Viliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková

Transcript

1 FYZIKA II Viliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE

2 PREDSLOV Skriptá sú určené študentom všetkých bakalárskych študijných programov denného aj externého štúdia na Fakulte chemickej a potravinárskej technológie Slovenskej technickej univerzity v Bratislave. Prestavbou štúdia vznikla potreba učebného textu, v ktorom budú zákony elektromagnetizmu vysvetlené využitím jednoduchšieho matematického aparátu, teda bez vektorovej analýzy. Uvedomujeme si, že to výrazne ochudobňuje hĺbku výkladu a tieto časti sme sa v texte predsa len pokúsili zachovať. Sú označené hviezdičkou a pokiaľ nenastanú zmeny v zaradení predmetu, študent ich bez straty nadväznosti látky môže preskočiť. Stredoškolské vedomosti študentov prichádzajúcich na našu fakultu sú veľmi rôznorodé. Okrem tých, ktorí mali na strednej škole relatívne malý rozsah fyziky, máme aj výborne pripravených študentov. Dúfame, že pre týchto budú užitočné aj ucelenejšie podané kapitoly o elektrických prúdoch, uvedené časti označené hviezdičkou a tiež niektoré aplikácie kvantovej mechaniky. Do textu sú zaradené aj riešené príklady. Ich výber bol urobený tak, aby pri štúdiu predloženého textu pomáhali lepšie pochopiť tie pojmy a veličiny, s ktorými mávajú naši študenti najčastejšie problémy. Ucelený súbor príkladov a úloh k tejto časti fyziky je k dispozícii v skriptách: O. Holá a kol. Fyzika II, Zbierka príkladov a úloh, STU. Spojeným úsilím pracovníkov katedier fyziky na fakultách STU vznikla multimediálna učebnica fyziky, ktorá je omnoho obsažnejšia ako tento text. Autori predložených skrípt sa podieľali aj na tvorbe tejto učebnice, ktorá bude vydaná na CD nosiči a ponúka okrem výkladu a príkladov aj otázky na preverenie pochopenia látky, testy a animácie. Veríme, že náš študent bude mať taký prístup k počítaču, že bude môcť využívať aj možnosti takejto multimediálnej učebnice. Fyzikálne metódy majú stále významnejšiu úlohu v rozvoji chémie. Je si to treba uvedomiť včas, už na začiatku vysokoškolského štúdia a získať tak potrebný prírodovedný základ pre chemicko-inžinierske disciplíny. Dúfame, že text bude užitočnou pomôckou pre našich študentov a všetkým čitateľom týchto skrípt vopred ďakujeme za pripomienky a námety. Prípadné opravy budete môcť nájsť na webovej stránke oddelenia chemickej fyziky. Záverom ďakujeme za pripomienky našim spolupracovníkom, zvlášť doc. Ing. P. Fedorkovi, PhD. za úsilie, ktoré vylepšeniu textu venoval. Recenzentom tohoto textu prof. RNDr. Jánovi Pišútovi, DrSc. a doc. RNDr. Teodorovi Obertovi, PhD. ďakujeme za pripomienky aj kritické názory, ktoré nám pomohli pri konečnej úprave týchto skrípt. Autori 3

