x n + 2 x n+1 = x n x2 n 2 2x n, f( ) > 0 12, f( ) < 0 408

Transcript

1 ½º½ Æ ÛØÓÒ³ Ñ Ø Ó ÓÓ ËØ Û ÖØ º Ð ÓÖ Ø Ñ ½º½ Æ ÛØÓÒ³ Ñ Ø Ó µº Ó Ð Ò Ø ÖÓÓØ Ó f º º f ) º Á Ì ÐÓ ØÓ º Þ ÖÓ Ó Ø Ò ÒØ ØÓ f Ø f ) f ) ÁØ Ö Ø + f ) f ) Ò ÓÔ º Ì Ø Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ñ ÒÝ Û Ý º f ) Ó ÒÓØ Ü Ø ÓÖ f ) º / domf)º º ÙØ Ò f C ÖÓÙÒ f )º Ì ÓÖ Ñ ½º¾º Á f C ǫ, +ǫ)) Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒÚ Ö Ò ÒØ ÖÚ Ð º º Ê Ñ Ö º ÓÒÚ Ö Ò ÒØ ÖÚ Ð Ò Ú ÖÝ Ñ ÐÐ ǫ, +ǫ ) : Ð ÓÖ Ø Ñ ½º ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø µº Ó Ð ÓÙ Û ÒØ Ý Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ð Ü Øº Ï Ò ØÓ ØÓÔ f) º Ë Ø ÖÓÓØ ÙÔ ØÓ Ñ Ð Ø Ö Ø Ô Ö Ó º ËØ ÖØ Û Ø > º + ÇÒ [, ] f >,f > Ò > + Û Ý µº ) ), f.4666) > ), f.44) < 48 ÓÒ Ö Ò Ø Ö ÓÙÜ ÔÖÓÔ ÖØÝ [.44, ]º ËÓ Ö Ø Ø Ó Ö.44º ÀÓÛ ØÓ Ø Ø f < Ò»ÓÖ f < ½

2 ¾º½ ÁÒ Ò Ø ÒØ Ö Ð Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÖÙÐ ÓÓ ËØ Û ÖØ º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ ËÙÑ Ö Ò µ ÖÙÐ µº Á f Ò g Ú ÒØ Ö Ú Ø Ú ÓÒ I Ó f ±g Ò f)±g))d ) f)d ± ) g) d Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p) p) +5+8 p)d C p)d C Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ ÓÒ Øº ÑÙÐØ ÔÐ ÖÙÐ µº Á f ÒØ Ö Ú Ø Ú ÓÒ I Ò c R Ø Ò cf ÒØ Ö Ú Ø Ú ÓÒ I ) cf)d c f d ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º ÓÑÔ Ö ÓÒ ÖÙл ÑÓÒÓØÓÒ Øݵº Á I f g f,g CI) Ø Ò ÈÖÓÓ º b f g) d b b f)d b b f)d g) d g) dº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º ÌÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð Øݵº Á f : [,b] R Ò f C[,b]) ÛÓÖ Ð Ó ÓÖ Ð Ùص b b f)d f) d ¾º¾ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º º¾ º Ì ÓÖ Ñ ¾º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ù Ø ØÙØ ÓÒµº Ä Ø f,g C Ò g f C Ò f C Ø Ò gf))f )d Gf))+C Û Ö Gv) gv) dv ÈÖÓÓ º Ò ÖÙÐ Ö ÒØ Ø µº ¾

3 ܽº 3 +5) 9 3 gf)) f ) d 3 +5) +Cº v 3 +5, gv) v 9 Gv) v 9 dv v +C si ܾº td cos d si) d l cos +Cº cos] f) f ) v cos, gv) Gv) dv l v +C v v Ö Ú Ø ÓÒ Ó secd ÑÓÖ ØÖ Ý ÓÓ µ Ü º cos+ cos d d d+ 4 cos d + 4 si+cº f) f ) Ê Ñ Ö º Ú Ò ÔÓÛ Ö Ó cos ÜÔÖ Ý cosº Ü º cos 3 d si ) cos si ) d si si3 3 v si, gv) v Gv) v v3 3 Ê Ñ Ö º Ç ÔÓÛ Ö Ó cos ÜÔÖ si ) cosº +Cº c c b) r d r +) b)r+ +C c l b +C r r ÒØ Ö Ú Ø Ú Ó ÕÙ Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÔÖÓ Ð ½µ ¾ ÖÓÓØ Ò Rº d ) d ) d l l )+C ¾µ ½ ÖÓÓØ Ò Rº + d ) d +C µ ÒÓ ÖÓÓØ Ò Rº µ Ù Ø Ò ÓÒ Ø ÒØ +5 d + d ) +4 d ) d rct )+C + ) + d rct ) +C Ê Ñ Ö º Ï Ò v f), dv d f ) dv f )d, gf) ) f )d gv) dv. v dv

4 Ê Ñ Ö º Á f :,b] f),fb)] Ø Ú Ó Ð Ó ÓÖ Ò Ø b gf))f )d fb) f) gv) dv. ¾º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ ÓÓ ËØ Û ÖØ º½ Ì ÓÖ Ñ ¾º ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ý Ô ÖØ µº ÇÒ ÙÖØ Ö Ø ÓÒ Ø Ò ÕÙ º f) g)) f ) g)+f) g ) f) g) f ) g)d+ f) g )d f ) g)d f) g) f) g )d Ò Ø Ú Ö ÓÒ b f ) g)d f) g) b b f) g )d ܽº ܾº Ü º ld e f g d e l d f g f f g e f l g g d e e +Cº + + ) d ) + ) d f + ) d l +Cº f g + d + ) d + ) d rct+ + fg + ) f d g + ) d+ ) + + d fg d rct+ + ) +C Ü º ÓÖ N si d si si d cos si cos) )cossi d f g f g f g cos si + ) si )si d cos si + ) si d ) si d si d si d cos si Ö ÙÖ ÓÒ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ò si )

5 Ü º h) [,]º rcsi) π/ d f g d f g f g ) d π / + + d d + d rcsi A d ) +rcsi +C d +rcsi π. π π )π Ï Ú Ø Ö Ó Ø Ð ÖÐ Ó Ö Ù ½ Ù Ò ÒØ Ö Ð ÐÙÐÙ º ÙØ Ó ÓÙÖ Û Ò Ø Ø ÑÓÖ b d [ ] b +rcsi, غ b Ò Ø ÓÒ ¾º ÁÒÚ Ö ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ µº si : R [,] si [ π [,π ] : π, π ] ) rcsi si [ π,π ] : [,] ÈÖÓÓ º y rcsisiy) rcsi [,] rcsi siy) si y rcsi siy) si y rcsi siy) si y rcsi [ π, π ] π/ π / π π/ rccos cos [,π] ) rct π rcsi : [,] [,π] ) t [ π : R,π ] π/ π, π ) π / rccos rct +

6 Ò Ø ÓÒ ¾º ÀÝÔ Ö ÓÐ ÙÒØ ÓÒ µº cosh sih cosh e +e cosh ) rcosh : [, ) [, ) l + ) sih e e sih ) rsih : R R l + + ) rcosh rsih + d rcosh) ) +C rcosh ) ) d rsih)+c + ¾º È ÖØ Ð Ö Ø ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º Ð ÓÖ Ø Ñ ¾º º Ì Ø Ò ÕÙ ÓÖ ÒØ Ö Ø Ò Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒº p) q) d Ì ÖÓÙ ÐÝ ÓÐÐÓÛ º ½µ ÏÖ Ø p) p) r)+ q) q), ¾µ ØÓÖ q) ÒØÓ q) i µ Ì Ò! iβ,b iβ,c iβ R ºØº deg p < degq ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÓÒµº s i ) ki +p i +q i ) mi º p) q) i k i i β ÒÓ Þ ÖÓ ÓÒ R iβ i ) β ) + s m i i β b iβ +c iβ +p i +q i ) β p) ) 3 ) ++) + ) + 3 ) ) ) + b +c ++ + b +c ++) Ì ÓÒ Ø ÒØ iβ,b iβ,c iβ Ò ÓÙÒ Ý ÓÐÚ Ò Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ý Ø Ñº ) A + B + A )+B A+B) A Ê Ñ Ò Öº ÔÓÐ i p i ) ) Ó p) q) A+B A A, B ÓÑÔ Ö Ó º / k i Ó, i b i > / k i Ú Ò, i b i > ØÝÔ / k i Ó, i b i < / k i Ú Ò, i b i <.

7 µ Ï ÒÓÛ ÓÛ ØÓ ÒØ Ö Ø µ Ò ÓÖ µ b > µ Û Ù > + +) +b) β d {}}{ β +) +b) β β > l +) +b ) +C β Ò d b d +) +b) β b β ) ) β b β dt t +) β + b + ÓÖ Ø ÒØ Ö Ð > ) ) d Ø Ö Ö ÙÖ ÓÒ ÓÖÑÙÐ ÓÓ µº +) +) d +) + ) + ) +) [ +) d ) + 3) +) + d rct+c +) d d ) +) ] d +) +) d Ê Ñ Ö º Ï Ò ÒØ Ö Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒØ Ö Ð ) +b P, d c+d Û Ö P,y) ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ØÛÓ Ú Ö Ð º ÔÓ ØÓÐ Á º¾ º µ rct) d rct) + rctd rct) rct) rct+ rct + d rct) rct)rct+ l+ ) rct) +C + rct) rct+ l+ )+C 4 ++5) d ++5) ) ++5) d ) d Í Ò Ô ÖØ Ð Ö Ø ÓÒ!A,B,C,D ºØº A+B ++5) ++5) + C+D A+B)+C+D) ++5)

