Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΕ ΑΠΛΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΕ ΑΠΛΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων όπως γνωρίζοµε προήλθε από µια γενίκεση των µεθόδων επίλσης των ραβδωτών φορέων, σε προβλήµατα µηχανικής πο αφορούν τα επίπεδα παραµορφώσιµα σώµατα [-]. Στη σνέχεια η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων απέκτησε οικοµενικό χαρακτήρα σε τρόπο πο να µπορεί πλέον να επιλύει µια µεγάλη σειρά προβληµάτων των παραµορφώσιµων σωµάτων. Οι µέθοδοι ατοί είναι εφαρµόσιµοι και στην περίπτωση των ραβδωτών φορέων. Έτσι οι ακαµψίες των στοιχείων (ράβδων) προκύπτον µε τη βοήθεια των παρεµβολικών τύπων και όχι βάσει θεωρήσεων πο στηρίζονται στην αντοχή των λικών (δηλαδή στις σχέσεις κοµβικών φορτίων-κοµβικών µετατοπίσεων πο δίνει η εξίσωση ελαστικής γραµµής)... ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ-ΡΑΒ ΟΣ ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Aριθµoύµε τος κόµβος και τις ράβδος το δικτώµατος, στη σνέχεια αποµονώνοµε την ράβδο. H ράβδος είναι ένα στοιχείο, µονοδιάστατο αµφιαρθρωτό, αφόρτιστο µεταξύ των δύο άκρων το, πο καταπονείται µόνον από τις αξονικές δνάµεις S και S πο δρον στα άκρα της,. Σµβολίζοµε µε S το διάνσµα των δνάµεων S [S, S ] T πο δρα στος κόµβος,, δηλαδή

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις S S S Κάθε ράβδος το δικτώµατος είναι ορισµένη από τις σντεταγµένες των άκρων της, ως προς ένα καθολικό σύστηµα σντεταγµένων (Σχ..) και χαρακτηρίζεται από το µήκος της, τη σταθερή της διατοµή Α και το µέτρο ελαστικότητας Ε το λικού από το οποίο αποτελείται. Ας πάροµε ένα τοπικό σύστηµα αξόνων µε αρχή το σηµείο τέτοιο ώστε ο άξονας των να σµπίπτει µε την διεύθνση της ράβδο µε φορά από τον κόµβο προς τον κόµβο (Σχ..). Οι µετατοπίσεις της ράβδο είναι πάντα κατά την έννοια της ράβδο. Ας σµβολίσοµε µε δ() την µετατόπιση κατά τη διεύθνση της ράβδο ενός σηµείο Μ πο απέχει από το σηµείο (χρησιµοποιείται το σύµβολο δ αντί το q επειδή αναφερόµαστε σε τοπικό σύστηµα σντεταγµένων). Η µετατόπιση το πρέπει να εκφραστεί σαν σνάρτηση των µετατοπίσεων δ και δ µε έναν απλό παρεµβολικό τύπο. Ατό µπορεί να γίνει κατ εθείαν ή µε το να θεωρήσοµε ότι η µετατόπιση δ() δίνεται από ένα απλό πολώνµο ( ) + + + K [ K] δ a a a a a a M (.) Η σχέση (.) πρέπει να ισχύει και στος κόµβος () και () όπο οι µετατοπίσεις είναι αντίστοιχα δ και δ, δηλαδή δ( ) δ (.) δ() δ Άρα µόνο δύο όρος µπορούµε να κρατήσοµε από τη σχέση (.) και κρατάµε πάντα τος όρος µε ανιούσα σειρά, δηλαδή ή όπο a δ( ) a + a [ ] a M δ( ) M( ) a (.) a a, (.) a ( ) [ ] Εφαρµόζοντας τις (.) έχοµε Y F S F F S F Σχήµα.. Ράβδος δικτώµατος ως προς ένα καθολικό σύστηµα σντεταγµένων XOY. X

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις ή ή δ a δ a δ Aa (.) Λύνοντας ως προς a και αντικαθιστώντας στην (.) έχοµε δ( ) δ δ () ( ) + δ ξδ + ξδ, ξ Οπότε δ δ( ) [ ξ ξ] (.6) δ Σµβολίζω µε N ( ) ξ και N ( ) ξ. Τα N (), N () λέγονται σναρτήσεις σχήµατος. Η σχέση (.6) γράφεται [ ] δ δ( ) N ( ) N ( ) Nδ (.7) δ Στη σχέση (.7) θα φτάναµε αν αντιστρέφαµε την (.), οπότε a A δ και την αντικαθιστούσαµε στη (.) οπότε Άρα δ( ) M( ) A δ ( ) ( ) N M A Οι παραµορφώσεις δίνονται από τη σχέση ή σε µητρωϊκή µορφή όπο dδ( ) δ ε [ ] d δ ε B δ [ ] B ενώ οι τάσεις προκύπτον από τη σχέση τάσεων-παραµορφώσεων E σ Eε EBδ [ ] δ (.) (.9) (.) (.)

