) P Σ Β Έχουµε, ΜΣ ΜΡ + ΡΣ β οπότε (ΟΡ < < /ε) ΜΣ - εορ κι γ P ( P ) + (γ P) + γp ( εp) ΜΗ ΟΚ ΟΡ γ Έτσι έχουµε εμη εορ ΜΣ Όµοι εργζόµστε ν Κ ριστερά του Ο κι βρίσκουµε ότι ισχύει (γι την εστί Ε). (Πρτηρούµε ότι οι ποστάσεις του Μ πό Σ κι (δ) εκφράζοντι συνρτήσει του ΟΡ). - ΟΡ ε - ΟΡ. Σηµείωση Αποδεικνύετι κι το ντίστροφο. Έτσι η ιδιότητ υτή µπορεί ν χρησιµοποιηθεί γι έν ισοδύνµο ορισµό της έλλειψης. Μάλιστ κάτι πρόµοιο ισχύει κι γι την υπερβολή. Έτσι κι οι 3 κωνικές µπορούν ν δοθούν µε έν ενιίο ορισµό

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 1 Ορισµός Κωνικών µε τον Λόγο* Σ έν επίπεδο θεωρούµε έν (στθερό) σηµείο Ε κι µι (στθερή) ευθεί (δ), στην οποί δεν νήκει το σηµείο Ε. Κλούµε κωνική τοµή το σύνολο των σηµείων ενός επιπέδου τ οποί έχουν την ιδιότητ, ο λόγος των ποστάσεων τους πό το σηµείο Ε κι την ευθεί (δ), είνι στθερός. Ο στθερός υτός λόγος που συµβολίζετι µε ε, λέγετι εκκεντρότητ της κωνικής. Το σηµείο Ε λέγετι εστί κι η ευθεί (δ) διευθετούσ της κωνικής. Αν ε 1 η κωνική λέγετι πρβολή, όπως την ορίζει κι το σχ. βιβλίο, ν 0 < ε < 1 η κωνική τοµή λέγετι έλλειψη κι ν ε > 1 η κωνική λέγετι υπερβολή. Στον ορισµό υτό δεν περιλµβάνετι η περίπτωση κύκλου που είνι σφλώς κωνική τοµή (µπορεί ν θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση έλλειψης (ε 0)). Ο πρπάνω ενιίος ορισµός οφείλετι στον Πάππο (300 µ.χ., ο τελευτίος των µεγάλων Αρχίων Ελλήνων Μθηµτικών) κι έχει φετηρί την ιδιότητ του λόγου των κωνικών, η οποί φίνετι ότι ήτν γνωστή στον Ευκλείδη. Ο Πάππος τον νφέρει στην Συνγωγή του, σε έν Λήµµ του στο (χµένο) έργο του Ευκλείδη Τόποι προς επιφνείις. Στην περίπτωση βέβι που δοθεί ο πρπάνω ορισµός οι γνωστοί ορισµοί της έλλειψης κι της υπερβολής (εστικοί ορισµοί) ποδεικνύοντι ως προτάσεις κι ντίστροφ. Οι κµπύλες υτές φίνοντι στο πρκάτω σχέδιο, όπου η εκκεντρότητ υξνόµενη πό το µηδέν (κύκλο) µέχρι το άπειρο, δίνει τις 4 υτές τις κµπύλες στις διάφορες µορφές τους. Γι ε 1 έχουµε την πρβολή (µύρη κµπύλη) 1 3 5 (δ) /3 1/ 1/3 1/5 3 1 5

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 13 10. Άσκηση 5, σελίδ 11. «Ν ποδείξετε ότι οι εφπτόµενες µις έλλειψης στ άκρ µις διµέτρου της είνι πράλληλες (διάµετρος έλλειψης λέγετι το τµήµ που συνδέει δυο σηµεί της έλλειψης κι διέρχετι πό την ρχή των ξόνων)». Απόδειξη Άξονες εδώ εννοούµε τους άξονες συµµετρίς της έλλειψης. Έστω µι διάµετρος Γ κι οι εφπτόµενες ΖΚ, ΜΝ στ Γ, ντίστοιχ. Αρκεί ν δείξουµε ότι οι γωνίες Z Γ, Γ N είνι ίσες. Έστω Ε, Σ οι εστίες της έλλειψης, οπότε επειδή τ σηµεί Γ, είνι συµµετρικά ως προς το κέντρο (συµµετρίς) Ο της έλλειψης, το τετράπλευρο ΕΓΣ είνι πρλληλόγρµµο, οπότε Z ΓΣ Σ. φ Γ ω ω φ Σ N Λόγω της νκλστικής ιδιότητς της έλλειψης οι εφπτόµενες στ Α, Β σχηµτίζουν ίσες γωνίες µε τις εστικές κτίνες. Έτσι έχουµε κι λόγω ΓΣ Σ, έχουµε φ+ ΓΣ 180 ω+ Σ Z ΓΕ Σ Ν κι λόγω ΕΓ// Σ, Z Γ Γ N κλπ.

