Kapitola 2 Tepelné žiarenie V tejto kapitole sa budeme venovať tepelnému žiareniu telies, ktoré sa riadi Planckovým vyžarovacím zákonom. Zdrojom tepelného žiarenia je každé teleso, a v menej komplikovanej podobe (pravda tiež menej detailne) ho popisujú Wienov posuvný zákon Stefannov-Boltzmannov zákon. Základným pojmom je absolútne čierne teleso. 2.1 Viditeľné svetlo Viditeľné svetlo je tá časť elektromagnetického žiarenia, ktoré sa skladá z fotónov, ktoré je schopné ľudské oko registrovať. Tieto fotóny charakterizujeme ich vlnovou dĺžkou (alebo menej často ich frekvenciou). Literatúra nie je jednoznačná v tom, že aký interval vlnových dĺžok svetla (teda fotónov, z ktorých sa skladá) tvorí viditeľné svetlo. Táto neistota je daná zrejme tým, že viditeľnosť v značnej miere závisí na subjekte, ktorý posudzuje, či svetlo danej vlnovej dĺžky ešte je viditeľné alebo nie. Dohodneme sa preto na tom, že viditeľné svetlo je svetlo s vlnovou dĺžkou λ z intervalu 360 760 nm. 1 viditeľné svetlo λ = 360 760 nm Denné svetlo ale tiež akékoľvek žiarenie sa skladá z fotónov rôznych vlnových dĺžok. Len vo výnimočnom prípade sa skladajú z fotónov jednej jedinej vlnovej dĺžky (energie) vtedy hovoríme o monochromatickom svetle či (monoenergetickom) žiarení. 1 V literatúre sa uvádza často 380 760 nm, ale tiež 360 700 nm, či 400 700 nm. 27 spektrum monochromatické svetlo
28 Obr. 2.1: Obrázok ukazuje veľmi presné spektrálne rozloženie dúhy, farieb svetla Slnka. Tento rozklad je tak citlivý, že dlhý pás bolo nutné rozrezať a naukladať nad seba. I z obrázku je dobre vidieť, že dúha nie je úplne spojité spektrum, čo má svoje príčiny v tom, že svetlo Slnka prechádza jednak cez hornú atmosféru Slnka a tiež atmosférou Zeme, kde dochádza k absorpcii. Vyššie uvedené spektrum bolo zhotovené v slnečnom observatóriu McMath- Pierce. S poďakovaním (Copyright): National Optical Astronomy Observatory/Association of Universities for Research in Astronomy/National Science Foundation. farba vlnová dĺžka energia fotónu fialová 360 450 nm 3,44 2,76 ev modrá 450 495 nm 2,76 2,50 ev zelená 495 570 nm 2,50 2,18 ev žltá 570 590 nm 2,18 2,10 ev oranžová 590 620 nm 2,10 2,00 ev červená 620 760 nm 2,00 1,65 ev Tabuľka 2.1: Približné rozdelenie farieb dúhy podľa vlnovej dĺžky fotónov, z ktorých sa svetlo skladá. Interval energie fotónov v elektronvoltoch je v poradí hraníc príslušných vlnových dĺžok v predchádzajúcom stĺpci.
29 EM žiarenie vlnová dĺžka energia fotónu γ-žiarenie < 10 pm > 1, 24 MeV tvrdé röntgenove 10 100 pm 124 12, 4 kev mäkké röntgenové 0.1 10 nm 12, 4 0, 124 kev krajné ultrafialové 10 100 nm 124 12, 4 ev blízke ultrafialové 100 360 nm 12, 4 3, 44 ev viditeľné svetlo 360 760 nm 3, 44 1, 65 ev blízke infračervené 760 1000 nm 1, 65 1, 24 ev vzdialené infračervené 1 10 µm 1240 124 mev mikrovlnné 10 1000 µm 124 1,24 mev EKV 1 1000 mm 1240 1,24 µev VKV 1 10 m 1240 124 nev KV 10 100 m 124 12,4 nev SV 100 1000 m 12,4 1,24 nev DV 1 10 km 1240 124 pev VDV 10 100 km 124 12,4 pev EDV > 100 km < 12,4 pev Tabuľka 2.2: Približná charakteristika elektromagnetického žiarenia (fotónov) v celom pásme. Vyznačené hranice sú len orientačné. Použité skratky pre rádiové vlny: EKV - extrémne krátke vlny, VKV - veľmi krátke vlny, KV - krátke vlny, SV - stredné vlny, DV - dlhé vlny, VDV - veľmi dlhé vlny, EDV - extrémne dlhé vlny.
30 teleso dutina otvor Obr. 2.2: Fotón, ktorý vletí cez otvor do dutiny telesa bude veľkou pravdepodobnosťou pohltený. Z tohoto pohľadu otvor telesa sa správa ako absolútne čierne teleso. Napriek tomu z otvoru fotóny vylietavajú, ale tieto fotóny sú v prevážnej miere emitované povrchom dutiny a nie sú to fotóny, ktoré vleteli otvorom dutiny. Spektrálne zloženie a množstvo fotónov, ktoré vyletia otvorom sa riadi zákonom žiarenia absolútne čierneho telesa (Planckov vyžarovací zákon). 2.2 Absolútne čierne teleso Absolútne čierne teleso Teleso, ktoré neodrazí a ani neprepustí žiadne elektromagnetické žiarenie, ktoré na neho dopadne, nazývame absolútne čiernym telesom. Vďaka týmto vlastnostiam sa teleso skutočne javí ako čierne. Technicky prevediteľné absolútne čierne teleso je znázornené na obrázku 2.2. Na tomto obrázku hrá úlohu abslútne čierneho telesa otvor pred dutinou. Vnútrajšok dutiny je komplikovaný, špongiovitý povrch. Z tohoto povrchu je málo pravdepodobné, že fotón sa odrazí naspäť do otvoru priamo. Fotón sa vo vnútri telesa (v dutine) odráža od stien dutiny, pritom pri každom dopade je šanca, že bude absorbované. Príklad 2.1. Majme v telese dutinu v tvare gule s polomerom r = 10 cm a otvor s plochou S otv = 1 mm 2. Odhadnite, aká je pravdepodobnosť, že fotón, ktorý vletí do dutiny cez otvor sa dostane von otvorom bez toho, že by bol vo vnútri dutiny absorbovaný? Povrch dutiny je difúzny, tj. po dopade sa fotón odrazí úplne náhodne, presnejšie: každý smer odrazu je rovnako
31 pravdepodobný. Pravdepodobnosť toho, že fotón je pri jednom dopade na povrch dutiny absorbovaný (a už sa neodrazí) je p = 0.9. Riešenie. Odhad: Plocha dutiny je S = 4 3 πr2 = 4,2 10 4 mm 2, kým plocha otvoru je len S otv = 1 mm 2. Pravdepodobnosť toho, že po prvom dopade sa nepohltí, ale odrazí je q = 1 p = 0.1. Pravdepodobnosť toho, že po odraze nedopadne na plochu dutiny, ale poletí priamo do otvoru, je Q = S otv S = 1 mm 2 4.2 10 4 mm 2 = 2.4 10 5. Pravdepodobnosť, že sa stanú obidve veci súčasne, je q Q = 2.4 10 6, teda veľmi malé číslo. Môže sa to stať samozrejme po dvoch odrazoch, po troch a podobne. Túto pravdepodobnosť môžeme zapísať ako P = qq+q 2 Q+q 3 Q+ = qq(1+q+q 2 + ) = qq 1 1 q = qq p = 2.7 10 6. Presnejší výpočet berie do úvahy aj to, že pokiaľ fotón dopadne na povrch dutiny v blízkosti otvoru, potom priestorový uhol, ktorý vykryje otvor je väčší v dôsledku malej vzdialenosti. Na druhú stranu treba zobrať do úvahy aj sklon, pod ktorým je z daného bodu otvor vidieť. V konečnom dôsledku treba namiesto plochy S otv brať len jeho polovičnú hodnotu, tj. Q = S otv /(2S) a potom výsledná pravdepodobnosť je P = 1.3 10 6. Náš jednoduchý odhad je teda obstojný. 2.3 Wienov posuvný zákon Wienov posuvný zákon určuje vlnovú dĺžku fotónov, na ktorej je intenzita žiarenia absolútne čierneho telesa maximálne. 2 maximálna vlnová dĺžka Vlnovú dĺžku fotónov, na ktorej je intenzita žiarenia absolútne čierneho telesa maximálna, nazývame maximálnou vlnovou dĺžkou a označujeme λ max. 3 2 všetky zákony, ktoré popisujeme predpokladajú, že pri tepelnom žiarení je teleso v tepelnej rovnováhe. Znamená to, že jeho teplota sa nemení. Vo väčšine prípadov je to splnené, energia, ktoré teleso vyžaruje je neustále dopĺňaná zdrojom tepla. V iných prípadoch síce teleso nie je v tepelnej rovnováhe, tepelné zmeny sú však výrazne pomalšie, než relaxačná doba procesov na atomárnej úrovni, preto nami preberané zákony popisujúce tepelné žiarenie sa dajú použiť bez zmien. 3 V žiadnom prípade si nemyslime, že je to maximálna vlnová dĺžka fotónov, ktoré sa v žiarení ešte vyskytujú obrázok 2.3 na strane 34 jasne ilustruje význam definície.
