H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

Transcript

1 H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι, ως γνωστόν, στο Λύκειο κι το Πνεπιστήµιο κτά πράδοση ποκλειστικά µε µεθόδους της Ανλυτικής Γεωµετρίς, έχει δηµιουργήσει σε µθητές, φοιτητές κι όχι µόνο, την εντύπωση ότι οι κωνικές τοµές δεν είχν µελετηθεί ή δεν µπορούν ν µελετηθούν µε τις µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς. Στην εργσί υτή θ δούµε πως οι βσικές προτάσεις της θεωρίς των κωνικών τοµών κι µερικές εφρµογές της, που υπάρχουν στο τρίτο κεφάλιο των µθηµτικών της Β Λυκείου (κτεύθυνσης), µπορούν ν ποδειχθούν µε µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς. Θ βσιστούµε στους ορισµούς που υπάρχουν στο ντίστοιχο σχολικό βιβλίο της τάξης υτής, ώστε ν είνι εύκολη η πρκολούθηση των σχετικών θεµάτων πό τους συνδέλφους, λλά κι δυντή η ενδεχόµενη διδσκλί ορισµένων τουλάχιστον πό υτά. Αbstract The study of conic sections which is realized, as it is commonly known, in the upper secondary school (Lykeio) and in the University, traditionally exclusively using methods of analytical geometry, has created the impression to students and others that conic sections had not been studied or cannot be studied with the use of Euclidean geometry. This project will indicate how the basic statements of conic sections theory and some of its applications, which are included in chapter three of second grade of upper secondary mathematics book, can be proven using Euclidean geometry s methods.

2 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης We will employ the definitions that the respective book of the mentioned grade contains so that the teachers can not only easily follow the relevant items, but possibly include at least some of those in their teaching plan. Εισγωγή Η πρδοσική µελέτη των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ανλυτικής Γεωµετρίς (Α. Γ.) στην χώρ µς, φίνετι ν ρχίζει πό την εποχή του Νικηφόρου Θεοτόκη ( µ.χ) ο οποίος στο έργο του, Στοιχεί Μθηµτικών εκ πλιών κι νεωτέρων συνερνισθέντ (Μόσχ ) µελετά τις κωνικές τοµές κι µε µεθόδους της Α. Γ., της λεγόµενης τότε κι «υψηλοτέρς Γεωµετρίς». Τ µετέπειτ βιβλί που εκδόθηκν στην Ελλάδ, κυρίως των ρχών του προηγούµενου ιών, ν κι ορισµέν είχν κάποι στοιχεί µελέτης των κωνικών µε µεθόδους της Ευκλείδεις Γεωµετρίς (Ε. Γ.) ([4], σελ ), ουσιστικά κυριρχούσε η µελέτη µε µεθόδους της Α.Γ.. Η πράδοση υτή έχει δηµιουργήσει διχρονικά την εντύπωση ότι οι κωνικές τοµές δεν είχν ποτέ µελετηθεί µε µεθόδους της Ε. Γ. Η λήθει βέβι, όπως θ δούµε πρκάτω, είνι εντελώς διφορετική.. Σκοπός του άρθρου υτού είνι : ) Ν κάνει µι σύντοµη ιστορική νφορά στις κωνικές τοµές. β) Ν νδείξει έν µικρό µέρος της µελέτης των κωνικών τοµών µε µεθόδους της Ε.Γ.. γ) Ν γίνει δυντή πό τους συνδέλφους της δευτεροβάθµις εκπίδευσης η σύγκριση των µεθόδων της Ε. Γ., οι οποίες χρκτηρίζοντι πό κοµψότητ κι λιτότητ, σε σχέση µε την λγεβρική βάσνο των µεθόδων της Α. Γ. Αυτό βέβι δεν σηµίνει ότι δεν υπάρχουν κι προβλήµτ Γεωµετρίς που λύνοντι πιο πλά µε την Α. Γ., της οποίς τον ρόλο στ Ανώτερ Μθηµτικά θεωρούµε σηµντικό. Το θέµ όµως της σύγκρισης Α. Γ. κι Ε. Γ. σε επίπεδο Λυκείου κι γενικότερ της Ε. Γ.(Επιπεδοµετρίς κι Στερεοµετρίς) είνι νοικτό κι κάποτε πρέπει ν συζητηθεί στην Μθηµτική κοινότητ. δ) Ν γνωρίσουν οι συνάδελφοι που διδάσκουν στην Β Λυκείου τον τρόπο µελέτης των κωνικών τοµών µε Ε.Γ. κι έτσι ν τον ξιοποιήσουν κτά την κρίση τους στην διδσκλί τους. Έτσι θ µπορέσουν κι οι µθητές ν δουν κι «τον άλλο πλιό κλό δρόµο» ξιοποιώντς κι τις υπάρχουσες γνώσεις τους πό την Ε. Γ.

3 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 3 1. Σύντοµη Ιστορική Ανδροµή Αφορµή γι την νκάλυψη των κωνικών τοµών στην ρχιότητ, φίνετι ότι ήτν το περίφηµο «ήλιον Πρόβληµ»: Ν κτσκευστεί, µε κνόν κι διβήτη, κµή κύβου ο οποίος ν έχει όγκο διπλάσιο του όγκου ενός δοσµένου κύβου. Το πρόβληµ πρέµενε άλυτο γι πολλά χρόνι, µέχρι τη στιγµή που, όπως µς πληροφορεί ο Πρόκλος (450 περίπου µ.χ.), ([4], σελ. ) ο Ιπποκράτης ο Χίος ( 430 π.χ.) έκνε έν σηµντικό βήµ: διπίστωσε ότι το πρόβληµ είνι ισοδύνµο µε το ν πρεµβληθούν δυο µέσες νάλογοι µετξύ των τµηµάτων κι, όπου η κµή του δοθέντος κύβου, δηλδή ν κτσκευστούν τµήµτ κ, λ που ικνοποιούν τις κ λ σχέσεις = =. κ λ Τότε εύκολ προκύπτει κ 3 = 3, δηλδή το ζητούµενο τµήµ είνι το κ. Ο πρώτος που συνέδεσε τ τµήµτ κ, λ µε τις τοµές κώνου φίνετι ότι ήτν ο Μένιχµος ( π. Χ.) ο οποίος κι έδωσε δυο λύσεις στο πρόβληµ υτό ([4], σελ. 3-4). Στην πρώτη θεωρώντς τ τµήµτ κ, λ σν τοµή δυο πρβολών (x = y, y = x) κι στη δεύτερη σν τοµή µις πρβολής κι µις υπερβολής (x = y, xy = ). Στην συνέχει µε τις κωνικές τοµές, όπως µς πληροφορεί ο Πάππος στην Συνγωγή του ([4], σελ. 5) σχολήθηκν ο Αριστίος ο πρεσβύτερος (30 π.χ. περίπου) κι ο Ευκλείδης (300 π. Χ.) που έγρψν σχετικά βιβλί. Με τις κωνικές τοµές όµως σχολήθηκε κι ο Αρχιµήδης (87-1 π.χ.), ο οποίος, κυρίως στο έργο του Τετργωνισµός Ορθογωνίου κώνου τοµής, χρησιµοποιεί προτάσεις των κωνικών τις οποίες θεωρεί γνωστές, µάλλον πό το έργο του Ευκλείδη ([], τόµος β, σελ. 1-5 κι [4], σελ. 7-11). Όµως, η σχεδόν εξντλητική µελέτη των κωνικών τοµών ήλθε τον επόµενο ιών µε τον Απολλώνιο του Περγίο ( π. Χ.), τον επονοµζόµενο κι «Μέγ Γεωµέτρη», µε το περίφηµο έργο του Κωνικά (8 βιβλί, 1 χµένο) ([1] κι [4] σελ.1-39). Στον Απολλώνιο οφείλοντι κι τ ονόµτ (µε γεωµετρικό περιεχόµενο) των κωνικών τοµών που έχουµε κι σήµερ: πρβολή, έλλειψη, υπερβολή, ενώ πριν πό υτόν χρησιµοποιούσν τ ονόµτ ορθογωνίου, οξυγωνίου κι µβλυγωνίου κώνου τοµή ντίστοιχ. Μι άλλη σηµντική κινοτοµί

