Oddelek za fiziko Seminar 4 Akustika flavte Mihael Gojkošek Astronomsko-geofizikalna smer Mentor: dr. Daniel Svenšek 22. maj 2009
Kazalo 1 Povzetek 2 2 Kratka zgodovina razvoja flavte 3 3 Kaj se pravzaprav zgodi, ko pihnemo v flavto? 4 4 Akustična impedanca 8 5 Iztočni popravek 10 6 Alikvotni toni in prepihovanje 13 7 Odrezane frekvence 16 8 Frekvenčni odziv flavte 17 9 Literatura 19 Slike 1 Flavta iz Divje babe....................... 3 2 Sestavni deli flavte........................ 5 3 Prerez flavte pri ustniku..................... 5 4 Stoječe valovanje v cevi...................... 6 5 Višji harmonski toni....................... 7 6 Tonske in registrske luknje.................... 8 7 Akustična impedanca flavte in klarineta............ 10 8 Zamašek s krono......................... 12 9 Končni popravek pri zamašku.................. 13 10 Alikvotni toni........................... 14 11 Frekvenčna analiza zvena note C1................ 15 12 Prepihovanje v različne alikvote................. 15 13 Odrezane frekvence........................ 16 14 Akustična impedanca za tona A1 in C1............. 17 15 Frekvenčni odziv flavte na tonu C#2.............. 18 1
1 Povzetek Flavta je eno najstarejših glasbil. Skozi stoletja se je glasbilo izpopolnjevalo in z Böhmovo revolucijo v razvoju doseglo stopnjo, na kateri je še danes. Preko preprostega modela stoječega valovanja v odprti cevi lahko razumemo osnovne principe akustike flavte 1. Če pa želimo rezultate numerično podkrepiti, moramo upoštevati še vrsto popravkov, s katerimi dopolnimo naš enostaven model. Preko iztočnih popravkov na zgornjem in spodnjem delu flavte, križanja prstov in odrezanih frekvenc veliko lažje razumemo frekvenčni odziv akustične impedance flavte. Seveda pa ne moremo mimo alikvotnih tonov in prepihovanja, ki je zanimivo tako iz fizikalnega kot tudi iz glasbenega stališča. 1 V svojem seminarju se bom posvetil predvsem obravnavi akustike prečne flavte, zato naj bralca opomnim, da se beseda flavta povsod nanaša na prečno flavto. 2
2 Kratka zgodovina razvoja flavte Začetki glasbe segajo daleč v zgodovino. Flavti podobno glasbilo so poznali že neandertalci. Preprosta piščal, ki so jo našli v jami Divje babe blizu Idrije, velja za najstarejši glasbeni instrument; njeno starost ocenjujejo na od 43000 do 82000 let [1]. Piščal je izdelana iz kosti mladega jamskega medveda in ima 4 luknje, ki so poravnane v vrsto in primerno razmaknjene, da bi na glasbilo lahko zaigrali nekaj tonov diatonične lestvice (do, re, mi... ) [2]. Slika 1 prikazuje fotografijo te najdbe. Zapisi o flavtah se pojavljajo tudi v Bibliji in v stari indijski kulturi in mitologiji. Bolj izpopolnjeni instrumenti so bili najdeni na Kitajskem, kjer so našli tudi najstarejša primerka panovih piščali in prečne flavte [3]. V Evropi so panove piščali prvi poznali Grki (7. stol. pr. Kr.), od njih pa se je to glasbilo razširilo po vsej celini. V srednjem veku se je na Irskem pojavilo njihovo tradicionalno glasbilo, tin whistle (v 12. stol.), in kljunasta flavta (v 14. stol.). Prva pisna omemba prečne flavte sega v leto 1285, vendar so takrat to glasbilo poznali le v Franciji in Nemčiji [3]. V 16. stoletju se je flavta začela pojavljati v komornih zasedbah, kjer je običajno nadomeščala tenorski glas, temu pa je sledil hiter razvoj glasbila. Ta razvoj je dosegel vrhunec leta 1871, ko je nemški iznajditelj in glasbenik Theobald Böhm izdal svoje najbolj znano delo Die Flöte und das Flötenspiel ( Flavta in igranje flavte ) [4]. Slika 1: Slika prikazuje koščeno flavto iz jame Divje babe. Na kosti sta lepo vidni dve luknji, tretja in četrta pa sta odprti do roba piščali. Ta arheološka najdba predstavlja najstarejše glasbilo, ki so ga našli do zdaj [1]. 3
