Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1.

Transcript

1 Î Ð Ù ËØ Å Ò Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ô ØÓ Î ÐÒ Ù ¾¼¼

2

3 ÌÙÖ ÒÝ ½ Ì ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º ËØ Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÃÐ Ò ÑÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÁÒØ ÖÑ ÞÞÓ Ð Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ó ÓÖÑÙÐÅ º º º º º º º ½º º ÓÑ ØÖ ÒÅ Ø ÑÝ Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó ÓÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ã Ð Ó ÐÝ Ý Å Ö Ò ÐÝ Ý Å º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º È ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý ö Ö Ø ÑÝ Å º º º º º º ¾½ ½º º Ì ÑÝ Å ÑÓÒÓØÓÒ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º Ì ÑÝ Ò Ñ Ø ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð ÖÓ º º º º º º º º º ¾ ½º½¼º Ë ÐÝ ÒÅ Ø ÑÝ Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½º½½º Æ ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ º ÖÒÙÐ Ó Ñ º º º º º º º º ¾ Ø Ø Ø Ò Ý ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º Ø Ø Ø Ò Ó Ý ö Ó ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ø Ø Ø Ò Ý ö Ö Ù Ö Ø Ò º º º º º º º º º º º ¾º º Ö Ø Ø Ø Ø Ò Ý ö º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÓÐ Ù ØÓÐÝ Ù Ö Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Æ ÔÖ Ð Ù ÓÑ Ø Ø Ø Ò Ý ö º º º º º º º º º º º ¾º º Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù Ú ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ø Ø Ø Ò Ó Ý ö Ó Ô Ö Ö Ø ÑÓÑ ÒØ º º º º ¾º º Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù ÓÒÚ Ö Ú ÑÓ Ö Ù Ý º º º º º º º º º ¾º º Ë ÐÔÒ ÓÒÚ Ö Ú Ñ Ö ÓÑÔ Ø ÙÑ º º º º º º ½ ¾º½¼º Ö Ø Ö Ò Ó Ó ÙÒ Ó º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½½º Ê ÒÅ Ø ÓÖ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

4 ½ ½º½º Ì ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ËØ Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ÒØ ê ÒÓÑ ØÙ Ð Ñ ÖØÓØ Ø Ñ Ø Ö Ò ÝÑ Ù Ý ÖØÙ Ô Ø ¹ Ñ ÔÅ Ø ÙÓ Ò ÝÑ Ô Ú Ú Ò Ò ÑÓ Ñ º Ì Ù Ð Ñ ÒÙ ÝØ Ú Ù Ù º ½ Ô ÚÝÞ Ý º ÄÓ ÑÓ ÙÐ Ù ÑÅ ØÅ Ù ½¹Ó Ö ÓÒÙ Ò Ø Ó ÔØÓ ÝÚ ÒØÓ ¾ ¼¹¾ ¼ ÔÖº ÃÖºµº Ö Ù Ð Ò ØÚ ÖØ Ò Ó ÐÓ ÑÓ ÙÐ Ù ÒÙÓ Ó ö Ù ÒØ Ñ ÔÖ ÌÖÓ Ó ÒÙ Ö Ù Ö Ú Ñ Ô ÙÐÅ È Ð Ñ Å Ù º à ÙÐ Ù ÑÅ Ó Ö Ö öó Þ ÖØ ÝÖ Ð Ö Ó öó ö Ó ÐÞ Ö ÙÖ Ö Ø Ó ÙÐ Ù º ½ Å Ñ ÙÐ Ù Ö Ñ ØÓ Ñ Ù Ù Ô Ö Ñ ÒØ º Ð ÑÙ Ö ÞÙÐØ ØÙ Å Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω i öýñ Ö ÞÙÐØ Ø Ö ØÓ i Ù Ù º ¾ Ô ÚÝÞ Ý º ÅÅ ØÝ Ñ Ø Ô Ø ÙÐ Ù ÓÐ Ö Ù Ö Ö Ý Ñ Ð Ö ØÙ Ù Ù Ù Ù º Ù Ñ Ù Ð Ô ¹ Ò ØÙ Ø Ù Ð ÙØ Ö Ø Ô ØÓ Ò Ù Ñ Ø Ù ÐÅ Ù Ð ÒÅ º ÌÓ Ð Ò Ø ÙÖ ÐÙ Ð ÝØ Ò ÝÑÓ Ø Ñ ÒÓÖ Ø Ø Ð Å Ø Ô Ò ÝÑÓ Ø ØÙÓ ØÚ Ù Ò ÝÑ Ò Ô Ò ¹ Ð Ô Ø º Ð ÑÙ Ù Ù Ù Ù Ù ØÓ Ù Ò ÝÑÙ Å Ω Ð ÒÅ Ø Ø º  ٠ÖÓ Ø Ò Ö Ð Ò Ö Ò Ò ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1. Ô ÚÝÞ Ý º êú Ð Ø ÐÅ Ø ÖÑÓÑ ØÖ Ùö Ð Ò Ó ÙÓ Ø ÖÓ Óº Ì ÓÖ Ð ÑÙ Ö ÞÙÐØ ØÙ Å ÓÒØ ÒÙÑÓ Ð Ó Ω = [s, S], s Ø ÖÑÓÑ ØÖÓ ÐÅ Ñ ö Ù Ó Ö ÑÅ S ¹ ö Ù Ó º Ì Ù Ú Ö Ù Ö ÝÖ Ø Ø ÖÑÓÑ ØÖÓ ÖÓ ÓÑ Ø ÑÔ Ö Ø ÙÖ ÐÝ Ø Ö Ñ 300 Ð Ô Ò Ù ÐÙÑÓ º Ô ÚÝÞ Ý º Å ÒØ Ò Ô Ö Ñ ÒØ Ú Þ ÙÓ Ø ØÖ ØÓÖ ÙÖ ÒØ ê ÑÅ ÖÙØÙÐ Ó Ô Ú Ö Ù ÖÅ ö Ù Ù Ó Ó ÝÚ Ò Ø ÔÖ Ø Ò ÚÓ Ò º Ð ÑÙ ØÓ Ó Ò ÝÑÓ Ù Ω Ù ÖÓ Ùö ÖÓ Ö ÚÅ Ò ÚÓ Ø Ò ÑÙÓ µº ½ ÂÙÐ Ù Þ Ö Ó Ö Ó Ó ÔÓ Ó Ð Ø Ø Ô öó Ò Ú ÖØ Ñ ÝÖ Ø ÔÓ ÙÐ Ù Ñ Ø º

5 ÌÖ Ú Ð Ú Ò ÝÑ ÙÖ Ù Ø Ò Ð Ñ Ò ØÓ ÒÙÑ ØÝØ ÙÒ Ú Ö Ù º Æ ØÖ Ú ÐÙ Ð Ù Ñ Ó Å Ò Ò ÙÑ ØÓ Ù Ô Ö Ñ ÒØÙ ØÚ Ù ÝÖ Ñ ÒÓÑ ÑÔ Ö Ò Ô Ø Å Ñ Å Ò Ò ÙÑ ÖÝ Å Ò Ð ÞÙÓ ÒØ Ù ÖØÙ Ô ÖØÓØÓ Ø Ø Ø Ò Ó ¾ Å Ñ Ô ÚÝÞ ö Ù ÐÓ ÑÓ ÙÐ Ù N ÖØÙ N Ø Ö Ð Ù º Ì Ù N i ÖØÙ Ô ÖÓ Å i Ù Ù º ö ÙÐÅ ÐÓ Å Ù Ô Ø ÖØ ØÚ ÖØ Ò Ó Þ ¹ ØÙÓ ÒÙÓ Ô Ø ÙÐ Ù Ó ÚÝ Ù ÔÖ Ð Ù ÒØÝ Ý ö p i, ÔÅ Ñ N 1 N p 1,..., N 6 N p 6 Ô ØÚ ÖØ Ò Ð öò º Ì Ù ÐÝ ÒÅ Ö ØÓ Ô ÔÖ Ø º à ÙÖ Ô Ö Ñ ÒØ ØÓÖ Ð ÙØ Ù öýñ Ö Ò ÒÙÓ p i Ý ö Ù N i /N Ö Ñ º Ø Ñ Ô Ð Ù Ñ Ù ÙÑ Ö Ø Ö Ñ Ó Ø Ñ ω i Ð Ñ ÔÖ ÖØ Ù Ô Ù Ò Ò Ù Ù Ô Ø ÝÑÓ öòùñ º öò ÚÝ Ù Ù Ù Ù Ù Ò ÝÑÙ ÒÙ ÓÑ öó ö º È ÚÝÞ ö Ù Ò ÝÑ ÝÖ Ú ÒÓ ÙÐ Ù Ó Ñ Ø Ñ Ø Ð Ö ÙÔÅ Ø ÚÝ Ö ØÓ Ò Ñ ö Ù Ô ØÙÖ Ó ÙØÅ Ù Ò ÝÑ ÓÖØÓ ØÖ Ù Ñ Ð Å Ð ÙØ Ú Ö Ù ÚÝ Ö Ò ÚÝ ÚÝ ØÖ Ù ØÓ ÓÖØ ÝÖ Ø ÙÞ Ö ØºØº Á ÚÝ Ö ØÓ Ò Ñ ö Ù Ô ØÙÖ Ó ÙØÅ ÚÝ Ö Ø Ö ¹ ØÙÖ Ó ÙØŠغݺ Ô ÖÓ Ý Ø ω 4 µ Ö Ô Ò Ó Ö Ó º Ì Ò Ø ÙÖ ÐÙ Ø Ô Ú ÒØ Ô Ð Ò ÓÑ ÚÝ Ù Ö ØÓ Ò Ñ ö Ù Ô ØÙÖ Ó ÙØÅ Ó Ô Ø ÚÝ Ø Ó ÙØ Ô Ø ÒØ Ù Ù {ω 4, ω 5, ω 6 }. Å Ø Ñ Ø ÒÅ Ø ÓÖ Ó ÔÖ ö Ó Ø ËÙ Ø Ø Ø Ò Ù Ò ÝÑÙ Ù Ñ Ó Ù Ωº Î Ù ØÙ ÚÝ Ù ÙÖ ÙÓ Ò Ö ÒÅ Ñ Ú Þ ÙÓ Ñ Å Ω ÔÓ º È ÚÝÞ ö Ù ÙÐ Ù Ó Ñ Ø ÑÓ ØÚ Ù ÚÝ Ö ØÓ ÐÝ Ò Ù Ù Ù Ú Þ ÙÓ Ñ {ω 2, ω 4, ω 6 }. â Ø Ô ÚÝ Ù Ô Ú ÖØ ÔÓ ÙÒ Ñ Ð Ù Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ò Ó ÙÖ Ø Ó Ø Ø Ø ÒÙÑ ÑÓ Ð Ö Ð Ñ Ý ØÝÖ ÒÅ Ø º ¾ ËØ ØÙ ¹ Ô Å Ø ÐÓØÝÒ µº ËØ Ø Ø Ò Ù Ò ÝÑÙ Ö Ô Ö Ñ ÒØÙ Ú Ò Ñ ØÓ Ò ÝÑ ÙÖ Ó Ú Ò ÒØ Ð Ø Ð Ó Ø Ú Ñ Ò Ò Ð ÞÙÓ ÒØ Ó Ó ÙØ ÒØ Ò ÝÑÓ ÐÝ Ó Ø Ø ÐÅ ÑÅ º Ô Ö Ñ ÒØÓ Ö ÞÙÐØ ØÙ º

6 ½º¾º ÃÐ Ò ÑÓ Ð Ì Ö Ñ Ø Ø Ø Ò Ó Ô Ö Ñ ÒØÓ Ð ÑÙ Ù Å ÝÖ Ø ÒÅ Ω = {ω 1,...,ω N }. Ì Ô Ô Ø Ø Ö Ñ Ú Ó Ó ØÙÖ Ú ÒÓ Ð ÑÝ ØÐ Ù Ò ÝÑ Ô ÖÓ ÝØ º Ø Ø Ø Ò ÚÝ Ù Å Ω ÔÓ Ù A Ω Ú Ù ÔÓ Ù öýñå Ñ P(Ω). Ì ÙÓ ö ÒÓØ Ô Ô ÖÅ ö Ñ Ù ÙÒ Ò ÖØ Ö ÖØÙÑ º â ÓÔ Ö öýñå Ñ Ô ÔÖ Ø ö Ò Ð,, \. Ø ÒÅ Å A Ð Ñ ÒØÙ Ù öýñå Ñ A. Æ Ù Ó Ñ ØÓ Ù Ø ÖÑ ÒÙ Ø ω A Ú Ò Ñ Ô Ð Ò ÓÑ A Ú Ò Ñ Ò Ð ÑÙ Ω ¹ ÙØ ÒÙ ÚÝ Ù ÚÝ Ù A Ö A = Ω \ A Ú Ò Ñ ÔÖ Ò A B = ÚÝ Ù A, B Ú Ò Ñ Ò ÙØ ÓÑ º Á ÚÝ Ù Ù Ö Ð Ù Ò ÝÑÙ ÚÝ Ø Ô ÖÓ Ó Ô Ð Ò Ñ Ø º ÃÙÓ Ù Ù ÚÝ ØÙÖ Ô Ð Ò Ù Ñ Ù ØÙÓ Ù Ù Ð ÑÝ Ù Ø Ñ ÚÝ Ù ØÐ Ù Ò ÝÑ ÚÝ Ø º â Å Ö Ñ Ð Ò Ø ÑÝ Å Ô ÖÅ ö Ñ ÙÖ Ô ÖÑ ÖØ ÔÖ Å Ó Ò Ù ÓØ ÖÓÐ ÑÓ Ö ÒÓ ½ ¼½¹½ µº ½ Ô ÖÅ ö Ñ º Ì ÑÝ Ú Ò Ñ ÙÒ P : P(Ω) [0, 1] Ô ÖÅ ö Ñ ÐÝ Ý P(A) = A Ω. Ë Ù P(A) Ú Ò Ñ ÚÝ Ó A Ω Ø ÑÝ º Ð Ñ ÒØ Ö ÚÝ Ú Ò Ñ ÚÝ ÙÖ Ñ Ô Ð Ò Ø Ú Ò Ø ÙÓ Ø Ø Ò ÔÓ ØÙÖ ÒØÝ Ø Ú Ò Ð Ñ ÒØ º Ì Ú Ò Ñ Ð Ñ Ò¹ Ø Ö Ñ ÚÝ Ù P({ω}) = 1 Ω. ÌÓÐ Ù Ù ÖÝØ Ú ÒÓ Ð Ñ ÒØÓ ω öýñå Ñ Ø Ó ω Ö Ò Ô Ý Ñ Ù Ø Ð Ù ÖØÙÑÓ Ø ÖÔ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ù ÚÝ Óº â Ø Ò ÓÒ Ö Ø Ù Ò ÝÑÓ ØÚ Ù ÔÖ Ñ Ñ Ö ØÑ Ø Ñ Ö Ñ Ñ Ò ÓÖ¹ Ñ Ð Ù ÖÓ ÝÑÙ Ø Ø Ñ Ø Ö ÔÖ Ø Ò Ñ ØÝÑÓ Ô Ø ÖØ Ñ º  Рö ÑÙÑ Ù ÖÝØ ÓÖÑ ÐÙ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÑÓ Ð ÙÖ ØÙÖ ÒØ Ù Ð Ñ Ú Ö Ð Ô Ñ Ö Ø Ò Ò Ô ÖÅ öø ÑÔ Ö Ò Ó Ø Ö ÑÓ ÔÖ Ð º

7 ÌÓ ÝÖ Ð Ò Ø ÑÝ Ù Ú ÑÓ ÑÓ Ð º Ç Ø Ð Å ØÝØ Ú Ò Ô Ö Ø Ô Ð ÑÝ Ú ÖØ ÒÓ Ú Ù Ð Ù Þ ÖØ Ò Ù ö ÑÙ ÑÅ Å º Á ÔÖ Ø Ø ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó ÔÖ ö Ø Ù ÔÖ Ò ÙÞÙ Ñ Ø Ñ Ø Ù Ð ÞÓ È Ð Ó È ÖÓ ÖÑ Ö º ÌÖ Ó È Ð Ù ÓÑÅ Ø Ø ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ô Ò Ø ÙÐ Ö Þ ÖØ Ò Ù ÐÓ ÑÙ ÑÅ Å Å ÖÅ Ú Ð Ö Å Ö Ýµº ËÙ¹ Ø È Ð Ô Ð Ù ÚÓ Ú Ö Ù ÓÖÑÙÐ ÚÓ Ñ Ù Ùö Ú Ò Ù ÙÖ Ö Ù Å ÐÅ È Ð Ó Ù ÓÑÅ Ñ Ø ÑÝ Ù Ö Ð ÑÝ Ù ¹ Ú ÑÙº Î Ò Ùö Ú ÒÝ ÙÚ ØÓ º Å ÖÅ Ùö Ú ÒÝ º ÃÙÖ Ø ÑÝ Å ÒÅ ÙØ ÒÓÖ Ú Ò ØÙ¹ ØÙÖ ÖØÙ Ñ ØÙ ÙÐ Ù Ö ÒØ Ú Ò ÖØ Ù ØÙ Ù ¾ ÖØÙ Ñ ØÙ ÙÐ Ù Ù ÔÓÖ È Ò Ý Ø ÔÅ Ø Ø ÝÑ º Ì Ð ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ÝÖ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÑÓ Ð ÔÖ ÒØ Ò ÝÑ Ù Ú ÒÓ Ð ÑÓÑ Ø Ñ º ÌÓ Ù Ò ÝÑÙ Ô ÚÝÞ ö Ñ ØÖ Ó ÐÓ ÑÓ ÙÐ Ù Ó Ñ Ø Ñ ÓÖØÓ ØÖ Ù Ñ Ð Å ÖÙØÙÐ Ó ØÖ Ù Ñ ÙÖÒÓ ÙÖ Ó Ú ÖÙØÙÐ Ú ÒÓ Ö Øº غ Ú Þ Ù Ó Ð Ò Ñ ÑÓ ÐÝ P(A) = ω A P(ω), P(Ω) = ω Ω P(ω) = 1. Ì Ù Ò ÝÑ Ù Ú ÒÓ ÓÑ Ø Ñ Ø ÖÙ Ò ÝÑÙ Ð Þ º ÂÙ ÒÅ Ö Ò Ú Ñ ØÖ Ù ÙÐ Ù Ù Ò Ú Ú ÒÓ Ù ÖÙØÙÐ Ù ººº Ì ö¹ Ò Ù Ò Ú Ó ØÝ ÝÖ ÐÝ Ú ÖØŠغ ݺ Ò Ú Ó Ð Ñ ÒØ Ö Ù Ù ÚÝ Ù Ø ÑÝ Å Ú ÒÓ Ó º Ì Ù Ú Ö Ù Þ ØÙÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [0; 1] ÙÖ Ô Ù Ò Ù Ô ÖÓ ÝÑÓ Ð ÑÝ ØºÝº Ú Ò Ð Ñ ÒØ ÖÙ ÚÝ ω Ø Ø Ò Ó Ø ÑÝ Å P(ω)º â ÙÓ Ô Ø Å ÑÙ Ô Ö ÑØ ØÓ Ð ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ Ô Ò Ö Ò Ñ º ¾ Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù Ω ÝÖ Ø ÒÅ Ö Ø Å P(Ω) Ú Ù Ó ÔÓ Ù Ø Ñ P(ω), ω Ω, Ò Ò ÑÙ Ù Å P(ω) = 1. ω Ω È ÖÖ ÖÑ Ø ½ ¼½¹½ µ Ð È Ð ½ ¾ ¹½ ¾µº È Ð Ó Ú Ö Ñ Ò Ñ Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ù Ø Ö Þ Ù Ö ÐÓ Ó Ù Ö Ø ÓÐÓ Ù Ö ØÙ¹ Ó º Ð ÙØ Ú Ö Ù Ó ÐÓ Ó Ò Ú Ð ¹ Ö Ñ ÒØ Ù Ñ Ò Ù Ö Ú Ö ØÝÑÙ Ö Ò ÒÝ Å ÒØÝ º âø Ú Ò Ó Ö Ò Ò Ó öú Ð Ù Æ Ò Ð ÓÑ ÒÙ Ñ Ò Ò Ù Ô ÔÓ Þ Ò ØÙÖ Ø ØÅ ÝÖ ÔÓ Ø º È Ò Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø Ö ØºØº Ç Ø Ö Ð Ú Ò öñóòå Ò ÒÓÖ Ø ØÅ Ö Ò ÖÓ Ð Ó ÖØÙÑÓ Ø ÖÔ ÔÓ ØÓ Ö ÝØÓ Óº Ì Ö Ð Ú Ò öñóòå Ò Ú Ò Ñ ÔÓ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ö ØºØº Ì Ù ØÓ ÝÖ Ö Ô Ú Ö Ø ÔÖ Ø º

