Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Μια εισαγωγή σε γραφοθεωρητικά προβλήματα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Μια εισαγωγή σε γραφοθεωρητικά προβλήματα"

Ἰφιγένεια Λόντος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Μια εισαγωγή σε γραφοθεωρητικά προβλήματα Άρης Παγουρτζής Ε.Μ.Π. - Μ.Π.Λ.Α. Ευχαριστίες: μέρος των διαφανειών αυτών προέρχεται από τις Σημειώσεις Ε. Ζάχου για το μάθημα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα της Σχολής Ηλεκτολόγων και Μηχανικών Υπολογιστών Ε.Μ.Π.

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 ¹ ÐØÓÒ Ó ÔÒ³µ ÓÑÔØ ÖÓÙØ¹ ÖÓ ØÒ ÓÑØÖ ÖÓÙØÒµ ÒØÐÞØÓÒµ Ò ÅØÒ ËÓÖØ Ø ÈØ ÓÚÖ ÌÖÚÐÒ ËÐ ÑÒ ÈÖÓÐÑ ËØÒÖ ØÖ ÎÖØÜ ÐÓÛ ÅÜÑÙÑ ¹ ÓÒØ ÈØ ÅÙÐØÓÑ¹ ÅÜÑÙÑ ÐÓÛ ÐØÝ ÄÓØÓÒ ÅÙÐØÙØ ¹ÒØÖ ËÙÐ¹ ÑÓØÝ ÐÙ ØÖÒº Ò Ó ÛÖÐ Ò ÓÖ ÒØÛÓÖ µº º ý ººº ß ºººýº ¾

4 º Æ Ò ØÖÙØÙÐÒ º ÑÒ Ñ ºµ» Ó Ñ ¹ Ô Òµº ËÈ ÄÓÈ ÅÔ¹ÊÙº ÙÐÒµ º º ¹ ý ººº ß ºººýº

5 Ú Èº ÏÐÐÑ ÓÒ Ú º ËÑÓÝ º Ì Ò Ó ÔÔÖÓÜ¹ ¾º ÐÓÖØÑ º ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ¾¼½¼º ÚÐÐ ÑØÓÒ ÓÖØ Ëº ÀÓÙÑº ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆÈ¹ÀÖ º ÈÏË ÈÙÐ Ò ÓÑÔÒÝ ½º ÈÖÓÐÑ º ÌÓÑ Àº ÓÖÑÒ ÖÐ º Ä Ö ÓÒ ÊÓÒÐ Äº ÊÚ Ø ÁÒ¹ º ØÓ ÐÓÖØÑ º Ì ÅÁÌ ÈÖ» ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÓÓ ØÖÓÙØÓÒ Ëº ÙÔØ º Àº ÈÔÑØÖÓÙ Ò Íº Îº ÎÞÖÒ ÐÓÖØÑ º º ¾¼¼º µº ÅÖÛ¹ÀÐÐ þ ½º ÎÝ Îº ÎÞÖÒº ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÐÓÖØÑ º ËÔÖÒÖ ¾¼¼½º ÓÒÐÒµ ÓÑÔÒÝ ½º ÓÖ ¾Ò ØÓÒºµ ý ººº ß ºººýº

6 ÊÓÖ ÏØØÒÓÖº ÈÖÒÔÐ Ó ØÖÙØ ÓÑÔÙØÒº ÌÀ ½º ÓÙÖ ÒÓØ ¾¼½½º ÙÖ ÆÒÝ º ÄÝÒº ØÖÙØ ÐÓÖØÑ º ÅÓÖÒ ÃÙÑÒÒ ¾º ËÒ ÅØÓ ½º ÈÙÐ Ö ÊÓÖØ º ÌÖÒº Ø ËØÖÙØÙÖ Ò ÆØÛÓÖ ÐÓÖØÑ º º ½ º ËÁÅ ÊÚÒÖ Ãº Ù ÌÓÑ Äº ÅÒÒØ ÂÑ º ÇÖÐÒº ÆØ¹ º ÓÛ ÌÓÖÝ ÐÓÖØÑ Ò ÔÔÐØÓÒ º ÈÖÒØ¹ ÛÓÖ ÆÓÑ Æ Ò ÌÑ ÊÓÙÖÒ Ú ÌÖÓ Ò ÎÝ Îº ÎÞÖÒº º Ñ ÌÓÖÝº ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ÆÛ ÐÓÖØÑ þ ÀÐÐ ½ º ÓÖ Æ ÍËº ý ººº ß ºººýº