8 B +5D 5 A+5C +D C +D 4 C 4 A B 5 C 4 D ) d d ) d d d l ++5) rct + l ++5) rct + l ++5) 3 + rct ) d ) +C + d ) ) + ) d ++5) rct + +C ¾º ÁÑÔÖÓÔ Ö ÒØ Ö Ð ÓÓ ËØ Û ÖØ º Ò Ø ÓÒ ¾º½¼ ÁÑÔÖÓÔ Ö ÒØ Ö Ðµº ½µ f : [, ) Rº Ð ÓÒ [,b] ÓÖ ÐÐ b º Ï Ý Ø Ø f ÑÔÖÓÔ ÖÐÝ Ð ÓÒ [, ) Ø Ð Ñ Ø Ò ÛÖ Ø ¾µ Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ f :,b] º d lim b b d lim e b e b lim b b d lim b e p d ÓÒÚ Ö p > º µ f : R R ÓÖ ÓÑ R ) f)d L R Ü Ø f)d : L ÓÖ Ø ÑÔÖÓÔ Ö b l b f d < f)d : lim ÓÒÚ Ö f)d Ò f)d : b lim b lb f)d f)d Ü Ø Ø f)d+ ) lim lim b b. Ó ÒÓØ ÓÒÚ Ö f)d f)d lim b lim b f)d

9 e d π Ù ÒØ Ö Ð Ú ØÓÖ ÐÙÐÙ µ + d rct Ì ÓÖ Ñ ¾º½½ Ì Ø ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò µº Ä Ø f) g) ÓÒ [, )º Ì Ò π ÖØ Ò ÒØ Ð Ñ Øµ l d )º f)d Ú Ö f)d ÓÒÚ Ö l ÓÖ > e > Ò d º e g)d Ú Ö g)d ÓÒÚ Ö ) Ú Ö º Ò Ø ÓÒ ¾º½¼ ÁÑÔÖÓÔ Ö ÒØ Ö Ð ÓÒغµº µ Á f :,b) R lim + f) ± Ò µ Ë Ñ Ð Ö ÓÖ lim f) ± º b ld l ¼ Ð Ñ Ø ÒÓØ Ú ÐÙ b b f)d : lim f)d Ø Ü Ø º + º lim l ¾º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º Ôµ

10 º½ ÒÓØ Ö ÐÓÓ Ø Ö ÓÓ ËØ Û ÖØ º½ Ê Ðк Ò Ù ØÓ ÐÙÐ Ø Ö º y A f) rea) f), b f)d Ò Ø ÓÒ º½º Ä Ø f,g : [,b] R ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò f) g) [,b] y f) Ì Ò Ø Ö ÓÒ ØÛ Ò Ø Ö Ô Ó f Ò g Ì ÓÖ Ñ º¾º R {,y),b] R : g) y f)} rer) b [g) f)]d R g) b f) si g) cos b π º f) g) µ 4 b π/4 π/4 rer) [cos si]d si +cos ) ) + y R Ê Ñ Ö º Á Û Ö ØÛ Ò Ö Ô ØÛ Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ò ÑÙ Ø Ø ÖÑ Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Øº g),f) 4º Ó Ö Ô ÓÙÒ Ü ØÐÝ ½ ÓÙÒ Ö ÓÒ Ö y f) g) 4 3 +) 3), 3 Ø ÓÚ Ö [,3] A 3 [ ) 4) ] 3 d ++3)d ) ) ) Ê Ñ Ö º ÁÒ Ø Ö ÑÓÖ Ø Ò ½ Ö ÓÒ ÒØ Ö Ø ØÛ Ò ØÛÓ Ø Ð Ö Ö) Ø Ñ ÐÐ Ö)º ½¼

11 y π/4 5π/4 Ì ÙÖÚ ÒØ Ö Ø Ø π 4 Ò 5π 4 º Ø ÖÑ Ò Ø Ö ØÛ Ò Ö Ô Ó f) cos g) si ÓÖ [,π]º A π 4 si+cos) cos si)d+ 5π 4 π 4 si cos)d + π 4 π 5π 4 si π 4 +cos π 4 cos si)d 5π 4 si+cos) +si+cos) π 4 ) si 5π 4 +cos 5π ) 4 4 π 5π 4 º¾ ÎÓÐÙÑ ÓÓ ËØ Û ÖØ º¾ z Ò Ø ÓÒ º º Ê ÓÒ V R 3 z Ñ Ü volv) : zm z mi rev {z z })dz Í Ù ÐÐÝ Ö Ø Ð Ò ÒØ Ö Ð Û Ð ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö Ð Ú ØÓÖ ÐÙÐÙ µº ÙØ Ò ÓÑ Û Ò Ú ÐÙ Ø ÚÓÐÙÑ ÑÔÐ ÒØ Ö Ðº z Ñ Ò z z z À Ð Ô Ö ÐÐ V R πr r )dr 3 πr3 y Ì ÓÖ Ñ º ÎÓÐÙÑ Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ð Ó Ýµº f : [,b] R º Ì ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÖÓØ Ø ÓÒ Ð Ó Ý ÔÖÓ Ù Ý ÖÓØ Ø Ò Ø Ö ÓÒ Ò Ø grphf) Ý Ø ¹ Ü º y volv) b πf ) d }{{} rev { }) b Ï Ò ÖÓØ Ø Ò Ø Ö ÓÒ ØÛ Ò ØÛÓ ÙÖÚ f ) f )º ËÓÐ ØÓÖÙ volv) volv) b r r r r πf ) f ) )d π [ f ) f ) ] d 4πR r d 4πR π r π Rr y f ) R+ r f ) R r ½½

12 º ÝÐ Ò Ö Ð ÐÐ ÓÓ ËØ Û ÖØ º f) 3 º ÊÓØ Ø ÖÓÙÒ y¹ Ü º ÎÓÐÙÑ Í Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ Ñ Ø Ó Ð µ volv) c ÙØ Ø ÓÑÔÐ Ø Ù f f c Ö ÒÓØ ÒÓÛÒº π f y) f y) ) dy y y c f y) f y) f) 3 Ì ÓÖ Ñ º ÎÓÐÙÑ Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ð Ó Ý Û Ø ÝÐ Ò Ö Ð ÐÐ µº f : [,b] R º Ì ÚÓÐÙÑ Ó Ø ÖÓØ Ø ÓÒ Ð Ó Ý ÔÖÓ Ù Ý ÖÓØ Ø Ò Ø Ö ÓÒ Ò Ø grphf) Ý Ø y¹ Ü volv) b πf)d ÓÒغ Ü ÑÔÐ ÓÚ µ ÆÓÛ Ù Ò Ø Ñ Ø Ó Ó ÝÐ Ò Ö Ð ÐÐ y f f volv) π π 3 )d π 4 ) 5 5 π 8 3 ) )d 6 5 π. Ê Ñ Ö º Á ÝÓÙ ÖÓØ Ø Ö ØÛ Ò ØÛÓ Ö Ô volv) b πf ) f ))d º Ú Ö Ú ÐÙ Ó ÙÒØ ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º grphf) Ò Ø ÓÒ º º Ä Ø f : [,b] R Ò ÒØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒº f³ Ú Ö Ú ÐÙ f Ú b b f)d ÅÓØ Ú Ø ÓÒº i R + + f Ú º ½¾

13 Ì ÓÖ Ñ º Å Ò Ú ÐÙ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ µº Ä Ø f : [,b] R ÓÒØ ÒÙÓÙ º Ý Ø Ö ÓÙÜ Ø ÓÖ Ñ c [,b] fc) f Ú º Ì ÓÖ Ñ º º ÆÓÛ Ð Ø f : [,b] R C [,b],r)º ÔÔÐÝ Ò Ì ÓÖ Ñ º ØÓ f c [,b] f Ú c) f ) Ú b Ì ÓÖ Ñ º½¼ Å Ò Ú ÐÙ Ò ÕÙ Ð Ø µº ÓÖ f : [,b] R f > b f )d fb) f) b ÖÑÓÒ ÓÑ ØÖ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ö Ø / ) + / e l + +l [ /f] Ú e lf) Ú [f] Ú [f ] Ú b b f) d e b b lf)d b b f)d b b f) d º È Ö Ñ ØÖ Þ ÙÖÚ ÓÓ ËØ Û ÖØ ½¼º½ Ò Ø ÓÒ º½½º c : [,b] R ÑÓÓØ Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÙÖÚ Û Ò ct) t),yt)),,y : [,b] R,,y C [,b],r) y t : b cb) c) imgec) ÒÓØ grphc) ÍÒ Ø ÖÐ º [,b] [,π] ct) cost,sit)º f : [,b] R ct) t,ft))º Ì Ò imgec) grphf)º Ê Ñ Ö º Ï Ò Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ö Ô ÙØ Ð Ó ÓØ Ö Ø Ò º ½

14 º Ö Ð Ò Ø ÓÓ ËØ Û ÖØ º½ Ò Ø ÓÒ º½¾ Ö Ð Ò Ø µº t i ) t i )) +yt i ) yt i )) ct ) ct ) t i t i ct ) ÅÎÌ t i )) + y t i )) t i )) +y t i )) t i,t i [t i,t i ]) Ô Ú ØÓÖ c t) t),y t)) Ô c t) t) +y t) legthc) b, y C legthc) c t) dt b t) +y t) dt Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ ÓÒ c[,b]) ÍÒ Ø ÖÐ º ct) cost),sit)) t [,π] c t) sit),cost)) c t) si t+cos t legth π c t) dt π dt π ÍÔÔ Ö ÙÒ Ø ÖÐ Ö Ô µº grphf) Ï Û ÐÐ Ò Ø Ð Ò Ø Ó grphf) Û Ö ft) t t [,]º ct) t, ) ) t c t t), c t) t t Ò Ö ÐÐÝ legthgrphf)) b legth +f t) )dt ÓÖÑÙÐ Ò ÓÓ µº dt rcsit t Ò Ø ÓÒ º½ ÁÒØ Ö Ø Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÚ Ö ÙÖÚ µº π π ) π z f,y) f : R R ÓÚ Ö ÙÖÚ c : c f dt : Ê Ñ Ö legth dtº c b t [,b] R º fct)) c t) dt z C re y ½

