ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A. Απόδειξη Σελ. 53 Α. Ορισμός Σελ 9 Α3. Ορισμός Σελ 58 Α. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι κύκλος με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=. Β. Αφού οι εικόνες των μιγαδικών, ανήκουν στο κύκλο επομένως. Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε Είναι επίσης Άρα αφού. Β3. Θέτουμε yi. Επομένως, 5 yi 5 5yi 6yi 6 36y
y. 9 Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι έλλειψη με a 3,, 9 5 5 και εστίες 5,, 5,. Η μέγιστη τιμή του είναι α=3 ενώ η ελάχιστη είναι α=. Επομένως είναι και 3. Β. ος τρόπος Γεωμετρικά έχουμε, Η μέγιστη τιμή του. Άρα ος τρόπος είναι a 3 και η ελάχιστη τιμή του είναι Είναι 3 3 3. Επίσης είναι 3 3 3 και άρα. Τέλος είναι και 3 3 3 3 Από τριγωνική ανισότητα και τις σχέσεις (), (), (3) έχουμε,, 3.
ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσμη στο, με ln ln. Προφανής ρίζα η αφού. Είναι και επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Το πρόσημο της συνάρτησης είναι για για είναι. άρα, ενώ Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο,. Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση το. Είναι lim lim ln Επίσης lim lim ln Επομένως είναι, lim,, lim,,. και άρα το σύνολο τιμών είναι A,. Γ. Η εξίσωση γίνεται, 3 3 ln ln ln 3 3 Αφού το και η συνάρτηση γνησία μονότονη στο τότε η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο. Ομοίως η εξίσωση 3 έχει μοναδική ρίζα στο. Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. 3
Γ3. Θεωρούμε την συνάρτηση h,. Η h συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Η h παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h. Είναι και h και h Άρα από το θεώρημα Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον, h, έτσι ώστε Γ. Είναι g ln, Λύνουμε την εξίσωση g ln ή ln άρα ή. Οπότε. Για κάθε είναι ln οπότε g ln στο,. Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι, E g d ln g d ln d... 3. ln d ln d
ΘΕΜΑ Δ Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση συνεχής άρα ολοκληρώσιμη. Επομένως η g d h. Η συνάρτηση είναι d είναι παραγωγίσιμη, άρα η h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων με h. Είναι g g για κάθε. Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. Το εσωτερικό σημείο του A g,. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με g. Επομένως από θεώρημα rma είναι g. Επειδή η είναι συνεχής στο, και για κάθε, τότε η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, και αφού, τότε για κάθε. Θεωρούμε την συνάρτηση s με τύπο s ln,. Η συνάρτηση s είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με s s + - s Η συνάρτηση s παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση ίσο με s. Άρα ln s s ln. Επομένως d, άρα ln ln d, επομένως. Άρα αφού το δεύτερο μέρος ln d είναι πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο,. 5
ln Άρα παραγωγίσιμη G G ln d με G ln. Θεωρούμε τη συνάρτηση G d, ln G τότε. Οπότε G G G G G για κάθε και επομένως c G c. Για είναι G επομένως c και άρα G G με G ln. Συνεπώς ο τύπος της συνάρτησης είναι ln,. Δ. ln Είναι lim lim και lim Επομένως lim. Είναι lim. Θέτουμε. Για τότε. Άρα το όριο γίνεται lim lim lim D. L. H lim. Δ3. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη αφού η είναι συνεχής και επομένως ολοκληρώσιμη με. ln Άρα ln αφού ln από υπόθεση και για κάθε. Επομένως για κάθε, και άρα η συνάρτηση είναι κυρτή και άρα η γνησίως αύξουσα. Η είναι παραγωγίσιμη στο, και στο, 3, Άρα εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ υπάρχουν, και, 3 με και 6
3. Είναι και επειδή η συνάρτηση γνησίως αύξουσα είναι και 3 Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 στο,. Η συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών. 3 Είναι 3 και 3 Είναι άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως για 3 και άρα. Επίσης 3 από το Δ3. Άρα και επομένως από το θεώρημα Bolano υπάρχει τουλάχιστον ένα, με. Όμως, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και επομένως το ξ είναι μοναδικό. 7