32 schopnosť absorpcie, odrazivosť priechodnosť emisivita emisivita a Wienov zákon hovorí, že maximálna vlnová dĺžka žiarenia absolútne čierneho telesa je nepriamo úmerná jeho termodynamickej teplote T (teplote meranej v kelvinoch), konkrétne λ max = b T, (2.1) kde b = 2, 898 mm K je univerzálna konštanta, nezávislá od materiálového zloženia, tvaru či iných vlastností telesa. Nie všetky telesá sú absolútne čierne to je každodenná skúsenosť. So žiarením, ktoré dopadá na teleso, sa môžu udiať tri veci: môže byť telesom pohltené, absorbované túto schopnosť nazývame absorpčnou schopnosťou telesa, môže byť odrazené túto schopnosť telesa nazývame reflexivita a a môže byť prepustené túto schopnosť telesa nazývame transparentnosť. Tieto tri vlastnosti sa vyjadrujú príslušnými koeficientami a (absorpčná schopnosť), r (reflexivita) a d (priechodnosť.) Všetky tieto veličiny závisia na vlnovej dĺžke svetla, teplote telesa, jeho tvaru kvality povrchu a podobne. Ak na jednotkovú plochu telesa s teplotou T dopadne za jednotku času E energie v podobe monochromatického žiarenia s vlnovou dĺžkou λ, potom z tohoto množstva energie ae bude pohltené, re bude odrazené a de bude prepustené. Platí teda a + r + d = 1. (2.2) Samotné tvrdenie je triviálne a dá sa bez problémov pripustiť, že tieto veličiny sú závislé na vlnovej dĺžke žiarenia i teplote telesa. Schopnosť absorpcie sa však dostane do nového svetla, keď spomenieme ďalšiu schopnosť telies (nie nutne absolútne čierne) a tou je emisivita. Ak zoberieme absolútne čierne teleso, tak také teleso pohltí každé žiarenie, ktoré na neho dopadne, teda a = 1 (r = d = 0) pre elektromagnetické žiarenie ľubovoľnej vlnovej dĺžky. Keď toto absolútne čierne teleso bude v tepelnej rovnováhe so žiarením, potom vyžiari na každej vlnovej dĺžke rovnaké množstvo energie, aké na neho dopadá. Označme množstvo vyžiarenej energie (z jednotkovej plochy za jednotku času) formálne ako ǫe (ǫ = 1). Naše tvrdenie potom môžeme zapísať nasledovne ǫe = ae. Pre absolútne čierne teleso je samozrejme a = 1, preto naše konštatovanie je skutočne triviálne.
33 Kirchhoff 4 si však položil otázku, že koľko energie vyžiari zo svojho povrchu reálne teleso 5, ktorého absorpčná schopnosť je a (a < 1)? Porovnávacím základom je absolútne čierne teleso. Ak absolútne čierne teleso má teplotu T a vyžiarené množstvo energie 6 na vlnovej dĺžke λ je E, u reálneho telesa rovnakej teploty sa dá očakávať, že bude množstvo vyžiarenej energie na tej istej vlnovej dĺžke ǫ(λ,t)e. Koeficient e(λ,t) nazývame emisivitou. Kirchhoff experimentálne zistil, že ǫ(λ,t) = a(λ,t) pre každú teplotu T a každú vlnovú dĺžku λ žiarenia. Tento jav nazývame Kirchhoffow Kirchhoffovým zákonom tepelného žiarenia. zákon Poznámka 2.2. Možno pôsobí táto rovnosť prekvapujúco, hlavne keď si uvedomíme, že u reálneho telesa je schopnosť odrážať žiarenie nenulová (r > 0) a tiež je nenulová aj priechodnosť (d > 0). V skutočnosti však vyjadruje Kirchhoffov zákon spomínanú rovnováhu telesa s dopadajúcim žiarením. Keď si predstavíte list stromu, na ktorý dopadá slnečné svetlo, tak nakoniec jeho teplota sa ustáli. Svetlo, čo list prepustí, či odrazí nezvyšuje teplotu listu, ale snaží sa o to množstvo energie absorbované listom. Pri ustálenej teplote sa však list musí zbaviť rovnakého množstva energie, aké prijíma, preto ǫe = ae, čo je Kirchhoffov zákon. Predsa je tu niečo netriviálneho. Kirchhoffov zákon totiž hovorí, že táto rovnováha nastane pre každú vlnovú zložku samostatne absorbovaná energia danej vlnovej dĺžky sa na tejto vlnovej dĺžke aj vyžiari. To je zákon tepelného žiarenia. Sú látky, ktoré tento zákon narúšajú. Napríklad ekologické žiarovky i neónky pracujú na inom princípe. Na biely svietiaci povlak (tzv. luminofor) dopadá ultrafialové svetlo, ktoré je absorbované, ale luminofor vyžaruje túto energiu na úplne iných vlnových dĺžkach. Pravda, toto žiarenie už nie je tepelné žiarenia, ale tzv. studené žiarenie a vrátime sa k nemu neskôr. Pomocou Planckovho vyžarovacieho zákona neskôr ukážeme, že b sa dá skutočne vyjadriť výhradne pomocou univerzálnych fyzikálnych konštánt. 4 Gustav Robert Kirchhoff od ktorého pochádzajú aj dobre známe zákony pre elektrické obvody. 5 z jednotkovej plochy za jednotku času 6 z jednotkovej plochy za jednotku času
34 H(λ,T) λ max λ Obr. 2.3: Graf ukazuje typické spektrálne zloženie žiarenia absolútne čierneho telesa, ktorého teplota je T. Na vodorovnej osi je vynesená vlnová dĺžka, na zvislej osi H(λ,T), tzv. spektrálna hustota žiarivého toku, ale tento pojem vysvetlíme neskôr. Momentálne stačí vedieť toľko, že keď vyberieme konkrétnu vlnovú dĺžku, výška grafu nám prezrádza, že akú časť intenzity žiarenia absolútne čierneho telesa predstavujú fotóny s vybranou vlnovou dĺžkou (neskôr aj toto tvrdenie upresníme). Na obrázku sme vyznačili polohu maxima spektrálnej hustoty (žiarivého toku) a príslušnú hodnotu vlnovej dĺžky sme označili λ max. Túto vlnovú dĺžku nazývame vo Wienovom posuvnom zákone maximálnou vlnovou dĺžkou.
