ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 4 DSefano [995]: Chaper 9 & Tewar [5]: Chaper : Secon.3,.5-.7 6 Ncola Tapaoul
Εισαγωγή - Στόχοι Ανάλυσης Με τον όρο ανάλυση Σ.Α.Ε εννοούµε τον προσδιορισµό της εξόδου µε δεδοµένα τη µαθηµατική περιγραφή του συστήµατος µοντέλο και την είσοδο. Η ανάλυση ενός συστήµατος µας δίνει τη δυνατότητα να προβλέψουµε θεωρητικά τη συµπεριφορά του σε κάθε είδος εισόδου Στόχοι της ανάλυσης ενός Σ.Α.Ε είναι: Ο προσδιορισµός του βαθµού ευστάθειας του συστήµατος Για ευσταθή συστήµατα ο προσδιορισµός της ευρωστίας τους δηλαδή η διερεύνηση του πόσο κοντά είναι στο να περιπέσουν σε αστάθεια Την εύρεση της συµπεριφοράς του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση µετά την απόσβεση των µεταβατικών φαινοµένων Την εύρεση της συµπεριφοράς του συστήµατος κατά τη διάρκεια του µεταβατικού φαινοµένου 6 Ncola Tapaoul Παράδειγµα: Μορφές βηµατικής απόκρισης.5 Sep Repone Το διπλανό σχήµα δίνει την βηµατική απόκριση ορισµένων συστηµάτων Amplude.5.5 Με πράσινο εµφαίνεται ένα ασταθές, ταλαντούµενο σύστηµα Με µπλε εµφαίνεται ένα ασταθές, µη ταλαντούµενο σύστηµα Με κόκκινο εµφαίνεται ένα ευσταθές, ταλαντούµενο σύστηµα Με κυανό εµφαίνεται ένα ευσταθές, µη ταλαντούµενο σύστηµα -.5 4 6 8 4 6 8 Tme ec 6 Ncola Tapaoul
Μέθοδοι Ανάλυσης Οι µέθοδοι ανάλυσης που εφαρµόζονται στα Σ.Α.Ε σχετίζονται µε τον τρόπο περιγραφής τους µαθηµατικό µοντέλο. Οι κλασικές µέθοδοι ανάλυσης είναι κυρίως γραφικές διαγράµµατα και διαιρούνται σε µεθόδους στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας: Γεωµετρικός τόπος ριζών πεδίο χρόνου ιαγράµµατα Bode πεδίο συχνότητας ιαγράµµατα Nyu πεδίο συχνότητας ιαγράµµατα Nchol πεδίο συχνότητας Οι σύγχρονες µέθοδοι ανάλυσης είναι αναλυτικές όχι διαγραµµατικές και εφαρµόζονται κυρίως σε συστήµατα αυτοµάτου ελέγχου τα οποία περιγράφονται κυρίως µε εξισώσεις κατάστασης και οολκληρωδιαφορικές εξισώσεις Πρέπει να σηµειωθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις η εύρεση της χρονικής απόκρισης ενός συστήµατος για ειδικές µορφές εισόδου βηµατική, κρουστική, ράµπας, ηµιτονοειδή µας παρέχει σχεδόν όλες τις απαιτούµενες πληροφορίες για την ανάλυση Σ.Α.Ε. Επειδή η εύρεση της χρονικής απόκρισης µε αναλυτικό τρόπο δεν είναι εύκολη για Σ.Α.Ε µε τάξη µεγαλύτερη από δύο οι διαγραµµατικές τεχνικές ανάλυσης διατηρούν την αξία του 6 Ncola Tapaoul Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε Η γενική δοµή ενός κλειστού συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου εµφαίνεται στο επόµενο σχήµα. G είναι η συνάρτηση µεταφοράς του ανοικτού συστήµατος συνήθως του προς έλεγχο συστήµατος F είναι η συνάρτηση µεταφοράς του κλάδου ανατροφοδότησης συνήθως του αντισταθµιστή που σχεδιάζεται έτσι ώστε να προσδώσει στο σύστηµα την είσοδο U Η έξοδος του ανοικτού συστήµατος ο µετασχηµατισµός Laplace της εξόδου δίνεται από τη σχέση: Υ ο GΩ Η έξοδος του κλειστού συστήµατος δίνεται από τη σχέση: G Y Ω + G F 6 Ncola Tapaoul 3