8 Ì ÑÝ Ú Ò Ñ ÙÒ P : P(Ω) [0, 1] Ô ÖÅ ö Ñ ÐÝ Ý P(A) = ω AP(ω). ÌÖ Ø Ω, P(Ω), P Ú Ò Ñ Ö Ø ÑÝ Ò Ö Ú º Ì Ö Ó Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ÝÖ Ø ÑÝ Ò Ò ÝÑÓ Ù Ø Ò Ö µ Ò ÙØ Ò Ú ÒÓ Ð ÑÙ Ù ÑÓ Ð º Ì Ù ÒÓÖÅ Ñ Ø ÝØ ÓÒ Ö Ñ Ò ÝÑÙ ØÙÖ Ñ Ùö ÒÓØ Ð Ñ ÒØ Ö Ù Ù ÚÝ Ù Ø ÑÝ P(ω). Æ Ò Ò Ô ÙÐÝ Ò ÓÖÑÙÐÅ Ò Ð ÓÖ ØÑÓ Ø Ð ÓÑ Ø ÑÝ Ù Ö ÑÅ Ñ Ô ÙÓØ º ÈÖ Ø Ð Ñ Ð Ø Ø Ôº Ì Ù Ω = {ω 1, ω 2,...,ω m } ÝÖ Ò ÝÑÓ Ù Å Ô ÖØÓ Ñ Ò ÝÑ Ð Ù n ÖØÙ º ËÙ ÙÓ Ñ ÖØÙ Ô ÖÓ Å ØÝ ω 1, ω 2,...,ω m ; Ø Ù Ô ÖÓ ÝÑÙ ÝÖ n 1, n 2,...,n m ºÌ Ø ÑÝ Ð Ñ ÙÓØ Ô Ö Ù ÔÖ Ð P(ω 1 ) n 1 n, P(ω 2) n 2 n,... P(ω m) n m n. ÆÅ Ö Ö ÒØ Ó Ø Ô ÙÓ Ñ Ò Ô ÖÝ Ñ ÐÅ Ð Ó Ô ÒÅ Ö Ö ÒØ Ó Ô Ö Ñ ØÙÖ Ù Ò Ù Ø Ö öó Ò Ø ÖÓ Ú ÑØ Ð ØÙ Ò ÒÓØÓº â Ø ÓÖ Ñ Ô Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù ÝÖ Ø Ó Ú Þ º ½ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù Ω, P(Ω), P ÝÖ Ö Ó Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º Ì Ò¹ Ó ÐÝ Ý Å P( ) = 0; P(Ω) = 1.  A Ö B ÝÖ Ò ÙØ ÓÑ ÚÝ Ø P(A B) = P(A) + P(B). ½º º ÁÒØ ÖÑ ÞÞÓ Ð Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ó ÓÖÑÙÐÅ Ì ÒØ Ð ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ÑÓ Ð öò Ø Ò ÙÓØ Ð Ñ ÒØÙ ÝÖ Å Ω Ó ÔÓ ÙÓ º Íö Ú Ò Ù ÙÖ ÙÓ Ö Ð Ù¹ Ñ Ù ÙÓØ ÝÖ Ð Ñ ÒØÙ ØÙÖ Ò Ù Ø Ñ Ø Ö ÚÝ Ò Ö ÒÅ ÓÑ Ò ØÓÖ º Ã Ð Ø ØÓ Ù Ùö Ú Ò Ù ÔÖ Ñ º Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ Ø Ò S N = {σ 1,...,σ N }. È Ö Ò Ñ S N Ð Ñ ÒØ Ô ÖÝ Ñ Ó ÓÔ Ö ö Ò Ñ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ñ Ð Ñ ÒØ Ò Ù Óº Ì ØÐ n ÖØÙ Ù Ñ Ö Ò Ò σ = σ i1,...,σ in,

9 ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ø Ò Ù Ù Ô ÖØÓ Ñ N ÔÓ n Ð Ñ ÒØÙ º ÂÙ Å S n N = S N... S N. ½µ È öýñå Ñ BN n = Sn N.  ٠S N ÝÖ N Ö ö Ù Å Å ÐÅ Ø SN n ÝÖ ØÓ Å Å ÐÅ n Ð Ó öó ö Ù Å º Ú Ú Þ Ù BN n = Nn. ÎÅ Ð Ô Ö Ò Ñ S N Ð Ñ ÒØ Ø Ù Ó Ò Ö ö Ò Ñ º Ê Ò Ñ ÙÑ öå Ù Ó Å Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ô ØÓÐ Ùº Ö Ù Ñ Ö Ò Ò σ = σ i1,...,σ in, σ iu σ iv, u v, ¾µ ÙÖ Ú Ò Ñ Ö Ø Ò Ù Ô ÖØÓ ÑÙ N ÔÓ n Ð Ñ ÒØÙ º È öýñå Ñ Ù Ŝn N, Ö An N = Ŝn N. Ŝn N, Ù Ý Ñ Ò ÖØ Ò Ð S(i) = { σ i1,...,σ in Ŝn N : i 1 = i}, i = 1, 2,..., N. Ì S(i) Ù ÖÓ Ö Ø Ò Ù ØÙÓ Ô Ù Ô ÖÑÙÓ Ù Ð Ñ ÒØÙº Ã Ò S(i) = A n 1 N 1, Ø A n N = N A n 1 N 1. È Ò Ù Ó ÙÓ ÖÝ Ù ØÙÓ Ù Ú m A 1 m = m Ù Ñ A n N = N(N 1)...(N n + 1). Ý A n n = n! ÝÖ Ø Ó n Ð Ñ ÒØÙ ÖØ Ò Ù Å ØÝÑÙ Ú Ò Ð Ù º  ٠n Ð Ñ ÒØÙ Ô Ö Ò Ñ Ò Ö ö Ò Ñ Ó ÔÓ ØÓ Ö Ò ÒÝ ÙÖ ¹ ÙÓ Ñ Ð Ñ ÒØÙ Ò Ù Å ÑÓ ØÚ Ö Ù Ñ Ö Ò N Ð Ñ ÒØÙ ÔÓ n σ i1, σ i2,..., σ in, i 1 < i 2 <... < i n, µ ÙÖ Ð Ñ Ø Ó ÒØ ÖÔÖ ØÙÓØ Ô Å S N n Ð Ñ ÒØÙ ÔÓ º Ö Ò Ù Ô ÖØÓ ÑÙ Ô öýñå Ñ D n N, C n N = D n N. Ä Ø Ö Ø ÙÖÓ Ý C ( N n öò öýñ Ñ Ö Ø Ô N n). ÈÖÓØ Ò Ô ÖÅ öø C 0 N = 1 N Ð Ñ ÒØÙ Å Ò Ó Ò Ô Ö Ò Ø Ð Ñ Ø Ú ÒÙ Ù Ùµº Á Ú ÒÓ Ö Ò Ó µ Ð Ñ Ù ÖÝØ n! ÖØ Ò Ù ¾µ Ö Ø Ò Ù º Á ÖØ Ò Ù Ö Ò Ù Ú ÙÒ Ñ Ø ÖØ Ò Ù Ö Ø Ò Ù Ö Ú ¾µ Ö Ø Ò ÝÖ Ø Ô ÙÒ Ñ º Ì A n N = n! Cn N. ÎÅ Ð Ö Ò Ñ Ð Ñ ÒØÙ Ô Ô ÖÑÙÓ Ù ØÚ Ù Ø Ù Ò Ö ÙÓ Ñ Ù ÓÔ Ù Ðº Ì Ô Ö Ò Ú Ù n Ð Ñ ÒØÙ ÙØÚ Ö Ý Ñ ÙÓ Ø Ô m 1 m N m {}}{{}} 2 {{}}{ σ 1... σ 1 σ 2... σ 2... σ N... σ N, m 1 + m m N = n, m i 0. µ

10 µ Ö Ò Ò Ú Ò Ñ Ö Ò Ù N ÔÓ n Ù Ô ÖØÓ Ñ Ù Ö Ù Ô öýñå Ñ D n N, Γn N = Dn N. Á Ú Þ ÙÓ Ñ µ Ô Ô ÐÚÓØÙ ÖÙØÙÐ Ù Ù Ö Ò Ò Ú Ò Ô ÐÚ ÒÙ öýø σ 1, Ø σ 2 Ö Øº غ Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ n Ò Ô ÐÚÓØÙ ÖÙØÙÐ Ù Ù.... Ý Γ n N ÐÝ Ù Ð ÑÝ Ù ÒÙ Ô ÐÚ ÒØ ÙÓ ÖÙØÙÐ Ù Ù ÙØÙÑ µ Ö Ò Ò Ù º È Ö Ò Ñ N 1 Ô ÖØÚ ÖÅ Ð Ö Ø Ö Ñ ÖÙØÙÐ Ù Ù ÙÖ Ù Ô ÐÚ Ò Ñ Ø Ø Ò Ñ ½¹ ¾¹ ººº ƹ Ô ÐÚÓÑ º  i¹ó Ô ÐÚ Ò Ù Ò Ù Ó Ñ Ø i 1¹Ó Ô ÖØÚ ÖÅ ÐÅ ØÓÚÅ Ö Ø i¹ó Ó.... Ý Γ n N ÐÝ Ù Ô ÖØÚ ÖÅ Ð Ù Å ØÝÑÓ Ð ÑÝ Ù Ù º ËÙÒÙÑ Ö Ú µ Ó ØÙ ÖÙØÙÐ Ù Ù Ö Ô ÖØÚ ÖÅ Ð µ ÒÙÓ ½ N +n 1, Ù Ñ µ ÒÙ Ó Ô ÖØÚ ÖÅ Ð Ù ÒÙÑ Ö º ÂÙÓ Ô Ö Ò Ø ØÙÖ Ñ Ø Ð ÑÝ Ù ÝÖ Ù Ù Ô Ö Ò Ø N 1 Ð Ñ ÒØ Å ÙÖ Ó Ù ÝÖ N + n 1. â Ù ÚÓ ÖÙÓöØÙ ÐÝ Ù Ö Ò Ù Ô ÖØÓ ÑÙ ÔÓ N 1 Ð Ñ ÒØ N + n 1 Ù º ËÙ ÙÑÙÓ Ñ ÚÓ Ö ÞÙÐØ ØÙ º ¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ò Ø Ò B n N = Nn, Γ n N = CN 1 N+n 1, A n N = N(N 1)...(N n + 1), C n N = N! n!(n n)!. Î Ù Ö Ò Ù Ô ÖØÓ ÑÙ ÔÓ n N Ð Ñ ÒØÙ D N n Ô ÐÝ Ñ Ú Ð Ì Ö D 1 = {D : σ 1 Ò D}, D n N = D 1 + D 2, C n N = Cn 1 N + Cn N 1. D 2 = {D : σ 1 Ò Ò D}. â ÐÝ Ý Ò Ù Ó Ñ Ù Ö ÒØ Ö ö ÒÓÑ È Ð Ó ØÖ ÑÔ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½ ½ ½ ½º ½¼ µ

11 m¹øó Ó ÐÙØÅ Ò ÖÝ ÙÒ Ñ ÙÑÙÓ ÒØ Ù Ú Ö Ó ÙöÖ ÝØÙ m 1¹ Ó Ó ÐÙØÅ Ð Ñ ÒØÙ º Ì N + 1¹Ó ÐÙØÅ ÙöÖ ÝØ Ó ÒØ ÐÝ Ù C n N º â Ù ÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ù ÓÖÑÙÐ Ù ÒÙÓÐ Ø ÔÖ Ö Ø ÒØ Ð Ò Ø Ñݹ Ù Ú ÑÓ Ñ º öò Ø ÓÑ ÖØÙ Ù Ú Ò Ñ Ù Ý Ó Ø Ý Ð Ô ÖÑ Ð Ñ ÒØ Ð Ñ Ô Ö Ò Ø n 1 Ð Ñ ÒØÙ Å Ó ÒØÖ n 2 Ð Ñ ÒØÙ Å Ø Ú Ó Ð Ñ Ù ÖÝØ n 1 n 2 ÖØ Ò Ù ÔÓÖÙ º â Ø Ý Ð Ð Ñ Ò Ù Ó Ñ ÖØÓ Ò Ù ÔÓÖÙ Å Ù ÖÝÑÓ Ú Ñ µ Ù ÓÖÑÙÐÙÓØ Ø Ô Ù A Ö B ÝÖ Ø ÒÅ Å Ø A B = A B. âø Ú Ò Ø Ô Ò Ð ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ Ø ÝÑÓ Ô ÚÝÞ Ý º Ô ÚÝÞ Ý º ÐØ Ö ÙÓ ÖÙØÙÐ ÍÖÒÓ ÝÖ n ÐØÙ Ö m ÙÓ Ù ÖÙØÙÐ Ù º Á ÙÖÒÓ ØÖ Ù Ñ u ÖÙØÙ¹ Ð º ÃÓ Ø ÑÝ Å Ó Ù ØÖ Ù Ø v ÐØÙ ÖÙØÙÐ Ù max 0, v m v min{n, u} Ù Ù ÖÓ Ö Ò Ô ÖØÓ ÑÙ n + m Ð Ñ ÒØÙ ÔÓ u Ð Ñ ÒØÙ º Ì Ù Ù ÐÝ Ù Cn+m u º Ø ÙÖ ÝÖ Ô Ð Ò ÚÝ Ù A v = { ØÖ Ù Ø v ÐØÙ ÖÙØÙÐ Ù } Ð Ñ Ú Þ ÙÓØ Ù Å Ø Ú Ù Ö Ò Ù n ÐØÙ ÖÙØÙÐ Ù Ô Ö Ò Ø v m ÙÓ Ù ÖÙØÙÐ Ù Ô Ö Ò Ø u vº È ÖÑ ÒØÖ Ö Ò Ù Ð Ñ Ù ÖÝØ Ø Ø Ò Ñ Cn v Ö Cu v m Ù º Ò Ö Ô Ð Ò Ù ÚÝ Ù A v Ù Ù ÐÝ Ù Ù Ý ö Ù Ò Ù Ø P(A v ) = P(v) = Cv ncm u v. Cn+m u Ì ÑÝ Ù P(v) (max 0, v m v min(n, u)) Ö Ò ÒÝ Ú Ò Ñ Ô Ö¹ ÓÑ ØÖ Ò Ù Ö Ø Ò Ùº ÃÓ Å Ð Ô Ö ÓÑ ØÖ Ò Ù â Ô Ú Ò Ñ Ô ¹ Ò Ñ ØÙÓ ÙÒ f(z) = v P(v)z v Ð ÙØ Ö Ñ Ô Ð ÓÑ Ô Ö ÓÑ ØÖ ÒÅ Ñ ÙÒ ÓÑ º Ã Ô Ð Ô Ö ÓÑ ØÖ Ò Ó Ö Ø Ò Ó Ø ÑÝ Å Ø ÓÖ Ñ º À Ô Ö ÓÑ ØÖ Ò Ó Ö Ø Ò Ó Ø ÑÝ Å Ø Ò Ò ÐÝ P(v+ 1) P(v) Ø Ö Ø Ø v nu m + u 1. m + n + 2 ½½

12 Ì Ô Ö ÓÑ ØÖ Ò Ó Ö Ø Ò Ó Ø ÑÝ Å ÔÖ ö Ù Å Ó ÔÓ ØÓ Ñ Ñ öå Ø º Ô ÚÝÞ Ý º êùúý ö Ö ö Ö Ù ÙØ ½¼ öùúù Ó Ô ö Ò Ð ÒØÓ Ö Ô Ð ØÓ Ø Ðº ÈÓ Ð Ó Ô ÙØ ½¼¼ öùúù Ø ÖÔ Ù ÙÚÓ Ú Ô ö Ò Ð ÒØÓ º à öùúù ÝÖ ö Ö Ì Ö Ñ ö Ö ÝÖ x öùúù º Ì ÒØÖ Ù ÝÑ Ð Ñ ÒØ ÖÔÖ ØÙÓØ Ô ½¼¼ ÖÙØÙÐ Ù ØÖ Ù Ñ ÙÖÒÓ ÙÖ Ó ÝÖ 10 ÐØÙ ÖÙØÙÐ Ù Ô öýñå ØÓ Ó öùúý µ Ö x 10 ÙÓ Ù Ð öùúý µº Ì ÖÔ Ô ÙØÙ Ù ½¼¼ öùúù ÐÅ Ó Ò ÙØ Ò Ú ÒÓ Ô ö Ò Ð ÒØÓ Ú Ò Ô ö Ò Ð ÒØ Ö Ø Ô ØÓÐ Ùº ÈÖÓØ Ò Ô ÖÝØ ÔÖ Ð ÚÝ Ó Ø ÚÝ ÙÖ Ó Ø ÑÝ Å ö Ù º Ì Ñ Ù Ù Ô Ö¹ ÓÑ ØÖ Ò Ö Ø ÒÝ ØÓ Ø ÑÝ Å ÝÖ ö Ù ÐØÙ Ù ÖÙØÙÐ Ù Ù v = 2. È ÖÅ Ñ Ø ÓÖ Ñ Ð Ñ ØÚ ÖØ ÒØ 1 nu m + u 1, n = 10, m = x 10, u = 100. m + n + 2 Ì ÙÒ Ñ x 554. Ð ÙØ Ô ÐÚÓ ÓØ ØÓ Ú Ñ Ô ÖÒ Ý Ù Å Ø Ò º ÃÓ Å Ð Ò Ô ÚÙ Ô ÔÖ Ùº  ٠ö Ö ÝÖ x öùúù Ø Ø ÑÝ Å Ô ÙØ Ô ö Ò Ð ÒØ öùú ÐÝ 10/x. Ã Ò 100 öùúù Ð Ñ Ý ÙÚÓ Ú öùúý Ø Ø ÑÝ Ð Ñ Ô ÙÓØ Ö Ø Ô 2/100. Ì = 10 x, x = 500. ÃÓ Å Ð ÚÓÑ ÖØ Ò Ù Ö ÞÙÐØÙ Ö ÙÖ ÙÓ Ð Ñ Ð Ù Ô Ð ÙØ ÈÖ ö Ø Ó Å Ð Ö ÞÙÐØ Ø Ö Ð Ù ÖØ Ò Ó ÔÖ Ð Ó º È ÖÑÓ Ó Ú ÑÓ ÔÖ Ð ÚÝ Ó Ø ÚÝ ÙÖ Ó Ø ÑÝ Å ö Ù º ÒØÖÓ Ó ¹ Ú ÑÓ Ø ÑÝ Å 2/100, ÙØ Ô Ò Ù Ó Ù ö Ù ÐÅ Ö ÞÙÐØ Ø ÐÝ Ø ÑÝ Ô ÙØ Ô öýñå Ø öùú º ÃÙÖ ÔÖ Ð ØÖÓ Ó Ð Ù Ô Ö Ø ÆÙ ÔÖ Ø Ô ØÝ º P10(m) P(X = 3) m ½¾

