Σειρές Fourier. Σειρές Fourier. Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Μία συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο όταν ισχύει f(+)=f(). Η ελάχιστη δυνατή περίοδος λέγεται και θεμελιώδης περίοδος. Εμείς όταν λέμε περίοδο θα αναφερόμαστε σε αυτήν. Μία συνηθισμένη περιοδική συνάρτηση είναι η y=a si(ω) όπου το ω ονομάζεται (γωνιακή ή κυκλική) συχνότητα και το Α είναι το πλάτος. Στο παρακάτω σχήμα παρατηρούμε ότι για την συνάρτηση si(ω) όσο το ω μεγαλώνει τόσο μικραίνει η περίοδος της συνάρτησης η οποία ισούται με Τ=π/ω. f ( ) si( ), g( ) si( ), h( ) si(3 ).5 si( ) -6 - - 6 -.5 si( ) -.5-6 - - 6 -.5 si(3 ) -.5-6 - - 6 -.5 - Επίσης για την συνάρτηση y=a si() η οποία έχει πεδίο τιμών [Α,-Α] όσο το Α (θετικό) μεγαλώνει τόσο το πλάτος της ταλάντωσης μεγαλώνει.
si( ) si( ) 3 5 6 - - Η γραφική παράσταση της συνάρτησης si( ) είναι η γραφική παράσταση της si( ) μετατοπισμένη κατά θ (αριστερά εάν το θ είναι αρνητικό, δεξιά σε αντίθετη περίπτωση). Το θ ονομάζεται φάση..5 3 si( ) 3 3 5 6 si( ) -.5 - Ανάλογη είναι και η συμπεριφορά της συνάρτησης συνημίτονο. Ο Je Bptiste Fourier (768-83) απόδειξε ότι κάθε περιοδική y=f(χ) συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως ένα άπειρο άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων της μορφής: f ( ) A A si( ) A si( )... A si( )... A A si( ) και τελικά να προσεγγιστεί από ένα πεπερασμένο f ( ) A A si( ) A si( )... A si( ) Αυτή είναι η βάση των σειρών Fourier. Ο όρος A si( ) ονομάζεται πρώτη αρμονική, ο A si( ) δεύτερη αρμονική κ.λ.π. Παράδειγμα: Έστω για [, ] y si( ) si(3 ) si(5 ) 3 5
Σειρές Fourier Οι τρεις αρμονικές ξεχωριστά είναι.5.5 -.5 - -.5 -.5.5.5 3 3.5 Αν πάρω τους δύο πρώτους όρους του αθροίσματος έχω το γράφημα:.5.5 -.5 - -.5-3 5 6 7 Αν πάρω και τους τρεις όρους του αθροίσματος έχω το γράφημα:.5.5 -.5 - -.5-3 5 6 7 Είναι φανερό ότι προσθέτοντας και άλλους παρόμοιους όρους το γράφημα μοιάζει όλο και περισσότερο με ένα σήμα. Επίσης όταν y si( ) si(3 ).3 si( ) το γράφημα στο διάστημα [,π] είναι το ακόλουθο: 3
3 - - -3 3 5 6 7 Αποκόπτοντας το τελευταίο όρο δηλαδή όταν y si( ) si(3 ) παίρνουμε 3 - - -3 3 5 6 7 Όπου μοιάζει η αποκοπή αυτού του όρου να λειτούργησε ως φίλτρο. Τέτοια αναπτύγματα συναρτήσεων σε τριγωνομετρικά αθροίσματα βρίσκουν πολλές εφαρμογές. Για παράδειγμα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το φιλτράρισμα θορύβου στην ανάλυση σημάτων. Επίσης στις τηλεπικοινωνίες βρίσκουν εφαρμογή στη μεταφορά του συνεχούς σήματος της φωνής μέσω δορυφόρου από ένα σημείο του πλανήτη σε ένα άλλο. Η μεταφορά του συνεχούς σήματος της φωνής, αφού ψηφιοποιηθεί, και η αποστολή του bit προς bit απαιτεί την επεξεργασία και μεταφορά μεγάλου όγκου δεδομένων. Εάν το σήμα αναπτυχθεί σε ένα τριγωνομετρικό άθροισμα, αρκεί να μεταφερθούν μόνο οι συντελεστές (φάσεις, συχνότητες και πλάτη) και στον προορισμό να εφαρμοστεί ο κατάλληλος τύπος ώστε να αναπαραχθεί το σήμα. Μία τέτοια διαδικασία είναι πολύ πιο οικονομική. Από τη σχέση f( ) A A si( ) χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα si( b) si( )cos( b) cos( )si( b ) έχουμε ότι f( ) A A si( )cos( ) cos( )si( )
Θέτοντας A και Σειρές Fourier f ( ) [ cos( ) b si( )] A si( ), b A cos( ) και ω =π/ Τ φθάνουμε στον τύπο f ( ) [ cos( ) b si( )] Μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει : ή όπου b. f ( ) f ( )cos( ) b f ( )si( ) και οι σχέσεις που συνδέουν τους συντελεστές είναι A b, rct b. Παρατήρηση Ανάλογα κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως ένα άπειρο άθροισμα συνημιτονοειδών συναρτήσεων. Από τη σχέση f ( ) A A cos( ) A cos( )... A cos( )... A A cos( ) χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα cos( b) cos( )cos( b) si( )si( b) Έχουμε ότι f( ) A A cos( )cos( ) si( )si( ) Θέτοντας A και cos( ), si( ) Φθάνουμε στον τύπο A b A και ω =π/ Τ f ( ) [ cos( ) b si( )] και οι σχέσεις που συνδέουν τους συντελεστές είναι b A b, rct. 5
Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι γωνίες φάσεων μεταξύ του ημιτονοειδούς αναπτύγματος και του συνημιτονοειδούς αναπτύγματος διαφέρουν κατά π/. Δηλαδή.. Σύγκλιση σειράς Fourier Η σύγκλιση της σειράς Fourier επιτυγχάνεται στα σημεία που είναι συνεχής μία περιοδική συνάρτηση f() εάν ισχύουν οι συνθήκες Dirichlet :. Η f() είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη σε μία περίοδο, δηλαδή ισχύει f ( ). Ο αριθμός των μεγίστων και ελαχίστων του f() είναι πεπερασμένος στο διάστημα της περιόδου. 3. Η f() είναι τμηματικά συνεχής με πεπερασμένο αριθμό ασυνέχειας στο διάστημα της περιόδου. Τέλος, στα σημεία ασυνέχειας η σειρά Fourier συγκλίνει στο ημιάθροισμα των πλευρικών ορίων f ( ) f ( ). Παρατήρηση Εάν μας ζητείται στην εκφώνηση να αναπτύξουμε σε σειρά Fourier τη συνάρτηση και όχι απλά να βρούμε τη σειρά Fourier της συνάρτησης θα πρέπει να βρούμε στα σημεία ασυνέχειας το που συγκλίνει η σειρά. Αναπτύσσοντας τη σειρά Fourier σε όλα τα σημεία που είναι η σειρά συνεχής και βρίσκοντας που συγκλίνει στα σημεία ασυνέχειας, μπορούμε να πούμε ότι η σειρά Fourier παριστάνει τη συνάρτηση στο διάστημα της περιοδικότητας της. Εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε όλο το..3 Χρήσιμοι τύποι στον υπολογισμό των σειρών Fourier Οι άρτιοι αριθμοί περιγράφονται από τη σχέση: =k όταν κ=,,3,... οι περιττοί από τη σχέση =k+ όταν k=,,,3,... ή =k- όταν κ=,,3,,... 6