15 f,y) y º Ø ÓÚ Ö ÙÒ Ø ÖÐ º Ï Ù Ø Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ ct) cost,sit), t [,π]º fct)) fcost,sit) si t, c t) ÓÖ ) c f dt π π si t dt cost si t) cost dt π sit 4 π π c grphf)º ct) t,ft)) gdt b grphf) gt,ft)) +f t) dt Ò Ø ÓÒ º½ Ú Ö Ú ÐÙ ÓÚ Ö ÙÖÚ µº [f] Ú,c f dt lec) c b f ct)) c t) dt b c t) dt ØÖÓ» 성형선 º ct) cos 3 t,si 3 t ) t [,π] f,y) º c t) 3cos tsit) + 3si tcost ) 3 cos 4 tsi t+si 4 tcos t 3 cos tsi t cos t+si t ) lec) 4 c ds 4 3 sitcost π/ π/ π/ sit π/ 3sitcostdt dt 3cost 3 ) 3) 6 π/ cos 6 t 3sitcostdt cos 7 t sitdt π/ 8 cos8 t 3 [ ] Ú c 3 ds lec) 6 4 ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ º Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÚ Ö ÙÖÚ º Á f c > Ø Ò [ f ] Ú,c e [lf] Ú,c [f] Ú,c [f ] Ú,c ½

16 º Ö Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÙÖ È ÔÔÙ ³ Ø ÓÖ Ñµ ÓÓ ËØ Û ÖØ º¾ y C R [, ) Ì ÓÖ Ñ º½ º Ö Ó ÖÓØ Ø ÓÒ Ð ÙÖ ÖÓÙÒ ¹ Ü re π ydt C C grphf) f : [,b] Rº ct) t,ft)) Ô Ö Ñº re π b ft) +f t) dt ÓÖ ÖÓØ Ø ÓÒ Ó C, ) R ÓÒ y Ü re π dt C b t +f t) dt Cgrphf), b y b Ö Ó ÙÒ Ø Ô Ö Í Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ ft) t t [,]º re π t + t dt π t t dt 4π t Ö Ó ØÓÖÙ Í Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ ct) rcost,r+rsit) t [,π]º c t) rsit,rcost), c t) r re π πr+rsit)rdt 4π Rr ÅÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ø Ö Ó Ô Ö ÓÐÓ ft) t t [,]º Ö Ó Ð º غ Ò Ø ÓÒ º½ ÒØÖ Ó Ñ» Ð Ò µº m i Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ò R º ÈÓ Ø ÓÒ i Û Ø Ñ m i º i Ð Ò ÒØ Ö i m i ÑÓÑ ÒØÙÑ) mi ØÓØ Ð Ñ ) m i i,y i), ȳ) Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ò R º,ȳ) mi i,y i ) mi ½

17 ÀÓÛ Ó Û Ò Ö Ð Þ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ÒØÖ Ø ÙÒ ÓÖÑÐݵ ÓÒ ÙÖÚ ÓÖ Ö ÓÒ º ÓÖ ÙÖÚ C, ȳ) [] Ú, [y] Ú ) dt, lec) C C ) ydt /4 Ó Ø ØÖÓ º ct) cos 3 t,si 3 t) t [,π/]º ÖÓÑ ÔÖ Ú ÓÙ Ü ÑÔÐ Û ÒÓÛ lec) 3/º C dt π/ cos 3 t 3sitcostdt 3 5 cos5 t t) c t) 3 /5 3/ 5 Ò ÖÓÑ { y} ÝÑÑ ØÖÝ ȳ 5 º π/ 3 5 ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ È ÔÔÙ ³ Ø ÓÖ Ñ Áµº re le πȳ Ò Ø ÓÒ º½ ÒØÖ Ó Ñ» Ð Ò ÓÒغµº º ÓÖ Ö ÓÒ Dº ÓÒ Ö ÓÖ ÑÔÐ ØÝ ½µ y f D ÓÖ ¾µ b y D b f g Ì ÓÖÑÙÐ Ñ ),ȳ) [] Ú,D,[y] Ú,D ÙØ Ò ØÓ ÜÔÐ Ò Ú Ö ÓÚ Ö Ö ÓÒº [] Ú,D Dddy ÑÓÑ ÒØÙÑ) D ddy Ö ) ÁÒ Ø ½µ g,y)dyd b f) D g,y)dyd ½

18 red) D D D, ȳ) ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ È ÔÔÙ ³ Ø ÓÖ Ñ ÁÁµº dyd dyd ydyd b b f) b f) b f) f)d dyd dyd ydyd b b b b f)d, f)d ÓÐ ØÓÖÝ f)d f) d b f) d vol/π ȳ π re vol, πȳ le vol ÖÓغ Ó Ý re ÔÐ Òº Ö ÓÒ le ÖÐ Ó ȳ ÖÓغ Ò Ø ÓÒ º½ ÒØÖ Ó Ñ» Ð Ò ÓÒغµº º ÁÒ Ø ¾µ b, ȳ) f) g))d, b f) g)d Ì ¾Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ú Ö ÓÒ Ó È ÔÔÙ ³ Ø ÓÖ Ñº b f) g) d ) ÒØÖ Ó Ñ Ó re π/ cos cosd π/ f cos }{{} g d f ȳ si }{{} g,ȳ) π/ cos d 4 π 8 + π/ 8 si π 8 π/ π/ π, π 8 π/ si }{{} d π f g ) +cos)d ½

19 º ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò ÔÓÐ Ö ÙÖÚ ÓÓ ËØ Û ÖØ ½¼º ÔÓ ØÓÐ ¾º Ò Ø ÓÒ º¾¼º Ì ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ó p R \{} Ö Ú Ò Ý r غ Ó p ØÓ θ Ò Ð ØÛ Ò ¹ Ü Ò Ð Ò Ñ ÒØ ØÛ Ò Ø ÓÖ Ò Ò p r > θ [,π)º Å ÒÓØ ØÓ ÚÓ Ñ Ù ØÝ Ø Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ù Ò Ø ÒÓØ ÓÓ Ù θ π,π]µº r θ p,y) y Ì ÓÖ Ñ º¾½ ÓÒÚ ÖØ Ò ÖÓÑ ÔÓÐ Ö ØÓ Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÖØ Òµ ÓÓÖ Ò Ø µº rcosθ y rsiθ 3 5 p r 5 y si3 5 5 θ 3 cos ) 3 p, 5 ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ì ÓÖ Ñ º¾¾ ÓÒÚ ÖØ Ò ÖÓÑ ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø µº r p +y tθ y π/ θ rct y Ì Ù θ rct y Ò ÓÒÐÝ θ < π > º π/ Ê ÐÐ rgerct) π/,π/) Á < Á rct y θ π π/ y > ) θ 3π/ y < ) < p θ y p θ π 3π/ y π/ ÁÒ ÙÑÑ ÖÝ ÓÖ p R\{} p,y) r +y rcty/) > ) π +rcty/) < ) θ π/ Ò y > ) 3π/ Ò y < ) Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ó Ø ÔÓ ÒØ p 4,3)º r 4) º Ë Ò 4 < Û Ú θ π +rct 3 / 4).498rd ½

20 Ò Ø ÓÒ º¾ Ö Ô Ó ÈÓÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ µº ËÓÑ ÙÖÚ Ò Ö ÓÒ Ò Ö Ö Ý ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Ý ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø º Ì ÒØ Ð ÓÖ ÐÙÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò Ð Ò Ø º ½µ ÖÐ µ Ö Ó +y 9 r 3 ¾µ ÖÐ Ñ ÒØ µ Ä ÑÒ Ø r +cosθ r, θ 5π/3 r cosθ µ ÒÒÙÐÙ p,y) R r 5 p,) p,) ¾ ½ ¹½ µ ÖÐ Ñ ÒØ µ ÒÒÙÐÙ µ Ö Ó µ Ä ÑÒ Ø Ò Ø ÓÒ º¾ ÈÓÐ Ö ÙÖÚ µº ct) rt),θt)), t [,b] Ó Ø Ò rθ),θ) ct) cost cost, sit sit) t [,π] Ò ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø º t t t t θ ct) cost cost, sit sit) ct) cost rθ) cosθ, cθ) cosθ,θ) ¾¼

21 º Ä Ò Ø Ò Ö Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø ÓÓ ËØ Û ÖØ ½¼º ÔÓ ØÓÐ ½ º½ Ì ÓÖ Ñ º¾ Ö Ð Ò Ø µº cθ) rθ),θ) Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø θ [,b]º C c[,b])º lec ct) rθ)cosθ, rθ)siθ) c t) r cosθ rsiθ,r siθ+rcosθ) c t) r ) +r lec) b rθ) + ) dr dθ θ) dθ rθ) cosθ Ö Ó θ [,π]º lec) 4 π π cosθ) +si θdθ si Ì ÓÖ Ñ º¾ Ö µº cθ) fθ),θ) θ [,b]º π ) ) θ θ π dθ 4 cos A b fθ)) dθ cosθdθ 6 Ö Ó º r fθ) cosθº A π 4π+ cosθ) dθ π cosθ)+)dθ 6π 8π+ π ) cos θdθ Ä ÑÒ Ø º r cosθº A π/4 π/4 cosθdθ siθ 4 π/4 π/4 y ¾½

22 º½ Ì Ò ØÙÖ Ðµ ÐÓ ÙÒØ ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º¾ Ï ÐÙÐ Ø Û Ø l e ÐÖ Ý ÙØ Ö Û Ú ÔÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ º½º > ) l : t dt Ó Ù /t ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÒ, )) Ò ÓÛ l Ò ÜÔº ÙÒØ ÓÒ Ò ÒØ Ý Ø ÓÖÑÙÐ ÓÖ e Ì ÓÖ Ñ º¾º Ý Ò Ø ÓÒ Ó l Ï ÓÛ ÓØ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ó log ÖÓÑ Ò Ø ÓÒº d d l ¼µ l ½µ ly) l+ly ¾µ l r ) rl ÈÖÓÓ º ¼µ d ½µ Ä Ø f) l) df d f ) d d ) dl d ÔÙØ : l ) )l l) l+l f) l) l)+c, > + C C l) Ê Ñ Ö º ) l l+l ) l y l)+l ) y l ) l ly ) l ¾µ Ä Ø f) l r )º d f) rr d r r d d f) d d rl)) f) l r ) rl+c : r +C C l r ) rl ¾¾