Theobald Böhm je celostno prenovil stari model prečne flavte: postopoma je dodajal nove tipke, s pomočjo katerih je flavta postala kromatično glasbilo in s tem veliko bolj vsestranska; določil je optimalno obliko cevi, določil položaj zamaška ter položaj in obliko ustnika; povečal je luknje v cevi, s čemer je dal flavti bolj poln in močen zvok, za zapiranje lukenj pa na flavto dodal tipke; v celoti je razvil kompliciran sistem mehanike, ki flavtistu kar najbolj olajša delo; izračunal je natančne položaje lukenj za različne vrste flavt, da se glasbilo v velikem razponu kljub nekaterim kompromisnim rešitvam čimbolj natančno približa temperirani uglasitvi in s tem omogoči igranje v vseh tonalitetah; preučil je različne materiale, njihove prednosti in slabosti pri uporabi za izdelavo flavt (bil je sploh prvi, ki je izdelal srebrno flavto - te so danes daleč najpogostejše). V svoji knjigi je opisal tudi prijeme na flavti za igranje različne not, zgradbo mehanizma, ki skrbi za odpiranje posameznih lukenj, pravilno ravnanje in skrb za glasbilo, tehnike vadenja in druge zanimivosti [4]. Po Böhmovi revoluciji se flavta do danes ni bistveno spreminjala. Tako je to danes glasbilo, ki ga sestavljajo trije deli: - glava, na kateri je ustnik in se na eni strani zaključuje s premičnim zamaškom; - trup, na katerem je 13 lukenj (10 tonskih in 3 registrske) ter večji del mehanizma, ki te luknje s pritiski na tipke zapira in odpira; - noga, na kateri so 3 ali 4 tonske luknje (odvisno ali imamo H- ali C-nogo. Sestavne dele flavte prikazuje slika 2. Boljše flavte so ponavadi srebrne (tudi zlate, platinaste... ), cenejši modeli pa so iz raznih zlitin. Še vedno so kljub nekaterim pomanjkljivostim zelo priljubljene tudi lesene flavte, ki so bile daleč najpogostejše pred Böhmom. 3 Kaj se pravzaprav zgodi, ko pihnemo v flavto? Curek zraka potuje iz naših ustnic preko luknje na ustniku. Hitrost curka je odvisna od zračnega tlaka v ustih, tipično pa se giblje v območju od 20 do 60 metrov na sekundo. Ko curek udari ob režo na drugi strani odprtine, nastane motnja; ta lahko potuje skozi odprtino v notranjost flavte ali ven iz nje. Tako kljub enakomernemu curku, s katerim pihamo, dobimo izmenično spreminjajoč pretok skozi ustnik flavte. Vzrok za tako izmenično odklanjanje je nihanje v cevi, ki je posledica odboja motnje na spodnjem koncu cevi. Če se čas prehoda motnje skozi flavto ujema z obratno vrednostjo frekvence 4
Slika 2: Na sliki lahko vidimo glavne dele flavte (glavo, trup in nogo) razstavljene in sestavljene. Na glavi sta označena še ustnik in krona, pod katero se skriva zamašek, ki sta zraven lukenj najpomembnejša sestavna dela flavte. igrane note, bo zrak izmenično tekel v odprtino in iz nje z ravno pravo fazo, da bo ojačal nihanje v cevi; posledica tega je močan in jasen zvok določene frekvence [5]. Slika 3: Zrak, ki v curku potuje preko ustnika iz flavtistovih ust, se lahko usmeri v flavto ali iz nje [5]. Flavta je odprta na obeh koncih. Očitno je, da je odprta na spodnjem koncu, pri nogi. Če opazujemo nekoga, ki igra flavto, pa lahko opazimo da s svojimi ustnicami prekrije samo del odprtine ustnika, velik del pa ostane odprt za zunanji zrak. Tako si lahko torej v najpreprostejšem primeru predstavljamo flavto kot enakomerno debelo odprto cev. Tak približek je preprost za matematično analizo, kasneje pa bomo ta model dopolnili z raznimi popravki za luknje, končno debelino cevi, zgornji del flavte ipd. Če po cevi dolžine L potuje tlačna motnja (zgoščina molekul zraka), se ta na koncu cevi 5
delno odbije nazaj v cev, delno pa se razširi v prostor. Če motnje ne vzbujamo (na podoben način kot vzbujamo nihalo s frekvenco, približno enako njegovi lastni frekvenci), ta motnja eksponentno zamre. Zato izgube zaradi izsevanja v prostor in izgube na stenah nadomestimo z ojačanjem motnje po vsakem obhodu. Moč, ki jo pri pihanju vložimo v vzbujanje nihanja zračnega stolpca, ravno pokrije prej omenjene izgube. Čas, ki ga motnja potrebuje za svoje potovanje do konca cevi in nazaj, lahko zapišemo kot t 0 = v 2L, (1) kjer v označuje hitrost razširjanja motnje v zraku. Zaradi odboja na odprtem koncu se v cevi pojavi stoječe