3 1 Elektrické náboje 1.1 Prejavy elektrického náboja Už starí Gréci (Tháles Milétsky 6 p.n.l.) si všimli javy vznikajúce pri trení jantáru, a od gréckeho názvu pre jantár elektrón ( ηλεκτρoν ), pochádzajú aj naše pojmy spojené s elektrickými javmi. Pri trení niektorých telies dochádza k zmene stavu telies, ktorý sa prejavuje silovými účinkami. Tento nový elektrický stav telies vzniká elektrizáciou procesom, v ktorom sa teleso elektricky nabíja. Pozorovalo sa, že pri trení telies vznikali dva elektrické stavy. Elektrickému náboju ebonitovej tyče otieranej kožušinou sa prisúdil názov elektrický náboj kladný a náboju na sklenenej tyči trenej kožou elektrický náboj záporný. V čase, keď bol pojem elektrický náboj do fyziky zavedený, sa na náboj pozeralo ako na zvláštnu substanciu, ktorej množstvo v látke určovalo jej elektrické prejavy. Dnes vieme, že elektrický náboj je vlastnosťou elementárnych častíc a každý atóm je zložený z elektricky kladných protónov a elektricky záporných elektrónov. V elektricky neutrálnom telese je rovnaké množstvo kladného aj záporného elektrického náboja. Trením telies sa elektróny látke odoberajú, alebo odovzdávajú a vzniká tak už dávno pozorovaný elektrický stav telies. 1. Základné vlastnosti elektrického náboja Všetky doterajšie poznatky ukazujú, že v prírode sa vyskytujú iba dva druhy elektrických nábojov, ktoré na základe historickej konvencie označujeme ako kladné a záporné. Silové pôsobenie medzi elektrickými nábojmi, ktoré sa prejavuje príťažlivými a odpudivými silami, predstavuje nový druh vzájomného pôsobenia telies - elektrickú interakciu. Pre silové pôsobenie medzi dvoma telesami je rozhodujúci iba ich celkový elektrický náboj - t.j. algebraický súčet kladných a záporných nábojov. Pokiaľ sú kladné a záporné náboje v nejakom telese rovnaké, tak ich vplyv navonok sa ruší a hovoríme, že teleso je elektricky neutrálne. Elektrické sily medzi takýmito telesami sú vo veľkých vzdialenostiach nulové. Pri malých vzdialenostiach sa však aj medzi neutrálnymi telesami môžu prejavovať elektrické sily a to v dôsledku nerovnomerného rozloženia kladných a záporných nábojov. Napríklad aj elektricky neutrálne molekuly s nesymetrickým rozložením elektrického náboja (elektrické dipóly) na seba silovo pôsobia a to príťažlivými, alebo odpudivými silami podľa ich vzájomnej orientácie. Príkladom takejto polárnej molekuly je napríklad molekula vody. Elektrický náboj je kvantovaný. Každý elektrický náboj je násobkom elementárneho kladného, alebo záporného elektrického náboja. Veľkosť elementárneho elektrického náboja je e = 1, C. Elektrický náboj je vždy viazaný na časticu. Elementárny kladný elektrický náboj má protón, elementárny záporný elektrický náboj je náboj elektrónu. Jednotkou náboja v sústave SI je 1 coulomb. Jeden coulomb je elektrický náboj, ktorý za 1 sekundu prejde prierezom vodiča, ktorým tečie prúd 1 ampér. 4

4 Prvé presné merania elementárneho elektrického náboja urobil R. A. Millikan v r.1911 porovnaním elektrostatických a gravitačných síl pôsobiacich na nabité kvapôčky olejovej hmly. Pri týchto experimentoch dokázal aj kvantovanie elektrického náboja. Elementárny elektrický náboj vyplynie aj z elektrolytických meraní náboja, potrebného na vylúčenie 1 mólu jednomocných iónov F = 9, C mol 1. Tento náboj sa označuje ako Faradayova konštanta. Elementárny elektrický náboj je potom určený podielom Faradayovej konštanty a Avogadrovej konštanty N A = 6, 1 3 mol 1 F 19 e = C. N A Elektrický náboj sa zachováva. Celkový elektrický náboj v elektricky izolovanej sústave je konštantný. Toto tvrdenie je vyjadrením zákona zachovania elektrického náboja. Zákon zachovania elektrického náboja