13 À Ô Ö ÓÑ ØÖ Ò Ö Ø ÒÝ ÙÖÒÓ ÙÖ Ó ÝÖ 10 ÐØÙ Ö 15 ÙÓ Ù ÖÙØÙÐ Ù Ô Ö Ò Ø 9 ÖÙØÙÐ º Ö Ú Þ ÙÓ Ø ÑÝ Ô Ö Ò Ø 0,1,...,9 ÐØ ÖÙØÙÐ º â Ö Ø ÒÝ öò Ô Ø Ó Ú Ö Ó ÒØ Ö¹ ÔÖ Ø Ó º È ÚÝÞ ö Ù ÙÖÒ Ù ÖÙØÙÐ Ð ÙØ Ñ Ò Ù Ô ÖØ ÐØ ÖÙØÙÐÝ ÖÓ ÙÓØ Ñ ÒÝ Ö Øº غ ½º º ÓÑ ØÖ ÒÅ Ø ÑÝ Å ÈÖ Ò ÙÞÓ êº Ù ÓÒÓ ½ Ñ Ø Ô Ð Ø Ñ Ö ÔÖ Ø öýñù Ùö¹ Ú ÒÝ Ô Ø º â Ö ÚÅ ÔÖ ö ÓÑ ØÖ Ò Ñ Ø ÑÝ Ù ¹ Ú ÑÓ ÑÓ Ð Ù º Íö Ú ÒÝ ÓÖÑÙÐÙÓ Ñ Ø Ôº Ô ÚÝÞ Ý º Ù ÓÒÓ Ùö Ú ÒÝ ÈÐÓ ØÙÑÓ Ú Ø ÐÝ Ö Ù Ø Ù Ñ º Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ú Ù Ö Ø ÑÙ Ø Ù ÐÝ Ù aº ÒØ Ó ÔÐÓ ØÙÑÓ Ñ Ø Ñ l (l < a) Ð Ó Ø º ÃÓ Ø ÑÝ Å Ó Ö Ú Ò ÐÝ Ö Ù Ø Ù Ð Ñ Ñ ÒÝØ ØÓ Ô Å Ø Ø Ù ØöÚ Ð Ù ÒÙ Ó Ù (h, φ) ÔÓÖ ööº ÖÅ ö Ò º ϕ h h ϕ ϕ h h ϕ ÌÓ Å Ð Ô Ö Ñ ÒØÓ Ø Ñ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÓ Ù ÚÝ Ùµ Ð Ñ Ð ÝØ Ø ¹ ÑÔ Ó Ω = {(h, φ) : 0 h a, 0 φ π} Ø Ó ÑÙ ÓÑ Ò ÒØ ÚÝ Ð Ñ Ø Ô ÙöÖ ÝØ A = { Ø ÖØ Ø } = {(h, φ) : (h, φ) Ω, h l sin φ}. ÃÐ ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ØÚ Ù Ø ÑÝ Ô ÖÅ ö Ñ ÒØÝ Ù P(A) = A Ω. Æ Ø ÙÖ ÐÙ Ú ØÓ Å Ð Ñ ÒØÙ Ó ÑØ Å ÓÑ ØÖ Ò Ö Ø Ö Ø ÔÐÓØ Ö Ô ÖÅ öø Ø ÑÝ Ø Ô P(A) = µ(a) µ(ω), ºÄºÄº Ù ÓÒ ½ ¼ ¹½ µº Å Ò Ñ Ö Ø Ù Ô Ö ÝØ ½ Ñ Ø º ½

14 µ(b) öýñ Å B ÔÐÓØ º â Ø Ô ÙÓ Ñ ÙÒ Ñ ØÓ Ø ÑÝ Å Ö Ñ P(A) = 2l πa. ÙØ Ö ÞÙÐØ Ø Ò Ð Ù Ø ÙÓ Ù Ù π Ö Ñ Ö Ø º Å Ñ Ø Ù ÖØÙ Ø Ù n ÝÖ Ñ Ø ÑÙ Ù m ØÓ Ö Ø Ù ÖØ ÑÓ ØÚ Ù Ù º È Ð ö Ù Ù Ù Å Ò ÙÖ Ò Ö ÒÅ Ñ ÚÅ Ð Ù ÙÓ Ò n ØÙÓ Ð Ù Ø Å Ø Ò Ó P(A) = 2l/(πa) Ñ ö Ö ÒÙÓ m/nº Ì π Ð Ñ ÙÓØ ÓÖÑÙÐÅ 2l/πa m/n. Ð Ñ Ô Ö Ñ ÒØÙÓØ Ù Ø Ó Ó Ð Ó l Ø Ô ÚÝÞ ö Ù ØÙ Ù Ö Ð Ò ÙÓØÓ ÔÓÔ Ö Ù Ð ÔÙµº Ì Ö Ñ Ñ ØÙ ØÓ Ø n ÖØÙ Ø ÖØÓ Ø Ø Ò Ñ m 1,...,m n Ð Ò Ù º Ì m m n n 2l πa È Ö Ñ Ñ ÝØ Ô Ø ÖØ Ñ Ù ÖÝ Ñ Ø ÓÖ Ò ÑÓ Ð Ø ÑÝ Å Ñ ¹ ÙÓØ ØÙÓ ØÚ Ù Ô Ö Ñ ÒØÓ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÔÖ ØÙÓØ Ô IR n ÔÓ Ó Ω Ø Ö Ú Ó ØÝ ÝÖ ÐÝ Ú ÖØÅ º Ö ØÓÐ Ù IR ÝÖ Ö Ð Ù Ù Ù Å Ó µ(a) öýñå Ñ ÔÓ Ó A IR n n¹ñ Ø Ø ÙÖ Ù Þ ØÙÓ n = 1, µ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ð n = 2 ÔÐÓØ µº Æ Ö ÒÅ Ñ Ø ØÙÓ Ù ÙÓ Ò ÝÑÙ Ù Ù Ù ÚÝ Ù ÙÖ Ú Þ ÙÓ Ñ Ω ÔÓ ØÙÖ Ò Ø ÙÖ º Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù Ω IR n, µ(ω) Þ ØÙÓ Ö µ(ω) < º Ì Ù A = {A : A Ω, µ(a) Þ ØÙÓ } ÝÖ Ò Ö ÒÅ ÑÙ Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ø Ñ Ó P : A [0, 1] ÝÖ ÙÒ Ô ÖÅ öø ÐÝ Ý P(A) = µ(a) µ(ω). ÌÖ Ø Ω, A, P Ú Ò Ñ ÓÑ ØÖ Ò Ø ÑÝ Ò Ö Ú º Ì ÓÑ ØÖ ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ØÝ ÝÖ Ø Ø Ò ÑÓ ÓÑ ØÖ ÒÅ Ö Ø Ø ÚÝ Ó Ö Ø ÔÓ ÙÖ ØÙÖ ÓÑ ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ù Ø ÑÝ Å Ô ÖÅ ö ÑÓ Ù ÓÑ ØÖ Ò Ù Ñ ØÙ ÒØÝ Ùº ÓÑ ØÖ Ò Ø Ñݹ Ò Ö Ú Ø ÓÑ Ô Ö Ñ ÒØÓ Ø Ø Ø Ø Ò ÓÑ ØÖ Ò Ó Ó ¹ ØÓ Ô ÖÓ ÝÑ Ö Ô Ö Ò Ñ º à ÖØ Ø Ø Ø ÒÙÑÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÙÒ Ô Ö Ò ÑÓ Ó Ø º ÆÙÓ Ø Ø Ø ÒÙÑÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó ÔÖ Ð Ù Ó Ô Ø Ö ÞÙÐØ Ø Ô ö ÒÓÑ Ñ ÖØÖ ÒÓ Ùö Ú ÒÝ º ºĺ º ÖØÖ Ò ½ ¾¾¹½ ¼¼µ ¹ÔÖ Ò ÙÞÙ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ö Ò Ò Ö Ò Ð ÞÅ Ð ÖÓ Ö ØÝ º ½

15 Ô ÚÝÞ Ý º ÖØÖ ÒÓ Ùö Ú ÒÝ Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ò Ñ Ú Ò Ø Ò Ó Ô Ö Ø ÑÓ ØÝ º ÃÓ Ø ÑÝ Å Ó Ð ÒÅ Ùö ÖÅ öøó Ô Ö Ø Ñ ÐÝ Ö Ó ØÖ ÑÔ Ó Ö Ø Ò Ð Ñ ÙÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò ØÝ Ó Ô Ö Ò Ñ Ú Ö º Ì Ö Ñ Ú Ò Ø Ò Ó Ö ØÙÐ Ó Ú Ù Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ò Ñ Ø Ö Ñ Ñ ØÝ Ò Ò Ô Ö Ø Ø ØÑ Ò Ô Ò ÙÐ Ù ÒÙ ÖÅ öø Ñ Ô Ö Ø Ô Ø Ø º ÌÓ Ù ØÚ Ù Ð Ñ Ø ÝØ ÓÑ ØÖ ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ÑÓ Ð Ð Ý Ñ Ó Ω ÝÖ Ú Ò Ø Ò Ö ØÙÐÝ º Ð Ñ Ø ÔÓ ÙÓØ Ú Ò Ô Ö Ø ÑÓ Ø P, ÒÙ ÖÅ öø Ð Ø Ò Ñ Ø Ö Ò Ö ÒÅ Ø ØÝ Ò Ò Ô Ö Ø P. Ä Ý Ñ Ó ØÝ Ô Ö Ò Ø Ô Ö Ò Ø Ó Ö Ð Ø ÒÅ ÑÔ º Ì Ø Ý Ñ ÓÑ ØÖ Ò Ø ÑÝ Ò Ö Ú Ñ Ñ Ω = [0, π]. È Ð Ù Ð Ñ Ø Ø Ø Ò ØÝ Ó Ô Ö Ò Ñ ÙÔÖ Ø Ö Ø Ôº ÙÓ Ñ Ô Ö Ø ÑÓ Ö Ñ Ò Ö Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ò Ñ Ó Ø º Æ Ö ÒÅ Ñ ØÝ ÙÖ Ø ØÑ Ò Ö Ñ Ò Ù Ñ Ø º Ö Ð Ñ ÑØ Ω = [ 1, 1]. Ø Ø Ø Ò ØÝ Ó Ô Ö Ò Ñ Ð Ñ ÙÔÖ Ø Ú Ö Ø ÝÑ Ú ØÖ Ñ ØÚ ÖØ Ò º Ì ÑÝ Å Ó Ô Ö Ò Ø ØÝ Ù Ð ÒÅ Ùö ÖÅ öøó Ô Ö Ø ÑÓ Ö Ø Ò ÐÝ Ø Ø Ò Ñ ½» ½» Ö ½»¾º Á ÔÖ Ø Ùö Ú Ò ØÖ Ñ ØÚ Ö Ø Ò Ø º ½º º Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó ÓÑÓ ÆÓÖÅ Ñ ÙÓØ Ù Ò ÝÑÙ Ù Ù Ù Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ø ÑÝ ØÙÖ Ñ Ô ÖÑ Ù Ù ÖÝØ Ò ÝÑÓ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÑÓ Ð Ô ÖÅ öø Ò ÝÑÓ Ù Ω, ÒÙ ÔÖ Ø Ó Ù Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ò Ö ÒÅ Ñ ØºÝº ØÙÖ Ñ Ô ÖÅ öø Ò Ö ÒÅ ÑÙ Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ø Ñ Aµ Ö Ô ÖÅ öø Ø ÑÝ Ù ÔÖ ÝÖ ÑÓ ÚÝ Ñ Ø Ý Ð ØºÝº ÙÒ P : A [0; 1]. Î Ø Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ø Ω, A, P. Ì Ö ÝÖ Ú Ù Ñ Ù Ù Ú ÑÙ Ò Ø Ô Ø Ö ÒØ Ø ÑÝ Ò Ò ÝÑÓ ÑÓ Ð º â ØÖ Ø Ú Ò Ñ Ø Ó Ø ÑÝ Ò Ö Ú º Æ Ö ÒÅ ÓÑ Ò ÝÑÙ Ù Ú ÒÓ Ð ÑÓÑ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÑ ØÖ Ò ÑÓ Ð Ù º Ñ ØÚ ÚÝ Ù Ø Ñ A Ö Ø ÑÝ Ù ÔÖ Ý¹ Ö ÑÓ ÙÒ P Ô ÖÅ öå Ñ Ô Ò Ù Ó Ù Å ÚÝ Å Ñ º Ì Ù ½

16 ÝÖ Ú Ó Ù Ò ÝÑÙ Ö Ú Ó Ù Ø Ø Ò Ò Ù Ù º Ã Ú ÒÓ Ò ÝÑÓ Ø Ö Ò Ò Ö ÒÅ Ñ º ÌÓ Å Ð Ö Ù Ô ÔÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÐÅ ØÓØ Ø ÓÖ ÓÑ Ø ÙÓØ Ñ ö Ù Ù ÚÝ Ù ÙÖ ÔÖ Ú ÐÓ ØÙÖÅ Ø ØÖÝ Ó Ø Ω, A, P, Ù ØÖ Ø ØÙÖÅ ØÙ Ø Ú ÒØ Ø ÑÝ Ò Ö Ú Ó Ú Ø ÚÝ ÖÓ ÒÅ Ø Ö Ñ ÒØ ÓÑ ÚÝ Å Ñ ÓÑÓÑ µ Ö ö ¹ ÒÓÑ Ö öø ÐÓ Ò ÑÔÖÓØ Ú Ñ º Ì Ô ÙØ Ø Ò Ô ÚÝ Ù Ö Ø ÑÝ Ù Ø Ò Ú Ñ ÒÓÑ ØÚ Ò Ú Ö Ù ÝÖ Ò ÝÑÓ ØÝ Ø Ö Ð Ù Ó Ð º Ì Ó Ù ÚÝ Ù Ö Ô Ö Ð ÙØ Ð Ñ ÒØ Ö Ù Ù ÚÝ Ù Å Ω, Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ø ÑÓ A Ö ÙÒ Ó P : A IR Á Å Ω Ö Ð Ù Ñ Ñ ö Ù º È Å ÙØÙ Ò ØÙ Ω. Á A Ô Ö Ð Ù Ñ Ù Ù ÙÒ Ñ Ö Ö Ñ ÔÓ Ù Ø Ø ¹ Ø Ò Ù ÚÝ Ù µ ÚÅ Ð ÙØÙÑ ØÓ Ô Ó ÑÓ Ð Ñ ÒØÙ º Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù Ω ÝÖ Ò ØÙ Å º ÂÓ ÔÓ Ù Ø Ñ A Ú Ò Ñ σ¹ Ð Ö Ù Ô Ø Ò ÒØÓ ØÓ Ó ÐÝ Ó Ω A A A Ø Ö A A A i A, i = 1, 2,..., Ø i=1a i A. A öýñ Å A Ô Ô Ð Ò Ú Ó Å Ω. È Ø ÙÖ ö Ù σ¹ Ð Ö ØÙÖ Ø Ù Ð Ñ ÒØÙ A = {, Ω}, Ô ØÙÖØ Ò Ù ÔÖ Ð Ù Ó Ú Å ÔÓ A = P(Ω). Ì Ó Ô ÖÅ ö ÑÓ ÙÒ Ñ Ó A Ø Ò Ú Ò σ¹ Ð Ö º ÆÓÖ Ô ÖÅ ö Ñ Ö Ð Ù Ñ Ø Ó Ó Ó Ù Ø ÑÓ ÙÒ ÚÅ Ð ÔÖ Ð Ù ÝØÙ A, Ú Ú Þ Ù Ø Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ù Ø Ñ º  ٠ÔÓ Ù Ñ Ø Ò Ò Ú Ô ÖÑ σ¹ Ð ÖÓ Ô ÖÅ ö ÑÓ ÐÝ ØÖ Ø Ò Ò Ø Ù Ø ÒÅ Ñ ÔÓ Ù Ø ÑÓÑ ØºÝº Ø Ò Ò ÐÝ A i A, i I, ÝÖ Ø ÒÅ ÔÓ Ù Ø Ñ Ø i I A i A, Ø A Ú Ò Ñ Ð Ö º âø Ö Ð Ø Ð Ò Ú ÖÓ ÓÑÙ ÔÓ Ù Ð ÖÓ ÚÝ Ù º Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù A ÝÖ Å Ω σ¹ Ð Ö º Ì Ò ØÓ Ø Ò A i, i I, ÝÖ Ø ÒÅ Ö Ø Ù A Ñ Ø i I A i A; A, B A, Ø A\B A. ½

17 öýñ Ñ A\B = A B. Ã Ô Ù ÖÝØ ÚÝ Ù σ¹ Ð Ö A ÃÓÒ Ö Ù ØÚ Ù Ô ÖÑ Ù Ö Ô Ö ÙÔ ÒØ ØÖ Ù Ø Ò Ö ÒÅ ÑÙ ÚÝ Ù Ñ ÑÙÑ ÓÑ Ù ÚÝ Ù Ó ÔÓ ØÓ Ô Ô Ð ÝØ Ø Ñ ÚÝ Ø Ô Ø Ñ ÙØÙ σ¹ Ð Ö º È ÚÝÞ ö Ù Ù Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, Ó ÑÙÑ Ð Ö ÙÔ Ò Ö ÒÅ ÑÙ ÚÝ Ù Ø Ñ ØÙ ÚÝ {1, 2, 3}, {3, 4, 5} Ø Ñ ö Ù σ¹ Ð Ö ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó ÚÝ ÝÖ ØÓ A = {, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {3}, {4, 5}, {1, 2}, {1, 2, 4,5}, Ω }. Ö Ú Ú Ö Ù ÚÝ Ù Ø Ñ Ð Ñ Ô Ô Ð ÝØ σ¹ Ð ÖÓ Î º Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù S ÝÖ Ò ØÙ Ó Å Ω ÔÓ Ù Ø Ñ º  ٠σ¹ Ð Ö A Ø Ò Ò ÐÝ S A Ö ØÙÖ ÚÝ Ù Ø ÙÖ Ø σ¹ Ð Ö A, S A, Ø Ò A A, Ø σ¹ Ð Ö A Ú Ò Ñ σ¹ Ð Ö Ò ÖÙÓØ S Ö öýñå Ñ A = σ(s). σ¹ Ð Ö σ(s) Ð Ñ Ú Þ ÙÓØ Ô Ñ ö Ù σ¹ Ð Ö ÙÖ ÔÖÅ Ô Ø Ñ S. Ø ÓÖ Ñ º Ø Ó ÔÓ Ù Ø Ñ S σ(s) Þ ØÙÓ º âø Ð Ù Ø ÖÓ ÝÑÓ Å ØÝÑ ÒØ Ú Ò σ¹ Ð Ö A, S A, Þ ¹ ØÙÓ º È ÚÝÞ ö Ù Ú Ù Ω ÔÓ Ù σ¹ Ð Ö º Î Ù ØÓ Ù σ¹ Ð ÖÙ Ò ÖØ Ö ÝÖ σ¹ Ð Ö Ø Ò Ò ÒØ Ò ÖÙÓØÓ σ Ð ÖÓ Ô ÖÅ ö ÑÓ ÐÝ º Ô ÚÝÞ Ý º ËÚ Ö Ù σ¹ Ð ÖÓ Ô ÚÝÞ Ý º öò Ò ÝÑÓ ØÝ Ú Þ ÙÓ ÑÓ Ø Å Ö Ò Ó Ñ Ø Ú ÑÓ Ö ÚÅ Ø Ó Ú Ö Ù ÚÝ ÒØ ÖÚ Ð º Ì Ù S ÝÖ Ö Ð Ù Ù Ù Å IR ÒØ ÖÚ ÐÙ [a, b) Ø Ñ º Ì σ(s) Ú Ò Ñ ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð Ö º Ì Å ÔÓ Ù ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð Ö öýñå Ñ Bº Ò ÐÓ Ô ÖÅ Ñ IR n ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð Ö º  S ÝÖ Ú Ù n¹ñ Ù ÒØ ÖÚ ÐÙ [a 1, b 1 )... [a n, b n ) Ø Ñ Ø σ(s) Ú Ò Ñ Ö ÚÅ IR n ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð Ö º êýñå Ñ B n º ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð ÖÓ Ú Ò Ñ ÓÖ Ð Ó Å Ñ º È ÚÝÞ ö Ù Å Ù ÖÝØ Ú ÒÓ Ø Ó ÝÖ ÓÖ Ð Ó Å Ò Ð Ñ ÙØ ÖØ ÒØ ÒØ ÖÚ ÐÙ Ø Ñ {a} = [a, a + 1/n). n=1 Î Ó Å ÙÖ Ô ÔÖ Ø Ò Ö ÒÅ Ñ Ùö Ö ØÚ Ö Ö ØÓ ÒØ ÖÚ Ð Ù ÙÒ Ó Ø ÒÅ Ù Å Ø Ô Ô Ø Ö ÓÒ Ð Ù Ù Ö ÓÒ Ð Ù Ù Ù Å ÝÖ ÓÖ Ð Ó Å º Ç Ö ÔØ Ö Ñ Ó ÚÝ ØÙÖ ØÙÖÅ Ø ÚÝ Ñ Ø ÑÝ ÔÖ Ö ¹ ÒØ ÙÒ P : A IR. Ñ Ð ÓÖ Ð ½ ½¹½ µº Ø ÑÝ Ù Ö ØÓ Ö ØÝ º È Ð Å Ù Ö Ñ Ò Ù Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø ÒÅ Ò Ð ÞÅ ½

