Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Εστω μη ϰενά διαστήματα J, I R, με 0 Ī. Ονομάζουμε μεταβλητή το x J ϰαι ασυμπτωτιϰή (ή διαταραϰτιϰή) παράμετρο το ε I. Θεωρούμε συναρτήσεις f : J I R ϰαι συμβολίζουμε την εξάρτηση από μεταβλητή ϰαι παράμετρο, διαχωρίζοντας τον χαραϰτήρα τους, ως (x, ε) f(x; ε). 1. Ασυμπτωτιϰές Σχέσεις για Συναρτήσεις με Εξάρτηση από Μεταβλητή ΟΡΙΣΜΟΣ Α 1. Λέμε ότι η συνάρτηση f : J I R συγϰλίνει ϰατά σημείο στο J στην f 0 : J R ϰαϑώς ε 0, αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε x J έχουμε lim ε 0 f(x; ε) = f 0 (x), δηλαδή, αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε η > 0 υπάρχει δ(x, η) > 0 τέτοιο ώστε για ϰάϑε x J ισχύει ότι για ϰάϑε ε τέτοιο ώστε ε < δ(x, η) έχουμε f(x; ε) f 0 (x) < η. ΟΡΙΣΜΟΣ Α 2. Λέμε ότι η συνάρτηση f : J I R συγϰλίνει ομοιόμορφα στο J στην f 0 : J R ϰαϑώς ε 0, αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε η > 0 υπάρχει δ(η) > 0 τέτοιο ώστε για ϰάϑε x J ισχύει ότι για ϰάϑε ε τέτοιο ώστε ε < δ(η) έχουμε f(x; ε) f 0 (x) < η. ΟΡΙΣΜΟΣ Α 3. f(x; ε) g(x; ε) ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0, αν f(x;ε) 1 ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0. Λέμε ότι η f είναι ασυμπτωτιϰή g(x;ε) στην g ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0. ΟΡΙΣΜΟΣ Α 4. f(x; ε) = O(g(x; ε)) ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0, αν υπάρχει c 0 που εξαρτάται από το x J (ανεξάρτητο του x J), ώστε f(x; ε) c g(x; ε), για ϰάϑε ε σε ϰάποια (ενδεχόμενα τρύπια ή ϰαι πλευριϰή) γειτονιά του 0. Λέμε ότι η f είναι το πολύ της τάξης μεγέϑους της g ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0. ΟΡΙΣΜΟΣ Α 5. f(x; ε) = o(g(x; ε)) ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0, αν f(x;ε) 0 ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0. Λέμε ότι η f είναι μιϰρότερης g(x;ε) τάξης μεγέϑους από εϰείνης της g ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0. Ταυτόσημο περιεχόμενο έχει η ασυμπτωτιϰή σχέση f(x; ε) g(x; ε) ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0, οπότε ϰαι λέμε ότι η f(x; ε) είναι αμελητέα σε σχέση με την g(x; ε) ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0. Το περιεχόμενο της ασυμπτωτιϰής σχέσης είναι αντίστοιχο. ΟΡΙΣΜΟΣ Α 6. f(x; ε) g(x; ε) ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0, αν υπάρχουν 0 < c 1 < c 2 που εξαρτώνται από το x J (ανεξάρτητα του x J) ώστε c 1 g(x; ε) f(x; ε) c 2 g(x; ε), για ϰάϑε ε σε ϰάποια (τρύπια ή ϰαι πλευριϰή) γειτονιά Το ασυμπτωτιϰό όριο, το οποίο εδώ παίρνεται ως το όριο στο 0, μπορεί να είναι ϰαι διαφορετιϰό, είτε σε σημείο, ε 0 R, είτε στο ±. Αυτό το ϰαϑορίζει το αρχιϰό πρόβλημα συνήϑως, όμως, ϑεωρείται το όριο στο 0.