nihanje. Dejstvo, da je cev odprta, nam določa robne pogoje: zračni tlak mora biti ob robovih približno enak zunanjemu zračnemu tlaku p 0. Akustični tlak, ki je definiran kot variacija tlaka v zraku zaradi zvočnih valov p a = p p 0 [5], mora biti enak nič. Takim točkam rečemo tlačni vozli; ti ležijo približno pri robu cevi (manjši popravek pozicije povzroči tako imenovani iztočni popravek ). Akustični tlak v cevi je lahko različen od nič tam se zato oblikuje hrbet stoječega valovanja. Na sredini cevi je pri osnovnem nihajnem načinu spreminjanje akustičnega tlaka največje. Če opazujemo amplitudo nihanja molekul zraka, je slika ravno obrnjena na robu cevi lahko molekule prosto nihajo ven in noter, zato je tam amplituda nihanja največja. Ravno obratno je na sredini cevi, kjer tlačna razlika molekule enkrat stiska iz obeh strani, drugič jih na enak način vleče narazen. Zaradi simetrije te sile molekule v sredini cevi mirujejo [5]. Graf akustičnega tlaka in odmikov v cevi flavte prikazuje slika 4. Slika 4: Na vrhu slike je označena dolžina cevi. Pri stoječem valovanju se hrbet akustičnega tlaka ujema z vozlom odmika in obratno. Vozli ob koncu cevi so izmaknjeni nekoliko navzven. 6
Kot smo že ugotovili, je osnovni način stoječega valovanja, ki zadošča robnim pogojem, en valovni hrbet v cevi z vozloma pri njenih koncih. V tem primeru je valovna dolžina valovanja dvakratnik dolžine cevi λ = 2L, frekvenca zvoka pa zadošča enačbi ν = c/λ (to formulo lahko izpeljemo tudi iz enačbe (1), če upoštevamo, da je ν = 1/t 0. Ta frekvenca pripada najnižji noti, ki jo glasbilo lahko zaigra. To pa ni edina nota, ki jo lahko zaigra flavta take dolžine; če pihnemo močneje ali pa zmanjšamo režo med ustnicami, povečamo hitrost curku zraka; rezultat je hitrejše potovanje motnje in posledično krajša valovna dolžina, ki ustreza danim robnim pogojem [5]. Takšnim nihajnim načinom pravimo prvi, drugi, tretji... višji harmonski ali alikvotni ton (slika 5). Tem nihajnim načinom se bomo podrobneje posvetili v poglavju o prepihovanju. Slika 5: Pod skico flavte so narisani različni nihajni načini, ki zadoščajo robnim pogojem odprtih koncev cevi. Višji harmonski toni imajo krajšo valovno dolžino in 2-krat, 3-krat... višjo frekvenco kot osnovni ton. Od modela odprte cevi se vrnimo sedaj k flavti, ki ima na svojem trupu luknje. Če torej vse luknje pokrijemo, osnovno stoječe valovanje pripada najnižji frekvenci, ki jo flavta lahko zaigra pri flavti s C-nogo je to ton C1. Nato začnemo postopoma odpirati luknje pri nogi flavte; s tem krajšamo efektivno dolžino cevi (tlačni vozel se nahaja pri tisti odprti luknji, ki je najbližje ustniku) in posledično tudi valovno dolžino stoječega valovanja na tak način igramo vedno višje note [5]. Pri Böhmovi flavti vsaka odprta luknjica pomeni pol tona višjo noto. Tem luknjam pravimo tonske luknje. Poznamo pa še drugo vrsto registrske luknje. Če odpremo registrsko luknjo, se v njeni bližini v flavti ustvari vozel akustičnega tlaka. Recimo, da igramo 7
najnižji ton, C1, in odpremo registrsko luknjo, ki je točno na polovici flavte. Vsi sodi višji harmonični toni vključno z osnovnim tonom bodo izginili, ker imajo na mestu novonastalega vozla sicer hrbte stoječih valov. Nasprotno pa bodo lihi višji harmonični toni komaj čutili spremembo, saj imajo tudi sicer tam akustične vozle stoječega valovanja. Rezultat tega bo, da bo 1. alikvotni ton, C2, zvenel kot osnovni, lihi višji harmonski toni pa kot njegovi alikvoti. V tem primeru registrska luknja zviša ton za eno oktavo, ker je točno na polovici dela cevi, v kateri se pojavi stoječe valovanje. Za krajšo valovno dolžino stoječega valovanja moramo odpreti registrsko luknjo, ki razdeli cev v drugačnem razmerju. Na primer za noto D3 uporabimo registrsko luknjo na približno tretjini efektivne dolžine cevi pri tonu G1. Noto G4 zaigramo s podobnim prijemom, le da odpremo registrsko luknjo na približno četrtini nihajočega zračnega stolpca. Opazimo lahko, da pri odprtju registrske luknje na polovici efektivne dolžine zazveni prvi višji harmonski ton kot osnovni, če jo odpremo na tretjini, zazveni drugi, na četrtini tretji itd. Pri nekaterih notah v tretji oktavi se pri prijemih uporabljajo tonske luknje kot registrske (npr. D# 3) [5]. Tonske in registrske luknje na trupu flavte prikazuje slika 6. Slika 6: Na flavti že po velikosti zlahko ločimo tonske in registrske luknje; registrske luknje so manjše in bližje glavi, tonske pa so večje, vendar lahko včasih tudi te prevzamejo vlogo registrskih lukenj. 