ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Μ. Nεραντζάκη Αναπλ. Καθηγήτρια ΕΜΠ ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Τοπικό και καθολικό διάνυσμα ακραίων μετακινήσεων { D } άκρου j { D } άκρου k = ϑ3 = ϑ3 { D } { D } ϑ3 = { D } = ϑ3 όλου του στοιχείου { } D { } D ϑ3 = = { } D ϑ 3 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Κάθε σημείο του άξονα του μέλους επίπεδου πλαισίου θα έχει: α) αξονική παραμόρφωση β) εγκάρσια παραμόρφωση 4 ( x) ( x) ( x) 3 3 5 3 6 v( x) ( x) ( x) ( x) ( x) Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 4
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ α) αξονική παραμόρφωση ( x), ( x) 4 4 ( x) ( x) ( x) Συναρτήσεις σχήματος εκφράζουν την αξονική παραμόρφωση για =, = 0 και = 0, =, αντίστοιχα. Οι παραπάνω συναρτήσεις σχήματος υπολογίζονται με διαδικασία όμοια με αυτή που ακολουθείται για την αξονική παραμόρφωση μέλους επίπεδου δικτυώματος. x, x L x 4, x L Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 5
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ β) καμπτική παραμόρφωση 3 3 5 3 6 v( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x), ( x), ( x), ( x) 3 5 6 Συναρτήσεις σχήματος εκφράζουν την ελαστική γραμμή του στοιχείου για = και 3 3 = = = 0 3 = και 3 = = = 0 = και 3 3 = = = 0 3 = και 3 = = = 0, αντίστοιχα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 6
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ β) καμπτική παραμόρφωση Επίλυση προβλήματος κάμψης (παραδοχή Bernoll) d dx EI x d dx x 0 διπλή ολοκλήρωση Για μέλος επίπεδου πλαισίου σταθερής διατομής: 3 x x x c c c x c 3 3 4 x x c c x c 3 ελαστική γραμμή, 3, 5, 6 Οι σταθερές c, c, c 3, c 4 υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες. Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 7
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Έτσι, για την ψ (x):,, L, L 0 0 0 0 0 3 x 3, x L για την ψ 3 (x): 3, 3, 3 L, 3 L 0 0 0 0 0 3 3 x L, x L για την ψ 5 (x): 5, 5, 5 L, 5 L 0 0 0 0 0 3 5 x 3, x L Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 8
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ και, για την ψ 6 (x): 6, 6, 6 L, 6 L 0 0 0 0 0 3 6, x L x L ( x) 5( x) 3 3( x) 6( x) 3 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 9
Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 0
Δυνατό Έργο Αξονικές Παραμορφώσεις Καμπτικές Παραμορφώσεις Επίπεδο Δικτύωμα X Επίπεδο Πλαίσιο a b n n n W W W a W n δυνατό έργο λόγω αξονικών παραμορφώσεων (axal) b W n δυνατό έργο λόγω καμπτικών παραμορφώσεων (bendng) Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
Όμοια με την περίπτωση του στοιχείου επίπεδου δικτυώματος, το έργο λόγω αξονικής παραμόρφωσης υπολογίζεται ως εξής: L a a a a ( ) n V x x 0 x x W dv A x E dx V: ο όγκος του στοιχείου a x x 4 x x a x N a όπου N a x 4 x 3 [ x 0 0 4 x 0 0] N a 3 0 0 0 0 και 3 3 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ T
Αντικαθιστώντας προκύπτει: W L a T EA T ( x ) dx n 0 a a N N () Για το δυνατό έργο λόγω καμπτικών παραμορφώσεων: W x b n V x b x dx M y Ey I 3 Ey[0 x 3 x 0 5 x 6 x ] Ey N b b x yn b 3 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3
όπου N b 0 x 3 x 0 5 x 6 x και 3 3 Αντικαθιστώντας και ολοκληρώνοντας ως προς τη διατομή προκύπτει: W L b T EI T ( x ) dx n 0 b b N N () () + (): L L a b T T T W W W EA( x) dx EI( x) dx n n n 0 a a 0 b b N N N N T Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 4
Για το έργο των εξωτερικών δυνάμεων ισχύει: W ex T f F F M F F M T f όπου 3 3 Εξισώνοντας (δw n = δw ex ): F F M k k k k F F M k 0 0 k 0 0 4 0 k k 0 k k 3 5 6 0 0 3 3 33 35 36 3 0 0 0 0 k k 4 44 0 k k 0 k k 5 53 55 56 0 k k 0 k k 6 63 65 66 3 3 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 5 5
F F M k k k k F F M k 0 0 k 0 0 4 0 k k 0 k k 3 5 6 0 0 3 3 33 35 36 3 0 0 0 0 k k 4 44 0 k k 0 k k 5 53 55 56 0 k k 0 k k 6 63 65 66 3 3 L Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 6 6 k EA x x x dx, j, 4 j 0
F F M k k k k F F M k 0 0 k 0 0 4 0 k k 0 k k 3 5 6 0 0 3 3 33 35 36 3 0 0 0 0 k k 4 44 0 k k 0 k k 5 53 55 56 0 k k 0 k k 6 63 65 66 3 3 L Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 7 7 k EI x x x dx, j, 3,5,6 j 0
F F M k k k k F F M k 0 0 k 0 0 4 0 k k 0 k k 3 5 6 0 0 3 3 33 35 36 3 0 0 0 0 k k 4 44 0 k k 0 k k 5 53 55 56 0 k k 0 k k 6 63 65 66 3 3 A Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 8 8
F F M k k k k F F M k 0 0 k 0 0 4 0 k k 0 k k 3 5 6 0 0 3 3 33 35 36 3 0 0 0 0 k k 4 44 0 k k 0 k k 5 53 55 56 0 k k 0 k k 6 63 65 66 3 3 A k Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 9 9
F F M k k k k F F M k 0 0 k 0 0 4 0 k k 0 k k 3 5 6 0 0 3 3 33 35 36 3 0 0 0 0 k k 4 44 0 k k 0 k k 5 53 55 56 0 k k 0 k k 6 63 65 66 3 3 A k D Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 0 0
Τελικά, F F M k k k k F F M k 0 0 k 0 0 4 0 k k 0 k k 3 5 6 0 0 3 3 33 35 36 3 0 0 0 0 k k 4 44 0 k k 0 k k 5 53 55 56 0 k k 0 k k 6 63 65 66 3 3 A k D Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