ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Εαρινό εξάμηνο 8/9
Άσκηση Μόνιμα σφάλματα & ευστάθεια συστημάτων (ΟΜΑΔΑ Α) Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G ( ) : ( )( 5 6) α) Βρείτε το τύπο και την ενίσχυση του συστήματος β) Υπολογίστε το μόνιμο σφάλμα e θέσης r(, ταχύτητας r( t και επιτάχυνσης r( t γ) Με ποια είσοδο α) Τύπος του αντίστοιχου κλειστού συστήματος με το θεώρημα τελικής τιμής Laplace r( β) Μόνιμο σφάλμα Έλεγχος θέσης: r( θα έχει το κλειστό σύστημα μόνιμο σφάλμα και ενίσχυση A 8 6 και R( ), μόνιμο σφάλμα e e, εφόσον τύπος A R( ) ή e lim E( ) lim lim 9 G( ) ( )( 5 6) 6 a Έλεγχος ταχύτητας: r( t και R( ), e, εφόσον τύπος a : e R( ) lim E( ) lim lim G( ) ( )( 5 6) lim ( )( 5 6) Έλεγχος επιτάχυνσης: r( t και ( ) R e, εφόσον τύπος a : R( ) e lim E( ) lim lim lim G( ) ( )( 5 6) γ) Προσδιορισμός εισόδου r ( : ( )( 5 6) Για r ( έχουμε e 9 Αναζητούμε βηματική είσοδο r ( ώστε e ή e 9 Άρα πρέπει r (
Δίνεται σύστημα με χαρακτηριστικό πολυώνυμο Q( ) ( )( )( 5) K Προσδιορίστε με το κριτήριο Ruth για ποιες τιμές του K Έχουμε: Q( ) ( )( )( 5) K είναι το σύστημα ευσταθές ή Q( ) 8 K O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: 8 b K K Όπου: b 8 K ( K 8) 8 8 Πρέπει 8 K ή K 8 και K ή K Άρα το σύστημα είναι ευσταθές για K 8
Άσκηση Μόνιμα σφάλματα & ευστάθεια συστημάτων (ΟΜΑΔΑ B) Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ( ) G ( ) ( )( )( 8) α) Βρείτε τον τύπο και την ενίσχυση του συστήματος β) Υπολογίστε το μόνιμο σφάλμα e e θέσης r(, ταχύτητας r( t και επιτάχυνσης r( t θεώρημα τελικής τιμής Laplace του αντίστοιχου κλειστού συστήματος εφαρμόζοντας το γ) Στην περίπτωση του ελέγχου ταχύτητας προσδιορίστε τον κατάλληλο ελεγκτή ώστε το μόνιμο σφάλμα να είναι ίσο με α) Τύπος a β) Μόνιμο σφάλμα Έλεγχος θέσης: r ( και % και ενίσχυση A 67 8 R( ), μόνιμο σφάλμα e, εφόσον τύπος a R( ) ή e lim lim G( ) ( ) ( )( )( 8) Έλεγχος ταχύτητας: ή e r( t και R( ), e 6, εφόσον τύπος a A 67 R( ) lim lim G( ) ( ) ( )( )( 8) Έλεγχος επιτάχυνσης: r( t και R( ), e, εφόσον τύπος a ή e R( ) lim lim G( ) γ) Προσδιορισμός ελεγκτή ( ) ( )( )( 8) C() Με ελεγκτή αναλογίας C( ) K το σύστημα γίνεται p K p ( ) C( ) G( ), ( )( )( 8) οπότε K p K p! A και e, άρα K p 8 A K p
Δίνεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο Q ( ) K Προσδιορίστε με το κριτήριο Ruth για ποιες τιμές του K είναι το σύστημα ευσταθές O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: c a b K a K με a ( 8) 5, a ( K) K, b (K 5) (K ) για 5 5 c K για K K 75 Άρα το σύστημα είναι ευσταθές για K 75 5
Άσκηση Τόπος ριζών & Σύνθεση με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών (ΟΜΑΔΑ Α) Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G ( ) ( ) α) Σχεδιάστε τον τόπο ριζών β) Βρείτε ελεγκτή PD με συνάρτηση μεταφοράς C( ) K( ) ώστε το κλειστό σύστημα ελέγχου να έχει επιθυμητούς πόλους p j, α) Γενικά το σύστημα έχει: n πόλους: p, και m ρίζες Έχουμε n m p p άρα δύο ασύμπτωτες: και 8 n m ( ) 9 & 7 Σημεία τομής με το φανταστικό άξονα δεν υπάρχουν β) Προσδιορισμός ελεγκτή PD C( ) K( ) Επιθυμητοί πόλοι: p j, 6