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις Το επόµενο βήµα πο θα κάνοµε είναι να εφαρµόσοµε την αρχή δνατών έργων στο στοιχείο. Οι δνατές παραµορφώσεις δε εκφράζονται µε µια σχέση ανάλογη της (.9) αφού το µόνο πο αλλάζει είναι οι δνατές µετατοπίσεις των κόµβων. Εποµένως αν σµβολίσοµε µε δδ το διάνσµα των δνατών κοµβικών µετατοπίσεων η δνατή παραµόρφωση είναι δε B δδ [ ] δδ Η αρχή των δνατών έργων λέει ότι το δνατό έργο Ε ξ των εξωτερικών δνάµεων Eξ [ δ ] T δ S E δεσ T dv, δηλαδή σ V [ ] είναι ίσο µε το έργο των Ε σ των εσωτερικών δνάµεων T T δδ S B EBdVδδ (.) V Ονοµάζω ακαµψία την ποσότητα το στοιχείο στο τοπικό σύστηµα σντεταγµένων T B EBdV V (.) λαµβάνοντας πόψη ότι τα Β, Ε, και η διατοµή Α της ράβδο είναι σταθερά προκύπτει AE (.) εδοµένο ότι το διάνσµα δδ είναι ένα τχαίο µη µηδενικό διάνσµα η σχέση (.) γράφεται δ S (.) Θεωρούµε τώρα τις µετατοπίσεις στο καθολικό σύστηµα XΟY. Το διάνσµα των κοµβικών µετατοπίσεων q της ράβδο είναι u q (.6) Y u δ Το διάνσµα δ σνδέεται µε το διάνσµα q (Σχήµα.) µε τη σχέση ή u δ m δ l m l u δ aq (.7) u δ Σχήµα. φ u X

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις όπο l,m είναι τα σνηµίτονα κατεύθνσης της ράβδο ως προς τος άξονες X,Y (*), δηλαδή X X l φ m Y Y co n φ (.) και (X,Y ), (X,Y ) οι σντεταγµένες των κόµβων, αντίστοιχα. Έστω (F, F ) και (F, F ) οι σνιστώσες των S και S αντίστοιχα στο καθολικό σύστηµα σντεταγµένων. Από το Σχήµα. προκύπτει F l F m S F l S F m ή F α S Τ (.9) Η σχέση (.9) σνδέει το µητρώο στήλη F των κοµβικών δνάµεων στο καθολικό σύστηµα µε το µητρώο των κοµβικών δνάµεων S στο τοπικό σύστηµα. Αντικαθιστώντας την σχέση (.7) στις σχέσεις (.9) και (.) προκύπτει ε Baq Bq σ EBaq EBq Εφαρµόζοντας ξανά την αρχή των δνατών έργων µετά από µια ανάλογη διαδικασία όπως προηγοµένως βρίσκοµε όπο δηλαδή q F (.) B EBdV α B EB α dv α B EB dv α T Τ Τ Τ Τ V V V Τ α α (.) το µητρώο ακαµψίας στο καθολικό σύστηµα σντεταγµένων Κάνοντας τις πράξεις βρίσκοµε (*) Στην περίπτωση δικτωµάτων στο χώρο το µητρώο α θα περιείχε και τα σνηµίτονα κατεύθνσης της ράβδο ως προς τον άξονα Z.