Σειρές Fourier k ( ) k όταν κ=,,,3,... ή k ( ) k όταν κ=,,3,... Χρήσιμοι τύποι: cos( ) ( ), si( ). Αν, k k τότε si( ) si( k ). Αν k, k τότε k si( ) si( k ) ( ) ( ) οπότε si( ) ( ),, Επίσης cos( ) = k + = k + = k + 3 = k + Από την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι Επίσης ισχύουν: si( ) si( ) και cos( ) cos( ). si( ) ' cos( ), cos( ) ' si( ) και e ' e. Ο τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης είναι ' ' f g f g f g. Με χρήση των παραπάνω τύπων μπορούμε να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα: si( ) cos c cos( ) si c si ' si cos si si si cos c cos ' si cos 7
cos cos si cos c e e c ' ' ' e e e e e e e e e e ' c. Λυμένα παραδείγματα Παράδειγμα Αναπτύξτε σε σειρά Fourier στο διάστημα [, ) την περιοδική συνάρτηση με γραφική παράσταση: Από το σχήμα γίνεται φανερό ότι η υπό μελέτη συνάρτηση στο διάστημα [,) είναι σταθερά ίση με μηδέν, ενώ στο [, ) ο τύπος της είναι f()=, ώστε η γραφική της παράσταση να είναι το ευθύγραμμο τμήμα με αρχή το σημείο (,) και πέρας το σημείο (π,π). Άρα ο γενικός τύπος της θα είναι:, - f ( ), f ( ) f ( ), Χρησιμοποιώντας τους τύπους Τ=π και διάστημα ολοκλήρωσης αυτό της περιόδου [, ), έχουμε το ανάπτυγμα Fourier της f() ως εξής: όπου: ( cos( ) si( )), f ( ) ( ) ( ). 8
Σειρές Fourier f ( ) cos( ) ( cos( ) cos( ) ) si( ) si( ) si( ) ( ( ) ) ( ) si( ) cos( ) ( si( ) ) ( (cos( ) cos()) (( ) ) Η τελευταία σχέση μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω αν λάβουμε υπόψη μας ότι ) ( ), αν =k, αν =k-, ως εξής:, αν =k, αν =k- (k ), k=,,3,. Ανάλογα υπολογίζουμε ότι: b f ( ) si( ) ( si( ) si( ) ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ( ) ) ( ) cos( ) ( ) si( ) ( cos( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ). Οι πρώτοι όροι των συντελεστών δίνονται στο παρακάτω πίνακα: 3 5 6 9 5 b 3 5 6 Το ζητούμενο ανάπτυγμα Fourier της f( ) είναι: ( ) ( cos((k ) )) ( si( )) k (k ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) 9 5 + si( ) si( ) si(3 ) si( ) si(5 ) si(6 ) 3 5 6 9
Για το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης ισχύει ότι f ( ) ( f( ) f( )) ( ) οπότε η σειρά που υπολογίσαμε παριστάνει την f ( ),, στο διάστημα περιοδικότητας της. Οπότε λόγω της περιοδικότητας η σειρά παριστάνει την f σε όλο το. Δηλαδή, f ( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) 9 5 + si( ) si( ) si(3 ) si( ) si(5 ) si(6 ) 3 5 6 Παράδειγμα Αναπτύξτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης, - f ( ), f( ) f( ), Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι: Γνωρίζουμε ότι το ανάπτυγμα Fourier της f( ) είναι: ( cos( ) b si( )) Στην περίπτωση μας Τ=π και διάστημα ολοκλήρωσης αυτό της περιόδου [, ), οπότε f ( ) και
Σειρές Fourier f ( )cos( ) cos( ) cos( ) = si( ) d(si( )) [ si( )] si( ) = cos( ) [ si( ) si( )] [cos( )] ( ) [cos( ) ] ' Δηλαδή Επίσης αν =k, k=,,3,.. αν =k- (k ) b f ( )si( ) si( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) ' cos( ) cos( ) ' cos( ) cos( ) ' cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) si( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) Δηλαδή b k k, k=,,3,.. k (k )
Συνοψίζοντας έχουμε ότι και οι πρώτοι έξι συντελεστές, b δίνονται στον παρακάτω πίνακα: 3 5 6 9 5 b 3 5 6 Για το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης ισχύει ότι f ( ) ( f( ) f ( )) ( ) και για το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης ισχύει ότι f () ( f( ) f ( )) ( ) οπότε η σειρά που υπολογίσαμε παριστάνει την f ( ), στο, διάστημα περιοδικότητας της. Οπότε λόγω της περιοδικότητας η σειρά παριστάνει την f σε όλο το. Δηλαδή f ( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) 9 5 + si( ) si( ) si(3 ) si( ) si(5 ) si(6 ) 3 5 6 Παράδειγμα Αναπτύξτε σε σειρά Fourier την συνάρτηση f : με f ( ) f ( ) για κάθε, και f ( ), -π,,,. Υπολογίζουμε αναλυτικά τους συντελεστές του αναπτύγματος Fourier ( cos( ) b si( )) για Τ=π και διάστημα ολοκλήρωσης αυτό της περιόδου [, ), οπότε έχουμε
f ( ) ( ) Σειρές Fourier Στα παρακάτω χρησιμοποιούμε παραγοντική ολοκλήρωση και έχουμε: f( ) cos( ) cos( ) cos( ) si( ) ' si( ) ' si( ) ( )' si( ) si( ) ( )' si( ) si( ) si( ) cos( ) cos( ) ( cos() cos( )) ( cos( ) cos()) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) Δηλαδή και k ( ), k=,,3,.. k (k ) b f ( ) si( ) si( ) si( ) cos( ) ' cos( ) ' cos( ) ( )' cos( ) cos( ) ( )' cos( ) cos() cos( ) cos( ) cos( ) cos() cos( ) 3