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 14 11. Άσκηση 3, Β οµάδ σελίδ 11 x y «Αν Μ είνι έν σηµείο της έλλειψης + 1, ν ποδείξετε ότι β ΜΕ + εx, ΜΕ εx». Λύση Έστω έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξον, µικρό β (κι εκκεντρότητ ε). Ισοδύνµ θ δείξουµε ότι, ν Μ είνι έν σηµείο µις έλλειψης κι Ρ η προβολή του στον µεγάλο άξονά της τότε ισχύουν ΜΕ + εορ, ΜΕ εορ ν ΜΕ > ΜΕ κι ΜΕ + εορ, ΜΕ - εορ ν ΜΕ < ΜΕ Είνι ΜΕ + ΜΕ (1) Έστω Μ δεξιά του µικρού άξον. Θ προσπθήσουµε ν εκφράσουµε (µε ότι προκύψει) κι την διφορά ΜΕ - ΜΕ συνρτήσει του. ' ' Γ P Από το ο θεώρηµ των διµέσων στο τρίγωνο ΜΕΕ, µε διάµεσο ΜΟ, έχουµε ΜΕ - ΜΕ ΕΕ ΟΡ ή (ΜΕ + ΜΕ)( ΜΕ - ΜΕ) 4γΟΡ ή ΜΕ - ΜΕ εορ () Με πρόσθεση κι φίρεση των (1), () βρίσκουµε τις ζητούµενες σχέσεις. Αν Μ ριστερά του µικρού άξον τότε όµοι βρίσκουµε ΜΕ + εορ, ΜΕ - εορ. Άσκηση Έστω ότι η κάθετη στην εφπτοµένη έλλειψης (µε µεγάλο άξον, µικρό β κ εκκεντρότητ ε) στο σηµείο της Μ τέµνει τον µεγάλο άξον της έλλειψης στο σηµείο Γ κι Ρ η προβολή του Μ στον άξον υτόν. Τότε ισχύουν ) ΓΕ εμε, ΓΕ εμε, β) ΟΓ ε ΟΡ, ΜΓ β ΜΓ β γ), δ). ΜΕ ΜΕ ΓΕ ΓΕ γ

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 15 1. Άσκηση 4, Β οµάδ, σελίδ 11 «Έστω d, d οι ποστάσεις των σηµείων Α(0, γ), Β(0, -γ) πό την εφπτοµένη x y της έλλειψης + 1 σε έν σηµείο της Μ. Ν ποδείξετε ότι d +d». β Λύση Έστω έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξον, µικρό β κι Η, Κ, Τ, Ζ οι προβολές των Α, Ο, Σ, Β ντίστοιχ στην εφπτοµένη στο Μ. Προεκτείνοµε την ΣΜ κτά τµήµ ΜΡ ΜΕ, (συχνή κίνηση στ προβλήµτ της έλλειψης), οπότε ΡΣ ΜΕ + ΜΣ, κι λόγω της νκλστικής ιδιότητς η εφπτοµένη στο Μ είνι µεσοκάθετη στο ΕΡ, έστω Ν το µέσο του ΕΡ. Επειδή Ο µέσο της πλευράς ΑΒ του τρπεζίου ΑΗΖΒ, λλά κι µέσο της πλευράς ΕΣ του τρπεζίου ΣΤΝΕ, έχουµε ΟΚ d + d ΣΤ + ΕΝ (1) P θ θ d Λ N ω ω T Σ Z d' B Από τ όµοι ορθ. τρίγων ΣΜΤ, ΕΝΜ (λόγω νκλστικής ιδιότητς) έχουµε ΣT N ΣT + Ν, οπότε, λόγω (1), d + d Σ N () Έστω ΣΛ κάθετη στην ΕΡ κι Α κάθετη στη ΒΖ. Τ ορθ. τρίγων Α Β, ΕΛΣ είνι ίσ, (ΑΒ ΕΣ γ κλπ) οπότε ΣΛ Β d d. Από δε τ όµοι ορθ. τρίγων ΡΝΜ, ΡΛΣ έχουµε ΣΛ ΝΜ ΡΣ Ρ ή d - d ΝΜ ΕΜ (3) Από () κι (3) έχουµε (d + d) + (d - d) ΕΝ + ΝΜ 4 ΕΜ ή (d + d ) 4 ή d + d.

