ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτµατισµύ Συστήµατα Αυτµάτυ Ελέγχυ ΙΙ Ασκήσεις Πράξης. Καλλιγερόπυλς Σ. Βασιλειάδυ Χειµερινό εξάµην 8/9
Ασκήσεις Μόνιµα Σφάλµατα & Κριτήρια ευστάθειας Άσκηση.. ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφράς: G ( 4 + + 6 α) Βρείτε τυς φυσικύς συντελεστές: A ω, ζ και τυς πόλυς, τυ συστήµατς. β) Υπλγίστε την υπερύψωση υ της βηµατικής τυ απόκρισης y (t), καθώς και τν, χρόν t m και την µέγιστη τιµή y m πυ αντιστιχεί σε αυτόν. γ) Υπλγίστε πρσεγγιστικά τυς χρόνυς απκατάστασης T και ανύψωσης T r. Λύση α) Η συνάρτηση µεταφράς συστήµατς δεύτερης τάξης είναι: Aω + ζω + ω Εφόσν: G ( 4 + + 6 Έχυµε: ω 6 άρα ω 4 4 4 Aω 4 άρα A, 5 ω 6 ζω άρα ζ, 75 8 ω Οι πόλι πρκύπτυν από τη σχέση: + + 6 Άρα:,5 ±,5 6,5 ±, 7 σ, 5 και ω, 7, j β) Υπερύψωση: ζπ ζ σπ ω,5π,7 u e e e πότε: u, 8 π π σε χρόν: t m, 85, y m A( + U ),5,8, ω,7 4 4 γ) Χρόνς απκατάστασης: T, 67 ζω,75 4 για ε % +,5ζ +,5,75 Χρόνς ανύψωσης: T r, 48 ω 4
Άσκηση.. ίνεται κλειστό σύστηµα ελέγχυ: α) Υπλγίστε τ µόνιµ σφάλµα ταχύτητας και θέσης τυ συστήµατς για K 8 και K 6. β) Πια η τιµή τυ κέρδυς K όταν τ µόνιµ σφάλµα είναι e. και e Λύση K α) G ( άρα: ( + ) K A, a Μόνιµ σφάλµα θέσης: e για κάθε K Μόνιµ σφάλµα ταχύτητας: e A K 6 Για K 8: A 5., e, 88 Για K 6 : A, 66, e, 94 β) Αντίστρφα: e K ή K e εάν e, K 5, εάν e, K 7, 5,
Άσκηση.. 5 4 α) ίνεται χαρακτηριστικό πλυώνυµ: Q ( + 7 + 9 4 + Εξετάστε κατά Routh την ευστάθεια τυ. 5 4 β) ίνεται χαρακτηριστικό πλυώνυµ: Q ( + + + 4 8 + Εξετάστε κατά Routh την ευστάθεια τυ (εψιλντικό). γ) ίνεται χαρακτηριστικό πλυώνυµ: Q ( ( + 4)( + ) + K( ) Εξετάστε κατά Routh για πια K (θετικά ή αρνητικά) είναι ευσταθές (παραµετρικό). δ) ίνεται χαρακτηριστικό πλυώνυµ: Q ( ( + a) ( + ) + K( ) Εξετάστε κατά Routh για πια Σχεδιάστε τ πεδί ευστάθειας. Λύση 5 4 α) Έχυµε: Q ( + 7 + 9 4 + O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: a, K (θετικά) είναι ευσταθές (διπλό παραµετρικό). () () 5 4 d b c e 7 5.7 ε > 9 b 5.7 4 Οπότε: b ( 9 ) 5, 7, b ( + 8) 5, 7 7 7 c ( 4 + 8,), 5,7 c, d (68,4 68,4), e Έχυµε δύ αλλαγές πρσήµυ (), () στυς συντελεστές Routh. Άρα τ σύστηµα είναι ασταθές µε δύ ασταθείς πόλυς. 4
5 4 β) Έχυµε: Q ( + + + 4 8 + O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: 5 8 4 4 b ε > b 4 8 c > ε () d 4 () e Οπότε: b (4 4), b ( + 6) 4 8 ε 9 c ( 8 4ε ) >, d (ε + ) 4 ε ε 8 ε Έχυµε δύ αλλαγές πρσήµυ (), () στυς συντελεστές Routh. Άρα τ σύστηµα είναι ασταθές µε δύ ασταθείς πόλυς. γ) Έχυµε: Q ( ( + 4)( + ) + K( Q ( + (8 + K) + ( K) + 6 + K O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: ) 8 + K b 6 + K K 6 + K όπυ b (6 + K (8 + K)( K) (K K 44), 8 + K 8 + K K K 44 K, ± 9 + 5 4 ± 4, + 9, 4 7,8 b ( K 9,)( K + 7,8) 8 + K Πρέπει να ισχύυν ι ανισότητες: 8 + K > άρα K > 8, b > άρα ( K 9,)( K + 7,8) < ή 9, < K < 7, 8 6 + K > άρα K > 6 Οπότε: 8 < K < 7, 8 5