je jeden zo základných prírodných zákonov. V žiadnom procese nie je možné náboj vyrobiť ani zničiť. Napríklad pri anihilácii elektrónu a jeho antičastice pozitrónu dochádza síce k zániku elektrického náboja, ale súčasne rovnakého množstva kladného, aj záporného elektrického náboja. Celkové množstvo elektrického náboja zostáva rovnaké. Elektrický náboj je pre každého pozorovateľa rovnaký. Veľkosť elektrického náboja sa jeho pohybom nemení. Nezávislosť náboja na jeho pohybe úzko súvisí so zákonom zachovania elektrického náboja. Ak by tomu tak nebolo, potom ak by sme jeden z druhov náboja uviedli do pohybu, zmenil by sa náboj sústavy. Elektrické náboje na seba pôsobia silami. Elektrické náboje rovnakej polarity sa odpudzujú, rôznej polarity sa priťahujú. Prvé merania síl medzi nábojmi vykonal Ch. A. Coulomb (1785) pomocou torzných váh. Pod bodovým elektrickým nábojom rozumieme náboj, ktorého rozmery sú zanedbateľné vzhľadom k vzdialenostiam ostatných elektricky nabitých a s daným nábojom interagujúcich objektov. Vzájomné silové pôsobenie bodových elektrických nábojov, ktoré sú v pokoji, vyjadruje Coulombov zákon. Meraním sa zistilo, že sila medzi elektrickými nábojmi je priamo úmerná veľkostiam nábojov a nepriamo úmerná druhej mocnine ich vzdialenosti QQ 1 F= K. r Z voľby jednotiek pre náboj, dĺžku a silu vyplynula veľkosť konštanty K, ktorá sa 1 z historických dôvodov vyjadruje v tvare K =. Podľa Coulombovho zákona veľkosť sily 4πε medzi bodovými elektrickými nábojmi klesá úmerne druhej mocnine ich vzdialenosti Q1 Q F =. (1.1) 4πε r Vektorovo zapísaný Coulombov zákon (obr. 1.1) má tvar 5

5 1 QQ 1 1 QQ 1 F = r, resp. F = r 3, (1.) 4πε r 4πε r x Q F z Q r 1 ε 1 kde r = r r je polohový vektor smerujúci od náboja Q 1 k náboju Q, r je jeho veľkosť, r je jednotkový vektor v danom smere. Pokiaľ majú elektrické náboje Q 1 a Q rovnakú polaritu bude mať sila F smer vektora r, ak budú mať opačnú polaritu, bude mať sila F smer vektora ( r ). Konštanta ε je permitivita vákua (elektrická konštanta). Konštanta ε súvisí s rýchlosťou svetla vo vákuu c a s permeabilitou vákua (magnetickou konštantou) μ. Permeabilita vákua je definitoricky určená, μ = 4π 1 7 Hm 1. Zo vzťahu medzi týmito konštantami 1 c = vyplýva hodnota permitivity vákua ε μ 1 1 = = 8, Fm (1.3) μ c Permitivita vákua je základná prírodná konštanta. Pre jej rozmer v sústave SI platí [ ε ] r 1 r r Obr. 1.1 Silové pôsobenie nábojov [ náboj] [ sila][ dl žka] = = Asm kg. y Na vyjadrenie rozmeru permitivity používame F m 1, kde F označuje farad a je jednotkou kapacity. Jednotku farad - F ako aj henry - H zavedieme neskôr v častiach 3.5 a 6.6. Pre silové pôsobenie elektrických nábojov platí princíp superpozície. Sila medzi dvomi elektrickými nábojmi nezávisí na prítomnosti ďalších nábojov. Qo z Q 1 r-r 1 F Výslednú silu na elektrický náboj Q možno preto vyjadriť ako vektorový súčet síl od jednotlivých elektrických nábojov Q i (obr. 1.) x r 1 Q Q F = ( r ri ), (1.4) 4π r 6 N ε i= 1 i 3 ri kde (r - r i ) sú polohové vektory elektrického náboja Q vzhľadom k elektrickým nábojom Q i. Elektrostatické sily medzi dvojicami elektrických nábojov sú nezávislé a aditívne. Skutočnosť, že veličiny sa vzájomne neovplyvňujú a možno ich sčítať, je vyjadrením platnosti princípu superpozície. ρ r, (pozri kap.1.3), Ak je rozloženie elektrického náboja spojité s hustotou náboja ( ) výslednú silu Q ρ F= r r, 4πε, r r τ r r Obr. 1. Q r-r rn, ( r ) ( ) r-rn dτ,, Q n y (1.5)