18 Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù A ÝÖ Ò ØÙ Ó Å Ω ÔÓ Ù σ¹ Ð Ö º ÙÒ P : A [0, 1] Ú Ò Ñ Ø ÑÝ Ò Ù Ñ ØÙ öò Ø Ó Ø ÑÝ µ P(Ω) = 1; A i A, A i A j = (i, j = 1, 2,..., i j), Ø P( A i ) = i=1 P(A i ). i=1 ÈÖ Ñ Ò Ñ Ó ÚÝ Ù ÙÖ Ñ A B = Ú Ò Ñ Ò ÙØ ÓÑ º Ì ÑÝ Å Ô ÖÅ ö ÑÓ ÒØÖ ÐÝ Ú Ò Ñ σ¹ ØÝÚÙÑÓ ÐÝ º Ì ÐÝ Ö Ð Ù Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù ÙÒ Ó Ø ÑÝ Å ÙØÙ ÐÝ ÚÝ Ù Ø ÑÝ Ù ÙÑ º à ÖØ Ò Ö ÒÅ ÑÓ ÙÒ Ó P : A [0, 1], ÙÖ Ó ÐÝ Ø Ò Ò Ø Ø ÒÅ Ñ Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù ÙÒ ÓÑ º ÌÓ Ó ÙÒ Ó ÒÅ Ö Ø ÑÝ Ò Ñ Ø ÓÑ Ó Ø Ò Ò Ø Ò Ó ØÝÚÙÑÓ ÚÝ º Ç Ö Ù ÙÒ Ñ Ú Ù ØÖ Ò Ö ÒÅ ØÙ Ó ØÙ Ú Ò º Ô ÖÅ ö Ñ º ÌÖ Ø Ω, A, P, A ÝÖ Ò ØÙ Ó Å Ω ÔÓ Ù σ¹ Ð Ö P Ø ÑÝ Ò Ñ Ø Ú Ò Ñ Ø ÑÝ Ò Ö Ú º â Ó Ø ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó ÓÑ Ø Ó ÙØÓÖ Ù ÖÙ Ù Ñ Ø Ñ Ø ºÆº ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ½ ¼ ¹½ µº ÂÓ ÒÝ ÐÅ Ô Ø ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó ÓÑ Ø Ò Ù Ô Ö Ò Ù Ð Ø ½ Ñ Ø º Ò Ù Ò Ö ÒÅ ØÓ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ÝÖ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ Ò Ù¹ Ó Ó Ô ÖÅ ö ÑÓ ÔÖ Ñ º ÆÓÖ ÓÑ ØÖ ÒÅ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ØÚ Ù Ø ÒØ ØÙÓ Ò ÔØÓÐ ÒÅ Ö ØÖ Ú ÐÙ ½º º Ã Ð Ó ÐÝ Ý Å Ö Ò ÐÝ Ý Å â Ñ ÝÖ Ù Ò Ö ÒÅ Ñ Ø ÑÝ Ò Ö Ú Ω, A, P º Á ÖÓ Ý Ñ Ô ÔÖ ¹ Ù Ø ÑÝ Ù ÚÝ º Ä Ý Ñ Ú Ò Ö ÒÅ Ñ Ø Ø Ø Ò ÚÝ ÔÖ Ð Ù Ó ÚÝ Ù σ¹ Ð Ö A. ÈÖ Ñ Ò Ñ Ó A\B = A Bº Ø ÓÖ Ñ º Ì Ò ØÓ Ø Ò ºÆº ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ½ ¼ ¹½ µ ÝÖ Ú Ò ö Ù Ù Ñö Ù Ñ Ø Ñ Ø Ù º ÂÓ ÑÓ Ð Ò ÒØ Ö ÙÚÓ Ð ÔÐ Ø Ù º ÅÓ Ð Ò Ù ØÝÖ ÒÅ ÑÙ ÔÖ Å Ö Ð Ù ÒØ ÑÓ Ó ÙÒ Ù Ö ØÝ ÚÅ Ð Ù Ò Ö ÒÅ Ó Ú Ö Ù Ù Ø ÓÖ Ó ÐÓ Ó ØÓÔÓÐÓ Ó Ñ Ò Ó º ÐÝ Ù Ò ÓÖÑ Ó Ø ÓÖ Ó Ø ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ö ØÙ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ º ÓÑÅ Ó Ú Ö Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø ÝÑ Ó Ø Ô Ô Ø Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó Ú Ø ÑÓ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÓÔÙ¹ Ð Ö Ò ÑÓ Ð Ù Ñ º ½

19 ½º P( ) = 0; ¾º ÐÝ Ý Å P( i I A i ) = i I P(A i ), Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ö Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù Ø Ñ A i, i I; º P(A\B) = P(A) P(A B); Ø ÖÙ ØÚ Ù P(A c ) = 1 P(A); º P(A B) = P(A) + P(B) P(A B); Á ÖÓ ÝÑ Ö Ø Ð Ù Ó ÓÒØ ÙÖ º ½µ ÈÖ Ø Ý Ñ σ¹ ØÝÚÙÑÓ ÚÝ ØÚ Ù Ú ÚÝ Ò Ð Ñ A i = (i = 1, 2,...). ¾µ  I ÝÖ Ø Å Ò Ó Ò Ù Ó Ò ØÚ ÖØ Ò Ñ º  ٠I Ø ÒÅ Ô ¹ Ô Ð Ý Ñ ØÙ ÓÑ Å Ñ Ó ÑÓ Ô Ò Ù Ó Ñ σ¹ ØÝÚÙÑÓ ÚÝ Ö ÐÝ Ý P( ) = 0. µ Á ÚÝ A\B Ö A B ÝÖ Ò ÙØ ÓÑ Ó Ù ÙÒ ÝÖ A. Ð ÔÖ Ø ÝØ Ù ÖÓ ÝØ ¾µ Ð º µ Á ÚÝ A\B Ö B ÝÖ Ò ÙØ ÓÑ Ó Ù ÙÒ ÝÖ A B, Ø ÚÅ Ð Ô Ò ÔÖ Ø ÝØ ¾µ Ð º Ø ÓÖ Ñ º  A i (i I) ÝÖ Ø ÒÅ Ö Ø ÚÝ Ù Ø Ñ A Ø Ø Ø Ò ÚÝ Ö A i A i, Ø P(A) i I P(A i ). µ Ø ÖÙ ØÚ Ù A = i A i P( i I A i ) i I P(A i ). µ Á ÖÓ ÝÑ º Á ÖÓ Ý Ñ µ Ò ÐÝ Ý I Ù ÖÓ Ú Ò Ð Ñ ÒØ Øº ݺ ÖÓ Ý Ñ Ó A B ÔÐ Ù P(A) P(B). Á Ø Ù B = A (B\A), Ö ÚÝ A, B\A Ò ÙØ ÓÑ º Ì ÖÓ ÝØÓ Ø ÓÖ ÑÓ ÙÒ Ñ P(A) P(A) + P(B\A) = P(B). Ì Ù Å I ÝÖ Ð ÒÅ Ø Ð Ñ Ø ÖØ Ó i = 1, 2,.... Á ÚÝ A = i A i ÙöÖ Ý Ñ Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù A i,a i A i, ÙÒ A = i A i, A 1 = A 1, A n+1 = A n+1\ ( n ) A i, A n A n. i=1 ½

20 Ì σ¹ ØÝÚÙÑÓ ÚÝ Å Ö P(A n ) P(A n) Ù Ñ P(A) = i I P(A i) i I P(A i ). Ã Ò A A, Ø P(A) P ( ) A i P(A i ). i I Ì ÓÖ Ñ ÖÓ ÝØ º È Ò Ö ÒÅ Ñ Ú Ò Ô ÚÝÞ º Â Ò Ö ÒÅ Ñ Ô Ò Ù Ó Ñ Ø ÑÝ Ù ØÝÚÙÑÓ ÚÝ Å Ñ º ½¼ Ô ÚÝÞ Ý º ÇÔØ Ñ Ð Ù Ô Ö Ò ÑÓ Ùö Ú ÒÝ Ì Ù n Ó ØÙ Ö Ô Ö Ò Ø Ö Ù º Ì Ó Ø Ô ÖÓ Ó ÑÙÑ Ú Ò ÔÓ ØÓ Ù Ú ÒÓ Ò Ô Ö Ò ÓÑ Ô ÖÓ Ó Ø Ó Ô ÖÑ Ò Ø Ñö Ò º ÃÓ Ó ØÖ Ø Ó Ö Ð ÝØ Ø ÑÝ Å Ô Ö Ò Ø Ö Ù Ó Ø ÙØÙ ö Ù Â Ù ÒÓÖ Ø Ð Ø ÒØ ÖÔÖ ØÙÓØ Ùö Ú Ò Ô ÙØÙÓ Ø Ò Ó Ô Ö Ò ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ º Ä Ý ÑÅ Ô ÔÖ ØÓ ØÖ Ø Ó Ø Ó Ù Ô ö Ò Ñ Ù Ô ÖÑ m Ó ØÙ Ù Ò Ô Ö Ò Ñ Ù ÙÖ Ñ Ø Ò ÖØ µ Ó Ô Ù Ô Ö Ò Ñ Ô ÖÑ ÙÖ Ù Ö Ò Ùö Ö Ù m Ô ÖÑÙ Ù º Ð ÚÝ Ø Ú Ò Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù H j, j = m + 1,...,n, n + 1, H j = {Ô Ö Ò Ø ¹Ø Ó Ø } (m + 1 j n), H n+1 i I = {Ò Ô Ö Ò Ø Ó Ó Ø }. Ì Ù A = {Ô Ö Ò Ø Ó Ø ÝÖ Ö Ù }, Ø A = n j=m+1 A H j, P(A) = n j=m+1 P(A H j ). Á ÚÝ A H j ÚÝ Ø Ø Ù Ô ö Ò Ù m Ô ÖÑÙ Ù Ó ØÙ Ö Ò Ñ Ô ÖÑ Ö Ò Ùö ÙÓ Ø Ö Ò Ô ÖÓ Ó j¹ùó Ù Ö ÝÖ Ô Ö Ø Ô Ø Ö Ù º Ë ÙÓ Ñ Ó ÚÝ Ó Ø ÑÝ º Ì Ö Ñ Ñ Ù Ù Ó Ø ÝÖ ÖØ Ò Ù Ù Å A = {j 1, j 2,...,j n }. ÃÙÓ Ù Ò ØÙÓ Ö Ò Ø Ù Ó Ù ö Ù Ñ Ò ØÓ Ò ö ÒÓÑ º È öýñå Ñ ö Ù Ù N. Ë ÑÙÑ Ô ÖÓ Ó Ø Ø Ø Ò ØÚ Ö Ú Ò ÔÓ ØÓº Ì Ø Å Ð ÒÝ Ù Ù ω = i 1, i 2,..., i n. Á Ú Ó ÝÖ N = n! ÖØ Ò Ù Å Ð Ò Ù Øº ݺ Ù º Ë ÙÓ Ñ ÝÖ Ù ω = i 1, i 2,...,i n, Ô Ð Ò Ù A H j (m + 1 j n). Ø ω ÝÖ Ô Ð Ò A H j, i j = N Ö max{i 1,...,i m } > ¾¼

21 max{i m+1,...,i j 1 }, غݺ Ð Ñ ÒØ i m+1,..., i j 1 ÝÖ ÐÓ Ò Ùö Ö Ù Ð Ñ ÒØÙ i 1,...,i m. Ã Å Ð Ò Ù ω = i 1, i 2,...,i n, Ù ÚÝ Ð Ñ Ù ÖÝØ Ë ¹ ÙÓ Ñ Ø Ô Ù Å A\{N} Ô Ö Ò Ñ j 1 Ù Ø Ð Ñ Ô ÖÝØ C j 1 n 1 Ù º ËÙ ÖÝ Ñ Ù Ö Ø Ò º ö Ù ØÖ Ò ØÙ Ù Ù Ö Ý Ñ Ú Ò Ô ÖÑÙ Ù m Ú ØÙ ØÙ Ð Ù Ú Ø º â Ø Ô Ð Ñ Ù ÖÝØ mcn 1(j j 1 2)! ÖØ Ò Ù Ö Ø Ò Ù i 1, i 2,...,i j 1, Ø Ò Ò Ò Ù ÐÝ max{i 1,...,i m } > max{i m+1,...,i j 1 }. È Ô Ð Ý Ñ ØÓ Ö Ø Ò Ö Ø Ò Ó i 1, i 2,...,i n, Ø Ø Ò Ò Ó Ô Ð Ò ÚÝ Ù A H j, Ø º Ã Ò i j = N, Ø Ð n j Ù Ö ÐÝ Ø Ú ØÙ Ñ ÙÖ ÝØ º ÚÓÑ Ù i 1, i 2,..., i n, Ô Ð Ò Ù A H j, غݺ Ø Ò Ò Ò Ù ÐÝ i j = N Ö max{i 1,..., i m } > max{i m+1,...,i j 1 }, ÝÖ m C j 1 n 1 m(n 1)! (j 2)! (n j)! =. (j 1)! Ì P(A) = n j=m+1 P(A H j ) = m n n 1 j=m 1 j. Ö Ù Ó Ô Ö Ò ÑÓ Ø ÑÝ Å P(A) ÔÖ Ð Ù Ó ÒÙÓ ØÖ Ø Ó Øº ݺ ÒÙÓ m Ö ÑÅ P(A) = P m (A) º ÃÓ Ñ m Ø ÑÝ Å ö Ù Ö Ù Ó ØÖ Ø Ó Ý m n Ð Ñ ÒÙ Ø ØÝØ ÐÝ Ó P mn (A) = max 0 m n P m(a). Ý ö Ù m n Ø Ò ØÓ Ö Ò ÖÝ m n n 1 e, P m n (A) 1 e (n ). Ì Ó ØÙ Å ÝÖ Ù Ö Ù Ö Ò Ø Ú ÖØ ÒÙ Ñ ö Ù ØÖ Ð ÔÖ Ø Ò ÒØÙ º Ð Ñ Ù ÙÓØ Ø ÑÝ Ô Ð ØÖ Ø Ô Ö Ò Ñ Ó ¹ Ø ÙÖ Ô Ð Ú ÖØ ÝÖ ÒØÖ ØÖ Ö ØºØº ½º º È ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý ö Ö Ø ÑÝ Å öò Ú Ö Ó Ò Ô Ó Ò ÝÑÓ ØÝ Ø Ø Ñ Ø Ö ÔÖ ÖØ ÓÑ º È ÚÝÞ ö Ù ÙÐ Ù Ð Ñ Ò Ô Ù ÑÅ ØÝØ Ø Ù ÙÓ ÐÓ Ø º Ð Ñ Ù Ø ÖØ Ô ÚÝÞ ö Ù Ö ÒÙ Ñ ö Ù Ô ØÙÖ ÓÑ ÙØÅ Ñ 1 ÄØ ÔÖ ÐÓ Ñ Ó Ö ÒÙ Ù Ù Ø Ô Ø ÐÓ Ñ º Ì ÔÖ ¾½

22 Ò ÝÑ Ñ Ø Ñ ω 1, ω 2, ω 3 ÔÖ Ö Ñ Ù 1, Ó ØÓÑ ¹ Ø Ñ Ö Ñ 1. Ì Ô ÖÅ ö Ñ ÙÒ Ù Å Ö Ñ Ù X : Ω { 1; 1}. ÙÒ Ó Ö Ñ ÙÒ Ñ Ø ÔÓ Ò ÝÑÓ Ø Ò Ø ÙÖ ÐÙ ØÓ ÙÒ Ú ÒØ Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ùº Ã Ò Ô ÖÑ Ú Þ ö X 1 ( 1) = {ω 1, ω 2, ω 3 }, X 1 (1) = {ω 4, ω 5, ω 6 } ÝÖ Ø Ø Ø Ò ÚÝ Ø Ð Ñ ÙÓØ Ø ÑÝ Ø Ø Ø Ò Ý X Ý Ö Ñ 1 Ö 1 P(X = 1) = P(X = 1) = 1 2. Ô ÖÅ Ñ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý Ò ÖÙÓ Ù ØÚ Ùº Ô ÖÅ ö Ñ º ÙÒ ξ : Ω IR Ú Ò Ñ Ô ÔÖ ØÙ Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù ξ Ý Ö Ñ Ø ÒÅ Å Ö Ú Ò Ö Ñ x ξ 1 (x) = {ω : ξ(ω) = x} A. È ÔÖ Ù Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù Ð Ñ ÙØ Ø Ô Ù Ý Ñ Ù Ö Ú Ω Ø Ò Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù ÙÒ Ω = m H i, H i A, H i H j =, jei i j, i=1 Ö Ô ÖÅ ö Ñ ξ : Ω IR, Ñ Ñ ξ(ω) = x i, ω H i ; x i IR ÙÓØ º Â A A Ó ÒÓÖ Ø Ø Ø Ò ÚÝ Ø Ó Ô ÔÓ Ó Ò ØÓÖ Ù { 1, ω A, I A (ω) = 0, ω A. ÝÖ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý º Æ ÙÒ Ù Ø ÒØ Ó Ù Ø Ó ÚÝ A, B I A B = I A + I B I A B, I A I B = I A B. Â Ù ξ ÝÖ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý x i Ó Ö ÑÅ H i = ξ 1 (x i ) ÝÖ Ø Ø Ø Ò ÚÝ º Ì ξ(ω) = i x i I Hi (ω). Ì Ú Ò Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý Ð Ñ Ö Ø Ö Ô ÔÖ Ø ¹ Ò ÚÝ Ù Ò ØÓÖ º Á ÚÝ Ù Ò ØÓÖ Ù Ð Ñ ÙÚÓ Ø Ø Ó Ô Ò ÐÙ ÙÖ ÒÙÖÓ Ó Ö ÚÝ ÚÝ Ó Ö Ò º Ø ÓÖ Ñ º Â ξ, η ÝÖ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý ö a, b Ö Ð Ù Ø ζ = aξ + bη ÝÖ Ø Ô Ô Ø Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý º ¾¾

