Παράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση 1 Με βάση τη σειρά Taylor να βρεθεί α) για τη παράγωγο την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης και β) για τη παράγωγο την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης α) Κεντρώα έκφραση ης τάξης για την παράγωγο (με σειρά Taylor): h h + 1 6 = + h + + + O h h h 1 6 = h + + O h (1) () Προσθέτοντας τις (1) και () κατά μέλη προκύπτει: h 1 1 1 + 1 + + = + + O h h = + + O h + = + O h + 1 1 h () β) Ανάδρομη έκφραση ης τάξης για την παράγωγο (με σειρά Taylor): h h h 1 6 5 = h + + + O h ( h) ( h) ( h) = h + + + O h 6 ( h) ( h) ( h) = h + + + O h 6 ( h) ( h) ( h) 6 5 5 = h + + + O h 5 () (5) (6) (7) - 1 -
Πολλαπλασιάζοντας την () με 18, την (5) με -, την (6) με 1, την (7) με - και προσθέτοντας κατά μέλη τις παραγόμενες εξισώσεις προκύπτει τελικά: 18 + 1 = 5 h + O h 5 1 5 18 + 1 + = + O h 1 h (8) Άσκηση Να βρεθεί μία κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης που να προσεγγίζει την παράγωγο στον κόμβο ενός πλέγματος ( = 1,,,N ), όταν η απόσταση ανάμεσα σε διαδοχικούς κόμβους δεν παραμένει σταθερή αλλά μεταβάλλεται (δηλαδή όταν = h ). 1 Η συνάρτηση προσεγγίζεται με πολυώνυμο P δεύτερης τάξης όπου θεωρείται ότι η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο σημείο. Τα σημεία 1 και + 1 βρίσκονται σε απόσταση h και kh από το σημείο αντίστοιχα. P( 1 = h) = ah bh + c = 1 1 = ah bh + P ( = 0) = c= + 1 = ak h + bkh + P( + 1 = kh) = a ( kh) + b( kh) + c = + 1 d (1 + k) + k + 1 1 1 + + 1 = + = = d k(1 + k) h k k akh ak h a Άσκηση Να αποδειχθεί με α) σειρά Taylor και β) με πεπερασμένων διαφορών: πολυωνυμική παρεμβολή η έκφραση y, + (, ) O y + 1, + 1, 1,, 1 = + y - -
α) Απόδειξη με σειρά Taylor: Αρχικά αναπτύσσονται οι όροι + 1,, και, 1 + 1, 1 μέσω σειράς Taylor ως: = + + + O + 1,,,, y, 1, y y,, = y + + O y u y + 1, 1,, y y y,,,, = + y + y + + (,,, ) + O y y y () Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και () και αφαιρώντας την () προκύπτει: (1) () + 1, + 1, 1 +, 1 =, + y + O y y y y,, (,,, ) u + 1, + 1, 1, +, 1 y = + O,, y, y y y () (5) Θέτοντας = y η (5) δίνει: y, + (, ) + 1, + 1, 1,, 1 = + y O y (6) β) Απόδειξη με πολυωνυμική παρεμβολή: P y = A + By + Cy + D + Ey + F Έστω, Θεωρείται ότι η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο σημείο, y και άρα το τοπικό σύστημα συντεταγμένων είναι: (, y ) = ( 0,0), (, 1 ) (,0 + y = ), (, y 1) = ( 0, y), ( + 1, y 1) = (, y) Με βάση το παραπάνω σύστημα συντεταγμένων προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις : - -
( 0,0) P = F = (7), P = A + D + F = (8) D,0 D D + 1, P y = B y E y+ F = (9) 0,, 1 P y = A + B y C y+ D E y+ F = (10) D, D D D D D D D + 1, 1 Προσθέτοντας κατά μέλη τις (8) και (9) και αφαιρώντας την (10) προκύπτει: P C y+ F = + 1, +, 1 + 1, 1 C = = y = 0, = 0 + + 1, + 1, 1,, 1 y Άσκηση Έστω μία συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών ( y, ) να βρεθούν οι εκφράσεις για τις μερικές παραγώγους =. Με βάση τη σειρά Taylor, και y y. Ξεκινώντας από το ανάπτυγμα Taylor στην κατεύθυνση για απόσταση κεντρικό σημείο : ± από το 5 6 + 1, =, + + + + + + O( ) (1) 6 10 5 6 1, =, + + + O( ) () 6 10 5 8 16 6 +, =, + + + + + + O( ) () 6 10 5 8 16 6, =, + + + O( ) () 6 10 Όπου όλες οι παράγωγοι στα παραπάνω αναπτύγματα υπολογίζονται στο σημείο,. Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1), (), - () και - () προκύπτει: 1 + = 6 + + O 6 +, + 1, 1,,, (5) - -
Λύνοντας ως προς : + 6 + +, + 1,, 1,, = = + O,, (6) Με ακριβώς αντίστοιχο τρόπο προκύπτει ο τύπος: + 6 +, +, + 1,, 1, = yyyy = + O y y y,, (7) Για να ευκολύνουν οι απαραίτητοι υπολογισμού, δημιουργούνται οι ακόλουθες συναρτήσεις στο Mathematca: t[a_]:=apply[plus,coecentrules[a,{q, R}]/.({k_,l_}->m_)->m*y[k,l]] n = 6; Taylor[k_, l_]=+apply[plus,table[t[(k*d*q+l*dy*r)^p]/p!, {p,1,n}]] H πρώτη συνάρτηση είναι βοηθητική, ενώ η δεύτερη συνάρτηση εκφράζει το ανάπτυγμα Taylor της ( + k,y + l y) γύρω από το σημείο y, διατηρώντας παραγώγους μέχρι τάξης n : + k, + l( y, ) =, ( y, ) + k + l y ( y, ), y, 1 1 + k + l y ( y, ) + k + l y ( y, ) +...! y! y,,,, Για παράδειγμα το ανάπτυγμα Taylor με k = 1, l = 1 και κρατώντας όρους ης τάξης γράφεται ως: 1 + 1, 1 =, + y + y = y! y,,,, y,, y y y,,,, = + y + y + Το παραπάνω ανάπτυγμα αναπαρίσταται στη Mathematca ως Taylor[1,-1], το οποίο δίνει: +d*y[1,0]-dy*y[0, 1]+1/*(d^*y[,0] *d*dy*y[1, 1]+ dy^*y[0, ]) - 5 -
Οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται είναι οι ακόλουθοι: d, dy y,,, y[ m,n] m+ n ( y, ) m n y Επειδή πρέπει να βρεθεί η έκφραση που προσεγγίζει την παράγωγο ης τάξης διατηρούνται στις πράξεις παράγωγοι μέχρι και 6 ης τάξης, έτσι ώστε να είναι δυνατόν να βγει συμπέρασμα για το αν η προκύπτουσα έκφραση είναι πρώτης ή δεύτερης τάξης. Μέσω του αναπτύγματος Taylor με kl=, 0, ± 1 και παίρνοντας όλους τους δυνατούς συνδυασμούς μεταξύ των k και l θα πρέπει στο δεξί μέλος να παραμείνει η μικτή παράγωγος ης τάξης καθώς και παράγωγοι ανώτερης τάξης, ενώ όλες οι άλλες παράγωγοι ίδιας ή μικρότερης τάξης να απαλειφθούν. Οι υπολογισμοί έγιναν με το Mathematca σταδιακά