ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2019 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 1
Θέματα Εισαγωγή στις σύγχρονες μεθόδους ανάλυσης κατασκευών μέθοδοι των δυνάμεων (ή ευκαμψίας) μέθοδοι των μετακινήσεων (ή δυσκαμψίας) Μέθοδοι ευκαμψίας (ή δυνάμεων) Ανάλυση δικτυωμάτων Ανάλυση ισοστατικών δικτυωμάτων Ανάλυση υπερστατικών δικτυωμάτων Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 2
Σύγχρονη στατική και δυναμική ανάλυση των κατασκευών στηρίζεται σε μεθόδους ανάλυσης με μητρώα: συστηματική επίλυση κατασκευών με γενικό τρόπο αξιοποίηση ισχύος Η/Υ δυνατότητα επίλυσης πολύπλοκων κατασκευών αποφυγή αναγκαίων και ανακριβών προσεγγίσεων σημαντική μείωση κόστους ανάλυσης ακρίβεια αποτελεσμάτων ταχύτατη επίλυση Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 3
Παράγοντες που επέτρεψαν τη χρήση σύγχρονων μεθόδων ανάλυσης των κατασκευών ανάπτυξη μεθόδων ανάλυσης με μητρώα γνωστές πριν από την εμφάνιση των Η/Υ ανάπτυξη μεθόδων αριθμητικής ανάλυσης (αριθμητικές μέθοδοι) επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων. κ.λπ. ραγδαία ανάπτυξη Η/Υ και μείωση υπολογιστικού κόστους ανάπτυξη και χρήση γλωσσών προγραμματισμού Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 4
Χρήση μεθόδου των δυνάμεων για μεγαλύτερους βαθμούς στατικής αοριστίας Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 5
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 6
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 7
Σύγχρονες μέθοδοι ανάλυσης κατασκευών μέθοδος των δυνάμεων ή ευκαμψίας oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι δυνάμεις και ροπές μέθοδος των μετακινήσεων ή δυσκαμψίας oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι μετακινήσεις Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 8
Γενικευμένη μέθοδος των δυνάμεων (ή ευκαμψίας) βασίζεται στα μητρώα ευκαμψίας των επιμέρους μελών μιας κατασκευής τα οποία συνδυάζονται, χρησιμοποιώντας κατάλληλα μητρώα μετασχηματισμών, ώστε να σχηματιστεί το μητρώο ευκαμψίας F της κατασκευής χρήσιμη για επιλύσεις απλών προβλημάτων με το χέρι δύσκολη αυτοματοποίηση και προγραμματισμός της μεθόδου ο τρόπος και η διαδικασία επίλυσης ενός φορέα με τη μέθοδο ευκαμψίας διαφέρει ανάλογα με το αν ο φορέας είναι ισοστατικός ή υπερστατικός μπορούν να γίνουν διαφορετικές επιλογές στον καθορισμό των υπερστατικών μεγεθών Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 9
Ανάλυση ισοστατικών δικτυωμάτων με τη γενικευμένη μέθοδο δυνάμεων ή ευκαμψίας ΔL L N A E Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 10
Συνήθη διανύσματα μεθόδου δυνάμεων ή ευκαμψίας Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 11
Ανάλυση ισοστατικών δικτυωμάτων s : αξονική δύναμη στους κόμβους της ράβδου, σύμφωνα με το τοπικό σύστημα συντεταγμένων του μέλους u : σχετική μετακίνηση ΔL των κόμβων της ράβδου, σύμφωνα με το τοπικό σύστημα συντεταγμένων του μέλους οι μετακινήσεις u i στα άκρα ενός μέλους μπορούν, με τη χρήση του μητρώου ευκαμψίας F i, το οποίο στη περίπτωση των δικτυωμάτων είναι ένα απλό στοιχείο, να εκφραστούν συναρτήσει των δυνάμεων s i στα άκρα των μελών: Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 12
Ανάλυση ισοστατικών δικτυωμάτων b : μητρώο μετασχηματισμού το οποίο συνδέει τις επικόμβιες δυνάμεις με τις δυνάμεις στα άκρα των ράβδων R : επικόμβιες δυνάμεις στο δικτύωμα s : αξονική δύναμη της ράβδου Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 13
Υπολογισμός μητρώου μετασχηματισμού b Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 14
Παράδειγμα-1 Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 15
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 16
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 17
Μητρώο ευκαμψίας ράβδου και δικτυώματος Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 18
Μητρώο ευκαμψίας ράβδου και δικτυώματος Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 19
Αρχή δυνατών συμπληρωματικών έργων και μέθοδος ευκαμψίας Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 20
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 21
Διαδικασία επίλυσης ενός ισοστατικού δικτυώματος Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 22
Παράδειγμα-2 Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 23
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 24
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 25
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 26
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 27
Παράδειγμα-3 Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 28
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 29
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 30
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 31
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 32
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 33
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 34
Ανάλυση υπερστατικών δικτυωμάτων με τη Μέθοδο Ευκαμψίας Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 35
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 36