6 dostaneme integráciou cez celý priestor, v ktorom je rozložený elektrický náboj (obr. 1.3). Vo vzťahu (1.5) dt = dx dy dz označuje nekonečne malý element objemu v priestore s rozložením náboja hustoty r. Q z dq r dτ r-r r Q y x Obr. 1.3 Príklad: 1.1 Na osi x sú umiestnené dva elektrické náboje rovnakej polarity. Náboj Q 1 = 9Q je v počiatku a náboj Q = 4Q je umiestnený v bode vzdialenom o d (obr.1.4). Nájdite miesto na ich spojnici, kde musíme umiestniť elektrický náboj Q, aby výslednica naň pôsobiacich síl bola rovná nule. Riešenie: A B C F Q F Q Q Q1 Q 1 =9Q Q Q =4Q x d - x Na obr. 1.4 sú označené 3 možné oblasti umiestnenia náboja Q. V oblastiach A a C bude smer sily od obidvoch elektrických nábojov rovnaký a výsledná sila nemôže byť rovná nule. Sily sa môžu kompenzovať iba v oblasti B, kde majú opačný smer a podľa obrázku v hľadanom mieste musí platiť 9QQ 4QQ 3 =, odkiaľ po elementárnej úprave dostávame x = d. 4πε x 4π ε ( d x) 5 d Obr

7 Príklad 1.. Na osi x sú umiestnené dva elektrické náboje opačnej polarity. Náboj Q 1 = 9Q je v počiatku súradníc a náboj Q = 4Q je umiestnený v bode vzdialenom o d (Obr. 1.5). Kde musíme umiestniť kladný elektrický náboj Q, aby výslednica elektrických síl bola rovná nule? A B C Q 1 = -9Q Q =4Q F Q1 Q Q F Q Q d x Riešenie: Na rozdiel od predchádzajúceho prípadu je úloha komplikovanejšia, pretože elektrický náboj Q je záporným elektrickým nábojom Q 1 priťahovaný a kladným elektrickým nábojom Q odpudzovaný. V oblasti A sa nemôže odpudzovanie od menšieho elektrického náboja Q, ktorý je ešte k tomu aj ďalej, rovnať priťahovaniu od bližšieho a väčšieho náboja. Tým je oblasť A vylúčená. Vylúčená je aj oblasť B, kde majú sily rovnaký smer. Miesto, kde bude výsledná sila nulová môže byť iba v oblasti C. Vyjadrime podmienku rovnováhy síl a použime geometrický popis podľa obr Musí platiť 9QQ 4QQ =, odkiaľ po elementárnej úprave dostávame x = d. 4π ε ( d + x) 4πε x Obr. 1.5 Príklad 1.3. V Bohrovom modeli atómu vodíka elektrón obieha okolo protónu po kruhových dráhach. Nájdite rýchlosť elektrónu na prvej Bohrovej dráhe, ak jej polomer je,5 1 1 m, hmotnosť elektrónu je 9, kg a náboj elektrónu je 1, C. Riešenie: Dostredivá sila pri kruhovom pohybe je elektrická príťažlivá sila medzi elektrónom a protónom mv e = Fe. r Elektrickú silu určíme z Coulombovho zákona 19 e (1,6 1 ) 8 Fe = = N =8,53 1 N 1 1 4πεr 4π8,854 1 (,5 1 ) a pre rýchlosť dostávame 8 1 Fr e 8, 19 1, v = = ms =, 1 ms. 31 me 9,19 1 Rýchlosť elektrónu na obežnej dráhe je,5 1 6 m s -1. Poznámka: Vážnym nedostatkom Bohrovho modelu bolo, že náboj, ktorý sa pohybuje so zrýchlením (dostredivé zrýchlenie!) musí vyžarovať elektromagnetické vlnenie a tým strácať energiu. Takýto elektrón by zakrátko spadol na protón. Bohr to riešil vtedy neopodstatneným postulátom, podľa ktorého na určitých dráhach elektrón nevyžaruje energiu. Štruktúru atómov a molekúl správne vysvetlila až kvantová mechanika. 8