ως εξής: AA = Taylor[1,1]+Taylor[-1,-1] // Epand; BB = Taylor[-1,1]+Taylor[1,-1] // Epand; CC = AA+BB//Epand; DD = Taylor[1,0]+Taylor[-1,0] // Epand; EE = Taylor[0,1]+Taylor[0,-1] // Epand; FF = CC-*DD-*EE // Epand Από το οποίο προκύπτει: -* + d^*dy^*y[,] + 1/1*d^*dy^*y[,] + 1/1*d^*dy^* y[,] Επομένως, η μικτή παράγωγος υπολογίζεται από την έκφραση 9 σημείων όπου έχει ακρίβεια ης τάξης ως: 1 = (, + + 1, + 1 + 1, 1 + 1, + 1 + + 1, 1 + 1, 1,, + 1 1, 1 ) + y y, Άσκηση 5 (, ) + O y y Έστω τα μη ισαπέχοντα σημεία 0, 1, (επί του άξονα ) όπου 1 0 = h/ και 1 = h και οι αντίστοιχες τιμές 0, 1,. Διατυπώστε την απλούστερη πρόδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών με σειρά Taylor της ης παραγώγου της στο σημείο 0 ( =? ). = 0 Αρχικά γίνονται τα αναπτύγματα Taylor για την συνάρτηση στα σημεία 1 και ως: h h h ( 1) 1 = = + = 0 + + + O( h ) (1) 8, - 6 -
h h 9h O h 8 = = + = 0 + + + () Πολλαπλασιάζοντας την (1) με - και προσθέτοντας την κατά μέλη με την () προκύπτει: h 9h 8 1 + 1+ = 0 + 0 + + O h = + O h 8 8 h 0 1 Άσκηση 6 Σε τετραγωνική πλάκα 0 1 και 0 y 1 συγκεκριμένα σημεία και είναι: T ( 0,1) = 0 T ( 0.6,1) = 50 T = T ( 0, 0.) = 50 T ( 0.6, 0.) = 00 T ( 0,0) = 0 T ( 0.6, 0) = 50 T = οι θερμοκρασίες (, ) 1,1 0 T 1, 0. = 50 1, 0 0 T y έχουν μετρηθεί σε Εφαρμόζοντας τη πολυωνυμική μεθοδολογία με πολυώνυμο ης τάξης να υπολογιστούν οι T T παράγωγοι και y ως προς την ακρίβεια και το πρόσημο των παραγώγων (θετικό ή αρνητικό). στο σημείο ( y, ) = ( 0.6, 0.). Να σχολιαστούν τα αποτελέσματά Για τον υπολογισμό παραγώγου παρεμβολής γράφεται για y = 0. ως T στο σημείο ( y, ) = ( 0.6, 0.) το πολυώνυμο (,0.) T = A + B + C T y = 0. = A + B Η παραπάνω έκφραση για = 0, = 0.6 και = 1 δίνει: T 0, 0. = 50 C = 50 T 0.6, 0. = 00 0.6A+ 0.6B+ C = 00 0.6A+ 0.6B= 150 T 1, 0. = 50 A+ B+ C = 50 A+ B= 0 A= B Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα προκύπτει A = 65 και B = 65. - 7 -
T Άρα = 0.6, y = 0. = 65 0.6 + 65 = 15 Για τον υπολογισμό της παραγώγου παρεμβολής γράφεται για = 0.6 ως T στο σημείο (, ) ( 0.6, 0.) y y = το πολυώνυμο T T ( 0.6, y) = Dy + Ey + F = Dy + E y T 0.6, 0 = 50 F = 50 T 0.6, 0. = 00 0.09D+ 0.E+ F = 00 0.09D+ 0.E = 150 T 0.6,1 = 50 D+ E+ F = 50 D+ E = 0 D= E Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα προκύπτει D = 71.9 και E = 71.9. dt = 71.9 0. + 71.9 = 85.7 dy = = Άρα 0.6, y 0. Η ακρίβεια των παραγώγων είναι 1 ης τάξης καθώς τα σημεία παρεμβολής δεν είναι ισαπέχοντα, ενώ τα πρόσημα των παραγώγων δηλώνουν τη κατεύθυνση των συνιστωσών της θερμορροής. - 8 -