Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι θετικός ριθμός. Ο ριθμός είνι μικρότερος του (συμολικά < ), ότν η διφορά είνι ρνητικός ριθμός. Δηλδή: 4 Αλλά κι ντίστροφ, ισχύουν τ εξής: Άμεσες συνέπειες πό τ πρπάνω είνι οι εξής: Κάθε θετικός ριθμός είνι μεγλύτερος πό το μηδέν. Κάθε ρνητικός ριθμός είνι μικρότερος πό το μηδέν. Ιδιότητες της διάτξης Βσικές σκήσεις Βσική θεωρί ν >, τότε > ν <, τότε < ν >, τότε > ν <, τότε <. Ποιες ιδιότητες έχει η διάτξη των πργμτικών ριθμών; Απάντηση. Αν κι στ δύο μέλη μις νισότητς προσθέσουμε ή φιρέσουμε τον ίδιο ριθμό, τότε προκύπτει νισότητ με την ίδι φορά. Δηλδή:
ν >, τότε + γ> + γ κι γ > γ Γι πράδειγμ ισχύει 4 >, οπότε ισχύει: 4+5 > +5 ή 9> 7 κι 4 3 > 3 ή >. Αν πολλπλσιάσουμε ή διιρέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο θετικό ριθμό, τότε προκύπτει νισότητ με την ίδι φορά. Δηλδή: ν > κι γ >, τότε γ > γ κι > γ γ Γι πράδειγμ ισχύει 8 > 4, οπότε ισχύει: 8 > 4 ή 6> 8 κι 8 4 > ή 4> 3. Αν πολλπλσιάσουμε ή διιρέσουμε κι τ δύο μέλη μις νισότητς με τον ίδιο ρνητικό ριθμό, τότε προκύπτει νισότητ με ντίθετη φορά. Δηλδή: ν > κι γ<, τότε γ < γ κι < γ γ 9 ( 3) < 6 ( 3) ή 7< 8 Γι πράδειγμ ισχύει 9 > 6, οπότε ισχύει 9 6 < ή 3< 3 3 4. Αν προσθέσουμε κτά μέλη δύο ή περισσότερες νισότητες που έχουν την ίδι φορά, τότε προκύπτει νισότητ με την ίδι φορά. Δηλδή: Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 5
ν ισχύουν >, τότε + γ> + δ γ > δ 5> 3 Γι πράδειγμ ισχύουν, οπότε 5+ 4> 3+ ή 9> 4. 4> 5. Ισχύει η μεττική ιδιότητ: ν > κι > γ, τότε > γ Γι πράδειγμ ισχύουν 3 > κι > 7, οπότε ισχύει 3 > 7. 6. Αν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο ή περισσότερες νισότητες που έχουν την ίδι φορά κι θετικά μέλη, τότε προκύπτει νισότητ με την ίδι φορά. Δηλδή: ν,, γ, δ > κι >, τότε γ > δ γ > δ Γι πράδειγμ, είνι, 4, 5, 6 > κι ισχύουν 4>, οπότε 4 6> 5 ή 4>. 6> 5 Ποιες ιδιότητες δεν έχουν οι νισότητες.3 Ν εξετάσετε ν επιτρέπετι: ) ν φιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες, ) ν διιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες, γ) ν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο νισότητες που δεν έχουν όλ τ μέλη τους θετικά. ) Δεν επιτρέπετι ν φιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες. Γι πράδειγμ: 8> 5 Ισχύουν, όμως 8 7> 5 ή > 3 είνι λάθος. 7> ) Δεν επιτρέπετι ν διιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες. Γι πράδειγμ: > 8 Ισχύουν, όμως > 8 ή > 4 είνι λάθος. 6> 6 γ) Δεν επιτρέπετι ν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο νισότητες, ν δεν έχουν όλ τ μέλη τους θετικά. Γι πράδειγμ: 6