si( ) si( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Έτσι, το ανάπτυγμα Fourier της συνάρτησης f( ) είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) cos( ) si( ). Στην περίπτωση όπου b η συνάρτηση είναι παντού συνεχής. Όταν bυπάρχει σημείο ασυνέχειας της συνάρτηση στο σημείο και τα k, k. Για το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης στο ισχύει ότι: ( ) f ( ) ( f ( ) f ( )) ( ) οπότε η σειρά που υπολογίσαμε παριστάνει την ( ) f ( ), στο διάστημα περιοδικότητας της. Οπότε λόγω της περιοδικότητας η σειρά παριστάνει την f σε όλο το. Παράδειγμα Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f ( ),. Ποιες είναι οι τιμές για και για της σειράς Fourier; Λύση Έχουμε Τ=π και διάστημα ολοκλήρωσης αυτό της περιόδου [, ). Το σχήμα της συνάρτησης είναι: f( ) f( ) y f( ) f( ) y
Σειρές Fourier Η σειρά Fourier δίνεται από την παράσταση ( cos( ) b si( )) όπου οι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: 3 3 8 3 3 3 f f cos( ) cos( ) (κάνοντας δύο φορές παραγοντική ολοκλήρωση) si cos si si cos si b f si si (κάνοντας δύο φορές παραγοντική ολοκλήρωση) cos si cos 3 ( ) cos si cos cos 3 3 Άρα η σειρά Fourier της f έχει ως εξής: si cos b 3 cos( ) si( ) Η σειρά Fourier της f για και συγκλίνει στην τιμή f = f f f( ) ( ) / Παράδειγμα ( ) ( ) / =. Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης ημιανορθωμένο ημίτονο. Λύση Η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική f ( ) f ( ) και ορισμένη στη βασική της περίοδο έχει τύπο f ( ) m(,si( )) si( ) γραφική της παράσταση είναι η ακόλουθη:. Η 5
Η σειρά Fourier δίνεται από την παράσταση ( cos( ) b si( )) όπου οι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: cos( ) cos() ( ) f si( ) cos( ) f cos( ) si( )cos( ) Εδώ θεωρούμε δύο περιπτώσεις. Αρχικά για υπολογίζουμε cos( ) si( )cos( ) si( ) cos( ) cos( ) cos() = Για, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα ' υπολογίζουμε si( )cos( b) (si( b) si( b)) si( )cos( ) si( ) si( ) ' cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos() cos( ) cos() cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) 6
Σειρές Fourier Εδώ χρησιμοποιήσαμε την τριγωνομετρική ταυτότητα cos( b) cos( b ). Τελικά έχουμε ότι: αν =k-, k=,,3,.. αν =k ( k ) b f Επίσης si si( )si Εδώ θεωρούμε δύο περιπτώσεις. Αρχικά για, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα cos si ( ) υπολογίζουμε cos cos b si( )si si si( ) Επίσης, για, χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες υπολογίζουμε si( )si( b) (cos( b) cos( b)) και si( b) si( b) b si( )si cos( ) cos( ) ' si( ) si( ) si( ) si( ) si( ) si() si( ) si() si( ) si( ) Συνοψίζοντας έχουμε ότι και οι πρώτοι έξι συντελεστές, b δίνονται στον παρακάτω πίνακα: 3 5 6 3 5 35 b και τελικά cos( ) cos( ) cos(6 ) f ( ) m(,si( ))... 3 5 35 7
.5 Αναπτύγματα Fourier σε άρτιες συναρτήσεις και περιττές συναρτήσεις Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [, ] είναι άρτια εφόσον ισχύει η σχέση f ( ) f ( ) [, ]. Οι άρτιες συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yy '. Παράδειγμα η y cos( )..5-6 - - 6 -.5 Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [, ] είναι περιττή εφόσον ισχύει η σχέση f ( ) f ( ) [, ]. Οι περιττές συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων. Παράδειγμα η y si( ). -.5-6 - - 6 -.5 Το άθροισμα δύο άρτιων συναρτήσεων είναι πάντα άρτια συνάρτηση, το άθροισμα δύο περιττών συναρτήσεων είναι πάντα περιττή. Το άθροισμα άρτιας και περιττής συνάρτησης δεν μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε ως άρτια ή περιττή. Επίσης το γινόμενο δύο άρτιων συναρτήσεων είναι πάντα άρτια συνάρτηση, το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων είναι πάντα άρτια. Το γινόμενο άρτιας και περιττής συνάρτησης είναι πάντα περιττή συνάρτηση. Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ]( ) και [, ] αν η f είναι άρτια f ( ) f ( ) και αν η f είναι περιττή f ( ) - 8
Σειρές Fourier Σύμφωνα με το παραπάνω όταν το διάστημα [, ] είναι της συμμετρικής μορφής [ /, / ] οπότε: Εάν η συνάρτηση f() είναι άρτια το / b f ( )si( ) / αφού είναι ολοκλήρωμα άρτιας επί περιττής δηλαδή περιττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα. Εάν η συνάρτηση f() είναι περιττή τόσο / / f ( ) αφού είναι ολοκλήρωμα περιττής συνάρτησης όσο και / f ( )cos( ) / αφού είναι ολοκλήρωμα περιττής επί άρτιας δηλαδή περιττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα. Κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως ένα άθροισμα δύο συναρτήσεων μίας άρτιας και μίας περιττής. Όταν αναπτύσσουμε μια περιοδική συνάρτηση σε σειρά Fourier ( cos( ) b si( )) τότε αυτή γράφεται ως άθροισμα δύο μερών, ενός άρτιου και ενός περιττού. Το cos( ) αποτελεί το άρτιο μέρος και το b si( ) αποτελεί το περιττό μέρος του αναπτύγματος της συνάρτησης. Είναι αυτονόητο ότι όταν η περιοδική συνάρτηση είναι άρτια το περιττό μέρος της δεν θα πρέπει να υπάρχει (οπότεb ) ενώ όταν είναι περιττή το άρτιο μέρος της δεν θα πρέπει να υπάρχει (οπότε ). Λυμένα παραδείγματα. Παράδειγμα Να βρείτε τη σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν f ( ),,, 9