4 Akustična impedanca Za natančnejšo fizikalno obravnavo flavte moramo uvesti nov pojem: akustično impedanco. Najpreprosteje jo opišemo kot razmerje akustičnega tlaka (vari- 8
abilni del zračnega tlaka) in zračnega (pre)toka, Z = p vs. (2) Enota za akustično impedanco je P as/m 3, ki ji rečemo tudi akustični Ohm (Ω) [6]. Pri preučevanju glasbil je to razmeroma majhna enota; največkrat uporabljamo enote MP as/m 3. Za opis uporabljamo tudi specifično akustično impedanco, ki je definirana kot razmerje akustičnega tlaka in specifičnega zračnega toka oz. toka na enoto površine [7], z = p v = ZS. (3) Akustična impedanca je frekvenčno odvisna fizikalna količina, ki nam opisuje lastnost posameznega glasbila. Pri flavti jo merimo pri ustniku, saj nam ta količina pove, kako bodo flavtistove ustnice in zračni curek iz njih reagirali s samim glasbilom. Na nek način je to objektivna ocena oz. merljiva lastnost vsakega glasbila posebej različne inštrumente lahko med sabo primerjamo neodvisno od tega, kdo jih bo igral. Sama od sebe se ponudi analogija z električno impedanco. Električni upor je razmerje med napetostjo med dvema točkama prevodnika in tokom, ki teče po njem. Če dovolimo, da je napetost izmenična, pa na tok ne vpliva samo upor prevodnikov, pač pa tudi druge lastnosti vezja, ki jih skupaj opišemo z električno impedanco. Izmenična napetost je v fizikalnem smislu veliko bolj zanimiva, saj je tok skozi vezje odvisen od frekvence, s katero spreminjamo napetost. Seveda ima tudi ta analogija svoje omejitve ker je zrak stisljiv, pri opisu z akustično impedanco ne moremo uporabiti Kirchoffovega zakona o ohranitvi tokov [6]. Podobno kot pri električni impedanci moramo tudi pri akustični dopustiti, da akustični tlak in tok zraka ne nihata sočasno. Za to uporabljamo zapis s kompleksnimi števili realna komponenta predstavlja del toka, ki niha v fazi, z imaginarno komponento pa opišemo nihanje, ki ni v fazi z nihanjem akustičnega tlaka. Akustična impedanca se zelo razgibana funkcija frekvence pihala so namreč zgrajena tako, da pri določenem prijemu ojačajo stoječe valovanje samo določenih frekvenc. Pri flavti pihamo skozi ustnik, ki je odprtina med zrakom v flavti in zunanjim zrakom; akustični tlak je zato majhen. Curek, ki ga pihamo iz ust, potuje na rob ustnika nihanje zračnega toka v flavti poskrbi, da se curek usmeri v flavto ali iz nje. Ker imamo majhen akustični tlak in možnost velikega zračnega pretoka, lahko rečemo, da flavta igra pri minimalni akustični impedanci. Večina drugih pihal ima jezičke tam je situacija ravno obratna: zračni tok je majhen, akustični tlak pa velik. Klarinet, oboa in saksofon igrajo pri maksimalni akustični impedanci [6]. Najlažje se to vidi po sami obliki pihala; flavta je cev odprta na obeh straneh, 9
glasbila z jezički pa so polodprte cevi - zaprt konec cevi predtavlja veliko akustično impedanco (slika 7). Več podrobnosti o akustični impedanci flavte je v poglavju frekvenčni odziv flavte. Slika 7: Na grafu sta narisani akustični impedanci flavte in klarineta. Klarinet je polodprta cev, zato igra pri maksimalni vhodni impedanci, flavta pa pri minimalni [6]. 