> 4 Ισχύουν, όμως 3 > ( 4) ( ) ή 6 > 8 είνι λάθος. 3> Συμπερίνουμε λοιπόν ότι: Δεν επιτρέπετι ν φιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες. Δεν επιτρέπετι ν διιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες. Δεν επιτρέπετι ν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη δύο νισότητες, ν δεν είνι όλ τ μέλη τους θετικά. Απόδειξη νισοτήτων ος τρόπος.4 Αν ισχύει > 3, ν ποδείξετε ότι ( + 4) 6 <. Θ ξεκινήσουμε πό την υπόθεση > 3, θ εφρμόσουμε τις ιδιότητες της διάτξης κι θ κτλήξουμε στη ζητούμενη νισότητ: ( + 4) 6 < Έχουμε: >3 Βσική Θεωρί ος τρόπος πόδειξης νισοτήτων Ξεκινάμε πό την υπόθεση κι ε- φρμόζοντς τις ιδιότητες της διάτξης, κτλήγουμε στην νισότητ που ζητείτι ν ποδείξουμε. + 4> 3+ 4 + 4 > 7 (+ 4) < 7 ( + 4) < 4 ( + 4) 6 < 4 6 Προσθέτουμε το 4 κι στ δύο μέλη. Πολλπλσιάζουμε με κι τ δύο μέλη. Αλλάζει η φορά της νισότητς. Αφιρούμε το 6 κι πό τ δύο μέλη. ( + 4) 6 < Αποδείξμε έτσι τη ζητούμενη νισότητ. Απόδειξη νισοτήτων ος τρόπος.5 Αν ισχύει >, ν ποδείξετε ότι 3< 3 7. Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 7
Ξεκινάμε πό την νισότητ 3< 3 7 που μς ζητείτι ν ποδείξουμε, θ εφρμόσουμε τις ιδιότητες των νισοτήτων κι θ προσπθήσουμε ν κτλήξουμε σε μι σχέση που ισχύει. Έχουμε: 3> 3 7 3+ 3> 3 7+ 3 Βσική Θεωρί ος τρόπος πόδειξης νισοτήτων Ξεκινάμε πό την νισότητ που μς ζητείτι ν ποδείξουμε κι ε- φρμόζοντς τις ιδιότητες των νισοτήτων κτλήγουμε σε μι νισότητ που ισχύει. Προσθέτουμε το 3 κι στ δύο μέλη. > 3 4 3> 3 4 3 > 4 4 < Αφιρούμε τ 3 κι πό τ δύο μέλη. Διιρούμε με κι τ δύο μέλη. Αλλάζει η φορά της νισότητς. < Κτλήξμε στην νισότητ <, η οποί ισχύει πό την υπόθεση. Απόδειξη νισοτήτων με τη οήθει της ιδιότητς.6 Ν ποδείξετε ότι γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς κι y ισχύει + 4y 4y. Πότε ισχύει η ισότητ; Ξεκινάμε πό την νισότητ: Βσική Θεωρί + 4y 4y Γι οποιονδήποτε πργμτικό ριθμό ισχύει: που θέλουμε ν ποδείξουμε κι διδοχικά έχουμε: + 4y 4y + 4y 4y 4y 4y 4y+ 4y y + (y) ( y) Η ισότητ Δηλδή: ν = ισχύει μόνο ν =. =, τότε = Γενικά γι μι πράστση Α ισχύει: Α 8
Η τελευτί σχέση ισχύει, φού το τετράγωνο ενός ριθμού είνι μεγλύτερο ή ίσο με το μηδέν. Η ισότητ + 4y = 4y ισχύει ότν: ( y) = ή y = ή = y Απόδειξη νισοτήτων με τη οήθει της πργοντοποίησης.7 Αν ισχύουν > κι y <, ν ποδείξετε ότι y + < y +. Από τη σχέση > προκύπτει ότι > (ή ότι < ) κι πό τη σχέση y < προκύπτει ότι y < (ή ότι y> ). Τώρ ξεκινάμε πό την νισότητ y + < y +, μετφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος κι πργοντοποιούμε την πράστση που προκύπτει στο μέλος υτό: y + < y + ή y + y < ή y y + < ή y( ) ( ) < ή ( )(y ) < ( + ) ( ) Βσική Θεωρί Ότν έχουμε ως δεδομένο μι - νισότητ >, τότε μπορούμε ν ρούμε τ πρόσημ των διφορών κι.: > ν >, τότε κι < Η τελευτί νισότητ ισχύει, διότι: > κι y < οπότε το γινόμενο τους είνι ρνητικό. Βσική Θεωρί Αν > κι >, τότε >. Αν < κι <, τότε >. Αν > κι <, τότε <. Συμολικά: ( + +=+ ) ( ) ( ) ( =+ ) ( ) ( ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) Απόδειξη διπλών νισοτήτων.8 Αν > 3, ν ποδείξετε ότι: + < 3 5< 4 8 Γι ν ποδείξουμε ότι: Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 9