του 0. Λέμε ότι η f είναι της ίδιας τάξης μεγέϑους με την g ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J ϰαϑώς ε 0. 2. Ασυμπτωτιϰές Προσεγγίσεις ΟΡΙΣΜΟΣ Β 1. Εστω συνήϑης διαφοριϰή εξίσωση η οποία εξαρτάται από ασυμπτωτιϰή παράμετρο ε I F (x, y, y, y ; ε) = 0. Ονομάζουμε υπόλοιπο της διαφοριϰής εξίσωσης ως προς συνάρτηση f C (2,0) (J I, R) τη συνάρτηση R(f)(x; ε) := F (x, f(x; ε), f (x; ε), f (x; ε); ε) όπου ο τόνος υποδηλώνει διαφόριση ως προς x. Είναι φανερό ότι αν y λύση της διαφοριϰής εξίσωσης, τότε R(y)(x; ε) = 0. Το υπόλοιπο, R, της διαφοριϰής εξίσωσης ως προς διπλά διαφορίσιμη συνάρτηση, ϑεωρείται μέτρο του πόσο «ϰαλά προσεγγιστιϰά» την ιϰανοποιεί. ΟΡΙΣΜΟΣ Β 2. Ονομάζουμε τη συνάρτηση f a C (2,0) (J I, R) ϰατά σημείο (ομοιόμορφη) ασυμπτωτιϰή λύση της διαφοριϰής εξίσωσης στο J ϰαϑώς ε 0, αν ϰαι μόνο αν ϰατά σημείο (ομοιόμορφα) στο J. R(f a )(x; ε) 0, ε 0 3. Η Εννοια της Ασυμπωτιϰής Σειράς ΟΡΙΣΜΟΣ Γ 1. Λέμε ότι η αϰολουϑία συναρτήσεων {ϕ k } k N0, με ϕ k : I R για k N 0, οι οποίες παίρνουν μη μηδενιϰές τιμές σε (ενδεχόμενα τρύπια ή ϰαι πλευριϰή) γειτονιά του 0, είναι ασυμπτωτιϰή ( ) αϰολουϑία ϰαϑώς ε 0, αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε k N 0 έχουμε ϕ k+1 (ε) = o ϕ k (ε) ϰαϑώς ε 0. ΟΡΙΣΜΟΣ Γ 2. Λέμε ότι η συνάρτηση f : I R είναι ασυμπτωτιϰή στη σειρά a k ϕ k, ϰαι γράφουμε f(ε) a k ϕ k (ε), ε 0 ή ότι η παραπάνω σειρά είναι ασυμπτωτιϰή σειρά ή ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα της f ϰαϑώς ε 0, αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε n N 0 έχουμε f(ε) ( ) a k ϕ k (ε) = o ϕ n (ε), ε 0 ή ισοδύναμα f(ε) a k ϕ k (ε) a m ϕ m (ε), ε 0
όπου m N τέτοιο ώστε το a m είναι ο πρώτος μη μηδενιϰός όρος της αϰολουϑίας για m > n. Η σειρά a k ϕ k λέγεται ασυμπτωτιϰή σειρά της f ϰαϑώς ε 0. ΘΕΩΡΗΜΑ Γ 1. Για ϰάϑε δοσμένη πραγματιϰή αϰολουϑία {a k } k N0 υπάρχει συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε f(ε) a k ε k, ε 0. Γενιϰεύουμε τα παραπάνω, ώστε να είναι εφαρμόσιμα σε προβλήματα διαφοριϰών εξισώσεων. ΟΡΙΣΜΟΣ Γ 3. Λέμε ότι η αϰολουϑία συναρτήσεων {ϕ k } k N0, με ϕ k : I R για k N 0, οι οποίες παίρνουν μη μηδενιϰές τιμές σε (τρύπια ή ϰαι πλευριϰή) γειτονιά της ευϑείας J {0} R 2, είναι ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία στο J ϰαϑώς ε 0, αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε k N 0 έχουμε ( ) ϕ k+1 (x; ε) = o ϕ k (x; ε), ε 0 στο J. ΟΡΙΣΜΟΣ Γ 4. Εστω συνάρτηση f : J I R ϰαι ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία συναρτήσεων {ϕ k } k N0, όπως παραπάνω, ϰαι πραγματιϰή αϰολουϑία μη μηδενιϰών τιμών, {a k } k N0. Λέμε ότι η f είναι ασυμπτωτιϰή στη σειρά a k ϕ k στο J ϰαϑώς ε 0, ϰαι γράφουμε f(x; ε) a k ϕ k (x; ε), ε 0 ή ότι η παραπάνω σειρά είναι ασυμπτωτιϰή σειρά ή ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα της f στο J ϰαϑώς ε 0, αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε n N 0 έχουμε στο J, ή ισοδύναμα f(x; ε) f(x; ε) ( ) a k ϕ k (x; ε) = o ϕ n (x; ε), ε 0 a k ϕ k (x; ε) a m ϕ m (x; ε), ε 0 στο J, όπου m N τέτοιο ώστε a m είναι ο πρώτος μη μηδενιϰός όρος της αϰολουϑίας για m > n. Η σειρά a k ϕ k λέγεται ασυμπτωτιϰή σειρά της f στο J ϰαϑώς ε 0. ΘΕΩΡΗΜΑ Γ 3. Εστω f, g : I R ϰαι πραγματιϰές αϰολουϑίες {a k } k N0 όπως παραπάνω, ϰαι έστω ότι η f επιδέχεται το ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα f(ε) a k ε k, ε 0 ϰαι, αντίστοιχα, η g g(ε) b k ε k, ε 0. ϰαι {b k } k N0
Τότε, ισχύουν τα παραϰάτω: Μοναδιϰότητα. Δοσμένη συνάρτηση f επιδέχεται μοναδιϰό ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα σε δυνάμεις του ε, δηλαδή, ως προς την ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία {1, ε, ε 2,...}, δηλαδή οι συντελεστές {a k } προσδιορίζονται μοναδιϰά, ως εξής: Αλγεβριϰές Πράξεις. Αν α, β R, τότε f(ε) n 1 a n = lim a kε k, n N ε 0 ε n 0. αf(ε) + βg(ε) (αa k + βb k )ε k, ε 0 f(ε)g(ε) όπου c k = k l=0 a lb k l για k N 0 ϰαι c k ε k, ε 0 f(ε) g(ε) d k ε k, ε 0 όπου d k = a k k 1 l=0 d lb k l b 0 για k N, όπου d 0 = a 0 /b 0, με b 0 0. Ολοϰλήρωση ως προς Ασυμπτωτιϰή Παράμετρο. Αν η f είναι ολοϰληρώσιμη σε γειτονιά του 0, τότε ε 0 f(η) dη a k k + 1 εk+1, ε 0. Διαφόριση ως προς Ασυμπτωτιϰή Παράμετρο. Αν η f είναι διαφορίσιμη ϰαι τοπιϰά ολοϰληρώσιμη σε γειτονιά του 0, τότε f (ε) ka k ε k 1, ε 0. Γενιϰά δεν επιτρέπεται η ϰατά όρο διαφόριση ασυμπτωτιϰών σειρών. ΘΕΩΡΗΜΑ Γ 3. Εστω f : J I R ϰαι πραγματιϰή αϰολουϑία συναρτήσεων {a k } k N0, με a k : J R για ϰάϑε k N 0, ϰαι έστω ότι η f επιδέχεται το ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα f(x; ε) a k (x)ε k, ε 0 στο J. Τότε, ισχύουν τα παραϰάτω: Ολοϰλήρωση ως προς Μεταβλητή. Αν οι a k είναι τοπιϰά ολοϰληρώσιμες στο J για ϰάϑε k N 0, τότε για E J E f(x; ε) dx ( E ) a k (x) dx ε k, ε 0.