35 Príklad 2.3. Povrchová teplota Slnka je 5523 C. Aká je maximálna vlnová dĺžka, na ktorej Slnko svieti? Riešenie. Povrchová termodynamická teplota Slnka je teda T = 5800 K, a podľa Wienovho posuvného zákona je maximálna vlnová dĺžka λ max = b T = 2,898 mm K 5800 K = 500 nm. Poznámka 2.4. Treba poznamenať ešte skutočnosť, spektrum tepelného žiarenia telesa nezávisí od emisivity povrchu, len od teploty telesa. Nezávisí ani od farby povrchu. Farba povrchu sa prejavuje v dôsledku odrazu dopadajúceho svetla na povrch. Pri nízkych teplotách samozrejme táto farba prevláda, ale nemá nič spoločného s tepelným žiarením telesa. Zvyšovaním teploty sa zvyšuje množstvo vyžiareného tepelného žiarenia a začne prevládať. Pri vysokých teplotách žiaria všetky materiály rovnako, nezávisle na ich pôvodnej farbe (stále hovoríme o tepelnom a nie studenom žiarení). 2.4 Stefanov-Boltzmannov zákon Stefanov-Boltzmannov zákon hovorí, že ak máme absolútne čierne teleso, ktorého termodynamická teplota je T, potom z jednotky plochy za jednotku času sa vyžiari určité množstvo energie a táto energia je úmerná T 4, konkrétne I = σt 4, (2.3) kde I je intenzita vyžarovania telesa a σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 je Stefanova- Boltzmannova konštanta, ktorá nie je závislá na materiále telesa, jeho tvare a závisí len od univerzálnych fyzikálnych konštánt, ako ukážeme pomocou Planckovho vyžarovacieho zákona. Príklad 2.5. Vlákno žiarovky je rozžhavené na teplotu t = 1800 C, pričom plocha vlákna je 20 mm 2. Akým výkonom žiari žiarovka a aký musí byť príkon, na udržanie teploty vlákna na uvedenej teplote? Riešenie. Podľa Stefanovho-Bolltzmannovho zákona je intenzita žiarenia I = σt 4 = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2073 K) 4 = 1.05 10 6 W m 2. Plocha vlákna je S = 20 mm 2 a preto vyžiarený výkon P je P = S I = SσT 4 = 20 mm 2 1.05 10 6 W m 2 = 21 W. Stefanov- Boltzmannov zákon
36 Vychádzali sme pritom z toho, že vlákno je absolútne čierne. Aby sme udržali teplotu vlákna, musí byť príkon rovnaký, aký je vyžarovaný výkon (vlákno musí byť v tepelnej rovnováhe), preto príkon je tiež 21 W. V prípade, že teleso nie je absolútne čierne, ale má určitú nie jednotkovú absorpčnú schopnosť a (a < 1), potom jeho emisivita ǫ je tiež odlišná od 1 a Stefanov-Boltzmannov zákon bude mať tvar I = ǫσt 4. (2.4) Táto emisivita ǫ je podľa Kirchhoffovho zákona tepelného žiarenia rovná absorpčnej schopnosti a (ǫ = a). Poznámka 2.6. Vlákno žiarovky predchádzajúceho príkladu bolo pri výpočtoch považované za absolútne čierne. Ak jeho emisivita bude ǫ = 0.6, potom však aj vyžarovaný výkon bude nižší presne o tento koeficient a dosiahne len hodnotu 0.6 21 W = 12.6 W. V takom prípade na udržanie tepelnej rovnováhy vlákna bude postačovať príkon 12.6 W. (Stále vychádzame z toho, že príkonom musí byť nahradená vyžiarená energia v rovnakom tempe, ako sa energia vyžaruje.) Príklad 2.7. Na akú teplotu sa zohreje biela guľa s polomerom 5 cm, ak v jeho strede sa uvoľňuje 1 J tepla za každú sekundu (príkon 1 W). Aká bude táto teplota, ak príkon bude 100 W? Pod bielou guľou rozumieme guľu s povrchom, ktorého absorpčná schopnosť je a = 0.01 (99%-ná bielosť). Riešenie. Uvažujme najprv príkon P = 1 W. Veľkosť plochy gule je S = 4πr 2 = 4 3.14 (5 cm) 2 = 3.14 10 2 m 2. Pri termodynamickej teplote T bude guľou vyžarovaný výkon P g = ǫsσt 4 a z rovnosti príkonu a vyžarovaného výkonu (P = P g ) plynie T = ( P ǫs ) 1/4 ( ) 1 W 1/4 = 0.01 3.14 10 2 m 2 5.67 10 8 W m 2 K 4 = 487 K, tj., že guľa sa zohreje na teplotu 214 C. Ak bude príkon 100 krát väčší, potom teplota sa ustáli na (100) 1/4 = 3.16 násobku teploty, ktorú sme obdržali pre príkon 1 W. Guľa sa rozžhaví pri príkone 100 W na teplotu 1540 K=1267 C. Je to jeden z dôvodov, prečo ľudia v rovníkovej oblasti majú tmavú pleť a prečo zvieratá v polárnej oblasti sú biele.
37 Uvedieme ešte jeden praktický tvar Stefanovho-Boltzmannovho zákona. Ak teleso s termodynamickou teplotou T 1 a s povrchom S 1 a s absorpčnou schopnosťou a svojho povrchu sa nachádza v nádobe (či v miestnosti), ktorého steny majú teplotu T 2, potom teleso síce žiari výkonom P 1 = ǫs 1 σt1 4 (vyžarovaný výkon), ale súčasne pohlcuje cez svoj povrch žiarenia nádoby (miestnosti) výkon P 2 = as 1 σt2 4. Vzhľadom k tomu, že ǫ = a, celkový výkon vyžiarený telesom je P = P 1 P 2 = ǫs 1 σ(t 4 1 T 4 2 ). (2.5) Tento výkon je kladný, pokiaľ teleso vyžiari viac energie (T 1 > T 2 ), než pohltí a je záporný, pokiaľ pohltí viac energie, než vyžiari (T 1 < T 2 ). Prekvapivé môže byť zistenie, že táto formula neobsahuje emisivitu (alebo absorpčnú schopnosť) stien nádoby. Je to ale pochopiteľné, lebo uzavretá nádoba (dutina) vždy funguje ako absolútne čierne teleso (spomeňme si popis otvor dutiny - obrázok 2.2). Príklad 2.8. Majme guľu s polomerom r g = 5 cm, povrch ktorej má absorpčnú schopnosť a 1 = 0.1. V strede tejto gule as uvoľňuje teplo a tento tepelný zdroj má príkon P = 1 W. Guľu obklopuje tenká kovová schránka v tvare gule s polomerom r s = 10 cm tak, že kovová schránka a guľa s tepelným zdrojom majú spoločný stred. Vnútorná strana kovovej schránky je natretá tmavou farbou, ktorej absorpčná schopnosť je a 2 = 0.8, kým vonkajšia strana schránky je svetlá s absorpčnou schopnosťou a 3 = 0.05. Celé zariadenie je vo vesmíre, v tieni Zeme. Na akej teplote sa ustáli teplota malej gule s tepelným zdrojom a na akej hodnote sa ustáli teplota kovovej schránky? Riešenie. Musíme začať postup zvonka. Pri tepelnej rovnováhe celkový tepelný príkon (v malej guli) P = 1 W sa musí vyžiariť vonkajšou vrstvou kovovej schránky, tj. P = ǫ 3 S s σt 4 s, kde ǫ 3 = a 3 = 0.05 S s = 4πr 4 s = 1.24 10 10 m 2 je povrch kovovej schránky. Z rovnosti vyžarovaného výkonu a príkonu dostaneme T 4 s = P ǫs s σ = 2,81 109 K 4, T = 230 K. Teraz môžeme prejsť k vnútornej gule s tepelným zdrojom. Vnútorná guľa má teplotu T g a preto vyžaruje výkonom P g = ǫ 1 S g σt 4 g, kde S g = 4πr 2 g.
