ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες 5) Α2. 1. Τι καλούμε καμπύλη συχνοτήτων; 2. Να σχεδιάσετε τις παρακάτω καμπύλες συχνοτήτων: i. μιας κανονικής κατανομής ii. μιας ομοιόμορφης κατανομής iii. μιας κατανομής με θετική ασυμμετρία iv. μιας κατανομής με αρνητική ασυμμετρία (Μονάδες 5) Α3. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Α Β) (Μονάδες 5) Α4. Να χαρακτηρίσετε στην κόλλα σας ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα, το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι πάντοτε ίσο με ένα. 2. ΕάνΑ, Β 0 δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου. Αν ισχύει Ρ(Α) = Ρ(Β), τότε Α = Β. 3. Έστω ff μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Α. Αν x 1, x 2 Α, τότε ισχύει η ισοδυναμία xx 1 < xx 2 ff(xx 1 ) < ff(xx 2 ). 4. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (CV) είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων. 5. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν ισχύει Β Α, τότε Ρ(Α) Ρ(Β) (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι παρακάτω τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής: 2, 6, 8, 10, 14, 2xx. Β1. Να αποδείξετε ότι για τη διακύμανση ss 2 ισχύει: ss 2 = 1 9 (5xx2 40xx + 200) (Μονάδες 8) Β2. Να υπολογίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης για τη συνάρτηση ss 2 στο σημείο RR, ss 2 (RR) όπου R το εύρος των παρακάτω παρατηρήσεων: 6, 8, 7, 7, 8, 6, 8 (Μονάδες 4) Β3. Να υπολογίσετε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ss 2 στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στην ευθεία yy = 5xx + 6. (Μονάδες 4) Β4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση της τυπικής απόκλισης ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. (Μονάδες 9)
ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε μια πολυωνυμκή συνάρτηση ff δευτέρου βαθμού που ορίζεται στο R με συντελεστές κκ, λλ, μμ R για τους οποίους ισχύει η σχέση κκ + μμ = λλ. Αν είναι γνωστό ff(xx)(xx ότι η ff διέρχεται από το σημείο ΓΓ(2,9) και lim 2 81) xx 9 = 1080, τότε: xx 3 Γ1. Να αποδείξετε ότι ff(xx) = 2 7 xx2 + 23 7 xx + 25 7, xx R. (Μονάδες 7) Γ2. Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση ttμε τύπο: ff(0), xx = 4 tt(xx) = aa(xx 2 16) aa Rείναι συνεχής στο xx, xx 4 0 = 4, xx 4 να βρείτε την τιμή του αα. Γ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση gg: R Rμε τύπο: (Μονάδες 3) gg(xx) = ff(xx) + xx 3 + 2 7 xx2 + 12 xx + eexx 7 1. Να δείξετε ότι η gg είναι γνησίως αύξουσα. (Μονάδες 3) 2. Να βρείτε τις τιμές του xx που επαληθεύουν την ανισότητα: (xx 3 ) 3 (xx xx 2 ) 3 + ee xx 3 1 > 5(xx xx 2 ) 5(xx 3 ) + ee xx xx 2 (Μονάδες 4) Γ4. Έστω η συνάρτηση h με τύπο: h(xx) = gg(xx) ee xx 25 και οι πραγματικοί αριθμοί 7 xx 1 < xx 2 < < xx 9 οι τετμημένες του γραφήματος της h. i. Αν η διάμεσος των xx 1, xx 2,, xx 9 είναι 3, να βρείτε τη διάμεσο των h(xx 1 ), h(xx 2 ), h(xx 9 ). ii. Αν xx 9 xx 1 = 1και xx 9 xx 1 = 1, να βρείτε το εύρος των τεταγμένων h(xx 3 ii) για ii = 1,2,3,,9 (Μονάδες 8 ) ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω ενός πειράματος τύχης με Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,, ω } και ΡΡ(ωω ii ) για ii = 1,2,,οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων. Έστω η συνάρτηση F που δίνεται από τον τύπο: FF(xx) = ii=1(ρρ(ωω ii ) xx) 5 με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Δ1. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή του δείγματος Ρ(ω 1 ), Ρ(ω 2 ), Ρ(ω 3 ),, Ρ(ω ) είναι 1. (Μονάδες 4)
Δ2. Να δείξετε ότι η διακύμανση του παραπάνω δείγματος δίνεται από τον τύπο: ss 2 = FF (xx ). (Μονάδες 6) 660 Δ3. Αν ο ρυθμός μεταβολής της FF (xx) γίνεται μέγιστος με τιμή, να βρείτε το 660 συντελεστή μεταβλητότητας του δείγματος Ρ(ω 1 ), Ρ(ω 2 ), Ρ(ω 3 ),, Ρ(ω ) και εν συνεχεία, να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. (Μονάδες 8) Δ4. Εάν ss 2 = 1 660 2, να υπολογίσετε τη μέση τιμή των τετραγώνων των πιθανοτήτων των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω. (Μονάδες 7) ν ν i=1 2 i=1 ν Δίνεται ότι: s 2 = 1 ν t i 2 t i Καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!!!