Διαφόριση ως προς Μεταβλητή. Αν η f ϰαι οι a k είναι διαφορίσιμες στο J για ϰάϑε k N 0, ϰαι η a k είναι τοπιϰά ολοϰληρώσιμες στο J για ϰάϑε k N 0, τότε η f επιδέχεται το ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα στο J. f (x; ε) a k(x)ε k, ε 0 ΣΧΟΛΙΑ: Ο ορισμός της ασυμπτωτιϰής σειράς δεν υποϑέτει ότι αυτή συγϰλίνει. Επίσης, όπως ϰάϑε ασυμπτωτιϰή σειρά δεν είναι απαραίτητα συγϰλίνουσα, έτσι ϰαι ϰάϑε συγϰλίνουσα σειρά δεν είναι απαραίτητα ασυμπτωτιϰή. Για την ασυμπτωτιϰή σειρά f(ε) a k ϕ k (ε) ϰαϑώς ε 0, το μεριϰό άϑροισμα s n (ε) := n a kϕ k (ε) για ϰάϑε n N 0 (στην πράξη αϰόμα ϰαι σχετιϰά μιϰρό), αποτελεί ασυμπτωτιϰή προσέγγιση της τιμής f(ε) ϰαϑώς ε 0, ϰαι όχι το όριο lim n + s n (ε), το οποίο δεν υποϑέτουμε ότι υπάρχει. Κάϑε δοσμένη συνάρτηση f δεν επιδέχεται απαραίτητα ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα σε δοσμένο σημείο ως προς οποιαδήποτε ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία. Για παράδειγμα, η f(x) = 1 x δεν επιδέχεται ασυμπτωτιϰού αναπτύγματος ως προς την ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία που ορίζεται από την x k ϰαϑώς x 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Διερευνήστε τη σύγϰλιση των παραϰάτω συναρτήσεων f : R ]0, + [ ϰαϑώς ε 0 +. Α 1. f(x; ε) = εx. Α 2. f(x; ε) = ε 2 cos x. Α 3. f(x; ε) = x ε. Α 4. f(x; ε) = εe εx2. Α 5. f(x; ε) = e x/ε. Β. Δείξτε ότι οι παραϰάτω αποτελούν ασυμπτωτιϰές αϰολουϑίες. Β 1. {ε 1/2, ε 1, ε 2,...} ϰαϑώς ε 0 +. Β 2. {(log λ) 1, (log λ) 2, (log λ) 3,...} ϰαϑώς λ +. Β 3. {1, λ 1, λ 2,...} ϰαϑώς λ +. Γ. Η συνάρτηση f : J R λέγεται πραγματιϰή αναλυτιϰή στο J αν ϰαι μόνο αν για ϰάϑε εσωτεριϰό x 0 J υπάρχει γειτονιά του U I ϰαι συγϰλίνουσα δυναμοσειρά a k (x x 0 ) k ώστε για x U f(x) = a k (x x 0 ) k. Συνάρτηση που είναι πραγματιϰή αναλυτιϰή στο R λέγεται απλά πραγματιϰή αναλυτιϰή. Δείξτε ότι για πραγματιϰή αναλυτιϰή συνάρτηση f, για ϰάϑε n N 0 ισχύει f(x) f (k) (x 0 ) ) (x x 0 ) k = o ((x x 0 ) n, x x 0 k!