38 Súčasne však guľa je obklopená kovovou schránkou, ktorej teplota je T s. Absorbuje teda výkon P a = ǫ 1 S s σtg 4. Tieto dva výkony nie sú rovnaké, ale líšia sa o tepelný príkon zdroja ukrytého vo vnútri gule. Jedine takto dokáže kovová schránka vyžiariť spomínaný výkon do okolitého vesmíru. Platí teda, že P = P g P a = ǫ 1 S g σ(t 4 g T 4 s ), odkiaľ teplotu gule vieme vypočítať, lebo už všetko poznáme T 4 g = P ǫ 1 S g σ + T 4 s = P σ ( 1 ǫ 1 S g 1 ǫ 3 S s ). Po dosadení dostaneme, že teplota gule bude T g = 483 K. 2.5 Planckov vyžarovací zákon Planckov vyžarovací zákon vystihuje tepelné žiarenie v podstatne detailnejšej podobe, než Wienov posuvný zákon a Stefanov-Boltzmannov zákon, nakoľko hovorí o spektrálnom zložení tepelného žiarenia a kvantifikuje ho. 2.5.1 Rayghleiho-Jeansov zákon Raygheiho-Jeansov zákon bol jedným z prvých čiastočne úspešných pokusov vysvetliť spektrálne zloženie tepelného žiarenia (žiarenia absolútne čierneho telesa). Keď hovoríme o spektrálnom zložení, máme tým na mysli napríklad farebné zloženie žiarenia Slnka. Keď rozložíme svetlo Slnka pomocou hranola, získame vo viditeľnej oblasti dúhu (pozri obrázok 2.1 na strane 28). Intenzita jednotlivých farieb nie je rovnaká (v zmysle definície intenzity monochromatického svetla, tj. energia fotónov počet fotónov/(plocha čas)). Pri teoretickom popise tepelného žiarenia sa očakáva odpoveď aj na otázku, aká je intenzita jednotlivých farieb, všeobecne aká je intenzita všetkých frekvencií žiarenia.
39 Rayghlei 7 a Jeans 8 odvodili vzťah medzi spektrálnou hustotou intenzity žiarenia absolútne čierneho telesa vychádzajúc z kinetickej teórie plynov a z Maxwellových rovníc. Na tomto mieste podáme popis odvodenia pre zjednodušenú dutinu, ktorá hrá úlohu absolútne čierneho telesa, keď dutina má tvar hranola so stranami L x,l y,l z. Dutina v tomto prípade nemá žiadny otvor, a preto nič z neho neuniká steny dutiny vyžiaria formou tepelného žiarenia všetko, čo pohltili. Steny dutiny považovaly Rayghlei a Jeans za dokonalé zrkadlá, ktoré udržiavajú v dutine (kde je vákuum) elektromagnetické žiarenie v nezmenenom stave. Program, ktorý si následne vytýčili, bol jednoduchý: 1. spočítať, v koľkých možných stavoch sa môže nachádzať elektromagnetické pole nachádzať v dutine (počet stupňov voľnosti počet módov), 2. určiť zo znalosti počtu stupňov voľnosti a znalosti strednej energie pripadajúcej na jeden stupeň voľnosti množstvo energie uschované v jednotkovom objeme dutiny, a tiež spektrálne zloženie tejto energie. Kým prvý krok sa dá urobiť korektným spôsobom, v prípade druhého kroku programu sa museli uchýliť k predpokladu, že v dutine realizuje sa realizuje každý mód, a stredná energia jedného módu je kt/2 zrovna tak, ako v kinetickej teórii plynov. 9 Tento druhý (nesprávny predpoklad) viedol k predpovedi spektrálneho zloženia, ktorej nedostatok v literatúre spomínajú 7 Lord Rayghlei (vyslovuj rejli ), vlastným menom John William Strutt bol anglický fyzik, stal sa laureátom Nobelovej Ceny v roku 1904 za objav nového chemického prvku, argónu. Jeho meno je spojené mnohými javmi, ako napríklad Rayleigho rozptyl. Rayghleiho rozptyl hovorí o tom, že svetlo s kratšou vlnovou dĺžkou sa rozptyluje na malých rozptylových centrách a molekulách ochotnejšie, než svetlo väčšej vlnovej dĺžky. Preto je obloha modrá a bude modrá na každej planéte, kde atmosféru tvorí plyn bez farby. Aj obloha Marsu je modrá, ako to dokazujú aj zábery vesmírnych sond, ktoré na pvrchu Marsu pristály. Obloha na Marsu môže byť do červena, pokiaľ sa preženie piesočná búrka, ktorá do atmosféry vynesie malé zrniečka červeného piesku. Farba oblohy v tomto prípade je však daná farbou zrniečok piesku a nie niečim iným. Nobelová cena sa nikdy neprideľuje na základe jedného objavu, berie sa do úvahy prispenie do nejakej oblasti fyziky výraznejším spôsobom. V odôvodnení, pravda, sa vyzdvihuje aj konkrétny úspech v oblasti, kde prispenie osoby je výrazné, najviac oceňované komunitou vedcov navrhujúcich toto prestížne ocenenie. 8 sir James Hopwood Jeans bol anglický fyzik, astronóm. Prispel hlavne ku kvantovej teórii a k vysvetleniu žiarenia a vývoja hviezd. 9 Teraz sme nepresní, lebo kt/2 je len stredná kinetická energia pripadajúca na jeden stupeň voľnosti. Toto tvrdenie je zatiaľ postačujúce a upresnenie príde na správnom mieste pozri napríklad dodatok A. Ultrafialová katastrofa
40 ako ultrafialovú katastrofu. Podrobným výpočtom (pozri dodatok A) zistili, že počet módov s frekvenciou ν až ν + dν je v dutine s objemom V N(ν) = 16π c 3 V ν 2 dν (2.6) Ak priemerná energia módov je 1 2 kt, potom elektromagnetické pole uzavreté v dutine s objemom V a s teplotou stien T má vo frekvenčnom pásme (ν,ν+ dν) energiu 8π c 3 V ktν2 dν. (2.7) Spektrálna hustota hustoty energie prepočítanej na jednotku objemu je potom H(ν,T) = 8π c 3 ktν2. (2.8) Vysvetlime si fyzikálny význam veličiny H(ν,T). 10 Spektrálna hustota hustoty energie hovorí nasledujúce. Ak vyberieme vo vnútri dutiny objem veľkosti V a frekvenčné pásmo šírky ν obsahujúci frekvenciu ν, (napríklad frekvenčné pásmo (ν,ν + ν)), potom množstvo energie nahromadené v tomto objeme a v tomto frekvenčnom pásme je E = H(ν,T) ν V. (2.9) Poznámka 2.9. H(ν, T) je fyzikálna veličina nového typu, s ktorou sa doteraz čitateľ pravdepodobne nestretol. Je to dvojnásobná hustota. Hustota energie z hľadiska priestoru a súčasne aj hustota z pohľadu frekvencie (spektrálna hustota). Pokiaľ s ňou budeme narábať v tvare (2.9), myslíme si, že sa sňou dokážeme zblížiť bez väčších problémov. Vzťah (2.9) sa pomocou kvantového prístupu dá chápať ešte jednoduchšie, než klasicky. Je to súhrnná energia tých fotónov v objeme V, ktorých frekvencia je z intervalu (ν,ν + ν). Rayghleiho-Jeansov zákon súhlasil so známymi experimentálnymi údajmi len v nízkofrekvenčnej oblasti. Vo vysokofrekvenčnej oblasti však experimenty ukazovali orezanie hustoty energie s vysokou frekvenciu. I jednoduché pozorovanie odporuje tomu, čo predpovedá Raygleiho-Jeansov zákon. Pozrime sa na tento problém z pohľadu obyčajných kachlí, do ktorých sme zatopili uhlím. Keď zatopíme, kachle sa postupne zahrievajú až na konečnú teplotu. V konečnom, rovnovážnom stave vyžiaria toľko tepla, koľko tepla sa uvoľní pri horení uhlia. Vnútrajšok kachlí pritom funguje ako dutina a jeho steny 10 Jeho odvodenie možno nájsť v dodatku A