8 Príklad 1.4 Určite podiel veľkostí elektrickej a gravitačnej sily, ktorou na seba pôsobia protón a elektrón v atóme vodíka vo vzdialenosti r = a, čo je tzv. Bohrov polomer a =, m. Porovnajte elektrické a gravitačné sily medzi elektrónom a protónom mm , , Fg = G = 6,67 1 = 3, N r 1 1,5 1 ( ) 19 ( 1,6 1 ) 1 ( ) 1 QQ 1 1 Fe = = = 8, πε o r1 4 3,14 8,854 1,5 1 a pre pomer F e / F g dostaneme Fe 39,7 1 F = g Elektrická sila pre tieto dve častice je rádovo 1 39 krát silnejšia ako gravitačná sila. Pre štruktúru atómov a molekúl je preto rozhodujúca elektrická sila a nie gravitačná. Gravitačné efekty sú na tejto úrovni úplne zanedbateľné. 8 N 1.3 Spojité rozloženie elektrických nábojov - hustota elektrického náboja Elektrický náboj makroskopického objektu je dôsledok nevykompenzovaného počtu protónov a elektrónov. Ich rozmery sú v porovnaní s veľkosťou makroskopického objektu neporovnateľne menšie a na makroskopickej úrovni je bodový charakter jednotlivých elektrických nábojov nepodstatný. Elektrický náboj na telese preto môžeme chápať ako spojité rozloženie nekonečne malých nábojových elementov dq. Tieto nábojové elementy potom považujeme za bodové elektrické náboje. Výsledné elektrické pole podľa princípu superpozície bude určené integráciou cez príspevky od všetkých elementov náboja dq. Ak sú elektrické náboje rozložené v priestore, pre charakterizovanie spojitého rozloženia náboja zavádzame objemovú hustotu elektrického náboja r definovanú vzťahom ΔQ dq 3 ρ( r) = lim = ; [ ρ] = Cm. (1.6) Δτ Δτ dτ V elektrostatike sa stretávame často s tým, že elektrické náboje sú rozložené iba na povrchu telies. Vtedy má význam zaviesť plošnú hustotu elektrického náboja definovanú ako ΔQ dq σ = lim = ; [ σ] = Cm, (1.7) ΔS ΔS ds kde ds je nekonečne malý element plochy, na ktorej je rozložený elektrický náboj dq. Niekedy má uvažovaná plocha jeden rozmer podstatne väčší ako ostatné rozmery. Napríklad dlhý tenký valec s elektrickým nábojom na povrchu. Z väčšej vzdialenosti sa nám takýto valec bude javiť ako tenké nabité vlákno, kde podstatné rozmery súvisia iba s jeho dĺžkou. V takom prípade zavádzame dĺžkovú hustotu elektrického náboja definovanú vzťahom ΔQ dq 1 λ = lim = ; [ λ] = Cm, (1.8) Δ l Δ d kde dq je elektrický náboj pripadajúci na úsek vlákna dĺžky dl. 9

9 Elektrostatické pole Uviedli sme už, že elektrické náboje na seba pôsobia silami. Elektrické náboje sú od seba vzdialené a je na mieste otázka, čím je toto silové pôsobenie sprostredkované. Otázku si položil už Faraday a zaviedol predstavu, podľa ktorej náboje na seba pôsobia prostredníctvom elektrického poľa. Každý elektrický náboj vytvára vo svojom okolí elektrické pole a až toto pole pôsobí na ďalší elektrický náboj. Ak elektrický náboj zmení svoju polohu, tak sa zmení aj jeho elektrické pole a táto zmena sa šíri rýchlosťou svetla. To, že silové pôsobenie sa šíri konečnou rýchlosťou ukázala až teória relativity na začiatku minulého storočia. V elektrostatike sa však so šírením elektrického poľa nebudeme zaoberať. Elektrické pole sa prejavuje silovým účinkom a sila je vektorová veličina. Elektrostatické pole preto budeme charakterizovať vektorovou funkciou. Neskôr si ukážeme, že elektrické pole je aj