4 4 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης του Απολλώνιου είνι ότι υλοποίησε κι τις τρεις κµπύλες στον ίδιο κυκλικό (ορθό ή µη) κώνο µε κτάλληλες τοµές. Με τις κωνικές τοµές σχολήθηκε κι ο ιοκλής (περίπου 180 π.χ.) στο έργο του Περί Πυρείων ([4], σελ κι [7]), όπου νφέρει κι την ιδιότητ εστίς κι διευθετούσς στην πρβολή, γι την οποί δεν κάνει λόγο ο Απολλώνιος. Μι σηµντική κινοτοµί στις κωνικές πρόσφερε κι ο τελευτίος µεγάλος ρχίος Έλληνς µθηµτικός Πάππος ο Αλεξνδρινός (περίπου 300 µ.χ.) ο οποίος στο έργο του Συνγωγή (κι σε έν λήµµ του στο έργο του Ευκλείδη Τόποι προς επιφνείις) έδωσε έν ενιίο ορισµό γι τις κωνικές τοµές, τον λεγόµενο ορισµό του λόγου ([4], σελ κι [5]) : Σ έν επίπεδο θεωρούµε έν (στθερό) σηµείο Ε κι µι (στθερή) ευθεί (δ), στην οποί δεν νήκει το σηµείο Ε. Κλούµε κωνική τοµή το σύνολο των σηµείων του επιπέδου (που ορίζει η (δ) κι το Ε) τ οποί έχουν την ιδιότητ, ο λόγος, ε, των ποστάσεων τους πό το σηµείο Ε κι την ευθεί (δ), ν είνι στθερός (ν ε = 1 έχουµε την πρβολή, ν 0 < ε < 1 έχουµε την έλλειψη κι ν ε > 1 έχουµε την υπερβολή). Στην περίπτωση βέβι που δοθεί ο πρπάνω ορισµός οι γνωστοί ορισµοί της έλλειψης κι της υπερβολής (εστικοί ορισµοί) ποδεικνύοντι ως προτάσεις κι ντίστροφ. O επόµενος µεγάλος στθµός στην πορεί µελέτης των κωνικών τοµών ήτν η µελέτη τους υπό το πρίσµ της Προβολικής Γεωµετρίς πό τον 17 ο ιών κι µετά (Desargues, Gergone, Poncelet. Chasles, Steiner κ.ά, βλ. [4], σελ. 6-71), λλά ενδιφέρον γι τις κωνικές τοµές υπήρξε κι πριν, λόγω κι των εφρµογών τους στην Αστρονοµί (τροχιές πλνητών, κοµητών κλπ). Η προβολική Γεωµετρί είνι η µι κτεύθυνση µελέτης των κωνικών, η λεγόµενη συνθετική. Η άλλη είνι η γνωστή µς Ανλυτική Γεωµετρί (Α. Γ.) η οποί νπτύχθηκε πράλληλ µε την νάπτυξη της Άλγεβρς πό τον 16 ο ιών κι µετά. Μπροστά σε υτή την εθνική κληρονοµιά, το πύγσµ θ έλεγ της Αρχίς Ελληνικής Γεωµετρικής σκέψης, θεώρησ σκόπιµο ν προυσιάσω τις ποδείξεις των βσικών προτάσεων κι µερικών εφρµογών της θεωρίς των κωνικών τοµών (εκτός του κύκλου), που υπάρχουν στο τωρινό σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου κτεύθυνσης µε µεθόδους της Ε. Γ. κι µε βάση τους ορισµούς που υπάρχουν στο βιβλίο υτό (οι ρχίοι Έλληνες Γεωµέτρες όριζν τις κωνικές τοµές διφορετικά, λλά ισοδύνµ).

5 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 5. ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (χρκτηριστική ιδιότητ πρβολής) Έστω πρβολή µε εστί Ε κι διευθετούσ (δ), EK = p η πόστση του Ε πό την (δ) κι Ο το µέσο του ΕΚ. Έν σηµείο Μ νήκει στην πρβολή, ν κι µόνο ν ισχύει ΜΠ =poπ, όπου Π η προβολή του Μ στον άξον ΟΕ της πρβολής. Απόδειξη Έχουµε (Σχήµ 1) KΕ = p, ΟΕ = p/, ΜΕ = ΜΗ ΜΕ = (ΚΕ + EΠ) ΜΕ = ΕΠ + p + peπ ΜΕ ΕΠ = p( p + EΠ) Η (δ) M ΜΠ = poπ K Σχήµ 1 O E Π Η ισοδυνµί υτή ισχύει κι ότν το Μ είνι η κορυφή της πρβολής. Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη του προηγουµένου θεωρήµτος µε Α. Γ. (ως εξίσωση πρβολής). ΠΟΡΙΣΜΑ 1.1 Η ευθεί ΕΚ είνι άξονς συµµετρίς της πρβολής. (Υπ. Αν Μ το συµµετρικού ενός σηµείου Μ της πρβολής τότε ΜΠ = Μ Π, οπότε Μ Π = poπ κλπ) ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Το µήκος µις χορδής πρβολής που διέρχετι πό την εστί της κι είνι κάθετη στον άξονά της (εστικτοµή) είνι ίσο µε p = ΕΚ. Ο ριθµός υτός (κι όχι ο p) λέγετι πράµετρος της πρβολής.