Ανοικτά και Κλειστά Σ.Α.Ε ΙΙ Οι διαγραµµατικές τεχνικές ανάλυσης Σ.Α.Ε εξετάζουν απεικονίζουν τη συµπεριφορά της συνάρτησης GΩ η οποία είναι γνωστή και ως συνάρτηση µεταφοράς βρόχου Αποδεικνύεται ότι το κλειστό σύστηµα είναι: Λιγότερο ευαίσθητο στην ακρίβεια µοντελοποίησης του προς έλεγχο συστήµατος δηλαδή στη µεταβολή του G Λιγότερο ευαίσθητο στην επίδραση αθροιστικού θορύβου Περισσότερο ευαίσθητο στις µεταβολές του κλάδου ανατροφοδότησης δηλαδή στις µεταβολές της F. Με βάση αυτή τη παρατήρηση προκύπτει ότι η σχεδίαση του αντισταθµιστή πρέπει να γίνεται πολύ προσεκτικά 6 Ncola Tapaoul Παράδειγµα Στο κλειστό σύστηµα του σχήµατος έχουµε G F +.8 Sep Repone Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος είναι H + + Amplude.6.4. Παρατηρούµε ότι το κλειστό σύστηµα πράσινη καµπύλη προσεγγίζει τη τιµή της εισόδου στη µόνιµη κατάσταση σε αντίθεση µε το ανοικτό µπλε καµπύλη.8.6.4. 5 5 5 3 35 4 Tme ec 6 Ncola Tapaoul 4
Παράδειγµα ΙΙ Η γενικότερη δοµή ενός κλειστού συστήµατος φαίνεται στο διπλανό σχήµα Amplude 3.5 3.5.5 Sep Repone Η ύπαρξη του ρυθµιστή R είναι πολλές φορές απαραίτητη για τη ρύθµιση της συµπεριφοράς του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση για παράδειγµα το R µπορεί να είναι απλά ένας ενισχυτής για τη ρύθµιση του κέρδους Έστω το σύστηµα µοναδιαίας ανατροφοδότησης F: G F R + 9 Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος είναι: H + 9 +.5 5 5 5 3 Tme ec Παρατηρούµε ότι το κλειστό σύστηµα πράσινη καµπύλη προσεγγίζει τη τιµή της εισόδου στη µόνιµη κατάσταση σε αντίθεση µε το ανοικτό µπλε καµπύλη το οποίο είναι ασταθές 6 Ncola Tapaoul Τύποι Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου Η συµπεριφορά των κλειστών Σ.Α.Ε στη µόνιµη κατάσταση µετά την απόσβεση του µεταβατικού φαινοµένου προσδιορίζεται από τον τύπο τους. Ένα κλειστό σύστηµα ονοµάζεται σύστηµα τύπου όταν η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου GF έχει πόλους στο σηµείο, δηλαδή η GF έχει τη γενική µορφή: m + z G F + p Το κλειστό σύστηµα του προηγούµενου παραδείγµατος µε: G F + 9 είναι τύπου γιατί G F + 9 6 Ncola Tapaoul 5
6 6 Ncola Tapaoul Παράδειγµα Να βρεθεί ο τύπος των πιο κάτω κλειστών συστηµάτων ΑΠ: Τύπου,, αντίστοιχα 6 Ncola Tapaoul Όπως έχει ήδη αναφερθεί τα ΓΧΑ Σ.Α.Ε περιγράφονται από σχέσεις της µορφής: Εφαρµόζοντας µετασχηµατισµό Laplace στην παραπάνω σχέση βλέπε Ιδιότητα προκύπτει: από την οποία λύνοντας ως προς Y παίρνουµε: Χρονική Απόκριση m n d u d b d y d a m n k k k k d u d U b d y d Y a n n k k k k n m n m a d y d a d u d U a b Y
Χρονική Απόκριση ΙΙ Η έξοδος y λαµβάνεται υπολογίζοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace της Y. Ο πρώτος και δεύτερος όρος στην παραπάνω σχέση αντιστοιχούν στη διεγερµένη απόκριση του συστήµατος forced repone ενώ ο τρίτος στην ελεύθερη απόκριση free repone. Είναι φανερό ότι η διεγερµένη απόκριση εξαρτάται από την είσοδο που επιβάλλεται στο σύστηµα προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος ενώ η ελεύθερη απόκριση εξαρτάται από την αρχική εσωτερική κατάσταση του συστήµατος προφανώς και από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Το τµήµα εκείνο της εξόδου το οποίο φθίνει µε το χρόνο ονοµάζεται µεταβατική απόκριση ή µεταβατικό φαινόµενο. Το τµήµα της εξόδου που παραµένει σε µια σταθερή µορφή µετά την πάροδο αρκετά µεγάλου χρονικού διαστήµατος ονοµάζεται µόνιµη απόκριση. 