+ < 3 5< 4 8 ρκεί ν ποδείξουμε ότι: < 3 5 κι 3 5 < 4 8 Γι την πρώτη νισότητ έχουμε: < 3 5 ή 3< 5 ή < 6 ή 6 > ή > 3, που ισχύει Γι τη δεύτερη νισότητ έχουμε: 3 5 < 4 8 ή 3 4 < 8 + 5 ή 3 < 3 ή > ή > 3, που ισχύει Άρ ισχύει κι η ζητούμενη διπλή νισότητ. Βσική Θεωρί Γι ν ποδείξουμε μι διπλή νισότητ της μορφής: Α < Β < Γ ρκεί ν ποδείξουμε ότι: Α < Β κι Β < Γ Σύγκριση δύο ριθμών.9 Αν ισχύει <, ν συγκρίνετε τους ριθμούς = 3 κι = 3. Θ ρούμε τη διφορά κι θ προσδιορίσουμε το πρόσημό της. Έχουμε: = ( 3) (3 ) = = 3 3+ = = 3 6 = 3( ) Όμως ισχύει <, άρ < κι 3( ) <. Δηλδή ισχύει <, άρ <. Βσική Θεωρί Γι ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι, ρκεί ν ρούμε το πρόσημο της διφοράς τους. Συγκεκριμέν: Αν >, τότε >. Αν <, τότε <. Αν =, τότε =. Διάτξη κι ντίστροφοι ριθμοί. Αν οι ριθμοί, είνι ομόσημοι κι ισχύει >, ν ποδείξετε ότι <. Οι ριθμοί κι είνι ομόσημοι, δηλδή είτε είνι κι οι δύο θετικοί είτε είνι κι οι δύο ρνητικοί. Σε κάθε περίπτωση, το γινόμενο των ριθμών κι είνι θετικό, δηλδή ισχύει >. 3
ος τρόπος Ξεκινάμε πό την υπόθεση > κι διιρούμε τ δύο μέλη με >, οπότε δεν λλάζει η φορά της νισότητς. Έχουμε: > ή > ή > ή < ος τρόπος Γι ν συγκρίνουμε τους ριθμούς κι, ρκεί ν ρούμε το πρόσημο της διφοράς τους. Έχουμε: ) = = = < διότι > κι >, οπότε <. Αποδείξμε ότι <, άρ ισχύει <. Έχουμε ποδείξει λοιπόν μι πολύ σημντική ιδιότητ των νισοτήτων: ) Πότε μπορούμε ν υψώσουμε τ μέλη μις νισότητς στο τετράγωνο. Αν οι ριθμοί κι είνι θετικοί κι ισχύει >, τότε ν ποδείξετε ότι >. ος τρόπος Γράφουμε την νισότητ > δύο φορές κι τις πολλπλσιάζουμε κτά μέλη: σιάσουμε κτά μέλη δύο Μπορούμε ν πολλπλ- > νισότητες της ίδις φοράς,, άρ > ή > ότν όλ τ μέλη είνι θετικά, κι προκύπτει νισό- > Ισχύει ότι > κι >, οπότε μπορούμε ν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη τις δύο τητ της ίδις φοράς. νισότητες. ος τρόπος Γι ν συγκρίνουμε τους ριθμούς. Έχουμε: ν, ομόσημοι με >, τότε < κι, θ ρούμε το πρόσημο της διφοράς τους Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 3