41 ako absolútne čierne teleso. Pri konečnej teplote (T) hovoríme o tepelnej rovnováhe absolútne čierneho telesa mal by tu teda platiť Rayghleiho- Jeansov zákon. Ten však predpovedá, že keď urobíme inventár koľko energie sa nachádza vo frekvenčnom pásme šírky (napr.) 1 Hz dostaneme odpoveď, že čím je frekvencia väčšia, tým viac. Na frekvencii 10 Hz je stokrát viac, ako na frekvencii 1 Hz, Na frekvencii 100 Hz je zase stokrát viac ako na frekvencii 10 Hz, na frekvencii 1000 Hz je zase stokrát viac ako na 100 Hz, atď, atď. Je to dané tým, že H(ν,T) ν 2. Tento rast ale nikde nekončí, nie je orezaný. Ak v infračervenej oblasti je nejaké konečné množstvo energie (a to cítime na dlaniach natiahnutých smerom ku kachliam), vo viditeľnej oblasti by toho malo byť sto krát viac, v ultrafialovej oblasti sto krát viac, než vo viditeľnej oblasti a v röntgenovej oblasti ešte stokrát viac. Sedieť v blízkosti takých kachlí by bolo vysloveným hazardom (alebo skôr istou smrťou). Tento stav by musel nastať postupne, vyrovnávaním teploty kachlí na konečnú teplotu. Podľa Rayghleiho-Jeansovho zákona by sa kachle mali naprv rozpáliť do červena, potom do žlta, do zelena, do modra, do fialova atď. Nič sa z toho ale nedeje, môže to potvrdiť ktokoľvek, kto v blízkosti kachlí už sedel (zrovna to platí pre táborák, kde rovnaké procesy by museli prebehnúť vo vnútri každého žeravého uhlíku v ohništi). Je to rukolapné, že tento zákon nemôže byť správny. 2.5.2 Wienov zákon žiarenia Wien 11 si uvedomil, že základná chyba je v predpoklade o obsadení každého módu elektromagnetického žiarenia, ktorý môže v dutine existovať. Pokiaľ by sme totiž chceli spočítať množstvo energie v konečne malom objemovom elemente V dutiny, museli by sme sčítať (integrovať) energie E = H(ν,T) V ν pre všetky frekvencie, čo vedie k výsledku E = 0 dν ( H(ν,T) V ) = 8π c 3 V 0 dν ν 2 = 8π [ ν 3 c 3 V 3 ] ν=0 =, tj. k nekonečnemu množstvu energie. Vráťme sa k nášmu príkladu, ku kachliam, v ktorých horí uhlie: pálením uhlia v kachliach sa uvolní len konečné množstvo tepla, takže takáto predpoveď o spektrálnom rozdelení energie v žiarení je neprijateľná. Wien použil predpoklad, že vysokofrekvenčná oblasť bude orezaná faktorom e E/kT, ktorý je známy napríklad z barometrickej formule (odvodenie 11 Wilhelm Wien získal Nobelovu Cenu za fyziku v roku 1911 práve za výsledky dosiahnuté pri vysvetlení tepelného žiarenia.
42 H(ν,T) Rayghlei-Jeans Planck a experimentálne údaje Wien Obr. 2.4: Predpovede priebehu H(ν, T) podľa rôznych modelov. Experimentálne údaje sú vynesené hrubou čiarou a zhodujú sa s Planckovým zákonom žiarenia. Rayghleiho-Jeansov zákon predpovedá pre rastúcu frekvenciu neobmedzený rast hustoty energie. Wienov zákon dáva správne výsledky pre vysokofrekvenčnú oblasť, ale pre nízkofrekvenčnú oblasť sa odchyľuje od experimentálnych hodnôt výraznejšie, než Rayghleiho-Jeansov zákon. ν barometrickej formule a argumentáciu vedúcu ku vzťahu nižšie pozri v dodatku B). Orezávanie znamená v tomto prípade to, že spektrálnu hustotu hustoty energie H(ν,T) očakával v tvare H(ν,T) = 8π c 3 hν3 e hν kt. (2.10) Wienov zákon žiarenia dáva vynikajúci súhlas v oblasti veľmi vysokých frekvencií, ale v oblasti nízkych frekvencií dáva horšie výsledky, než Rayghleiho- Jeansov zákon (pozri obrázok). Poznámka 2.10. V niektorých literatúrach tento nesúhlas Wienovho zákona s experimentálnymi údajmi v nízkofrekvenčnej oblasti sa nazýva infračervená katastrofa. Treba ale poznamenať, že nesúhlas zďaleka nie je drastický, ako to ukazuje aj obrázok 2.4, a zďaleka nie taký závažný ako ultrafialová katastrofa spojená s Rayghleiho-Jeansovým zákonom. Žiaľ, Wienov zákon nesúhlasil s experimentálnymi údajmi ani v oblasti maxima H(ν, T) a konkrétne nedával správnu hodnotu práve pre experimentálne zistenú hodnotu b z Wienovho posuvného zákona. Aby sme si to
43 ukázali, vyjadrime spektrálnu hustotu hustoty energie v závislosti od vlnovej dĺžky λ a nie od frekvencie ν. Príklad 2.11. Vyjadrite závislosť spektrálnej hustoty hustoty energie H na vlnovej dĺžke λ. Riešenie. Aby sme sa nezaplietli do definície H(ν, T), odvodenie tvaru H(λ, T), urobíme prostredníctvom množstva elektromagnetickej energie v malom elemente V. Množstvo elektromagnetickej energie de v objeme V a vo frekvenčnom páse (ν,ν + dν je de = H(ν,T) V dν Táto istá energia sa ale dá vyjadriť aj pomocou vlnovej dĺžky λ a spektrálnej hustoty hustoty energie H(λ,T), ktorá má ten istý význam ako H(ν,T), len vyjadrená pomocou vlnových dĺžok λ : de = H(λ,T) V dλ, kde frekvenčné pásmo (ν, ν + dν) určuje jednoznačne interval vlnových dĺžok (λ, λ + dλ) prostredníctvom vzťahu λ = c/ν. Platí ν = c λ,,ν + dν = c λ + dλ, dν dν = dλ dλ = c λ 2 dλ. Nech nás znamienko nemýli. Vyjadruje vlastne tú skutočnosť, že medzi ν a λ je nepriama úmera. Ak ν + dν je väčšie ako ν, potom λ+dλ je menšie ako λ, pričom λ = c/ν. Frekvenčný interval (ν, ν + dν) popisuje tú istú časť elektromagnetického žiarenia, ako interval (λ + dλ,λ) 12 a nachádza sa v nich rovnaké množstvo energie (na jednotkový objem). Rovnosť môžeme zapísať aj pomocou absolútnych hodnôt nasledovne de = H(ν,T) V dν = H(λ,T) V dλ. Objem V môžeme vykrátiť z rovnosti a písať H(λ,T) = H(ν,T) dν dλ = 8π c 3 hν3 c Konečný výsledok je potom H(λ,T) = 8π ( c c 3 h λ ) 3 e hc kt c λ 2 λ 2. = 8πhcλ 5 e hc λkt. 12 teraz sme dbali o to, aby sme poradie λ + dλ a λ písali skutočne v poradí menší, väčší.