Λύσεις επαναληπτικού διαγωνίσματος Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Α Α1. 1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.16 2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.16 Α2. 1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.76 2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.76 Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ.152 Α4. α) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Σ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β1. Είναι xx = 1 6 xx 6 ii=1 ii = 1 6 40+2xx (2 + 6 + 8 + 10 + 14 + 2xx) = ήxx = 2(20+xx) xx = 6 2 3 20+xx (1)Όμως: 3 ss2 = 1 (xx νν ii=1 νν ii xx ) 2 ή ss 2 = 1 (xx 6 ii=1 6 ii xx ) 2 = 1 20+xx 2 6 3 2 + 6 20+xx32+8 20+xx32+10 20+xx32+14 20+xx32+2xx 20+xx32 = 1 6 9 [(xx + 14)2 + + (5xx 20) 2 ] = 1 6 9 (30xx2 240xx + 1200) ss 2 = 1 9 (5xx2 40xx + 200) Β2. Για το εύρος έχουμε: RR = xx mmmmmm xx mmmmmm = 8 6 = 2. Έστω ff(xx) = 1 9 (5xx2 40xx + 200)η συνάρτηση της διακύμανσης ss 2. Οπότε ff (xx) = 1 (10xx 40) = 10 (xx 4).Συνεπώς, 9 9 ff (2) = 20. 9 Αναζητούμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της ffστο σημείο AA 2, ff(2), δηλαδή στο σημείο AA 2, 140. 9 Έχουμε: (εεεε): yy ff(2) = ff (2)(xx 2)η ζητούμενη, δηλαδή: (εεεε): yy 40 = 20 (xx 2) 9yy 40 = 20xx + 40, τελικά, 9 9 (εεεε): 20xx + 9yy 80 = 0η ζητούμενη εφαπτομένη Β3. Αν είναι (εε): yy = 5xx + 6με λλ εε = 5. Εφόσον η (ε) είναι παράλληλη στην εφαπτομένη θα έχουμε: λλ εεεε = 5. Έστω MM xx 0, ff(xx 0 ) το σημείο επαφής. Τότε ff (xx 0 ) = 5 10 (xx 9 0 4) = 5 2 (xx 9 0 4) = 1 2xx 0 8 = 9 xx 0 =.Συνεπώς, το σημείο επαφής θα είναι το: 2 Μ, f, δηλαδή το Μ, 885. 2 2 2 36 Β4. Είναι ss = 1 9 (5xx2 40xx + 200) = 1 3 5xx2 40xx + 200
Είναι ΔΔ = ( 40) 2 4 5 200 = 1600 4000 < 0. Άρα το τριώνυμο ομόσημο του 5 > 0. Συνεπώς, 5xx 2 40xx + 200 > 0 xx R. Θεωρώ ss(xx) = 1 3 5xx2 40xx + 200, xx R. ss (xx) = 1 3 1 2 5xx 2 40xx + 200 (5xx2 40xx + 200) = 1 3 (10xx 40) 2 5xx 2 40xx + 200 = 1 3 10(xx 4) 2 5xx 2 40xx + 200 = 5 3 (xx 4) 5xx 2 40xx + 200 Όμως 5xx 2 40xx + 200 > 0 xx R, συνεπώς το πρόσημο της ss (xx)εξαρτάται από το xx 4. ss (xx) > 0 xx 4 > 0 xx > 4 ss (xx) = 0 xx 4 = 0 xx = 4 ss (xx) < 0 xx 4 < 0 xx < 4 Σχηματίζω πίνακα μεταβολών: xx 4 + ss (xx) - + ss(xx) ελάχιστο Μονοτονία: Η συνάρτηση ss είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 4] Η συνάρτηση ssείναι γνησίως αύξουσα στο [4, + ) Ακρότατα: η συνάρτηση ss παρουσιάζει ακρότατη τιμή στη θέση xx = 4 την ss(4) = 2 3 3 2 30 2 30 10 ή ss(4) =, σημείο ΚΚ 4,. 3 3 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Εφόσον έχουμε πολυωνυμική συνάρτηση 2 ου βαθμού που ορίζεται στο R, θα είναι: ff(xx) = κκxx 2 + λλxx + μμ με κκ 0 και με κκ + μμ = λλ(1) Αφού η ff διέρχεται από το ΓΓ(2, 9) είναι: ff(2) = 9 4κκ + 2λλ + μμ = 9(1) 4κκ + 2λλ + λλ κκ = 9 3κκ + 3λλ = 9 κκ + λλ = 3(2) Αλλά η ff πολυωνυμκή, οπότε είναι συνεχής στο R, δηλαδή lim xx 9 ff(xx) = ff(9)(3).
