Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
ý ý» µ Ð ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ µ Ó Ø Ú ÙÒØ ÓÒµ º ºµº º Ñ Ò Ñ Þ Ø ÓÒµ» Ñ Ü Ñ Þ Ø ÓÒµ ÆȹÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ ÆÈǵ ÆȺ ý º ºº ß ºº ºýº ¾
Π Á µ ËÇÄ (Π Á) Á Πº ÇÈ Ì(Π Á) Á Πº Π Á º ý º ºº ß ºº ºýº
Π ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óµ ¹ ÇÈ Ì(Á) µ º º Πº Á ËÇÄ (Á) Ò ÑÙѵ Á ý µ º ý º ºº ß ºº ºýº
Á º µº ý º ºº ß ºº ºýº
ÇÈ Ì(Á) ¹ Π Á ËÇÄ (Á) 1 µ ÙÔÖ ÑÙѵ Áµº º ý º ºº ß ºº ºýº
» Π ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö Ø Óµ ¹ Á max{ ËÇÄ (Á) ÇÈ Ì(Á) Ì(Á) ÇÈ (Á) } ËÇÄ 1º ý ô º ô ý º ºº ß ºº ºýº
Á : ËÇÄ (Á) ÇÈ Ì(Á) ÇÈ Ì(Á) ý µ º ý º ºº ß ºº ºýº
µ Á : ËÇÄ (Á) ÇÈ Ì(Á) ( ) ( Ñ Ü) ý Ò 0 º È º ÆÈÇ ÆÈ ß µº µº ý º ºº ß ºº ºýº
Î ÖØ Ü ÏÎ µ Ï Ø ÓÚ Ö Î º Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Î µ (Î ) Ú ÖØ Ü ÓÚ Öµ Î Î º Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Û Ø º ÍÒÛ Ø Ö Ò Ð ØÝ º ý º ºº ß ºº ºýº ½¼
Î ÖØ Ü ÓÚ Ö þ Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ø Ò ÅÅ º º Ö Ýµº Î Åź º ¾¹ º ý º ½º Î µ ¾º ÅÅ ÇÈ Ì º ËÇÄ = 2 ÅÅ 2 ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ½½
ý ý Ì Ø Ò ÐÝ µ Ø Øµ º Ø Ø Ü ÑÔÐ µ º Î Ø Ø Ü ÑÔÐ Ã Ò Ò º ý º ºº ß ºº ºýº ½¾
Ø ØÒ µ ô Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö 3 2 ÅÅ º ý ÇÈ Ì ÇÈ Ì º Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Ã Ò Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ø Ò ÇÈ Ì ¾º ¾¹ ý º ºº ß ºº ºýº ½
µ Ã Ò º º ý º ºº ß ºº ºýº ½
Ï Ø Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ÏÎ µ º Ö ¹Û Ø Û : Î É (Î )µ 0 Ú Î Û(Ú) = (Ú) (Ú) Úº º ý Û (Î ) Ö ¹ Û Ø Û(Î) 2 ÇÈ Ì Ï Î º Û(Î) = Ú Î Û(Ú)º ý º ºº ß ºº ºýº ½
(Ù)) º ý º Í Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö (Í)(= Ù Í ý (Î)(= Ú Î (Ú)) = 2 2 (Í)º Û Ö ¹Û Ø Û(Î) 2Û(Í)º ý Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö Í º ý Û(Î) 2Û(Í ) = 2ÇÈ Ì Ï Î ý º ºº ß ºº ºýº ½
Ï Ø Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ÏÎ µ þ ÓÑÔÓ Ø ÓÒµ Ö ¹Û Ø º ºº Ú Î (Ú) Û(Ú) Û µ Î Û(Ú) := Û(Ú) (Ú) Ú º º ¾¹ ÏÎ º ý º ºº ß ºº ºýº ½
Ë Ø ÓÚ Ö µ Ï Ø S º Ë Ø ÓÚ Ö Í Ò Í S {Ë = 1 Ë } Ë Í Å S S ºº Í S Ë S Ë = ͺ Ë Ø ÓÚ Ö Û Ø º ÍÒÛ Ø Ö Ò Ð ØÝ º ý º ºº ß ºº ºýº ½