23 Ì ÓÖ Ñ º º ½µ lim ¾µ lim ÈÖÓÓ º ½µ l ÒÖ Ò > l l ) Ò lim l ) lim l º ¾µ Í l /) l l l ÓÒس lim l ÒÙÑ Ö Û» l l ÒÖ Ò ÒÙÑ Ö ÙÒ ÕÙ Ò Ø ÓÒ º ÆÙÑ Ö eµº Ä Ø e Ò Ó Ø Ø le º e d ÖÙ ÓÙÒ d < e > 4 d > /+ /3+ /4 > e < 4 e º¾ Ì Ò ØÙÖ Ðµ ÜÔ ÙÒØ ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º Ò Ø ÓÒ º º ÆÓÛ Ð Ø l :, ) R ep : R, ) ÒÖ Ò Ò Ø Ú ÓÒØ ÒÙÓÙ + Ì ÓÖ Ñ ½º ÙÖ Ø Ú Ø Ú l : R, ) Ø ÒÚ Ö Ó l epl), ), lepy) y y R ep) Ù l ep) e Ù le eple r )) epr le) epr) e r ep Ò Ò ep ÙÒØ ÓÒ Û Ø e ¾

24 ËÓÑ Ð Û le ) d de e ) e ) e e d e +C e r e r ), e +y e e y, Ì ÓÖ Ñ º ÓÖÑÙÐ ÓÖ eµº e ep) ep lim h l+h) l l ) lim h h l+h) ) l+h) ep ÓÒس lim ep h h h l+h) lim h h ) lim +h) /h lim h + /) ÀÓÛ ÓÓ Ø ÔÔÖÓÜ º Ò Ö Ð ÐÓ Ò ÜÔ ÙÒØ ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º Ò Ø ÓÒ º º Ï Ò > Ò e l r r ) ) r +y y Ë Ò e ) e > e ÒÖ Ò ÒÖ Ò > Ö Ò < > < Ò Ø ÓÒ º º Ï Ò > : R, ) Ø Ú º Ä Ø f) : º log :, ) R f y) log l l, l log l e l log e l) log log e l Ì ÓÖ Ñ º º log ) ) e l ) l l f) g)) e lf) g)) f ) ) f) g)+lf) g ) f) g) ) e l) l+)e l l+) ¾

25 f) e f ) e < < > > f) f) R e + R ÖÒÓÙÐÐ Ò ÕÙ Ð ØÝ l ÑÓÒÓØÓÒÓÙ f) : + ) + e l+ ) +) l+) > > ) g) : f ) + ) + +)+l + ) ) /+l+ /) ÖÒÓÙÐÐ Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÖ /) f) f Ö Ò lim f) e f) e l +)l + ) ) e l+ ) > ) g ) ) + +l + ) ) g) /+)+l+ /) ÓÚ ) lim g) e g) e > + ) e g ÒÖ Ò + ) e.784 g) f) º ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÖÓÛØ ² Ý ÓÓ ËØ Û ÖØ º ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÓÛØ ÓÑÔÓÙÒ ÒØ Ö Ø ÓÒس Ö Ó Ø Ú Ý ÓÙÒ ÒØ Ò ØÝ ¾

26 º½ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ ÔÓ ØÓÐ Ò Ø ÓÒ º½º ÇÖ Ò ÖÝ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ç µ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö Ð Ø f) f ) º Ì Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó ½ Ø ÓÖ Ö Ç ÛÓÙÐ F,f),f )) ) ÍÒ Ö Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö ½¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ ÐÝ Ó ÓÐÙØ ÓÒ f y ) Ó Ù Ù ÐÐÝ ) ÓÑ Û Ø ÓÑ ÜØÖ Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÓÒ Ø ÓÒ f ) y º ËÙ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙÖ Ò Ñ ÒÝ ÓÒØ ÜØ ÑÓ Ð ÁÒ ÓÑ ) Ò ÓÐÚ Ü ØÐݵ º¾ Ö Ø ÓÒ Ð ÓÓ ËØ Û ÖØ º¾ ÔÓ ØÓÐ º¾½ Ï ÓÒ Ö Ò Ç Ó Ø ÓÖÑ f ) F,f)) ) µ ÈÙØ Ò ÔÓ ÒØ,y) R Ö Ø ÓÒ Ð F,y) Ö Ø ÓÒ F,y) > Ô Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ô Ø ÔÓ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÔÓ ÒØ ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ v,w) Ú ØÓÖ Ð F,y) v,w),y) ct) c : [,b] R ÒØ Ö Ð ÙÖÚ Ó F) c t) Fct)) t Ù Ø ÙÒ ÕÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Óк Ü Ø Ú Ò º ÕÒº Ò Ò Ø Ð ÓÒ º F,f,f ) f ) y ÙÒ ÕÙ ¾

27 f) 4 f ) F,f,f ) f 4 f ) Ø ÑÙÐغ ÓÒ Ø ÒØ ÒÓØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒµ f) f) c) c R f) Ö ÓÐÙØ ÓÒ c f) c) > c ) ÒÓØ ØÛ Ö ÒØ Ð µ c c ) c f) c c ) c ) c c c Ö Ð Ó ÓÐ º ÓÖ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ f ) y > ¾ ÓÐÙØ ÓÒ ³ÐÓ ÐÐݳº ÐÓ ÐÐÝ Ñ ÒÝ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ f ) y )º Ì Ð Ò {y } Ø Ò ÒØ ØÓ ÐÐ ÓÐ ³ ÒÚ ÐÓÔ ³º y f ) f) f) f) c) c R f) ) Ø ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ ÙØ ÒÓØ )! Óк ÓÖ f ) y > º,y ) f ) 3f) /3 Ò ÑÙÐغ ÓÒ Øº ÓÒÐÝ ÓÖ ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒµ Ì ÑÔÐ f º f) f) c) 3 c R c f) c) 3 c c) 3 c f) c c ) 3 c f) c c c ) 3 c ¾

28 f ) 3 f) /3 f >, f > Ì ÑÔÐ f <, f < ± c) 3 / f) c Ì ÓÖ Ñ º¾ È Ö ¹Ä Ò Ð µº f F,f) #) F ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÒÓÙ µ Ò y ÓÖ,y) ÐÓ ØÓ,y )º Ì Ò #) ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ f ) y º Ff) f < ÒÓØ Ö ÒØ Ð ÒÓÖ Ä¹ÓÒس µ Ø º f f 3 / 3/ > F ³ Ð Ò fµ ËÓÐÙØ ÓÒ Ö f) 4 c) ÓÖ c c R y f) ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ö C f ) )º ÆÓ Ö Ò Ò C ÆÓÛ! ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ f ) y y > º ÙØ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÙÐ Ö ÔÓÐ µº ÁØ Ü Ø ÐÓ ÐÐÝ ÓÖ ÐÓ ØÓ µ ÙØ ÒÒÓØ ÜØ Ò ØÓ Rº ¹ Ì Ù Ô Ò Ñ Ò Ø Ø Ø È¹Ä Ø ÓÖ Ñ ÓÒÐÝ Ý ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ÐÓ ÐÐÝ ¹ ÜØ Ò Ð ØÝ Ó ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ç Ö ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ¹ Ø ÓÒÒ Ø ØÓ Ñ ÒÝ ÓØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ º º ˺ À Û Ò ³ Ò ÙÐ Ö ØÝ Ø ÓÖ Ñ Ò Ô Ý Ü Ø Ò Ó Ð ÓÐ ÈÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÖÓÛØ Pt) ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ñ ÜÔº ÑÓ Ð ÓÓ ÓÖ Ñ ÐÐ Ø Ñ µ dp dt kp P Cekt ÐÓ Ø ÑÓ Ð ÒØÖÓ Ù µ ÖÖÝ Ò Ô ØÝ dp dt kp P ) µ F,y) ky y ) µ Ä Ø Ö : Pt) Û Ò ØÙÖ Ø ÓÒ ÒÓØ Ô Ò ÒØ ÓÒ ) µ +Ae kt ¾

29 º Ë Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º ÔÓ ØÓÐ º¾ Ò Ø ÓÒ º º Ë Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ó Ø ÓÖÑ Ð ÓÖ Ø Ñ º ËÓÐÚ Ò Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ µº dy d ) y) g) f dy d g)fy) y P) ÓÐÙØ ÓÒ P ) g)fp)) ) d dy y)d d f fy) dy g) d Fy) G)+ R C Fy ) G )+C C Fy ) G )) y P) F G)+C) Ê Ñ Ö ÓÑ Ø Ñ F ÒÒÓØ ÒÚ ÖØ º Ï Ý Fy) G)+C Ò ÑÔÐ Ø ÓÐÙØ ÓÒº ܽº f ) 5 f) f) 5 f)f ) 5 f df 5d f 5 +C f ± 5 + C f 5 +5 ܾº yy e +y si si u e v y ey y sie d cose + cos ũ e ṽ ye y dy sie d d cose +sie sie d si cos)e sie d ye y + 4 e y +C si cos)e e y y) si cos)e + C ÔÔÐ Ø ÓÒ º Ê Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÙÖÚ ØÓ ÙÒ Ø Ô µº Ó Ð C c[,b]) c[,b ])º Ú Ò c Ò c Ó Ø Ø c º b Ä Ø l lec) c t) dt b º c : [,lec)] C Á ÛÖ Ø ct) cft)) ) [,b] c f C c [,l] Ì ÔÖÓ Ù Ô Ö Ð Ç c t) f t) c ft)) Ï Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ f) f > ËÓÐÚ Ò Ø Ç Û Ú c Ý )º ¾