7 ÙÐÖ ÑÒÑÙÑ ÔÒÒÒ ØÖµ ý ÇΩΘ ÑØÒµ º ý ººº ß ºººýº

8 µ º µ (Î Î ) Î Î 2 Î ÚÖØ µ ÒÓ µº µº ý ººº ß ºººýº

9 = {{Ú 1 Ú 2 }{Ú 1 Ú 3 }{Ú 4 Ú 5 }{Ú 5 Ú 5 }} Ú 1 Ú 5 Ú 2 Ú 3 Ú 4 Ú 1 Ú 2 Ú 3 Ú 4 Ú 5 ý ººº ß ºººýº

10 Ú 1 Ú 2 Ú 3 Ú 5 Ú 4 ý ººº ß ºººýº

11 ý ººº ß ºººýº ½¼

12 ÛÐµ ¹ º ÔØµ º ý ÑÔÐ ÔØµ º ÝÐµ º ý º º ý ººº ß ºººýº ½½

13 ÙÐÖ ÀÑÐØÓÒ ÙÐÖ ÀÑÐØÓÒ ý ººº ß ºººýº ½¾

14 ÒÝ Ð Ø µ º ÒÝ ÑØÖÜµ ÒÒ ÑØÖÜµ ý ººº ß ºººýº ½

15 2 ½ ¾ 3 ½ ¾ ý ººº ß ºººýº ½

16 ÔØÖÐ ÖÔ ØÓÖÝ º ÍÒÕÙ Ñ ÓÒØÙÖº ô ÄÔÐÒ ÑØÖÜ É() = () () É() = () µ () Ì ÔÒ¹ ÒÒ ØÖ ÃÖÓ«³ ÑØÖÜ ØÖ ØÓÖÑµ Ø() = 1 Ò 1 2 Ò 1 = Ø(É 11 ()) É()º ý ººº ß ºººýº ½

17 ÍÒÕÙ Ñ ÓÒØÙÖ ÃÓØ³¼¾ ô ºº º º Èº Í Æ 0 ÍÒÕÙ Ñ 0 ÆÈ¹Ö ÇÈ Ì 1 ÇÈ Ì Æº ý ± ÆÈ¹Ö ½±º ÜÔÒÖ ÖÔ ÔØÖÐ ÖÔ ØÓÖÝº ý ººº ß ºººýº ½

18 ÖØ ÖÔµ Î Î Ú 1 Ú 5 Ú 2 Ú 4 Ú 3 ý ººº ß ºººýº ½

19 ÓÒÒØÚØÝµ ÓÒÒØ ÓÑ¹ ÔÓÒÒØ µº ÒÙµ º ØÖµ º Ã Ò µ Ã ÒÑ µº Ã 5 Ã 33 µ ý ººº ß ºººýº ½

20 º ÊÓÖØ ÓÒ¹ËÝÑÓÙÖ ÑÒÓÖ º ÑÒÓÖ µ ÑÒÓÖ µ ô ÑÒÓÖµ º {Ã 5 Ã 33 } º ý ººº ß ºººýº ½

21 µ» µº ÖÐØÓÒµ º º ËØ ÐØÝ ËÌµ º ý ººº ß ºººýº ¾¼

22 «ØÚÒ µº ý º ÒØÒ µº ÒØÒ µº ô ÒÔÙØµº ¹ÓÙØÔÙØµ ³ º ý ººº ß ºººýº ¾½

23 ý ¹ ý(ò) = max { ý Ü Ü Ò Òµ = min {(Ò)} ý ý ººº ß ºººýº ¾¾

24 Ç (Ò) (Ò) Ò0 Ò = Ç() ý ººº ß ºººýº ¾

25 Ç Ó Ç() = { 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} Ó() = { 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} Ó() = { lim Ò (Ò) (Ò) = 0} ý ººº ß ºººýº ¾