και στη συνέχεια να επαναπροσδιοριστεί στα σημεία, ώστε η σειρά Fourier να παριστάνει την f σε όλο το. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι: Η συνάρτηση f είναι περιττή, οπότε και b f ( )si( ) si( ) si( ) u si( ) si( ) d( ) si( ) si( ) d( ) si( ) si( u) du cos( ) cos( ) si( ), cos( ) ( ), ' Εναλλακτικά εάν παρατηρήσω ότι η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι άρτια συνάρτηση ως γινόμενο της περιττής f( ) με την περιττή si( ) έχω b f ( )si( ) f ( )si( ) si( ) si( ) ' cos( ) cos( ) cos( ) ( ),, Oπότε, ο αντίστοιχος πίνακάς είναι:
Σειρές Fourier 3 5 6 7 b 3 5 7 Συνεπώς η σειρά είναι η si(3 ) si(5 ) si(7 ) si( )... 3 5 7 Για το σημείο έχουμε f ( ) ( f( ) f( )) ( ( )) Για το σημείο έχουμε f () f ( ) f ( ) ( ) οπότε εάν θεωρήσουμε την f ( ),,,, η σειρά που υπολογίσαμε την παριστάνει σε το διάστημα της περιοδικότητας της και εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε παριστάνει την f σε όλο το. Παράδειγμα Να βρείτε τη σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν, f ( ),, Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι:
Η συνάρτηση f είναι άρτια, οπότε b και / / f ( ) f ( ) / Παρατηρώ ότι στο, η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι άρτια συνάρτηση ως γινόμενο της άρτιας f( ) με την άρτια cos( ), οπότε έχω f ( )cos( ) f ( )cos( ) cos( ) / si( ) si( ) / Αν, k k N τότε si( ) si( k ). Αν k, k,,... τότε k si( ) si( k ) ( ) ( ) Επομένως αν =k si( ), k=,,3,.. ( ) αν =k- Οι πρώτοι επτά συντελεστές συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: 3 5 6 7 3 5 7 Και η σειρά Fourier είναι η cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) cos( )... 3 5 7 Παρατηρούμε ότι για τα σημεία ασυνέχειας, ο παραπάνω τύπος αποτυγχάνει να υπολογίσει με ακρίβεια την τιμή της συνάρτησης. Για παράδειγμα για η σειρά έχει τιμή 3 5 7 cos cos cos cos... 3 5 7
Σειρές Fourier η οποία δεν ισούται με το f. Για αυτό θα πρέπει να ορίσουμε στα σημεία αυτά τις τιμές που θα πρέπει να έχει η συνάρτηση. Για το σημείο ασυνέχειας έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) Για το σημείο ασυνέχειας έχουμε: οπότε εάν θεωρήσουμε την f ( ) f ( ) f ( ),, f ( ),,, η σειρά που υπολογίσαμε την παριστάνει σε το διάστημα της περιοδικότητας της και εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε όλο το. Παράδειγμα Αναπτύξτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν f ( ) όταν. Η συνάρτηση είναι παντού συνεχής με γραφική παράσταση: 3
Επειδή f ( ) f ( ) η συνάρτηση είναι άρτια και επομένως αναπτύσσεται μόνο μέσω των συνημιτονικών αρμονικών f ( ) cos. ( ) Για έχουμε, το ακόλουθο ολοκλήρωμα άρτιας συνάρτησης ως γινόμενο της άρτιας f( ) με την άρτια cos( ), οπότε έχω : si f ( )cos( ) cos( ) cos( ) si si cos si si (cos ), v k (cos ), v k (k ) k,,3,... ' Οι πρώτοι συντελεστές συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: 3 5 6 7 9 5 9 Συνεπώς το ανάπτυγμα της f σε σειρά Fourier είναι cos (k ) cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) f ( ) cos( )... Παράδειγμα k (k ) 9 5 9 Αναπτύξτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν f ( ) όταν. Η συνάρτηση έχει γραφική παράσταση:
Σειρές Fourier Επειδή φανερά f ( ) f ( ) η συνάρτηση είναι περιττή και επομένως και η συνάρτηση αναπτύσσεται μόνο μέσω των ημιτονικών αρμονικών f ( ) b si όπου, εάν παρατηρήσω ότι η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι άρτια συνάρτηση ως γινόμενο της περιττής f( ) με την περιττή si( ), έχω b f ( )si( ) f ( )si( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) ( ) Oπότε, ο αντίστοιχος πίνακάς είναι: 3 5 6 7 b 3 5 3 7 Συνεπώς η σειρά είναι η si( ) si( ) si(3 ) si( ) si(5 ) si(6 ) si(7 )... 3 5 3 7 Για το σημείο ασυνέχειας έχουμε οπότε εάν θεωρήσουμε την f ( ) ( f( ) f( )) ( ( )) f ( ), η σειρά που υπολογίσαμε την παριστάνει σε το διάστημα της περιοδικότητας της και εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε παριστάνει την f σε όλο το. Παράδειγμα Γενικεύοντας μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : f ( ) f ( ) για κάθε, και f ( ) -,,. με και μπορούμε (όπως είδαμε σε προηγούμενο παράδειγμα) να υπολογίσουμε: 5
( ) ( ) ( ) ( ) b ( ) Στην περίπτωση όπου, (τριγωνικό σήμα) η συνάρτηση άρτια οπότε ισχύει ότι b και, ( ( ) ). Στην περίπτωση όπου, (πριονωτό σήμα, swtooth) η συνάρτηση είναι περιττή οπότε ισχύει, και Παράδειγμα b ( ) Υπολογίστε τη σειρά Fourier της συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν f ( ) si( / ) όταν.. 6
Δεδομένου ότι ισχύει si si f ( ) si( / ), - είναι περιττή. Η συνάρτηση f είναι περιττή, άρα και η Σειρές Fourier συνάρτηση b f ( )si( ). Για να διευκολυνθούμε στον υπολογισμό των b θα υπολογίσουμε το I si( / )si( ) χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα: Έχουμε si( )si( b) cos b cos b. I si( / )si( ) cos cos si si C. / / Άρα, εάν παρατηρήσω ότι η προς ολοκλήρωση ποσότητα είναι άρτια συνάρτηση ως γινόμενο της περιττής f( ) με την περιττή si( ) έχω b f ( )si( ) f ( )si( ) f ( )si( ) si ( ) si ( ) / / si si cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 8 ( ) 8 cos( ) cos( ) Oπότε, το ο αντίστοιχος πίνακας είναι: 3 5 6 7 b 8 6 3 5 3 35 63 8 99 3 56 95 H συνάρτηση f ( ) si( / ), - δεν είναι συνεχής στο σημείο όπου θεωρούμε 7