44 Príklad 2.12. Odvoďte Wienov posuvný zákon pre Wienovu spektrálnu hustotu hustoty energie. Riešenie. Podľa Wienovho posuvného zákona vlnová dĺžka λ max elektromagnetického žiarenia, pre ktorú monochromatická zložka má maximálnu intenzitu, spĺňa zákon λ max = b T, kde b = 2,989 mm K. Inými slovami H(λ, T) nadobúda svoju maximálnu hodnotu na vlnovej dĺžke λ max. Potom ale musí platiť, že H(λ,T) λ = 0. λ=λmax Po dosadení do H(λ,T) z príkladu 2.11, a vykonaní derivácie dostaneme ( 8πkT 5 ) hc 1 hc 1 hc e λkt λ6 + λ 5 e λkt = 0 kt λ2 a dostaneme podmienku pre ma- Stačí rovnicu vynásobiť výrazom λ 7 e hc λkt ximum vo veľmi jednoduchej podobe 5λ hc kt = 0. Tento vzťah kvalitatívne súhlasí s Wienovým posuvným zákonom, ale predpovedá pre koeficient b hodnotu b = hc 5k = 2,877 mm K, teda asi 0.7% menšiu, než je správna, experimentálne zistená hodnota 2, 898 mm K. 2.5.3 Konečné riešenie Konečné riešenie našiel Max Planck 13. Bol dlho presvedčený o správnosti Wienovho zákona, bolo mu však zrejmé, že bude treba robiť určitú modifikáciu, ktorá povedie k súhlasu s experimentálnymi údajmi v celej oblasti. Jeho postup tu nebudeme reprodukovať, lebo sa opieral o termodynamiku. 13 Max Planck, jeden zo zakladateľov kvantovej teórie, získal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1918 za jeho zásluhy vo fyzike a objavenie kvanta energie
45 V konečnom dôsledku však skombinoval entrópiu pre Rayghleiho-Jeansvo zákon a Wienov zákon šťastným spôsobom, ktorý viedol k správnemu tvaru spektrálnej hustoty hustoty energie v tvare H(ν,T) = 8π c 3 hν3 e hν kt 1 e hν kt (2.11) Tento výsledok naprosto súhlasí s experimentálnymi údajmi (pozri obrázok 2.4) na strane 42, preto bolo treba nájsť aj prijateľné fyzikálne zdôvodnenie. Na rozdiel od mylnej predstavy (ktorá prežívala skoro 40 rokov), že Planck našiel odpoveď v kvantovaní elektromagnetického žiarenia, vychádzal z predstáv o mechanizme vzniku žiarenia. Tá je skrytá v stenách dutiny. Atómy a molekuly steny dutiny pohlcujú a vyžarujú elektromagnetické žiarenie. Správne žiarenie popísané vzťahom (2.11) možno získať, pokiaľ si povieme, že konkrétny atóm (molekula) steny dutiny nie je schopný žiariť na ľubovoľnej frekvencii, len na celočíselných násobkoch určitej základnej frekvencie ν 0, tj. na frekvenciách ν 0,2ν 0,3ν 0,.... Dnes vieme, že to zodpovedá vyžiareniu fotónov s energiou E 0,2E 0,3E 0,.... 14 Na druhú stranu to, že atóm (molekula) sa dostane do stavu s energiou schopnou vyžiariť na tejto energii (frekvencii), je (používame barometrickú formulu - odvodenie pozri v dodatku A) p 0 e E 0 kt,p 0 e 2E 0 kt,p 0 e 3E 0 kt,...,p 0 e ne 0 kt kde p 0 je normujúce číslo, aby p 0 e ne 0 kt bola skutočne pravdepodobnosť. Súčet všetkých pravdepodobností totiž musí dať 1 (100%) 1 = p 0 e 0 kt + p0 e E 0 kt + p0 e 2E 0 kt + = p 0 ( 1 + e E 0 kt + e 2E 0 kt +...) 1 = p 0 1 e E 0 kt Tu sme využili toho, že pre malé x ( x < 1). 1 + x + x 2 + + x n = 1 xn+1 1 x
46 a v limitnom prípade n sa čitateľ stane rovný 1. V našom prípade bolo x = e E 0 kt. Teraz už poznáme čomu sa p 0 musí rovnať p 0 1 e E 0 kt = 1 p 0 = 1 e E 0 kt. Pravdepodobnosť toho, že atóm (molekula) nevyžiari nič je p 0, pravdepodobnosť toho, že atóm vyžiari energiu E 0 je p 1 = p 0 e E 0 kt, pravdepodobnosť toho, že vyžiari energiu 2E 0 je zase p 2 e 2E 0 kt atď.. Teraz môžeme skontrolovať, že aká je stredná hodnota energie vyžiarená atómom je to vážený priemer všetkých možných energií 0,E 0,2E 0,.... Nulová energia (pravdepodobnosť vyžiarenia ktorého je p 0 ) tu musí figurovať tiež. Pre strednú hodnotu energie Ē môžeme napísať Ē = p 0 0 + p 1 E 0 + p 2 (2E 0 ) + p 3 (3E 0 ) = p 0 E 0 e E 0 kt ( 1 + e E 0 kt + e 2E 0 kt ). Znova použijeme naše značenie x = e E 0 kt, potom si všimnime, že teda rovný 1 + 2x + 3x 2 + = d dx (1 + x + x2 + x 3 ), ( ) d 1 = dx 1 x 1 (1 x) 2. Stredná hodnota energie pripadajúca na jeden mód je teda nie kt, ale Ē = E 0 e E 0 kt 1 e E 0 kt = E 0 1 e E 0 kt 1 = 1 e hν 0 kt 1. (2.12) Poznámka 2.13. Pre veľmi malé hodnoty z ( z 1) možno písať e z 1 + z. Všimnime si, že pre veľmi malé energie E 0, kokrétne pre tak malé energie, že E 0 kt 1 dostávame pre strednú energiu Ē E 0 1 (1 + E 0 kt ) 1 = kt, tj. predpoklad použitý Rayghleim pri odvodení Rayghleiho-Jeansovho zákona.