Ë ÔÖ ( ) := «:= Ë Ï Ø Ë Ø ÓÚ Ö := Í Ë» þ = Ó Ø(Ë ) Ë «ÔÖ ( ) º Ò =1 ÔÖ ( )º ý º ºº ß ºº ºýº ½
À Ò = 1+ 1 2 + 1 Ò ý Ï Ø Ë Ø ÓÚ Ö À Ò ¹ º log Ò+1º ý º Í º ÇÈ Ì µº» ÇÈ Ì Í µº Ì Ò +1 º ý ÇÈ Í Ò +1º {1 Ò} À Ò ÇÈ Ì º ý º ºº ß ºº ºýº ¾¼
{1 Ò} Ë = { } Ó Ø(Ë ) = 1 Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Ì Ø Ü ÑÔÐ Í = { 1 Ò } Ë Ò+1 = Í Ó Ø(Ë Ò+1 ) = 1+ 0 ËÇÄ = À Ò ÇÈ Ì = 1+ (Ò) = Ω(À(Ò)) = Ω(log Ò)º ý Ö Ò Ð Øݵ Ë Ø ÓÚ Ö ý º ºº ß ºº ºýº ¾½
Ì Ø Ü ÑÔÐ Ë Ø ÓÚ Ö Í = { 1 Ñ 1 Ñ} Ñ = 2 1 {1 } Ë = { 2 1 2 1 2 1 2 1 } Ë +1 = { 1 Ñ } Ë +2 = { 1 Ñ} ËÇÄ = ÇÈ Ì = 2 ý º ºº ß ºº ºýº ¾¾
Ï Ø Ë Ø ÓÚ Ö Ë Ø ÓÚ Ö Ï Ø Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ý º ºº ß ºº ºýº ¾
ÓÚ Ö º Å Ü ÑÙÑ ÓÚ Ö Í Ò Í S = {Ë 1 Ë Ð } º Å S S ºº S º º Ö Ýµ µ 1 (1 1) 1 1 Å Ü ÑÙÑ ÓÚ Ö º È ³ Ë Ø ý º ºº ß ºº ºýº ¾
S S Ò ÇÈ Ì ý µ ô S Ò ÇÈ Ì º ý º ½ º ½ 1 Ò ÇÈ Ì 1 1 S µº º ý º ºº ß ºº ºýº ¾
ËÇÄ (1 (1 1 ) )Ò ÇÈ Ì (1 1 )Ò ÇÈ Ì ý µ ¹ 1 S µ (1 1 ) º 1 (1 1 ) º ý º ºº ß ºº ºýº ¾
º S µ º 1µ 1 (1 ) 1 1 Å Ü ÑÙÑ ÓÚ Ö º ý º ºº ß ºº ºýº ¾
ÌÖ Ú Ð Ò Ë Ð Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÌËȵ (Î ) º À Ñ ÐØÓÒ ÝÐ µº ý º ºº ß ºº ºýº ¾
¹ ÌËÈ º ÌËÈ «(Ò) Ò = Î «(Ò) È = ÆȺ ý º ý À Ñ ÐØÓÒ ÝÐ º ½ «(Ò) Òº ý À Ñ ÐØÓÒ ÌËÈ Ò ý À Ñ ÐØÓÒ ÌËÈ «(Ò) Òº ý º ºº ß ºº ºýº ¾
ý µ Ô ÁÒØÖÓ Ù Ò Ê ÙØ ÓÒ µ Π Π Á Π Á = (Á) Π µ «Á Ý ³¹ Ò Ø Ò ÇÈ Ì Π ý Π ) ) (Á (Á ý Á ÒÓ³¹ Ò Ø Ò Π ÇÈ Ì Π (Á ) «( Á ) (Á )º º ý Π ÆȹÓÑÔÐ Ø «Π Π Π «( Á ) ³ È ÆȺ ý º ºº ß ºº ºýº ¼
ý µ Ô ÁÒØÖÓ Ù Ò Ê ÙØ ÓÒ µ Π Π Á Π Á = (Á) Π µ «Á Ý ³¹ Ò Ø Ò ÇÈ Ì Π ý Π ) ) (Á (Á ý Á ÒÓ³¹ Ò Ø Ò Π ÇÈ Ì Π (Á ) «( Á ) (Á )º ý º ºº ß ºº ºýº ½
Å ØÖ ÌËÈ º ÆȹÓÑÔÐ Ø µ Å ØÖ ÌËÈ þ Ì º Ì º þ ÙÐ Ö Ì º ÓÖعÙØØ Ò µº ¾¹ Ó Ø( ) Ó Ø( Ì ) 2Ó Ø(Ì) 2ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ¾
3 ¹ Å ØÖ ÌËÈ 2 Ö ØÓ ³ Ð ÓÖ Ø Ñµ þ ÙÐ Öº þ ÙÐ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ì Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Å Ì º 3 2 ¹ Ó Ø(Å) 1 Ì ÓÖعÙØØ Ò ÇÈ 2 Ì º Ó Ø( ) Ó Ø( Ì Å ) = Ó Ø(Ì)+Ó Ø(Å) 3 2 ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº
Å ØÖ ÌËÈ ( Ø) Ô Ø ËÇÄ 1 2ÇÈ Ì Ø Ø ¾ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ô Ø Øº 5 3 ¹ Å ØÖ ÌËÈ ( Ø) Ô Ø ½º þ Ì º Ì º ý ( Ø)¹Ô Ø º þ ( Ø)¹ ÙÐ Ö Ô Ø È Ø ÓÖعÙØØ Ò ( Ø)¹À Ñ ÐØÓÒ Ô Ø ¾º ÙÐ Ö Ò Óѹ ÔÐ Ø ÓÒ ( Ø)¹ ÙÐ Ö Ô Ø ÓÖعÙØØ Ò µ ( Ø)¹ ý º ºº ß ºº ºýº
min{ëçä 1 ËÇÄ 2 } 5 3 ÇÈ Ì Ø À Ñ ÐØÓÒ Ô Ø ËÇÄ 2 (3ÇÈ Ì Ø + Ø ) 2 ý 5 3 ¹ ý º ºº ß ºº ºýº
ËØ Ò Ö ÌÖ (Î ) ËØ Ò Öº º Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º ý º ºº ß ºº ºýº
ý ÌÖ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º ËØ Ò Ö ËØ Ò Ö ÌÖ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º ¹ Å ØÖ ÌÖ ¹ ËØ Ò Ö ËØ Ò Ö ÌÖ º ý º ºº ß ºº ºýº
ËØ Ò Ö ÌÖ ÔÜ ÔÖ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ º Ñ ØÖ ÐÓ ÙÖ µº º ÇÈ Ì(Á ) ÇÈ Ì(Á) µ Á ËÇÄ(Á ) Á ËÇÄ(Á) ËÇÄ(Á ) º ËÇÄ(Á) ËÇÄ(Á ) ÇÈ Ì(Á ) ÇÈ Ì(Á) ÇÈ Ì(Á) = ÇÈ Ì(Á ) º ý º ºº ß ºº ºýº
ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓÖ ÈÖ ÖÚ Ò Ê ÙØ ÓÒ µ Π Π Á Π Á = (Á) Π Á Á ÇÈ Ì(Á ) ÇÈ Ì(Á) Ë Á ËÇÄ(Á Ë ) Ë = (Ë ) Á ËÇÄ(Á Ë) ËÇÄ(Á Ë )º º Π Π ¹ Π ¹ Πº ý º ºº ß ºº ºýº
Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ ËØ Ò Ö ÌÖ µ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ ÌËÈ Å ØÖ ËØ Ò Ö ÌÖ Ê ÓÖعÙØØ Ò ¾¹ ý ÒÓ ¹ Ò Ù µ ʵº ÙÐ Öµº Ì Ê 2 ÇÈ Ì º ý Ó Ø(ÅËÌ Ê ) Ó Ø(Ì Ê) 2 ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ¼
ÅÙÐØ Û Ý ÙØ» Å Ò ÑÙÑ ¹ ÙØ Ñ Ò¹ÙØ Ñ Ü¹ ÓÛ» Ñ Ò¹Ùص ÅÙÐØ Û Ý ÙØ Ø ÖÑ ¹ Ò Ð µº Ø ÖÑ Ò Ð ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ Òصº Æȹ Ö Ü 3º = 2 Å Ò ÑÙÑ ¹ ÙØ º Ü Æȹ Ö º ý º ºº ß ºº ºýº ½
ý ÅÙÐØ Û Ý ÙØ ÓÐ Ø Ò ÙØ Ø ÖÑ Ò Ð º ÙØ º º ô Î 1 Î º ý ¹ Î ÓÐ Ø Ò ÙØ º Û( ) Û( )º =1 Û( ) = 2Û( ) = 2ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº ¾
Û( ) Û( (1 1 ) ) (1 1 ) =1 =1 Û( ) = 2(1 1 )ÇÈ Ì ý º ºº ß ºº ºýº
ÓÒ ØÖÙØ ØÖ Ì Û Ø ÙÒ ÕÙ ÒÓ Ø Ø Ë ½º 0 Î = Û Ð Ø Ö Ë ºØº Ë 2 Ó ¾º ØÛÓ Ò Ë Ý Ü Ý ÓÓ Ú ÖØ Ü Ý ÙØ Ò Û Ø Ù ØÖ Ó Ë Ò Ì Ñ Ò ÑÙÑ ÓÑÔÙØ Û Ø ÕÙ Ð ØÓ Ø Ø Ó Ø ÙØ Û Ø Ù ØÖ Ó Ë Ò Ì ØÓ Ë Ü ÓÖ Ë Ý ÓÖ Ò ØÓ Ø ÙØ Ø µ ÑÙÐØ Û Ý ÙØ º ºº ß ºº ºýº ý ý Å Ò ÑÙÑ ¹ ÙØ ½º ÓÑÔÙØ ÓÑÓÖݹÀÙ ØÖ Ì º ¾º ÇÙØÔÙØ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÙØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ð Ø Ø 1 Ó Ì º ÓÑÓÖݹÀÙ (Ù Ú) (Ù Ú)¹Ùص ÓÐÐ Ô µ Ë ÓÖ Ò ÐÝ ØÓ Ë Ü ËÝ ÔÐ Ø Û Ø Ò ØÛ Ò Ø Ñ
2(1 1 )ÇÈ Ì º ý º ºº ß ºº ºýº
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.