Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία αναφοράς), μέσω ενός θερμαντικού στοιχείου (ηλεκτρική αντίσταση). Για τον έλεγχο της λειτουργίας του θερμοσίφωνα χρησιμοποιούνται ένας αισθητήρας για τη μέτρηση της πραγματικής θερμοκρασίας του νερού και ένας θερμοστάτης που περιλαμβάνει διμεταλλικό διακόπτη. Ο θερμοστάτης συγκρίνει την επιθυμητή με την πραγματική θερμοκρασία του νερού και όταν η πραγματική θερμοκρασία είναι χαμηλότερη της επιθυμητής, κλείνει το διμεταλλικό διακόπτη, οπότε ενεργοποιείται το θερμαντικό στοιχείο και θερμαίνει το νερό. Όταν η πραγματική θερμοκρασία του νερού είναι ίση ή μεγαλύτερη της επιθυμητής, ανοίγει ο διμεταλλικός διακόπτης και το θερμαντικό στοιχείο είναι ανενεργό. Να προσδιοριστούν η είσοδος, η έξοδος και όλα τα δομικά στοιχεία του συστήματος και να σχεδιαστεί το αντίστοιχο λειτουργικό δομικό διάγραμμα του σχήματος. Είσοδος (κρύο νερό) Έξοδος (ζεστό νερό) νερό Αισθητήριο Θερμοκρασίας Ηλεκτρική Αντίσταση Θερμοστάτης (Διμεταλλικός Διακόπτης) Ρυθμιστής Θερμοκρασίας Αναφοράς Λύση Ένα σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου με ενεργοποιητή περιγράφεται γενικά από το παρακάτω δομικό λειτουργικό διάγραμμα: Είσοδος (σήμα εισόδου αναφοράς) + _ Σφάλμα Διάταξη ελέγχου Ενεργοποιητής Ελεγχόμενη Διεργασία (Σύστημα) Έξοδος (ελεγχόμενη μεταβλητή) Αισθητήρας (Μέτρηση εξόδου) Σήμα ανάδρασης Στην περίπτωση του ηλεκτρικού θερμοσίφωνα το ελεγχόμενο σύστημα είναι το νερό, η διάταξη ελέγχου είναι ο θερμοστάτης, ο ενεργοποιητής είναι η ηλεκτρική αντίσταση (που θερμαίνει το νερό) και η μέτρηση της εξόδου γίνεται με το αισθητήριο θερμοκρασίας. Επομένως, το ζητούμενο δομικό λειτουργικό διάγραμμα είναι το παρακάτω: θ 0 Θερμοκρασία αναφοράς θ Θερμοστάτης Ηλεκτρική αντίσταση Νερό θ Θερμοκρασία νερού Αισθητήριο θερμοκρασίας
ΘΕΜΑ 2 Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό διάγραμμα. F 2 (s) 2. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο διάγραμμα ροής σημάτων και να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος με εφαρμογή του κανόνα του Mason. Λύση. Για διευκόλυνση, επανασχεδιάζουμε το δομικό διάγραμμα ως ακολούθως: F 2 (s) Υπάρχουν διάφοροι μετασχηματισμοί που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ενδεικτικά παρουσιάζεται η παρακάτω σειρά: F 2 (s) + G 4 (s) G 4 (s) + F 2 (s) Μετακινώντας το σημείο άθροισης αριστερά και το σημείο λήψης δεξιά, έχουμε:
/ G 4 (s) / F 5 (s) G 5 (s) F 4 (s) F 5 (s) / G 5 (s) G 4 (s) /[ + F 2 (s)] F 4 (s) / Παρατηρούμε ότι οι κλάδοι F 4 (s) και F 5 (s) είναι παράλληλοι, οπότε έχουμε F 6 (s) F 4 (s) + F 5 (s) και καταλήγουμε στο ακόλουθο δομικό διάγραμμα: G 5 (s) F 6 (s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς θα είναι: H(s) G 5 (s) + G 5 (s)f 6 (s) + F 2 (s) + G (s) + F 2 (s) [F 4(s) + F 4 (s)] + F 2 (s) + G (s) + F 2 (s) [F (s) + F 3(s) ] + F 2 (s) + G (s) + F 2 (s) [G (s) + ]