47 Poznámka 2.14. Pozorný čitateľ si môže položiť otázku, prečo sme pre strednú hodnotu energie nedostali 1 2 kt? V kinetickej teórii pripadá na každý stupeň voľnosti stedná hodnota kinetickej energie veľkosti 1 2 kt. Pokiaľ je medzi atómami aj pružná väzba, potom na každú takúto väzbu pripadá stredná hodnota potenciálnej energie tiež veľkosti 1 2 kt. Toto zistenie je obsahom tzv. ekvipartičného teorému. V prípade elektromagnetického poľa elektrické a magnetické pole nie sú od seba oddeliteľné vidíme to aj z toho, že ich pevne spájajú Maxwellove rovnice. Ak jeden z nich budeme chápať ako kinetický člen (s kinetickou energiou), druhý potom hrá úlohu potenciálneho člena (s potenciálnou energiou). To sme pri odvodení Rayghleiho-Jeansovho zákona v dodatku A zobrali do úvahy. Zostáva nám odvodenie Stefanovho-Boltzmannovho zákona žiarenia. Urobíme v dvoch krokoch. 2.5.4 Vzťah hustoty energie a intenzity žiarenia Uvažujme o elektromagnetickom žiarení, ktorého hustota energie je konštantná, rovná w a šíri sa len v jednom smere. Ako súvisí intenzita žiarenia I tohoto žiarenia s jeho energiou hustoty? Predstavme si elementárny hranol s objemom V, v ktorej fotóny sa pohybujú pozdĺž jednej z jeho hrán. Nech dĺžka tejto hrany je L x. V danom okamihu je množstvo energie v elementárnom objeme E = w V. Za čas t = L x c sa všetky fotóny z tohoto elementárneho objemu V prejdú plochou kolmou na hranu dĺžky L x, tj. cez plochu Intenzita žiarenia je preto I = E S t = S = V L x. w V ( S Lx c ) = wc. V prípade dutiny je situácia odlišná, než sme popísali vyššie. Ak vyberieme nejaký bod vo vnútri dutiny, žiarenie cez neho prechádza zo všetkých smerov. Takéto žiarenie skôr vieme charakterizovať novou veličinou, ktorú Žiarivý tok
48 nazývame žiarivý tok. Žiarenie prechádzajúci cez bod, pokračuje ďalej a prechádza cez povrch gule so stredom v spomínanom bode. Túto skutočnosť vyjadrujeme tým, že žiarenie vypĺňa celý priestorový uhol 4π. 15 Namiesto spektrálnej hustoty hustoty energie v dutine, vyjadrenej veličinou H(ν, T) (pozri (2.11)) zavedieme spektrálnu hustotu žiarivého toku Φ(ν, T) absolútne čierneho telesa ako Φ(ν,T) = c 4π H(ν,T). (2.13) Rýchlosť svetla c poukazuje na to, že od hustoty prechádzame k toku, kým delenie s 4π na skutočnosť, že žiarenie je všesmerové a vzťahujeme veličinu na jednotkový priestorový uhol. Majme dutinu, v ktorej je žiarenie absolútne čierneho telesa v rovnováhe a hustota energie je w. Žiarenie je v dutine izotropné. Majme malú pevne zvolenú plochu veľkosti S v dutine. Táto plocha má dve strany (dajme tomu symbolicky označíme ako 1 a 2). Žiarenie prechádza skrz túto myslenú plochu jedným i druhým smerom (vďaka izotropie rovnaké množstvo v oboch smeroch). Otázka znie. Aká je intenzita žiarenia prechádzajúca skrz plochy len z jednej strany? Žiarivý tok v dutine má veľkosť Φ = wc 4π. Z jednej strany na druhú však prechádza len žiarenie z polpriestoru, tj. z priestorového uhla 2π. Intenzita žiarenia však nebude I = 2πΦ, lebo neprechádzajú pod rovnakým uhlom. Tá časť žiarenia, ktorá dopadá na plochu kolmo, prispieva k intenzite v plnej miere (di = ΦdΩ(0), kde Ω(0) je malý priestorový uhol okolo normály plochy). Žiarenie ΦdΩ(ϑ) dopadajúce na plochu S pod uhlom ϑ, prispieva k celkovej intenzite žiarenia (prechádzajúcej plochou S) len časťou di = Φ cos ϑdω(ϑ). V tomto prípade Ω(ϑ) malý priestorový uhol vymedzujúci časť priestor, ktorá uzatvára s normálou plochu uhol približne ϑ. Sčítaním všetkých príspevkov (zo všetkých smerov) 15 Priestorový uhol meriame v steradiánoch. Priestorový uhol vymedzuje okolo bodu plochu na jednotkovej guli (so stredom v tomto bode). Veľkosť tejto plochy sa dohodlo nazývať veľkosťou priestorového uhla. Plocha gule s polomerom r je 4πr 2, preto plocha jednotkovej gule je 4π. Ak máme na mysli len polpriestor, tak hovoríme o priestorovom uhle, ktorého veľkosť je 2π, lebo to je plocha polovice gule s jednotkovým polomerom. Veľkosť priestorového uhla nehovorí, ktorú časť priestoru okolo bodu myslíme zrovna tak nám pojem veľkosť vektora nepovie nič o tom, v ktorom smere vektor ukazuje.
49 dostaneme pre intenzitu žiarenia prechádzajúcu plochou S výsledok I = πφ = wc 4. (2.14) Tento záver samozrejme platí samostatne pre každú frekvenciu, preto dostávame I(ν,T) = c 2πh ν 3 H(ν,t) = 4 c 2 (2.15) e hν kt 1 a pre závislosť na vlnovej dĺžke I(λ,T) = c 4 H(λ,T). (2.16) 2.6 Úlohy Úloha 2.1. Na obrázku 2.1 sme ukázali spektrum slnečného svetla. Jedná sa o dúhu rozvinutú do velmi dlhého pásu. Túto dúhu sme rozrezali na krátke pásy a naukladali pod seba ako riadky písmen v knihe (pri prezeraní od najväčších vlnových dĺžok k najmenším sa obrázok číta zľava doprava a zhora nadol, presne ako kniha). Nakoľko dĺžka každého pásu je rovnaká, môžeme zakresliť zvisle vedľa spektra mierku s rozpätím vlnových dĺžok viditeľného svetla (od 760 nm po 360 nm). Určte vlnovú dĺžku viditeľného svetla a jeho farbu. 760 Riešenie. 2.1 710 660 610 560 510 460 410 360 Stupnica na ľavej strane je v nanometroch. Stred viditeľného spektra je 560 nm a má zelenú farbu.