= ( + )( ) > ( + ) ( + ) διότι: > κι >, άρ + > >, άρ > Αφού λοιπόν >, ισχύει >. Αποδείξμε λοιπόν την εξής πολύ σημντική ιδιότητ των νισοτήτων: ν, θετικοί ριθμοί με >, τότε > Δύο σημντικές νισότητες. ) Αν >, ν ποδείξετε ότι +. ) Αν <, ν ποδείξετε ότι +. ) Ξεκινάμε πό την νισότητ + που θέλουμε ν ποδείξουμε. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με >, οπότε δεν λλάζει η φορά της νισότητς: + ή + ή + ή + ή + ή ( ) Η τελευτί νισότητ ισχύει, διότι το τετράγωνο ενός ριθμού είνι μεγλύτερο ή ίσο του μηδενός. ) Ομοίως ξεκινάμε πό την νισότητ + που θέλουμε ν ποδείξουμε. Τώρ όμως θ πολλπλσιάσουμε κι τ δύο μέλη με <, οπότε θ λλάξει η φορά της νισότητς: + ή + ή + ή + ή 3
+ + ή (+ ) Η τελευτί νισότητ ισχύει. Αποδείξμε λοιπόν δύο πολύ σημντικές νισότητες, τις οποίες κλό είνι ν θυμόμστε π έξω: ν >, τότε + > ν <, τότε + < Προσδιορισμός ριθμών μετξύ των οποίων ρίσκετι η τιμή μις πράστσης.3 Αν ισχύει 4 κι y, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) + y ) y γ) 3y 5 + ) Προσθέτουμε κτά μέλη τις νισότητες: 4, άρ + + y 4+ ή y + y 6 ) Επειδή δεν επιτρέπετι ν φιρέσουμε κτά μέλη δύο νισότητες, εργζόμστε ως εξής: y ή ( ) y ( ) ( ) ή y ή y Τώρ προσθέτουμε κτά μέλη τις νισότητες: 4, άρ + ( ) + ( y) 4 + ( ) ή 4 y 3 y γ) Έχουμε: 4 4 ή ή y ή ( 3) y ( 3) ( 3) ή 3 3y 6 ή 6 3y 3 Προσθέτουμε κτά μέλη τις νισότητες:, άρ + ( 6) + ( 3y) + ( 3) ή 7 3y 6 3y 3 Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 33
Στην τελευτί νισότητ προσθέτουμε τον ριθμό 5 σε κάθε μέλος κι έχουμε: 7+ 5 3y+ 5 + 5 ή 3y+ 5 4.4 Αν ισχύει ότι 4 κι 5 y 3, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκετι το γινόμενο y. Δεν επιτρέπετι ν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη τις νισότητες 4 κι 5 y 3, γιτί στη δεύτερη νισότητ όλ τ μέλη είνι ρνητικά. Εργζόμστε ως εξής: 5 y 3 ή 5 ( ) y ( ) 3 ( ) ή 5 y 3 ή 3 y 5 Στην τελευτί νισότητ όλ τ μέλη είνι θετικά (το y είνι νάμεσ στο 3 κι στο 5, άρ είνι θετικό). Τώρ μπορούμε ν πολλπλσιάσουμε κτά μέλη τις νισότητες: 4, άρ 3 y 5 6 y 3 ( y) 45 ή 6 y ή ή 6 y ή y 6 Η ιδιότητ: «ν + =, τότε κι = κι =».5 Αν ισχύει + y = y, ν ρείτε τους ριθμούς κι y. Στην ισότητ + y = y μετφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος Βσική Θεωρί Ισχύει η ιδιότητ: κι έχουμε: + y = y ή ν + =, τότε = κι = + y y+ = ή + (y ) = Όμως η τελευτί σχέση ισχύει μόνο ότν: δηλδή = κι y = = κι y = Αυτό συμίνει διότι ισχύει κι, οπότε γι ν είνι το άθροισμ κι + ίσο με το μηδέν, πρέπει = =, δηλδή = κι =. Η ιδιότητ «ν + =, τότε = κι =» μς επιτρέπει ν ρούμε πό μί ισότητ δύο ή περισσότερους γνώστους. 34
Ασκήσεις Ασκήσεις εμπέδωσης.6 Αν ισχύει >, ν άλετε το κτάλληλο σύμολο νισότητς ( < ή >) στ πρκάτω κενά: ) + 3...+ 3 σ)... γ) 4... 4 σδ)... 