6 6 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Ιστορική Σηµείωση Η σχέση ΜΠ = poπ («σύµπτωµ» κτά τους ρχίους Έλληνες γεωµέτρες, που εκφράζει ισότητ εµβδών) στην Α.Γ. ντιστοιχεί στην γνωστή µς εξίσωση πρβολής.h σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο πρβολής (:ευθεί που είνι πράλληλη στον άξονά της) κι την εφπτοµένη στο άκρο της κι υτήν την σχέση κι σε υτήν την περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που είνι πράλληλο σε µι γενέτειρ του (κυκλικού) κώνου ορθού ή µη. Μάλιστ επειδή ΜΠ = (πράµετρος) ΟΠ, δηλδή το τετράγωνο πλευράς ΜΠ είνι ισοδύνµο («πρβάλλετι») µε το ορθογώνιο µε διστάσεις p, ΟΠ, ο Απολλώνιος ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµήκµπύλη υτή πρβολή ([1] τόµος, Πρότση 11, σελ. 30 κι [4], σελ. -5). ΠΡΟΤΑΣΗ (Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 9) «Μι χορδή πρβολής τέµνει την πρβολή στ σηµεί Α, Β κι διέρχετι πό την εστί της Ε. Ν ποδειχθεί ότι το γινόµενο των ποστάσεων των Α, Β πό τον άξον της πρβολής είνι στθερό». Απόδειξη Έστω πρβολή µε διευθετούσ (δ), A P εστί Ε κι πράµετρο ΕΚ = p (Σχήµ ). Αν πράγµτι το γινόµενο υτό είνι (δ) στθερό, θ είνι το ίδιο γι οποιοδήποτε χορδή που διέρχετι πό την εστί, άρ κι γι την κάθετη στον άξον. Εύκολ K Η βρίσκουµε τότε ότι γι την χορδή O E Z υτή,(δηλ. ότν ΑΒ ΚΖ) οι προβολές είνι ΑΖ=ΑΕ=ΒΗ=ΒΕ κι ισχύει ΑΖ ΒΗ=ΑΕ ΒΕ=ΑΕ =ΑΖ = ΑΡ =p. Θ B Σχήµ Θ προσπθήσουµε λοιπόν ν δείξουµε υτό. Είνι ΑΖ = poz, BH = poh, οπότε ΑΖ ΒΗ = 4p ΟΖ OH (1) Από τ όµοι τρίγων ΑΕΖ, ΗΒΕ έχουµε (ΑΕ=ΑΡ=ΚΖ, ΒΕ =ΒΘ=ΚH)

7 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 7 AE EZ KZ EZ = ή = BE HE KH HE ή p / p / + OZ + OH OZ p / = p / OH = p OH = OZ p Οπότε 4ΟΖ OH = p κι πό την (1), ΑΖ ΒΗ = p. Πρτηρούµε ότι κι το γινόµενο των ποστάσεων των προβολών των Α, Β στον άξον της πρβολής, πό την κορυφή της πρβολής είνι στθερό (κι ίσο µε p /4). Σηµείωση Στις σελίδες 9-93 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ. Σχετική άσκηση Ισχύει το ντίστροφο: Αν το γινόµενο των ποστάσεων των άκρων µις χορδής ΑΒ πρβολής πό τον άξονά της είνι ίσο µε p, τότε η χορδή υτή διέρχετι πό την εστί της πρβολής. Ορισµός Εφπτοµένης Κωνικής Εφπτοµένη µις πρβολής (κι γενικά µις κωνικής: κύκλου, έλλειψης, υπερβολής) σ έν σηµείο της, λέµε την ευθεί της οποίς όλ τ σηµεί, εκτός του σηµείου υτού βρίσκοντι εκτός της κωνικής (δηλδή δεν υπάρχουν σηµεί της ευθείς εντός του επιπέδου µέρους της κωνικής όπου βρίσκοντι οι εστίες). Αποδεικνύετι ότι η εφπτοµένη σ έν σηµείο κωνικής είνι µονδική. Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της πρβολής θ χρειστούµε τ πρκάτω λήµµτ (το δεύτερο χρειάζετι µόνο γι ν δούµε κι έν δεύτερο τρόπο πόδειξης). ΛΗΜΜΑ 1 Έν σηµείο του επιπέδου της πρβολής βρίσκετι εκτός υτής (εκτός του κοίλου µέρους της όπου βρίσκετι η εστί) ν κι µόνο ν η πόστσή του πό την εστί της είνι µεγλύτερη πό την πόστσή του πό την διευθετούσ της (φήνετι ως άσκηση, βλ. κι [4] σελ.130).

8 8 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΛΗΜΜΑ Έστω (δ) κι (ε) δυο (στθερές) ευθείες τεµνόµενες στο σηµείο Λ κι Ε έν (στθερό) σηµείο εκτός υτών. Αν Ρ σηµείο της ευθείς (ε) κι ΡΖ PΕ κάθετη στην (δ), τότε ο λόγος γίνετι ελάχιστος ν κι µόνο η ΡΕ PΖ είνι κάθετη στην ΕΛ. (Αφήνετι ως άσκηση. Υπ. Θεωρούµε την κάθετη ΡΠ πό το Ρ στην ΕΛ, PΕ PE ΡΠ ΡΛ είνι = κλπ, βλ. κι [4], σελ. 136). PΖ ΡΠ ΡΛ ΡΖ ΠΡΟΤΑΣΗ 3 (Εφπτοµένη κι διευθετούσ) Έστω Μ σηµείο πρβολής κι Η η προβολή του στην διευθετούσ της. Τότε η διχοτόµος της γωνίς ΗΜΕ (η µεσοκάθετη του ΗΕ) είνι εφπτοµένη της πρβολής στο Μ κι ντίστροφ. Απόδειξη Έστω Ρ σηµείο της διχοτόµου ΜΛ της γωνίς ΗΜΕ διάφορο του Μ (Σχήµ 3). Θ δείξουµε ότι ΡΕ > ΡΖ. Τ τρίγων ΡΜΕ, ΡΜΗ είνι ίσ, οπότε ΡΕ = ΡΗ κι ΡΗ > ΡΖ, οπότε ΡΕ > ΡΖ. Άρ (Λήµµ 1) όλ τ σηµεί της ΜΛ, εκτός του Μ, βρίσκοντι εκτός της πρβολής. Ζ Ρ Σχήµ 3 Η (δ) Μ Θ Λ Ε Εποµένως η ΜΛ είνι εφπτοµένη της πρβολής. Εντελώς όµοι εργζόµστε ν το Μ είνι κορυφή της πρβολής. Έτσι η κάθετη στην