energetickým prejavom elektrického náboja. Silové pôsobenie medzi elektrickými nábojmi vo všeobecnosti závisí od toho, či sú náboje v pokoji, alebo vo vzájomnom pohybe. V tejto kapitole sa budeme zaoberať elektrostatickým poľom, teda poľom, ktoré vytvára elektrický náboj, ktorý je v pokoji..1 Intenzita elektrického poľa Vzťah (1.1) vyjadrujúci elektrickú silu medzi dvoma elektrickými nábojmi môžeme chápať ako funkciu veľkostí obidvoch nábojov F(Q 1, Q ). Z hľadiska veľkosti elektrického náboja Q, resp. Q 1 je táto funkcia lineárna. To znamená, že v danom bode je sila F pôsobiaca na elektrický náboj Q priamo úmerná jeho veľkosti. Ak vydelíme túto silu veľkosťou elektrického náboja Q, dostaneme číselne hodnotu sily, ktorá by v danom bode pôsobila na jednotkový kladný elektrický náboj. Inak povedané, ak určíme silu, ktorá v danom bode pôsobí na jednotkový elektrický náboj, tak vieme jednoducho vypočítať silu pôsobiacu na ľubovoľne veľký elektrický náboj v tomto bode. Zatiaľ je to úplne formálny postup, ale ako uvidíme neskôr, má hlbšie fyzikálne opodstatnenie. Je potrebné ešte poznamenať, že testovanie sily pomocou jednotkového elektrického náboja musíme robiť opatrne. V niektorých sústavách jednotiek, vrátane SI, je veľkosť jednotkového elektrického náboja veľmi veľká. Takýto veľký elektrický náboj sa prakticky nedá použiť na testovanie, lebo by mohol výrazne zmeniť pôvodné rozloženie elektrických nábojov a teda aj pôvodné elektrické pole. Napríklad svojimi účinkami zmeniť rozloženie elektrického náboja na vodičoch, ktorých elektrické pole určujeme. O skúšobnom elektrickom náboji teda budeme predpokladať, že je dostatočne malý. Nech do počiatku súradníc umiestnime z elektrický náboj Q a testovací náboj je elektrický náboj Q. Intenzita elektrického poľa v bode Q E s polohovým vektorom r bude podiel sily v danom F mieste poľa a testovacieho elektrického náboja Q. r Q Pre elektrostatické pole bodového elektrického y náboja dostaneme x F Q Q E() r = = r = r 3 (.1) Q 4πε r 4πε r Obr..1 V poslednom vzťahu r je jednotkový vektor v smere vektora r. Vektor intenzity elektrického poľa vytvoreného bodovým elektrickým nábojom Q je zobrazený na obr..1. 1

10 Predchádzajúce úvahy môžeme zovšeobecniť na ľubovoľnú sústavu elektrických nábojov, ktorá vyvoláva silové účinky na testovací elektrický náboj Q v bode r. Ak vo vzťahu (1.4) vydelíme silu F veľkosťou testovacieho náboja Q, pre intenzitu elektrického poľa dostávame: F( r) 1 r ri Er () = = Qi. (.) 3 Q i= 1, n4πε r ri Intenzita elektrického poľa sa číselne rovná sile, ktorá by v danom mieste pôsobila na jednotkový elektrický náboj. Intenzita elektrického poľa je vektorová veličina a vektor intenzity elektrického poľa v danom bode má smer sily, ktorá by v danom mieste pôsobila na kladný elektrický náboj. Jednotka intenzity elektrického poľa je N J 1 1 [ E] = = m =Vm C C a jej rozmer v sústave SI je N/C = kg m A 1 s 3. Z praktických dôvodov sa intenzita elektrického poľa vyjadruje v jednotkách volt/meter = V m 1. Ak poznáme intenzitu elektrického poľa v určitom mieste, tak sila pôsobiaca v tomto mieste na ľubovoľný elektrický náboj Q je F =Q E (.3) Veľkosť a smer sily F pôsobiacej na elektrický náboj Q