f ( ) f ( ) f ( ) ( ), και η σειρά είναι: f ( ) 8 ( ) b si( ) si( ) 8 si( ) si( ) 3 si(3 ) si( ) 3 5 35 63 για την συνάρτηση f ( ) si( / ),... Παράδειγμα Βρείτε τη σειρά Fourier της συνάρτησης πλήρως ανορθωμένο ημίτονο. Λύση Η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική f ( ) f ( ) και ορισμένη στη βασική της περίοδο έχει τύπο f ( ) si( ) si( ) si( ). Δεδομένου ότι ισχύει si( ) si( ) η συνάρτηση είναι άρτια. Η γραφική της παράσταση είναι η ακόλουθη: Εφόσον συνάρτηση f( ) είναι άρτια έχουμε ότι b και η σειρά Fourier δίνεται από την παράσταση όπου οι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: cos( ) cos( ) cos() ( ) f si( ) cos( ) f cos( ) = si( )cos( ) 8
Σειρές Fourier Στο παραπάνω, χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η συνάρτηση f ( )cos( ) είναι άρτια, ως γινόμενο δύο αρτίων συναρτήσεων. Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος πρέπει να θεωρήσουμε δύο περιπτώσεις. Αρχικά για υπολογίζουμε cos( ) si( )cos( ) si( ) cos( ) cos( ) cos() = Για, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα υπολογίζουμε si( )cos( b) (si( b) si( b)) si( )cos( ) si( ) si( ) ' cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos() cos( ) cos() cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) Εδώ χρησιμοποιήσαμε την τριγωνομετρική ταυτότητα cos( b) cos( b ). ' Τελικά έχουμε ότι: αν =k-, k=,,3,.. αν =k ( k ) Συνοψίζοντας έχουμε ότι και οι πρώτοι έξι συντελεστές, b δίνονται στον παρακάτω πίνακα: 3 5 6 3 5 35 και τελικά cos( ) cos( ) cos(6 ) f ( ) si( ). 3 5 35 9
.6 Η εκθετική μορφή του αναπτύγματος Fourier Εάν i είναι η μιγαδική μονάδα (φανταστική μονάδα i τύπος του Euler: i e cos( ) isi( ) Από αυτόν έχουμε επίσης i e cos( ) isi( ) Από την πρόσθεση των δύο αυτών ταυτοτήτων έχουμε ότι cos( ) ), τότε ισχύει ο e i e i και αφαιρώντας si( ) e i e i i Οπότε f ( ) [ cos( ) b si( )] i i i i e e e e [ b )] i i i i i e e e e [ b b )] i i i i i i e e e e [ ib ib )] i i i i i i [ e e e e b i b i )] ib i ib i [ e e ] c [ c e c e ] i i όπου c, c ib και ib c ο συζυγής του. Οπότε, ib b c i f ( )cos( ) i f ( )si( ) i f ( ) cos( ) i si( ) f ( ) e Όμοια αποδεικνύεται και ο τύπος για το c. Στην περίπτωση που το διάστημα περιοδικότητας είναι της συμμετρικής μορφής [ /, / ] οι τύποι αυτοί γίνονται: / i c f ( ) e / και / i c f ( ) e, / 3
Σειρές Fourier Οπότε συνολικά / i c f ( ) e,,,,... και / Οι συντελεστές c i f ( ) c e. είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει Re( c ) και b Im( c ), c c και c c, όπου Re( c ), Im( c ), c και c είναι αντίστοιχα το πραγματικό μέρος, το μιγαδικό μέρος, το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού c. Σύμφωνα με το θεώρημα του Prsevl η μέση ισχύς σε ένα συνεχές σήμα f( ) και οι συντελεστές c συνδέονται με τη σχέση: / / f ( ) c. Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του αναπτύγματος Fourier της περιοδικής πριονωτής (swtooth) συνάρτησης f ( ) για [, ) και f ( ) f ( ). Οπότε Τ=π και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι αυτό της περιόδου [, ), οπότε από τους τύπους έχουμε: c f ( ) Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο ολοκλήρωμα: i i i i i e e ie e i i e c c e c i ( i) i 3
από όπου έχουμε / i i i i c f ( ) e e e / i i i i e e i i i i i e e i e e i i i διότι si si i e cos i i e cos i i i e e i si i i e e cos Οι συντελεστές για =-,-3,-,-,,,,3, συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: 3 3 c i i 3 i i -i i i 3 i Για το σημείο ασυνέχειας έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) ( ) οπότε εάν θεωρήσουμε την f ( ),, Και τελικά η σειρά που υπολογίσαμε i i i f ( ) c e e i i i i 3 i i i i i i 3 i i 3 i i... e e e ie ie e e e... 3 3 παριστάνει την ( ) f στο διάστημα της περιοδικότητας της και εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε όλο το. 3
Σειρές Fourier Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του αναπτύγματος Fourier της περιοδικής τριγωνικής συνάρτησης f ( ) για [, ) και f ( ) f ( ). Η συνάρτηση είναι παντού συνεχής με γραφική παράσταση: Οπότε Τ=π και =- π περιόδου [, ), οπότε από τους τύπους έχουμε: και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι αυτό της c f () Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο ολοκλήρωμα: i i i i i e e ie e i i e c c e c i ( i) i από όπου έχουμε i i i i e e e i i e i και i i i i i i e i e e e και τελικά / i i i i c f ( ) e e ( ) e e / i i e i i i i e ( ) e e i i i i ( e e ) i ( e e ) ( ) περιττό άρτιο διότι si si i e cos i i e cos i i i e e i si i i e e cos 33
Οι συντελεστές για =-,, συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: 3 3 c 9 9 Και τελικά η σειρά που υπολογίσαμε f c e 5 e 9 e ie e 9 e 5 e i i5 i3 i i i 3 i5 ( )...... Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του αναπτύγματος συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν Fourier της περιοδικής, f ( ),, Οπότε Τ= και και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι αυτό της περιόδου [,), οπότε από τους τύπους έχουμε:.5.5 i i i i c f ( ) e ( e e e ).5.5.5.5 i i i e e e i i.5 i.5 3