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις 6 AE l lm l lm lm m lm m l lm l lm lm m lm m (.) Το µητρώο ακαµψίας και το µητρώο των κοµβικών µετατοπίσεων δ στο τοπικό σύστηµα σντεταγµένων, σνδέονται µε το µητρώο των κοµβικών δνάµεων S [ ] S S T επίσης στο τοπικό σύστηµα σντεταγµένων µε τη σχέση (.), δηλαδή πρέπει να ισχύει AE δ δ S AE δ δ S (.) πο είναι ήδη γνωστά από τον εφελκσµό των ράβδων. ηλαδή, η σχέση (.) µπορεί να προκύψει και απεθείας. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά την σχέση (.) µε α Τ και χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (.7) και (.9) προκύπτει ( ) α α q F q F Τ πο σµπίπτει µε την (.). Από τη στιγµή πο έχον αναπτχθεί οι σχέσεις (.) η διαδικασία επίλσης το προβλήµατος ακολοθεί τα βήµατα της µητρωϊκής ανάλσης των κατασκεών, δηλαδή εφαρµόζοµε τις εξισώσεις ισορροπίας σε κάθε κόµβο το δικτώµατος. Στις εξισώσεις ατές τις εσωτερικές δνάµεις F, F, Fz στον κόµβο της ράβδο τις αντικαθιστούµε από τη σχέση (.). Έτσι βρίσκοµε σχέσεις πο σνδάζον τις ακαµψίες (,,...,N) και των Ν ράβδων το δικτώµατος καθώς και όλες τις µετατοπίσεις των κόµβων. Η σχέσεις ατές έχον ως δεύτερο µέλος τις γνωστές εξωτερικές δνάµεις R πο εφαρµόζονται στος κόµβος το δικτώµατος. Αν σµβολίσοµε µε Κ τον σνδασµό -σύνθεση των ακαµψιών των επί µέρος ράβδων πο περιγράψαµε πιο πάνω και µε r το διάνσµα πο παριστά όλες τις µετατοπίσεις των κόµβων τότε θα έχοµε Kr R (.) όπο K N (.) είναι το µητρώο ακαµψίας της ραβδωτής κατασκεής. (Προσοχή το σύµβολο Σ δεν παριστά κλασική άθροιση). Πιο πολύ µπορεί να καταλάβει κανείς την διαδικασία µέσα από τα παραδείγµατα πο ακολοθούν.

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις 7 Παράδειγµα. Θεωρούµε τη µονοδιάστατη αµφιέρειστη δοκό σταθερής διατοµής πο φορτίζεται µονοαξονικά και έχει χωρισθεί σε τέσσερα πεπερασµένα στοιχεία όπως φαίνεται στο σχήµα. εχόµαστε ότι η δοκός δεν λγίζει επιπλέον, θεωρούµε ότι τα µητρώα ακαµψίας και φορτίσεως των στοιχείων είναι γνωστά. R R R R R () () () (), u F () () () () () F () F () F () F () F () F () F () Κάθε κόµβος έχει µόνον ένα βαθµό ελεθερίας, την αξονική µετατόπιση u q. Εφαρµόζοντας την εξίσωση (.) για κάθε ένα στοιχείο ξεχωριστά προκύπτει () () () () () () () () () q F () q F () q F () q F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q F ( ) q F ( ) ( ) q F q F Τα στοιχεία των µητρώων είναι µονοδιάστατα ( ). Για να σχηµατισθούν οι εξισώσεις ισορροπίας όλης της δοκού θεωρείται η ισορροπία κάθε κόµβο ξεχωριστά. Οπότε, (α) () () ( ) + () ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () () () ( ) ( ) ( ) + R F q q ( ) [ ] () [ ] ( ) [ ] R F + F q + + q + q R F + F q + + q + q R F + F q + + q + q R F q q (β) όπο, R,, R οι σνολικές δνάµεις πο ασκούνται στος κόµβος,, αντίστοιχα. Οι εξισώσεις ισορροπίας µπορούν να γραφούν σε µητρωϊκή µορφή ως εξής () () q R () () ( ) ( ) q R + ( ) ( ) ( ) ( ) q R + (γ) ( ) ( ) ( ) ( ) q R + ( ) ( ) q R ή KrR (γ') όπο, Κ είναι το ολικό µητρώο ακαµψίας της κατασκεής, r το µητρώο διάνσµα των µετατοπίσεων των κόµβων και R το µητρώο διάνσµα των κοµβικών δνάµεων.