5 Iztočni popravek Dopolnimo sedaj naš preprost model flavte z nekaterimi popravki, za katere se je izkazalo, da igrajo pomembno vlogo pri natančni določitvi pozicije lukenj in posledično višine tonov. Kot sem že omenil, vozli akustičnega tlaka pri stoječem nihanju v cevi ne nastanejo točno na robu cevi, pač pa so nekoliko izmaknjeni navzven. Temu pojavu rečemo iztočni popravek (angleško end correction) in igra pomembno vlogo pri vseh cevnih inštrumentih. Sam izraz iztočni popravek sem povzel po viru [10]. Njegova fizikalna obravnava je v splošnem zelo kompleksna, z nekaj poenostavitvami pa lahko pridemo do uporabnega numeričnega rezultata, ki nam pomaga pri načrtovanju glasbila. Izkaže se, da zrak, ki je blizu konca cevi, vibrira skupaj s tistim v cevi to predstavlja dodatno akustično impedanco, ki jo je potrebno upoštevati pri dolžini nihajočega zračnega stolpca. Popravek je v splošnem odvisen od frekvence; za primer prečne flavte, ko je valovna dolžina vedno večja od premera cevi, pa lahko to odvisnost zanemarimo. Akustično impedanco 10
tanke rezine zraka v cevi, ki jo ta predstavlja s svojo maso, lahko opišemo kot dz = iωρ dx S, (4) kjer je ω krožna frekvenca, ρ gostota zraka, S pa prečni presek cevi. Ko motnja pripotuje do roba cevi, mora zanihati tudi zrak, ki je zunaj flavte. Ta ima določeno maso in zato tudi svojo impedanco. Približno jo lahko ocenimo z integriranjem polkrožnih rezin s polmerom r po polprostoru, v katerega je flavta odprta: iωρdr Z = R 2πr = iωρ 2 2πR, (5) kjer smo integrirali od polmera cevi R do neskončnosti. Rezultat je identičen, kot če bi po enačbi (4) izračunali akustično impedanco zraka v cevi s polmerom R in dolžino R/2. Po tem izračunu torej zrak zunaj cevi vpliva na stoječe valovanje tako, kot bi bila flavta za R/2 daljša od svoje prave dolžine. Račun je nekoliko nenatančen, saj smo z integracijo začeli šele pri polmeru cevi, zraka čisto pri koncu flavte pa nismo upoštevali. Prava pozicija vozlov je za 61 % polmera izmaknjena iz cevi. Notranji polmer prečne flavte je 19 milimetrov, torej je končni popravek L = 0.61 19 = 11, 6 milimetra. Z upoštevanjem popravkov dobimo efektivno dolžino piščali, ki ustreza frekvenci tona, ki ga flavtist igra. Flavta je odprta na obeh koncih. Vendar pa zgornji račun velja le za popravek dolžine pri nogi; popravek pri ustniku je odvisen od več spremenljivk. Zgornji del flavte ali glava ima na majhnem stolpcu okrog odprtine ustnika nameščeno ploščico, na kateri med igranjem počiva flavtistova spodnja ustnica. Na eni strani se glava nadaljuje v trup, na drugi strani pa cev zapira zamašek, katerega pozicija je nastavljiva. Prostornina tega prostora nad ustnikom, oblika ustnika in notranji profil glave so glavni dejavniki pri uglaševanju in kvaliteti tona; najpomembnejši od teh treh pa je prav prostor nad ustnikom. Napačna postavitev zamaška lahko razglasi spodnja registra flavte tudi za pol tona, gledano relativno drugega na drugega [5]. Zamašek, ki je pritrjen na kroni, prikazuje slika 8. Zrak, zaprt nad ustnikom, se obnaša približno tako kot resonator. Lastna frekvenca njegovega nihanja je nekje okrog 5 khz. Pri nižjih frekvencah se obnaša kot žaporedno vezana akustična impedanca v cevi, vendar njen vpliv z nižanjem frekvence pada. Pravilno postavljen zamašek zato manjša vlogo frekvenčno odvisnih končnih popravkov, hkrati pa v višini omejuje obseg flavte. Če zamašek potisnemo daleč v flavto, lahko sicer povečamo obseg glasbila, vendar pa posledično tudi močno razglasimo oktave. Akustično impedanco ustnika lahko podobno kot v (4) opišemo z enačbo Z e = iρω l e S e, (6) 11
Slika 8: Na sliki je zamašek, ki je pritrjen na kroni flavte. Skrit je v glavi flavte nad ustnikom. S spreminjanjem njegove lege uravnavamo notranjo uglasitev flavte. kjer je ρ gostota zraka, ω krožna frekvenca, l e in S e pa akustična dolžina in površina ustnika. Slednja dva podatka je mogoče izračunati, vendar sta odvisna od položaja flavtistovih ustnic pri igranju [8]. Impedanco zraka v prostoru nad ustnikom opišemo kot Z c = ρc2 iωv, (7) kjer je V prostornina tega prostora, c pa hitrost zvoka v zraku. Če opišemo karakteristično impedanco cevi flavte s formulo Z 0 = r oc S, (8) kjer je S