9 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 9 κορυφή της πρβολής είνι εφπτοµένη της πρβολής (υτό µπορεί ν ποδειχθεί κι διφορετικά). Αντίστροφ: Έστω ΜΛ εφπτοµένη της πρβολής στο Μ. Φέρνουµε την διχοτόµο της γωνίς ΗΜΕ, οπότε θ νι εφπτοµένη στο Μ κι λόγω της µονδικότητς της εφπτοµένης (πρλείπουµε εδώ την πόδειξη υτής πρότσης, βλ. άσκηση πρκάτω) η ΜΛ είνι διχοτόµος της ΗΜΕ. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 (Ανκλστική ιδιότητ της πρβολής) Η εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ πρβολής σχηµτίζει ίσες γωνίες µε την εστική κτίν ΜΕ κι την πράλληλη πό το Μ προς τον άξον της πρβολής κι ντίστροφ. Απόδειξη Α τρόπος: Έστω ΜΛ εφπτοµένη στο Μ (Σχήµ 3), οπότε σύµφων µε την προηγούµενη πρότση είνι διχοτόµος της γωνίς ΗΜΕ κι λόγω ΡΜΘ = ΛΜH, έχουµε ΡΜΘ = ΛΜΕ. Αντίστροφ: Προκύπτει πό την Πρότση 3, φού η ευθεί υτή θ είνι διχοτόµος της γωνίς HME. Β τρόπος: Γι κάθε σηµείο Ρ της εφπτοµένης ΜΛ έχουµε (βλ. Λήµµ P ΜΕ 1) ΡΕ ΡΖ ή Ε 1 =, δηλδή το Μ ελχιστοποιεί τον λόγο ΡΕ/ΡΖ, PΖ ΜΗ οπότε πό το Λήµµ ( πρπάνω) η ΛΕ είνι κάθετη στην ΜΕ. Έτσι τ ορθογώνι τρίγων ΛΗΜ, ΛΕΜ είνι ίσ, οπότε HΜΛ = ΛΜΕ κλπ. Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της ιδιότητς υτής µε Α.Γ.. Απλά το σχ. βιβλίο διτυπώνει την ιδιότητ σε σχέση µε κάθετη στην εφπτοµένη στο σηµείο Μ (προφνώς ισοδύνµ, βλ. επόµενο πόρισµ).

10 10 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 4.1 Η κάθετη στην πρβολή σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της πρβολής στο σηµείο υτό, σχήµ 3) διχοτοµεί την γωνί ΕΜΘ. ΠΟΡΙΣΜΑ 4. (εφρµογή σχ. βιβλίου, σελ. 98) Το τµήµ της εφπτοµένη µις πρβολής, πό το σηµείο επφής µέχρι την διευθετούσ της, φίνετι πό την εστί της µε ορθή γωνί. (Υπόδειξη : τ τρίγων ΛΜΗ, ΛΜΕ είνι ίσ κλπ.) Σηµειώσεις 1. Στην σελίδ 98 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη του πρπάνω πορίσµτος 4. µε Α. Γ... Το πόρισµ 4. µς δίνει έν τρόπο γι ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη σ έν σηµείο (δεδοµένης) πρβολής. Άσκηση Ν δειχθεί ότι η εφπτοµένη πρβολής σε έν σηµείο της είνι µονδική. (Υπ. Πόρισµ 4. κι Λήµµ ) 3. ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 5 (χρκτηριστική ιδιότητ έλλειψης) Έστω έλλειψη µε στθερό άθροισµ, εστική πόστση ΕΣ = γ < κι Ο το µέσο του ΕΣ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της έλλειψης νήκει ΟΠ ΜΠ στην έλλειψη, ν κι µόνο ν ισχύει + = 1, όπου Π η β προβολή του Μ στον µεγάλο της άξον κι β = - γ. Απόδειξη Είνι (Σχήµ 4) ΟΕ = ΟΣ = γ, ΟΑ = ΟΒ =.Από το Πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε ΜΕ = ΜΠ + (γ + ΟΠ), ΜΣ = ΜΠ +(γ - ΟΠ) (1) Αν ΜΕ ΜΣ (όµοι εργζόµστε ν ΜΣ > ΜΕ) µε φίρεση των (1) (ή πό το ο θεώρηµ των διµέσων) πίρνουµε ΜΕ ΜΣ = ΕΣ ΟΠ = 4γΟΠ ()

11 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 11 Οι σχέσεις (1), () είνι νεξάρτητες της ιδιότητς της έλλειψης. M Σχήµ 4 Α E Ο Π Σ Β γ Έστω ΜΕ + ΜΣ = (3), οπότε η () γίνετι ΜΕ - ΜΣ = ΟΠ (4) γ γ Από (3), (4) προκύπτει ΜΕ = + ΟΠ, ΜΣ = - ΟΠ (5) Προφνώς η (3) είνι ισοδύνµη µε το σύστηµ των (5) Λόγω της πρώτης των (1), έχουµε γ ΜΕ = + ΟΠ ΜΕ γ = ( + ΟΠ ) ΜΠ + ΟΠ + γ = γ ΟΠ ΜΠ + ΟΠ + = 1 (6) β Όµοι βρίσκουµε ότι κι η δεύτερη των (5) είνι ισοδύνµη µε την (6). Άρ τελικά η (6) είνι ισοδύνµη µε την (3). Σηµείωση Στις σελίδ 10 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη µε Α. Γ. του προηγουµένου θεωρήµτος (ως εξίσωση έλλειψης). ΠΟΡΙΣΜΑ 5.1 Έστω έλλειψη µε στθερό άθροισµ, εστική πόστση ΕΣ = γ < κι β = - γ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της νήκει στην έλλειψη, ν MΠ β MΠ β κι µόνο ν ισχύει = ή = _ ΟΠ ΠΑ ΠΒ όπου Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ (ευθεί µεγάλου άξον της έλλειψης) κι Α, Β είνι τ σηµεί τοµής της έλλειψης µε τον µεγάλο της άξον.