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 16 Σχετική Άσκηση Ως συνέχει της πρπάνω άσκησης δείξετε ότι: ΕΝ - ΣΤ γσυνθ, i) d ΑΗ (ηµω - συνω), d ΒΖ (ηµω + συνω), ii) Η προβολή της εστίς Ε στην εφπτοµένη στο Μ νήκει σε κύκλο κτίνς κι κέντρου Ο (όµοι κι η προβολή της εστίς Σ ), iii)προεκτείνουµε την ΤΣ κτά τµήµ ΣΓ ΛΕ. Ν δειχθεί ότι το Γ νήκει στον προηγούµενο κύκλο. iv) Ισχύει ΣΤ ΕΝ β. 13. Άσκηση 5, Β οµάδ σελίδ 113. x y «Έστω Μ 1 (x 1, y 1 ) Μ (x, y ) δυο σηµεί της έλλειψης + 1 κι τ β σηµεί Ν 1 (εx 1, 0), Ν (εx, 0). Ν ποδείξετε ότι Μ 1 Ν Μ Ν 1». Λύση Έστω Η, Κ οι προβολές των Μ 1, Μ στον µεγάλο άξον της έλλειψης κι γοη γο (ισοδύνµ, x 1 ΟΗ, x ΟΚ) ΟΝ 1 < κι ΟΝ <. 1 N 1 N Αρκεί ν δείξουµε ότι Ν 1 Μ Μ 1 Ν Ν 1 Κ + ΚΜ ΗΜ 1 + ΗΝ (ΟΝ 1 +ΟΚ ) + ΚΜ ΗΜ 1 + (ΟΗ + ΟΝ ) ( γοη + ΟΚ ) + ΚΜ ΗΜ 1 + (ΟΗ + ΚΜ - ΗΜ β 1 ( ) γο ) (*) Επειδή Μ, Μ 1 σηµεί της έλλειψης ισχύουν (βλ. σηµείωση άσκησης 7) 1 + 1, + 1, β β κι µε φίρεση κτά µέλη προκύπτει η (*).

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 17 14. Άσκηση 6, Β οµάδ, σελίδ 113. «Έστω µι έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξον, µικρό β κι έν σηµείο της Μ. Έστω επιπλέον ο κύκλος µε κέντρο το κέντρο της έλλειψης κι κτίν κι το σηµείο του Ν που έχει µε το Μ την ίδι τετµηµένη. Από το Μ φέρνουµε πράλληλη στην ΟΝ που τέµνει το µεγάλο κι τον µικρό άξον της έλλειψης στ σηµεί Γ, ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι ΜΓ β, Μ». Απόδειξη Προφνώς ντί της έκφρσης «το Ν έχει µε το Μ την ίδι τετµηµένη» ισοδύνµ µπορούµε ν πούµε ότι πό το σηµείο Μ της έλλειψης φέρνουµε κάθετη στον µεγάλο άξον της έλλειψης που τέµνει τον κύκλο (Ο, ) στο σηµείο Ν. Επειδή το τετράπλευρο ΝΜ είνι πρλληλόγρµµο έχουµε Μ ΟΝ. N Γ B Γ Από τ όµοι τρίγων ΟΝΗ, ΓΜΗ έχουµε, οπότε ρκεί ν δείξουµε ότι N β. Από την σχέση + 1 (βλ. σηµείωση στην πρπάνω άσκηση N β β β 7), έχουµε, οπότε κλπ. ΟΗ N N Σηµείωση Αν φ N τότε ΟΗ συνφ, ΜΗ βηµφ, που εκφράζουν τις πρµετρικές εξισώσεις της έλλειψης στην Α. Γ. Σχετική άσκηση (εφρµογή σχ. βιβλίου σελ. 107) Έστω κύκλος κέντρου Ο κι κτίνς, β θετικός ριθµός µε > β κι µι διάµετρος του κύκλου ΑΒ. Από έν σηµείο Ν του κύκλου φέρουµε το κάθετο τµήµ β ΝΗ στην διάµετρο ΑΒ. Αν Μ σηµείο του τµήµτος ΝΗ τέτοιο ώστε τότε N ν δειχθεί ότι ) Αν Ε, Σ σηµεί της ΑΒ µε ΟΕ ΟΣ γ όπου γ - β κι γ γ ΜΕ ΜΣ, τότε ΜΣ, ΜΕ + (νάλογ ν ΜΕ< ΜΣ), β) Το Μ νήκει σε έλλειψη µε εστίες Ε, Σ κι ηµιάξονες, β.