30 Ò Ø ÓÒ º ÌÓØ Ð ÙÖÚ ØÙÖ Ó ÙÖÚ µº κc) l c t) dt ÓÖ ÙÒ Ø Ô Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ, c : [,l] C /4 Ó ØÖÓ ct) cos 3 t,si 3 t ) t [,π/] c t) 3sitcost Ò ft) ct) cft)), f), f c t) f t) c ft)) 3sift)cosft)) f t) f t) sift)) 3 dt : cosft)) 3 t Ê Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ø ÓÒ f) ft) rccos 4 ) t f) 3 t t 3 / ft) π / lec ct) ft)), yft))) cos 3 rccos 4t 3 t ) 3/ ) 3/ ) t, 3 3 c t) ) c t), 3 t/3 3 t/3 )), si 3 rccos 4t 3 t 3, ))) cos t +cost, si t cost ) 3 t c t) c t) 3 + t /3 t/3 3 t/3) t /3 ) κc) 3/ / / dt 3 t/3) t /3 Ö Ó Ä Ñ Ø Ö Ð 4y dy rcsiy) / dz z z) / π / / dy /4 y ØÓØ Ð ÙÖÚ ØÙÖ Ó ) ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ØÖ ØÓÖ µº Ò Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ø ÙÖÚ ØÓ Ò Ö Ð Þ ØÖÓ /3 +y /3 ÓÒ Ø ) d d ) 3 /3 + 3 y y /3 y y/3 /3 y ) Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò )º Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò ÙÖÚ ØÓ ) Ì Ú Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒº y ) /3 y /3 y y /3 y /3 3 f y4 / /3 +C y 4 /3 +C) 3/4 ºÔº C Ú y ÙÑ,y > Ö Ø Ý ÝÑÑ ØÖݵ ¼

31 ËÓÐÚ Ò Ø ÐÓ Ø ÑÓ Ð P P P /µ) k P) P dp P P /µ) l µ P P P + ) dp kt+c µ P kt C µ Pt) Pt) t : A µ P P Pt) Ae kt µ + µ P ) e kt º ÀÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÓ ÔÓ ØÓÐ º¾ Ò Ø ÓÒ º ÀÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒµº f F,f) ÐÐ ÓÑÓ Ò ÓÙ F,f) F t,f t) t Rº ) f Ì Ò F,f) G Ï ÖÒ Ò Ø ³ ÓÑÓ Ò ÓÙ ³ Ö ÒØ ÖÓÑ ³ ÓÑÓ Ò ÓÙ ³ ÓÖ Ð Ò Ö Ç Û Û Ù Ð Ø Öµ Ð ÓÖ Ø Ñ º ËÓÐÚ Ò ÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ µº v) f G f /) Gv) Ù Ø ØÙØ ÓÒf) v)) v +v Gv) v Gv) v) Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò v y y + y y /+ y/ y v v +v v + v v v +v + v v v +v + v l v +v + l +C ± ) ) ÓÖ v v v ± y v +v +) C C ±e C R\{} C R C : ) v ± C / + y v ± C + C R) ½

32 º Ä Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ º ÔÓ ØÓÐ º Ð ÓÖ Ø Ñ º ËÓÐÚ Ò Ö Ø ÓÖ Ö Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒµº Ó Ð Ó Ø ÓÖÑ Á ÒØ Ö Ø Ò ØÓÖ e P)d I)º dy +P)y Q) d e P)d dy d +P)e P)d y e P)d Q) d e ) P)d y) e P)d Q) d e P)d Q)d+C y) e P)d ÒÓØ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò I) Ò Ð ÓÙØ Ó Ø Ó ÒÓØ Ñ ØØ Ö y + P) y l Q) y) > ) I) e P)d e l y ) y +y l y l )+C )+C C 3 y l l )+3) + 3 Ò Ø ÓÒ º º Ì Ò Ö Ð ÓÖÑ Ó ÓÒ ÓÖ Ö Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ y ) y y ) y º y +P)y +Q)y R) Ï Ò P Q Ó ÒØ R ÓÑÓ Ò ÓÙ R ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ ÓÖ Ö ÓÖ Ö ) P i )y i) ) R), P ) i Ð ÓÖ Ø Ñ º½¼ ÀÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ µº y +P)y +Q) Ê Ö d d Ò ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÒ Ô Ó ÑÓÓØ ÙÒØ ÓÒ º d d d ) +P) d d d +Q) y) Ì ÙÒØ ÓÒ P) Q) Ø Ý Ð Ö ÔÖÓ Ùغ ¾

33 ÁÒ Ò Ö Ð d +f )d + +f ) ) y) ÓÒ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ f i ) c i y ) +c y ) + +c y +c y P P[] ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ð Ò Ö Ð Óк Ó ) d + c d+c )y) Pd)y) ) Pd) Ù Ó ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ P Q P Q ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð d ) d 4)y) d )d 4))y) d )d 4)y)) d 5d+4 ) y) d )y 4y) y 5y +4y y 4y) y 4y) y 4y y +4y y 5y +4y ËÓÐÙØ ÓÒ Ó d c i )y) Ö y C i e ci Pd) ÖÓÓØ c i Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ ØÝ µ i º Ì ÓÖÑ Ó Ò Ö Ð Óк Ó Pd)y) Ï Ò µ i A i,b i,d i R) Ï Ò µ i > A i,j,b i,j,d i,j R) c i R A i e ci c i i ±b i C Bi e i sib i )+D i e i cosb i ) c i R Ai, +A i, + A i,µi µi ) e ci c i i ±b i C Bi, +B i, + B i,µi µi ) e i sib i ) + D i, +D i, + D i,µi µi ) e i cosb i ) Ì ÙÑ c 3 c ±i Pd) d 3) d d+5 ) A, e 3 +A, e 3 +B, e si)+d, e cos)+b, e si)+d, e cos) Ì ÛÓÖ Ð Ó ÓÖ ÒÓÒº ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ ÙØ Ø Ò ÑÙ Ø ØÓÖ Pd) ۺֺغ ÒÓØ d ) y) d ) d )y) d )y y) y y y) y y) y y + 4 )y [ d ) y) y y + 4 y ] ËÓ Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó y y + 4 )y d ) y) y C e d C e 3 /3 y y + 4 )y y C e 3 /3 +C e 3 /3

34 Ð ÓÖ Ø Ñ º½½ ÆÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ µº Pd)y) R ) Ê Ñº Pd)y +ỹ) Pd)y)+Pd)ỹ) Pd)y) R Pd)ỹ) Pd)y ỹ) ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ) ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ) + ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÓÑÓ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒPd)ŷ) Ì Ù Ø Ó Ø Òµ ÒÓÙ ØÓ Ò ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒº Ò Û ÙÑ Ò ÓÒ Ø ÒØ Ó ÒØ º ÓÒ Ö Û Ò Pd) Ö º º y cy R Ø Ò ØÓÖ e cd u ye cd y u e + cd y cy u e cd R Á ÝÓÙ ÒÓÛ ÖÓÓØ c Ó Pd) ÓÖ +b µ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ý ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ u Ó ÓÒ Ö Ð º e ct Ò Ø y ue ct e t sibt) ÓÖ e t cosbt)µ Ò Ø y ue t sibt) Ò Ø Ò y 5y +4y e y) y ) y 5y +4y d )d 4)y) e d )d 4)y)e 4 e u y e 4 u) d+3)u e u y 4y)e 4 u ) v +3v e v u v) t e t ve 3 t) t e d e e d )e + u v e 3 t) )e +e 3 v)d e + 4 e 3 e y e 4 u) e + 4 e 3 e + 5 e4 y e + 4 e +C e 4 +C e Ô ÖØ ÙÐ Ö Óк Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÑÓº Õº Óк ) 3 e + 5 e4 Ï Ò Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ø Ö Ù ØÓ ÓÐÚ ÓÖ c c Ò ) ÓÖ ÔÖÓÔ Ø Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÓÛÒ ÓÒ Ø Ö Øº

35 Ò Ü ÑÔÐ Û Ø ÓÑÔÐ Ü ÖÓÓØ y y +y e u e si+u e cos e u +u cot Ø Ò ØÓÖ si u si +u cossi si u si ) si u si sid cos+si u cos si + si u si si d+ y ue si e y ue si y u e si+ue si+cos) y u e si+u e si+cos)+ue cos) si d ) I e cotd e l si si Ò Ö Ð Óк y e +C e si+c e cos Ì ÓÖ Ñ º½¾ ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ì º º ÔÓ ØÓеº Ä Ø v ) v ) Ø ¾ Ò Ô Ò ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó y + y +by º º Ø Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ c v )+c v ) c,c Rº Ù Ð Ø ÏÖÓÒ Ò W) v )v ) v )v ) Ì Ò Ø Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó y +y +b R Ú Ò Ý y) t )v )+t )v ) Û Ö v )R) v )R) t ) d t ) d W) W)

36 º½ ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö Ò Ø ÓÒ º½º C ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö z C Ó ÓÖÑ z +bi, b R Rez Ö Ð Ô ÖØ b Imz Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Û Ö i Ñ Ò ÖÝ ÙÒ Ø c > c c ci Ì ÓÖ Ñ º¾º r,θ) Ø ÖÑ Ò z ² Ú Ú Ö ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò C\{} R \{} +bi,b) ÖØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ú Ö ÙÒ Ö ÔÖÓ ÙØ rgz ω rgz +rgω mod π z ω z ω º º z r cosθ +isiθ ) z r cosθ +isiθ ) z z r r cosθ +θ )+isiθ +θ )) ºÔº z r cosθ isiθ ) z z r r cosθ θ ) isiθ θ )) ÔÔк Ë Ø r r cosθ +isiθ )cosθ +isiθ ) cosθ +θ )+isiθ +θ ) cosθ cosθ siθ siθ )+isiθ cosθ +cosθ siθ ) si, cos ÓÖÑÙÐ cosθ +θ ) cosθ cosθ siθ siθ siθ +θ ) siθ cosθ +cosθ siθ Ì ÓÖ Ñ º ÅÓ ÚÖ ³ Ø ÓÖ Ñµº z C\{} N + z r θ rgz z r cosθ)+siθ)) Ò Ø ÓÒ º ÊÓÓØ µº z C\{}º Ï Ø z z z z z r θ rg z z r θ rgz ų Ø Óº r r r r cos θ) cosθ si θ) siθ θ θ mod π θ θ + kπ k,, ÔÓ º Ú ÐÙ

