ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Θέμα Α Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν η f είναι συνεχής στο [, ] και f() f(), να αποδείξετε ότι, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f() και f() υπάρχει ένας, τουλάχιστον (,) τέτοιος, ώστε f() μονάδες 7 Α Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να κάνετε την γεωμετρική ερμηνεία του Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος; Να δώσετε παραδείγματα είτε σχηματικά είτε μέσω συγκεκριμένης συνάρτησης μονάδες 8 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν και g τότε g β) Αν για μια συνάρτηση f: υπάρχουν, με η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και g γ) Αν τα όρια τέτοια, ώστε, τότε δεν υπάρχουν, τότε δεν υπάρχει και το όριο g δ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,, τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της, μορφής ε) Αν α, g και κοντά στο α, τότε Θέμα Β Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι Β Να δείξετε ότι η g για κάθε Β Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της B Να υπολογίσετε τα όρια: i ii π π ημ B4 Αν g για κάθε, να υπολογίσετε το g iii f μονάδες 5 μονάδες 6 μονάδες 4 μονάδες
Θέμα Γ Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Γ Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: α) β) γ) δ) ημ ημ g, Γ Δίνεται η συνάρτηση α) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα 7 β) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης Γ Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα μεγαλύτερη από το Θέμα Δ Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι και f Δ Να δείξετε ότι Δ Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Δ Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης Δ4 Να λύσετε την ανίσωση Δ5 Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και Δ6 Να υπολογίσετε το όριο 8 f δεν τέμνονται μονάδες 5 για κάθε μονάδες 6 μονάδες Καλή Επιτυχία! Στέλιος Μιχαήλογλου
Θέμα Α Λύσεις Α Ας υποθέσουμε ότι f() f() Τότε θα ισχύει f() f() Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f(), [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g()g(),αφού g() f() και g() f() Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε g() f(), οπότε f() Α Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f() f(), τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε f() Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f() στο ανοικτό διάστημα (,) y Γεωμετρική ερμηνεία Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση f(β) B(β,f(β)) μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [, ] Επειδή τα σημεία A(,f()) και B(,f()) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η a γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα O β τουλάχιστον σημείο f(a) Α(α,f(α)) Το αντίστροφο του θ Bolzano δεν ισχύει - Στο διπλανό σχήμα δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο α,β, που έχει δύο ρίζες στο α,β χωρίς όμως να ισχύει ότι f αf β - Στο διπλανό σχήμα δίνεται συνάρτηση f με f αf β που έχει ρίζα στο α,β, χωρίς όμως να είναι συνεχής στο α,β Α α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ Θέμα Β Β Είναι Θέτουμε ω, οπότε f ω ω, ω άρα και, Β Έστω, με αύξουσα τότε άρα η f είναι γνησίως
Β i 8 ii Θέτουμε π y με π π Τότε π ημ ημ π y π y ω ημy ημω π π y π π y π ω ω ω iii 6 6 και 6 γιατί Β4 Επειδή και g, είναι και g Θέμα Γ Γ α) Είναι, οπότε y y y y β) Είναι γιατί και για κάθε, γ) Επειδή και ω κοντά στο είναι ημω ημ ημω ω ω ω ω ω ημω ημω ημω ω ω ω ω ω ω Είναι ω γιατί:, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής είναι και ω ω ω y ημy δ) ημ ημy y y y y y ημω ω ω Γ α) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Για κάθε,, με είναι () και () Από ()+() f f g g, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο, 7 g 7 β) 4
Επειδή Επειδή, είναι, είναι g y y y y g y y y Η g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α,, οπότε έχει αντίστοιχο g Α g, g, σύνολο τιμών το Επειδή το 7 βρίσκεται στο σύνολο τιμών της g, υπάρχει Α τέτοιο, ώστε g 7 και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, το είναι μοναδικό Έστω h, Είναι h α είναι πολύ κοντά στο τέτοιο, ώστε Γ hα, οπότε υπάρχει α, όπου ο Είναι h, άρα υπάρχει κάποιος πολύ μεγάλος αριθμός β τέτοιος ώστε h β Είναι hαhβ και επειδή η h είναι συνεχής στο α,β συναρτήσεων, σύμφωνα με το θεώρημα h η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο α,β, Θέμα Δ ως άθροισμα συνεχών h Δ Επειδή για κάθε είναι και επειδή η σταθερό πρόσημο Είναι f άρα (), Δ Έστω, με, τότε:, οπότε και f 8 8 8 () Δ Είναι f, και η () γίνεται: f και επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A έχει σύνολο τιμών το f A, Επειδή 8 f A υπάρχει μοναδικός A τέτοιος, ώστε 8 Δ4 f f f f f f είναι συνεχής, διατηρεί Δ5 Είναι για κάθε και λόγω συμμετρίας με την y είναι και 5
, άρα Δ6 6