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 18 15. Άσκηση 7, B Οµάδ, σελίδ 113. «Έστω (ε), (ε ) οι εφπτόµενες στις κορυφές Α, Α ντίστοιχ, της έλλειψης x y + 1, 0 <β <, κι (ζ) η εφπτοµένη της σε έν σηµείο της Μ (x 1, y 1 ). β Αν η (ζ) τέµνει τις (ε), (ε ) στ σηµεί Β, Β ντίστοιχ ν ποδείξετε ότι (i) (ΑΒ)(Α Β ) β, (ii) ο κύκλος µε διάµετρο ΒΒ διέρχετι πό τις εστίες της έλλειψης». Λύση Θ δείξουµε πρώτ το (ii). Αρκεί ν δείξουµε ότι οι γωνίες Β ΣΒ, Β ΕΒ είνι ορθές. Γι την γωνί Β ΣΒ: θ δειχθεί ότι η ΣΒ είνι διχοτόµος της γωνίς ΜΣΑ (κι νάλογ ποδεικνύετι ότι κι η ΣΒ είνι διχοτόµος της πρπληρωµτικής της γωνίς ΜΣΑ ), οπότε ΣΒ, ΣΒ κάθετες. B' (ζ) Z (ε) (ε )_ s t B ' ω ω g Σ φ θ P Προεκτείνουµε την ΕΜ κτά τµήµ ΜΖ ΜΣ, οπότε ΖΕ ΜΕ + ΜΖ κι λόγω της ισότητς των γωνιών t, s (νκλστική ιδιότητ) τ τρίγων ΜΖΒ κι ΜΒΣ είνι ίσ οπότε ΒΖ ΒΣ (κι Z g ). Όµοι προεκτείνουµε την ΣΑ κτά τµήµ ΑΡ ΣΑ, οπότε ΡΕ ΑΕ + ΑΣ κι ΒΣ ΒΡ (κι P ϕ) Τώρ τ τρίγων ΖΕΒ, ΒΕΡ έχουν τις πλευρές τους ίσες, άρ είνι ίσ. Έτσι οι γωνίες Z P, όµως Z g κι P ϕ, οπότε g ϕ, άρ ΣΒ διχοτόµος. Γι την γωνί Β ΕΒ: Η ΕΒ είνι διχοτόµος της γωνίς ΖΕΡ (τ τρίγων ΖΕΒ, ΒΕΡ είνι ίσ) κι το τετράπλευρο Β ΕΣΒ είνι εγγράψιµο (στο τρ. ΜΕΣ : t ω+ Σ ω+ BΣ κι στο τρ.μβ Σ: t s B Σ + ω, Σ Σ οπότε B B B ). Έτσι κι η γωνί Β ΕΒ είνι ορθή. Άρ ο κύκλος µε διάµετρο την ΒΒ διέρχετι πό τις εστίες. (i) Ανζητούµε οµοιότητ τριγώνων µε πλευρές ΑΒ, Α Β. Είνι ορθογώνι τρίγων ΑΒΣ, ΣΑ Β είνι όµοι κι έχουµε ω θ, οπότε τ

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 19 B Σ Σ B ή ΑΒ Α Β ΣΑ Α Σ ( - ΟΣ)( + ΟΣ) γ β. Σχετικές Ασκήσεις 1. είξετε κόµη ότι το γινόµενο των ποστάσεων των εστιών πό την εφπτοµένη στο Μ είνι στθερό κι ίσο µε β. (Υπ. το τετράπλευρο ΕΣΒΒ είνι εγγράψιµο, κι µε τ κάθετ τµήµτ δηµιουργούντι ορθ. τρίγων όµοι µε τ ΑΒΣ, Α Β Ε κλπ).. Έστω µι διάµετρος έλλειψης µε ηµιάξονες, β, > β κι οι εφπτόµενες στ άκρ της. Ν ποδειχθεί ότι το γινόµενο των ποστάσεων µις εστίς πό τις εφπτόµενες υτές είνι στθερό κι ίσο µε β. 3. Η εφπτοµένη σε µι κορυφή Α έλλειψης κι η εφπτοµένη σε έν σηµείο Μ της έλλειψης τέµνοντι στο σηµείο Β. Τότε τ εφπτόµεν τµήµτ ΒΑ, ΒΜ φίνοντι πό κάθε εστί µε ίσες γωνίες. Σφίρες Dandelin (1794-1847 µ.χ.) Τ σηµεί επφής των εφπτόµενων σφιρών µε το επίπεδο τοµής, είνι οι εστίες της τοµής-έλλειψης του κώνου (άµεση εποπτική πόδειξη).