23 Ì ÒÝ ÝÖ Ø Ò Ö Ò ÖÙÓ Ù ØÚ Ù Ø Ò Ó Ù Ô ÔÖ ØÙ Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù Ø ÒÅ ÓÑ Ò ÝÖ ÚÅ Ð Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý º Á ÖÓ ÝÑ º Â ξ ÝÖ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý Ø aξ Ö Ô ÔÖ Ø º Ì Ô Ò Ø ÓÖ Ñ ÖÓ ÝØ a = b = 1. Ì Ù x i ÝÖ Ô ÔÖ ØÓ Ó Ø ¹ Ø Ø Ò Ó Ý ö Ó ξ Ö ÑÅ G i = ξ 1 (x i ) y j Ô ÔÖ ØÓ Ó Ø Ø Ø Ò Ó Ý ö Ó η Ö ÑÅ H j = η 1 (y j )º Ì ÚÝ G i H j ÖØ Ò ÓÑ ÔÓÖÓÑ i, j ÝÖ Ò ÙØ ÓÑ Ó ζ ÙØ ÑÔ Ù Ô ÔÖ ØÙÓ Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù (x i + y j )I Gi H j. i,j Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù ξ ÝÖ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý x i Ó Ö ÑÅ H i = ξ 1 (x i ) (i = 1,...,n). Ø Ø Ø Ò Ó Ý ö Ó ξ Ú ÙÖ Ù Ú Ò Ñ Ù E[ξ] = n x i P(H i ) = i=1 n x i P(ξ = x i ). i=1 ÃÓ Å Ð ÙØ ÒØ Ø Ô Ô ÖÅ ö Ñ Ú ÙÖ È Ò Ö ÒÅ Ñ ÒØ Ò ¹ Ö ÒÅ Ñ ÑÓÒ ØÓ Ñ Ø ÑÓ Ò ÝÑ º Ù Ω Ù ÖÓ Ú ØÝ S = { Ö ØÓ Ù }, H = { Ö ØÓ Ö }. Ì Ö Ñ S Ö H Ô ÖÓ ÝÑÓ Ø ÑÝ Å ÝÖ p Ö q = 1 p. Ô ÖÅ ö Ñ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý ξ, ξ(s) = 1, ξ(h) = 2. Ì Ö Ñ ØÐ ÓÑ Ð Ñ Ø ÑÙ Ö Ö ÚÓÑ Ù X 1, X 2,...,X n, X m {S, H}. Å Ù Ù ÒØÙ Ò ÔÖ Ò Ô ÖÝ Ñ ÔÖ Ð Ó Ù Ó S Ô Ö¹ ØÓ np, H Ø Ø Ò Ñ n(1 p) ÖØÙ º ËÙÑÙÓ Ñ ÙØ ξ Ö Ñ ÙØÓ ÙÑ 1 np + 2 n(1 p). Ì Ö ÑÅ Ø Ò ÒØ Ú Ò Ñ Ñ Ø ÑÙ ÐÝ 1 p + 2 (1 p). Ì Ö ÝÖ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ý ö Ó ξ Ú ÙÖ º È Ø Å Ñ Ó Ø Ø Ø Ò Ó ÚÝ Ó Ò ØÓÖ Ù E[I A ] = 0 P(I A = 0) + 1 P(I A = 1) = P(A). Ø ÓÖ Ñ º Â ξ, η ÝÖ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý ö a, b Ö Ð ζ = aξ + bη, Ø E[ζ] = ae[ξ] + be[η]. Á ÖÓ ÝÑ º Ã Ú Ò Ù a, b ÐÝ Ù ÒÙÐ Ù ÐÝ Ý Å ÔÐ Ù Ø Ó Ú ÙÖ Ó Ô ÖÅ ö ÑÓº ØÚ Ò Ú Ò Ó ÒØ ÒÅ Ö ÒÙÐ Ú ¹ Ú Ð ÒØÙ ØÚ Ù a = b = 1. â ØÚ Ö ÖÓ ÒÅ Ñ º ¾

24 êýñå ÑÙ x i, y j, G i, H j ÔÖ ÑÅ ØÓ Ô Ø Ô Ò Ø ÒÅ Ø ÓÖ ÑÓ ÖÓ¹ ÝÑ G i = ξ 1 (x i ), H j = η 1 (y j )º Ì ζ = i,j (x i + y j )I Gi H j. È Ð Ú ÙÖ Ó Ô ÖÅ ö Ñ E[ζ] = i,j (x i + y j )P(G i H j ). È Ö ÖÙÔ Ú Å Ñ Ò Ù Ñ E[ζ] = x i P(G i H j ) + i j j y j P(G i H j ). i µ Ä Ô Ø Å Ø Ó ÙÓØ Ñ i ÚÝ G i H u, G i H v, u v, ÝÖ Ò Ù¹ Ø ÓÑ Ó Ù ÙÒ ÐÝ ÚÝ Ù G i = {ω : ξ(ω) = x i }. Ì P(G i ) = j P(G i H j ). Ò ÐÓ ÐÝ Ý Å Ø Ò Ö Ø ÑÝ P(H j ). È ÖÅ Ñ ÓÑ ÐÝ Ý Å Ñ µ ÖÝ Ý Ù Ñ E[ζ] = i x i P(G i ) + j y j P(H j ) = E[ξ] + E[η]. Ì ÓÖ Ñ Ò ÙÒ Ô Ò Ö Ò Ñ Ö Ø Ó Ñ Ø Ò Ñ Å Ñ ÒÙ Ù º ½¼ Ø ÓÖ Ñ º  ξ 1,...,ξ n ÝÖ Ô ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ý ö a 1,...,a n Ö Ð Ø E[a 1 ξ a n ξ n ] = a 1 E[ξ 1 ] a n E[ξ n ]. â Ú ÙÖ Ó ØÝÚÙÑÓ ÚÝ Ô Ò Ù Ó Ñ Ú Ñ Ð ÓÖÑÙÐ Ù Å Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ø ÑÝ Å Ñ ÙÓØ º Ã Ô Ø ÖÓÑ Ð Ñ Ò ÝØ Öغ ÄÝ Ý Å I A B = I A + I B I A B Ñ Ñ Ú ÙÖ Ù Ó ÔÙ Å Ö Ô Ò Ù Ó Ñ ØÙÓ P(C) = E[I C ] Ø Ò Ø Ó Ñ ÚÝ Ù C. Á ÖØ Ù Ñ P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). ¾

25 â ÐÝ Ý Å Ù ÖÓ ÝØ Ò Ùº Ô Ò Ö Ò Ñ Ø Ó ÚÝ Ù ÙÒ B = n A i. i=1 Á ÚÝ B Ð Ñ ÒØ ÖÔÖ ØÙÓØ Ô ÚÝ ÙÖ ÚÝ Ø Ø Ö Ø Ø ÚÝ Ø ÒØ Ú Ò ÚÝ A i. ½½ Ø ÓÖ Ñ º Ø Ó Ñ ÚÝ Ñ A i (i = 1,..., n) Ø Ò ÐÝ Ý Å P ( n ) n A i = ( 1) r 1 S r, i=1 r=1 µ S r = P(A i1... A ir ). 1 i 1 <...<i r n Á ÖÓ ÝÑ º Ì Ù B = n i=1 A i. Á ÔÖ ö Ù ÖÓ Ý Ñ ÐÝ Ý I B (ω) = n ( 1) r 1 X r (ω), X r = I Ai1... A ir. r=1 1 i 1 <...<i r n ½¼µ Ì Ñ Ô Ò Ô ÖÓ ÝØ Ó ½¼µ ÐÝ Ý Å ÔÙ Å ÐÝ Ó ¼ Ö ½ ØÙÓ Ô Ù Ñ ØÙº Æ Ö ÒÅ Ñ ØÙÓ ω ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó ÐÝ m, m = 0, 1,..., n, ÚÝ Ù A i.  m = 0, Ø I B (ω) = 0 Ö Ú Ò X r (ω) = 0, Ø ½¼µ ÐÝ Ý Å Ø Ò º  m 1 Ø I B (ω) = 1º  r m Ø Þ ØÙÓ ÐÝ Cm r Ö Ò Ò Ù 1 i 1 <... < i r n, I Ai1... A ir (ω) = 1, ØÓ Å Ð X r (ω) = Cm r º  r > m Ø X r (ω) = 0. Á Ù ÑÔÖÓØ Ú ÑÙ ÙÒ Ñ Ó ½¼µ ÐÝ Ý Å ÒÅ ÔÙ Å ÙÑ ÐÝ m ( 1) r 1 Cm r = 1 (1 1)m = 1. r=1 Ì ½¼µ ÐÝ Ý Å Ø Ò º ÁÑ Ñ Ú ÙÖ Ù Ó Ó ÐÝ Ý Å ÔÙ Å Ù Ñ µº Ì ÓÖ Ñ ÖÓ ÝØ º ÍöÖ Ý Ñ ÙØ ÓÖÑÙÐ n = 2, 3. Ù Ñ P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ), P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 3 ) P(A 2 A 3 ) + P(A 1 A 2 A 3 ). Ö Ò Ö ÒÅ Ñ ÚÝ B k, ÙÖ ÚÝ Ø Ø Ö Ø Ø ÚÝ Ø ÐÝ k Ø ÑÓ A i (i = 1,...,n) ÚÝ Ù º ËÙÖ Ñ Ó ÚÝ Ó Ø ÑÝ º ¾

26 ½¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù A i (i = 1,...,n) Ø Ó ÚÝ B k (k = 0, 1,..., n) ÚÝ ÙÖ ÚÝ Ø Ø Ö Ø Ø ÚÝ Ø ÐÝ k ÚÝ Ù A i. Ì Ò ÐÝ Ý Å n P(B k ) = ( 1) r k Cr k S r, ½½µ r=k Ý ö S r Ô ÖÅ öø Ò Ø ÒÅ Ø ÓÖ ÑÓ º Á ÖÓ ÝÑ º Á ÖÓ ÝÑÓ Ô Ò Ô Ò Ø ÒÅ Ø ÓÖ ÑÓ º Á ÔÖ ö Ù ÖÓ Ý Ñ ÐÝ Ý n I Bk (ω) = ( 1) r k Cr k X r (ω). ½¾µ r=k È Ö Ò Ñ Ð Ñ ÒØÖÙ ÚÝ ω. Ì Ö Ñ ÔÖ Ð Ù Ó ÐÝ m ÚÝ Ù A i (m = 0, 1,..., n)º Á ÖÓ Ý Ñ Ú ØÚ ½¾µ ÐÝ Ý Å ÔÙ Å Ø ÖÙ Ù Ý Ø Ô Ö Ñ º  m < k, Ø I Bk (ω) = 0, Ö Ø Ô Ô Ø Ù Ú r k, X r (ω) = 0. Ì Ó ½¾µ ÔÙ Å ÝÖ ÒÙÐ º  m = k, Ø I Bk (ω) = 1, Ö X k (ω) = 1 Ó X r (ω) = 0, r > k. Ì Ó ½¾µ ÔÙ Å ÝÖ Ú Ò Ø º Ì Ù Ö m > kº à ÖÅ ½¾µ ÔÙ Å ÐÝ ÒÙÐ Ù Ó ÒÅ X r (ω) = 0, r > m Ö X r (ω) = C r m, k r m. È ÖØÚ Ö Ö Ò Ù Ù Ñ m ( 1) r k Cr k Cr m = Ck m (1 1)m k = 0. r=k Ã Ò ½¾µ ÐÝ Ý Å Ø Ò Ø ½½µ Ù Ñ Ô Å Ñ Ú ÙÖ Ù Ó Ó ÐÝ Ý Å ÔÙ Å º È Ö Ý Ñ ÙØ ÓÖÑÙÐ Ô ÚÝÞ ö Ù n = 3, k = 1. Ù Ñ P(B 1 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) 2(P(A 1 A 2 ) + P(A 1 A 3 ) + P(A 2 A 3 )) + 3P(A 1 A 2 A 3 ). ½½ Ô ÚÝÞ Ý º ÃÓÖØÙ Ð Å Ì Ù N ÖØ Ò Ù ÓÖØÙ Ð Å Ô ÖÑ ÓÑ º ÃÓ Ø ÑÝ Å Ó ÔÓ Ô Ö¹ Ñ ÝÑÓ ÒØ Ú Ò ÓÖØ Ð ÚÓ Ú ØÓ ÄÝ m (m = 0, 1,..., N) ÓÖØÙ Ð ÚÓ Ú ØÓ È öýñå Ñ Ø ÑÝ Ø Ø Ò Ñ q(n), p m (N)º Ì Ù A i ÚÝ Ó i¹øó ÓÖØ Ð ÚÓ Ú ØÓ º Ð Ñ ÒØ Ö Ù Ù ÚÝ Ù ÝÖ ÐÝ Ø Ð ÙØ ÖØ Ò Ù ÓÖØÙ Ð ö ٠غ ݺ N!º ÙÓØ Ñ 1 i 1 <... < i r n P(A i1... A ir ) = (N r)!. N! ¾

27 Ì S r = Cr N (N r)! N! Ö Ð Ñ Ø ÝØ ÖÓ ÝØ Ø ÓÖ Ñ N q(n) = P( A i ) = p m (N) = 1 m! i=1 N m = 1 r!. N ( 1) n 1 1 N n! = 1 ( 1) j 1 j!, n=1 ( 1) n 1 n!. n=0 È Ø Å Ñ Ó q(n) 1 e 1, p m (N) e 1 /m! N, e Ò Ø ÙÖ Ò Ù ÐÓ Ö ØÑÙ Ô Ö Ò º j=0 ½º º Ì ÑÝ Å ÑÓÒÓØÓÒ ÙÑ Ö ÖÓ Ý Ñ Ú Ø ÓÖ Ñ Ô Å Ò Ù Ö Ñ öå Ò Ù ÚÝ Ù Ø ÑÝ º ½ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù ÚÝ A i (i = 1,...) ÑÓÒÓØÓÒ Å A 1 A 2..., A = A n. Ì P(A n ) P(A), n. Á ÖÓ ÝÑ º Á ÚÝ B n = A n A n 1 ÝÖ Ò ÙØ ÓÑ A 0 = º ØÓ A n = n B m, A = m=1 ÈÖ Ø σ¹ ØÝÚÙÑÓ ÚÝ ÙÒ Ñ i=1 B m. m=1 P(A) = i=1 P(B i ) = lim n n i=1 P(B i ) = lim n P(A n ). Ò ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ø Ò Ö Ñ öå Ò Ù ÚÝ Ù º ½ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù ÚÝ A i (i = 1,...) ÑÓÒÓØÓÒ Ñ öå A 1 A 2..., A = A n. i=1 Ì P(A n ) P(A), n. ¾

28 Á ÖÓ ÝÑ º ÈÖ Ò Ù ÚÝ Ù A n ÝÖ Å ÒØ A 1 A 2... A n = A n = A. i=1 i=1 Ô Ò Ù Ó ÓÑ ö ÒÓÑÙ ÖÝ Ù Ò Ù Ù Ô Ô Ð Ò Ù ÙÒ Ó Ö Ò ÖØÓ Ú ÑÙ º È ÖÅ Ñ Ø ÖÓ ÝØ Ø ÓÖ Ñ Ù Ñ P(A n ) = 1 P(A n ) P(A) = 1 P(A). Ì ö ÒÓÑ Ú Ú Ð ÒØÙ Ó Ø ÓÖ ÑÓ ØÚ ÖØ Ò ÑÙ º ½º º Ì ÑÝ Ò Ñ Ø ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð ÖÓ Â Ù Å Ω ÔÓ Ù ÑÓ S ÝÖ Ù Ù Ø Ó Ò ÖÙÓØÓ σ¹ Ð ÖÓ A = σ(s) ÙÓ Ð Ùº Ã Ô Ô ÖÅ öø Ø ÑÝ Ò Ù Ñ ØÙ P : A [0, 1] Ø Ö ØÚ Ô Ò Ö Ô ÖÅ öø ÙÒ P : S [0, 1]º Ö Ò ÖÓ Ø ÓÖ ÑÓ ÙÖ Ó Ö ÒØÙÓ P Ð Ñ ÔÖ Ø Ø ÙÒ Ó P : σ(s) [0, 1]. öò Ð Ñ ÒØ Ö Ù Ò ÝÑÙ Ù ÚÝ Ú Þ ÙÓ Ñ Ù Ø Å Ø Ó Ø Ø Ø Ò ÚÝ ÓÖ Ð Ó Å Ñ º ÌÓ Å Ð Ú Ö Ù ÒØ Ô Ø ÑÝ Ò Ñ Ø Ð ÙØ Ô ÖÅ öø ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð ÖÓ B. Ì Ù S ÝÖ ÒØ ÖÚ ÐÙ [a, b), (, a), [a, ), (, ) Ñ Ó F : IR [0, 1) ÙÒ ØÙÖ ÒØ ÚÝ ½º F ÝÖ Ò Ñ öå ÒØ ¾º F ÝÖ ØÓÐÝ ÖŠغ ݺ F(x ɛ) F(x), ɛ > 0, ɛ 0; º lim F(x) = 0, lim F(x) = 1º x x ÔØ Ö Ñ Ø ÑÝ Ò Ó Ñ ØÓ P F = P, P : B [0, 1] ÓÒ ØÖÙ B = σ(s) ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð Ö º Î Ù Ô ÖÑ ÙÒ P Ô ÖÅ ö Ñ Å S P([a, b)) = F(b) F(a), P((, a)) = F(a), P([a, )) = 1 F(a), P(IR) = 1. ½ µ ÙÒ Ó F ÚÝ Å ÙöØ Ö Ò P ÝÖ σ¹ ØÝÚ ÙÒ ÚÓ Ô ÖÅ ö ÑÓ Å Øº ݺ Ø Ò ØÓ Ø ÒÝ º ¾

29 ½ Ø ÓÖ Ñ º  I j S, (j = 1, 2,...), ÝÖ Ò ÖØ Ò Ù ÒØ ÖÚ ÐÙ Ø Ñ Ö I = j I j Ø Ô Ô Ø ÑÓ S Ð Ñ ÒØ P : S [0, 1] ÙÒ Ô ÖÅ öø ½ µ Ø P(I) = P(I j ). i=1 Ø ÐÙ Ó ØÙ Ñ ÝÖ ÐÝ ÓÖÑÙÐÙÓ ÑÙ Ø Ò Ù ÖÓ ÝÑ٠й Ñ Ö Ø ÒÝ Ó Âº ÃÙ Ð Ù Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÒÅ Ø Ø Ø Î ÐÒ Ù ½ ¼º ÈÖ Ñ Ò Ñ Ú Ò Ñ Ù Ð Ö º ½¼ Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù Ω ÝÖ Ò ØÙ Å º ÂÓ ÔÓ Ù Ø Ñ A Ú Ò Ñ Ð Ö Ù Ô Ø Ò ÒØÓ ØÓ Ó ÐÝ Ó Ω A A A Ø Ö A c A A j A (j J) ÝÖ Ø ÒÅ ÔÓ Ù Ø Ñ Ø A j A. j J ÈÖ Ñ Ò Ñ Ó Ð ÖÓ Ö σ¹ Ð ÖÓ Ô ÖÅ ö Ñ Ö Ø ØÖ ÐÝ µº Ö Ö Ñ ÔÖ Ñ Ù Ù Ò Ö ÒÅ ÑÙ Ù º Ô ÖÅ Ñ A = { I j : I j Ò ÖØ ÒØÝ ÒØ ÖÚ Ð S, J } Ø ÒÅ Å º ½ µ j J Ú Þ Ù Ó S A Ø Ð Ñ Ò ÝØ ÔÖ Ø Ø P ÙÒ Ó Ô ÖÅ öøó Ó ÒÅ Ù ÑÓ º  A A, A = j J I j, ÙÖ I j Ò ÖØ ÒØÝ S ÒØ ÖÚ Ð J Ø ÒÅ Å Ø Ô ÖÅ Ñ P(A) = P(I j ). ½ µ i J ÃÓÐ Ö Ò Ð Ñ ØÚ ÖØ ÒØ Ó ÐÝ Ý ½ µ Ø Ù Ô ÖÅ öå Ñ ÙÒ Ù A Ò ÖØ Ò Ù ÒØ ÖÚ ÐÙ ÙÒ Ð Ñ Ö Ø Ò Ú Ò ÒØ Ð Ù Ù Ùº ÙØ Ò Ô ÖÓ ÝØ Ó ½ µ ÐÝ Ý Ô ÖÅ ö Ñ Ù P(A) Ò ÔÖ Ð Ù Ó ÒÙÓ ØÓ ÙÖ Å A ÙöÖ ÝÑÓ Ù Ù ÝÖ Ò Ù Ó Ñ º Ì Ò ØÓ Ø ÒÝ º ½ Ø ÓÖ Ñ º ½ µ ÐÝ Ý Ô ÖÅ öø Ù Ø Ñ A ÝÖ Ð Ö Ó ½ µ ÝÖ ÓÖ Ø σ¹ ØÝÚ Ó ÙÒ Ó P : A [0, 1] Ô ÖÅ ö Ñ º È Ø Å Ñ Ó B = σ(s) = σ(a). ¾

