ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ(ΟΜΑΔΑΣ Β ) 6-5- ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελ. 6-6 A. Σχολικό βιβλίο σελ. 8 A3. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β B. z 3i + z + 3i = z 3i + z 3i = z 3i + z 3i = z 3i + z 3i = z 3i = z 3i = Ο γεωμετρικός τόπος του Μ(z) στο μιγαδικό επίπεδο είναι ΚΥΚΛΟΣ με κέντρο Κ(,3) και ακτίνα R= με εξίσωση C: + y 3 = B. Από τη σχέση () του ερωτήματος (Β) έχουμε: ( z 3i)( z 3i) z 3i ( ) z 3i = z 3i = z3i z 3i = z3i z 3i = + = + = z 3i Β3. Α ΤΡΟΠΟΣ ( ) = z 3i + = ( z 3i) + ( z + 3i) = ( z 3i) + ( z 3i) z 3i Αν z= + yi,y R = R z3i = R + yi3i = R + y 3 i = R όμως + y 3 = άρα Β ΤΡΟΠΟΣ Γεωμετρικά στον κύκλο C με κέντρο( o,y o ) και ακτίνα R ισχύει για κάποιο τυχαίο σημείο Μ(,y) του C ότι:
o R o + R y R y y + R άρα εδώ + οπότε o o Β4. Από τα δεδομένα έχουμε = + z 3i z 3i. Λόγω του ερωτήματος (Β): = z 3i + z + 3i z= z= z = z+ z z = z z = z z = z z = z C M(z)=M(, y) Κ(,3) z z O(,) Ρ(,) N(,)=N() Μπορούμε να δώσουμε και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ λύση αφού: Μ(,y) εικόνα του z Ο(,) εικόνα του Ο Ν(,) εικόνα του P(,) προβολή του Μ στον Αφού MP τότε (ΟΡ)=(ΡΝ). Το τρίγωνο ΜΟΝ είναι ισοσκελές οπότε (ΜΟ)=(ΜΝ) άρα ισχύει και z = z
ΘΕΜΑ Γ Γ. f + f = f + f f + f f f = ( ) ( ) f + f f f = f f = f f =, R f f = c, R Άρα: ( ) f = c, R ( ) για =: f c c c f = ( ) = ( ) = = ( ) = ( ) = Τότε η () γίνεται: f f Θέτω g =, R Η g είναι παρ/μη στο R με g = g + g () + g() Παρουσιάζει ελάχιστο το g = = άρα g g = > για κάθε R δηλαδή >, R Από τη σχέση () έχουμε: ( ) ( ) ( ) = = = = f f ln( ), R οπότε f = ln + c, R f( ) = για =: f = ln + c = ln + c c = Τότε f = ln, R Γ. f = ln, R 3
f ( ) = απο το ερώτημα (Γ) f ( ) (όμως στο (Γ) έδειξα ότι > για κάθε R) οπότε αρκεί να λύσω την επομένως, f < για < και f > για > + f() + f() Ελάχιστο το f( ) f συνεχής στο ( < ( ) (,,, f στο, άρα η f γνησίως φθίνουσα στο f συνεχής στο + ) > ( + ), + ).,,f στο, άρα η f γνησίως αύξουσα στο Επομένως, παρουσιάζει ελάχιστο στο το f( ) = Γ3. f ( ) = παραγωγίζεται στο R ως πηλίκο με f ( ) = = = = ( ) + + + = = Έστω h =, R οπότε f = Η h είναι παραγωγίσιμη στο R με h ( ) h = + = + = = ( ) 4
> h h < > + h() + h() ( + ) η h συνεχής στο, h στο (, η h > στο, η h συνεχής στο, h στο,+ ) και h < στο,+ Αφού η h συνεχής στο (, και γνησίως αύξουσα θα έχει σύνολο τιμών το: (( ) ( ( = = ( ) h, lim h,h, διότι: lim h = lim έστω σ ( ) = ( ) =, ( -, lim = + lim =+ άρα D.L.H ( ) lim σ ( ) = lim = lim == lim = lim = lim = ( ) lim =,άρα Από τη σχέση lim h = lim lim = = = ( ) = ( ( ) h Το, άρα η h() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,, έστω και αφού η h() είναι,η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. ) ( )) ( ( + + + ( ) = = + Αφού h συνεχής στο,+ και γνησίως φθίνουσα θα έχει σύνολο τιμών το: h,+ = lim h,h =, διότι: lim h = lim = αφού lim και lim + h = + 5
