ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την αθροιστική σχετική συχνότητα F της τιμής Α Πότε μια μεταβλητή λέγεται ποιοτική; Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο A όταν f () f () για κάθε σε μια περιοχή του Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα τότε και τα συμπληρωματικά τους A και B είναι ασυμβίβαστα Αν για τα ενδεχόμενα Α Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει A B τότε P(A) 4 Αν αφαιρέσουμε μια θετική σταθερά από τις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής τότε η διάμεσος μειώνεται κατά τη σταθερά αυτή 5 Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις (0 μονάδες) ΘΕΜΑ Β Σε ένα κουτί υπάρχουν άσπρη και μαύρη μπάλα Κάνουμε το εξής πείραμα: παίρνουμε από το κουτί μία μπάλα καταγράφουμε το χρώμα της και την επανατοποθετούμε στο κουτί Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία έως ότου να έχουν εξαχθεί δύο μπάλες με το ίδιο χρώμα Β Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος ( μονάδες) Β Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α : η δεύτερη μπάλα είναι άσπρη και Β : έχουν εξαχθεί μπάλες μόνο του ίδιου χρώματος Β Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα Β4 Αν τα αποτελέσματα του πειράματος είναι ισοπίθανα να βρείτε τις πιθανότητες: ) P (A) ) P(B ) ) P(A B) ( μονάδες)
ΘΕΜΑ Γ Οι ηλικίες των παικτών μιας ομάδας ποδοσφαίρου έχουν συντελεστή μεταβολής CV 5% ενώ πριν από χρόνια είχαν συντελεστή μεταβολής CV 0% Γ Να βρεθεί η μέση σημερινή ηλικία τους και η τυπική απόκλιση Γ Πριν πόσα χρόνια από σήμερα οι ηλικίες των παικτών είχαν για πρώτη φορά ομοιογένεια; Γ Δείξτε ότι ο τύπος που δίνει τη διακύμανση μορφή μπορεί να πάρει τη Γ4 Αν το άθροισμα των τετραγώνων των σημερινών ηλικιών των παικτών είναι 850 να βρεθεί πόσοι παίκτες απαρτίζουν την ομάδα ποδοσφαίρου Γ5 Αν οι ηλικίες των παικτών ακολουθούν περίπου την κανονική κατανομή τότε να βρείτε το πλήθος των παικτών που έχουν ηλικία: α από 5 χρόνια έως 7 χρόνια β το πολύ 5 χρόνια ( μονάδες) ΘΕΜΑ Δ Έστω {45 } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα A { } και B {4} Αν P(A) P() P() τιμή του σταθμικού μέσου των τιμών αντίστοιχα τότε: Δ Να αποδείξετε ότι Δ Να αποδείξετε ότι P() Δ Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω Δ4 Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου { 9 είναι μικρότερη του εύρους αυτών} 5 P() lm και η πιθανότητα του Β είναι η μέγιστη 4 ln με συντελεστές βαρύτητας ( μονάδες) (8 μονάδες) / η διάμεσος των αριθμών: α
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 και 9 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 58 Α4 Λάθος Λάθος Λάθος 4 Σωστό 5 Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Έστω Α να εξαχθεί άσπρη μπάλα και Μ να εξαχθεί μαύρη Για το δειγματικό χώρο του πειράματος κατασκευάζω το παρακάτω δεντροδιάγραμμα Άρα { ΑΑ ΑΜΑ ΑΜΜ ΜΑΑ ΜΑΜ ΜΜ } Β Είναι Α = { ΑΑ ΜΑΑ ΜΑΜ } και Β = { ΑΑ ΜΜ } Β Είναι A B { ΑΑ } O Άρα τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα Β4 ) P(A) N(A) N( ) ) N(B) άρα N( ) P(B ) ) Είναι A B { ΑΑ ΜΑΑ ΜΑΜ ΜΜ } άρα P(A N(A B) B) N( ) 4 ΘΕΜΑ Γ Γ Έστω ν το πλήθος των παικτών και οι σημερινές ηλικίες των παικτών με μέση ηλικία και τυπική απόκλιση Είναι CV 5% 005 0 05 () Έστω y οι ηλικίες των παικτών πριν από χρόνια
y Άρα y και y Είναι CV 0% 0 0 0 () y ()() => 0 005 075 () => 005 Γ Έστω z c οι ηλικίες των παικτών πριν από c χρόνια Οπότε z c c z και CV c Το δείγμα είναι ομοιογενές όταν CV 0% 0 0c 0c 0 c c Άρα η ηλικία των παικτών είναι ομοιογενής τα τελευταία χρόνια οπότε έγινε για πρώτη φορά ομοιογενής πριν από χρόνια Γ Γ4 Είναι 850 850 850 850 Οπότε 5 57 50 57 Γ5 α Σύμφωνα με την κανονική κατανομή το 8% των παικτών έχουν ηλικία από 5 έως 7 χρόνια Άρα το πλήθος τους είναι 8% 50 4 β Σύμφωνα με την κανονική κατανομή το % των παικτών έχουν ηλικία το πολύ 5 χρόνια Άρα το πλήθος τους είναι % 50 8 ΘΕΜΑ Δ 5 5 5 5 9 Δ lm lm lm 4 ( ) 5 ( ) 5 ( )( ) lm ( ) 4 lm 5 5 4
Άρα P() Δ Ο σταθμικός μέσος των αριθμών είναι Έστω ln με συντελεστές βαρύτητας αντίστοιχα ( ) ( ln ) ln ln 0 f () ln 0 f () ln ln 0 f () 0 ln 0 ln 0 f () 0 ln 0 ln 0 0 άρα f () 0 Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα Άρα ο σταθμικός μέσος γίνεται μέγιστος για και έχει μέγιστη τιμή Οπότε Δ Είναι f () 0 P() P(4) P(4) P(4) Επίσης P(A) P() P() Οπότε P() P() P() P() και P(A) Άρα Τελικά P() P() P() P() P() P() P() P() Είναι 8 P() 9 P() P() 8 Δ4 Είναι άρα 5 () () => P() P() P(4) P(5) P() P(4) P(5) () => 5 0 0 () => 0 7 9 Άρα 9 Οπότε η διάμεσος είναι Είναι Επίσης 8 P() P() 8 P() P(5) P(5) και το εύρος R ( 9) 0 R 0 40 8 9 9 7 4 άρα 4 οπότε Γ = { 4} και 8 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ 9 8 P( ) P() P() P() P(4) 8 ΚΑΣΤΑΝΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ - ΚΑΡΛΕΤΣΗΣ ΝΑΣΟΣ ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΛΕΝΑ 8