12 1 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 5. Η ευθεί η οποί ορίζετι πό τις εστίες έλλειψης, όπως κι η κάθετη στο µέσο Ο της εστικής πόστσης, είνι άξονες συµµετρίς της έλλειψης, ενώ το µέσο Ο είνι το κέντρο συµµετρίς της. ΠΟΡΙΣΜΑ 5.3 Το µήκος µις χορδής έλλειψης που διέρχετι πό µι εστί της κι είνι κάθετη στον µεγάλο της άξον (εστικτοµής) είνι ίσο µε β p =.Ο ριθµός υτός λέγετι πράµετρος της έλλειψης. Ιστορική Σηµείωση Στ ρχί κείµεν η πρπάνω χρκτηριστική ιδιότητ της έλλειψης εµφνίζετι στην (πιο εύχρηστη κι ζωντνή γεωµετρικά µορφή: λόγος MΠ β εµβδών) = ( : «σύµπτωµ» της κωνικής υτής, κτά τους ΠΑ ΠΒ ρχίους Έλληνες Γεωµέτρες) η οποί όπως είδµε είνι ισοδύνµη (πόρισµ 5.1) µε την γνωστή εξίσωση έλλειψης της Α.Γ.. H σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο έλλειψης (ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της) κι την εφπτοµένη στο έν άκρο της (π.χ. Α) κι υτήν την σχέση, σ υτήν την γενική περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες του. Μάλιστ επειδή ΜΠ < ΠΑ p, (p πράµετρος, Σχήµ 4), δηλδή το τετράγωνο της ΜΠ είνι µικρότερο («ελλείπειν») του ορθογωνίου µε διστάσεις ΠΑ, p, ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµή-κµπύλη υτή Έλλειψη ([1] τόµος, Πρότση 13, σελ. 38 κι [4], σελ. 9-3 ). ΠΡΟΤΑΣΗ 6 (θεωρί σχ. βιβλίου, σελίδ 104) Η µικρότερη διάµετρος µις έλλειψης είνι ο µικρός της άξονς κι η µεγλύτερη ο µεγάλος της άξονς. Απόδειξη Έστω µι έλλειψη µε ηµιάξονες, β, > β, κι εστίες Ε, Σ (Σχήµ 5).. Αρκεί ν δειχθεί ότι γι κάθε διάµετρο της έλλειψης Γ ισχύει

13 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 13 β Γ, εφόσον κι οι άξονες της έλλειψης είνι προφνώς κι διάµετροι υτής. Αρκεί σφλώς ν δειχθεί ότι β ΟΓ. Από το τρίγωνο ΓΣ κι το πρλληλόγρµµο ΕΓΣ (Ο κέντρο συµµετρίς έλλειψης) έχουµε Γ =ΟΓ ΓΣ+Σ =ΓΣ+ΓΕ=, οπότε ΟΓ. Είνι ΟΓ = ΓΠ + ΟΠ κι επειδή το Γ είνι σηµείο της έλλειψης (βλ. Πόρισµ 5.1) έχουµε ΓΠ = β - Άρ β ΟΠ. Α ΟΓ = β β - ΟΠ + ΟΠ = β + ΟΠ β (1 - ) β, εποµένως ΟΓ β. Η ισότητ ισχύει ότν ΟΠ=0, δηλδή ότν η ΟΓ τυτίζετι µε τον µικρό ηµιάξον. Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της έλλειψης θ χρειστούµε το πρκάτω λήµµ. Ε Γ Π Σχήµ 5 Ο Σ Β ΛΗΜΜΑ 3 Έν σηµείο Α του επιπέδου της έλλειψης βρίσκετι εκτός υτής, ν κι µόνο ν, το άθροισµ των ποστάσεών του πό τις εστίες της είνι µεγλύτερο του. (Υπ: εφρµόζουµε την τριγωνική νισότητ στο τρίγωνο ΑΓΕ (Σχήµ 6)). ΘΕΩΡΗΜΑ 7 (Ανκλστική ιδιότητ της έλλειψης) Αν µι ευθεί είνι εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ µις έλλειψης, τότε σχηµτίζει ίσες γωνίες µε τις εστικές κτίνες MΕ κι MΣ κι ντιστρόφως.

14 14 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Απόδειξη Έστω Α (Σχήµ 6) τυχόν σηµείο της εφπτοµένης στο Β Μ, διάφορο του Μ, οπότε Σχήµ 6 είνι εκτός της έλλειψης. Έχουµε ΑΕ + ΑΣ = ΑΕ+ΑΓ+ΓΣ > ΕΓ+ΓΣ = Άρ γι το τυχόν σηµείο Α Α της εφπτοµένης ισχύει, Μ ΑΕ + ΑΣ = ΜΕ + ΜΣ, µε ισότητ µόνο ότν το Α Γ Τ συµπίπτει µε το Μ. Αυτό όµως συµβίνει, ως γνωστόν µόνο ν AME = ΣMT (ν Β το συµµετρικό του Ε ως προς την ΑΜ, τότε ΑΕ + ΑΣ = Ε Σ ΒΑ + ΑΣ ΒΣ, οπότε υτό γίνετι ελάχιστο ν Β, Α, Σ συνευθεικά, δηλ. το Α τυτίζετι µε το Μ κλπ). Αντιστρόφως : Έστω µι ευθεί ΜΤ που διέρχετι πό το σηµείο Μ της έλλειψης µε AME = ΣMT, όπου Α τυχόν σηµείο της ευθείς υτής διάφορο του Μ. Στην προέκτση της ΜΣ θεωρούµε τµήµ ΜΒ = ΜΕ. Τότε πό την ισότητ των τριγώνων ΑΒΜ, ΑΜΕ προκύπτει ΑΕ=ΑΒ. Έχουµε ΑΕ + ΑΣ = ΑΒ + ΑΣ > ΒΣ = ΒΜ + ΜΣ = ΜΕ + ΜΣ =, άρ το σηµείο Α βρίσκετι εκτός της έλλειψης (βλ. Λήµµ 3). Εποµένως η ευθεί υτή είνι εφπτοµένη της έλλειψης στο Μ. ΠΟΡΙΣΜΑ 7 Η κάθετη στην έλλειψη σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο υτό) διχοτοµεί την γωνί ΕΜΣ. Σηµείωση: Με βάση το πόρισµ µπορούµε ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη (δεδοµένης) έλλειψης σε έν σηµείο της.