+ G 2 (s)f 2 (s) G + 2 (s) + F 2 (s) [G (s) + ] + F 2 (s) + G 2(s)[ + ] + F 2 (s) + F 2 (s) + F 2 (s) + [ + ] + F 2 (s) ή H(s) + + + 2. Ορίζουμε τα σήματα στο δομικό διάγραμμα, τα οποία θα αντιστοιχούν στους κόμβους του διαγράμματος ροής σημάτων: R 3 (s) E (s) E 2 (s) E 3 (s) E 4 (s) R 2 (s) F 2 (s) R (s) Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: E 4 (s) E 4 (s) E 3 (s) E 3 (s) E 2 (s) R 2 (s) R 3 (s) E 2 (s) E 4 (s)f 2 (s) E 2 (s) E (s) E (s) Χ(s) R (s) Χ(s) E 4 (s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: E (s) E 2 (s) E 3 (s) E 4 (s) F 2 (s)
Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος, ο E (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s), με απολαβή: Q (s) Υπάρχουν τρεις βρόχοι: Βρόχος : E (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e (s), Βρόχος 2: E 3 (s)e 4 (s)e 3 (s), και Βρόχος 3: E 3 (s)e 4 (s)e 3 (s), με απολαβές αντίστοιχα: B (s) [] B 2 (s) [F 2 (s)] F 2 (s) B 3 (s) [] Παρατηρούμε ότι, όλοι οι βρόχοι ανά δύο, έχουν κοινούς κόμβους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 0 και ΣL 3 0. Οπότε έχουμε: Δ(s) ΣL [B (s) + B 2 (s) + B 3 (s)] [ F 2 (s) ] + + F 2 (s) + Επίσης παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι, αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επομένως: Δ (s) Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: ή H(s) Δ (s)q (s) Δ(s) H(s) + + + ΘΕΜΑ 3 Ο (3,0 μονάδες) Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: y (t) + 6y (t) + 8y(t) x(t) όπου x(t) η είσοδος και y(t) η έξοδος του συστήματος. Να προσδιοριστούν η συνάρτηση μεταφοράς, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και η κρουστική απόκριση του συστήματος.
Λύση Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ή s 2 + 6s + 8 [s 2 + 6s + 8] Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: H(s) s 2 + 6s + 8 και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: P(s) s 2 + 6s + 8 Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: s 2 + 6s + 8 0 Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού, δηλαδή η απόκριση του συστήματος όταν η είσοδος είναι η κρουστική συνάρτηση, αφού x(t) δ(t) και L{x(t)} L{δ(t)} : H(s) Y δ (s) Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): y δ (t) L {Y δ (s)} L {H(s)} Επιλύοντας τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος, προκύπτουν οι πόλοι του συστήματος: Επομένως: Y δ (s) Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε: Y δ (s) Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα ακόλουθα: π 4 και π 2 2 (s π )(s π 2 ) (s + 4)(s + 2) c (s + 4) + c 2 (s + 2) c (s + 4) + c 2 (s + 2) (s + 4)(s + 2) (s + 2)c + (s + 4)c 2 sc + 2c + sc 2 + 4c 2 s(c + c 2 ) + 2c + 4c 2 (c + c 2 ) 0 και 2c + 4c 2 c c 2 και 2c 2 + 4c 2 c /2 και c 2 /2 Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε τις σταθερές c και c 2 ως ακολούθως: c [(s + 4)Y δ (s)] s 4 [(s + 4) (s + 4)(s + 2) ] [ s 4 (s + 2) ] s 4 ( 4 + 2) 2