37 z z ËÓ ÐÐ k k,, θ z k r cos + kπ ) θ +isi + kπ )) z Ö Ø ÖÓÓØ Ó zº θ θ/ z z º ÊÓÓØ Ó ÙÒ ØÝ r θ z Ì Ù ÓÖ z C \ {} ³ z³ Ñ ÙÓÙ Ò ØÓ Ù Ö ÙÐÐÝ Ù Ø Ðк Ó 5µ Ú Ò 6µ Ò Ø ÓÒ º ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð µº Ï ÐÖ Ý Û ÖÓÑ ÀÏ Ø Ø e i i i! ÓÖ i lim i i ) i Ì Ò ÐÝ ÜØ Ò ØÓ ÐÐ Ö Ð ÙØ Û Ó Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ö Ð Ø Öº ÇÒ Ò Ù Ø Ò Ø ÓÒ Ð Ó ÓÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ö ÓÒÚ Ö µ Ì Ò e z Ù Ù Ð ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ Ö Ð z ÁÒ C ep Ø ÙÐ Ö³ ÓÖÑÙÐ e i cos+isi ºÔº e πi º Ò Ö ÐÐÝ ÓÖ > z C z : e l z Ì Ù ÓÒ Ò Ò si cos Ù Ò ep si ei e i i cos ei +e i y y +y Pd)y) P) + ÊÓÓØ Ö ±i y C e +i) ÙØ Û Û ÒØ Ö Ð¹ C C Ú ÐÙ y +C e i) C C i e cos e si ÓÚ Ö R

38 º½ Ë ÕÙ Ò ÓÓ ËØ Û ÖØ ½½º½ Ê ÐÐ ÕÙ Ò { i } { i } i {,, } i Rº : N + R, i) i º Ä Ñ Øº lim L Ð Ó ÛÖ ØØ Ò ³lim L³ ÓÖ ³ L³µ ǫ > : L R Ý ÓÒÚ Ö ØÓ L ÓÖ L ± Ý Ú Ö ØÓ ± º Ä Ñ Ø ÖÙÐ L R {± } L < ǫ L R > /ǫ L < /ǫ L lim ±b lim ±limb ÅÓÒÓØÓÒ ØÝ b, lim limb ËÕÙ Þ Ò ÖÙÐ b c, ² lim limc L limb Ü Ø ² limb Lº ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÖÙÐ lim L ² f ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ø L R limf ) fl) ܽº lim p lim ) p p N ÓÖ p R, lim > µ ܾº lime e lim ÅÓÒÓØÓÒ ØÝ Ò ÓÙÒ Ò { } ÒÖ Ò + Ö Ò ØÖ ØÐÝ Ò» ººº > < ÓÙÒ ÓÚ µ ÓÙÒ ÐÓÛ m ÑÓÒÓØÓÒÓÙ ØÖ ØÐÝ ÑÓÒº + ÓÙÒ ) Ì ÓÖ Ñ { } ÑÓÒÓØÓÒÓÙ ² ÓÙÒ { } ÓÒÚ Ö Ò { } ÓÙÒ º¾ Ë Ö ÓÓ ËØ Û ÖØ ½½º¾ π i 3 4 i i Ö i i¹ø Ø Ó π i {,,9}º Ò Ø ÓÒ º½ Ë Ö µº { ÓÖ { } ÕÙ Ò Ø i i} ÕÙ Ò Ó Ô ÖØ Ð ÙÑ s i º i

39 Ë Ö i : lim s lim i Ì Ò Û Ý Ö i R ÓÑ Ø Ñ ÒÐÙ ± µ Ð Ñ Ø Ü Ø º i i ÓÒÚ Ö ÓØ ÖÛ Ö Ú Ö º i Ì ÓÖ Ñ º¾º ÓÒÚ Ö + ÈÖÓÓ º L º Ì Ö Ò º º i i Ê Ñ Ö Ì ÓÒÚ Ö Ð ÓÒÚ Ö lim Ó ÒÓØ Ü Ø ÓÖ Ú Ö Ò Ø ÓÒ º ÓÑ ØÖ Ö µº +r+r + +r + Ì ÓÖ Ñ º ÓÑ ØÖ Ö ÓÒغµº r, r ÓÑÑÓÒ Ö Ø Ó s r ) r < r r r < r r ) Ú Ö r r r 5, r / /3) 5 3 5/3 Ð ÓÖ Ø Ñ º ÓÒÚ ÖØ Ò Ô Ö Ó Ñ Ð ÓÖÑ ØÓ Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ ² Ú Ú Ö µµº. k b b l k b b l k + k+l k k + b b l l ) k Ø Ù Ô Ö Ó ÓÙÐ ÒÓØ Ú ÐÐ 9 µ Ö Ô Ø Ò Ø Ô Ö Ó Ú Ø Ñ ÒÙÑ Öµ ÜØÖ Ø +) lim lim i ii+) lim ) i + i i i i ) i+ ) + i lim

40 Ì ÓÖ Ñ º Ì Ð ÓÔ Ò ÙÑ µº b b + ÓÒÚ Ö limb L R. Ì Ò b L. Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÖÑÓÒ Ö Ê ÐÐ Ú Ö ØÓ µº ÓÒÚ Ö Ø Ò lim º Ì ÓÚ Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø ÓÒÚ Ö ÒÓØ ØÖÙ º Ì ÓÖ Ñ º º Á Ò b ÓÒÚ Ö c R ±b ± b c c ÙØ ÒÓ ÔÖÓ ÙØ ÕÙÓØ ÒØ ÖÙÐ µ º ÁÒØ Ö Ð Ø Ø Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÙÑ ÓÓ ËØ Û ÖØ ½½º Ó ÓÒÚ Ö Á Ø Ñ Ø Ý Ò ÑÔÖÓÔ Ö Ù Ò Ø Ø Ö º + ÓÒÚ Ö d < ) π 6 ÓÙÖ Ö ÐÙÐÙ ÙØ Ø Ö ) /4 /9 / ÒÓØ ØÓ Ð µ Ó ÓÒÚ Ö Ø Ñ Ø ÖÓÑ ÐÓÛ Ý Ú Ö Ò º d Ú Ö / / 3 / Ì ÓÖ Ñ º ÁÒØ Ö Ð Ø Øµº Á f : [, ) R + Ö Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ f)º Ì Ò ÓÒÚ Ö f)d ÓÒÚ Ö ¼

41 p > f) / p º p ÓÚ Ö ÐÙÐÙ d ÓÚ Ö p p > Ò Ø ÓÒ º Ê Ñ ÒÒ Þ Ø ÙÒØ ÓÒ Ê Ñ ÒÒ ÝÔÓØ µµº Ý ÙÐ Ö ζ) π π4 ζ4) 6 9 p C ζp) Ð ÓÖ Ø Ñ º½¼ ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø µº k Á L ÓÒÚ Ö L < Ø Ñ Ø ζ3)º k+ k+ f)d k+ + k+ + p Ö ÓÒÚ Ö ÓÖ Rep) > k+ k f)d 3 d ζ3) s+ ζ3) :s 3 ζ3) s 3 d + ) error error.5 ÒÓØ Ó ÓÓ ) ).5 Ø ØØ Ö) º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ø Ø ÓÓ ËØ Û ÖØ ½½º Ì ÓÖ Ñ º½½ ÓÑÔ Ö ÓÒ Ø Øµº b Ö Û Ø > b > b ÓÒÚ Ö b Ú Ö & b, ÓÒÚ Ö & b, Ú Ö p b p < b : p Ú Ö Û Ò p < + ÓÒÚ Ö º + ÓÚ Ö + ÓÒÚ Ö ½

42 ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ p) Û Ö p) q) Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ) µ Ö Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ò q) ÓÒÚ Ö degp < degq + Ú Ö º lim Ì ÓÖ Ñ º½¾ Ä Ñ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ø Øµº Á b Ö,b > > ǫ > ºØº + + ǫ + > ǫ, Ð Ö lim c, c R +, b Ø Ò ÓÒÚ Ö b ÓÒÚ Ö + Ú Ö º +, b + ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö lim b > Ð Ð ) º ÐØ ÖÒ Ø Ò Ö ÓÓ ËØ Û ÖØ ½½º Ò Ø ÓÒ º½ ÐØ ÖÒ Ø Ò Ö µº ) ÐØ ÖÒ Ø Ò + < ÐØ ÖÒ Ø Ò ÖÑÓÒ Ö ) ÓÒÚ Ö º Ì ÓÖ Ñ º½ ÐØ ÖÒ Ø Ò Ö Ø Øµº + l 3 Ð Ø Ö Á b + b Ò lim b Ø Ò ) b ÓÒÚ Ö Ì ÓÖ Ñ º½ ÐØ ÖÒ Ø Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñµº b + b ) k b k ) k b k b + k k ¾

43 º ÓÐÙØ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ö Ø Ó» ÖÓÓØ Ø Ø ÓÓ ËØ Û ÖØ ½½º Ò Ø ÓÒ º½ ÓÐÙØ» ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒÚ Ö Ò µº ÓÐÙØ ÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÒÚ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ÙØ ÒÓØ º ÓÒÚ Ö ÒØ Ì ÓÖ Ñ º½ º ) ÓÐÙØ ÐÝ ÓÒÚ Ö Ø ) ÓÒÚ Ö ÒØ ÈÖÓÓ º + ÓÒÚ Ö ÓÑÔº Ø Ø + ) ÓÒÚ Ö + ) ÓÒÚ Ö ÐØ ÖÒ Ø Ò ÖÑÓÒ Ö, ÖÑÓÒ Ö, ) ÓÒÚ Ö Ú Ö ÒÓØ ÓÐÙØ ÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ Ì ÓÖ Ñ º½ Ê Ø Ó Ø Øµº Á ǫ > : Á ǫ > : + > +ǫ Ú Ö + < ǫ ÓÒÚº º Ì ÓÖ Ñ º½ ÊÓÓØ Ø Øµº Á ǫ > : > +ǫ Ú Ö Á ǫ > : < ǫ ÓÒÚº º c! c!, + c+ + +)! c + Ë Ö ÓÒÚ Ö ÓÐÙØ ÐÝ ÓÖ ÐÐ c R Ú ÐÙ e c Û Û ÓÛ Ð Ø Öµ ) 3 ) 3 3 ) 3 3 < 6 ÓÛ Á Ó Ø Ì ÝÐÓÖ Ö Ò Üص 3 )