i / i i / i / i i / e e e e e e i i/ i/ e e si si c i διότι i i / e cos i si e cos / isi / si i e cos i i i e e i si και Εδώ εισάγουμε τον συμβολισμό si( ) si c ( ). Επίσης υπολογίζουμε i / e i cos / si / i/ i/ e e i si / Σειρές Fourier.5.5 c f ( ) ( ).5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 Οπότε αφού ισχύει si( ) ( ),, Οι συντελεστές για =-5,-,-3,-,-,,,,3,,5 συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: 5 3 3 5 c 5 3 3 5 Και τελικά η σειρά Fourier είναι η si i e i5 i3 i i i 3 i5... e e e e e e... 5 3 3 5 Για το σημείο ασυνέχειας έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) ( ) Για το σημείο ασυνέχειας έχουμε 35
οπότε εάν θεωρήσουμε την f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Και τελικά η σειρά που υπολογίσαμε παριστάνει την f( ) στο διάστημα της περιοδικότητας της και εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε όλο το..7 Το φάσμα συχνοτήτων Όταν ένα κύμα αναλύεται μέσω μιας σειράς Fourier σε άθροισμα ημιτονοειδών (ή συνημιτονοειδών) αρμονικών το γράφημα των πλατών Α και Α λέγεται διακριτό φάσμα πλατών και το γράφημα των φάσεων φ (ή των θ ) λέγεται διακριτό διακριτό φάσμα συχνοτήτων. φάσμα φάσεων. Τα δύο μαζί αποτελούν το Είχαμε δει ότι για την τριγωνομετρική μορφή των σειρών Fourier το πλάτος των αρμονικών και η φάση τους συνδέεται με τους συντελεστές της σειράς με βάση τους τύπους A A b, rct b εάν b αναπτύσσεται σε ημίτονα και rct όταν έχουμε συνημιτονικές αρμονικές. Υπενθυμίζουμε ότι οι γωνίες φάσεων μεταξύ του ημιτονοειδούς αναπτύγματος και του συνημιτονοειδούς αναπτύγματος διαφέρουν κατά π/. Δηλαδή. Στην ανάλυση που ακολουθεί θα εργαστούμε με τις γωνίες φάσματος από όπου μπορούμε με τη χρήση του τύπου έχουμε τις γωνίες φάσματος. Παράδειγμα 36
Σειρές Fourier Η σειρά Fourier της άρτιας περιοδικής συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν, f ( ),, βρήκαμε ότι έχει συντελεστές b και, οπότε si( ) si c ( ) A b b, rct rct. Οι συντελεστές Α για =.. συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: 3 5 6 7 8 9 A 3 5 7 9 και το διακριτό φάσμα πλατών είναι το ακόλουθο:.7.6.5. A.3.. 6 8 6 8 Στην περίπτωση της εκθετικής μορφής έχουμε ib b c c A c, και παρόμοια A c. 37
Άξονας μιγαδικών b A c Άξονας πραγματικών Παρατήρηση Το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η και si( ) cos( ) Αν δηλαδή των και b και b, η γωνία εξαρτάται από τα πρόσημα των. Πιο συγκεκριμένα: βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο b (οπότε δεν προσθέτουμε τίποτα στο rct ). Αν και b, η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο b (οπότε προσθέτουμε στο rct ). Αν και b, η γωνία βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο (οπότε b αφαιρούμε στο rct ). Αν και b, η γωνία b (οπότε δεν προσθέτουμε τίποτα στο rct ). Από το μέτρο των συντελεστών βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο c μπορώ να βρω το πλάτος A c για κάθε μία από τις αρμονικές συνιστώσες του αναπτύγματος σε εκθετική μορφή. Επίσης, από τη σχέση rct b b ή την rct και μπορώ να βρω τις αντίστοιχες φάσεις. Επίσης ισχύει A c. Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε και το φάσμα των συχνοτήτων για την περίπτωση των όρων της εκθετικής μορφής του αναπτύγματος Fourier. Παράδειγμα Εάν π.χ. c 3iμπορώ να πω ότι η συνιστώσα αυτή έχει πλάτος 3 5 οπότε A c Επίσης, η γωνία φάσης rct(3 / ) 36.8 (για συνημιτονικά αναπτύγματα) αφού και 38
Σειρές Fourier 3 οπότε η γωνία βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και b 9 36.8 53. για ημιτονικά αναπτύγματα. Παράδειγμα Να βρείτε την εκθετική μορφή του αναπτύγματος Fourier ενός παλμού με πλάτος 5 και διάρκεια /5 που επαναλαμβάνεται με περίοδο Τ. Βρείτε τη συνάρτηση που τον περιγράφει και σχεδιάστε τον. Σχεδιάστε το διακριτό φάσμα πλατών και το διακριτό φάσμα των φάσεων. Η συνάρτηση έχει τύπο, / / f ( ) 5, / /, / / και γράφημα : y 5 / / / / Από τον τύπο / / i i c f ( ) e 5e / / i / i i 5 i 5 5 5 5 e e e si si c i 5 5 Αφού e e i 5 i 5 cos cos / isi 5 5 isi 5 5 Επίσης υπολογίζουμε / / / / / i 5 5 e e i si 5 5 / c f ( ) 5. Οι συντελεστές για =-5,-,-3,-,-,,,,3,,5 συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα: 39
-5 - -3 - - 3 5 c si 5si 3 5 5si 5 3 5si 5si 5 5 5si 5 5si 5 3 5si 5 3 5si 5 si Παρατηρούμε ότι τα c είναι πραγματικοί αριθμοί οπότε τα πλάτη ισούται με το μέτρο ενός πραγματικού αριθμού που είναι ο ίδιος ο αριθμός..8 c.6.. -. -. - -9-8 -7-6 -5 - -3 - - 3 5 6 7 8 9 Αν δούμε πιο αναλυτικά το φάσμα πλατών παρατηρούμε ότι η πέμπτη, η δέκατη, η δέκατη πέμπτη κ.λ.π αρμονική είναι. Οπότε όπως και η σταθερή c δεν έχουν φάση. Το φάσμα πλατών A c είναι το ακόλουθο:.8.6. A. A.8.6.. --9-8-7-6-5--3--- -9-8 -7-6 -5 - -3 - - 3 5 6 7 8 9 3 5 6 7 8 9 Επίσης, παρατηρούμε ότι οι συντελεστές έχουν μόνο πραγματικό μέρος ib Δηλαδή ισχύει c si c b, si c 5 5.