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις Το σύστηµα των εξισώσεων (γ') αποτελεί το τελικό σύστηµα των εξισώσεων ισορροπίας όλο το µέσο. Οποιοσδήποτε φορέας και να αντιµετωπισθεί µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων το σύστηµα των τελικών εξισώσεων πο θα σχηµατισθεί θα είναι της µορφής των εξισώσεων (γ'). Παρατηρώντας το σύστηµα των αλγεβρικών εξισώσεων (γ), βλέποµε ότι θα µπορούσαµε να σχηµατίσοµε το ολικό µητρώο ακαµψίας της κατασκεής και απ εθείας. Έτσι δύναµη σε ένα κόµβο προκαλούν οι µετακινήσεις u των κόµβων των στοιχείων,,, N (Σχ..6) πο έχον κοινούς κόµβος τον και. Ατό σηµαίνει ότι το στοιχείο Κ το ολικού µητρώο ακαµψίας θα είναι K + + K + N (δ) όπο,, K, N είναι τα επιµέρος στοιχεία των µητρώων ακαµψίας των στοιχείων,,, N. Αξίζει να τονίσοµε ότι αν ο κόµβος ανήκει µόνο στα στοιχεία και τότε η σχέση (δ) περιλαµβάνει µόνο τος δύο πρώτος όρος αφού οι πόλοιποι όροι είναι µηδενικοί. Το πρόβληµα ελαφρώς περιπλέκεται αν ο αριθµός των κοµβικών παραµέτρων είναι µεγαλύτερος το. Έτσι πχ. στον κόµβο πάρχον οι µετατοπίσεις u, οπότε και οι δνάµεις θα είναι R,R θα πρέπει να λάβοµε πόψη ότι η δύναµη R προκαλείται από τις µετατοπίσεις u, πο πολλαπλασιάζον τα στοιχεία της (-) γραµµής το µητρώο ακαµψίας κοκ. Στο παράδειγµα πο ακολοθεί αποφύγαµε, για λόγος εκολότερης κατανόησης ατή την περιπλοκή παίρνοντας τις µετατοπίσεις u,, µε τη µορφή ενός διανύσµατος q οπότε και τα στοιχεία K το µητρώο ακαµψίας είναι µητρώα ( ). Παράδειγµα. Υπολογίζοµε τις τάσεις των ράβδων το δικτώµατος το σχήµατος πο έχον κοινό µέτρο ελαστικότητας Ε () και κοινό εµβαδό διατοµής Α. Από τη σχέση (.) προκύπτον τα µητρώα ακαµψίας των ράβδων,,,, αφού τα σνηµίτονα κατεύθνσης της κάθε ράβδο είναι ράβδος (): ( l, m) (,) ράβδος ( ): ( l, m) (, ) ράβδος ( ): ( l, m) (, ) ράβδος ( ): ( l, m) (, ) ράβδος ( ): ( l, m), ράβδος ( 6): ( l, m), () o () () L (6) () P

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις 9 EA L EA L EA L EA L,, 6 EA L EA L, Εποµένως, η σχέση πο σνδέει τις µετατοπίσεις των κόµβων µε τα επικόµβια εξωτερικά φορτία και τις αντιδράσεις R,R,R στος κόµβος, είναι R P R R EA L + + + + + + + + u u Η σχέση ατή, αφού ληφθούν πόψη οι οριακές σνθήκες τατίζεται µε τη σχέση πο προέκψε για το ίδιο δικτύωµα αλλά µε την εφαρµογή αρχών της αντοχής των λικών στο Κεφάλαιο. Η λύση το σστήµατος δίνει PL EA u PL EA PL EA u PL EA PL EA 7 6 6 79,,,,,,,,, Οπότε η ισορροπία µας δίνει τις αντιδράσεις στος κόµβος, R P F P F P,, Τέλος, αντικαθιστώντας τις µετατοπίσεις στις σχέσεις (.7) και (.) προσδιορίζοµε τις τάσεις των ράβδων.

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις.. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ-ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Έστω ότι έχοµε µια επίπεδη κατασκεή D πο ποδιαιρείται µε τη βοήθεια ιδεατών γραµµών σ έναν αριθµό τριγωνικών στοιχείων (Σχ..). Πρέπει στο σηµείο ατό να επισηµάνοµε ότι η ποδιαίρεση ατή µπορεί να µην αναπαριστά µε απόλτη ακρίβεια την κατασκεή, επειδή π.χ. το καµπύλο σύνορο το σώµατος δεν µπορεί να παρασταθεί µε απόλτη ακρίβεια (Σχ..α και.β). Άρα η διακεκριµενοποίηση της κατασκεής οδηγεί στον πολογισµό µιας κατασκεής D h πο µοιάζει µε την αρχική D αλλά δεν τατίζεται απόλτα µε ατήν. Η κατασκεή D h µπορεί να έχει απλοποιηθεί όσον αφορά και την παράσταση των οριακών σνθηκών (π.χ. αντικατάσταση κατανεµηµένων φορτίων µε σγκεντρωµένα φορτία στος κόµβος κλπ). τπικό στοιχείο τπικός κόµβος Τα στοιχεία θεωρούνται ότι σνδέονται µεταξύ τος σε διακριτά σηµεία τος κόµβος. Ατό σηµαίνει ότι κατά κάποιο τρόπο η κατασκεή µετασχηµατίζεται σε ένα είδος δικτώµατος. Αποµονώνοµε το τριγωνικό στοιχείο m µε κόµβος το,,m (Σχ..). Έστω, ( m u m, ), (, ), ( m, m ) οι σντεταγµένες των A κόµβων στο σύστηµα αναφοράς Ο. A Η µετατόπιση έχει δύο σνιστώσες, την A m u u κατά τη διεύθνση και την κατά τη u διεύθνση. Σµβολίζοµε µε u q,,, m (.6) Σχήµα. Σχήµα. Σµβολίζοµε µε q το διάνσµα των µετατοπίσεων των κόµβων,,m δηλαδή q q q q m (.7)