30 Ì ÑÝ Ò Ó Ñ ØÓ ÓÒ ØÖÙ Ùö Ø Ð Ô Ö ÑØ Ð Ò Ù Ñ ØÓ Ø ÓÖ Ó Ö ÞÙÐØ ØÙ Ö Ø Ó ÓÖÝ Ø ÓÖ Ñ º ½ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù A Ò ØÙ Ó Å Ω ÔÓ Ù Ð Ö Ó Q : A [0, 1] σ¹ ØÝÚ ÙÒ Q(Ω) = 1. Ì Þ ØÙÓ Ú Ò ÒØ Ð Ø ÑÝ Ò Ñ Ø P : σ(a) [0, 1] Ø Ò Ò ÒØ ÐÝ A A Ø P(A) = Q(A). â Ø ÓÖ Ñ ÝÖ Ø Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ù ÓÒØ Ø ööº Ù Ñ ÒÅ Ø Âº ÃÙ Ð Ù ÒÝ º È Ñ ÒÅ Ñ ÙÒ Q Ñ ØÓ P ÔÖ Ø Ñ Ø Ô P(A) = inf{ i J Q(A j ) : J Ø Å A i J A j, A j A}. Ì Ø ÑÝ Ò Ñ Ø Ô ÖÅ öø σ¹ Ð ÖÓ B Ö ÒØ ÖÚ Ð Ñ Ý ÒØ ½ µ Ö Ñ Þ ØÙÓ º â Ó ÝÖ Ð Ó Ø ÓÖ Ô ÖÓ Ó Ô Ô ÖÅ öø Ø ÑÝ ÚÝ Ú Þ ÙÓ¹ Ñ ÓÖ Ð Ó Å Ñ Ö Ù ÓÒ ØÖÙÓØ Ø Ò Ñ ÙÒ F. ½º½¼º Ë ÐÝ ÒÅ Ø ÑÝ Å Ì Ö Ñ Þ Ñ ÒÙ Ô Ö Ò Ø n Ð ØÙ ÔÓ Ú Ò Ð Ù Ñ Ù Ò ÑÓ ÓØ Ð Ù ÑÓ ÆÖº Ö ÒÙØ ÖÅ Ø ØÖ Ù Ø Ð Ø ÒØÖ µº Ì Ò ÝÑ Ú Ù Ð ØÙ ØÖ Ù Ñ º ÈÖ Ò ÝÑÓ ÔÖ ö Ô Ú ÚÝ Ó A = { Þ Ñ ÒÓ Ð ÝØ Ò Ô Å } Ø ÑÝ ÙÒ Ø Ö ÞÙÐØ Ø P(A) = 1/n. Ì ÔÖ ÓÖ ÒÅ Ø ÑÝ Å ÙØ Ò ØÙÖ ÒØ Ó Ó Ô Ô Ð ÓÑÓ Ò ÓÖÑ Ó Ô Ò ÝÑÓ º Ò ÝÑ ÔÖ ØÖ Ù Ñ Ô ÖÑ Ð Ø º Ì Ö Ñ ÚÝ Ó ÚÝ B = {Ô ÖÑÙÓ Ù Ð Ù Ñ ÆÖº Ò ØÖ Ù Ø }. È ÖÅ Ñ Ò ÓÖÑ Ù Ò Ù Ó Ð Ñ ÙÓØ Ò Å ÑÅ Ø ÑÝ º  1 ÐÝ. Ã Ò ÙÓ ÒØ ÖÅ ÑÅ ÑÅ Ò ÓÖÑ ÙÖ ÑÙÑ ÙØ Å n 1 ÚÝ ÚÝ B, Ø Ø ÑÝ Ú Ò Ñ ÐÝ Ò Ö öýñ Ñ P(A B). Ì ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÒÅ Ö ÐÝ ÒÅ Ø ÑÝ Å ÙØ Ô Ò Ù Ó ÒØ Ô Ô Ð ÓÑ Ò¹ ÓÖÑ Ô ÚÝ Bº È ÖÑÙÓ Ù ØÚ Ù Ø Ó Ø öú Ð Ø Ú Ù ÚÝ Ù A Ô Ð Ò Ù Ð Ñ ÒØ Ö ÙÓ Ù ÚÝ Ù ÒØÖÙÓ Ù ØÚ Ù Ø ØÙÓ ÙÖ Ô Ð Ò Ù Ö B. ÌÓÐ Ù Ñ ÒÝ Ñ Ó Ø Ñ Ø Ö Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ Ω, A, P ÙÓØ Ö Ò Ö ÒÅ Ñ ÚÝ ÔÖ Ð Ù Ó A. º Ö Ø Ó ÓÖÝ ½ ¹½ ¼µ ÚÓ Ù Ñ Ø Ñ Ø ÒÙÓ ½ Ñ ØÙ ØÅ ÒÙ ÙÒ Ú Ö¹ Ø ØÓ Ö ØÓÖ Ù º ¼

31 ½½ Ô ÖÅ ö Ñ º Ì Ù A, B Ù Ø Ø Ø Ò ÚÝ P(B) > 0. Ë ÐÝ Ò A Ø ÑÝ Ù ÐÝ ÚÝ B ÝÖ ÚÝ Ú Ò Ñ Ù P(A B) = P(A B). P(B) ÙÒ P( B) : A [0, 1] ÝÖ Ò Ù Ø ÑÝ Ò Ñ Ø Ó Ω, A, P( B) ÝÖ Ò Ù Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º Î Ø Ò ÙÖ ÙÓ Ø ÑÝ Ò Ñ Ñ ØÙ ÖÓ Å Ñ Ò Ø Ò Ñ ÝÖ ¹ ÐÝ ÝÖ Ø Ò Ö ÐÝ Ò Ø ÑÝ º Ì Ù Ø Ö Ò Ö Ò Ù Ù Ú Ò Ðݹ Ò Ø ÑÝ Ù Ò Ù Ô ØÙ Ö Ó Ø ÝÑÓ Ð ÑÝ Ù º ½ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù H i (i I) Ø ÒÅ Ö Ø Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù Ø Ñ P(H i ) > 0 Ö i H i = Ω. Ì Ø Ó Ñ ÚÝ Ù A P(A) = i I P(A H i )P(H i ). ½ µ Á ÖÓ ÝÑ º Á ÚÝ A Ð Ñ Ö Ø Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù ÙÒ A = i I (A H j ). Ì P(A) = i I P(A H i ). Ð Ô Ò Ù ÓØ ØÙÓ P(A H i ) = P(A H i )P(H i ). ½ µ ÐÝ Ý Å Ú Ò Ñ Ô ÐÒÓ Ó Ø ÑÝ Å ÓÖÑÙÐ ÔÖ ÓÖ ÒÅ Ø ÑÝ Å Ù ÙÓ Ñ Ù ÒØ ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ò Ø ÑÝ Ø Ø Ò Ò Ò ÙØ Ó¹ ÑÙ ÚÝ Ù Ö ÔÓØ Þ H j. â Ø Ô ÚÝ Ó Ø ÑÝ Å Ú ÑÓ Ùö Ú Ò Ø Ö Ù ÓÑ Ô ÔÖ Ø Ò Ù º ½ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù H i (i I) Ø ÒÅ Ö Ø Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù Ø Ñ P(H i ) > 0 Ö i H i = Ω. Ì Ø Ó Ñ ÚÝ Ù H j P(H j A) = P(A H j)p(h j ) i I P(A H i)p(h i ). ½ µ Á ÖÓ ÝÑ º ÄÝ Ý Å P(H j A) = P(A H j) P(A) Ô Ò Ù Ó ÐÝ Ý P(A H j ) = P(A H j )P(H j ) Ö ½ µ Ù Ñ ½ µº ½ µ ÐÝ Ý Å Ú Ò Ñ Ó ½¼ ÔÓØ Þ Ù Ø Ö Ò ÑÓ ÓÖÑÙÐ º  ÖØ Ð Ñ ½¼ Ý Ì ÓÑ ½ ¼¾¹½ ½µ Ò ÐÙ Ñ Ø Ñ Ø º Ô Ð Ø ÔÓ Ñ ÖØ ½ Ñ Ø º Ö ÙÖ Ñ ÝÖ ÓÖÑÙÐÅ ½

32 Ö ÑØ Ò Ù Ó ÒØ Ø Ñ Ø Ö Ò ÓÖÑ Ö Ô Ö Ò Ø Ú Ò Ð Ù ÐØ ÖÒ ØÝÚÙ Ö ÔÓØ Þ Ù º Ì Ö Ñ ö ÒÓÑ Ó ÚÝ Ó Ú Ò ÚÝ Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù ÑÓ H i (i I) Ø Ò Ú Ò Ð Ù ÔÓØ Þ Ù µº ÃÙÖ ÚÝ Ù ÚÝ Ó Ò ö ÒÓÑ Ø Ù ØÙÖ Ñ Ò Ø Ó Ò Ò ÓÖÑ ÚÝ Ó ÚÝ A. Ì Ö Ñ Ö ÒÙ ÔÖ Ø ÙÖ ÔÓØ Þ H i Ú ÓÚ ÙØ ÔÖ ¹ Ñ ÒØ ÔÖ Ò Ñ Ô ØÓÐ Ñ Ò Ù Ú ÑÙ º Å ö Ù Ø ÑÝ Å Ù ÐÝ Ø Ù Ø ÚÓ ÔÖ Ò Ñ Ö Ñ Ø ÔÓØ Þ ÙÖ P(H i A) ÝÖ ö Ù º â Ø ÑÝ Ð Ñ Ö Ø Ý Ó ÓÖÑÙÐÅ º ¾¼ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù A i (i = 1, 2,..., n) Ø Ó Ø Ø Ø Ò ÚÝ P(A 1... A n 1 ) > 0. Ì Ò ÐÝ Ý Å P(A 1... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )... P(A n A 1... A n 1 ). ÓÖÑÙÐ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÒÅ Ò Ù Ó Ñ ØÓ Ùº Â Ú Ò Ñ Ø Ñݹ Ù Ò Ù Ó ÓÖÑÙÐ º à ÖØ Ô Ò Ù Ó Ù ÚÝ Ó Ø ÑÝ Ù ÙÓØ Ú Ô ÔÖ Ø º ½¾ Ô ÚÝÞ Ý º ÊÙØÙÐ ÙÖÒÓ Ì Ù Ô ÚÝÞ ö Ù ÙÖÒÓ ÝÖ n ÐØÙ Ö m ÙÓ Ù ÖÙØÙÐ Ù º Á ØÖ Ù Ù ÖÙØÙÐ Ö ö Ò Ñ ÙÖÒ Ó ØÓ Ö Ñ k ØÓ Ô Ó Ô ÐÚÓ ÖÙØÙÐ Ù º ÈÓ ØÓ ÙÖÒÓ ØÖ Ù Ñ ÒØÖ ÖÙØÙÐÝ º ÃÓ Ø ÑÝ Å Ù ØÖ Ù Ø ÖÙØÙÐ Ù ÐØ Â Ù ÔÖ ØÙÑ Ùö Ú Ò Ò Ù Ó Ñ Ð Ò Ù Ø ÑÝ Å Ô ÖÅ ö ÑÙ ØÙÖÅ ØÙÑ ÐÚÓØ ÝÖ Ò ÝÑÓ ØÝ Ö Ù ÝÖ º Ì Ù Ò Ù Ó ÒØ Ø ÑÝ Ù Ò Ù Ó ÓÖÑÙÐ Ùö Ú Ò ÔÖ Ø Ú Ô ÔÖ Ø º Ì Ù A 1 ÝÖ ÚÝ Ô ÖÑ ÖÙØÙÐÝ ÝÖ ÐØ A 2 ÒØÖ ÐØ º ÅÙÑ Ö ÙÖ Ø Ø ÑÝ P(A 1 A 2 ). Ú Ú Þ Ù P(A 1 ) = m n + m, P(A 2 A 1 ) = m + k n + m + k. ËÙ Ù Ò Ø ÑÝ ÙÒ Ñ P(A 1 A 2 ). È Ò Ö ÒÅ Ñ Ð Ø ÓÑ Ò Ù Ùö Ú Ò Ù ÔÖ Ò ö ÑÙ Ô Ò Ù Ó ÒØ ¹ ÐÝ Ò Ø ÑÝ º Ã Ô Ñ ÚÓ ÑÔÖÓØ Ú ÑÙ Ø Ð Ù ÙÓ ¹ Ñ Ø ÑÝ Ò Ù Ó Ñ ÚÝ Ù Ø ÑÝ Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ð Ö ÙÔ Ò Ñ Ô ÒÙ ÝØ ØÖ Ø Ù Ö ÒØ Ø ÑÝ Ò Ö Úº Ã Ú ÒÙ ØÚ Ù Ø Ð Ñ ÙØÙ Ô ÖÝØ º ½ Ô ÚÝÞ Ý º ÄÓ Ñ Ù ÑÓÒ Ø º Ù ÐÓ Å ÑÅ ØÓ Ñ ØÖ ÑÓÒ Ø º Â Ö ÒØ Ö Àµ Ô ÖÑ ÐÓ ½ ÄØ ÒØÖ Ø Ô Ø ÔÖ ÐÓ º Â Ö ÒØ Ù Ëµ Ô ÖÑ ÔÖ ÐÓ Ó ÒØÖ ÐÓ ½ Äغ È ÖÑÓ Ó ÔÖ Ò Ô Ø Ð ÐÝ Ù x ÒØÖÓ Ó Ò Ö ÓØ º È ÖÑ ÐÓ Å ÒÙ Ø ¾

33 ÐÓ Ø ÓÐ Ó ØÙÖ Ñ ÙÑ Ô ÖÝ ÐÝ a Ö ÓÐ ÔÖ ÐÓ Ô ÙØ Ò Ó ÙÐ Ð Óº ÃÓ Ø ÑÝ Å ÔÖ ÐÓ Ì ÑÝ Å ÔÖ ÐÓ Ø ÔÖ Ð Ù Ó Ø ÒÙÓ ÔÖ Ò Ó Ô Ø ÐÓ Ý ö Óº È öýñå Ñ p(x) Ø ÑÝ ÔÖ ÐÓ Ø ÔÖ ÒÅ ØÙÖ Ñ ÙÑ ÐÝ x, x aº Ì Ù A ÚÝ Ô ÖÑ ÔÖ ÐÓ Å º È öýñå Ñ H 1 ÚÝ Ô ÖÑ ÐÓ Å ½ ÄØ Ô ÖÑ Ñ ÐÓ Ñ H 2 ½ ÄØ ÔÖ ÐÓ Å º È Ð Ô ÐÒÓ Ó Ø ÑÝ Å ÓÖÑÙÐ P(A) = P(A H 1 )P(H 1 ) + P(A H 2 )P(H 2 ). Ì Ù P(H 1 ) = P(H 2 ) = 0,5, Ó P(A H 1 ) = p(x + 1), P(A H 2 ) = p(x 1). Ì ÙÒ Ñ ØÓ ÖÝ p(x) = 1 (p(x + 1) + p(x 1)), 2 Ö p(x + 1) = 2p(x) p(x 1). Æ Ö ÒÅ Ñ ÙØ ÖØÙÑ Ò ÐÝ Ý º Ã Ò p(x + 1) p(x) = p(x) p(x 1), Ø p(x) ÝÖ Ö ØÑ Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö p(x) = k + dx. È Ò Ù Ó Ñ Ðݹ ÓÑ p(a) = 0, p(0) = 1, ÙÒ Ñ p(x) = 1 x a. ½ Ô ÚÝÞ Ý º Ä ÔÐ Ó ½½ Å Ò º  ٠n ÖØÙ ÑÙÑ ö Ô ÚÝ Ó Ó Ø ÑÝ Å Ø Ô ÚÝ n+1¹ ÖØ Â Ù ¼ ÒÙ ÐÅ ÙÚÓ ÙÐÅ Ø Ö ½ Ò Ö Ú ÙÐÅ ÓÖÑ Ð ÞÙÓ Ñ ØÙ ØÓ Ù Ù Ùº ÍÖÒÓ ÝÖ Ø ÐØ Ö ÙÓ ÖÙØÙÐ Ø Ù Ò ö Ò º Ø Ø Ø Ò ØÖ Ù Å Ñ n ÖØÙ ÔÓ ÖÙØÙÐ ÚÅ Ð Ö ö Ò Ñ Ø Ö Ñ ÚÝ Ó ÚÝ A n = {Ú Ò ÖÙØÙÐ ÙÚÓ ÐØ }. ÃÓ Ø ÑÝ Å Ö n+1¹ ÖØ ØÖ Ù Ø ÖÙØÙÐÝ Ù ÐØ Øº ݺ ÚÝ ÚÝ A n+1. Ì ÒÓÖ Ñ Ô ÙÓØ Ø ÑÝ P(A n+1 A n ). Ã Ò Ó Ó Ô Ô Ð Ó¹ ÑÓ Ò ÓÖÑ Ó Ò ØÙÖ Ñ Ð Ý Ñ Ó ÖÙØÙÐ Ù ÙÖÒÓ ÝÖ N Ó ÐØÙ ½½ Ä ÔÐ È ÖÖ Ë ÑÓÒ ½ ¹½ ¾ µ ÔÖ Ò ÙÞÙ ØÖÓÒÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ö Þ º

34 Ù Ù Ú ÒÓ ÓÑ Ø ÑÝ Å Ñ Ð ÙØ m = 0, 1,..., Nº Ì Ò Ö ÒÅ Ñ N + 1 ÔÓÖÓÑ Ò ÙØ ÓÑÙ ÚÝ Ù Ñ H m = {ÙÖÒÓ ÝÖ Ñ ÐØÙ ÖÙØÙÐ Ù }, P(H m ) = 1 N + 1. Æ ÙÒ Ù Ù ÙÓØ Ó P(A n H m ) = (m/n) n º ÓÖÑÙÐ ÙÒ Ñ P(A n ) = m È Ø Å Ñ N, Ø P(A n H m )P(H m ) = 1 N + 1 P(A n ) 1 0 u n d = 1 n + 1. È Ð Ô ÐÒÓ Ø ÑÝ Å ( m ) n. N Ì Ô Ô Ø Ö Ñ Ö Ø ÑÝ Å P(A n+1 ). Ã Ò A n+1 A n, Ø A n A n+1 = A n+1 Ö P(A n+1 A n ) = P(A n+1) P(A n ) = m ( m N m ( m N m ) n+1 ) n. à n Ð P(A n+1 A n ) (n + 1)/(n + 2). Ì Ö ÝÖ Ä ÔÐ Ó Å Ò º ÃÓ ØÚ ÙÓ Ð Ñ Ô Ð ÙØ Ø¹ ÝÑ ÙÓØ ÒÅ Ö Ø Ô Ô ÔÖ Ø º Ì Ù Ð Ñ Ô Ø Ø Ô ÔÖ Ø Ô ÚÝÞ Ø Ö Ò Ø Ò º Ì Ö Ñ ÑØ ÖØÙ ÐÅ Ñ ØÙ Ñ ØÖ ÑÓÒ¹ Ø ØÚ ÖØÓ Ö º Â Ù Ñ ÒÝ Ø ÐÅ Ø ÑÝ Å Ó Ú ÒÙÓÐ Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ö Ô ÖÓ Ý Ö ÐÝ Ø º Ì Ù Ù Ò ö ÒÓØ Ö ÑÓÒ Ø Ñ ØÖ Ø ÑØÝ Ñ Ø ÑÙ ÚÙ Ö ÐÚÓØ Ú ÒÙÓÐ Ø Ñ Ö Ù Ø Ô Ø ÐÓ ½º½½º Æ ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ º ÖÒÙÐ Ó Ñ Ì Ö Ñ Ω, A, P Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ A, B A. Â Ù Ø ÑÝ Å P(A) Ö P(A B) ÝÖ ÖØ Ò Ó Ò Ø ÙÖ ÐÙ Ñ ÒÝØ ÚÝ A ÔÖ Ð Ù Ó Ú Ò ÒÙÓ Bº  ٠P(A) = P(A B) Ð Ñ ÝØ A Ò ÔÖ Ð Ù Ó ÒÙÓ Bº Ì Ù ÓÖÑ Ð Ñ Ô ÖÅ ö Ñ Ø ØÙ Ø Ö ÔØ ÖØ ØÚ P(B) = 0, Ò ÙÓ ØÚ Ù ÐÝ ÒÅ Ø ÑÝ Å Ò Ñ Ô ÖÅ öº Ã Ø Ú ÖØÙ ÐÝ Ý Å P(A) = P(A B) ÚÝ ÐÝÚ Ù Ò Ú ÒÓ º Á P(A) = P(A B) ÔÐ Ù P(A B) = P(A)P(B).