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 37
Αρχή δυνατών συμπληρωματικών έργων και μέθοδος ευκαμψίας για υπερστατικά δικτυώματα Εξωτερικό δυνατό συμπληρωματικό έργο: Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 38
Αρχή δυνατών συμπληρωματικών έργων και μέθοδος ευκαμψίας για υπερστατικά δικτυώματα Εσωτερική δυνατή συμπληρωματική ελαστική ενέργεια : Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 39
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 40
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 41
Διαδικασία επίλυσης ενός υπερστατικού δικτυώματος Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 42
Διαδικασία επίλυσης ενός υπερστατικού δικτυώματος Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 43
Διαδικασία επίλυσης ενός υπερστατικού δικτυώματος Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 44
Διαδικασία επίλυσης ενός υπερστατικού δικτυώματος Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 45
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 46
Παράδειγμα-4 Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 47
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 48
καθορισμός υπερστατικού μεγέθους ώστε να προκύψει ισοστατικός σταθερός φορέας (η άρθρωση γίνεται κύλιση) Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 49
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 50
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 51
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 52
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 53
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 54
Παράδειγμα-5 Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 55
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 56
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 57
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 58
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 59
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 60
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 61
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 62
Χρήση συνολικών μητρώων Λαμβάνονται υπόψη όλοι οι βαθμοί ελευθερίας Απαιτούνται συνήθως περισσότεροι υπολογισμοί για να επιλυθεί ο φορέας για μία φόρτιση, αλλά λιγότεροι αν ο φορέας πρέπει να επιλυθεί για διάφορες φορτίσεις ή όταν απαιτούνται μετακινήσεις διαφορετικές από αυτές που αντιστοιχούν στις συγκεκριμένες εξωτερικά επιβαλλόμενες επικόμβιες φορτίσεις Το μητρώο ευκαμψίας που προκύπτει μπορεί να χρησιμοποιηθεί για: να επιλυθεί ο φορέας για κάθε δυνατή φόρτιση να υπολογισθεί μετακίνηση για οποιοδήποτε βαθμό ελευθερίας Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 63
Συνολικά μητρώα μετασχηματισμού: Ισοστατικά δικτυώματα: Υπερστατικά δικτυώματα: Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 64
Χρήση συμπυκνωμένων μητρώων Λαμβάνονται υπόψη μόνο οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν σε εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία ή όπου απαιτείται υπολογισμός μετακινήσεων Απαιτούνται συνήθως λιγότεροι υπολογισμοί για να επιλυθεί ο φορέας για μία συγκεκριμένη φόρτιση, ειδικά αν δεν απαιτούνται μετακινήσεις διαφορετικές από αυτές που αντιστοιχούν στις συγκεκριμένες εξωτερικά επιβαλλόμενες επικόμβιες φορτίσεις Το μητρώο ευκαμψίας που προκύπτει μπορεί να χρησιμοποιηθεί: για να επιλυθεί ο φορέας μόνο για τη συγκεκριμένη φόρτιση να υπολογισθούν μόνο μετακινήσεις που αντιστοιχούν στους βαθμούς ελευθερίας που λήφθηκαν υπόψη Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 65
Χρήση συμπυκνωμένων μητρώων μετασχηματισμού: Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 66
Χρήση συμπυκνωμένων μητρώων μετασχηματισμού: Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 67
Παράδειγμα-6: Ανάλυση ισοστατικού δικτυώματος με συμπυκνωμένα μητρώα μετασχηματισμού Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 68
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 69
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 70
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 71
Παράδειγμα-7: Ανάλυση ισοστατικού δικτυώματος με συμπυκνωμένα μητρώα μετασχηματισμού Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 72
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 73
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 74
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 75
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 76
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 77
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 78
Παράδειγμα-8: Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 79
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 80
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 81
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 82
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 83
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 84
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 85
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 86
Πέτρος Κωμοδρόμος ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 87