Η δοθείσα γίνεται: ff(xx) xx lim 2 81 xx 9 xx 3 lim xx 9 0 0 = 1080 lim xx 9 ff(xx) xx 2 81 (xx 9)(xx + 9) ff(xx) = lim ff(xx) xx 3 xx 9 xx 3 xx 3 xx + 3 (xx + 9) xx 3 = ff(9) 6 18 = 1080 ff(9) 108 = 1080 ff(9) = 10 1 (1) Συνεπώς, 81κκ + 9λλ + μμ = 10 81κκ + 9λλ + λλ κκ = 10 80κκ + 10λλ = 10 8κκ + λλ = 1(4) κκ + λλ = 3 λλ = 3 λλ = 3 Άρα (ΣΣ): κκ κκ 8κκ + λλ = 1 8κκ + λλ = 1 7κκ = 2 κκ = 2 Οπότε από (2) λλ = 3 2 = 21+2 ή λλ = 23 και τελικά από (1) έχω: 7 7 7 7 μμ = λλ κκ = 23 2 = 23+2 = 25, δηλαδή 7 7 7 7 μμ = 25. Τελικά έχω ff(xx) = 2 7 7 xx2 + 23 xx + 25, xx R 7 7 Γ2. Είναι ff(0) = 2 7 02 + 23 7 0 + 25 7 ff(0) = 25 7 Γ3. Άρα tt(xx) = 25 7, xx = 4 aa(xx 2 16) xx 4, xx 4 αφού θέλουμε η tt συνεχής στο xx 0 = 4, είναι: aa xx lim xx 4 tt(xx) = lim 2 16 xx 4 = xx 4 (xx 4)(xx+4) aa lim xx 4 = aa 8 lim (xx 4) xx 4 tt(xx) = 8aaγια xx 4 Οπότε πρέπει lim xx 4 tt(xx) = tt(4) 8aa = 25 7 i. Είναι gg(xx) = ff(xx) + 2 7 xx2 + xx 3 + 12 7 xx + eexx = 25 aa = η ζητούμενη τιμή. 56 = 2 7 xx2 + 23 7 xx + 25 7 + xx3 + 2 7 xx2 + 12 7 xx + eexx = ή gg(xx) = xx 3 + 5xx + ee xx + 25 7, μμμμ xx R Είναι gg (xx) = 3xx 2 + 5 + ee xx > 0 xx R. Συνεπώς η gg γνησίως αύξουσα στο R.
