ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ www.orionidf.gr ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη στη σελίδα 6 6. A. Ορισµός στη σελίδα 8. Α3. α Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ B B. z 3i + z + 3i = z 3i + z 3i = z 3i + z 3i = z 3i = z 3i = Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z είναι κύκλος µε κέντρο K(, 3 ), ακτίνα ρ = και εξίσωση C: + y 3 = β τρόπος z 3i + z+ 3i = z= + yi,, y R
+ ( y 3) i + + ( 3 y) i = + y 3 + + 3 y = + y 3 = + y 3 = + y 3 = Άρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών z είναι κύκλος µε κέντρο K(, 3 ) και ακτίνα ρ =. B. z 3i = z 3i = z 3i z 3i = z 3i z 3i z + 3i = z + 3i = z 3i B3. B w = z 3i + w z 3i z 3i z 3i = + + z= + yi w = z+ z w = R + y 3 = y 3 = και επειδή ( y 3) θα είναι: w Β4. Για z= + yi είναι w = z w = z + yi = + yi + yi = + yi + y = + y
+ y = + y που ισχύει ΘΕΜΑ Γ Γ. Εξ υποθέσεως για κάθε R ισχύει: ( ) f f f f + = + + = + f f f f ( ) f ( f ) ( ) f ( f ) + = + ( f ) ( ) ( f ) = ( f ) ( f ) = = + () f f c () Για = f ( ) = c και αφού Άρα f = f f = c= = = () f f f Θα δείξουµε ότι για κάθε R και συγκεκριµένα ότι Θέτουµε t = /A = R t t = /A = A = R t t > για κάθε R. t = = = /R t > > > > /R t < < < <
t() t + + OΛ.ΕΛ. Άρα η t παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για Άρα t > για κάθε R. = το t = >. Παρατήρηση: Θα µπορούσε η αντίστοιχη ανισότητα να λυθεί και µε χρήση Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση h /R, ή αποδεικνύοντας ότι η h είναι κυρτή στο R οπότε η C h θα είναι = στο [ ] πάνω από την εφαπτοµένη της σε οποιοδήποτε σηµείο. Η εφαπτοµένη της C h στο A(, ) έχει εξίσωση ε : ψ = +. Άρα για κάθε R ισχύει: + > Άρα f ( ) f ( ) = = f = f ( ln ) > ( ) f = ln f = ln + c Για = έχουµε Αφού f( ) = c= Άρα f = ln( ) f = ln+ c= c. = Γ. Η f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f f = = = =. > f > > > >
> f < < < < f < για κάθε (, ) f συνεχής στο (, ] f (, ] f > για κάθε (, + ) f συνεχής στο [, + ) f [, + ) Άρα η f παρουσιάζει στο = ολικό ελάχιστο το f = f() f + + OΛ.ΕΛ. f() = Γ3. f ( ) ( ) ( )( ) = = = ( ) ( ) ( ) + + = = = > για κάθε R Θέτουµε t = + / At = R t = + = = t = = t > < t < >
t() t + + OΛ.Μ. Η t παρουσιάζει ολικό µέγιστο για = το t= > 4 t = < t = <, Η t συνεχής στο R, άρα και στα διαστήµατα [, ], [, ] t( ) t < και () tt < Άρα από Θ. Bolzano υπάρχουν (, ) και (, ) τέτοια ώστε t = t = Η ύπαρξη των ριζών της t θα µπορούσε να εξασφαλιστεί και µε χρήση συνόλου τιµών της t. Αφού t / (, ], η (ε) t = θα έχει το πολύ µία ρίζα στο (, ). Οµοίως t / [, + ), άρα η (ε) t = θα έχει το πολύ µία ρίζα στο,. Άρα η (ε) t = έχει ακριβώς δύο ρίζες εκατέρωθεν των οποίων η t αλλάζει πρόσηµο. = Αφού f t ( ), η f θα έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής. ln = συν ln συν =. Γ4. (ε) π Φ = ln συν / AΦ = R ή AΦ =, Θέτουµε Η Φ συνεχής στο π, ως πράξη συνεχών Φ( ) = ln συν= <
π π π Φ = ln > αφού f > για κάθε R* π Φ Φ < Άρα π, :Φ =, οπότε από Θεωρ. Bolzano υπάρχει: Άρα η ζητούµενη (ε) έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο π, Η Φ είναι παραγωγίσιµη στο Α Φ µε: Φ = f + ηµ Φ > για κάθε Φ συνεχής στο π, π, Φ / π, Άρα η (ε) Φ = θα έχει το πολύ µία ρίζα στο π,, οπότε τελικά η ζητούµενη (ε) θα έχει ακριβώς µία ρίζα στο π, ΘΕΜΑ. Θέτουµε u = + t t = u και dt = du Για t = u =, για t = u = Άρα t u ( ) u dt = du = du = g t g u g u ( + ) u u = du = du g u. g( u) Άρα η δοθείσα σχέση γίνεται:
u u f = du f = du g u g u u f = + du g u Θέτουµε h( u) u = / Ah = R. g u Η h είναι συνεχής στο R ως πηλίκο συνεχών. Άρα η συνάρτηση f θα είναι παραγωγίσιµη στο R µε f Αντίστοιχα και η g είναι παραγωγίσιµη στο R µε g f g f = = g = = f g f g f >, g > = f g f g f >, g > f g = ( ln ( f )) = ( ln ( g )) f g ( ) ( ) ln f = ln g + c () Στις δοθείσες σχέσεις για = προκύπτουν: =. g =. f f = f = και g = g = Για () = ln+ ln= c c= ln Άρα ln ( f ) = ln ( g ) f = g
β τρόπος f g = f g f g f g = Οµοίως > f g f g g g g = f f c f c g g = = = g Οµοίως για = έχοµε: Άρα f = g = f = g = c = f c g. = g f g = f f f = f f = f = f c Άρα = + () () Για = f = + c Άρα c= Αφού f = f > f = f = 3. Θέτουµε u =. Αφού u Άρα ln f ln f u u ln lim = lim = lim = f u u u f u
u = lim = lim = lim = u u + u u u u u u PLH u ( ) u = lim = lim ( ) = u u ( u) =, 4. Αφού η f είναι συνεχής στο R, η F θα είναι παραγωγίσιµη στο R µε F f( ) αφού και η g( t) f( t ) = θα είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών. Αφού η F είναι παραγωγίσιµη στο R θα είναι και συνεχής. Άρα το ζητούµενο εµβαδόν θα ισούται µε E = F d. Αφού f > για κάθε R θα ισχύει F Άρα E= F d = F d = F d = ( ) στο [ ] = F + F d = F + f d = = + d = d d = =,. = = τ.µ.