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 0 Γ. ΥΠΕΡΒΟΛΗ 16. Άσκηση 1, Β οµάδ, σελίδ 14. x y «Αν Ε 1 είνι η προβολή της εστίς Ε της υπερβολής 1 πάνω στην β σύµπτωτη y β x ν ποδείξετε ότι (i) ΟΕ1, (ii) ΕΕ 1 β». Λύση Έστω υπερβολή µε στθερή διφορά (µεγάλο ηµιάξον ) κι εστική πόστση γ, γ β, β µικρός ηµιάξονς. Στην Ε.Γ. ως µι σύµπτωτη ευθεί ορίζετι η ευθεί που διέρχετι πό το µέσο Ο του εστικού τµήµτος ΣΕ (ρχή ξόνων -συµµετρίς- της υπερβολής) κι P β έν σηµείο Α του επιπέδου, µε προβολή Ρ στον άξον της υπερβολή, ώστε P ή η ευθεί που διέρχετι πό το Ο κι σχηµτίζει µε τον κύριο άξον της υπερβολής οξεί γωνί ω µε εφω β (η άλλη σύµπτωτη είνι η συµµετρική της προηγούµενης ως προς τον κύριο άξον της υπερβολής. Προφνώς ισοδύνµος µε τον γνωστό ορισµό της Ανλυτικής γεωµετρίς). 1 P Σ 1 Επειδή Ε 1 Κ ύψος του ορθ. τριγώνου ΟΕ 1 ισχύει, κι λόγω του ότι β το Ε 1 είνι σηµείο της σύµπτωτης έχουµε 1, οπότε ντικθιστώντς β πίρνουµε γ κι τελικά ΟΚ. Έτσι έχουµε γ γ, εποµένως ΟΕ 1. γ 1 Επίσης 1 γ γ γ β, οπότε ΕΕ 1 β. γ Σχετική Άσκηση (Άσκηση 4 σελ.14) Ν ποδειχθεί ότι το συνηµίτονο µις πό τις γωνίες των σύµπωτων της πρπάνω υπερβολής είνι ίσο µε (-ε )/ε (ε η εκκεντρότητ).

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 1 17. Εφρµογή σελίδς 11 «Ν ποδειχθεί ότι το γινόµενο των ποστάσεων ενός σηµείου υπερβολής πό τις σύµπωτές της είνι στθερό». Λύση Έστω σηµείο Μ υπερβολής (µε στθερή διφορά, εστική πόστση γ, + β γ ), ΜΓ, Μ τ κάθετ τµήµτ προς τις σύµπωτες κι η κάθετη πό το Μ στον κύριο άξον (των εστιών) της υπερβολής που τον τέµνει στο σηµείο Κ κι την υπερβολή στ σηµεί Η, Ρ. Γ ' P Θ προσπθήσουµε µ δηµιουργήσουµε το γινόµενο ΜΓ Μ (πό πού λλού;) µέσ πό όµοι τρίγων. Από τ όµοι ορθογώνι τρίγων ΗΓΜ, ΟΗΚ έχουµε Γ ΗΜ (1) ΟΚ ΟΗ ΜΡ Επίσης πό τ όµοι τρίγων ΟΚΡ, ΜΡ έχουµε () ΟΚ ΟΡ Από τις δυο προηγούµενες σχέσεις προκύπτει (ΟΗ ΟΡ) Γ ΟΚ ΗΜ ΜΡ ΟΗ (3) Επίσης έχουµε ΗΜ ΜΡ (ΗΚ - ΜΚ)(ΗΚ + ΜΚ) ΗΚ - ΜΚ (4) β λλά ΗΚ κι (επειδή το Μ είνι σηµείο της υπερβολής, βλ. σηµείωση στο ΜΚ β τέλος), 1 ή + β ΗΚ. β Έτσι πό την (4) προκύπτει ΗΜ ΜΡ β (5) Επίσης είνι ΟΗ ΟΚ + ΗΚ ΟΚ β + + β (6) β Έτσι πό την (3), λόγω των (5), (6), προκύπτει τελικά ΜΓ Μ + β στθερό.