44 º½ Ë ÕÙ Ò Ò Ö Ó ÙÒØ ÓÒ ÓÓ ËØ Û ÖØ ½½º ½½º ÔÓ ØÓÐ ½½ ÓÖ ÐÐ Ù ÕÙ ÒØ Ù Ø ÓÒ µ ÓÒÚ Ö Ò Ó ÙÒØ ÓÒ {f )} f : S R f) lim f )º Ò Ø ÓÒ º½ ÈÓ ÒØÛ ÓÒÚ Ö Ò µº f f ÓÒÚ Ö ÔÓ ÒØÛ ÓÒ S S ǫ > : f) f ) < ǫ ÈÓ ÒØÛ ÓÒÚº Ó ÒÓØ ÔÖ ÖÚ ÓÒØ ÒÙ ØÝ f ) [,] ÓÒس [,) f ÒÓØ ÓÒس ÈÓ ÒØÛ ÓÒÚº Ó ÒÓØ Ú Û ÐÐ Û Ø f ) ) [,] ) d +) ) + +) ÈÓ ÒØÛ ÓÒÚº ØÖÓÝ Ð ØÝ / f ) m /k, gcdm,k), k Ð Q Ð ; f f / Q ÒÓØ Ð ËÓ Û Ò ÓÑ Ø Ò ØØ Ö Ò Ø ÓÒ º¾ ÍÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò µº f f ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ S ǫ > S : f) f ) < ǫ Ì ÓÖ Ñ º º f fº Ì Ò f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò µ f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò µ Ì ÓÖ Ñ º º f f ÓÒ [,b] R Ì Ò g gº g ) : ºÔº f ÒØ Ö Ð µ f t)dt, g) : ft)dt Ò Ø ÓÒ º º Ö Ó ÙÒØ ÓÒ f ) f º Ò Û Ò Ý f ÓÒÚ Ö ÔÓ ÒØÛ ÙÒ ÓÖÑÐÝ Øº ÓÖÓÐÐ ÖÝ º º Á f ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒÚ Ö, f f ÓÒØ ÒÙÓÙ f ÓÒØ ÒÙÓÙ f

45 Ì ÓÖ Ñ º Ì Ø ÓÖ ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ö µº µ : f µ, µ < f ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ si ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ù si, ÓÒÚ Ö ÙØ [ ] si cos Ú Ö Ø º Ì Ù Ø ÖÑÛ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ñ Ý ØÖÓÝ Ú Ò ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º¾ ÈÓÛ Ö Ö Ò Ø ÓÒ º º ) ÕÙ Ò, R,)C z R,)C ) z ) ÐÐ ÔÓÛ Ö Ö Ò z º ÆÓØ Û Ù Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÓÖ Ú ÐÙ Ø Ò ÔÓÛ Ö Ö º z ) z Ì Ö Ü Ø C Ø ÖÐ Ó ÓÒÚ Ö Ò C {z C, z r } Û Ö r Ø Ö Ù Ó ÓÒÚ Ö Ò ÓÒÚº º Ò C Ù Ø Ø ) Ú Ö ÓÙØ C r FrC Ê Ñ Ö ½µ r r + Ö ÔÓ Ð ¾µ Ì ÓÒÚ Ö Ò Ø FrC ÑÙ Ø Ö Ô Ö Ø ÐÝ µ ÓÒÚ Ö Ò ÙÒ ÓÖÑ ÓÒ Ø S C Û Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØÓ FrC r < µ ÓÖ S ÓÙÒ r µ z ØÝÔ Ó ÓÒÚ Ö Ò Ú ÓÙÖ ÓÒ ÓÙÒ ÖÝ Ó ÖÐ Ó ÓÒÚ Ö Ò ½µ! r z b ÓÒÚ Ö z C, b + b z +

46 ¾µ! r µ 3 b + b 3 z + ÓÒ FrC {z C : z /3} z < /3 ÓÒÚ Ö z > /3 Ú Ö r /3 z Ú Ö z, ) µ 3 r /3 ÓÒ C {z C : z /3} z ÓÒÚ Ö ÓÐÙØ Ðݵ z /, ) / < µ r ÇÒ Ò ÓÛ Ò C r ÓÒÚº Ú Ö ) ÓÒÚ Ö Úº Ì ÓÖ Ñ º º Á L lim + ÓÖ L lim [, ] Ü Ø Ø Ò r ) L, ) R ÙÒ ÓÙÒ ÓÚ [, ] ) limsup : lim sup{ : } [, ) ÓØ ÖÛ Ê Ñ Ò Ö b ) Û Ø b sup{ : } Ö Ò Ò b R ) ÓÙÒ ÓÚ º Ì Ù b ) ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ lim b º Ë Ñ Ð ÖÐÝ [, ] ) limif ÙÒ ÓÙÒ ÐÓÛ lim if{ : } [, ) ÓØ ÖÛ Ê Ñ Ò Ö limif limsup Ò L lim L limif limsup º Ì ÓÖ Ñ º½¼º ÓÖ z ) Ö Ù Ó ÓÒÚ Ö Ò r limsup limif Û Ø ),

47 º ÈÖÓÔ ÖØÝ Ó ÙÒØ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ý ÔÓÛ Ö Ö Ä Ø R ÛÓÖ ÓÚ Ö R Ì ÓÖ Ñ º½½º Ä Ø f) ) ) Û Ø Ö Ù Ó ÓÒÚ Ö Ò r > º Ì Ò Ò Ø Ø ÖÑÛ f)d t ) dt + )+ < r Ò ³Ø Ø ÖÑÛ f ) [ ) ] ) ÓØ Ö Ú Ø Ñ Ö Ù Ó ÓÒÚ Ö Ò )º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½¾º f ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ö ÒØ Ð ÓÖ < rº ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ º f) k f k) ) k! k f k) ) ) k k! ºÔº ÔÓÛ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ) Ó f Ø Ü Ø ÙÒ ÕÙ k fk) ) k! Ì ÝÐÓÖ³ Ö Ó f Ø ) Ú Ò f Ú ÐÙ Ø Ò ) Ý Ù Ò ) ÓÖ k Ù Ù ÐÐÝ Ø ÖÖ Ð Ñ ÙØ Ò Û Ø ÛÓÖ Û Ðк Ê Ñ ÁÒ Ø Ü ÑÔÐ Ì ÝÐÓÖ Ö f ÙØ Ø Ø ÒÓØ ÐÛ Ý Ó f) e f k) ) e k k! e k Ê Ñ Û Ò Ì ÝÐÓÖ Ö ÐÐ Å Ð ÙÖ Ò Ö k! k r f) si ) cos k mod 4 f k) si k mod 4 cos k 3 mod 4 si k mod 4 k mod 4 k k 3 mod 4 k! k, mod 4 si 3 3! + 5 5! 7 7! + r

48 f) ) f k) Ï Û ÐÖ Ý ÒÓÛ Ï Ø Ø Ö ÙÑ ÒØ ÝÓÙ Ð Ó k ) k+ k! k r k+ < k k < k Á ÝÓÙ ØÖÝ ØÓ Ò Ø Ö Ù Ò Ö Ú Ø Ú Ø³ Ò ØÑ Ö º ) i Ó Ï ÒÓÛ i ÙØ Ø Ö ØÓ Ò ÖÓÑ Ø Ö Ú Ø Ú º i Ú Ò f) f ) f ) f)! ) f )! ) 4 ) 3 f )! f )? f ) 3! 3 º f 4) ) 4! 4 4 Ð ÓÖ Ø Ñ º½ º ÇÒ Ò Ù Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø ÔÓÛ Ö Ö ÓÖ ÓÑ ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÙÒØ ÓÒ º t dt t dt l ) l+) +t dt rct) + + < ) + + Ñ Ð ÖÐÝ ) t dt ) + + <

49 Ð Ó Û Ò Ó Ø Ò ÔÓÛ Ö Ö Ý ÔÔÐÝ Ò Ö ÒØ Ø ÓÒº k k ) k? 3 ) k k 3 k ) k k k 3 ) k k 3 k k [ 3 /3 3 ] ) 6 3 ) 6 ËÙÑÑ ÖÝ f Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý ÔÓÛ Ö Ö Ø ÙÒ ÕÙ f ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ö ÒØ Ð Ò Ø Ú Û ÐÐ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ d d Ò º ÉÙ Ä Ø f ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ö ÒØ Ð º Ó ) Ö ÔÖ ÒØ f º º Ó f Ú ÔÓÛ Ö Ö ÓÖÑÙÐ Ò Û Ö ÆÓ e / > f) d ) d e / P /) P ÔÓÐݺ e / Ì Ù f ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ Ö ÒØ Ð Ò f k) ) º ÙØ! f) ÓÖ ÒÝ Ö ØÖ Ö ÐÝ Ñ ÐÐ > ÐØ ÓÙ Ø Ö Ù Ó ÓÒÚ Ö Ò º Ò Ø ÓÒ º½ º f : [,b] R Ò ÐÝØ Ð f ÔÓÛ Ö Ö ÜÔ Ò ÓÒ Û Ø r > Ò ÔÓ Òغ C [,b]) {ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ } C k [,b]) {k Ø Ñ ÓÒس ÐÝ ³ Ð ÙÒØ ÓÒ, f : [,b] R} C [,b]) { Ø Ñ ÓÒس Ðݵ ³ Ð ÙÒØ ÓÒ, f : [,b] R} C ω [,b]) { Ò ÐÝØ Ð} ÓÚ Ö R C C C C C ω ÓÚ Ö C C C C C ω ÐÐ Ñ Ü ÔØ C º Ï Ò f ÓÒ ³ Ð f Ò ÐÝØ Ðº ÓÐÓÑÓÖÔ µ Æ ÜØ Ù Ï Ò Ò ÐÝ Ñ ÒÝ Ø Ñ ³ Ð ÙÒØ ÓÒ Ò ÐÝØ Ð º º Û Ò Ø Ì ÝÐÓÖ Ö ) Ò Ú Ð ÔÓÛ Ö Ö Ó f ÖÖÓÖ Ø ÖÑ f) k f k) k!