το οποίο ισοδυναμεί με το ότι η σειρά Taylor πραγματιϰής αναλυτιϰής συνάρτησης σε σημείο x 0 είναι ασυμπττωτιϰή δυναμοσειρά της συνάρτησης ϰαϑώς x x 0 f(x) f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x x 0. k! Δ. Η συνάρτηση εϰϑετιϰού ολοϰληρώματος ορίζεται από την ολοϰληρωτιϰή αναπαράσταση, για x > 0, Ei(x) := + x Με n διαδοχιϰές ολοϰληρώσεις ϰατά παράγοντες, το παραπάνω ολοϰλήρωμα δίνει μεριϰό άϑροισμα ϰαι υπόλοιπο, Ei(x) = s n (x) + r n (x), όπου e t t dt. ( 1 s n (x) := e x x 1 x + 2! 2 x +... + ( 1)n+1 (n 1)! ) = e x 3 x n r n (x) := ( 1) n n! + x e t dt. tn+1 ( 1) k+1 (k 1)! x k Δ 1. Δείξτε ότι Ei(x) e x ( 1) k+1 (k 1)! ϰαϑώς x +. x k Δ 2. Δείξτε ότι η παραπάνω ασυμπτωτιϰή σειρά δε συγϰλίνει πουϑενά. Δ 3. Δείξτε ότι r n (x) < n!e x, ϰαι άρα ότι για δοσμένο n N x n+1 0 έχουμε r n (x) 0 ϰαϑώς x +, ενώ, για δοσμένο x > 0 έχουμε r n (x) + ϰαϑώς n +. Δ 4. Υπολογίστε το σχετιϰό σφάλμα της προσέγγισης του Ei(10) = 0.0000041570... με το s 2 (10). Ε. Η συνάρτηση σφάλματος, που ορίζεται από την ολοϰληρωτιϰή αναπαράσταση, για x R, erf(x) := 2 π x e t2 dt επιδέχεται ανάπτυγμα Taylor στο 0, για x R, 0 όπως ϰαι ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα erf(x) = 2x ( 1) k π k!(2k + 1) x2k erf(x) 1 e x2 π ( 1) k (2k 1)!! 2 k x 2k+1, x + όπου k!! το γινόμενο των άρτιων φυσιϰών μιϰρότερων ή ίσων του k, αν k άρτιος, ή το γινόμενο των περιττών φυσιϰών μιϰρότερων ή ίσων του k, αν k περιττός, με ( 1)!! := 1 ϰαι 0!! := 1.
Ε 1. Δείξτε ότι η ασυμπτωτιϰή σειρά στο δεξί μέλος της παραπάνω ασυμπτωτιϰής σχέσης, (2k 1)!! ( 2) k x 2k 1 = 1 x 1 2x 3 + 3 4x 5 15 8x 7 +... δε συγϰλίνει πουϑενά, χρησιμοποιώντας το ϰριτήριο λόγου ή άλλο ϰριτήριο σύγϰλισης. Ε 2. Δείξτε ότι η ϕ k (x) = (2k 1)!! x 2k 1 ορίζει ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία ϰαϑώς x +. ( 2) k Ε 3. Δίνεται ότι erf( 2π) = 0.9996072494... Η προσέγγιση της τιμής erf( 2π) από την τιμή του πολυωνύμου Taylor 21 oυ βαϑμού έχει σχετιϰό σφάλμα μόλις μεγαλύτερο από 0.0004%. Υπολογίστε το σχετιϰό σφάλμα της προσέγγισης της τιμής erf( 2π) με την τιμή που προϰύπτει ϰρατώντας το μεριϰό άϑροισμα των δυο πρώτων όρων της ασυμπτωτιϰής σειράς στο ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα. ΣΤ. Εστω ϕ k (x) := (log x) k για k N, όπου x ]0, + [. ΣΤ 1. Δείξτε ότι η {ϕ k } k N είναι ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία ϰαϑώς x +. ΣΤ 2. Δείξτε ότι ΣΤ 3. Δείξτε ότι sin x x sin x x k! e (k+1)x/2k (log x) k, x +. ( 1) k 2k + 1 x2k, x 0. Ζ. Θεωρείστε τη συνάρτηση f(x) = (x 1) 1 για x R\{1}. Ζ 1. Δείξτε ότι, για x < 1, η f(x) ταυτίζεται με τη γεωμετριϰή σειρά f(x) = 1 + x + x 2 + x 3 +... = x k. Ζ 2. Δείξτε ότι η γεωμετριϰή σειρά συγϰλίνει για x < 1 ϰαι αποϰλίνει για x 1. Ζ 3. Δείξτε ότι f(x) xk ϰαϑώς x 0. Ζ 4. Ξεϰινώντας από το ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα 1 x 1 δείξτε ότι 1 x 1 (x + 1) 1, x +. x2k 1 x k ϰαϑώς x +, Ζ 5. Παραπάνω προσδιορίζεται η ασυμπτωτιϰή σειρά της f ως προς την ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία {x k } k N ϰαι {x 2k } k N ϰαϑώς x +. Προσδιορίστε την ασυπτωτιϰή σειρά της f ως προς την ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία {( 1) k x 3k } k N ϰαϑώς x +. Η. Εστω ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία {ϕ k } k N0 ϰαϑώς ε 0. Μια συνάρτηση ψ : I R για την οποία ισχύει ότι ψ(ε) = o(ϕ k (ε)), ε 0 για ϰάϑε k N 0, ονομάζεται υπερβατιϰά αμελητέα ως προς την ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία {ϕ k }.
Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f(ε) = 1 1 ε ϰαι g(ε) = 1 1 ε + e 1/ε στο ]0, + [ έχουν ϰοινό ασυμπτωτιϰό ανάπτυγμα ως προς την ασυμπτωτιϰή αϰολουϑία που ορίζεται από την ϕ k (ε) = ε k ϰαϑώς ε 0 +. Θ. Εστω πτώση σώματος από δοσμένο ύψος από το έδαφος, αρχιϰά αϰίνητο. Θεωρούμε το βάρος του σταϑερό ϰαι την τριβή του αέρα ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας πτώσης. Εστω m η μάζα του, l το αρχιϰό ύψος, g η επιτάχυνση της βαρύτητας ϰαι k ο συντελεστής τριβής του αέρα. Θεωρούμε ως αρχιϰή χρονιϰή στιγμή τη στιγμή ϰατά την οποία αφήνεται το σώμα σε πτώση. Θ 1. Ο 2ος νόμος του Newton που περιγράφει την πτώση διατυπώνεται ως διαφοριϰή εξίσωση για την ταχύτητα, για t > 0, m dv dt = mg kv2 η οποία συνοδεύεται από την αρχιϰή συνϑήϰη v(0) = 0. Θ 2. Αδιαστατοποιήστε το παραπάνω πρόβλημα αρχιϰών τιμών, αναϰλιμαϰώνοντας με τις χαραϰτηριστιϰές σταϑερές {v 0, t 0 }, απροσδιόριστες, προς το παρόν. Διατυπώστε το πρόβλημα, δηλαδή, ως προς τη νέα ανεξάρτητη μεταβλητή, τον αδιάστατο χρόνο τ := t/t 0, ϰαι τη νέα εξαρτημένη μεταβλητή, την αδιάστατη ταχύτητα u(τ) := v0 1 v(t 0 τ), δείχνοντας ότι du dτ + kv 0t 0 m u2 = gt 0 v 0 με u(0) = 0, όπου οι συντελεστές kv 0t 0 ϰαι gt 0 m v 0 είναι αδιάστατοι. Θ 3. Η υπόϑεση ότι ϰαμία από τις δυο δυνάμεις που επιδρούν στην πτώση δεν ϰυριαρχεί πάνω στην άλλη, ανταναϰλάται ποσοτιϰά στο ότι ο αδιάστατος συνδυασμός kv 0 t 0 /m δε μπορεί να είναι απόλυτα μιϰρός ή μεγάλος, ϰαι άρα επιλέγεται ως σταϑερός. Επιλέγουμε ως χαραϰτηριστιϰή ϰλίμαϰα ταχύτητας την οριαϰή ταχύτητα στην οποία εξισώνεται ασυμπτωτιϰά η τριβή με το βάρος, v 0 = mg, ϰαι χαραϰτηριστιϰή χρονιϰή ϰλίμαϰα k το χρονιϰό διάστημα που απαιτείται για να διανύσει το ύψος l, t 0 = v 0 g. Για την επιλογή αυτή, δείξτε ότι το πρόβλημα ανάγεται στο πρόβλημα αρχιϰών τιμών du dτ + u2 = 1 με u(0) = 0. Προσδιορίστε τη λύση του προβλήματος με τη μέϑοδο χωρισμού μεταβλητών. Θ 4. Αν η φύση του προβλήματος επιτάσσει ότι το βάρος ϰυριαρχεί έναντι της τριβής (πχ, πτώση συμπαγούς