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί Σηµείωση ΜΚ Η σχέση 1 είνι µι ιδιότητ - χρκτηριστική- της υπερβολής κι β είνι ντίστοιχη της γνωστή µς εξίσωση υπερβολής στην Α.Γ. Η ιδιότητ υτή ποδεικνύετι (όπως κι η γνωστή µς εξίσωση υπερβολής) µε βάση τον ορισµό της υπερβολής, το Πυθ. Θεώρηµ, θεώρηµ διµέσων κλπ. εν έχει σχέση λοιπόν µε την θεώρηση κρτεσινού συστήµτος συντετγµένων, άρ µπορούµε ν την χρησιµοποιούµε στην Ευκλείδει Γεωµετρί των κωνικών τοµών. Συνήθως στ ρχί κείµεν εµφνίζετι µε την ισοδύνµη (λλά εύχρηστη κι ζωντνή γεωµετρικά - λόγος εµβδών) µορφή β ή β (όπου Α, Α οι κορυφές της υπερβολής) «σύµπτωµ» κτά τους ρχίους Έλληνες γεωµέτρες. 18. Άσκηση, σελίδ 14. x y «Έστω (ε), (ε ) οι εφπτόµενες στις κορυφές της υπερβολής 1 στις β κορυφές Α, Α ντίστοιχ. Αν Γ, Γ είνι τ σηµεί στ οποί µι τρίτη εφπτοµένη της υπερβολής τέµνει τις (ε), (ε ) ντίστοιχ ν ποδείξετε ότι (i) (ΑΓ)(Α Γ ) β, (ii) ο κύκλος µε διάµετρο ΓΓ διέρχετι πό τις εστίες της υπερβολής». Λύση Η άσκηση υτή είνι εντελώς νάλογη της άσκησης 15 (άσκηση 7, σελίδ 113) στην έλλειψη, λλά θ την δούµε νλυτικά. Οι κωνικές γενικά κι ιδίως οι κεντρικές, έλλειψη κι υπερβολή, έχουν πολλές κοινές ιδιότητες. (ii) Θ δείξουµε πρώτ το (ii). Αρκεί ν δείξουµε ότι η γωνί Γ ΣΓ είνι ορθή (βλ. επόµενο σχήµ). Γι το σκοπό υτό θ δειχθεί ότι η ΣΓ είνι διχοτόµος της γωνίς ΜΣΑ κθώς κι η ΣΓ διχοτόµος της γωνίς ΗΣΑ, οπότε ΣΓ, ΣΓ κάθετες. Επί της ΜΕ πίρνουµε τµήµ ΜΖ ΜΣ, οπότε ΖΕ ΜΕ- ΜΖ ΜΕ - ΜΣ κι λόγω της ισότητς των γωνιών Μ 1, Μ (νκλστική ιδιότητ της εφπτοµένης υπερβολής) τ τρίγων ΜΖΓ κι ΜΓΣ είνι ίσ, οπότε ΓΖ ΓΣ κι γωνί g θ.

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 3 Όµοι πίρνουµε τµήµ ΑΡ ΑΣ, οπότε ΡΕ ΑΕ- ΑΣ κι ΓΣ ΓΡ. (ε ) Z φ g (ε) Γ 1 ' P' 1 1 P ω θ Σ Γ Τώρ τ τρίγων ΓΖΕ, ΓΡΕ έχουν τις πλευρές τους ίσες, άρ είνι ίσ. Έτσι οι γωνίες φ P 1, οπότε g P, λλά g θ κι P ω, οπότε ω θ. Άρ ΣΓ διχοτόµος. Όµοι ποδεικνύετι ότι η ΣΓ διχοτόµος της γωνίς Σ : πίρνουµε ΜΗ ΜΕ κι Α Ε Α Ρ κι προκύπτουν τ ίσ τρίγων Γ Ρ Σ, ΣΓ Η κλπ) Όσο φορά την γωνί Γ ΕΓ µπορούµε ν κολουθήσουµε πρόµοι πορεί, λλά προκύπτει πιο πλά, ν πρτηρήσουµε ότι το τετράπλευρο Γ ΕΓΣ είνι εγγράψιµο: οι γωνίες Σ 1 ΣΓ, ΓΓ είνι ίσες ( λόγω ΕΓ, ΣΓ διχοτόµοι, έχοµε 1 Σ 1+ ZΓ ΓΓ Σ, κλπ). Σ (i) Επειδή οι γωνίες ω ΓΣ κι Γ είνι ίσες (πλευρές κάθετες κλπ) τ ορθογώνι τρίγων ΑΓΣ, Α Γ Σ είνι όµοι οπότε έχουµε Γ Σ Σ Γ ή ΑΓ Α Γ ΣΑ Α Σ (ΟΣ - )(ΟΣ + ) γ - β. Σχετική Άσκηση Το γινόµενο των ποστάσεων των εστιών υπερβολής πό µι εφπτοµένη της είνι στθερό κι ίσο µε β. (Υπ. το τετράπλευρο ΣΓΕΓ είνι εγγράψιµο κι µε τ κάθετ τµήµτ δηµιουργούντι ορθ. τρίγων όµοι µε τ ΑΓΣ, Α Γ Ε κλπ).