35 È Ø ÖÓ ÐÝ Ý Å ÔÖ Ñ Ò Ù Ø Ó ÚÝ A, B Ö Ù Ò ÐÝ Ý Ú ÒÓ º Ì Ù Ö ÓÖÑÙÐÙÓ Ñ ÚÝ Ù Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙÑÓ ÚÓ º ½¾ Ô ÖÅ ö Ñ º Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù A, B A Ú Ò Ñ Ò ÔÖ Ð Ù¹ ÓÑ P(A B) = P(A)P(B). È ÚÝÞ ö Ù Ø Ù A, B, C ÝÖ Ø Ø Ø Ò ÚÝ Ù Ù ÙÐ Ù Ó Ñ Ø ÑÙ A = { Ö ØÙ Ù Ù Ù Ù Ð ¾}, B = { Ö ØÙ Ù Ù Ù Ù Ð }, C = { Ö ØÙ Ù Ù Ù Ù Ò Ùö ¾} º Æ ÙÒ Ù Ô Ò Ù Ó Ù Ô ÖÅ ö ÑÙ Ô Ø Ö ÒØ ÚÝ A, B Ö A, C ÝÖ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ Ó ÚÝ B, C ÔÖ Ð Ù ÓÑ º Ã Ô ÓÖÑÙÐÙÓØ Ð Ù Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙÑÓ ÚÓ Ì Ö Ñ ØÓ Ù ÚÝ Ù ÝÖ ØÖÝ º Â Ù ÙØÙ Ø Ö Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ Ø ØÓ ÚÝ Ó Ù Ò ØÙÖÅ ØÙÑ ÙØ Ó Ó Ò ÓÖÑ Ó Ô ØÖ º Ð ÙØ Ô Ò Ô Ö Ð ÙØ Ø ÙÖ Ù ØÖ Ù ÚÝ Ù ÙØÙ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ È ÔÖ Ø Ô ÚÝÞ Ý ÖÓ Ó Ò º ½ Ô ÚÝÞ Ý º ÊÙÐ ØÅ Ì Ö Ñ ÖÙÐ ØÅ Ö ØÙÐÝ Ô ÐÝØ ØÙÖ ØÚ Ö Ù ÙÖ ÙöÝÑÅ Ø 0, 1, 2, 3, Ó ÐÓ Å Ù ÝÖ ØÖÝ º Â ÖÙÐ ØÅ ØÖÅ ÐÅ Ù ØÓ 0 ØÚ ÖØÝ Ð Ñ Ú 1 Ø Ô ÖÑ Ö Ø Ô ØÓÐ Ùº Æ Ö ÒÅ Ñ ÚÝ Ù A 1, A 2, A 3, ÙÖ Ø Ø Ò Ñ Ö Ð ÑÅ Ó Ô ÖÑ ÒØÖ Ö ØÖ º Æ ÙÒ Ù Ø ÒØ Ú Ò ÔÓÖ Ó ØÖ ØÓ ÝÖ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ º Ì Ù Ù ö ÒÓÑ ÚÝ Ó A 1 Ö A 2, Ø ÐÅ Ñ Ô ÖÝØ Ú ÚÝ Ó Ö ØÖ ÚÝ º Ì ÝØ Ú ØÖÝ ÚÝ ÝÖ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ Ò Ð Ñ º Æ ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ ÚÝ Ù Ø Ñ Ô ÖÅ Ñ Ø Ôº ½ Ô ÖÅ ö Ñ º Ë Ý Ñ Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ø Ñ S = {A λ A : λ Λ}, Ù ÖÓ Ø ÖÔÙ ÚÝ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ Ø ÙÖ ÚÝ A λ S Ò ÔÖ Ð Ù Ó ÒÙÓ Ø ÙÖ Ó ÚÝ Ó j J A j, J Λ ÝÖ Ø ÒÅ Å λ J. Ã Ô ÐÚÓ Ù Ð Ñ Ø ÒØ Ø Ñ S = {A λ A : λ Λ} Ø Ö Ø Ø Ù ÖÓ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ Ú Ñ ÖØ Ò Ñ λ 1, λ 2,...,λ n, Ø Ò ÐÝ Ý Å P(A λ1... A λn ) = P(A λ1 ) P(A λn ). Æ Ð Ñ ÚÝ ÝÖ Ò ÔÖ Ð Ù Ó ÒÙÓ Ø ÙÖ Ó ØÓ ÚÝ Óº Ì Ø Ô Ô Ø Ø Ò Ö ÙØ Ò Ñ ÚÝ Ù º Á Ø Ò Ñ ÚÝ Ù ÔÓÖÓ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ¹

36 ÑÙ Ò ÖÓ Ø Ó Ù Ú Ò Ö Ù ÙÓ Ñ ÔÖ Ò º È ØÓ ÙÑÓ Å Ð öýñå Ñ A 1 = A, A 0 = A c º ¾½ Ø ÓÖ Ñ º Â Þ ØÙÓ Ò i 0, j 0 {0, 1} ÚÝ A i 0, B j 0 ÝÖ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ Ø A i, B j ÝÖ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ Ù Ø Ó Ò Ù ÔÓÖ i, j {0, 1}º Á ÖÓ ÝÑ º È Ô ÖÓ ÝØ A, B Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙÑÓ ÔÐ Ù A, B Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙÑ º Ì Ù Ø ÔÐ Ù Ô ÔÖ ØÙ ÐÝ Ý Ù Ö Ò ÒÅ ÐÅ P(A B) = P(B) P(A B) = P(B) P(A) P(B) = P(B)(1 P(A)). Ì ÓÖ Ñ Ò ÙÒ Ù Ô Ò Ö ÒØ Ø ÖÔÙ ÚÝ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ Ø Ø Ø Ò Ù ÚÝ Ù Ø Ñ º ¾¾ Ø ÓÖ Ñ º Â Ù Ø Ñ S = {A λ A : λ Λ}, Ù ÖÓ Ø ÖÔÙ ÚÝ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ Ø Ù Ø Ó i λ {0, 1} Ø Ñ S = {A i λ λ : λ Λ} Ø Ô Ô Ø Ù ÖÓ Ø ÖÔÙ ÚÝ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ º ÈÖ Ø Ý Ñ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ ÚÝ Ù ÚÝ ÓÑ Ñ Ø Ò Ù ÖÓ ÝØ º â Ø ÒÝ Ø ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ô ÔÖ Ø Ú Ò Ñ ÓÖ Ð Ó¹ ÒØ ÐÐ Ð Ñ º ½¾  A 1, A 2,... ÝÖ Ð ÒÅ ÚÝ Ù Ø Ω ÔÓ B, Ù ÖÝØ ØÙ ω Ω, ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó ÐÓ Ù Ð Ù A i, ÝÖ ÚÝ Øº ݺ ÔÖ Ð Ù Ó A. Á Ø Ù ω B, Ø ω B m, B m = n m A n. ÌÓ Å Ð ω m B m. Ì Ò Ö ØÚ Ö Ø Ò Ø ÒÝ º Ì B = m B m. Á ÚÝ B Ô ÔÖ Ø Ú Ò Ñ ÚÝ Ù A n Ú Ö ÙØ Ò Ö Ö öýñ Ñ lim sup A n. Ì lim sup A n = m 1 Á Ú Þ ÙÓ Ñ Ô ÚÝÞ ö Ù ÑÓÒ Ø Ñ Ø Ñ ÐÓ Ù ÖØÙ º Ì Ù A i ÝÖ ÚÝ i¹ Ñ Ñ Ø Ñ Ö ØÓ Ö º Ì ÚÝ lim sup A n öó ö Ð Ñ ÒÙ ÝØ Ø Ô Ñ ØÙ ÑÓÒ Ø ÐÓ Ù ÖØÙ Ö Ô ÖÓ Å Ø Ô Ô Ø ÐÓ Ù ÖØÙ º ÌÓ Ù ØÚ Ù Ù ÐÅ Ó Ô ÖÓ ÝØ Ø Ò Ù ÖØÙ Ø Ù ÐÅ Ó Ô ÖÓ ÝØ Ö ÐÓ Ù ÖØÙ º ¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù A 1, A 2,..., Ù ÖÓ Ø ÖÔÙ ÚÝ Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÚÝ p n = P(A n ) p n =. n n m A n. Ì Ø ÑÝ Å Ó ÚÝ ÐÓ Ù ÚÝ Ù A n, ÐÝ ½º ½¾ ÒØ ÐÐ Ö Ò Ó È ÓÐÓ ½ ¹ µ Ø ÐÙ Ñ Ø Ñ Ø ÓÒÓÑ Ó Ö ÔÖ Ý Ó Ù ¹ ØÓ Ó ÑÓ Ý ÐÓ ÊÓÑÓ ÔÖÓ ÓÖ Ù º Ö Ñ Ø Ñ Ø ÒÅ Ø Ø Ø Ó Ö Ø º

37 Á ÖÓ ÝÑ º Ì Ù BÝÖ ÚÝ ÙÖ Ö ÚÝ ÐÓ Ù ÚÝ Ù A n, B m = n m A n º Ì B = m B m º Ã Ò ÚÝ B m ÝÖ Ñ öå ÒØÝ Ø P(B) = lim m P(B m ). Ì Ô ÖÓ ÝØ P(B m ) 1 Ö P(B m ) 0 m º Æ Ù Ó Ñ Ù Ô Ô Ð Ò Ù Ø Ô Ø Ö ÒØ ÔÖ Ò Ó Ó ÚÝ Ó Ù ÖÝÑÓ Ú ÑÙ µ ÚÝ ÙÒ Ñ B m = n m A n Ó ÚÝ A n Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑ º ÌÓ Å Ð ØÙÖ Ñ P(B m ) = P( A n ) P( A n ) = (1 p m )(1 p m+1 )...(1 p m+t ). n m m n m+t Ì Ù ÙØÓ Ó Ò ÐÝ Ý Å ÒÅ ÔÙ Å Ö ÒÝ ÖØÅ ÔÖ ÒÙÐ Ó t. Ì P(B m ) = 0º Ì ÓÖ Ñ ÖÓ ÝØ º Á ÓÐ Ò Ö ÒÅ ÓÑ Ø ÑÝ Ò Ö Ú ÙÖ Ó Ø Ò Ô Ú Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ñ Ò ÝÑ Ñ ÔÖ ÝØ º Ö Ò Ö ÒÅ Ñ Ø Ø Ø Ò Ù Ò ÝÑÙ º Ì Ö Ñ n ÖØÙ ÖØÓ Ñ Ò ÝÑ ÙÖ Ó Ù Å Ω 1 = {0, 1}. Î Ò Ñ Ô ÖÑ Ø Ò Å Ñ ÒØÖ Å Ñ º Ò ÝÑÙ Ö Ó Ù Å ÝÖ Ω = Ω n 1 = { ω 1,..., ω n : ω i = 0, 1}. Ê Ô ÖÅ öø Ù ω = ω 1,..., ω n Ø ÑÝ º Ø ω Ð Ñ ÒØ Ö¹ ÔÖ ØÙÓØ Ô ÚÝ Ù Ò ÖØ Ô ÖÑ Ñ Ò ÝÑ Ô ÖÓ Å ω 1, ÒØÖ Ñ ω 2 Ö ØºØº È öýñå P(ω m ω 1,...,ω m 1 ) Ø ÑÝ m¹ Ñ Ò ÝÑ Ô ÖÓ Å Ø ω m Ù ÐÝ Ò Ø Ò ÙÓ Ò ÝÑÙÓ Ô ÖÓ Å ¹ ØÝ ω 1,...,ω m 1 Ø ÑÝ P(ω) Ð Ñ Ô ÖÅ öø Ô Ò Ù Ó Ø ÑÝ Ù Ò¹ Ù Ó Ø ÓÖ Ñ P(ω) = P(ω 1 )P(ω 2 ω 1 )... P(ω n ω 1,...,ω n 1 ). Ì Ö Ñ Ö Ò ÝÑ Ò ÔÖ Ð Ù Ó Ú Ò ÒÙÓ ØÓ Ó Å ÑÅ Ø ÑÝ Å Ú ÙÓ Ò ÝÑÙÓ ÝÖ Ø Ô Ø Ö ÐÝ p (0 p 1), Ó Ò Å ÑÅ q = 1 p. Ì P(ω m ω 1,...,ω m 1 ) = P(ω m ), P(ω m ) = p, ω m = 1 Å ÑÅ µ Ö P(ω m ) = q, ω m = 0 Ò Å ÑÅ µº Ð Ñ ÐÝ Ý ÙöÖ ÝØ Ù ÙÒ Ø Ú Ò P(ω m ) = p ωm q 1 ωm. Ì Ø ω Ω n, ω = ω 1,..., ω n Ø ÑÝ Å P(ω) = P(ω 1 ) P(ω n ) = p ω 1 q 1 ω1 p ω 2 q 1 ω2... p ωn q 1 ωn È öýñå s(ω) = ω ω n, Ù Ñ P(ω) = p s(ω) q n s(ω).

38 ËÙ ÖÅ Ñ Ö Ø ÑÝ Ò Ö Ú Ω, P(Ω), P º Â Ú Ò Ñ ÖÒÙÐ Ó Ñ º ½ ½ Ô ÖÅ ö Ñ º ÖÒÙÐ Ó Ñ Ú Ò Ñ Ö Ø ÑÝ Ò Ö Ú Ω, P(Ω), P, Ω = { ω 1,...,ω n : ω i {0, 1}}, P(Ω)ÝÖ Ú Ù ΩÔÓ Ù σ¹ Ð Ö, Ú Ò Ñ Ð Ñ ÒØ Ö Ñ ÚÝ Ù ω Ω, ω = ω 1,...,ω n, P(ω) = p s(ω) q n s(ω), s(ω) = ω ω n. ÖÒÙÐ Ó Ñ ÝÖ n Ú ÒÓ Ù Ö Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ Ò ÝÑÙ Ù Ú Ñ ¹ Ø Ñ Ö ØÓÑ Ô ÓÑ Ù Ù Ø ÑÝ Å Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÑÓ Ð º Î Ò Ø Ô ÔÖ Ø Ú Ò Ñ Å Ñ Ø Ò Å Ñ º ÌÓ Ó Ò ÝÑÓ Ô ÚÝÞ Ý ÑÓÒ ØÓ Ñ Ø Ñ º öò Ú Ö Ù Ù ÙÓØ Ø ÑÝ Ò ÝÑ Ô ÖØÓ m ÖØÙ Ù Ñ m Å Ñ Ù º ¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù S n Å Ñ Ù Ù n Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ Ò ÝÑÙ Ö Ó Ù Å ÑÅ Ö Ò Å ÑÅ Ú Ò Ñ Ò ÝÑ Ø ÑÝ Å Ñ p, q = 1 p, 0 p 1. Ì P(S n (ω) = m) = C m n p m q n m, m = 0, 1,..., n. Á ÖÓ ÝÑ º Ì ÑÝ ÙÓ Ñ Ò Ù Ó Ñ ÖÒÙÐ Ó Ñ º Ð ¹ Ñ ÒØ Ö ÚÝ ÝÖ Ö Ø Ò ω 1,...,ω n, ω i = 1, i¹ Ñ Ò ÝÑ ÙÚÓ Å ÑÅ Ö ω i = 0, Ò Å ÑÅ º Ã ÙØÙ S n (ω) = m, ÐÝ m Ð Ñ ÒØÙ ω i ØÙÖ ÙØ ÐÝ Ù Ú Ò ØÙ Ó Ø ÒÙÐ Ù º Ì s(ω) = ω ω n = m, P(ω) = p m q n m. Ä Ù ÙÓØ ÝÖ ω, ÙÖ ÙÓ ÝÖ ÐÝ m Ú Ò ØÙ º â ÐÝ Ù Ö Ò Ù n ÔÓ m Ù º Ì ÙÓ Ñ P(S n = m) ØÙÖ Ñ Ù ÙÑÙÓØ C m n Å Ñ ÒÙ ÙÖ Ú ÐÝ Ù pm q n m. Ì ÓÖ Ñ ÖÓ ÝØ º Ì ÑÝ Ù Ö Ò Ò P(S n (ω) = m) = C m n pm q n m, m = 0, 1,..., n. Ú Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ù Ö Ø Ò Ùº ÖÒÙÐ Ó Ñ Ö ÒÓÑ Ò Ö Ø ÒÝ Ô ÖÓ Ó Ú Ö ÙÓ Ø ÖÓÚÅ Ö Ò Ù ÑÓ Ð ÙÓ º È ÚÝÞ ö Ù Ò Ù Ó Ñ ½ Â Ó ÖÒÙÐ ½ ¹½ ¼ µ Ú ÖÙ Ñ Ø Ñ Ø Ú Ò Ö Ó ÑÓ Ð Ò Ò Ù Ò Ø Ó Ø ØÓÚÙ º ÂÓ Ú Ð Ö ÓÒ Ø Ò Ô ÖÅ Ð Ø Ø ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ö º Ì Ù Â Ó ÖÒÙÐ ÝÖ Ø Ô Ô Ø Ö Ù Ð Ó ØÙ Ú Ö Ù Ñ Ø Ñ Ø Ò Ù Ú ÐÙ ÙØÓÖ Ù º È ÚÝÞ ö Ù Ö Ó ÖÓÐ ÂÓ Ò Ð ÓÑ Ú ¹ Ö Ò Ó Ú ÑÓ ÔÖ Ò Ò º