ii. Η δοσμένη ανισότητα γίνεται: (xx 3 ) 3 (xx xx 2 ) 3 + ee xx 3 1 > 5(xx xx 2 ) 5(xx 3 ) + ee xx xx 2 (xx 3 ) 3 + 5(xx 3 ) + ee xx 3 1 > (xx xx 2 ) 3 + 5(xx xx 2 ) + ee xx xx 2 (xx 3 ) 3 + 5(xx 3 ) + ee xx 3 1 + 25 7 > (xx xx2 ) 3 + 5(xx xx 2 ) + ee xx xx 2 + 25 7 gg(xx 3 ) > gg(xx xx 2 ) xx 3 > xx xx 2 xx 3 xx + xx 2 > 0 xx 3 + xx 2 xx > 0 xx 2 (xx + 1) (xx + 1) > 0 (xx + 1)(xx 2 ) > 0 (xx + 1)(xx )(xx + 1) > 0 (xx + 1) 2 (xx ) > 0(1) Για να ισχύει η (1) αρκείxx > 0 xx > 1αφού (xx + 1) 2 > 0 xx 1 Συνεπώς xx (1, + ) Γ4. i. Έχουμεh(xx) = gg(xx) ee xx 25 7 ή h(xx) = xx 3 + 5xx + ee xx + 25 7 eexx 25 7 h(xx) = xx3 + 5xx Είναι επίσης xx 1 < xx 2 < xx 3 < xx 4 < xx 5 < xx 6 < xx 7 < xx 8 < xx 9 αφού οι τετμημένες του γραφήματος της h είναι σε αύξουσα σειρά και το πλήθος των όρων είναι περιττό, θα έχουμε δδ = xx 5 = 3. Ζητάμε τη διάμεσο των παρατηρήσεων h(xx ii )για ii = 1,2,,9. Όμως h (xx) = (xx 3 + 5xx) = 3xx 2 + 5 > 0 Άρα h (xx) = 3xx 2 + 5 > 0οπότε hγνησίως αύξουσα στο R. Οπότε για xx 1 < xx 2 < xx 3 < xx 4 < xx 5 < xx 6 < xx 7 < xx 8 < xx 9 h h(xx 1 ) < h(xx 2 ) < h(xx 3 ) < < h(xx 9 )οπότε η διάμεσος δδ των παρατηρήσεων είναι h(xx 5 ) = h(3) = 3 3 + 5 3 = 3(3 2 + 5) = 3 14 = 42ή δδ = h(3) = 42 ii. Είναι xx 9 xx 1 = 1και xx 9 xx 1 = 1 και αφού από Γ4i) 3 h(xx 1 ) < h(xx 2 ) < h(xx 3 ) < < h(xx 9 ) το ζητούμενο εύρος είναι: RR = h(xx 9 ) h(xx 1 ) = xx 9 3 + 5xx 9 (xx 1 3 + 5xx 1 ) = = xx 9 3 + 5xx 9 xx 1 3 5xx 1 = xx 9 3 xx 1 3 + 5(xx 9 xx 1 ) = = (xx 9 xx 1 )(xx 9 2 + xx 9 xx 1 + xx 1 2 ) + 5(xx 9 xx 1 ) = = (xx 9 xx 1 )(xx 9 2 + xx 9 xx 1 + xx 1 2 + 5) =
= (xx 9 xx 1 )(xx 9 2 2xx 9 xx 1 + xx 1 2 + 3xx 9 xx 1 + 5) = (xx 9 xx 1 )[(xx 9 xx 1 ) 2 + 3xx 9 xx 1 + 5] = 1 1 2 + 3 1 3 + 5 = 1(1 + 1 + 5) RR = 7 ΘΕΜΑ Δ Είναι: FF(xx) = (PP(ωω 1 ) xx) 5 + (PP(ωω 2 ) xx) 5 + + (PP(ωω ) xx) 5, xx R Δ1. Η μέση τιμή του δείγματος ΡΡ(ωω 1 ), ΡΡ(ωω 2 ), ΡΡ(ωω 3 ),, ΡΡ(ωω ) είναι xx = ii=1 ΡΡ(ωω ii) = ΡΡ(ωω 1 )+ΡΡ(ωω 2 )+ΡΡ(ωω 3 )+ +ΡΡ(ωω ) (1) Από τον αξιωματικό ορισμό των πιθανοτήτων έχουμε ότι: ΡΡ(ωω 1 ) + ΡΡ(ωω 2 ) + ΡΡ(ωω 3 ) + + ΡΡ(ωω ) = 1(2) Από (1) και (2) έχω:xx = 1. Δ2. Είναι: FF (xx) = 5(ΡΡ(ωω 1 ) xx) 4 (ΡΡ(ωω 1 ) xx) + 5(ΡΡ(ωω 2 ) xx) 4 (ΡΡ(ωω 2 ) xx) + + 5(ΡΡ(ωω ) xx) 4 (ΡΡ(ωω ) xx) FF (xx) = 5(ΡΡ(ωω 1 ) xx) 4 5(ΡΡ(ωω 2 ) xx) 4 5(ΡΡ(ωω ) xx) 4 FF (xx) = 20(ΡΡ(ωω 1 ) xx) 3 (ΡΡ(ωω 1 ) xx) 20(ΡΡ(ωω 2 ) xx) 3 (ΡΡ(ωω 2 ) xx) 20(ΡΡ(ωω ) xx) 3 (ΡΡ(ωω ) xx) FF (xx) = 20(ΡΡ(ωω 1 ) xx) 3 + 20(ΡΡ(ωω 2 ) xx) 3 + + 20(ΡΡ(ωω ) xx) 3 FF (xx) = 60(ΡΡ(ωω 1 ) xx) 2 60(ΡΡ(ωω 2 ) xx) 2 60(ΡΡ(ωω ) xx) 2 Θέτω όπου xx τη xx και έχω: FF (xx ) = 60(ΡΡ(ωω 1 ) xx ) 2 60(ΡΡ(ωω 2 ) xx ) 2 60(ΡΡ(ωω ) xx ) 2 660 FF (xx ) = 660 [ 60(ΡΡ(ωω 1) xx ) 2 60(ΡΡ(ωω 2 ) xx ) 2 60(ΡΡ(ωω ) xx ) 2 ] 660 FF (xx ) = 60 660 (ΡΡ(ωω 1) xx ) 2 + 60 660 (ΡΡ(ωω 2) xx ) 2 + + 60 660 (ΡΡ(ωω ) xx ) 2 660 FF (xx ) = 1 (ΡΡ(ωω 1) xx ) 2 + 1 (ΡΡ(ωω 2) xx ) 2 + + 1 (ΡΡ(ωω ) xx ) 2 660 FF (xx ) = (ΡΡ(ωω 1) xx ) 2 + (ΡΡ(ωω 2 ) xx ) 2 + + (ΡΡ(ωω ) xx ) 2 660 FF (xx ) = ii=1 (ΡΡ(ωω ii) xx ) 2 ss 2 = 660 FF (xx ) αφούss 2 = 1 (ΡΡ(ωω ii=1 ii) xx ) 2
Δ3. Ο ρυθμός μεταβολής της FF (xx)είναι: (4) = 120(ΡΡ(ωω 1 ) xx)(ρρ(ωω 1 ) xx) 20(ΡΡ(ωω 2 ) xx)(ρρ(ωω 2 ) xx) FF (xx) 20(ΡΡ(ωω ) xx)(ρρ(ωω ) xx) (4) = 120(ΡΡ(ωω 1 ) xx) + 120(ΡΡ(ωω 2 ) xx) + + 120(ΡΡ(ωω ) xx) FF (xx) διότι ddff (xx) (4) = FF dddd (xx) Αναζητούμε τα σημεία μηδενισμού της FF (4) και έχουμε: (4) = 0 120 (ΡΡ(ωω 1 ) xx) + (ΡΡ(ωω 2 ) xx) + + (ΡΡ(ωω ) xx) = 0 FF (xx) Αξ.ορ. ΡΡ(ωω 1 ) + ΡΡ(ωω 2 ) + + ΡΡ(ωω ) xx = 0 πιθαν. 1 xx = 0 xx = 1 xx = 1 ήxx = xx από Δ1. FF (xx) (4) > 0 1 xx > 0 1 > xx xx < 1 ή xx < xx αντιστοίχωςff (4) (xx) < 0 1 xx < 0 xx > 1 ή xx > xx Σχηματίζουμε πίνακα μεταβολών xx xx = 1 + (4) FF (xx) + - FF (xx) Όμως ο ρυθμός μεταβολής της FF γίνεται μέγιστος στην τιμή xx = xx = 1. Άρα FF (xx ) = 660 Αλλά ss 2 = 660 FF (xx ) = = 1 660 660 660 2 Δηλαδή ss 2 = 1 ss = 1 660 2 660 Συνεπώς ο συντελεστής μεταβλητότητας των ΡΡ(ωω ii ) με ii = 1,2,,είναι: CCCC = ss xx = 1 660 1 = 660 = 6 10 = 1 60 1 10 μέγιστο Άρα το δείγμα των ΡΡ(ωω ii ) με ii = 1,2,,είναι ομοιογενές.
Δ4. Γνωρίζουμε ότι ss 2 = 1 PP2 (ωω ii ) ή ii=1 PP 2 (ωω ii ) ii=1 PP 2 (ωω ii ) ii=1 ii=1 PP(ωω ii) 2 ii=1 ii=1 PP(ωω ii) ) 2 ss 2 = PP2 (ωω ii ) ( 2 ss 2 = ii=1 PP2 (ωω ii ) PP(ωω 2 ii=1 ii) = ss 2 + xx 2 ii=1 PP2 (ωω ii ) = 1 660 2 + 1 2 = 2 + 660 2 2 660 2 = 2 + 2 6 2 10 2 2 660 2 = 2 (1 + 6 2 10 2 ) 2 660 2 ii=1 PP2 (ωω ii ) = 3601 435600 0,0082 Άρα ii=1 PP 2 (ωω ii ) 0,0082