ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου. 3. Πργοντοποίηση Τριωνύµου. Α. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Κάθε εξίσωση της µορφής: γ µε κλείτι εξίσωση ου θµού ή δευτεροάθµι εξίσωση µε ένν άγνωστο. π.χ 4 8 Πρτηρήστε ότι τώρ η µεγλύτερη δύνµη που είνι υψωµένος ο άγνωστος είνι το σε ντίθεση µε τις πρωτοάθµιες που ήτν το 1 Τ,, γ κλούντι συντελεστές της εξίσωσης. Πιο συγκεκριµέν ο συντελεστής γ λέγετι κι στθερός όρος της εξίσωσης. Στη συγκεκριµένη ενότητ γι τη λύση µις δευτεροάθµις εξίσωσης θ χρειστούµε τον εξής ορισµό: Έν γινόµενο πργόντων είνι ίσο µε το µηδέν, ότν είτε ο ένς είτε ο άλλος πράγοντς είνι ίσος µε το µηδέν. ηλδή ισχύει: A B A ή B π.χ ( 3)( ) 3 ή δηλδή ότν 3 ή Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -145-
Επίσης πρέπει ν γνωρίζουµε ότι: A A A είνι δύντη π.χ η εξίσωση ( 1) 1 είνι δύντη!!! π.χ ( 1) 1 1 1 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Με άση τον πρπάνω ορισµό γι ν λύσουµε µι δευτέρου θµού εξίσωση κολουθούµε τη πρκάτω διδικσί: Μετφέρουµε όλους τους όρους της εξίσωσης στο 1 ο µέλος της Ανλύουµε το 1 ο µέλος σε γινόµενο πργόντων (δηλδή κάνουµε πργοντοποίηση),ν υτό έι είνι εφικτό, φέρνοντάς το στη µορφή A B Λύνουµε ξεχωριστά της εξισώσεις A κι B Οι λύσεις της δευτεροάθµις εξίσωσης θ είνι οι δύο λύσεις που πίρνουµε λύνοντς τις A κι B ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν λυθούν οι εξισώσεις:. 4. 16 γ. 4 4 δ. 1 4 Λύση. Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -146-
. 4 4 4 η 4 η 4. 16 4 4 4 4 η 4 4 η 4 Ένς άλλος τρόπος θ µπορούσε ν είνι: 16 16 ± 16 4 η 4 Η εξίσωση ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΙΑ a, λύνετι κι ως εξής: Αν θετικός, τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις: 1 a κι a. Αν ρνητικός, τότε η εξίσωση είνι δύντη. Αν, τότε η εξίσωση γίνετι που γράφετι κι δηλδή χ ή χ. (*) Γι υτό λέµε ότι η λύση υτή είνι διπλή. γ. 4 4 4 δ. 1 4 1 4 1 4 1± 4 1 η 1 1 η 1 1 η 3 Ποιος ή ποι θ λύσει την εξίσωση 1 4 κι ( 1) 8??? Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -147-
. Ν λυθεί η εξίσωση: ( ) ( )( ) 1 3 1 Λύση. ( ) ( )( ) 1 3 1 ( )( ) ( )( ) 1 1 3 1 ( ) ( ) ( )( ) 1 1 3 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 η 1 3 1 η 1 3 1 η 1 η 1 η ± ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µί πό τις πρκάτω προτάσεις ν σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). 1. Η εξίσωση γ µε άγνωστο το χ Σ Λ είνι ου θµού. Αν ο ριθµός είνι λύση της εξίσωσης Σ Λ γ τότε γ 3. Ο ριθµός είνι λύση της εξίσωσης 3 1 Σ Λ 4. Οι λύσεις της εξίσωσης ( ) ( 1) είνι οι Σ Λ Χ - κι 1 5. Η εξίσωση 1 έχει µονδική λύση την χ 1 Σ Λ Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -148-
6. Η εξίσωση ( 1) έχει διπλή ρίζ τη χ 1 Σ Λ 7. Η εξίσωση 4 δεν έχει λύση Σ Λ 8. Η εξίσωση ότν λ 1 9. Η εξίσωση ότν λ 1 λ 1 λ είνι ου θµού Σ Λ λ 1 λ είνι 1 ου θµού Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ( )( ) ( )( ) i) 1 ii) 3 4 iii) 1 3 iv) 4 3. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ( )( ) ( )( ) i) 1 4 ii) 1 5 iii) 1 iv) 3 3. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 4 iii) iv) 3 4 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -149-
4. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 1 ii) 5 iii)3 15 iii) 1 iv) 3 1 9 v) 1 1 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 9 ii) 1 iii) 8 7 iv) 8 15 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 6 6 1 ii)7 3 5 5 7 7 7. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 3 4 ( ) ii) 3 1 iii) 1 5 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: 5 i) 16 ( ) ( ) ii) 6 5 4 3 iii) 1 7 iv)4 1 3 1 9. Αν η µί ρίζ της εξίσωσης ρίζ της. 4 είνι το, ν ρείτε την άλλη 1. Αν οι εξισώσεις 1 κι λύσετε την εξίσωση (1). έχουν κοινή λύση, ν 4 9 (1) Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -15-
Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -151- Β. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΥΠΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Εξισώσεις ου θµού ονοµάζοντι οι εξισώσεις της µορφής Το λέγετι συντελεστής του δευτεροάθµιου όρου. Το λέγετι συντελεστής του πρωτοάθµιου όρου. Το γ λέγετι στθερός όρος της εξίσωσης. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Γι ν ρούµε τις λύσεις της πρπάνω εξίσωσης κολουθούµε τ πρκάτω ήµτ: Γράφουµε την εξίσωση διδοχικά : (1) 4 4 γ γ γ γ γ γ Ορίζουµε την πράστση γ 4 κι την ονοµάζουµε ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ Έτσι η (1) πίρνει τη µορφή : () 4 µε γ
Τώρ δικρίνουµε τις εξής περιπτώσεις : 1. Αν >, τότε πό τη () έχουµε : 4 ± 4 ± ± Άρ γι > η δευτεροάθµι εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις, τις : 1 κι. Αν, τότε η () γράφετι : 4 Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η δευτεροάθµι εξίσωση έχει µι διπλή ρίζ, την: 1 3. Αν <, τότε 4 < κι εποµένως η δευτεροάθµι εξίσωση είνι Αδύντη.!!! Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -15-
Συµπερσµτικά έχουµε το πρκάτω διάγρµµ : Η ΕΞΙΣΩΣΗ γ, γ, µε 4γ > < ΥΟ ΑΝΙΣΕΣ ΜΙΑ ΙΠΛΗ ΚΑΜΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΛΥΣΕΙΣ ΛΥΣΗ ΛΥΣΗ (δηλ. Α ΥΝΑΤΗ) 1, ± 1 ± ΠΡΟΣΟΧΗ: Η χρησιµοποίηση του τύπου 1, δε µς συµφέρει πάντοτε φού υπάρχουν δευτεροάθµιες εξισώσεις που λύνοντι ευκολότερ µε πργοντοποίηση χρησιµοποιώντς τον τρόπο που δείξµε στη προηγούµενη ενότητ Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -153-
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν λύσετε τις εξισώσεις:. 3. 9 1 4 γ. 1 Λύση.. Στην εξίσωση 3 είνι 3, -1 κι γ -. Άρ έχουµε: 4γ 1 4 3 1 4 5. Αφού η ικρίνουσ γήκε θετικός ριθµός σηµίνει ότι η εξίσωση µς θ έχει άνισες πργµτικές λύσεις. Αυτές θ είνι: 1, ± 1 ± 5 1± 5 3 6 1 5 6 1 1 6 6 1 5 4 6 6 3. Στην εξίσωση 9 1 4 είνι 9, -1 κι γ 4. Άρ έχουµε: 4γ 1 4 9 4 144 144. Αφού η ικρίνουσ γήκε µηδέν σηµίνει ότι η εξίσωση µς θ έχει 1 διπλή λύση. Αυτή θ είνι: 1 1 9 18 3 γ. Στην εξίσωση Άρ έχουµε: 1 ή 1 είνι 1, -1 κι γ 1. 4γ 1 4 1 1 1 4 3. Αφού η ικρίνουσ γήκε ρνητικός ριθµός σηµίνει ότι η εξίσωση µς ΕΝ έχει λύσεις, δηλδή είνι δύντη. Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -154-
. Ν λύσετε τις εξισώσεις:. 1 1 3. 1 1 3 Λύση.. Κάνοντς λίγο της πράξεις έχουµε: 1 1 3 1 1 3 4 4 1 3 3 Άρ, -3 κι γ - κι έτσι: 3 4 9 16 5> Αφού η ικρίνουσ γήκε θετικός ριθµός σηµίνει ότι η εξίσωση µς θ έχει άνισες πργµτικές λύσεις. Αυτές θ είνι: 1, ± 3 ± 5 3± 5 4 3 5 8 1 4 4 3 5 1 4 4. Πολλπλσιάζοντς µε το Ε.Κ.Π των προνοµστών έχουµε: 1 1 3 ( 1) 6 6 6 6 3 3 1 6 6 3 6 6 3 8 8 Άρ 3, -8 κι γ 8 κι έτσι: Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -155-