presek cevi, potem kombinacija akustičnih impedanc Z e in Z c opisuje iztočni popravek pri zgornjem delu flavte. Tega lahko izrazimo kot L = c l ω tan 1 e ωs ( ). [4] (9) cs e 1 l ev ω 2 c 2 S e Obnašanje iztočnega popravka je najbolj odvisno od volumna V in frekvence tona. Frekvenčno odvisnost pri različnih pozicijah zamaška prikazuje graf na sliki 9. Mi si frekvenčne odvisnosti ne želimo, zato je idealna pozicija zamaška približno 17 milimetrov od sredine ustnika pri taki oddaljenosti je popravek za frekvence do 2000 Hz skoraj konstanten. Končni popravek za zgornji del flavte pri taki legi znaša približno 42 milimetrov (ob normalni postavitvi flavtistovih ustnic) [4]. Če seštejemo oba končna popravka, dobimo rezultat, da je efektivna dolžina piščali dobrih 53 milimetrov daljša od dejanske dolžine. Podobno številko (51,5 mm) v svoji knjigi omenja že Böhm [4]. Najpomembnejša posledica omenjenega spreminjanja položaja zamaška 12
v glavi flavte je tako imenovano notranje uglaševanje. Zunanje uglaševanje pomeni uglasitev enega tona (ponavadi komorni ton A) na neko drugo glasbilo ali na točno določeno frekvenco. Tako uglasitev dosežemo s tem, da glavo flavte nekoliko izvlečemo iz trupa ali jo potisnemo nekoliko globlje [9]. Notranje uglaševanje pa predstavlja spreminjanje samih intervalov med toni. Te spremembe so zelo majhne, očitne pa postanejo pri velikih intervalih, npr. oktavah, kjer mora biti frekvenca višjega tona točno določen večkratnik frekvence spodnjega tona. Če je interval med oktavama prevelik, potem je potrebno zamašek nekoliko izvleči iz cevi, če je premajhen, moramo zamašek potisniti navznoter. Flavta je zato pihalo z najpreprostejšim notranjim uglaševanjem. Slika 9: Na grafu lahko vidimo, da je končni popravek pri nizkih frekvencah neodvisen od položaja zamaška, pri visokih pa se ta popravek kar precej spreminja. Številka nad krivuljo pove, kako daleč od ustnika mora biti zamašek, da dobimo željeno frekvenčno odvisnost. Približno konstantni popravek k dejanski dolžini za vse frekvence dobimo, če zamašek namestimo 17 milimetrov od sredine ustnika [8]. 6 Alikvotni toni in prepihovanje Ko zaigramo noto določene višine, se v cevi flavte pojavi stoječe valovanje, ki na zgornjem in spodnjem robu zadošča robnim pogojem, ki jih narekuje odprta cev (akustični tlak je približno nič). Tem pogojem pa ne zadošča 13
samo nihanje s točno določeno frekvenco, pač pa je takih nihanj cela vrsta. Ponavadi v skico cevi narišemo polovico stoječega vala od enega do drugega odprtega konca cevi; to je osnovna frekvenca. Zraven nje se pojavi še nihanje s pol krajšo valovno dolžino oz. frekvenco, ki je dvakratnik osnovne (ν 1 = 2 ν 0 ), nihanje s trikratno frekvenco (ν 2 = 3 ν 0 ), štirikratno, petkratno itd. Toni, ki zvenijo zraven osnovnega, se imenujejo alikvotni ali višji harmonski toni. Skupaj z osnovnim tonom tvorijo značilen zven glasbila, ki ga včasih imenujemo tudi barva zvoka. Prvih 15 alikvotnih tonov prikazuje slika 10. Slika 10: Na sliki so notirane višine prvih 15 višjih harmonskih tonov ali alikvotov. Razlike v frekvencah alikvotnih tonov so konstantne, frekvenčne razlike poltonov pa rastejo hkrati s frekvenco (ν 0+1/2 ν 0 = ν 0 (2 1/12 1)). Zato imamo pri višjih alikvotih težave z njihovim zapisom v obliki not. Osnovni ton je običajno najglasnejši, zato je tudi najbolj slišen, prisotnost alikvotnih tonov pa je v zvenu ponavadi težko zaznati. Različna zastopanost posameznih alikvotnih tonov nam omogoča, da ločimo zven različnih glasbil, čeprav igrajo vsa isti ton. Zastopanost posameznih višjih harmonskih frekvenc nam razkrije zvenska analiza; napravimo jo s preprosto Fourierovo transformacijo zvena. Seveda zastopanost posameznih alikvotov tudi pri istem glasbilu ni vedno enaka, pač pa je odvisna od višine tona in glasnosti igranja. Za flavto je na primer značilno, da je v nizkih legah pri normalni glasnosti nekaj prvih alikvotnih tonov celo glasnejših kot je osnovni. Kot