1 9. 9.6 ενίκευση του Πυθόρειου κι Θεωρήτ ιέσων ΘΕΩΡΙ 1. Θεώρη οξείς ωνίς < 90 ο + Θεώρη λείς ωνίς > 90 ο + + Πυθόρειο 90 ο +. Πορίστ > + > 90 ο + 90 ο < + < 90 ο 3. Νόος συνηιτόνων Σε κάθε τρίωνο ισχύει + συν κι κυκλικά. Το ύψος συνρτήσει των πλευρών υ τ( τ )( τ )( τ ) κι κυκλικά Το εδόν συνρτήσει των πλευρών Ε τ( τ )( τ )( τ )
5. 1 ο Θεώρη ιέσων + + κι κυκλικά Η διάεσος συνρτήσει των πλευρών + κι κυκλικά 6. ο Θεώρη ιέσων Μ υ Μ Η προολή της διέσου συνρτήσει των πλευρών Μ ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σ έν τρίωνο ισχύει κι 7. Ν υπολοίσετε την ελύτερη ωνί του. Προτεινόενη λύση 7 > > 7 > > Οπότε ελύτερη πλευρά του τριώνου είνι η. + συν ɵ 7 + συν ɵ συν ɵ 1 ɵ 10 ο
3. Σε οξυώνιο ισοσκελές τρίωνο ε άση φέρνουε το ύψος. είξτε ότι Προτεινόενη λύση < 90 ο + + ( ) 3. Συνρτήσει των κ, λ, ν υπολοίσετε τ ύψη ενός τριώνου, ότν κ κι λ Προτεινόενη λύση Είνι τ ++ κ+λ υ τ( τ )( τ )( τ ) υ λ Οοίως κ+λ κ+λ κ+λ κ+λ λ κ κ 1 υ υ λ κ κ λ κ λ
. Σ έν τρίωνο είνι, 1 + 3, 6. i) Ν ρείτε το είδος του τριώνου ως προς τις ωνίες του. Ν υπολοίσετε την ωνί i Ν υπολοίσετε την προολή της διέσου Μ στην. Προτεινόενη λύση i) Επειδή 1 + 3 > 6 >, η ελύτερη πλευρά του τριώνου είνι η. 1 + 3 +3 + 3 κι + + 6 8 Άρ < + < 90 ο το τρίωνο είνι οξυώνιο Νόος συνηιτόνων : + συν 6 + 1+3+ 3 (1+ 3 )συν συν 1 i 60 ο Έστω Μ η προολή της διέσου Μ στην ο θεώρη διέσων : Μ 6 (1+ Μ 1 1+ 3 3 ) Μ 3 1 Μ 6 1+ 3
5 5. είξτε ότι το άθροισ των τετρώνων των πλευρών ενός πρλληλοράου ισούτι ε το άθροισ των τετρώνων των διωνίων του. Προτεινόενη λύση 1 ο Θεώρη ιέσων στο τρίωνο : + Ο + + + (1) + Οοίως στο τρίωνο : + (1) + () : + + + + + + + () Ο 6. ίνετι τρίωνο ε Προτεινόενη λύση. είξτε ότι + Έστω οι διάεσοι Μ, Ν κι Ζ έτσι ώστε Ν Ζ, κι Θ το κέντρο άρους του τριώνου. Πυθόρειο το τρίωνο Θ : Θ +Θ 3 + 3 (1) Όως στο ορθοώνιο τρίωνο Θ η ΘΜ είνι διάεσος. 1 Άρ ΘΜ 3 3 Ζ Θ Μ Ν Η (1) ίνετι 3 + 3 + 9 9 + 9 3
6 7. ίνετι τρίωνο έτσι ώστε ν ισχύει i) είξτε ότι + Ν υπολοίσετε τη ωνί. Προτεινόενη λύση i) + + + Νόος συνηιτόνων : +.συν + +.συν συν 1 60 ο κι λόω του (i)