15 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 15 ΠΡΟΤΑΣΗ 8 (Σχ. βιβλίο, εφρµογή σελίδς 109) Έστω έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξον, µικρό β, εστίες Ε, Σ κι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο τοµής των ξόνων της έλλειψης κι κτίν. Aπό έν σηµείο Μ της έλλειψης, εκτός των κορυφών της, θεωρούµε την κάθετη στον µεγάλο άξονά της που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ν. Τότε η εφπτοµένη του κύκλου στο Ν κι της έλλειψης στο Μ τέµνοντι πάνω στην ευθεί του µεγάλου άξον της έλλειψης. Απόδειξη Έστω ότι η εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Μ τέµνει τον µεγάλο άξον στο Τ (Σχήµ 7). Αρκεί ν δειχθεί ότι η ΤΝ είνι εφπτόµενη του κύκλου ή ότι το τρίγωνο ΟΝΤ είνι ορθογώνιο στο Ν. N H θ M ω Z A E O P Σ Β T Σχήµ 7 Ισοδύνµ ρκεί ν δειχθεί ότι ΟΝ = ΟΡ ΟΤ ή = ΟΡ ΟΤ (τότε τ τρίγων ΟΝΡ, ΟΝΤ είνι όµοι κλπ). Προεκτείνουµε την ΕΜ κτά τµήµ ΜΗ = ΜΣ, οπότε ΗΕ = (συνηθισµένη κίνηση στην έλλειψη). Λόγω κι της νκλστικής ιδιότητς της εφπτοµένης στο Μ, η ΜΤ είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΣΗ, Ζ µέσο του ΣΗ, οπότε ΟΖ = ΗΕ ή ΟΖ =, κι ΟΖ//ΗΕ.

16 16 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης OZ OP Ισοδύνµ τώρ ρκεί ν δειχθεί ότι =, δηλδή ρκεί ν OT OZ δειχθεί ότι τ τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι. Ήδη έχουν κοινή την γωνί Ο. Θ δείξουµε ότι κι OZP ZTO =. Από το εγγράψιµο τετράπλευρο ΡΜΖΣ, έχουµε MZP = MΣP κι λόγω ΟΖ//ΜΕ MZO = θ = ω. Έτσι έχουµε OZP = ΜΖΡ - MZΟ = MΣP - ω = MT Σ ( P M Σ εξωτερική γωνί του τριγώνου ΜΤΣ). Έτσι τ τρίγων ΟΖΡ, ΟΖΤ είνι όµοι κλπ.. Σηµείωση Στις σελίδ 110 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της ιδιότητς υτής µε Α. Γ.. ΠΟΡΙΣΜΑ 8 Αν η εφπτοµένη στο σηµείο Μ της έλλειψης τέµνει τον µεγάλο της άξον στο σηµείο Τ κι Ρ η προβολή του Μ σε υτόν, τότε ισχύει ΟΡ ΟΤ=. Σηµείωση Το πόρισµ υτό µς δίνει έν άλλο τρόπο γι ν κτσκευάσουµε (µε κνόν κι διβήτη) την εφπτοµένη (δεδοµένης) έλλειψης σε έν σηµείο της. 4. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 9 ( Χρκτηριστική ιδιότητ της υπερβολής) Έστω υπερβολή µε στθερή διφορά, εστική πόστση ΕΣ = γ> κι Ο το µέσο του ΕΣ. Έν σηµείο Μ του επιπέδου της υπερβολής ΟΠ ΜΠ νήκει στην υπερβολή, ν κι µόνο ν ισχύει = 1, όπου β Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ κι β = γ -. Απόδειξη Είνι (Σχήµ 8) ΟΕ = ΟΣ = γ, ΟΑ = ΟΒ =.

17 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 17 Από το Πυθγόρειο θεώρηµ έχουµε ΜΕ = ΜΠ + (γ + ΟΠ), ΜΣ = ΜΠ +(ΟΠ - γ) (1) Αν ΜΕ > ΜΣ (όµοι εργζόµστε ν ΜΣ > ΜΕ) µε φίρεση των (1) (ή πό το ο θεώρηµ των διµέσων) πίρνουµε ΜΕ ΜΣ = ΕΣ ΟΠ = 4γΟΠ () Οι σχέσεις (1), () είνι νεξάρτητες της ιδιότητς της υπερβολής. Μ Σχήµ 8 E Α Ο Β Σ Π γ Έστω ΜΕ - ΜΣ = (3), οπότε η () γίνετι ΜΕ + ΜΣ = ΟΠ γ γ Από (3), (4) προκύπτει ΜΕ = + ΟΠ, ΜΣ = ΟΠ - (5) Προφνώς η (3) είνι ισοδύνµη µε το σύστηµ των (5) Λόγω της πρώτης των (1), έχουµε γ ΜΕ = + ΟΠ ΜΕ γ = ( + ΟΠ ) ΜΠ + ΟΠ + γ = γ + ΟΠ ΜΠ = 1 (6) β Όµοι βρίσκουµε ότι κι η δεύτερη των (5) είνι ισοδύνµη µε την (6). Άρ τελικά η (6) είνι ισοδύνµη µε την (3) κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. ΟΠ Σηµείωση Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ. (ως εξίσωση υπερβολής). (4)

18 18 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης ΠΟΡΙΣΜΑ 9.1 Έστω υπερβολή µε στθερή διφορά, εστική πόστση ΕΣ = γ > κι β = γ -. Έν σηµείο Μ του επιπέδου νήκει στην υπερβολή, ν MΠ β MΠ β κι µόνο ισχύει = ή =, _ OΠ ΠΑ ΠΒ όπου Π η προβολή του Μ στην ευθεί ΕΣ (κύριο άξον της υπερβολής), Α, Β είνι τ σηµεί τοµής της υπερβολής µε τον κύριο άξονά της. ΠΟΡΙΣΜΑ 9. Η ευθεί η οποί ορίζετι πό τις εστίες υπερβολής, όπως κι η κάθετη στο µέσο Ο της εστικής πόστσης, είνι άξονες συµµετρίς της υπερβολής, ενώ το µέσο Ο είνι το κέντρο συµµετρίς της. ΠΟΡΙΣΜΑ 9.3 Το µήκος της χορδής υπερβολής που διέρχετι πό µι εστί της κι β είνι κάθετη στον µεγάλο άξον (εστικτοµή) είνι ίσο µε p =. Ο ριθµός υτός λέγετι πράµετρος της υπερβολής. Ιστορική Σηµείωση Στ ρχί κείµεν η πρπάνω χρκτηριστική ιδιότητ της υπερβολής εµφνίζετι στην (πιο εύχρηστη κι ζωντνή γεωµετρικά MΠ β µορφή: λόγος εµβδών) µορφή = «σύµπτωµ» της ΠΑ ΠΒ υπερβολής, κτά τους ρχίους Έλληνες Γεωµέτρες, η οποί όπως είδµε είνι ισοδύνµη (πόρισµ 9.1) µε την γνωστή εξίσωση έλλειψης της Α.Γ.. H σχέση υτή ποδεικνύετι γι οποιδήποτε διάµετρο υπερβολής (ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της) κι την εφπτοµένη στο έν άκρο της (π.χ. Β) κι υτήν την σχέση, σ υτήν την γενική περίπτωση, εξήγγε ο Απολλώνιος π ευθείς πάνω στην τοµή κώνου µε επίπεδο που τέµνει όλες τις γενέτειρες του. Μάλιστ επειδή ΜΠ > ΠΒ p, (p πράµετρος, Σχήµ 7), δηλδή το τετράγωνο της ΜΠ είνι µεγλύτερο («υπερβάλλειν») του ορθογωνίου µε διστάσεις ΠΒ, p ονόµσε (γι πρώτη φορά) την τοµή υτή Υπερβολή ([1] τόµος, Πρότση 1, σελ. 34 κι [4], σελ. 5-8).