26 Ω (Ò) (Ò) Ò0 Ò Ω() = { () = { 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} 0 Ò 0 : Ò Ò 0 (Ò) (Ò)} ý ººº ß ºººýº ¾

27 2 (Ò) Θ (Ò) 1 (Ò) Ò0 Ò Θ() = { Ò 0 : Ò Ò 0 1 (Ò) (Ò) 2} ý ººº ß ºººýº ¾

28 Ç(1) Ç(«(Ò)) Ç(log Ò) Ç(log(Ò)) Ç( Ò) Ç(Ò) Ç(Òlog(Ò)) 2 Ç(Ò ) Ç(ÔÓÐÝ) Ç(2 ) Ç(Ò!) Ç(Ò ) Ò Ç((Ò)) Ò ý ººº ß ºººýº ¾

29 ý Ì(Ò) = Ò = 1 Ò 1 Ì(Ò) = Ò + (Ò 1) = Ç(Ò) 2Ì(Ò2)+ Ì(Ò) = Ò = 1 2Ì(Ò2)+Ò Ò 1 Ì(Ò) = Ò + ( Ò 2 ) 2 = Ò +Òlog 2 Ò = Ç(Òlog Ò) ý ººº ß ºººýº ¾

30 1 1 (Ò) Ì(Ò) ô Ò Ò Ò µº Ì(Ò) Ì(Ò) Θ((Ò)) = (Ò) = log ) + 0 ½º Ω(Ò (Ò) (Ò) 1 Å ØÖ ÌÓÖÑ Ì(Ò) = Ì(Ò)+(Ò) Òº ¾º Ì(Ò) = Θ((Ò)log 2 Ò) (Ò) = Θ(Ò log )º º Ì(Ò) = Θ(Ò log ) (Ò) = Ç(Ò log ) 0º ý ººº ß ºººýº ¾

31 È º ÆÈ º µ º È? = ÆÈ ÆÈ¹ÓÑÔÐØÒ º ý ººº ß ºººýº ¼

32 ÆÈ¹ ÎÖØÜ ÓÚÖ ÐÕÙ ÀÑÐØÓÒ ÖÙØ»ÝÐ Àµ ÌÖÚÐÒ ËÐ ÑÒ ÈÖÓÐÑ ÌËÈµ ¹ÓÐÓÖÐØÝ ËÙÖÔ Á ÓÑÓÖÔ Ñ ¹ÑÒ ÓÒÐ ÅØÒ Åµ ý ººº ß ºººýº ½

33 ý ËÌ ÎÊÌ ÇÎÊ : (Ù 1 Ù 3 Ù 4 ) ( Ù 1 Ù 2 Ù 4 ) Ù1 Ù1 Ù2 Ù2 Ù3 Ù3 Ù4 Ù4 1[1] 1[2] 2[1] 3[1] 2[2] 3[2] ÚÖØÜ ÓÚÖ = Ò + = 8 º 2Ñ ý ººº ß ºººýº ¾

34 ý ý À ÌËÈ Î ËÙÖÔ Á ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÓ ÆÈ ÒÝ ÔÖÓÐÑ ÐÕÙ ËØ ËØ Å ÈÖØØÓÒ ÃÒÔ ¹ÖÔ ÓÐÓÖÐØÝ ý ººº ß ºººýº

35 È ÙÐÖº ÊÐØÝ ¹ Ë Ë ¹ËÖº º º ÑÒÑÙÑ ÔÒÒÒ ØÖµº º ÈÖØ ÑØÒº ÔÖØØ ÓÐÓÖÒµº ý ººº ß ºººýº