Υπολογισμός της ρίζας με το κριτήριο γωνιών: p 8 p είναι άρα 8 tan p p 7 8 5 tan tan 5 8 9, Υπολογισμός του K με το κριτήριο μέτρων: K p p 5 5 9 Εφόσον p p 5, 9 9, άρα C ( ) K( ) ( 9) (ελεγκτής PD) 7
Άσκηση Τόπος ριζών & Σύνθεση με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών (ΟΜΑΔΑ B) Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G ( ) ( ) α) Σχεδιάστε τον τόπο ριζών β) Βρείτε ελεγκτή PD με συνάρτηση μεταφοράς C( ) K( ) ώστε το κλειστό σύστημα ελέγχου να έχει επιθυμητούς πόλους p j, α) Γενικά το σύστημα έχει: n πόλους: p, και m ρίζες Έχουμε n m p p άρα δύο ασύμπτωτες: και 8 n m ( ) 9 & 7 Σημεία τομής με το φανταστικό άξονα δεν υπάρχουν β) Προσδιορισμός ελεγκτή PD C( ) K( ) Επιθυμητοί πόλοι: p j, 8
Υπολογισμός της ρίζας με το κριτήριο γωνιών: p 8 p είναι άρα 8 tan p p 8 8 68 tan tan 68 7 p p 6 6 Υπολογισμός του K με το κριτήριο μέτρων: K Εφόσον p p 6,, άρα C ( ) K( ) ( ) (ελεγκτής PD), 9
Άσκηση Αρμονικά διαγράμματα Nyquit (ΟΜΑΔΑ Α & B) Δίνεται σύστημα: G ( ) ( ) Σχεδιάστε το διάγραμμα Nyquit Έχουμε άρα και G( j) n, m και τύπος a 9 ( ), a ( n m) 6 ( ) [( m n) ( m n ) ( m a n j( j ) ( ) ( ) j(6 8) (8 6 ), a )] [( ) ( )] j( j 6 j 8) ( ) Οπότε Re G ( j) και ( ) (8 6 ) Im G ( j) ( ) 6 8 (8 6 ) j(8 6 ) για : Re G ( j) 875 (ασύμπτωτος) και ImG ( j) 6 για : Re G, και ImG Τομή με πραγματικό άξονα: 8 Im G για, άρα 5 6 Για ( ) 5 είναι: x Re G( ) 7 ( ) Τομή με φανταστικό άξονα: Re G για, άρα 6 Για 6 8 6 είναι: y ImG( ) 5 6(8 6 )
Διάγραμμα Nyquit: Περιθώριο μέτρου: M, x 7 και οριακό κέρδος: K M
Άσκηση Εξισώσεις στο Χώρο κατάστασης & λύση (ΟΜΑΔΑ Α & Β) 6 Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G ( ) 5 6 α) Γράψτε τις εξισώσεις Β κανονικής μορφής (Oberver Cannical Frm) του συστήματος β) Υπολογίστε τον πίνακα μετάβασης ( του ομογενούς συστήματος (για u( ), είτε με τη μέθοδο Laplace είτε με τη μέθοδο των ιδιοτιμών, και υπολογίστε τις μεταβλητές κατάστασης x( με αρχική συνθήκη x Σχεδιάστε τις χρονικές αποκρίσεις x ( t ), x ( t ) και την τροχιά κατάστασης ( x, x ) 6 6 α) x( x( u( 5 A B και y( x( C ή x 6x 6u( ( x ( x 5x u( y( x 6 Ομογενές σύστημα: x( A x( x( 5 με αρχική συνθήκη x β) x( με τη μέθοδο Laplace ( ) ( I A) 6 5 5 6 με ( 5) 6 5 6 ( )( ) 5 ( )( ) ( ) ( )( ) 6 ( )( ) ( )( ) 6 6, οπότε: t t t t t e e 6e 6e ( ) t t t t e e e e t t x ( e e Η λύση: x( ( x για x είναι: x( t t x ( e e
Εύρεση του πίνακα μετάβασης ( με τη μέθοδο των ιδιοτιμών Οι ιδιοτιμές προκύπτουν από τη σχέση: 6 ( ) det( I A) ( 5) 6 5 6, 5 άρα Ιδιοδιανύσματα: και 6 Πρέπει: ( I A) ή 5 δηλαδή 6 και 5) ( Επιλέγουμε μία από τις δύο εξισώσεις Έστω την πρώτη Για : 6, θέτοντας έχουμε και Για : 6, θέτοντας έχουμε και Άρα ο πίνακας μετασχηματισμού είναι: M και ο αντίστροφος: M όπου 6 και M 6 6 Ο πίνακας μετάβασης είναι: t t t t t t e 6 e e 6e 6e ( ) M ( M t t t t t e 6 e e e e και η λύση είναι αντίστοιχη με τη μέθοδο Laplace γ) Οι χρονικές αποκρίσεις και η τροχιά κατάστασης είναι: x t t ( e e με x ( t t e e με () x () και x ( ) x και x ( )
Μέγιστο ή ελάχιστο: dx dt t t όταν 6e e ή οπότε t ln 5 69 και: m 6 e, t t 6e t e ή 5 69 69 x m e e 5 (ελάχιστο) και 69 69 x e e Επίσης t t x ( όταν e e ή e t e, t t e ή 75 οπότε t ln 75 9 και 9 9 x e e 8