δ) Έχυµε: Q ( ( + a) ( + ) + K( ) Q( + (a + ) + ( a O πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: + a + K) + a K a + > a b > K > a + a + K a K b, όπυ a + a K (a + )( a + a + K) a 4a a ( a + ) K ( a + )( a( a + ) + K) Πρέπει a + > a K > ή K < a και ( a + )( a( a + ) + K) > ή K > a( a +) Σχεδιάζυµε τις παραβλές K a a K a και ( +), εντπίζυµε τα πεδία των παραπάνω ανιστήτων για ( a, K) (σκιαγραφηµέν). a, K θετικά και ρίζυµε τ πεδί ευστάθειας στ επίπεδ a K a K a( a +) - 4-6 6
Ασκήσεις (Τεστ) Άσκηση.. Ευστάθεια και µόνιµ σφάλµα ίνεται κλειστό σύστηµα ελέγχυ µε συνάρτηση µεταφράς ανιχτύ συστήµατς: ( Κ ) + K G ( ( + K + ) α) Εξετάστε την ευστάθεια τυ συστήµατς κατά Routh και βρείτε για πια Κ είναι ευσταθές τ κλειστό σύστηµα β) Θεωρώντας ως είσδ: r ( t).t υπλγίστε για πι Κ θα έχει τ κλειστό σύστηµα µόνιµ σφάλµα: e. 4 Λύση α) Ευστάθεια: Τ χαρακτηριστικό πλυώνυµ τυ κλειστύ συστήµατς είναι: Q( ( + Κ + ) + ( K ) + K + ( Κ + ) + ( K ) + K Ο πίνακας και ι συντελεστές Routh είναι: K + > b > K > K K όπυ b (K ( K + )( K )) K + K K K + K K K, ±.4 ±.4.4 Άρα: ( K.4)( K +.4) b K + Για να είναι ευσταθές τ σύστηµα πρέπει: K > άρα K >, πότε K + > και K +.4 > Άρα b > όταν K.4 >. Οπότε τ σύστηµα είναι ευσταθές όταν: K >. 4 7
β) Μόνιµ σφάλµα ς τρόπς: Με υπλγισµό τυ µόνιµυ σφάλµατς: e R( lim E( lim +.6 R (. e.6 lim ( K ) + K + ( + K + ) lim.6 ( K ) + K + ( + K + ) ή e.6.6( K + ) lim K K K +.6( K + ) Πρέπει: e. 4 ή. 4 K Άρα K ή.6k +.6. 8K ή.k. 6 ς τρόπς: Με χρήση τυ πίνακα: Μόνιµ σφάλµα επιτάχυνσης για: Άρα για: r ( t).t r ( t) t 6 e A Α K Η ενίσχυση της είναι: A, άρα e K + Πρέπει: e. 4 Άρα K e A.6( Κ + ) Κ 8
Άσκηση.. Τόπς ριζών ίννται δύ κλειστά συστήµατα ελέγχυ: G ( ( + ) G ( + ( 4) α) Σχεδιάστε τυς δύ τόπυς ριζών. Υπλγίστε όπυ υπάρχυν σηµεία διακλάδωσης και σηµεία τµής µε τν φανταστικό άξνα. β) Υπλγίστε για πια K, K θα έχυν τα δύ κλειστά συστήµατα τυς ίδιυς πόλυς. γ) Υπλγίστε για K K 6 τυς πόλυς των δύ κλειστών συστηµάτων. Λύση α) Τ σύστηµα G ( έχει: πόλυς:, και m ρίζες. ( + ) Οι ασύµπτωτες είναι: m και ισχύει: S ασ., φ ασ. 9 7 + Τ σύστηµα G ( έχει πόλυς:, 4, m ρίζα z ( 4) Σηµεία διακλάδωσης: d, πότε ( 4 ( + )( 4) d 4 + 4 8 4 + 4 + 8, ± Σηµεία τµής µε τ φανταστικό άξνα:.4 4 + 8 ±.4 5.4 Q ( + K 4 + K ( + ) + ( K 4) Για Q jω είναι: ( jω ) ω + ( K 4) jω + K ή πότε πρέπει: K ω και K 4 δηλαδή ω 8 και ω. 8 9
β) Σηµεία τµής των τόπων ριζών: Q ( + K ( + ) + K + Q ( + K + ( K 4)! ( Πρέπει Q Q ( ) : Άρα K 4, K K ή K 6 και K Οπότε: Q ( + και ι κινί πόλι: ± ±. +, j γ. Για κινό Κ: K K 6 : Q ( + + 6, ± 6 ± j.