primer lahko na sliki 11 pogledamo spekter najnižjega tona, ki ga še lahko zaigra moderna flavta s C-nogo to je ton C1. Če igramo na primer ton C1, pri tem obrnemo flavto nekoliko proti sebi in pihnemo močneje, se bo oglasil prvi alikvotni ton - eno oktavo višji C2. Ta pojav imenujemo prepihovanje. Če pihnemo še močneje, lahko flavta prepihuje tudi v višje alikvotne tone. Zanimivo je, da lahko z enako močnim pihanjem igramo različne višje harmonske tone. Ko namreč igramo nek alikvot, bo flavta vztrajala v tem nihajnem načinu, četudi bomo spreminjali tlak v ustih in s tem hitrost curka zraka na ustnik. Če pa želimo, da se oglasi točno 14
Slika 11: Graf prikazuje spekter zvena moderne flavte s C-nogo, ki igra ton C1. Amplituda alikvotov sicer v splošnem res pada s frekvenco, vidimo pa lahko, da je osnovni ton tišji od prvih treh alikvotov. določen alikvot, moramo pihniti z ravno primerno hitrostjo. Tlak v ustih, posledično pa hitrost curka in hitrost širjenja motnje v cevi, je torej odločilni dejavnik, od katerih je odvisno, kateri alikvotni ton se bo oglasil pri prepihovanju. Graf na sliki 12 prikazuje meritve priporočenih in še mogočih tlakov pri prepihovanju orgelske piščali v osnovni in prvih treh višjih harmonskih frekvencah. Slika 12: Z omejenimi črtami je na grafu označeno območje tlakov, pri katerih še lahko poje določen alikovt (ali osnovni ton), s pikico pa je označen priporočen tlak, s katerim moramo pihniti, da se alikvot sploh oglasi. 15
7 Odrezane frekvence Ko na flavti odpremo tonsko luknjo, v tistem delu cevi zračni tlak izenačimo z zunanjim in tako skrajšamo efektivno dolžino cevi. Seveda je tu odločilnega pomena velikost luknje; že Böhm je ugotovil, da morajo biti luknje čimvečje, da dobimo oster, čist in jasen ton. Majhne luknje (na primer registrske) ne ustavijo potovanja valov po cevi, pač pa v svoji bližini le ustvarijo tlačni vozel. Drugače je pri tonskih luknjah: tam se odbije večina nizkofrekvenčnih valov, saj odprta tonska luknja predstavlja neke vrste nizkoimpedančni akustični kratki stik do zunanjega zraka. Zrak okrog luknje ima svojo maso, torej ima tudi svojo impedanco; če hoče zračni val iz cevi potovati skozi luknjo, mora to maso pospešiti. Impedanca zraka v okolice luknje je v primerjavi s steno flavte zanemarljiva, ni pa nična. Z uporabo Newtonovega zakona lahko za preprost primer pospeševanja zraka temu pripišemo impedanco Z = p vs = F v = imω. (10) Vidimo, da impedanca narašča z višanjem frekvence - impedanca zraka v luknji se bliža impedanci stene in luknja ima vse manjši vpliv. Zrak v luknji zato nekoliko odbije val visoke frekvence, saj je luknja na videz bolj zaprta kot za nizkofrekvenčni val. Pri nekoliko višjih frekvencah se del motnje razširi tudi za prvo odprto tonsko luknjo, valovi zelo visokih frekvenc pa potujejo mimo vseh lukenj do konca cevi. Odprte tonske luknje se torej obnašajo kot frekvenčni filter valovi nizkih frekvenc se ustavijo, visokofrekvenčni valovi pa nemoteno potujejo naprej (slika 13). Slika 13: Slika prikazuje dve različni motnji, prvo nizkofrekvenčno, ki se na odprti luknji odbije in potuje nazaj proti glavi, in drugo visokofrekvenčno, ki ne more pospešiti zraka v tonskih luknjah in zato potuje neovirano naprej po cevi. Pri Böhmovi flavti je mejna frekvenca nekaj nad 2 khz. To je najlepše vidno pri spektralni (zvenski) analizi tona A1 (spomnimo se, da flavta igra pri minimalni akustični impedanci). Prve štiri resonance postajajo z naraščajočo frekvenco vedno manj izrazite to je posledica izgub zaradi trenja zraka ob 16