5 5 ε)... στ)....7 Αν ισχύει >, ν ποδείξετε ότι: ) + 3> 5 ) + 4 > 8 γ) 3 + 6 < δ) >.8 Αν ισχύει < 4, ν ποδείξετε ότι: ) 3 + < ) 8 > γ) 4 + < δ) 3 > 5.9 Αν ισχύει <, ν ποδείξετε ότι: σ) 3 < 3 σ) 3 + > 3 + σγ) 5 4> 5 4 σδ) 7< 7 3 3 σε) 9 > 9 στ) >. ) Αν ισχύει 4( ) > 3(+ ), ν ποδείξετε ότι > 6. ) Αν ισχύει: 3( ) > 3 ( 3) ν ποδείξετε ότι > 3.. Αν ισχύει > 3, ν ποδείξετε ότι: ) 6+ > 3+ ) 4< 3+. Αν ισχύει <, ν ποδείξετε ότι: ) 3+ 4(+ ) < 4+ ) (9 ) > 4( ).3 Αν ισχύει < 4, ν ποδείξετε ότι: 8 3 ) < ) 3 9 > 6 3.4 Ν ποδείξετε τις πρκάτω νισότητες κι σε κάθε περίπτωση ν εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητ: ) + ) + 9 6 γ) + 5 4 δ) + 3y y y.5 Αν > 3 κι > 4, ν ποδείξετε ότι: σ) > ) ( + ) > σγ) ( ) > 6 δ) ( )( + ) > σε) (3 4)( ) > 5 στ) ( )(3 7) > 5.6 Αν < y < ω, ν ρείτε το πρόσημο των πρστάσεων: ) ( y)(y ω) Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 35
) ( ω)(ω y).7 Αν < < γ < δ, ν ρείτε το πρόσημο των πρστάσεων: ) ( )(γ )(δ ) ) ( γ)( δ)(δ γ) γ) (δ )(γ )( δ) δ) ( γ)( δ)( γ) Σύνθετες ποδεικτικές σκήσεις.8 ) Αν > >, ν ποδείξετε ότι: + > + ) Αν < <, ν ποδείξετε ότι:.9 ) Αν ( + ) > 4 + < κι >, ν ποδείξετε ότι + 4 > +. ) Αν < 4 κι y >, ν ποδείξετε ότι y + 4 < 4y +..3 Ν ποδείξετε ότι: ) ( + ) + 4 8 + ).3 Ν ποδείξετε ότι: ) 3( ) + ( + ) ) ( + ) ( ) (3 ).3 Αν ισχύει < κι γ > δ, ν ποδείξετε ότι: δ γ ) 3 + < 3 + ) γ< δ γ) γ > δ δ) γ 3 > δ 3.33 Αν ισχύει > >, ν ποδείξετε ότι ( ) <..34 ) Αν, ν ποδείξετε ότι: 3 + + ) Αν, ν ποδείξετε ότι: 3 + 8 + 4.35 Ν ποδείξετε ότι γι οποιονδήποτε πργμτικό ριθμό ισχύει: ) ( ) ( + 3) ) + 4.36 Αν ισχύει <, ν ποδείξετε ότι: < + < 7.37 Αν ισχύει <, ν ποδείξετε ότι: + + ) < < ) < < 3 3 + + 5 γ) < < δ) < < 4 7.38 Αν ισχύει < <, ν ποδείξετε ότι < <..39 Αν ισχύει < <, ν ποδείξετε ότι < + <. 36
Προσδιορισμός ριθμών μετξύ των οποίων ρίσκετι μι πράστση.4 Αν ισχύει 6 < < 9, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) + 4 σ) 7 γ) 5 σδ) 3 + ε) στ) 8 3.4 Αν ισχύει < < κι < < 4, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) 3 σ) γ) + σδ) 3 + ε) στ) 4.4 Αν ισχύουν οι 3< < κι 5< < 6, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) + ) γ) 5 δ).43 Αν ισχύουν οι 6< 4 < κι 3< <, ν ρείτε μετξύ ποιων - ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) + 3 ) γ) + δ).44 Αν ισχύουν οι < < κι < < 3, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) ) 3 γ) 7 δ) +.45 Αν ισχύουν οι 5< 3 < κι < <, ν ρείτε μετξύ ποιων - ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) 3 ) + γ) δ) +.46 Αν ισχύουν οι 6 < < κι < < 3, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) 5 ) γ) δ).47 Ένς μνάης έχει στον πάγκο του 3 πεπόνι κι κρπούζι. Κάθε πεπόνι ζυγίζει πό έως 4 kg, ενώ κάθε κρπούζι ζυγίζει πό έως 5 kg. Τέλος, ο πάγκος του μνάη ζυγίζει kg. Ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκετι το συνολικό άρος του πάγκου μζί με τ προϊόντ. Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 37