50 Ì ÓÖ Ñ º½ Ì ÝÐÓÖ³ Ø ÓÖ Ñµº E ) )+! f) k u f +) [+ )u]du f k) ) ) k +E ) k! ÅÎÌ, ÒÓØ ÓÒÐÝ Û Ø Ò Ö Ù Ó ÓÒÚ Ö Ò ) + f +) z) z ØÛ Ò Ò ) +)! ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ º Á A > f ) ) A,,3, r,+r) Ø Ò E º º Ø Ì ÝÐÓÖ Ö ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ ØÓ f ÓÒ r,+r)º f) e f ) ) e < A < la µ : la! e ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÒØ ÖÚ Ð µ,µ) f) si f ) ) Ì ÓÛ Ø Ø Ø Ì ÝÐÓÖ Ö Û ÛÖÓØ ÓÛÒ Ò ÓÒÚ Ö ØÓ e siº Ì ÓÖ Ñ º½ ÖÒ Ø Ò³ Ø ÓÖ Ñµº Á f ) ) [ r, +r] Ø Ò E ÓÒ ÓÑÔ Ø Ù Ø Ó r, +r)º f) ÙØ < / ǫ f k) ) k! ) k+ f k) ) µ k ÓÖ ÒÝ µ E ) + f +) z) + +)! z + / ǫ) + /+ǫ) + ǫ)+ Ì Ì ÝÐÓÖ Ö ÓÒÚ Ö ØÓ f ÙÒ ÓÖÑÐݵ ÓÒ /+ǫ, / ǫ) ǫ > º ÓÒÚ Ö ÔÓ ÐÝ ÒÓÒ¹ÙÒ ÓÖÑÐݵ ÓÒ /, /)º ÙØ Û Ò Ø Ð Ó ÖÓÑ Ø Ö Ñ Ò Ö Ø ÖÑ Ò Ø ÓÑ ØÖ Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ú Ò ÓÒ,)º ÓÖ ) + )+ + + Ì ÓÑ ØÖ Ö Ö ÙÑ ÒØ ÑÙ ØØ Ö Ø Ø Ø ÓÖÖÓÖ Ó ÐÙÐ Ø Ò Ö Ú Ø Ú ² Ì ÝÐÓÖ³ Ö Ø Ø ÖÑ ÓÖÑÙÐ º ¼

51 ÆÓØ Ø Ø ÓÖ < r ÓÒÚ Ö Ò Ö Ù Û ÐÛ Ý Ó Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò Ó Ö Û Ø b : ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Øº Ì Ù Ó Ö Û Ò Ú ÐÙ Ø ÓÑ Ö Û Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ö Ò Ø ÖÑ º b ÆÓÛ Û Ø ÔÔ Ò ÓÒ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó ÓÒÚ Ö Ò ÖÐ FrC { r,+r} Ì Ö Û Ý ØÓ Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ø ÖÑ Ó ÓÑ ØÖ Ö Û Ú ÓÑ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ö Û Ø Ù ¹ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ÐÐ Ò Ø ÖÑ º l+) ) r ÓÒÚ Ö Ø ÙØ ÒÓØ Ø º Á Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÐÐ ØÖÙ ÓÖ l l+ Ú ÐÙ Ø Ö Ø Ø ÖÑ Ý + > ) + ) d [ + + ) ]d ) + + d + + ) + Ô ÖØ Ð ÙÑ ) + + d + + d + Ö Ø Ø ÖÑ l ÔÖÓÚ ) rct) Ú ÐÙ Ø ) + + r ÓÒÚ Ö ÓÒ º ) + ) ) d +3 π 4 rct) ) + Á ÒØ Ö Ø Ê ÐÐ Ñ Ø Öѵ : ) ÓÚ Ö [,] 3 d 3 l 6 l ++ ) rct d ) Ä Ò Þ Ö ÓÖ π ÐÓÛÐÝ ÓÒÚ Ö Ò µ + 3 )+C + 3 d 3 l + 6 l + ) + rct )+C ) 3 + ) [ ) 3] d ) 3+ Ô ÖØ Ð ÙÑ ½ ) d )

52 Ì Ö ÓÖ ) + 3 d 3 l + 6 l + ) + rct 3 ) rct 3 rct 3 ) l 3 + π l++ 3 ) π/6 ) 3+ l 3 + π π /6 ) d 3+3 d 3+4 Ê Ñ Ó ÓÙÖ Ø Ó ÒÓØ ÛÓÖ ÓÖ Ò Ø ÒÓÒ¹ Ðغ Ö ) 3 6+)6+4) l 9 + π Ú Ö Ò Ø ÓÒ º½ ÒÓÑ Ð Ö µº ÓÒ Ö Ø Å Ð ÙÖ Ò Ö Ì ÝÐÓÖ Ö Ø µ Ó ÒÓÒ¹ Ðغ Ú Ö ÓÒ f) +) k k R f ) ) k k +)+) k f ) ) k k +) f ) ) kk ) k +) ÒÓÑ Ð Ö! ) k + + ÇÒ Ò ÓÛ Ø Ø Ö Ø Ø ÖÑ ÙÐص Ì Ù Ì ÝÐÓÖ Ö f Ê Ñ Ö k N +) k ) k > k : ), k Ò º ÒÓÑ Ð Ó º k + ) k +k + kk ) + ÒÓÑ Ð Ö Ö Ù ØÓ ÒÓÑ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖ +) k k N +) k k r Ö Ù Ó ÓÒÚº Ó Òº Ö ) k k kk )k ) ) / k ) k k k k ) / ) k 3 k ) k k k! k)! k k!) k r ) ) k k)! k k!) k)! Ø : rcsi) k k!) k +) k+ < ) k ) / k + k l + ) ) + rsih) Ê Ñ Ö ÓÒÚ Ö Ð Ó Ð Ø Ö k ) k k)! k k!) k +) k+ < ) k ¾

53 Ð ÓÖ Ø Ñ º¾¼ ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø µº / Ò rcsi Ö º rcsi ÀÓÛ Ó Á Ø Ñ Ø ÖÖÓÖ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÐÔ ÙÐ ØÓ Ö ÐÐ ÓÛ Û ÓØ rcsi Ö ½º ÒÓÑ Ð Ö ÓÖ ¾º Ö ÔÐ º Ø ÛºÖºØº ) π 6 k)! 4k+ k!) k +) k ½º k ) k / k k)! k k!) k + k+ ) d k k! d k R +)! +)! + +)! ) + t) +3 / d + d t R +)! + +)! t) k+3 / t [,] +)! + +)! ) k+3 / ¾º º Ø ÓÚ Ö [,] rcsi) k)! k k! k +R ) + R ) k k +)! + +)! k)! k k! k + k+ + ) k+3 / R t ) t + dt R R R t )t + dt +)! + +)! +)! + +)! +)! + +)! t + t ) +3 / dt t + ) +3 / dt k+3 +3) ) +3 / Ì ÔÖÓÚ ÓÒ Û Ý ØÓ Ø Ñ Ø ÖÖÓÖ Ò rcsi Ö º ÆÓÛ Ð Ø / +)! R + +)! /) +3 +3) 3 /4) +3 / Ì ÓÖ Ñ º¾½ ËØ ÖÐ Ò ÓÖÑÙÐ µº π! e) e > )

54 Ð ÓÖ Ø Ñ º¾¼ ÖÖÓÖ Ø Ñ Ø ÓÒغµº Í Ò ËØ ÖÐ Ò ³ ÓÖÑÙÐ Ø ÖÖÓÖ Ó π 6 k k)! 4k+ k!) k +) R e π ) 3 ) 3 +3) + ÖÖÓÖ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ e 3 6π ÒÓØ Ö Û Ý Ù º ÓÒÚº Ø Á ÓÒ Ö Ò Ø Ò + + )!!) + )!!) ) e + e ) ËØ ÖÐ Ò ÓÖÑÙÐ > ) π e + e e 3 / π 8π Ò 3 / ζ 3 /) < º k+ + + )!!) e 8π k+ 3 / Ö Ñº Ö ÓÖ ζ 3 /) e 8π ζ 3 /) Á < k+ + + )!!) k+3 k+ + )!!) k+3 e 8π ζ 3 /) ºÔº Ø ÖÖÓÖ Ó π 6 k k)! 4k+ k!) k +) )! 4+!) + k+ ) k e 4 6 π ζ3 /) ÖÖÓÖ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ë Ò Ö ÓÒÚº ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÖ Ø rcsi rsih ÓÖÑÙÐ ÓÐ Ð Ó ÓÖ º π rcsi) )!!) +, l+ ) rsih) )! )!) +

55 ÀÓÛ ØÓ Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ö Ò ÓÒÚ Ö ÓÐÙØ ÐÝ ÓÖ º Ì Ù ÓÖ Ü ÑÔÐ )!!) )!!) t dt )!!) t )!!) ) Ø ÖÑ ÓÖ ) dt t t + ) t ) t t + ) dt t z z +) dz z + z dz y + dt l y + t t dt t t t + ) dt z t, dz tdt ) y +y ydy )!!) l Ø ÖÑ Ò Ò ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ Ì ÝÐÓÖ Ö Ú ÓÐÚ Ò Ç l + y z, dz ) dy y Ï Ø f) cos) +) ) )! m+) m m m ) )!+), + + cos) f) + f) + +) +) ) + f + f) Ï Ú Ø Ç cos f +f f) ) ËÓÐÚ Ö Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö µ Ë Ø ÓÖ ) f +f f f f e d C f g) g) f) g) ) f +f g + g + 3 g g cos g cos cos

56 g si+cos+c g) C f) si + cos ÈÓÛ Ö Ö Ø ÓÒ F) e! e e d F) F)! +! +) Ç Ú ÔÓÛ Ö Ö f ++)f +f cos f) f ) f) f)! f )! + +) + ) ) ) + +) ) + )! ) Ó ++) ) + ) /! Ú Ò { } Ó +) ) / /! Ú Ò ) + +) ) Ï Ø )+ ) Û Ú Ö ÙÖ ÓÒ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø Ì ÝÐÓֹŠРÙÖ Ò Ó ÒØ Ó fº )!