6 Ncola Tapaoul Χαρακτηριστικά Χρονικής Απόκρισης Τα χαρακτηριστικά της χρονικής απόκρισης ενός συστήµατος τα οποία εξετάζουµε σε αυτή την ενότητα αφορούν κυρίως τη συµπεριφορά του συστήµατος στη µεταβατική κατάσταση και µπορούν να υπολογιστούν µε γραφικό τρόπο µετά από απεικόνιση της βηµατικής απόκρισης του συστήµατος: Μέγιστη υπερύψωση overhoo Είναι η διαφορά της µέγιστης τιµής y m από την τελική τιµήy f της εξόδου y. Συνήθως ορίζεται ως ποσοστό: y m y f v% y f Χρόνος καθυστέρησης T d Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y για να φτάσει στο µισό της τελικής της τιµής Χρόνος ανύψωσης T r - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y για να φτάσει από το % στο 9% της τελικής της τιµής Χρόνος αποκατάστασης T - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y για να φτάσει και να παραµείνει σε ένα δεδοµένο όριο τιµών π.χ σε ένα διάστηµα -5% της τελικής της τιµής 6 Ncola Tapaoul 7
Χαρακτηριστικά Χρονικής Απόκρισης II 6 Ncola Tapaoul Μέγιστη ανύψωση.7.6 Sep Repone Syem: h Tme ec:.8 Amplude:.58 Μέγιστη υπερύψωση overhoo > v*.58-.5 8.%.5.4 Amplude.3...5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Tme ec 6 Ncola Tapaoul 8
.7 Χρόνος καθυστέρησης Sep Repone.6.5.4 Amplude.3 Syem: h Tme ec :.648 Amplude:.5...5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Tme ec 6 Ncola Tapaoul Απόκριση Συχνότητας Απόκριση συχνότητας ονοµάζουµε την απόκριση του συστήµατος σε ηµιτονοειδής διεγέρσεις. Η απόκριση συχνότητας ενός συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς H δίνεται από τη σχέση Ηω και είναι µια µιγαδική συνάρτηση, µε πλάτος Ηω και φάση Αω. H ω H ω e A ω Η απόκριση συχνότητας δεν εξετάζει τα µεταβατικά φαινόµενα. Αφορά την έξοδο του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση Χαρακτηριστικά Απόκρισης Συχνότητας: Περιθώριο κέρδους G m Gan Margn, είναι το πλάτος Ηω της απόκρισης συχνότητας όταν η φάση Αω είναι ίση µε -8 ο -π Περιθώριο φάσης Φ M hae Margn Η µέση καθυστέρηση φάσης D Το εύρος ζώνης BW Η τιµή συντονισµού Μ p H ω Η συχνότητα συντονισµού ω p { co A ω + n A ω } 6 Ncola Tapaoul 9
Απόκριση Συχνότητας ΙΙ Magnude - - - Freuency rad/ hae degree -5 - -5 - - Freuency rad/ 6 Ncola Tapaoul Παράδειγµα Απόκρισης Συχνότητας.8 Freuency Repone - Amplude Freuency Repone - hae.6 -.4-4. -6 Magnude.8 hae n degree -8 -.6 -.4-4. -6 4 6 8 4 6 8 freuency - rad/ec- -8 4 6 8 4 6 8 freuency - rad/ec- 6 Ncola Tapaoul
Χαρακτηριστικά Απόκρισης Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Τύποι Σφαλµάτων στα Σ.Α.Ε Έστω το κλειστό σύστηµα Σ.Α.Ε του σχήµατος. Το σήµα e ονοµάζεται σφάλµα και δίνεται από τη σχέση eω-b Όταν ο αντισταθµιστής F είναι ίσος µε τη µονάδα µοναδιαία ανατροφοδότηση τότε το σφάλµα είναι ίσο µε τη διαφορά της εισόδου από την έξοδο eω-y Ο αντισταθµιστής τις περισσότερες φορές είναι µια συνάρτηση του έτσι ώστε η έξοδος να µετασχηµατίζεται σε µορφή τέτοια που µπορεί να συγκριθεί µε την είσοδο η είσοδος µπορεί να είναι τάση και η έξοδος ταχύτητα Το σφάλµα e στη µόνιµη κατάσταση e µον ορίζεται ως e µον lm e lm ω lm b Ο µετασχηµατισµός Laplace του σφάλµατος δίνεται από τη σχέση E Ω + G F Σύµφωνα µε το θεώρηµα τελικής τιµής του µετασχηµατισµού Laplace ισχύει: Ω eµον lm e lm E lm + G F 6 Ncola Tapaoul
6 Ncola Tapaoul Σταθερές σφάλµατος Η σταθερά σφάλµατος θέσης p ενός κλειστού Σ.Α.Ε ορίζεται ως: Η σταθερά σφάλµατος ταχύτητας v ενός κλειστού Σ.Α.Ε ορίζεται ως > + + lm ό ό p z F G m p ταν ταν lm F G p lm F G v > + + lm ό ό ό p z F G m v ταν ταν ταν 6 Ncola Tapaoul Σταθερές σφάλµατος II Η σταθερά σφάλµατος επιτάχυνσης α ενός κλειστού Σ.Α.Ε ορίζεται ως: > + +, lm ό ό ό p z F G m p ταν ταν ταν lm F G a