36 ÙÐÖ ¹ ÙÐÖ ý ººº ß ºººýº

37 ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

38 ÐØÝ ÔÖÓÐÑ ¹ ý ÔØ Ö Ø ËÖ ¹ Ëµº ý ÖØ Ö Ø ËÖ ¹ Ëµº ¹ Ö Ë º ý ººº ß ºººýº

39 Ë ÔÖÓÙÖ ÚÚÖØÜµ Ò Ú ØÚ ØÖÙ ÓÖ ÐÐ ÚÖØ Ù ÒØ ØÓ Ú Ó ÒÓØ Ú ØÙ ØÒ Ùµ Ò Ç( Î + )º ý ººº ß ºººýº

40 Ë ÔÖÓÙÖ ÚÚÖØÜµ Ò ÒØÐÞ ÕÙÙ ÛØ Ú Ú ØÚ ØÖÙ ÖÔØ ÕÙÙ Ùµ ÓÖ ÐÐ ÚÖØ Û ÒØ ØÓ Ù Ó ÒÓØ Ú ØÛ ØÒ Ò Ú ØÛ ØÖÙ ÒÕÙÙ Ûµ Ò ÙÒØÐ ÕÙÙ ÑÔØÝ Ò Ç( Î + )º ý ººº ß ºººýº

41 ØÖ ÔÖÓÙÖ ØÖ Ò ý µ Ë := {1} ÓÖ ¾ ØÓ Ò Ó Ò Ó Ø½ È ½ Ò ÓÖ ¾ ØÓ Ò¹½ Ó Ò ÐØ Û ÖÓÑ Î Ë Ù ØØ Û ÑÒÑÙÑ Ë := Ë +{Û} ÓÖ ÐÐ Ú Ò Î Ë Ó Ú Û Û Ú ØÒ ÈÚ Û Ú Û Û Ú Ò Ò Ç( Î 2 ) ÓÖØ Ø ÔØ Ç( Î 3 ) ÐÐ¹ÔÖ ý ººº ß ºººýº ¼

42 ý ØÖ ½¼ 1 6 ½¼ ¼ ¼ 2 5 ½¼ 3 4 ¼ ¼ ¾¼ ý ººº ß ºººýº ½

43 ØÖ µ È þ Ë Û ¾ ¾ ¹ {½} ¹ ½¼ ¼ ½¼ ½ ½ ½ ½ ½ ¾ {½ ¾} ¾ ¼ ¼ ½¼ ¾ {½ ¾ } ¼ ¼ ¼ {½ ¾ } ¼ ¼ {½ ¾ } ¼ {½ ¾ } ý ººº ß ºººýº ¾

44 Ú µ [Ú] [Û]+[Û Ú] ØÒ Ò º ý µº ý ÐÐÑÒ¹ÓÖ Î 1 º Ú º ý (Û Ú) È[Ú] Û [Ú] [Û]+[Û Ú] Ò ( Î ) ý ººº ß ºººýº

45 Ø µº ºº Ã Ê ØÖØ ÓÒ ØÖÒµ ËÓÖØ Ø ÈØ ÆÈ¹Ö µº ý ¹ÃÒÔ ( Ô 1 Û 1 ) ( Ô 2 Û 2 ) ( ÔÒ ÛÒ) Ú 1 Ù 1 Ü 1 Ú 2 Ù 2 Ü 2 ÚÒ ÙÒ ÚÒ+1 ÜÒ ÓÓ ÒÛ ÑØ Ò ÈÌË ÏÖÙÖØÓÒ ½ º ý ººº ß ºººýº

46 ÈÖÑ ý º ÃÖÙ Ð ý º Ë Î \ Ë º ÅÒÑÙÑ ËÔÒÒÒ ÌÖ ¹ ÅËÌµ ý ººº ß ºººýº

47 Î \ Ë µ Ë ÅËÌµ ºµ º ô µ º ýº º ý ÓÖÙÚ ÓÒÒØ ÓÑÔÓÒÒØµ º ý º ³ º ³º ( log Î )º ý ººº ß ºººýº