Σειρές Fourier b Οπότε οι γωνίες φάσης rct έχουν τόξο εφαπτομένης (για συνημιτονικά αναπτύγματα). Άρα η γωνία φάσης μπορεί να πάρει τιμές [,, ]. Όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήμα για =-,-3,-,-,,,3, έχουμε συντελεστή c θετικό, οπότε και το α θετικό. Δηλαδή έχουμε ένα σχήμα της μορφής: Άξονας μιγαδικών Άξονας πραγματικών και συμπεραίνομε ότι η φάση θα είναι, για =-,-3,-,-,,,3,. Όταν το c όπως φαίνεται από το σχήμα είναι αρνητικό (=-9,-8,-7,-6, 6,7,8,9) τότε και το α θα πρέπει να είναι αρνητικό. Άξονας μιγαδικών Άξονας πραγματικών Συμπεραίνουμε ότι η φάση θα είναι -π ή π. Επιλέγουμε να είναι π για =-9, -8,-7,-6 και π για =6,7,8,9 εφόσον ισχύει c c και c c. Συνοψίζοντας τα παραπάνω έχουμε ότι το φάσμα των φάσεων είναι: 8. -8. - -8-6 - - 6 8 Φυσικά, τα παραπάνω αφορούν τις γωνίες φάσματος (αθροίσματος σε συνημίτονα). Όπως έχουμε πει με τη χρήση του τύπου έχουμε τις γωνίες φάσματος (αθροίσματος σε ημίτονα).
.8 Συμπληρωματικές Ασκήσεις. Να υπολογιστεί η σειρά Fourier, η οποία αντιπροσωπεύει την παράσταση στο διάστημα. Λύση: Θεωρώ την συνάρτηση f ( ). Η ζητούμενη σειρά Fourier δίνεται από την παράσταση ( cos( ) b si( )), όπου οι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής: f ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 Με παραγοντική ολοκλήρωση μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι: cos( ) ( )si( ) cos( ) c και 3 cos( ) si( ) cos( ) c. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f ( ) cos( ) είναι άρτια ενώ η συνάρτηση f ( ) cos( ) είναι περιττή και ότι το διάστημα ολοκλήρωση είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων. Οπότε μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τους συντελεστές ως εξής: ( )cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos ( )si 3 cos ( ). Όμοια, υπολογίζουμε και τους συντελεστές b : b ( )si( ) si( ) si( ) si( ) si cos cos cos ( ). Τελικά, αντικαθιστώντας τους συντελεστές και b 3 έχουμε: f ( ) ( ) cos ( ) si 3 cos si cos si...
Σειρές Fourier. Να βρεθεί η σειρά Fourier της συνάρτησης, f ( ), όπου. Λύση: Στη περίπτωση μας και επομένως f ( ) f ( )cos( ) cos( ) cos( ) = si( ) d(si( )) [ si( ) si( ) ] = ( ) [cos( )] [cos( ) ] b f ( )si( ) si( ) si( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) ' cos( ) cos( ) ' cos( ) cos( ) ' cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) si( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) Οπότε η σειρά είναι η [ cos( ) b si( )] 3
3. Να βρείτε τη σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν όπου., f ( ), Η συνάρτηση f είναι άρτια διότι f ( ) f ( ), άρα b και / f ( ) f ( ) /, / Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ]( ) και [, ] αν η f είναι άρτια άρτιας επί άρτια. f ( ) f ( ). Η f ( )cos( ) είναι άρτια ως γινόμενο f ( )cos( ) f ( )cos( ) cos( ) / si( ) si( ) / Αν, k k τότε si( ) si( k ). Αν k, k τότε k si( ) si( k ) ( ) ( ) Επομένως ( ), si( ), Και η σειρά Fourier είναι η cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) cos... 3 5 7 Για παράδειγμα για η σειρά έχει τιμή
Σειρές Fourier 3 5 7 cos cos cos cos... η οποία δεν ισούται 3 5 7 με το f. Για αυτό θα πρέπει να ορίσουμε στα σημεία αυτά τις τιμές που θα πρέπει να έχει η συνάρτηση Για το σημείο έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) Για το σημείο έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) οπότε εάν θεωρήσουμε την,, f ( ),,, η σειρά που υπολογίσαμε την παριστάνει σε το διάστημα της περιοδικότητας της και εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε όλο το.. Να βρείτε τη σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν f ( ),, και στη συνέχεια να επαναπροσδιοριστεί η συνάρτηση στο σημείο Fourier να παριστάνει την f σε όλο το. ώστε η σειρά Λύση Η συνάρτηση γράφεται f ( ),, Εφόσον Τ=π και =-π η σειρά Fourier είναι της μορφής: f( ) [ cos( ) b si( )] Υπολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς: 5
( ) f si( ) / f ( )cos( ) cos( ) [ ] si( ) si( ) si( ) cos( ) Δηλαδή cos( ) ( ),, cos( ) / b f ( )si( ) si( ) [ ] cos( ) cos( ) cos( ) si( ) cos( ) ( ) = Δηλαδή b,, Επομένως η σειρά Fourier είναι η ( ) cos[(k ) ] si( ) k (k ) cos cos(3 ) cos(5 )... 3 5 + si si( ) si(3 ) si( )... 3 Για το σημείο εάν θεωρήσουμε την ισχύει f ( ) f ( ) f ( ) οπότε 6
Σειρές Fourier f ( ),, η σειρά που υπολογίσαμε την παριστάνει στο διάστημα της περιοδικότητας της και εξαιτίας της περιοδικότητας της συνάρτησης η σειρά την παριστάνει σε όλο το. 5. Να βρείτε τη σειρά Fourier της περιοδικής συνάρτησης f : με f ( ) f ( ) για κάθε, αν f ( ),,, όπου. Λύση Η συνάρτηση f είναι περιττή διότι f ( ) f ( ), άρα και Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ]( ) και [, ] αν η f είναι άρτια περιττής επί περιττή. f ( ) f ( ). Η f ( )si( ) είναι άρτια ως γινόμενο cos( ) b f ( )si( ) si( ), cos( ) ( ), Συνεπώς η σειρά είναι η si(3 ) si(5 ) si(7 ) si... 3 5 7 6. Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση υπολογίστε τα ολοκληρώματα ( )si, ( )cos Να βρεθεί η τριγωνομετρική σειρά Fourier της f() = +π, -π<<π. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο ανάπτυγμα δείξτε ότι... 3 5 7 Χρησιμοποιώντας Mtlb σχεδιάστε την f() = +π στο διάστημα (-π,π) καθώς και τα μερικά αθροίσματα του αναπτύγματός της σε σειρά Fourier για, 3 και 5 όρους. Λύση 7