Σφάλµα θέσης Σφάλµα θέσης e p ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονοµάζουµε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον όταν η είσοδος είναι σταθερή, δηλαδή ω, η ισοδύναµα ωu. Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουµε Ω το σφάλµα θέσης δίνεται από τη σχέση: Ω E + G F + G F Οπότε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι, υπό την προϋπόθεση ότι E είναι ευσταθής, όπου p η σταθερά σφάλµατος θέσης: Ω eµον lm e lm E lm lm + G F + G F + lm G F + p Το τελικό συµπέρασµα είναι ότι το σφάλµα θέσης εξαρτάται από τον τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε 6 Ncola Tapaoul Σφάλµα Ταχύτητας Σφάλµα ταχύτητας e v ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονοµάζουµε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον όταν η είσοδος αυξάνεται σταθερά ανάλογα µε το χρόνο, δηλαδή ω, η ισοδύναµα ωr, όπου r η συνάρτηση ράµπας. Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουµε Ω το σφάλµα ταχύτητας δίνεται από τη σχέση: Ω E + G F + G F Οπότε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι, υπό την προϋπόθεση ότι E είναι ευσταθής, όπου v η σταθερά σφάλµατος ταχύτητας: Ω e lm e lm E lm lm µον G F v + G F + G F lm Το τελικό συµπέρασµα είναι ότι και το σφάλµα ταχύτητας εξαρτάται από τον τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε 6 Ncola Tapaoul 3
Σφάλµα Επιτάχυνσης Σφάλµα επιτάχυνσης e α ενός κλειστού Σ.Α.Ε ονοµάζουµε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση e µον όταν η είσοδος αυξάνεται σταθερά ανάλογα µε το τετράγωνο του χρόνου, δηλαδή ω Επειδή σε αυτή τη περίπτωση έχουµε Ω 3 δίνεται από τη σχέση: το σφάλµα επιτάχυνσης Ω 3 E + G F + G F Οπότε το σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι, υπό την προϋπόθεση ότι E είναι ευσταθής, όπου α η σταθερά σφάλµατος επιτάχυνσης: Ω e lm e lm E lm lm µον G F a + G F + G F lm Το τελικό συµπέρασµα είναι ότι και το σφάλµα επιτάχυνσης εξαρτάται από τον τύπο του κλειστού Σ.Α.Ε 6 Ncola Tapaoul Παράδειγµα Ι Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να υπολογίσετε τα σφάλµατα στη µόνιµη κατάσταση για τις εισόδους u, r, και γ /. ΑΠ. Η συνάρτηση βρόχου είναι G F εποµένως το σύστηµα είναι τύπου. + Κατά συνέπεια οι σταθερές σφάλµατος θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης θα είναι lmg F lm v lm G F lm + + a lm G F lm lm + + p 6 Ncola Tapaoul 4
Παράδειγµα Ι συν Οπότε τα σφάλµατα στη µόνιµη κατάσταση θα είναι: Για είσοδο u βηµατική θα έχουµε e µον e p σφάλµα θέσης µε e µον + p + p + Για είσοδο r ράµπα θα έχουµε e µον e v σφάλµα ταχύτητας µε e µον v v Για είσοδο γ / παραβολή θα έχουµε e µον e α σφάλµα επιτάχυνσης µε e µον a a 6 Ncola Tapaoul Παράδειγµα ΙΙ Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να προσδιορισθούν οι περιοχές τιµών των σταθερών a,b ώστε η επίδραση της διαταραχής ξαδ στην έξοδο του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση να εξουδετερώνεται και επιπλέον η έξοδος του συστήµατος να ακολουθεί το σήµα εισόδου u δηλαδή y u lm AΠ: α>, b 6 Ncola Tapaoul 5
Παράδειγµα ΙΙI Έστω µια τηλεφωνική γραµµή µετάδοσης ηχητικών σηµάτων στη λειτουργία της οποίας υπεισέρχεται θόρυβος σύµφωνα µε τη συνδεσµολογία του επόµενου σχήµατος. Να κατασκευαστεί φίλτρο F F ρητή συνάρτηση του στο βρόχο αναµετάδοσης έτσι ώστε για το κλειστό σύστηµα στη µόνιµη κατάσταση να ισχύουν ταυτόχρονα: α Η επίδραση των θορύβων d και d στην έξοδο να εξουδετερώνεται β Η ακρόαση του δέκτη y να ταυτίζεται µε οποιοδήποτε σήµα του ποµπού. 6 Ncola Tapaoul 6