( 8) 4 3 8 64 96 3< Αφού η ικρίνουσ γήκε ρνητικός ριθµός σηµίνει ότι η εξίσωση µς ΕΝ έχει λύσεις, δηλδή είνι δύντη. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µί πό τις πρκάτω προτάσεις ν σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). Έστω η εξίσωση γ µε. 1. Η πράστση 4γ λέγετι δικρίνουσ της εξίσωσης.σ Λ. Αν >, τότε η εξίσωση έχει ρίζες τις ± 1 Σ Λ, 3. Αν, τότε η εξίσωση δεν είνι δύντη Σ Λ 4. Η εξίσωση έχει δύο το πολύ λύσεις Σ Λ 5. Αν 1, ρ ρ ρίζες της εξίσωσης, τότε γ ( ρ ) ( ρ ) 1 Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν λύσετε τις πρκάτω εξισώσεις εφρµόζοντς τον τύπο: (νεξάρτητ ν συµφέρει ή όχι) 1, ± i)y 5y ii) ω 6 iii)4 16 iv) 7 v)9 3 8 4 6 vi) 1 3 3 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -156-
. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) ( ) ii) 5 6 8 iii) 1 5 6 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) iv) 1 5 v) 3 6 1 5 1 1 3. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 3 ii)4 5 1 ( ) ( ) ( ) iii) 6 3 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) iv) 4 1 9 1 v) 3 3 1 4. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 5 ii) 3 3 iii) 5 5 3 iv) 5 3 v) 3 5 4 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ( 4) 7 5 4 i) 3 6 4 1 6 1 3 7 ii) 7 5 1 6. Ν ρείτε τον ριθµό λ ώστε η εξίσωση λλ ν έχει ρίζ το κι στη συνέχει ν δειχθεί ότι η ρίζ υτή είνι διπλή. 7. Ν ρείτε τον ριθµό λ ώστε η εξίσωση 3λ (4λ 1) λ ν έχει µι διπλή ρίζ, την οποί κι ν ρείτε.(υπόδειξη: γι ν έχει µι διπλή ρίζ θ πρέπει ) Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -157-
8. Ν ρείτε τον ριθµό λ ώστε ο ριθµός ν είνι ρίζ της εξίσωσης : λ λ 4λ 7 λ 9. Γι ποίες τιµές του λ η εξίσωση 3 ( 1 5λ) έχει: (i) δύο άνισες ρίζες (ii) µι διπλή ρίζ (iii) κµί πργµτική ρίζ 1. Ν ρείτε δύο διδοχικούς ριθµούς ν έχουν γινόµενο ίσο µε 4. 11. Ν ρείτε δύο διδοχικούς άρτιους φυσικούς ριθµούς που το άθροισµ των τετργώνων τους ν είνι 1. 1. Ν ρείτε δύο ριθµούς που έχουν άθροισµ κι γινόµενο 117. 13. Ν ρείτε δύο ριθµούς που έχουν άθροισµ 11 κι γινόµενο 3. 14. Ν ρείτε δύο ριθµούς που έχουν διφορά 1 κι γινόµενο -35. 15. Ν ρείτε δύο ριθµούς που έχουν διφορά 1 κι γινόµενο -6. 16. Αν στο τετράγωνο ενός ριθµού προσθέσουµε το τριπλάσιο του θ ρούµε το 4. Ποιος είνι ο ριθµός; 17. Ο Βγγέλης είνι τέσσερ χρόνι µεγλύτερος πό την δερφή του τη Χριστίν. Αν η ηλικί του Βγγέλη πολλπλσιστή µε την ηλικί της Χριστίνς, δίνει γινόµενο ίσο µε την ηλικί της µητέρς τους που είνι τετρπλάσι πό την ηλικί του Βγγέλη. Ν ρείτε πόσο χρονών είνι ο κθένς. 18. Στο πρκάτω ορθογώνιο τρίγωνο ν υπολογίσετε το : Χ-4 Χ4 Χ 19. Έν τρπέζιο έχει άσεις που διφέρουν κτά κι ύψος ίσο µε το άθροισµ των άσεων. Αν το εµδόν του τρπεζίου είνι ίσο µε 88cm, ν υπολογίσετε τις άσεις κι το ύψος του τρπεζίου. Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -158-
. Ν λύσετε τις εξισώσεις: 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1. 11. 1. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.. 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 3. Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -159-