σώματος πυϰνότητας αρϰετά μεγαλύτερης από εϰείνη του αέρα, όπως ένα βότσαλο), η φυσιϰή υπόϑεση ποσοτιϰοποιείται από την υπόϑεση ότι ο αδιάστατος συνδυασμός kv 0 t 0 /m είναι απολύτως μιϰρός, ϰάτι που μας διευϰολύνει ώστε να διατυπώσουμε το πρόβλημά μας ως διαταραϰτιϰό πρόβλημα. Μπορούμε να επιλέξουμε ως διαταραϰτιϰή παράμετρο την ε := kv 0 t 0 /m 0 +. Αντίστοιχα, αφού ϰυριαρχεί το βάρος έναντι της τριβής, είναι φυσιϰό να επιλέξουμε ως χαραϰτηριστιϰή ϰλίμαϰα ταχύτητας τη μέση ταχύτητα ελεύϑερης πτώσης ϰατά ύψος l, v 0 = 2lg, ϰαι χαραϰτηριστιϰή χρονιϰή ϰλίμαϰα την αντίστοιχη διάρϰεια ελεύϑερης πτώσης, t 0 =. Για την επιλογή αυτή, δείξτε ότι η διαφοριϰή εξίσωση παίρνει τη μορφή 2l g du dτ + εu2 = 1
με u(0) = 0, ενώ η διαταραϰτιϰή παράμετρος γίνεται ε := 2kl/m 0 +. Ο όρος που αντιστοιχεί στην τριβή, εu 2, αποϰτά το περιεχόμενο διαταραχής, ενώ το πρόβλημα της ελεύϑερης πτώσης, που περιγράφεται από την du = 1 με αντίστοιχη αρχιϰή συνϑήϰη, dτ αποϰτά το περιεχόμενο του αδιατάραϰτου προβλήματος. Συνεπώς, με αυτή την επιλογή, επιδιώϰουμε την προσεγγιστιϰή περιγραφή της πτώσης ϰάτω από την επίδραση τριβής (σύνϑετο πρόβλημα) μέσω διαταραϰτιϰών διορϑώσεων στην περιγραφή της ελεύϑερης πτώσης (απλό πρόβλημα). Θ 5. Διατυπώστε το παραπάνω ως πρόβλημα ϰανονιϰών διαταραχών, υποϑέτοντας ότι η λύση του γράφεται ως ασυμπτωτιϰή σειρά u(τ; ε) u k (τ)ε k, ε 0 + συνοδευόμενη από την αρχιϰή συνϑήϰη u(0; ε) = 0. Επαληϑεύστε ότι η αϰριβής λύση του διαταραϰτιϰού προβλήματος είναι, για ϰάϑε ε > 0, 1 u(τ; ε) = ε tanh( ε τ). Θ 6. Προσδιορίστε την ασυμπτωτιϰή λύση δεύτερης τάξης u (2) (τ; ε) = u 0 (τ) + εu 1 (τ) + ε 2 u 2 (τ) προσδιορίζοντας τα αντίστοιχα προβλήματα αρχιϰών τιμών για τη μηδενιϰή, την πρώτη ϰαι τη δεύτερη τάξη. Θ 7. Δείξτε ότι η u (2) είναι ασυμπτωτιϰή λύση του προβλήματος, επαληϑεύοντας ότι R(u (2) )(τ; ε) 0 ϰαϑώς ε 0 +. Διερευνήστε την ομοιομορφία ή μη του ασυμπτωτιϰού χαραϰτήρα της λύσης αυτής για τη χρονιϰή διάρϰεια μέχρι την πρόσϰρουση στο έδαφος. 20/2/2019, Πάνος Καραγιώργος