c 2 [(s + 2)Y δ (s)] s 2 [(s + 2) (s + 4)(s + 2) ] [ s 2 (s + 4) ] s 2 ( 2 + 4) 2 Επομένως: Y δ (s) 2 (s + 4) + 2 (s + 2) 2 Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: y δ (t) L {Y δ (s)} L [ 2 (s + 2) 2 (s + 2) 2 (s + 4) (s + 4) ] 2 L [ (s + 2) ] 2 L [ (s + 4) ] και, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: y δ (t) 2 e 2t 2 e 4t ΘΕΜΑ 4 Ο (3,0 μονάδες) Δίνεται ένα γραμμικό σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου με συνάρτηση μεταφοράς του ελεγχόμενου συστήματος (δυναμική του συστήματος) G(s) /(s + 3)(s + 2), μοναδιαία αρνητική ανάδραση και ελεγκτή G c (s) /s.. Να προσδιοριστεί το απαιτούμενο εύρος τιμών της παραμέτρου ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. 2. Να υπολογιστούν οι σταθερές σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης, καθώς και τα αντίστοιχα σφάλματα. 3. Εάν η είσοδος του συστήματος είναι συνάρτηση ράμπας μοναδιαίας κλίσης, να προσδιοριστεί η απολαβή ώστε το σφάλμα μόνιμης κατάστασης να είναι μικρότερο του 0%. Λύση. Το δομικό λειτουργικό διάγραμμα του συστήματος κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση είναι το ακόλουθο: G C (s) G(s) + s (s+3)(s+2) Ρυθμιστής Ελεγχόμενο σύστημα Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: G C (s)g(s) H(s) + F(s)G C (s)g(s) s (s + 3)(s + 2) + s (s + 3)(s + 2) s(s + 3)(s + 2) + και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι: P(s) s(s + 3)(s + 2) + s 3 + 5s 2 + 6s + Άρα, η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: s 3 + 5s 2 + 6s + 0 s(s + 3)(s + 2) s(s + 3)(s + 2) + s(s + 3)(s + 2)
Για να προσδιορίσουμε το εύρος τιμών του ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές εφαρμόζουμε το κριτήριο Routh: s 3 a n a n2 a n4 s 2 a n a n3 a n5 s b b 2 s 0 c όπου: a n 2 a n a n 3 a n a n 4 a n a n 5 b a n, b a 2, c n a n Για να έχουμε ευστάθεια θα πρέπει: a n, a n, b, c >0 a n a n 3 b b 2 Από τα δεδομένα έχουμε: a n, a n 5, a n2 6, a n3, a n4 0, a n5 0 και προκύπτουν: 6 b 5 ( 30) 30 5 5 5 0 b 2 5 0 0 5 5 b c 0 (0 b ) b b b b Επομένως ο πίνακας Routh είναι ο ακόλουθος: s 3 6 0 s 2 5 0 s 30 5 0 s 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει: >0 και 30 > 0 30 > 0 < 30 5 b Άρα, θα πρέπει: 0 < < 30 2. Υπολογισμός σταθερών σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης: p lim G c (s)g(s) lim s 0 s 0 s(s + 3)(s + 2) 0 v lim sg c (s)g(s) lim s 0 s 0 (s + 3)(s + 2) 6 a lim s 2 s G c (s)g(s) lim s 0 s 0 (s + 3)(s + 2) 0 6 0
Υπολογισμός σφαλμάτων θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης: e p A + p 0 e v A v 6A e a 2A a 3. Αφού η είσοδος του συστήματος είναι συνάρτηση ράμπας μοναδιαίας κλίσης θα έχουμε Α και e ss e v. Επομένως: Για να έχουμε e ss < 0% θα πρέπει: e ss e v 6 e v 6 < 0 00 ή > 60 Βρήκαμε ότι, για να είναι το σύστημα ευσταθές, θα πρέπει 0 < < 30. Επομένως, δεν είναι δυνατό να έχουμε σφάλμα μόνιμης κατάστασης μικρότερο του 0% και το σύστημα να είναι ευσταθές.