Γ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ - - ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Πολλές φορές προκειµένου: Ν πργοντοποιήσουµε πρστάσεις, Ν ποδείξουµε νισότητες, Ν επιλύσουµε νισώσεις, Ν πλοποιήσουµε κλσµτικές πρστάσεις, Χρειάζετι ν χρησιµοποιήσουµε τις πρκάτω µορφές τριωνύµου. Έστω η εξίσωση γ µε Αν >, τότε η εξίσωση έχει ρίζες τις ρ1, ρ κι το τριώνυµο γ γράφετι: a γ a ρ1 ρ Αν, τότε η εξίσωση έχει 1 διπλή ρίζ την ρ 1 η οποί δίνετι κι πό τον τύπο ρ1 κι έτσι το τριώνυµο γ γράφετι: ( ρ ) a γ a 1 a Αν <, τότε η εξίσωση ΕΝ έχει ρίζες κι έτσι το τριώνυµο γ ΕΝ πργοντοποιείτι. Τ πρπάνω ποδεικνύοντι ως εξής: (Εκτός ύλης.) Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -16-
Έν τριώνυµο f, γ µπορεί, µε τη µέθοδο συµπλήρωσης τετργώνου, ν µετσχηµτιστεί ως εξής: f γ γ γ 4γ 4 (1) 4 Τώρ δικρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Αν >, τότε ισχύει, οπότε η σχέση (1) γράφετι: f 4 ( )( ) 1 Άρ ότν >, το τριώνυµο µεττρέπετι σε γινόµενο του επί δύο πρωτοάθµιους πράγοντες!!! Αν, τότε η σχέση (1) πίρνει µορφή: γ f ηλδή ότν, το τριώνυµο µεττρέπετι σε γινόµενο του επί έν τέλειο τετράγωνο!!! Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -161-
Αν <, τότε, οπότε η σχέση (1) γράφετι: f () η οποί δεν νλύετι σε γινόµενο, φού η 4 πράστση µέσ στην γκύλη είνι πάντ (γι κάθε R ) θετική. Οπότε ν <, το τριώνυµο ΕΝ νλύετι σε γινόµενο πρωτοθµίων πργόντων!!! ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν γίνει γινόµενο το τριώνυµο f () 5. Λύση. Η δικρίνουσ του τριωνύµου είνι: 5 4 5 16 9> 5 3 5 3 1 Οπότε οι ρίζες του τριωνύµου είνι: 1 κι Έτσι το τριώνυµο µπορεί ν γρφτεί υπό µορφή γινοµένου ως εξής: 1 f ( ). Ν πργοντοποιηθεί η πράστση: Λύση. Θεωρώντς το ως µετλητή, δηλδή ως, τότε η πράστση είνι έν τριώνυµο του µε δικρίνουσ 8 9 Έτσι οι ρίζες του τριωνύµου είνι: ± 9 ± 3 1 1, Έτσι η πράστση µπορεί ν γρφτεί υπό µορφή γινοµένου ως εξής: ( )( ) ( )( ) 1 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -16-
3. Ν πλοποιηθεί η πράστση 9 A 14 4. Λύση. Πρώτ ρίσκω γι ποίες τιµές του ορίζετι η πράστση!!! Το τριώνυµο 14 4 έχει ρίζες τις 1 4 κι 3, άρ γράφετι µε τη µορφή γινοµένου ως εξής: 14 4 ( 3)( 4) Άρ η πράστση ορίζετι ν 3 4 3 κι 4 3 κι 4. Τώρ το τριώνυµο 9 έχει ρίζες τις 1 4 κι 5, άρ γράφετι µε τη µορφή γινοµένου ως εξής: 9 ( 5)( 4) Εποµένως γι κάθε 3 κι 4 έχουµε: 9 ( 5)( 4) ( 5) A. 14 4 3 4 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν πργοντοποιήσετε, εφόσον είνι δυντόν, τ πρκάτω τριώνυµ: i) 6 ii) 1 iii) 6 1 iv) 4 5 v) 7 1 vi) 5 4 vii) 1 viii) 49 14 1. Ν πργοντοποιήσετε, εφόσον είνι δυντόν, τ πρκάτω τριώνυµ: i) f () 3 1 ii) f () 6 7 iii) f () 1 iv) f () 4 8 1 v) f () 3 8 vi) f () 9 5 vii) f () 8 18 5 7 viii)f () 5 Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -163-
3. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις: i) ( 1) ii) 6 (9 ) iii) 3 iv) v) vi) 1 µε vii) ( ) 1 µε, - viii)( ) 7 1 µε 3 ) 6 µε 3 i) (3 ) 5( 4. Ν πργοντοποιήσετε τ τριώνυµ 6 1, 6 1 συνέχει ν πλοποιήσετε την πράστση A. 9 6 1 9 6 1 κι στη 5. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις A 1 4 1 κι. 3 B 3 f () 3 1 9, λ 6. ίνετι η συνάρτηση λ λ R. Ν ρείτε τις τιµές του λ ώστε η f i) ν γράφετι ως γινόµενο πρωτοάθµιων πργόντων ii) ν γράφετι ως τέλειο τετράγωνο Ππδόπουλος Μρίνος-Μθηµτικός -164-