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις Θέλοµε να εκφράσοµε τις µετατοπίσεις q u στο σηµείο Μ το στοιχείο σαν σνάρτηση των µετατοπίσεων q, q, q m των κόµβων. Για το λόγο ατό εκφράζοµε τις µετατοπίσεις στο εσωτερικό το στοιχείο µε τη βοήθεια πολωνµικών σναρτήσεων της µορφής ( ) ( ) u, α + α + α + α +..., b + b + b + b +... (.) Οι σχέσεις ατές αν εφαρµοστούν στον κόµβο, οι µετατοπίσεις πρέπει να είναι ίσες µε u, αντίστοιχα, δηλαδή u u (.9) Προφανώς το ίδιο ισχύει και για τος άλλος κόµβος. εδοµένο ότι πάρχον τρεις µόνο κόµβοι, µόνον οι τρεις πρώτοι σντελεστές α, α, α της σχέσης πο δίνει τη µετατόπιση στο στοιχείο µπορούν να προσδιορισθούν σαν σνάρτηση των u, u, u m. Το ίδιο ισχύει και µε τος σντελεστές b, b, b της µετατόπισης. Με άλλα λόγια από τη σχέση (.) πρέπει να κρατήσοµε τος τρεις πρώτος σντελεστές. Άρα u α + α + α b+ b+ b Οι σχέσεις (.) γράφονται σε µητρωϊκή µορφή δηλαδή όπο M u ( ) a a a b b b (, ) (, ) (.) q M a (.) a a a, a b b b (.)

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις Αντικαθιστώντας στην σχέση (.) όπο, τις σντεταγµένες των κόµβων το τριγώνο, προκύπτει η σχέση ή όπο µε και u a a u a b u m m m b m m m b Επιλύοντας ως προς a προκύπτει A A q Aa (.) a A q z z zm z z zm m m m m m m m m z m m (.) (.) m m (.6) m m A το εµβαδόν το τριγώνο (m). Αντικαθιστώντας την (.) στην (.) βρίσκοµε (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) m m [ m ] q N q N N N u u u m m (.7) (.)

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις όπο µε N (, ) ν ν ν (, ) (, ) ( + + ) ν m m A z (.9) (.) Το πολώνµο ν ι (,) ονοµάζεται σνάρτηση σχήµατος το κόµβο, και µπορεί να γραφεί επίσης µε τη µορφή A, A A ( ) ν m m (.) όπο, P είναι το σηµείο µε σντεταγµένες (,) και Α είναι το εµβαδόν το τριγώνο (Pm). Αντίστοιχες σχέσεις ισχύον και για τις σναρτήσεις σχήµατος πο αναφέρονται στος κόµβος και m (οι σχέσεις προκύπτον µε κκλική εναλλαγή των δεικτών). Από την (.) προφανώς προκύπτει ότι και και γενικά ν (, ) ν (, ) m m ν ( ) ν ( ),, δ l l l... Παραµορφώσεις και τάσεις το στοιχείο Το πεδίο των παραµορφώσεων πο αναπτύσσεται στο στοιχείο είναι ε ε ε ε u u + (.) Μετά από κατάλληλες παραγωγήσεις της (.) βρίσκοµε εbq (.) όπο

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις ή ν ν νm ν ν νm B (.) ν ν ν ν νm νm m m B m m m m m m (.) Επίσης το πεδίο των τάσεων στην περίπτωση της επίπεδης ελαστικότητας είναι σ σ σ σ (.6) Οι τάσεις σνδέονται µε τις παραµορφώσεις µε τη σχέση σdε, όπο το µητρώο ελαστικότητας D είναι διαφορετικό για τις περιπτώσεις της επίπεδης έντασης και της επίπεδης παραµόρφωσης (Παράρτηµα, σχέσεις (..), (..6)). Για κάθε µια ξεχωριστά απ ατές τις περιπτώσεις και χωρίς να λάβοµε πόψη τις αρχικές παραµορφώσεις και αρχικές τάσεις προκύπτει ) Επίπεδη εντατική κατάσταση σ σ σ σ ή λαµβάνοντας πόψη τις (.), (.) ν ε E Dε ν ε ν ν (.7) γ σ σ σ σ E A ( ν ) m νm m νm ν νm m νm m ν ν ν ν ν ν ν m m m m ) Επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση ή σ σ σ σ ν ν ( ) ε E ν ν Dε ε ( + ν)( ν) ν ν γ ( ν) q (.) (.9)

