ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. ) Θεωρί πό το σχολιό βιβλίο σελίδ 3. β) Θεωρί πό το σχολιό βιβλίο σελίδ 6. Α. ) Θεωρί πό το σχολιό βιβλίο σελίδ 3. β) Θεωρί πό το σχολιό βιβλίο σελίδ 9. Α3. ) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β ) Α,,, είι οι τιμές μις μετβλητής Χ ως προς τη οποί μελετάμε έ δείγμ μεγέθους, τότε: Ν = v+ v + + = v. Δηλδή, η - Ν της μετβλητής είι όσο θροιστιή συχότητ της τελευτίς τιμής το μέγεθος του δείγμτος. Άρ v =Ν =. β) Χρησιμοποιώτς γι τ v,f,f %,N, F,F%τις γωστές σχέσεις: v+ v + v3 + v + = v = γι =,,3,, f f % = f γι =,,3,, f+ f + f3 + f + f = N = ι v= N N γι =,,3,, F = f ι f = F F γι =,,3,, F % = F γι =,,3,, N = ι F = προύπτει ο πράτω πίς τομής συχοτήτω: Βθμοί f f% N F F % v [,) 6, 6, 6 [,) 3, 6, 3 [,6),3 3 8,7 7 6 [6,8) 7 8, 36,9 9 6 [8,] 9, 36 Σύολο 88
γ) Ιστόγρμμ ι πολύγωο σχετιώ συχοτήτω επί τοις ετό o δ) Επειδή ισχύει ότι = f 36 θ έχουμε ότι: = f 36 =, 36 =, = f 36 =, 36 = 9, 3 = f3 36 =,3 36 = 8, = f 36 =, 36 = 7, = f 36 =, 36 = 36 ε) Στη λάση [8,) ήου φοιτητές, δηλδή το % του συόλου τω φοιτητώ, οι οποίοι θεωρούμε ότι είι ομοιόμορφ τεμημέοι στη λάση υτή. Άριστ, δηλδή πάω πό 8, έγρψ τ 3 υτής της λάσης, συεπώς 3 3 = φοιτητές, σε ποσοστό 3 % = 7,% του συόλου. στ) = v = v = 88 =,7 μοάδες. v ΘΕΜΑ Γ = = Γ. Έχουμε τις συρτήσεις g() ln( ), με > f() = με Df Dg =, +. 3 = ι 3 Είι f () = = ι g () = ln( ) ( ) = = = R, θώς ι τη =, γι >.
Επομέως f () g () = = γι άθε >. f ( ) = = = ι f ( ) = ( ) =. Συεπώς η εξίσωση της εφπτομέης της γρφιής πράστσης της f στο σημείο της M(,f( )) = M(, ), είι η εξής: y f ( ) = f ( )( + ) Γ. Έχουμε ότι 3 3 y = ( + ) y + = + y = + y =. Γ3. ) Έστω N(,g( )) είι το σημείο επφής της (ε) y =, με τη γρφιή πράστση της g, επειδή η ευθεί (ε) εφάπτετι στη γρφιή πράστση της g, θ ισχύου: g ( ) = = = ι g( ) = g = ln = ln = ln ln = ln = = β) Η γρφιή πράστση της g είι άτω πό το άξο, ότ ισχύει: ln > g() < ln( ) < ln( ) < ln < < < < Άρ ότ,. γ) Έχουμε f () =, ι e e e g = ln = ln = ln e = ln e = ln e =. e e e g = ln = ln = ln e = ln e = = Επομέως το ζητούμεο όριο γίετι:
e f () + g lm + + + = lm = lm = lm = e 3 + f () + g + + ( ) ( ) lm ( ) ( + ) = lm = = lm + =. ΘΕΜΑ Δ Δ. ) Ο όγος της δεξμεής είι V= h. 3 Αφού V = m θ είι: h = h = () Η βάση της δεξμεής έχει εμβδό E () = = ι οστίζει K () = 3 = 6. Οι πράπλευρες έδρες της δεξμεής έχου επιφάει εμβδού () 3 E () = (h) + (h) = 6h = 6 = ι οστίζου 3 3 K () = 8 =. Άρ το συολιό όστος τσευής της δεξμεής είι 3 K() = K () + K () = 6 +, με > (). 3 3 β) Από τη σχέση () έχουμε: K () = 6 + =, όποτε 3 3 3 3 K () = = = = 7 = 3. Όπως προύπτει πό το πί μοοτοίς της Κ, το όστος τσευής της δεξμεής είι ελάχιστο ότ = 3m. Τότε οι διστάσεις της βάσης της δεξμεής είι 3m ι 6m ι το συολιό όστος τσευής της δεξμεής
Δ. 3 είι K(3) = 6 3 + = + 8 = 6. 3 ) Γι άθε t [,], γι τη τχύτητ υ (t), ισχύει ότι υ = υ = + + υ = + 3 (t) (t) (t) t 6t 9t (t) 3t t 9 (t) =υ(t) (t) = 3t t + 9 (t) = 6t. ι γι τη επιτάχυση Άρ η τχύτητά του τη χροιή στιγμή t = sec είι: υ () = 3 + 9 = 3 + 9 = + 9 = 3 m/sec ι η επιτάχυση τη χροιή στιγμή t = 3sec είι (3) = 6 3 = 6 m/sec β) Το σημείο είι στιγμιί ίητο, ότ: υ (t) = 3t t + 9 = t t + 3 = t = ή t = 3 γ) Το σημείο ιείτι προς τη θετιή φορά, ότ: υ (t) > 3t t + 9 > t t + 3 > t < ή 3 < t ι προς τη ρητιή φορά, ότ: υ (t) < 3t t + 9 < t t + 3 < < t < 3. δ) Στο διάστημ [,] το σημείο ιείτι προς τη θετιή φορά, είι: 3 3 () = 6 + 9 + = ι () = 6 + 9 + = 9, το σημείο διύει διάστημ S = () () = 9 = m. Στο διάστημ [,3] το σημείο ιείτι προς τη ρητιή φορά, είι: 3 3 () = 6 + 9 + = 9ι (3) = 3 63 + 93 + =, το σημείο διύει διάστημ S = (3) () = 9 = m. Στο διάστημ [3,6] το σημείο ιείτι προς τη θετιή φορά, είι: 3 3 (3) = 3 63 + 93 + = ι (6) = 6 6 6 + 9 6 + = 9, το σημείο διύει διάστημ S3 = (6) (3) = 9 = m. Άρ το ολιό διάστημ που διύει το ιητό σημείο τά τ πρώτ 6 sec είι: S = S + S + S = ολ 3 + + = 6m ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΟΡΦΥΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΚΑΡΠΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ SCIENCE PRESS