( Το, άρα η h έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο,+, έστω και αφού η h() είναι η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική. Τελικά, η h άρα και η f έχει ακριβώς ρίζες, με, και, +, h για < h < h h < h για < < h > h h > ( ) < ( ) < ( ) > > ( ) f ( ) ( + ) h στο,,άρα και f στο, h στο,,άρα και f στο, h για < < h > h h > Οπότε: η C παρουσιάζει ένα σημείο καμπής το,f, h > < < για h( ) h( ) h( ) > > ( ) < + < ( + ) h στο,, άρα και f στο, h στο,,άρα και f στο, Οπότε: η C παρουσιάζει ένα σημείο καμπής το,f f Γ4. ln( )=συν ln( ) συν = f() = π Έστω φ()=ln( ) συν = f() συν,, π Τότε : η φ είναι συνεχής στο,,ως διαφορά συνεχών. φ()=f συν = = < π π π π π φ =f συν = f >, διότι f στο,+, άρα για τα,,+ f f() = π π π π ισχύει < f() < f < f άρα φ ( ) φ < Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Bolzano για την π φ ( ) στο,, άρα η εξίσωση φ ( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα π,. ) ) 6
π Η φ ( ) = f( ) συν είναι παραγωγίσιμη στο, ως διαφορά π παραγωγισίμων, με: φ ( ) = f ( ) +ημ >,,, ως άθροισμα θετικών αφού από ερώτημα (Γ): π π f ( ) > στο (, + ),άρα και στο, και ημ > στο,. π φ συνεχής στο, π φ στο, οπότε και -. π > φ στο, π Τελικά η εξίσωση φ ( ) = έχει ακριβώς μια ρίζα στο,. ΘΕΜΑ Δ f( ) t Δ. = dt g + t θέτω + t = u τότε dt=du και t = u όταν t = τότε u = + = t = τότε u = = ( ) gu u u f f άρα η ( ) γίνεται = du = du gu f u u u f = du = du f( ) = du g u gu gu u f( ) =+ du gu g( ) συνεχής και g( ) από υπόθεση άρα συνεχών άρα έχει αρχική την u g είναι συνεχής ως πηλίκο du, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R gu Τότε η f( ) είναι παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα της σταθερής και της u du. gu 7
Το f t ( + t) dt στη σχέση (iii) προκύπτει αν αντικατασταθεί στη σχέση (ii) η συνάρτηση g με την f που έχει τις ίδιες ιδιότητες. Άρα ισχύουν τα ίδια για την συνάρτηση g δηλαδή είναι για τον ίδιο λόγο παραγωγίσιμη. u Η σχέση () ισχύει για = οπότε f ( ) = + du f ( ) = gu ομοίως η σχέση () για = g( ) = + du g( ) = f u Παραγωγίζω τις σχέσεις () και () οπότε: u f ( ) = + du f ( ) = f ( ) g( ) = (3) gu g u g ( ) = + du g ( ) = g ( ) f( ) = (4) f u f( ) Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (3),(4): u g ( ) g = Για =: f = c g c = Τότε f = g f = u g = + du ( ) και f u g f g g f f f ( ) g( ) g ( ) f( ) = = = g f άρα = c, R f( ) = cg, R g Δ. Η σχέση f ( ) = γίνεται f ( ) = f ( ) f( ) = f ( ) f( ) = g f f = f = + c, R f( ) = για =: f = + c = + c c = Τότε f =.Όμως f > άρα f = 8
Δ3. ln f() lim f lim ln f() = lim ln = lim = u= u u lim f = lim = lim = + ( ) u ln f() Έστω h() = = =, (α,) f θέτω: = =+ lim + = = D.L.H Τότε: lim h() lim = lim = lim = + + ( ) = lim + ( ) + lim = = Δ4. Ε( Ω) Α ΤΡΟΠΟΣ F d t t όμως F = f t dt = dt = dt ισχύει > στο, αφού, t t Οπότε από γνωστό θεώρημα dt > dt < < δηλαδή η F στο, Β ΤΡΟΠΟΣ F ( ) = f( t ) dt = f( ) = > Επιπλέον F συνεχής άρα F F < F < F F < οπότε 9
= = διότι F Ft dt = Ισχύει F f t dt = f = άρα Ε( Ω) = F( ) d = ( ) F( ) d = F( ) F ( ) d = ( ) F ( ) F ( ) + d = d ( ) = = = Επομένως ΕΩ d d d = = = τ.μ.