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις σ σ σ σ ( ) νν νν ν ν m m m m E ν A ( + ν)( ν) νν νν ν ν m m m m ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) m m m m q (.)... Υπολογισµός το µητρώο ακαµψίας το στοιχείο Αν αποµονώσοµε από την κατασκεή το στοιχείο (Σχ..), τότε στο σύνορο το στοιχείο θα δρον κάποιες τάσεις πο προέρχονται από τα γειτονικά στοιχεία. Τις τάσεις ατές µπορούµε να τις θεωρήσοµε σαν µια κατανοµή επιφανειακών τάσεων T[T,T ] T. Ακόµα στο στοιχείο δρα και το διάνσµα f[f,f ] T των καθολικών δνάµεων. Υποθέτοµε ότι το πάχος t των στοιχείων είναι σταθερό οπότε η αρχή των δνατών έργων στο στοιχείο πο έχει σνολική επιφάνεια Α και περίµετρο L δίνει Τ Τ Τ t δqfda + t δqtdl t δεσda (.) A L A Τις δνατές µετατοπίσεις δq και τις δνατές παραµορφώσεις δε µπορούµε να τις εκφράσοµε µε τη βοήθεια σχέσεων αντίστοιχων προς τις (.) και (.) γιατί γενικά όταν αλλάζει το πεδίο των µετατοπίσεων εκείνο πο αλλάζει είναι οι µετατοπίσεις των κόµβων. Στη προκειµένη περίπτωση οι µετατοπίσεις των κόµβων είναι δq. Άρα δqnδq (.) δεβδq (.) Με ατά τα δεδοµένα ο πρώτος όρος το αριστερού µέλος της (.) πο παριστάνει το δνατό έργο των καθολικών δνάµεων γράφεται Αν ορισθεί ( ) t δqf T da t δq T Nf T da (.) A F f A T t N fds S (.) από την (.) φαίνεται ότι το διάνσµα F f παριστάνει τις στατικά ισοδύναµες δνάµεις πο δρον στος κόµβος το στοιχείο. ηλαδή τις κοµβικές δνάµεις πο παράγον ισοδύναµο έργο µε τις καθολικές f. Μ ατό τον τρόπο µπορούν να αντικατασταθούν οι καθολικές δνάµεις (πο επιδρούν σ όλο το στοιχείο) µε δνάµεις F f πο δρον µόνο στος κόµβος το στοιχείο. Με την ίδια διαδικασία µπορούν να αντικατασταθούν και οι επιφανειακές σ n τ n m Σχήµα.. Ένα επίπεδο στοιχείο και τα φορτία µε τα οποία καταπονείται.

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις 6 τάσεις Τ µε τις στατικά ισοδύναµες κοµβικές δνάµεις όπο Εποµένως, η σχέση (.) παίρνει τη µορφή F T T t N TdA (.6) A ( δ ) ( ) T q F f FT q + (.7) T t B DBdS S (.) παριστάνει το µητρώο ακαµψίας το στοιχείο. Εφόσον το δq είναι τχαίο διάνσµα διάφορο το µηδενός η (.7) γράφεται όπο F q (.9) F F + F (.6) f T είναι το διάνσµα της σνισταµένης των γενικεµένων δνάµεων το στοιχείο. Επειδή τα µητρώα B, D περιέχον µόνο σταθερούς όρος η (.) γράφεται T T tb DB dd ta B DB A (.6) Ανάλογα µε το αν έχοµε επίπεδη εντατική κατάσταση ή επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση η (.6) γίνεται ) επίπεδη εντατική κατάσταση σµµετρικό Et( ν) A ( + ν)( ν) ν m + m + ν ν m m m + m ν ν ν m m + m m ν m m + m m m + m σµµετρικό ν ν νm m + m m m m + + ν ν m m m m m + m ν ν ν ν ν m m ν m m m m ν m m + + + + + ν ν ν m + m m + ν ν ν ν m ν m + m m + + m + ) επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση (.6) Et A ν ( ) ν m + m ( ν) m m m m ( ν) ν + ( ν) σµµετρικό ν m m m m m m m m m m ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν + + + ( ν) m m ( νν) ν + ( ) + ( + ν ν ν) ( ν) ν ( ν) m m m m m m m m m m + ν + ( ) ( ) ( ) + ( + ν ν ν ν ν ν ν) ν m m m m m m ( ν) m ν ( ν) ν ( ν) m + ( νν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν ( ν) ν m m m m m m m ( ν) m ( ν) + + + + + ν ( ) ν (.6)