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 4 19. Άσκηση 3, σελίδ 14. x y «Έστω Α, Β δυο σηµεί του δεξιού κλάδου της υπερβολής 1. Αν η β ευθεί ΑΒ τέµνει τις σύµπτωτες στ σηµεί Ε, Ι ν ποδείξετε ότι ΑΕ ΒΙ (ή ΕΒ ΑΙ)». Λύση Έστω υπερβολή µε µεγάλο ηµιάξον (στθερή διφορά κι εστική πόστση γ, γ β : β µικρός ηµιάξονς). Γι τον ορισµό των σύµπωτων στην Ε.Γ. βλέπε στην ρχή της λύσης της άσκησης 16. Έστω Μ το µέσο του ΑΒ. Αρκεί ν δειχθεί ότι Μ είνι µέσο κι του ΙΕ. Το σχέδιο της λύσης είνι ν προβάλλουµε όλ τ σηµεί, των σύµπωτων κι της υπερβολής, στον κύριο άξον κι ν δουλέψουµε µε τις σχέσεις µε τις οποίες δεσµεύοντι. Από το Θ. Θλή έχουµε ότι ΡΗ ΗΖ κι ρκεί ν δείξουµε ότι ΝΗ ΗΚ ή ΟΗ ΟΝ + ΟΚ (χρήσιµη υτή η ισοδυνµί). Επειδή τ σηµεί Α, Β νήκουν στην υπερβολή (βλ. σηµείωση στη άσκηση 17) Z Z P BP έχουµε 1 κι 1 β β Με φίρεση κτά µέλη πίρνουµε Z P Z BP β (1) κι Z BP (πό οµοιότητ) TZ TP T N P T Z B I Αντικθιστώντς στην (1) τ ΑΖ, ΒΡ συνρτήσει του λόγου ΕΚ/ΤΚ κι β Z P TZ TP λµβάνοντς υπόψη ότι, προκύπτει T ΟΖ + ΟΡ ΟΗ, ΤΖ - ΤΡ ΤΗ, προκύπτει () T T ή, λόγω

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 5 N P T Z B I Εκφράζουµε τ τµήµτ ΤΗ, ΤΚ πό το Ο: ΤΗ ΟΗ - ΟΤ, ΤΚ ΟΚ - ΟΤ κι η () µετά τις πράξεις γράφετι ΟΚ + ΟΗ ΟΤ ΟΗ ΟΚ (3) Πρέπει ν εµφνιστεί κι το ΟΝ ( θέλουµε σχέση µε ΟΗ, ΟΚ, ΟΝ): Έχουµε N T (πό οµοιότητ τριγώνων ) οπότε NI TN N ή, λόγω ΤΚ ΟΚ - ΟΤ κι ΤΝ ΟΤ ΟΝ, T TN ΟΚ ΟΝ ΟΤ(ΟΚ + ΟΝ) (4) Με πλοιφή του ΟΤ πό τις (3), (4) προκύπτει ΟΗ ΟΝ + ΟΚ ή ΟΗ ΟΝ ΟΚ - ΟΗ ή ΝΗ ΗΚ, ό.έ.δ Σηµειώσεις 1. Όπως εύκολ διπιστώνουµε πό την πρπάνω πόδειξη, η προηγούµενη ιδιότητ ισχύει κι ν τ σηµεί Α, Β βρίσκοντι σε διφορετικούς κλάδους της υπερβολής.. Υπάρχει µι κθρά γεωµετρική πόδειξη της προηγούµενης πρότσης, λλά χρησιµοποιεί άλλες ιδιότητες της υπερβολής που δεν µς είνι γνωστές. Ας την σκιγρφήσουµε γι ν έχουµε µι ιδέ µερικών εντυπωσικών ιδιοτήτων των κωνικών: i. Έστω Μ το µέσο του ΑΒ. Θεωρούµε την ευθεί ΟΜ (διάµετρο υπερβολής), η οποί τέµνει την υπερβολή έστω στο σηµείο Γ. Αποδεικνύετι ότι η πράλληλη στην ΑΒ στο Γ είνι εφπτοµένη της υπερβολής (κάτι πρόµοιο ισχύει κι γι τις άλλες κωνικές). ii. Αποδεικνύετι ότι το Γ είνι το µέσο του τµήµτος της εφπτοµένης στο Γ που περιέχετι µετξύ των σύµπτωτων της υπερβολής. iii.από το Θ. Θλή εύκολ προκύπτει ότι το Μ είνι µέσο κι του τµήµτος ΕΙ κλπ.