50 2.3 Úloha 2.2. Rozhodovanie o tom, že ktorá farba má akú vlnovú dĺžku je výrazne subjektívne. Porovnajte farby z orientačnej definície uvedenej v tabuľke 2.1 so stupnicou z predchádzajúcej úlohy. Navrhnite vlastnú tabuľku farieb. Treba poznamenať, že ani obrazovka, ani tlačiareň nevracia farby úplne verne. Táto problematika je mimoriadne dôležitá pre výrobcov monitorov a farebných tlačiarní. Napriek tomu, rozdiely, ktoré zistíte pramenia skôr v nejednotnosti definícií. Úloha 2.3. Klasická žiarovka svieti pomocou rozžhaveného vlákna. Teplota vlákna v tepelnej rovnováhe je 1650 C. Aká je maximálna vlnová dĺžka svetla tejto žiarovky? Riešenie. Podľa Wienovho zákona určuje maximálnu vlnovú dĺžku svetla žiarovky vzťah (2.1) na strane 32, kde T je v našom prípade termodynamická teplota vlákna T = 273 + 1650 K = 1923 K. Maximálna vlnová dĺžka λ max je potom λ max = b T = 2.989 mm K 1923 K = 1554 nm. Úloha 2.4. Aká je maximálna vlnová dĺžka tepelného žiarenia človeka, ktorý má zvýšenú teplotu 37.3 C? Úloha 2.5. Povrchová teplota vzdialených hviezd sa dá určiť pomocou spektra ich žiarenia, ktoré je tepelné žiarenie. Určí sa maximálna vlnová dĺžka (vlnová dĺžka s maximálnou intenzitou žiarenia).
51 Obr. 2.5: Súhvezdie Orionu. Rigel, jedna z najjasnejších hviezd zimnej oblohy (Druhá najjasnejšia hviezda súhvezdia Orion - tj. Orion β) žiari najintenzívnejšie na vlnovej dĺžke 270 nm. Aká je jej povrchová teplota? Aká je energia fotónov (v ev) s maximálnou vlnovou dĺžkou? Riešenie. Ak Rigel žiari najintenzívnejšie na vlnovej dĺžke 270 nm, potom táto vlnová dĺžka je maximálna vlnová dĺžka a podľa Wienovho posuvného zákona je jeho povrchová teplota T = b 2.989 mm K = λ max 270 nm = 1.1 10 4 K. Energia fotónov je E = hc λ = 1240 nm ev 270 nm = 4.59 ev. Úloha 2.6. Jedným z ranných pozostatkov Big-Bangu je kozmické mikrovlnné žiarenie pozadia (žiarenie pozadia), ktoré prvý krát pozorovali Wilson a Penzias 16, ako neodstrániteľný elektromagnetický šum prichádzajúci izotrópne z každého smeru vesmíru. kozmické mikrovlnné žiarenie pozadia
52 Intenzita nie monochromatického svetla Obr. 2.6: Mapa oblohy ukazujúca žiarenie pozadia. Žiarenie pozadia nie je dokonale izotrópne, čo prinieslo revolúciu v kozmológii fyzikálnu kozmológiu. S poďakovaním NASA/WMAP. Ich cieľom nebolo objaviť toto žiarenie (nikto nepredpokladal, že existuje), ale vyvinúť ultra citlivú anténu pracujúcu v mikrovlnnej oblasti. Zistilo sa, že žiarenie má charakter tepelného žiarenia. Maximálnu intenzitu dosahuje na vlnovej dĺžke 1.063 mm. Akej teplote absolútne čierneho telesa zodpovedá táto vlnová dĺžka (hovoríme tiež, že je to teplota žiarenia pozadia)? Aká je energia fotónov (v ev) s maximálnou vlnovou dĺžkou? 2.4 Úloha 2.7. Monochromatické svetlo s intenzitou 760 W m 2 dopadá kolmo na čiernu plochu veľkosti 6 cm 2. Koľko energie je touto plochou absorbované za jednu minútu? Riešenie. Nakoľko plocha je čierna, pohltí všetok žiarenia. Označme intenzitu monochromatického svetla I = 760 W m 2 a veľkosť čiernej plochy S = 6 cm 2. Množstvo energie E pohltené touto plochou za dobu t = 1 min je E = IS t = 760 W m 2 = 6 10 4 cm 2 60 s = 27.4 J. Úloha 2.8. Laser s príkonom 1 mw vytvára monochromatický lúč červeného svetla s priemerom 1 mm. Aká je intenzita laserového lúča? Úloha 2.9. Intenzita nie monochromatického svetla môžeme chápať ako svetlo zložené z monochromatických zložiek. Intenzita tohoto svetla je súčtom intenzity jednotlivých zložiek. Na list stromu dopadá biele svetlo s intenzitou 670 W m 2, kolmo na plochu listu. List má absorpčnú schopnosť 0.8. Koľko energie pohltí list stromu za jednu hodinu, ak veľkosť plochy listu, na ktoré dopadá biele svetlo, je 25 cm 2? Riešenie. Označme absorpčnú schopnosť listu a, intenzitu bieleho svetla I, veľkosť plochy listu S a dobu, po ktorú biele svetlo dopadá na list. Množstvo absorbovanej energie E je E = ais t = 0.8 670 W m 2 2.5 10 3 m 2 3600 s = 48,2 kj. 16 RObert Woodrow Wilson a Arno Allan Penzias získali Nobelovu cenu za fyziku v roku 1978 za objavenie kozmického mikrovlnného žiarenia pozadia. Tento objav o dve desaťročia neskôr priniesla revolúciu v kozmológii.
53 Úloha 2.10. Žiarovka s príkonom 100 W osvetľuje knihu, ktorá je od nej vo vzdialenosti 0.5 m. Aká je intenzita žiarenia dopadajúca na knihu, ak dopadá na strany knihy kolmo? Vlákno žiarovky považujme za čierne. Úloha 2.11. Solárna konštanta je 1368 W m 2. Aký je výkon žiarivý Slnka? K výpočtu použite astronomické údaje v dodatku??. Riešenie. Solárnu konštantu označme I. Vyjadruje intenzitu slnečného žiarenia v blízkosti Zeme nad jej atmosférou vo vesmíre, tj. vo vzdialenosti r AU = 1,496 10 11 m od Slnka. Celkový žiarivý výkon 17 Slnka L sa rovná výkonu žiarenia, ktorý prechádza cez povrch gule s polomerom r AU, tj. cez plochu veľkosti S = 4πr 2 AU. Celkový žiarivý výkon Slnka je L = 4πr 2 AUI = 4 3.1415 (1.496 10 11 m) 2 1368 W m 2 = 3.847 10 26 W. Úloha 2.12. Určte povrchovú teplotu Slnka na základe výsledku predchádzajúcej úlohy. Potrebné údaje čerpajte z dodatku??. Úloha 2.13. Zdrojom kozmického žiarenia (pozri úlohu 2.6) boli plyny pred približne 12,5 miliardami rokov. Aký veľký žiarivý výkon môžeme prisúdiť pozadiu na základe znalosti teploty žiarenia? O plynoch uvažujme ako o absolútne čiernom telese. Porovnajte tento výkon so žiarivým výkonom Slnka z úlohy 2.11. Riešenie. Nakoľko žiarenia pozadia prichádza z každého smeru a bolo emitované pred 12,5 miliardami rokov, plocha, ktorá je zdrojom žiarenia pozadia je guľoplocha s polomerom R = 12,5 10 9 ly, kde ly je označením svetelného roku (vzdialenosť, ktorú svetlo vo vákuu preletí za jeden rok, tj. 9.461 10 15 m). Vyžarovaný výkon L je potom podľa Stefanovho-Boltzmannovho zákona L = 4πR 2 σt 4 = 12.57 (12.5 10 9 9.461 10 15 m) 2 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2,73 K) 4, kde T = 2.73 K je teplota žiarenia (výsledok úlohy 2.6). Číselný výsledok je L = 5,54 10 55 W, čo znamená, že L = 1,44 10 29 L. 17 astronómovia nazývajú luminozitou
54