Ασκήσεις Σύνθεση µε τη µέθδ τυ τόπυ ριζών Άσκηση.. ίννται χρνικές πρδιαγραφές: υπερύψωση: υ %, χρόνς απκατάστασης: T ec και µόνιµ σφάλµα θέσης: e %. Βρείτε: α) τυς φυσικύς συντελεστές ζ, ω, β) τυς επιθυµητύς πόλυς, και τη θέση τυς στ µιγαδικό επίπεδ, γ) την επιθυµητή ενίσχυση A τυ ανιχτύ και ' A τυ κλειστύ συστήµατς ελέγχυ, δ) την λική συνάρτηση µεταφράς G ( ) τυ επιθυµητύ πρτύπυ. Λύση α) Συντελεστής απόσβεσης: ζ l l. u + π l l.. + π.6.46 <.5 4 4 υσική συχνότητα: ω 4. 5 ζ T.46, φ τξσυνζ 6 β) Επιθυµητί πόλι: ζω ± jω ζ 4 γ) Επιθυµητή ενίσχυση:, ± j Από τ σφάλµα θέσης υπλγίζυµε την ενίσχυση τυ ανιχτύ συστήµατς: e + A A e. 9 Και η ενίσχυση τυ κλειστύ συστήµατς είναι: A A 9 ' + A.9 δ) Ολική συνάρτηση µεταφράς πρτύπυ: ( Aω.9 4.5 G + ζω + ω +.46 4.5 + 4.5 7 + 4 + 9
Άσκηση.. ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφράς: G ( ( ) α) Για να εξασφαλίσετε επιθυµητή ενίσχυση (ανιχτύ συστήµατς): A υπλγίστε ελεγκτή P ή Lag. β) Για να εξασφαλίσετε επιθυµητύς πόλυς ± 4 υπλγίστε ελεγκτή PD, PI ή Lead., j γ) Για να εξασφαλίσετε και τις δύ παραπάνω πρδιαγραφές πρσθέστε τν κατάλληλ ελεγκτή Lag. Σε όλες τις περιπτώσεις διερευνήστε την ευστάθεια τυ λικύ συστήµατς ελέγχυ. Λύση α) Τ σύστηµα: G ( έχει διπλό ασταθή πόλ, ( ) + Τόπς ριζών και επιθυµητί πόλι: Επιθυµητή ενίσχυση: A Ελεγκτής P: K C ( K, άρα C ( ( )! Ενίσχυση: A K A K 5
Ελεγκτής Lag: + z' ( + z') C(, άρα C ( + ' ( + ')( ) ' z! ' ' Ενίσχυση: A A z ' ή z ' 5 ', λ 5 Για '. είναι z '. 5 και +.5 C ( +. ιερεύνηση πόλων: Με ελεγκτή αναλγίας: Τ κλειστό σύστηµα είναι ασταθές για όλα τα K. Με ελεγκτή Lag: Τ χαρακτηριστικό πλυώνυµ και πίνακας Routh είναι: Q ( ( +.)( + ) + ( +.5).9 +.8 +..9 b >. >.8. όπυ b (. +.8 9).4 >,.9 Άρα τ κλειστό σύστηµα έχει ασταθείς πόλι Οπότε και ι δύ ελεγκτές εξασφαλίζυν την επιθυµητή ενίσχυση αλλά τ σύστηµα ελέγχυ είναι ασταθές. β) Εξασφάλιση των επιθυµητών πόλων: ± 4, j K( + z) Ελεγκτής PD: C ( K( + z), άρα C( ( ) Κριτήρι γωνιών: + 8 z z 74 4 8 τξεφ 7 4 4 εφ 74 z εφ.49 z + z.49 Κριτήρι µέτρων: K z 5.5 8 4 + 5 και z 4 + 4 Άρα C (.5( + ), απδεκτός ελεγκτής
ιερεύνηση ευστάθειας: K( + z) G'( C( ( ) 6.5( + ) ( ) Τ χαρακτηριστικό πλυώνυµ και πίνακας Routh είναι: Q ( ( ) + 6.5( + ) + 4.5 + 9.75 4.5 9.75 9.75 Άρα τ κλειστό σύστηµα ελέγχυ µε ελεγκτή PD είναι ευσταθές. ( + z) K( + z) Ελεγκτής PΙ: C( K, άρα C( ( ) Κριτήρι γωνιών: 7 4 8 τξεφ 6.6 8 + + z z 9 Ο ελεγκτής απρρίπτεται εφόσν πρέπει z < 8 Ελεγκτής Lead: ( + z) K( + z) C( K, άρα C( ( + ) ( + )( ) Κριτήρι γωνιών: + + 8 z, 7 Άρα 74 + z 74 < 8 < z ή, < < 6.6 74 < 6 < z για z> Από τν ελεγκτή PD για 74 z Άρα πρέπει <z<, επιλέγω z: z Κριτήρι γωνιών: 8 + + z 4 Άρα εφ 6 εφ.9 6, ευσταθής πόλς απδεκτός 6 4