. Ι. Μ.- Σ. Σ. Μ. Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 6 0. Άσκηση 4, σελίδ 14. «Από έν σηµείο Μ της υπερβολής φέρνουµε πράλληλες προς τις σύµπτωτές της. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν του σχηµτιζόµενου πρλληλογράµµου είνι στθερό». Λύση Γι διευκόλυνση µπορούµε ν βρούµε κτ ρχήν την υποψήφι στθερή τιµή του εµβδού: πίρνουµε ως Μ την κορυφή Α. Τότε το πρλληλόγρµµο ΟΖΜΝ είνι ρόµβος κι εύκολ βρίσκουµε ότι (ΟΖΜΝ ) β/. Αρκεί ν δείξουµε λοιπόν ότι (ΟΖΜΝ) β/. Z ' ω ω N P Επειδή η γωνί του πρλληλογράµµου είνι ω, στθερή, λογικό είνι ν χρησιµοποιήσουµε το γνωστό τύπο του εµβδού τριγώνου µε γωνί, οπότε (ΟΖΜΝ) ΟΖ ΟΝηµω. Είνι εφω β/ ( εξ ορισµού της σύµπτωτης) οπότε εφω β ηµω (1) 1+ εφ ω + β Αρκεί λοιπόν ν βρούµε το γινόµενο ΟΖ ΟΝ. Έστω κάθετη πό το Μ στον µεγάλο άξον της υπερβολής που τέµνει τις σύµπτωτες στ σηµεί Η, Ρ συµµετρικά ως προς τον άξον.είνι ΗΖ ΖΜ ΟΝ. Από τ όµοι τρίγων ΖΗΜ, ΟΗΡ έχουµε P Z Z P Z P Z Z Οπότε ή λόγω ΗΖ ΖΜ ΟΝ, P P N Z P P () Είνι ΟΗ ΟΚ + ΗΚ ΟΚ β + ΟΗ ε ΟΚ (3) + β ε, οπότε Επίσης έχουµε ΗΜ ΜΡ (ΗΚ - ΜΚ)(ΗΚ + ΜΚ) ΗΚ - ΜΚ (4), λλά β β ΗΚ κι - β ΗΚ - β (φού Μ σηµείο της υπερβολής, βλ. σηµείωση στην άσκηση 17 ), οπότε ντικθιστώντς στην (4) προκύπτει ΗΜ ΜΡ β (5)

Πλάτωνς (47-347 π.χ.) : «Μηδείς Αγεωµέτρητος Εἰσίτω» 7 Έτσι πό την (), λόγω των (3), (5) πίρνουµε ε β ΟΝ ΟΖ 4, λλά β ε γ, οπότε ΟΝ ΟΖ. 4 4 γ Έχουµε τώρ (ΟΖΜΝ) ΟΖ ΟΝηµω 4 β + β β, ό.έ.δ. Σχετικές Ασκήσεις (ιδιότητες υπερβολής) 1. Από έν σηµείο Μ υπερβολής κέντρου Ο φέρνουµε πράλληλη προς µι σύµπτωτή της που τέµνει την άλλη στο σηµείο Ζ. Τότε ισχύει ΟΖ ΖΜ γ /4.. Το γινόµενο των ποστάσεων ενός σηµείου Μ της υπερβολής πό τις σύµπτωτές της είνι στθερό κι ίσο µε (β/ε) (Εφρµογή σελίδς 11).- Τ σηµεί επφής των εφπτόµενων σφιρών µε το επίπεδο τοµής, είνι οι εστίες της τοµής-υπερβολής του κώνου (άµεση εποπτική πόδειξη).