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις 7 Το µητρώο ακαµψίας είναι ένα σµµετρικό µητρώο γι' ατό και έχον διατηρηθεί µόνον οι όροι πο βρίσκονται κάτω από την διαγώνιο. Στην περίπτωση πο οι σνιστώσες f,f των καθολικών δνάµεων είναι σταθερές, οι δνάµεις στος κόµβος είναι F f f f f t f f f S (.6) Όταν οι σνιστώσες Τ και T είναι σταθερές, τότε το σνολικό φορτίο πο επενεργεί σε κάθε πλερά το τριγώνο µοιράζεται εξίσο στις κορφές πο αποτελούν τα άκρα της. ( είτε το σαν εφαρµογή)... Παρατηρήσεις σχετικά µε το µητρώο ακαµψίας το στοιχείο Στην παράγραφο ατή θα ενδιαφερθούµε για µερικές γενικές ιδιότητες το µητρώο ακαµψίας το στοιχείο. Για λόγος εποπτικούς θα εξετάσοµε ένα τριγωνικό στοιχείο αλλά τα σµπεράσµατά µας είναι εύκολα επεκτάσιµα. Αποµονώνοµε λοιπόν από µια επίπεδη κατασκεή ένα (επίπεδο) τριγωνικό στοιχείο µε τρεις κόµβος. Οπότε στις κορφές το θα δρον οι ισοδύναµες σγκεντρωµένες δνάµεις F ενώ οι µετατοπίσεις των κόµβων θα είναι οι q. Για απλοποίηση της παροσίασης ονοµάζοµε τος κόµβος,, και εισάγοµε τον εξής σµβολισµό P F, P F, δ u, δ,, (.6) ( )

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις P 6 P P P P P 6 6 '' δ ' δ 6 ' 6 '' δ δ 6 δ ' δ 6 6 '' 66 6 6 6 6 Σχήµα. όπο (F,F ) και (u, ι ) είναι η δύναµη ή η µετατόπιση πο δρα στον κόµβο. Άρα η σχέση (.9) γράφεται

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις 9 P P P P P P6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 όπο (,,,,6) είναι τα στοιχεία το. Η παραπάνω σχέση γράφεται ακόµα δ δ δ δ δ δ6 P δ + δ + δ + δ + δ + δ P δ + δ + δ + δ + δ + δ P δ + δ + δ + δ + δ + δ P δ + δ + δ + δ + δ + δ P δ + δ + δ + δ + δ + δ P δ + δ + δ + δ + δ + δ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 66 6 (.66) (.67) Οι σχέσεις (.66) δεν εκφράζον τίποτα άλλο παρά ότι οι δνάµεις στος κόµβος είναι ένας γραµµικός σνδασµός των µετατοπίσεων των κόµβων. Έτσι διπλασιασµός των µετατοπίσεων προκαλεί διπλασιασµό των δνάµεων και αντιστρόφως. Ατό το αποτέλεσµα είναι ατονόητο αφού βρισκόµαστε στα πλαίσια της γραµµικής ελαστικότητας. Αν τώρα στη σχέση (.66) διαλέξοµε δ, δ δ δ δ δ 6 βλέποµε ότι τα στοιχεία (,,,6) της πρώτης στήλης ισούνται µε τις δνάµεις P, K, P6 στος κόµβος. Ατό σηµαίνει ότι τα στοιχεία της πρώτης στήλης είναι οι δνάµεις P, K, P6 πο πρέπει να εφαρµοσθούν στος κόµβος ώστε να έχοµε µοναδιαία µετατόπιση το κόµβο κατά τη διεύθνση. Αντίστοιχα σµπεράσµατα εξάγοµε αν πάροµε κατά σειρά τα δ,δ,,δ 6 µοναδιαία και τα πόλοιπα µηδέν. Βλέποµε λοιπόν ότι οι σντελεστές (,,,,6) έχον φσική σηµασία. Απεικόνιση της φσικής ατής σηµασίας δίνοµε στο Σχ.. πο αντιστοιχούν σε µοναδιαίες µετατοπίσεις δ,δ,,δ 6. Η νέα ατή θέση των κόµβων,, σµβολίζεται µε ',',',",","... ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΤΕΛΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΚΑΜΨΙΑΣ Η διαµόρφωση το τελικού σστήµατος ακαµψίας µπορεί να γίνει είτε µε τη διαδικασία ισορροπίας των επιµέρος κόµβων είτε µε την εφαρµογή της αρχής των δνατών έργων. Βέβαια και η αρχή δνατών έργων δεν εκφράζει παρά ισορροπία στο σύνολο των κόµβων το σώµατος. Όµως η εφαρµογή της αρχής των δνατών έργων επιτρέπει να εξετασθούν πιο γενικά µοντέλα από ότι η σνθήκη ισορροπίας των κόµβων. Όπως είπαµε µε την ισορροπία κόµβων δεν µπορεί να αντιµετωπισθεί το πρόβληµα εσωτερικών κόµβων, ή το πρόβληµα κόµβων πο περιλαµβάνον στις κοµβικές παραµέτρος, παραγώγος των µετατοπίσεων κλπ.