7 8. Σε τρίωνο δείξτε ότι : i) ν τότε 5 + ν + τότε το τρίωνο είνι ορθοώνιο i ν + τότε ) + Προτεινόενη λύση i) 5 + + + 3 3 ),. + + + 0 ( ) 0 0 Άρ το τρίωνο είνι ορθοώνιο ε υποτείνουσ την iii ) ) + + + + + + η οποί ισχύει πό την υπόθεση ) + + Οοίως ποδεικνύετι ότι ( ) 3 3 (λόω της υπόθεσης) 3
8 9. Σε κάθε ισοσκελές τρπέζιο ( ) δείξτε ότι + Προτεινόενη λύση Έστω ότι ɵ < 90 ο. Φέρω τ ύψη Κ κι Λ. πό ενίκευση πυθορείου στο τρίωνο έχουε + Λ κι επειδή + ( Λ) (1) Τρ.Κ τρ. Λ Κ Λ Οπότε Λ Λ Κ Λ ΚΛ Κ Κι επειδή το ΚΛ είνι ορθοώνιο, θ είνι ΚΛ Η (1) ίνετι + Λ 10. ν σηείο της άσης ισοσκελούς τριώνου, δείξτε ότι. Προτεινόενη λύση Φέρνουε το ύψος Μ του τριώνου κι την διάεσο Ζ του ο θεώρη των διέσων στο τρίωνο : ΖΜ (1) Όως ΖΜ (Ζ + Μ) Ζ + Μ + Μ + Μ Μ +Μ Μ + Μ Οπότε η (1) ίνετι. Ζ Μ
9 11. Έστω τρίωνο ε 7 κι i) Ν δείξτε ότι Ν ρείτε το είδος του τριώνου ως προς τις ωνίες του. i ν ύψος ν ρείτε τον λόο Προτεινόενη λύση i) 3 3 + 3 + (1) Όως 7 7 Οπότε η (1) ίνετι 1 + Επειδή 7 > >, ελύτερη πλευρά στο τρίωνο είνι η, ε 7 κι + + 5 Άρ > +, οπότε το τρίωνο είνι λυώνιο ε > 90 ο i < 90 ο Οπότε + +7 7 7 7 7 7. 3 7
10 1. Στην πλευρά τριώνου θεωρούε τ σηεί κι Ε, έτσι ώστε Ε Ε. είξτε ότι +Ε + 9 Προτεινόενη λύση Στ τρίων Ε κι, οι κι Ε είνι διάεσοι. Άρ + Ε Ε κι Ε + Προσθέτοντς κτά έλη ρίσκουε + Ε Ε + + + Ε + Ε +Ε Ε + + + Ε + Ε + Ε + 3 3 Ε + Ε + 8 9 + Ε + 9
11 13. ν Ε διάεσος ορθοωνίου τριώνου ( 90 ο ), δείξτε ότι i) Ε + 3 ν Ε 1 κι 60 ο, όπου έσο της, ν υπολοίσετε τις πλευρές του. Προτεινόενη λύση i) Ε 3 + + + + + + + 3 + Επειδή διάεσος στην υποτείνουσ, θ είνι, κι δεδοένου ότι 60 ο, το τρίωνο είνι ισόπλευρο ε κό + 3 + πό το (i) έχουε : Ε + 3 Ε 1 + 3 Οπότε κι 6 3
1 1. ν σε τρίωνο ισχύει +, δείξτε ότι i) + Προτεινόενη λύση i) + 3 + + 3 3 + + + + που ισχύει πό υπόθεση ( + ) 3 (1) + + + 3 Οοίως ρίσκουε ότι (1), (), (3) 3 () 3 (3) 3 3 15. Ν ποδείξετε ότι σε κάθε τρίωνο ισχύει Προτεινόενη λύση + > > + > + + > + + > + + > ( + ) > + > που ισχύει πό την τριωνική νισότητ. Οοίως ι την νίσωση >