Κριτήρι µέτρων: 5, 4 + 4 4. 5, z 4 K z 45. ( + ) Άρα ελεγκτής Lead: C ( 45, : ( + 6) K( + ) ιερεύνηση ευστάθειας: C( ( + 6)( ) Τ χαρακτηριστικό πλυώνυµ και πίνακας Routh είναι: Q ( ( ) ( + 6) + K( + ) ( + )( + 6) + K 4K + Q ( + 4 + (K ) + 4K + 6 b 4 > 4K + 6 K 4K + 6 b (4K + 6 8K + 44).7K, 4 c 4K + 6 > Άρα.7K > K > 8. 8 και 4K > 6 K > 4 Ευσταθές για Κ>8.8, άρα ελεγκτής Lead απδεκτός. γ) Επιθυµητή ενίσχυση Α και επιθυµητί πόλι: 6.5( + ) Ελεγκτής PD: C (.5( + ), άρα C( ( ) Α 8.75 > Α άρα δεν χρειάζεται διόρθωση. Ελεγκτής Lead: ( + ) 9.6( + ) C ( 45,, άρα C ( ( + 6) ( + 6)( ) Α.5 > Α άρα δεν χρειάζεται διόρθωση. 5
Άσκηση 4 ιαγράµµατα Nyquit Σχεδιάστε τα διαγράµµατα Nyquit των συστηµάτων: ( + ).. G ( ( + ) 8. G ( ( + ) Ειδικότερα: α) Βρείτε την αρχική και την τελική φάση:, και σχεδιάστε τα σκαριφήµατα των διαγραµµάτων. β) Υπλγίστε ασύµπτωτες και σηµεία τµής µε τν πραγµατικό και τν φανταστικό άξνα, όπυ υπάρχυν. γ) Εξετάστε την ευστάθεια των αντίστιχων κλειστών συστηµάτων κα βρείτε τα ριακά µεγέθη K,ω. Λύση ( + ) 4. µε χαρακτηριστικά: a και m Έχυµε: Για π π () a, jω ( ) π π ( m). ( jω + ) jω) jω jω (4 ω + 4 jω) 4 j 6 ω jω 4ω ω 4 4 ω ReG : ImG ω ω ω : Re G Im G + ω : ReG ImG ω Τµή µε πραγµατικό άξνα: Im G για 4 ω, άρα ω Οπότε: x Re ω ) και ριακό K : K x 6
Τ διάγραµµα Nyquit είναι: Τ κλειστό σύστηµα είναι ευσταθές για K < K 4. G ( µε χαρακτηριστικά: a και m ( + ) Έχυµε: Για π π () a +, jω ( ) π π ( m) +. jω jω) ( jω + ) jω ( jω) (4 + ω) jω (4 ω 4 jω) (4 + ω) 5 4 4 jω + jω 4ω ) (4 + ω) Re 4ω (4 + ω ) ( 4 + ω ) ω (4 + ω ) ω 4 G : ImG ω : ReG ImG ω : ReG 4 Im G + Τµή µε πραγµατικό άξνα: Im G για ω 4, άρα ω Οπότε: x Re ω ) ριακό K : K x 7
Τ διάγραµµα Nyquit είναι: Τ κλειστό σύστηµα είναι ευσταθές για K < K 8 4. G ( µε χαρακτηριστικά: a και m 4 ( + ) Οπότε: π π ( ) a π, ( ) ( m) π. Για jω 8 jω) ω ( jω + ) 8( jω) ω (4 + ω ) 8(4 ω 4 jω) 8ω jω ω (4 + ω ) ω (4 + ω ) Re 8ω G ω ( ω + 4) : ImG ω (4 + ω ) ω : Re G Im G + ω : Re G + ImG + Τµή µε φανταστικό άξνα: Re G για 8ω, άρα ω Οπότε: y Im ω ). 5 8
Τ διάγραµµα Nyquit είναι: Τ διάγραµµα Nyquit περικλείει τ -, άρα τ κλειστό σύστηµα είναι ασταθές για όλα τα Κ. 9