19 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 19 Προκειµένου ν ποδείξουµε την νκλστική ιδιότητ της υπερβολής θ χρειστούµε τ πρκάτω λήµµτ. ΛΗΜΜΑ 4 Έν σηµείο Σ του επιπέδου της υπερβολής βρίσκετι εντός υτής (στ κοίλ µέρη της, όπου βρίσκοντι οι εστίες) ν κι µόνο ν η διφορά των ποστάσεων του, κτ πόλυτη τιµή, πό τις εστίες της είνι µεγλύτερη του, ενώ βρίσκετι εκτός υτής, ν κι µόνο ν η διφορά των ποστάσεων του, κτ πόλυτη τιµή, πό τις εστίες της είνι µικρότερη του. (φήνετι ως άσκηση) ΛΗΜΜΑ 5 Έστω έν τµήµ ΕΣ κι µι (στθερή) ευθεί (ε) που τέµνει το τµήµ ΕΣ, υπό δεδοµένη (οξεί) γωνί, σε σηµείο διάφορο του µέσου του. Αν Α τυχόν σηµείο της ευθείς (ε), τότε η διφορά ΑΕ - ΑΣ γίνετι µέγιστη ν κι µόνο η (ε) είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΑΣ. Απόδειξη Α Έστω Ζ (Σχήµ 9) το σηµείο τοµής της (ε) µε το τµήµ ΕΣ κι ότι Σχήµ 9 ΕΖ > ΖΣ. Αν το συµµετρικό του Ε Λ ως προς την (ε), τότε Α = ΑΕ, οπότε πό το τρίγωνο ΑΣ έχουµε Ε ΑΕ - ΑΣ = Α -ΑΣ Σ, µε Σ Ζ Σ στθερό. Η ισότητ ισχύει µόνο ν τ σηµεί Α, Σ, είνι συνευθεικά. Αυτό (ε) µπορεί ν συµβεί, γιτί εφόσον Γ ΕΖ > ΖΣ είνι κι Γ= ΕΓ > ΣΛ (λόγω κι της οµοιότητς των EΓΖ, ΖΛΣ) άρ η Σ δεν είνι πράλληλη στην (ε) οπότε την τέµνει. Το σηµεί όµως Α, Σ, είνι συνευθεικά, ν κι µόνο η (ε) είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΑΣ.

20 0 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σηµείωση Αν η (ε) διέρχετι πό το µέσο του ΕΣ τότε ποδεικνύετι ότι η διφορά ΑΕ - ΑΣ δεν µεγιστοποιείτι (πρόλο που είνι άνω φργµένη πό το στθερό Σ ) ΘΕΩΡΗΜΑ 10 (Ανκλστική ιδιότητ της υπερβολής) Αν µι ευθεί είνι εφπτοµένη σ έν σηµείο Μ µις υπερβολής, µε εστίες Ε, Σ, τότε είνι διχοτόµος της γωνίς ΕΜΣ κι ντιστρόφως. Απόδειξη Έστω Α (Σχήµ 10) τυχόν σηµείο της Α εφπτοµένης στο Μ, οπότε (βλ. Σχήµ 10 Λήµµ 4) ΑΕ - ΑΣ = ΜΕ ΜΣ, Μ µε ισότητ µόνο ότν το Α συµπίπτει Η µε το Μ. Έτσι η διφορά ΑΕ - ΑΣ γίνετι µέγιστη ν το Α συµπίπτει µε το Μ. Αυτό όµως συµβίνει (βλέπε Ε Ζ Σ προηγούµενο Λήµµ 5) µόνο ν ΣMZ ZME =. Αντιστρόφως: Έστω ΜΖ διχοτόµος της γωνίς ΕΜΣ κι Α τυχόν σηµείο της ΜΖ, διάφορο του Μ. Θ δείξουµε ότι το Α βρίσκετι εκτός της υπερβολής. Αν ΣΗ κάθετη στην ΜΖ, τότε ΜΖ είνι µεσοκάθετη στο τµήµ ΗΣ, οπότε ΑΗ = ΑΣ. Από το τρίγωνο ΑΗΕ έχουµε ΑΕ ΕΗ < ΑΗ = ΑΣ ή ΑΕ - ΑΣ < ΕΗ = ΜΕ - ΜΗ = ΜΕ - ΜΣ =, οπότε 0<ΑΕ - ΑΣ <, άρ το σηµείο Α βρίσκετι εκτός της υπερβολής (βλ. Λήµµ 4). Σηµείωση: Από το προηγούµενο θεώρηµ προκύπτει ένς τρόπος κτσκευής της εφπτοµένης υπερβολής σε έν σηµείο της. ΠΟΡΙΣΜΑ 10 Η κάθετη στην υπερβολή σ έν σηµείο της Μ (δηλδή η κάθετη στην εφπτοµένη της υπερβολής στο σηµείο υτό) σχηµτίζει ίσες γωνίες µε τις ηµιευθείες MΕ κι MΣ κι ντιστρόφως.