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις Από την άλλη µεριά η µέθοδος ισορροπίας µας δίνει µια πολύ πιο εποπτική και πρακτική εικόνα της διαδικασίας. Γι' ατό το λόγο θα περιλάβοµε και τις δύο αποδείξεις.... Σχηµατισµός το ολικού µητρώο ακαµψίας µε τη µέθοδο ισορροπίας Ο σχηµατισµός των τελικών εξισώσεων ισορροπίας το µέσο γίνεται αν θεωρήσοµε την ισορροπία κάθε κόµβο της κατασκεής ξεχωριστά. Άρα, εάν είναι ένας κόµβος πο ανήκει σε l στοιχεία (,,l) και R το διάνσµα της γενικεµένης κοµβικής δύναµης πο ασκείται σ ατόν (Σχ..6), παίρνοντας την ισορροπία στο προκύπτει R F + F + L+ F l (.6) όπο, F,, Kl,) οι δνάµεις πο ασκούνται ( από καθένα από τα στοιχεία (,,,l) στον κόµβο. Οι κοµβικές ατές δνάµεις δίνονται από τη σχέση (.6) ανάλογα µε τη µορφή το στοιχείο και τα φορτία πο έχον επιβληθεί στον φορέα. Οπότε, εάν η κατασκεή περιλαµβάνει n κόµβος θα σχηµατισθούν n εξισώσεις µε αγνώστος τις κοµβικές παραµέτρος. Ο τρόπος εφαρµογής της µεθόδο φαίνεται καλύτερα στο παράδειγµα πο ακολοθεί. Παράδειγµα Θεωρείται µια επίπεδη αµφιέρειστη δοκός µε δεδοµένη φόρτιση πο διαιρείται σε τριγωνικά πεπερασµένα στοιχεία. Η δοκός ισορροπεί και κάθε κόµβος παροσιάζει δύο βαθµούς ελεθερίας, δηλαδή τις µετατοπίσεις u και. Θέτοντας u q έχοµε ότι οι βαθµοί ελεθερίας το κόµβο περιορίζονται σε (ο σµβολισµός ατός χρησιµοποιείται για λόγος απλότητας) και ότι οι κοµβικές παράµετροι σµπίπτον µε τις κοµβικές µετατοπίσεις. Αντίστοιχα, για τις κοµβικές δνάµεις ισχύει F F F Άρα, εφόσον ο σνολικός αριθµός των κόµβων είναι 6 το µητρώο ακαµψίας το φορέα θα έχει διαστάσεις (6 6) και τα στοιχεία το θα είναι µητρώα ( ). Εξετάζοντας το πρώτο στοιχείο το φορέα έχοµε ότι η ισορροπία το κόµβο εξαρτάται από τις µετατοπίσεις των κόµβων,, (θεωρώντας σαν φορά διαγραφής την ανθωρολογιακή) όπο, οι σντελεστές ακαµψίας είναι αντίστοιχα, P () ( ) ( ) ( l ) Σχήµα.6. Κόµβος πο ανήκει σε l στοιχεία το χώρο D h. () () P () P 6 6 P 6, u

Η Μέθοδος των Π. Σ. σε απλές περιπτώσεις,, Οπότε, εφαρµόζοντας την (.9) για το στοιχείο () προκύπτει q q q F F F Αντίστοιχα, για τα στοιχεία (), (), και () ισχύει 6 6 6 6 66 q q q q q q q q q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 F F F F F F F F F Παίρνοντας την ισορροπία σε κάθε κόµβο της δοκού προκύπτει q + q + q F R q + + q + + q + q F + F R P q + + q + + + q + + q + q F + F + F R q + + q + + + q + + q + 6q6 F + F + F R P q + + q + + q + q F + F R q + q + q R 6 6 66 6 6 6 P 6 P 6 6 Οι εξισώσεις ισορροπίας σε µητρωϊκή γραφή γράφονται ως εξής + + + + + + + + + + + + 6 6 6 6 6 66 q q q q q q 6 R R R R R R6 (α) (β) (γ) (δ)