stenah flavte, ki imajo z višanjem frekvence vedno večji pomen. Nad 2 khz pa so resonance občutno šibkejše valovi teh frekvenc potujejo mimo odprtih tonskih lukenj in se delno skozi njih postopoma izsevajo vzdolž flavte. Tudi razmik teh resonanc je nekoliko večji kot je razmik med prvimi resonancami (slika 14, levo). Slika 14: Na grafu je obnašanje akustične impedance v odvisnosti od frekvence. Pri tonu A1 so prvi štirje minimumi ostri in jasni, nad 2 khz pa so minimumi zaradi efekta odrezanih frekvenc veliko bolj zabrisani. Ton C1 igramo s celotno dolžino flavte, zato opisani efekt ne pride do izraza. Minimumi višjih redov zato njihove intenzitete postopoma padajo. Pri najnižji noti, ki jo flavta lahko zaigra (pri C-nogi je to C1, pri H-nogi pa mali h), na cevi ni nobene odprte tonske luknje, zato efekt odrezanih frekvenc ne pride do izraza. Na grafu lahko vidimo enakomerno padanje intenzitete resonanc (slika 14, desno). Če bi bili višji alikvoti dovolj močni, bi posledično najnižji ton imel precej drugačen zven, kot ostali, kjer ima omenjen efekt močnejši vpliv. V tem primeru bi morali konec flavte narediti razširjen v zvon, saj tak zaključek cevi odbija nizke frekvence, prepušča pa visoke. Take oblike sta na primer oboa in klarinet; mejna frekvenca njune zvonaste noge mora biti primerljiva z mejno frekvenco opisanega efekta. 8 Frekvenčni odziv flavte Na koncu poglejmo še obnašanje akustične impedance flavte na širšem frekvenčnem območju. Za ta namen lahko izberemo prijem na flavti s C-nogo, ki ga uporabljamo za igranje not C#2 in C#3. 17
Pod 2 khz je obnašanje akustične impedance pričakovano; podoben odziv ima preprosta cilindrična cev močno ojača osnovno frekvenco in njene mnogokratnike. Nad 2 khz postanejo resonance komaj še zaznavne, saj je v tem območju mejna frekvenca; višje frekvence se na odprtih tonskih luknjah več ne odbijajo. Okrog 5 khz resonance skorajda izginejo to je posledica zraka med ustnikom in zamaškom, ki se obnaša kot resonator s približno tako lastno frekvenco. Če pozorno opazujemo razmik med resonancami, lahko opazimo, da je ta v območju nizkih frekvenc pričakovan okrog 600 Hz, kar ustreza tonu C#2. Pri višjih frekvencah pa se resonance pojavljajo veliko bolj skupaj povprečna razdalja med njimi je okrog 260 Hz. To ustreza tonu C1, ki ga igramo s celotno dolžino flavte. Razlog za to so spet odrezane frekvence valovi v visokofrekvenčnem območju potujejo mimo odprtih tonskih lukenj, saj je impedanca zraka v njih prevelika. Odbijejo se šele na koncu cevi in tako ojačajo nekatere alikvote tona C1. Ker so te frekvence že zelo visoke, na zven nimajo pomembnega vpliva. Na koncu si lahko ogledamo še splošno obliko krivulje, ki ima maksimum nekje pri 9 khz. Tako značilno obliko ji da nizek stolpič okrog ustnika, na katerem je ploščica za ustnice. Zrak v tem stolpiču in v njegovi bližini (zaradi končnega popravka) ima svojo akustično impedanco. Polna črta na grafu prikazuje teoretično obnašanje akustične impedance take izredno kratke in široke cevi. Slika 15: Na sliki lahko vidimo akustično impedanco flavte na širokem frekvenčnem pasu. Lepo so vidni efekti odrezanih frekvenc, dela flavte nad ustnikom kot resonatorja in impedance zraka v stebričku ustnika. 18
9 Literatura [1] Matej Zupan, Bone flute (http://www.matejzupan.com, zajeto 12. maj 2009). [2] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Divje babe flute (http://en.wikipedia.org/wiki/divje Babe, zajeto: 12. maj 2009). [3] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Flute (http://en.wikipedia.org/wiki/flute). [4] T. Bœhm, The flute and flute playing (Dover publications, inc., New York, 1964). [5] J. Wolfe, Flute acoustics: an introduction (http://www.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html, zajeto 12. maj 2009). [6] J. Wolfe, What is acoustic impedance and why is it important? (http://www.phys.unsw.edu.au/jw/z.html, zajeto 12. maj 2009). [7] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Acoustic impedance (http://en.wikipedia.org/wiki/acoustic impedance, zajeto: 12. maj 2009). [8] N. H. Fletcher, T. D. Rossing, The physics of musical instruments (Springer-Verlag, New York, 1998). [9] J. Wolfe, Tuning woodwinds (http://www.phys.unsw.edu.au/jw/tuning.html, zajeto 13. maj 2009). [10] B. Ravnikar, Osnove glasbene akustike in informatike (DZS, Ljubljana, 2001). 19