48 ý ÈÖÑ ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

49 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

50 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

51 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº ¼

52 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº ½

53 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº ¾

54 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

55 º ý ÈÖÑ Ç( Î 2 ) µ Ç( log Î ) ÒÖÝ Ô ÓÒ Ô Ç( Î log Î + ) ý ººº ß ºººýº

56 ý ÃÖÙ Ð ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

57 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

58 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

59 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

60 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº

61 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº ¼

62 ½ 1 2 ¾ ½ ¾ ý ººº ß ºººýº ½

63 º ý ÃÖÙ Ð Ç( log Î ) ÍÒÓÒ¹Ò ÍÒÓÒ Ý ÊÒµ ý ººº ß ºººýº ¾

64 ÒØÛÓÖµ Ø ÅÜ ÐÓÛµ Øº º ÅÜ ÐÓÛ ß ÅÒ ÙØµ µ µ Øº ý ººº ß ºººýº

65 Øº º Ö ÙÐ ÒØÛÓÖµ Øº ÙÑÒØÒ ÔØ µº ý ÓÖ¹ÙÐÖ ÓÒ Ç( ) º þ ý ÑÓÒ ¹ÃÖÔ Ç( Î 2 ) ÓÖØ Ø ÔØ µ ÓÐÖ Ç( Î 2 ) Ç( Î 3 ) ÔÖ ÓÛ¹ÔÙ µº ý ººº ß ºººýº

66 ÑØÒ ÑØÒ ÐØÖÒØÒ ÔØ µ ÑØÒº Ç( Î ) Î 2µº þ ÀÓÔÖÓØ¹ Ç( Î 52 )º ÃÖÔ ÈÖØ ØÒµ ý º ËØÐ ÅÖÖº ý ººº ß ºººýº

67 » ÑØÒ Å ³ Ð¹ËÔÐÝ ½¾µ ý µº º µ ÔÖÓÐÑµ ËØÐ ÊÓÓÑ¹ Ó ÔØÐ»Ö ÒØ ËØÐ ÅÖÖ»ÅØÒ µº Åº Ç(Ò 2 )º ÑØ º ÆÈ¹ÓÑÔÐØº ý ººº ß ºººýº

68 +1 µ + µ ÎÞÒ ½ º µ ½½ ( Î )µº ÃĐÓÒ ( log ) ÓÐ Ç Ø Ò ËÖÖ ¾¼¼½ º ÆÈ ¹ÓÑÔÐØº (1+ 3 2ÇÈ Ì )¹ÔÜº ÈÌËµ ËÒÖ Ò ËØÙÖÖ ¾¼¼ ý ººº ß ºººýº

69 º ÃĐÓÒ ½½ µ º µ ÔÖØ ÑØÒ ¹ 5 2)º Ç( Ò µ µ ÑÜÑÐ ÑØÒ ý ÙÑÒØÒ ÔØ º ý ¾ Ç( Î ) = µ 2 )º Ç( Ò ý ººº ß ºººýº

70 Ü ÔÖÑØÖ ÈÌ ËØ ÛÖØ Ò ÛÖØ ØÖÛØ ¹ÓÐÓÖÒ ò ÁÒÔÒÒØ ËØ ÀÑÐØÓÒ ÝÐ ºººµ ÏØ Ü ÈÖÑØÖ ÌÖØÐØÝ ØÖØÐ Ç(() ÔÓÐÝ(Ò)) Ò º ÎÖØÜ ÓÚÖ ÓÒµ ÈÌ ÓÚÖµ Ç(2 ÔÓÐÝ(Ò)) µº ø ÈÌ ÎÖØÜ ÓÐÓÖÒ ÛÖØ # ÓÐÓÖ µ ý ººº ß ºººýº

71 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σχετικά έγγραφα

Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής

Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,