21 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 1 Ασύµπτωτες Υπερβολής Ως σύµπτωτες της υπερβολής (µε ηµιάξονες, β) στην Ε.Γ. ορίζοντι οι ευθείες που διέρχοντι πό το κέντρο συµµετρίς της υπερβολής (µέσο Ο της εστικής πόστσης ΕΣ) κι σχηµτίζουν µε την ευθεί υτή (οξεί) γωνί ω (Σχήµ 11) µε β PH εφω = =. OH ΠΡΟΤΑΣΗ 11 Οι σύµπτωτες υπερβολής δεν έχουν κοινά σηµεί µε την υπερβολή κι κάθε ευθεί που διέρχετι πό το κέντρο συµµετρίς της κι βρίσκετι εντός της γωνίς (ω) των σύµπτωτων (που βρίσκετι η υπερβολή), τέµνει την υπερβολή. (Αυτές οι ιδιότητες συνιστούν τη γεωµετρική - κι πργµτική - σηµσί της έννοις σύµπτωτης) Απόδειξη Έστω ότι η σύµπτωτη ΟΡ τέµνει την υπερβολή σ έν σηµείο Ρ (Σχήµ PH β 11). Έχουµε = _ ΟH ΟH PH _ PH = ΟH κι λόγω ή ΟΗ PH β = ΟH = ΟΗ, άτοπο. προκύπτει Προφνώς κι η συµµετρική της ως προς την ευθεί ΕΣ δεν έχει κοινά σηµεί µε την υπερβολή. Άρ οι σύµπτωτες δεν τέµνουν την υπερβολή. Έστω τώρ µι ευθεί ΟΧ (Σχήµ 11) εντός της γωνίς των σύµπτωτων. που βρίσκετι ο ένς κλάδος της υπερβολής. Τότε, ν θ η (οξεί) γωνί της µε την ευθεί ΕΣ θ είνι 0 < εφθ < εφω = β. Θ δείξουµε ότι η ΟΧ τέµνει την υπερβολή.

22 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης X Σχήµ 11 Ρ M Ε Ο ω ω θ Σ Η Π Ανζητούµε κοινό σηµείο Μ της υπερβολής κι της ΟΧ, δηλδή τέτοιο ώστε ΟΠ ΜΠ _ β = M Π (1) κι εφθ = () ΟΠ Από τις σχέσεις υτές µε πλοιφή του ΜΠ προκύπτει ΟΠ β = (3). _ β εφ θ Εποµένως, ν πάνω στον κύριο άξον της υπερβολής πάρουµε τµήµ ΟΠ τέτοιο ώστε ν ισχύει η (3), το ντίστοιχο σηµείο της υπερβολής Μ, θ ικνοποιεί την (1) κι κτά συνέπει, όπως εύκολ προκύπτει, κι την (), άρ θ νήκει κι στην ευθεί ΟΧ. Σηµειώσεις 1. Η προηγούµενη πόδειξη στο δεύτερο µέρος, είνι κυρίως λγεβρική. Το τµήµ ΟΠ δεν κτσκευάζετι πάντ µε τον κνόν κι τον διβήτη. Υπάρχει κι κθρά γεωµετρική λλά λόγω έκτσης (χρησιµοποιεί µη γνωστές προτάσεις) δεν την νφέρουµε.. Στις σελίδες του σχ. βιβλίου υπάρχει θεώρηση των σύµπτωτων υπερβολής µε Α. Γ..

23 Β Λυκείου: Οι Κωνικές Τοµές µε Ευκλείδει Γεωµετρί 3 ΠΡΟΤΑΣΗ 1 (Εφρµογή σχ. βιβλίου, σελίδ 11) «Το γινόµενο των ποστάσεων ενός σηµείου υπερβολής πό σύµπτωτές της είνι στθερό». τις Λύση Έστω σηµείο Μ (Σχήµ 1) H υπερβολής (µε στθερή διφορά Γ, εστική πόστση γ, + β = γ ), ΜΓ, Μ τ κάθετ τµήµτ προς τις σύµπτωτες κι O η κάθετη πό το Μ στον κύριο ω άξον (των εστιών) της A ω Β M K υπερβολής που τον τέµνει στο σηµείο Κ κι την υπερβολή στ σηµεί Η, Ρ. Θ προσπθήσουµε ν δηµιουργήσουµε το γινόµενο Σχήµ 1 P ΜΓ Μ (πό πού λλού;) µέσ πό όµοι τρίγων. Από τ όµοι ορθογώνι τρίγων ΗΓΜ, ΟΗΚ έχουµε MΓ ΗΜ = (1) ΟΚ ΟΗ M ΜΡ Επίσης πό τ όµοι τρίγων ΟΚΡ, ΜΡ έχουµε = () ΟΚ ΟΡ Από τις δυο προηγούµενες σχέσεις µε πολλ/σµό προκύπτει (ΟΗ = ΟΡ) MΓ M ΗΜ ΜΡ = (3) ΟΚ ΟΗ Επίσης έχουµε ΗΜ ΜΡ = (ΗΚ - ΜΚ)(ΗΚ + ΜΚ) = ΗΚ - ΜΚ (4) β λλά ΗΚ = OK κι (πό Πόρισµ 9.1) MK β β = ή MK + β = OK = ΗΚ. _ OK Έτσι πό την (4) προκύπτει ΗΜ ΜΡ = β (5) Επίσης είνι ΟΗ = ΟΚ + ΗΚ = ΟΚ β + OK = OK + β (6)

24 4 ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Έτσι πό την (3), λόγω των (5), (6), προκύπτει τελικά β ΜΓ Μ = + β στθερό. Σηµείωση Στις σελίδ 1 του σχ. βιβλίου υπάρχει πόδειξη της προηγούµενης ιδιότητς µε Α. Γ.. ΠΟΡΙΣΜΑ 1.1 Αν η κάθετη πό έν σηµείο Μ υπερβολής προς τον κύριο άξονά της, τέµνει τις σύµπτωτες στ σηµεί Η, Ρ τότε ΗΜ ΜΡ= β. ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Αν πό έν σηµείο ισοσκελούς υπερβολής φέρουµε κάθετες προς τις σύµπτωτές της, τότε το εµβδόν του σχηµτιζόµενου ορθογωνίου είνι στθερό κι ίσο µε /.- * * * Bιβλιογρφί 1. Απολλωνίου Κωνικά (1975, 1976).Τόµος Α, Β, Γ,, µετάφρση Ε. Σ. Στµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήν.. Αρχιµήδους Άπντ (1970, 1973). Τόµος Α - µέρος Β, µετάφρση Ε. Σ. Στµάτη, Έκδοση Τ.Ε.Ε., Αθήν. 3. Heath Th. (001), Ιστορί των Ελληνικών Μθηµτικών, Τόµος Ι, II, µετάφρση, έκδοση Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., Αθήν. 4. Μπουνάκη.(005). Ιστορί κι µελέτη µε Ευκλείδει µέσ των Κωνικών Τοµών (Μετπτυχική εργσί, Πνεπιστήµιο Κρήτης) 5. Πάππου, Συνγωγή (001, 004).Επιµέλει κι µετάφρση Ε. Σπνδάγος, Εκδόσεις Αίθρ, Αθήν. 6. Πρόκλου (001, 00).Υπόµνηµ στο Βιβλίο στων Στοιχείων του Ευκλείδου, ( τόµοι), επιµέλει κι µετάφρση Ε. Σπνδάγος, Εκδόσεις Αίθρ. 7. Τoomer J. G. (1975).Diocles on Burning Mirrors, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York. -