39 ÖÒÙÐ Ó Ñ Ð Ñ ØÝÖ ÒÅ Ø Ø Ø Ø Ò Ð ÐÅ Ð ö Ó Ñ ÔÐÓ ØÙÑÓ Ø ÙÖ Ù ÓÓÖ Ò ØÅ ÝÖ Ú º ½ Ô ÚÝÞ Ý º Ð ÐÅ Ð ö Ó Ñ ËÙ ÖÒÙÐ Ó ÑÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÓ Ù ÚÝ Ù ω 1,..., ω n Ù Ñ Ð ÙöØ ÙÖ ÙÒ ÔÐÓ ØÙÑÓ Ø Ù 0; 0, 1; ω 1, 2; ω 1 + ω 2,..., n; ω ω n. Ì ØÙÓ ω, ÙÖ Ñ S n (ω) = m Ø Ø Ò Ð ÙöØÅ ÙÖ Ó Ø n; m. Å Ù Ù Ð ÙöØÅ Ð Ø ÐØ Ú Ö Ù º Ì Ù Ù Ò ÝÑÓ Ø Ô öýñå ØÙÑ 1 Ö 1, Ó Ð ÙöØ Ô ÖÅ öøùñ Ò ÐÓ Ø Ð ÙöØÅ Ö ÐØÙ Ö Ñ ØÙ º Ô Ò Ö Ò Ñ ÖÒÙÐ Ó Ñ º Ì Ö Ñ Ú ÒÓ Ò ÝÑÓ ÖØ Ò Ù Ù ÝÖ Ò Ú Ø r (r 2) : Ω 1 = {1; 2;...; r}, Ó Ù Ù Ø ÑÝ Å ÐÝ Ó Ø Ø Ò Ñ p 1,...,p r, 0 p i 1, p 1 + p p r = 1. Ì Ö Ñ Ø Ô Ø Ò ÝÑ ÖØÓ Ñ n ÖØÙ Ö Ú Ò Ò ÝÑ Ò ÖÓ Ø Ó Ø Ñº Ì ØÓ Ó Ò ÝÑÙ Ó ØÝ ÝÖ Ö Ø Ò Ó Ù Ø ÑÝ Å ω = n; ω 1,...,ω n, P(ω) = p ω1 p ω2...p ωn. ω i {1; 2;...; r}, Ì ÑÝ Ò Ö Ú ÙÖ ÔÖ Ó n Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ Ú ÒÓ Ù Ò ÝÑÙ Ù Ù ÙÑ r Ú Ò Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ñ º ½ Ô ÖÅ ö Ñ º ÈÓÐ ÒÓÑ Ò Ñ Ú Ò Ñ Ö Ø ÑÝ Ò Ö Ú Ω, P(Ω), P, Ω = { ω 1,...,ω n : ω i {1, 2,..., r}}, P(Ω)ÝÖ Ú Ù Ω ÔÓ Ù σ¹ Ð Ö Ú Ò Ñ Ð Ñ ÒØ Ö Ñ ÚÝ Ù ω Ω, ω = ω 1,...,ω n, P(ω) = p omega1 p omega2 p omegan. ¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù Sn i n Ú ÒÓ Ù Ö Ò ÔÖ Ð Ù ÓÑÙ Ò ÝÑÙ Ö Ó Ô ÖÓ ö Ù Ù Ù i Ù p 1, p 2,...,p r Ù 1, 2,..., r Ô ÖÓ ÝÑÓ Ø ÑÝ Å Ú Ò Ñ Ò ÝÑ º Ì Ù Ú m i 0, m m r = n, P(Sn 1 = m 1,...,Sn r = m n! r) =... p m 1!...m r! pm1 mr, m i 0, m m r = n. â Ø ÑÝ Ù Ö Ò ÒÝ Ú Ò Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ù Ö Ø Ò Ùº Æ Ù Ó ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ñ Ð Ñ ÙÓØ Ô ÚÝÞ ö Ù Ø ÑÝ Ù Ù Ù ÐÓ ÑÓ ÙÐ Ù Ó Ñ Ø ÑÙ Ö Ö ØºØº

40 ¾ ¾º½º Ø Ø Ø Ò Ý ö Ø Ø Ø Ò Ó Ý ö Ó ÚÓ Ì Ù Ω, A, P ÝÖ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º Æ Ö ÒÅ Ñ ÙÒ ξ : Ω IR, Ó ÔÖ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ñ ÚÝ Ñ Ù º Á Ú Ö ÙÓ Ùö Ú Ò ÙÓ Ø Ò ÙÓØ Ø ÑÝ ÙÒ Ù Ö ÑÅ ÔÖ Ð Ù Ó Ú Ò Ö Ø º Ì Ù Ø Ò Ú Ð ÙØ Ñ ÒÓÑ Ô ÖÝØ º Á Ú Þ ÙÓ Ñ Ô ÚÝÞ ö Ù Ù ÓÑ Ø Ò Ô Ø ÓÑ ÒØÖ Ò Ö ØÙÐ ÙÒ Ñ ½¼ Ø Ù Ô ÖÑ ÓÒ ÒØÖ Ò ö Ö Ø Ô ØÓÐ Ùº Ð Ñ ÒØ Ö ÚÝ Ð Ñ Ð ÝØ Ø Ò Ó Ø Ù º Ì Ù ÓÑ ÑÅ Ô ÐÒÝØ Ø Ø Ô Ò ¹ Ö ÒÅ Ø ÚÝ Ù σ¹ Ð Ö ÙÖ Ò ÖÙÓ ÒØÖ Ò Ö ØÙÐÝ Ö ÓÒ ÒØÖ Ò ö º ÒØÖ Ò Ö ØÙÐÝ Ö ÓÒ ÒØÖ Ò ö Ò ÖÙÓ σ¹ Ð Ö ÙÖ Ó ÝÖ Ú Ó 2 10 Ù º Ì Ù Ù ÒÓÖÅ ØÙÑ Ò Ö ÒÅ Ø Ø Ó Ø ØÙÑÓ Ö ØÙÐ Ó ÒØÖÓ ÙÒ Ø Ó σ¹ Ð ÖÓ ØöÚ Ð Ù ÙÒ Ò ÙØÙ Ø Ø Ø Ò Ý º à ØÓ ÙÒ ÐÅ ØÙÑ Ò Ö ÒÅ Ø Ô Ø Ø Ø Ò Ý ØÙÖÅ ØÙÑ Ô Ø σ¹ Ð Ö º ê ÒÓ Ñ Ù Ó ÓÑ Ø ÑÝ Å Ñ Ô Ø ÓÑ ÐÅ Ñ Ù ¹ ÙÓØ Ö Ú Ù ØÙ Ñ Ù Ù σ¹ Ð ÖÓ ÚÝ Ù Ø ÑÝ º Ì Ù ξ ÝÖ Ø ØÙÑ ÒÙÓ Ø Ó ÙÖ Ô Ø Å Ñ Ö ØÙÐ Ó ÒØÖÓº Æ Ú Ù ÙÒ Ù Ù Ø ÑÝ ÐÅ Ñ Ù ÙÓØ º Ì ÙÒ ÒÅ Ö Ù Ö ÒØ Ù Ñ Ù Ù Ò Ö ÒÅ ÑÙ Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ÑÓ Ð Ùº ÌÓ Å Ð Ø Ð Ò Ø Ø Ø Ò Ý ö Ú ÒØ Ø Ø ÙÒ ÙÖ Ó ÝÖ Ù Ö ÒØÓ Ù Ø ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ ØÖÙ Ø ÙÖ º Ö Ô ÖÅ Ñ ÚÓ Ñ Ø Ñ Ø º Â Ù Ò Ù Ô ÖÅ öå Ñ Ô ÔÖ ØÙÓ Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù º Ì ÙÒ ¹ Ó ξ : Ω IR, ÙÖ Ù Ö Ñ Ù Å Ø ÒÅ Ó Ú Ò Ö Ñ x Ø Ò ÖÝ ξ 1 (x) Aº Ö Ô Ò Ö Ò Ñ ÚÓ º ½ Ô ÖÅ ö Ñ º ÙÒ ξ : Ω IR Ú Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù Ù Ú Ò ÓÖ Ð Ó B B ¼

41 {ω : ξ(ω) B} = ξ 1 (B) A. ½ µ ÙÒ ξ : Ω IR n Ú Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ù Ú ØÓÖ ÙÑ ½ µ Ð Ó Ù Ú Ò ÓÖ Ð Ó B B n º Ì ξ ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý Ø Ð Ñ ÙÓØ Ô ÚÝÞ ö Ù ØÓ Ø ÑÝ P(a < ξ(ω) < b), P(ξ(ω) b), P(ξ(ω)ÝÖ Ö ÓÒ ÐÙ Ù ) Ö Øº غ  ξ = ξ 1,...,ξ n ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ù Ø Ò ÙÒ Ù Ø ÒØ Ú Ò Ó ÓÑÔÓÒ ÒØÅ ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý º Á Ø Ù Ù Ú Ò Ø Å ÓÖ Ð Ó B ξ 1 1 (B) = {ω : ξ 1 (ω) B, ξ j (ω) IR, j = 2,..., n} = ξ 1 (B IR... IR) A. Ã Ò ÓÖ Ð Ó Ù ÝÖ Ò ÔÖÅ Ô Ñ Ù Ø Ø Ó Ò ½ µ ÐÝ Ó Ø Ö Ò Ñ Ú ÐØ Ö º ÆÙÓ Ó ÑÙ Ú ÙÓ ØÓ Ô ÔÖ Ø Ø ÒÝ º ¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù S Å IR ÔÓ Ù Ø Ñ Ö σ(s) = B. ÙÒ ξ : Ω IR ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý Ø Ö Ø Ø Ù Ú Ò B S Ø Ò ÖÝ ξ 1 (B) A. Á ÖÓ ÝÑ º Æ ØÖ Ú ÐÙ Ø ÐÝ Ó Ô Ò ÑÙÑ º Â Ö ÖÓ ÒÅ Ñ º Ô ÖÅ ö Ñ B = {B : B IR, ξ 1 (B) A}. Á Ø ÓÖ ÑÓ ÐÝ Ó ØÙÖ Ñ S B º Â Ù Ô ÖÓ Ý Ñ Ó B ÝÖ σ¹ Ð Ö Ø ÖØÓ Ù Ñ B B Ò B ÝÖ Ñ ö Ù σ¹ Ð Ö ÔÖÅ Ô ÒØ Sµ Ó Ø Ö ξ ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý º Ê Ô Ø Ö ÒØ B Ø Ò Ò σ¹ Ð ÖÓ Ô ÖÅ ö ÑÓ ÐÝ º È Ø Ö Ò¹ Ñ Ú Ò Ù º à ØÓ Ø Ö Ò ÑÓ Ò ÐÓ º Ì Ù B i B (i I) I Ø ÒÅ Ö Ø Å º Ê Ô ÖÓ ÝØ B = i I B i Ö B Ð Ñ ÒØ º Ì Ú Ú Ð ÒØÙ ØÚ ÖØ Ò ÑÙ ξ 1 (B) A. Ì Ù ξ 1 (B) = ξ 1( ) B i = ξ 1 (B i ). Ã Ò A ÝÖ σ ¹ Ð Ö Ó ξ 1 (B i ) A, Ø A. i I ÈÖ Ñ Ò Ñ ÓÖ Ð Ó σ¹ Ð Ö Ò ÖÙÓ ÒØ ÖÚ Ð [a, b). Ì Ù Ô Ò ÑØ Ø Ð Ò Ù ÒØ ÖÚ ÐÙ (, b). Á ÖÓ ÝØÓ Ø Ò Ó ÖØ ÙÒ Ñ ÒÓÖÅ Ñ Ô Ø Ö ÒØ Ö ξ ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý Ð Ñ Ô Ö ÓØ ½ µ ÐÝ Ó i I ½

42 Ø Ö Ò ÑÙ B = (, x), x IR. Æ ÙÒ Ù Ù ÓÖÑÙÐÙÓØ Ò ÐÓ Ø Ò Ö Ø Ø Ø Ò Ñ Ú ØÓÖ Ñ º ½ Ô ÖÅ ö Ñ º ÙÒ f : IR n IR m Ú Ò Ñ ÓÖ Ð Ó ÙÒ Ù Ú Ò ÓÖ Ð Ó B B m f 1 (B) B n. ½ µ Ì Ö Ò ÒØ Ö f : IR n IR m ÝÖ ÓÖ Ð Ó ÙÒ Ø Ô Ô Ø Ò ÙØ Ò ½ µ ÐÝ Ø Ö ÒØ Ú Ò ÓÖ Ð Ó B B m º  B m = σ(s) Ø Ô Ò Ñ ÒÅ Ø ÐÝ Ô Ø Ö ÒØ Å Ñ B Sº öò Ô ØÓ Ù Ò Ù ÓØ Ò ÖÙÓ¹ Ò B m ÒØ ÖÚ ÐÙ Ø Ñ S = {(, b 1 )... (, b m ) : b i IR}. ÌÓÐ Ù Ñ ÝÖ ÐÝ Ò Ö ÒÅ Ñ Ó Ú Ñ Ù Ø Ø Ø Ò Ý¹ ö Ö Ú ØÓÖ ÚÅ Ð ÙÓ Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù Ö Ø Ø Ø Ò Ù Ú ØÓ¹ Ö Ù º Ø ÝÑ Ð Ô ÔÖ Ø Ð Ö Ò Ú Ñ Ù Å Ø Ø ÑØ Ù Ý Ö ÐÝ µ Ó Ø Ô Ô Ø Ö Ò Ð ÞÅ ÓÔ Ö Ó Ù Ø Ø Ø Ò Ý ö Ö Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ñ ÑÙÑ µ ÚÅ Ð ÙÓ Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù º Ë ØÝØÓ¹ ÙÖ Ñ Ò ÓÑÙ Ùö ÒÓØ Ô Ø Ñ Ø Ñ Ø ÖÓ ÓÑ Ð ÖÓ ÝÑÙ ÔÖ Ð Ø Ö ÚÅ Ð ØÝØ ÒÙÓ ØÓ ÝÖ Ð Ó ÔÖ ö Ó º ¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù ξ : Ω IR n ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ù Ó f : IR n IR m ÓÖ Ð Ó ÙÒ º Ì η = f(ξ) ÝÖ Ø Ô Ô Ø Ø Ø Ø Ò Ú ØÓÖ Ù º Á ÖÓ ÝØ Ø Ò Ð Ñ Ø Ó Ô Ø Ö Ò η Ø Ò Ò Ø Ø Ø Ò Ó Ý ö Ó Ô ÖÅ ö ÑÓ ÐÝ º Á Ú º  ξ : Ω IR ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý Ó c ÓÒ Ø ÒØ Ø ξ+c, cξ, ξ, ξ 2 Ö ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý ö º Á ÖÓ ÝÑ º È Ò Ø ÒØ ÙÒ Ó f(x) = x + c, cx, x, x 2 ÝÖ ÓÖ Ð Ó ÙÒ Ó º ½ µ ÐÝ Ô Ò Ø Ö ÒØ ÒØ ÖÚ Ð Ñ º Á Ø ÖÙ Ù Ô ÚÝÞ ö Ù ÙÒ f(x) = x 2 Ö B = (, u) ØÙÖ Ñ { f 1, u 0, (B) = ( u, u), u > 0, Ø Ú ØÚ f 1 (B) B. Æ Ù Ó ÒØ ÓÖ Ð Ó ÙÒ Ø Ø Ø Ò Ù Ú ØÓÖ Ù Ð Ñ ÙØ Ò Ù Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ú ØÓÖ Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù Ò Ù Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù º Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù Ù Å Ñ Ø Ñ Ñ Ù Ò Ñ Ö ÐÝ Ñ Ø Ô Ô Ø ÙÒ Ñ Ò Ù Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù º ¾ Ø ÓÖ Ñ º Ì Ù ξ, η : Ω IR ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý ö º Ì ξ ± η, ξ η, ξ/η η 0) ÝÖ Ö Ø Ø Ø Ò Ý ö º ¾

43 Á ÖÓ ÝÑ º Á ÖÓ Ý Ñ ξ+η ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý º È Ø ÒØ Ù Ú ÒÙ ÙÓØÙ u {ω : ξ(ω) + η(ω) < u} A. Â Ù Ø Ò Ò ÐÝ Ý Å ξ(ω) + η(ω) < u, Ø Ø Ò Ö Ò ÐÝ Ý Å ξ(ω) < u η(ω). Ã Ò Ö ÓÒ Ð Ù Ù Ù Å ÝÖ Ú ÙÖ Ø Ö Ø Ø ÖÔ Ø ÙÖ Ù Ú Ù Ù Ú ÝÖ Ö Ö ÓÒ Ð Ù Ù µ Ø ÐÅ Ñ Ö Ø Ö ÓÒ ÐÙ Ù q, ÙØÙ Ø Ò Ö Ò ÐÝ Ý Å ξ(ω) < q < u η(ω). Ã Ø Ú ÖØÙ Ù Ó Ù ÒÓÖ q Ø Ò Ò ÐÝ Ý Å Ø Ø Ò Ö Ò ÐÝ Ý Å ξ(ω) + η(ω) < u. È Ò Ù Ó ØÓ ÑÔÖÓØ Ú Ñ ÙöÖ Ý Ñ {ω : ξ(ω) + η(ω) < u} = q = q {ω : ξ(ω) < q < u η(ω)} {ω : ξ(ω) < q} {ω : η(ω) < u q}, ÙÒ Ó Ñ ÑÓ Ô Ð Ú Ù Ö ÓÒ Ð ÙÓ Ù Ù º Ì Ù Ö ÓÒ Ð Ù Ù Ù Å ÝÖ Ø ØÓ Å Ð Ô ÙØ ÒÅ ÙÒ Ó ÙÒ Ñ Ø ÚÝ Ù ÔÖ Ð Ù Ò Ù σ¹ Ð Ö A Ø Ñ º Ì Ö ÙÒ Ó Ö ÞÙÐØ Ø ØÙÖ ÔÖ ¹ Ð Ù ÝØ σ¹ Ð Ö ØºÝ {ω : ξ(ω) + η(ω) < u} A. Ã Ò η Ö ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý Ø Ô Ò Ù Ó Ù ÖÓ ÝØÙ Ø Ò Ù Ù Ñ ξ η ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý º È Ò Ù Ó Ù ÖÓ ÝØ Ø Ø ÓÖ ÑÓ Ú Ö ÐÝ Ý ξ η = 1 4 (ξ + η)2 1 4 (ξ η)2, Ù Ñ ξ η ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý º Á ξ/η Ð Ñ öú Ð Ø Ô Ø Ø Ø Ò Ù Ý ö Ù ξ Ö 1/η Ò Ù º à 1 η ÝÖ Ø Ø Ø Ò Ý ÖÓ ÝØ Ò ÙÒ Ùº Ì Ö Ò Ù ξ 1 ÝÖ Ø Ø Ø Ò η Ý º Ì ÓÖ Ñ ÖÓ ÝØ º Á Ø Ò Ñ Ò Ð Þ ÒÅ Ò Ò ÑÙÑÓ ÙÔÖ ÑÙÑÓ Ú Ö ÙØ ÒÅ Ö Ô¹ Ø ÒÅ Ö Ù µ ÓÔ Ö Ó Ù Ø Ø Ø Ò Ý ö Ö ÙÓ Ø Ø Ø Ò Ù Ý¹ ö Ù º ÈÖ Ñ Ò Ñ Ù Ó x n Ô Ø ÒÅ Ö Ú Ö ÙØ ÒÅ Ö Ó Ô ÖÅ ö ÑÓ Ø Ô lim inf n x n = sup n inf x k, k n lim sup x n = inf sup n n Ø Ô Ø Ö ÒØ lim inf x n ÝÖ Ñ ö Ù Ó x n Ö Ò Ø Ó lim sup x n ö Ù º k n x k,