( )si si si cos ( )' cos C cos cos ( )' cos C cos cos cos C cos si cos C ( )cos( ) cos( ) cos( ) si( ) si( ) ( )' C si( ) si( ) si( ) ( )' C si( ) si( ) cos( ) C si( ) cos( ) si( ) C Εφόσον Τ=π και =-π η σειρά Fourier είναι της μορφής: [ cos( ) b si( )] Υπολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς: f ( ) ( ) f ( )cos( ) ( )cos( ) si( ) cos( ) si( ) b f ( )si( ) ( )si( ) cos si cos = cos cos cos cos cos ( ) όπου χρησιμοποιήσαμε ότι cos( ) cos( ), si( ) si( ), si( ), cos( ) ( ). Δηλαδή 8
Σειρές Fourier b,, Επομένως η σειρά Fourier είναι η [ cos( ) b si( )] ( ) si( ) si si( ) si(3 ) si( ) si(5 ) 3 5... Έχουμε από τα παραπάνω si si( ) si(3 ) si( ) si(5 )... 3 5 Θέτοντας στην παραπάνω έχουμε 3 5 si si( ) si( ) si( ) si( ) si(3 )... 3 5 6... 3 5 7 Ο κώδικας σε Mtlb: >> cler ll >> =lispce(-pi,pi); >> f=+pi; >> f=pi+*si(); >> f3=pi+*(si()-/*si(*)+/3*si(3*)); >> f5=pi+*(si()-/*si(*)+/3*si(3*)-/*si(*)+/5*si(5*)); >>f7=pi+*(si()-/*si(*)+/3*si(3*)-/*si(*)+/5*si(5*)- /6*si(6*)+/7*si(7*)); >> plot(,f,,f,,f3,,f5,,f7) Το αποτέλεσμα 7 6 5 f f f3 f5 f7 3 - - -3 - - 3 9
μας δείχνει ότι όσο περισσότερους όρους θεωρήσουμε τόσο καλύτερη προσέγγιση της συνάρτησης επιτυγχάνουμε. 7. Μία περιοδική συνάρτηση περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο σε μία περίοδό της. f ( ), / 5,, / 5 Κάντε το γράφημά της σε τρεις περιόδους, πείτε ποια είναι η περίοδός της και βρείτε την εκθετική μορφή του αναπτύγματός της Fourier. Γράψτε τους όρους του αναπτύγματος από =- έως. Λύση Το γράφημα: Η περίοδος της είναι π/5. Αρχικά / /5 5 /5 c f ( ) /5. / /5 Αυτό βγαίνει και άμεσα από την παρατήρηση ότι η συνάρτηση είναι περιττή. Από τον τύπο / /5 i 5 i i c f ( ) e e e / /5 /5 i5 ' /5 i5 ' i5 i5 e e e e i5 i5 /5 /5 i5 i5 /5 e e i i e e i5 i5 i5 /5 i i e e i Αφού 5
si si Σειρές Fourier i e cos i i i e e cos i και cos( ) ( ) έχουμε e cos i ά c cos( ) cos( ) ( ) 8 i i i ό i 8 i 3 3 i5 i5 i5 i5 i5 i5 i5 i5 i5 c e c 3e c e ce c3e e e e e 8. Μία περιοδική συνάρτηση περιγράφεται από τον ακόλουθο τύπο σε μία περίοδό της.. f ( ) /, /, / / Κάντε το γράφημά της σε μία περίοδο και αφού την χαρακτηρίσετε ως άρτια ή περιττή βρείτε το ανάπτυγμα της σε τριγωνομετρική σειρά Fourier. Γράψτε τους οκτώ πρώτους όρους της σειράς. Λύση Το γράφημα: Η συνάρτηση f είναι περιττή, άρα και 5
/ b f ( )si( ) si( ) si( ) / / / / si( ) si( ) d( ) si( ) si( ) d( ) / u / / / si( ) si( u) du si( ) / cos( ) si( ) cos( ) / Αφού cos( ) = k + = k + = k + 3 = k + ισχύει cos( ) = k + = k + = k + 3 = k + Συνεπώς η σειρά είναι η si( ) si(3 ) si( ) si(5 ) si( ) 3 5 si(6 ) si(7 ) si(8 )... 6 7 8 Παρατήρηση το ότι / / si( ) si( ) si( ) / μπορεί να εξαχθεί και από το ότι η si( ) είναι περιττή οπότε το / / si( ) si( ) si( ) / / 9. Έχετε έναν παλμό πλάτους 5 με διάρκεια π που επαναλαμβάνεται με περίοδο π. Με βάση την γραφική της παράσταση που σας δίνεται, γράψτε τον τύπο της συνάρτησης στο διάστημα [ π,π] που είναι μία περίοδος. Χαρακτηρίστε τη συνάρτηση ως άρτια ή περιττή. Αναπτύξτε την εκθετική σειρά Fourier της συνάρτησης και εξηγήστε ποιες τιμές θα εμφανίζει σε γράφημα το διακριτό φάσμα πλατών για τις τέσσερις πρώτες αρμονικές. y 5 / / 3 / 5 / 5
Σειρές Fourier Λύση Η συνάρτηση είναι άρτια διότι το γράφημά της είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα yy και έχει τύπο:, / f ( ) 5, / /, / Από τον τύπο i i c f ( ) e 5e / / / / 5 5 i i i 5 5 e e e si sic i i Αφού e e i cos isi i e e i si cos isi 5 / 5 Επίσης c f ( ) 5. / / / Για τα πλάτη ισχύει A c άρα το γράφημα θα παρουσιάζει τα Α,Α,Α,Α3.. Σχεδιάστε τον παλμό ο οποίος, σε μία περίοδό του, περιγράφεται από την συνάρτηση που ακολουθεί. Στη συνέχεια χαρακτηρίστε τη συνάρτηση αυτή ως άρτια ή περιττή και βρείτε τους πέντε πρώτους όρους της τριγωνομετρικής σειράς Fourier του παλμού., f ( ),, Λύση Το γράφημα είναι: 53
y / / 3 / 5 / Η συνάρτηση f είναι άρτια διότι f ( ) f ( ), άρα b και / / f ( ) f ( ) 8 / Ξέρουμε ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ]( ) και [, ] αν η f είναι άρτια ως γινόμενο άρτιας επί άρτια. f ( ) f ( ). Η f ( )cos( ) είναι άρτια f ( )cos( ) f ( )cos( ) cos( ) / si( ) si( ) si c( ) / Αν, k k τότε si( ) si( k ). Αν k, k τότε k si( ) si( k ) ( ) ( ) Επομένως ( ), si( ), Και η σειρά Fourier είναι η cos(3 ) cos(5 ) cos(7 ) cos... 3 5 7 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Fourier Series, W. Bolto. Σήματα και συστήματα, Καραμπόγιας, Θεοδωρίδης ΕΑΠ 5