Σύγκριση ριθμών.48 ) Αν <, ν συγκρίνετε τους ριθμούς: = 4 5 κι = + ) Αν ω> 3, ν συγκρίνετε τους ριθμούς: = ω+ κι = 8 ω.49 Αν < κι y >, ν συγκρίνετε τους ριθμούς = y+ κι = y+..5 Αν >, ν συγκρίνετε τους ριθμούς = κι = +. 3.5 Αν ισχύει < 3< y, ν συγκρίνετε τους ριθμούς = y+ 9 κι = 3(+ y)..5 Αν ισχύει y > >, ν συγκρίνετε τους ριθμούς = + y κι = + y..53 Αν οι ριθμοί κι y είνι ομόσημοι, ν συγκρίνετε τους ριθμούς: = + + y κι = (+ )(+ y).54 Αν >, ν συγκρίνετε τους ριθμούς = κι =. +.55 Αν ισχύει < < y, ν συγκρίνετε + τους ριθμούς = κι =. y y + Η ιδιότητ: «ν + =, τότε = κι =».56 Ν ρείτε τους ριθμούς κι y, ν ισχύει: ) + y + y+ = ) 4+ 4+ y = γ) + y = 8(y ) δ) ( + 6) = (9 + y ).57 Ν ρείτε τους ριθμούς κι y, ν ισχύει: ) + y 6y+ = ) + y + (+ y) + 5= γ) + y + 6 8y+ 5= δ) + y + 6y+ =.58 Ν ρείτε τους ριθμούς κι y, ν ισχύει: ) + y + 9 = 4 + y ) 4( + y + 3) = 4(y 3).59 Αν ισχύει: ( + ) + (y + ) = 4( + y) ν ποδείξετε ότι.6 Αν ισχύει: = κι y=. + y + + = ( y) ν ποδείξετε ότι οι ριθμοί κι είνι ίσοι, ενώ οι ριθμοί κι y είνι ντίθετοι..6 Ν ρείτε τους ριθμούς κι, ν ισχύει + + 9 = + 6. 38
Θέμτ προχωρημένου επιπέδου.6 Αν +, ν ποδείξετε ότι: ) ) 3 3 + (+ ) + + + 3 3.63 Αν > κι >, ν ποδείξετε ότι: ) + + ) + 4 γ) 4 + + δ) + + +.64 Αν κι είνι θετικοί ριθμοί, ν ποδείξετε ότι: ) ( + ) + 4 4 4 ) ( + )( + ) ( + ) γ) + + δ) 3 3 + +.65 Ν ποδείξετε ότι: ) + + > ) + 6 + 9 > γ) + + (+ ) δ) 4 >.66 Αν + =, ν ποδείξετε ότι: ) ) 3 +.67 Ν ποδείξετε ότι: ( + y )( + ) ( + y).68 ) Ν ποδείξετε ότι +. ) Αν οι ριθμοί,, γ είνι θετικοί, ν ποδείξετε ότι: ( + )( + )(γ + ) 8γ.69 Ν ποδείξετε τις νισότητες: ) + ) + + γ) + 4 δ) +.7 Ν ποδείξετε ότι: + + γ ) + γ γ ) + + γ + γ+ γ.7 Ν ρείτε τους πργμτικούς - ριθμούς,, γ που ικνοποιούν τις σχέσεις: ) + + γ 4 6 8γ+ 9= ) + + γ + 4+ 6γ+ 4=.7 Ν ρείτε τους πργμτικούς - ριθμούς κι που ικνοποιούν τις σχέσεις: ) 6+ 4+ 4= ) 8+ 7 + 6+ 9= Οι πντήσεις ρίσκοντι στη σελίδ 37. 39
.73 Δίνετι το πολυώνυμο: 3 P() = 5 + 7 3 ) Ν ποδείξετε ότι το είνι πράγοντς του P(). ) Αν 3, ν ποδείξετε ότι P(). Κριτήριο Αξιολόγησης Θέμ Θέμ Θέμ 3 Ν ποδείξετε τις πρκάτω ιδιότητες της διάτξης: ) Αν >, τότε + γ> + γ. ) Αν > κι γ >, τότε γ > γ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ) κθεμί πό τις πρκάτω προτάσεις. σ) Αν <, τότε <. Σ Λ σ) Αν > y, τότε y >. Σ Λ σγ) Αν >, τότε + 3 > + 3. Σ Λ σδ) Αν < y, τότε 3> y 3. Σ Λ σε) Αν >, τότε >. Σ Λ y στ) Αν > y, τότε > σζ) Αν <, τότε ση) Αν. Σ Λ <. Σ Λ >, τότε >. Σ Λ ) Αν >, ν ποδείξετε ότι + 4> 5( ). 5 ) Γι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς κι y, ν ποδείξετε ότι: ( + y) 8y γ) Αν < 3 κι y> 5, ν ποδείξετε ότι y + 5 < 3y 5. Θέμ 4 Αν 3< < κι < y< 4, ν ρείτε μετξύ ποιων ριθμών ρίσκοντι οι πρστάσεις: ) + y σ) + y 3 γ) y σδ) 3y+ 7 ε) y 3 στ) y 4