3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α, ) και () στο (,β), τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της Μονάδες 7 A Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού Α3 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Τι ονομάζετε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ; Α4Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, τότε θα παρουσιάζει τουλάχιστον ένα τοπικό ελάχιστο β) Αν,για κάθε δ, δ, δ, τότε lim γ) Αν το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα α,β, τότε η δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο δ) Η συνάρτηση είναι - στο πεδίο ορισμού της, αν και μόνο αν για κάθε, A με είναι ε) Για να είναι το σημείο ΘΕΜΑ Β πρόσημο εκατέρωθεν του Δίνεται η συνάρτηση Α, σημείο καμπής της C, αρκεί η να αλλάζει ln, Β Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση 3 ln Β Να λύσετε την εξίσωση 3 4 Μονάδες Μονάδες 7 Β3 Να αποδείξετε ότι η έχει δύο σημεία καμπής και ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της στα σημεία καμπής της τέμνονται σε σημείο του άξονα y y Μονάδες 6 Β4 Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ lim ημ είναι ασύμπτωτη της C στο Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι Γ Να δείξετε ότι η ευθεία y α β 5 Έστω Γ Να δείξετε ότι α και β Γ3 Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Γ4 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τους άξονες, y y και την ευθεία Γ5 Ένα υλικό σημείο Μ κινείται επί της C και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 3cm/sec Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, τη χρονική στιγμή κατά την οποία διέρχεται από το σημείο Α,5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη και κυρτή στο της g στο, Να αποδείξετε ότι: Δ Η G είναι κυρτή Δ αβ β d αβ d με α β α Δ3 Η εξίσωση e Δ4 έχει το πολύ μια θετική ρίζα για κάθε, Δ5, με Δ6 G d αν γνωρίζετε ότι G G Έστω G παράγουσα Στέλιος Μιχαήλογλου
ΘΕΜΑ Α Λύσεις Α Επειδή () για κάθε (, ) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Έτσι έχουμε () ( ), για κάθε (, ] () Επειδή () για κάθε (, ) και η είναι συνεχής στο, η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Έτσι έχουμε: () ( ), για κάθε [, ) () Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: () ( ), για κάθε (, ),που σημαίνει ότι το ( ) είναι μέγιστο της στο (, ) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής Α Αν μια συνάρτηση είναι: y συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και M(ξ,(ξ)) παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: A(a,(a)) ( ) ( ) ( ) Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει Ο a ξ ξ β ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(, ( )) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Α3 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () (), για κάθε Α4 α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β Η είναι παραγωγίσιμη στο με ln Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 3, άρα για κάθε και επειδή και γνησίως αύξουσα στο για κάθε, είναι Β 3 3 ln 4 4 3 ln 3 ln ln ln 3 3 3 () Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο, θα είναι και -, οπότε η () γίνεται: 3 3 ή Β(β,(β))
Β3Η είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι Για κάθε ή είναι, και, Για κάθε Είναι ln, ln Η έχει σημεία καμπής τα A, ln και B, ln Είναι, 3 Η εφαπτομένη της C στο Α είναι η ευθεία y ln Η εφαπτομένη της C στο Β είναι η ευθεία y 3 ln Για και στις δύο εφαπτομένες προκύπτει y ln σημείο,ln που βρίσκεται στον άξονα y y, οπότε η είναι κοίλη σε καθένα από τα διαστήματα, είναι, οπότε η είναι κυρτή στο, με εξίσωση y με εξίσωση y Β4, οπότε οι, τέμνονται στο I d ln d d ln d ΘΕΜΑ Γ 3 I ln d 3 I ln d 3 3 4 4 4 4 I ln ln d 3 3 3 3 Γ Έστω g g, με lim g Για να είναι η ευθεία y ασύμπτωτη της C στο πρέπει lim lim g lim g lim g ισχύει u γιατί u lim lim u u u 5 lim lim Γ o o ΣΚ ΣΚ
5 4 lim lim 4 Αν τότε lim lim lim, άρα για να είναι 4 lim πρέπει Τότε 4 4 lim lim lim 4, άρα Γ3 Είναι 5 3 και H είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα, 3 και, και γνησίως φθίνουσα στα 3, και, Έχει τοπικό μέγιστο το 3 4 και τοπικό ελάχιστο το 4-3 - + - - + 3 + + + + + - - + Γ4 Το ζητούμενο εμβαδό είναι 5 d d 4 4 E d d 4 E d E 4ln 4 4ln3 Γ5Έστω με t 3cm / sec Είναι yt t M t,y t, t, το σημείο, t t 3 t t, τότε t t 5 και yt t t Έστω ότι το Μ διέρχεται από το Α τη χρονική στιγμή t t 3 3 t y t t 3 9cm / sec t και ΘΕΜΑ Δ g Για την εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο,,, οπότε υπάρχει, τέτοιο, ώστε Δ Η g είναι παραγωγίσιμη στο, με Επειδή η είναι κυρτή, η είναι γνησίως αύξουσα στο
,, οπότε: g g, Δ d d G G G G Η συνάρτηση G είναι συνεχής στα, και, και παραγωγίσιμη στα, και,, με G g, οπότε σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχουν, και, τέτοια, ώστε G G G G G και G G G G G G G G G G Είναι G G G G G G Δ3 e h g e, h g e h,, Οπότε η e g e Έστω Είναι εξίσωση h g e έχει το πολύ μια ρίζα στο, Δ4 Έστω,, Είναι Για κάθε, Για κάθε Δ5 Για κάθε g g g G d G d d G d d Δ6 G G d d G G d d