v elektrickom poli závisí od jeho polohy a teda je funkciou r. To znamená, že aj intenzita poľa E je funkciou polohy r, čiže E = E(r). Doteraz sme formulovali vzťahy pre intenzitu poľa vytvoreného jedným bodovým elektrickým nábojom, resp. sústavou bodových elektrických nábojov. Vo všeobecnom prípade, ak elektrické pole je vytvorené nabitým telesom rôzneho tvaru, určíme intenzitu elektrického poľa integráciou elementárnych príspevkov k celkovej intenzite elektrického poľa od elektrických nábojov rozložených spojito v elementoch objemu, resp. na plošných elementoch povrchu telesa. Využijeme pri tom pojem hustota elektrického náboja, definovaný vzťahmi ( ) a princíp superpozície..1 Znázorňovanie elektrostatického poľa, siločiary Obr.. Typická ukážka znázornenia elektrického poľa E pomocou vektorov. Popis elektrických polí pomocou vektorovej funkcie súradníc je matematicky dosť abstraktný. Snažíme sa preto nájsť vhodné grafické zobrazenie, aby sme získali predstavu o priestorovom rozložení takýchto polí. Najjednoduchší spôsob znázorňovania elektrických polí spočíva v tom, že si vytvoríme hustú sieť bodov a v každom bode nakreslíme vektor, ktorého smer je totožný so smerom vektora E v danom bode a dĺžka vektora je úmerná veľkosti vektora E. Typická ukážka takéhoto spôsobu znázornenia poľa E(r) je na obr... Nevýhodou tohoto spôsobu je, že ak si zvolíme určitú mierku, tak mnoho vektorov má príliš malú dĺžku, iné vychádzajú veľmi dlhé. Zobrazením získame dobrú predstavu o priebehu elektrického poľa iba v dosť malej oblasti. Inou modifikáciou predchádzajúcej metódy je znázorňovanie elektrických polí pomocou elektrických siločiar. 11

11 Elektrické siločiary sú orientované krivky, ktorých dotyčnica v každom bode má smer intenzity elektrického poľa. Zdanlivou nevýhodou tejto metódy je, že z obrázku nevidieť veľkosť elektrického poľa v jednotlivých bodoch. V skutočnosti však z obrázka možno vyčítať určitú informáciu o veľkosti elektrického poľa, lebo veľkosť intenzity elektrického poľa rastie s hustotou siločiar. Ukážka znázornenia elektrického poľa dvoch rovnakých kladných elektrických nábojov pomocou siločiar je na obr..3. V blízkosti kladného elektrického náboja sila pôsobiaca na jednotkový kladný náboj je odpudivá, čiže smeruje od kladného elektrického náboja. Z definície intenzity elektrického poľa potom vyplýva, že elektrické siločiary vychádzajú z + kladných elektrických nábojov (v kladných elektrických nábojoch je žriedlo, zdroj ) a končia na záporných elektrických nábojoch ( nora, prepad ). V tesnej blízkosti elektrických nábojov ako zdrojov elektrického poľa majú siločiary evidentne radiálny charakter (vystupujú z elektrických + nábojov, alebo vstupujú do nich). Obr..3 Znázornenie elektrických polí dvoch kladne nabitých nábojov pomocou siločiar. Príklad.1 Vo vzdialenosti cm od seba sú pevne uložené dva kladné elektrické náboje Q 1 = 9μC a Q = 4μC. V ktorom mieste na ich spojnici sa intenzita elektrického poľa rovná nule? Riešenie: Podľa obrázku.4 je zrejmé, že výsledná elektrická intenzita môže byť nulová iba v oblasti II. Výsledná intenzita elektrického poľa v bode P sa rovná súčtu intenzít E 1 a E, ktorými prispievajú jednotlivé náboje. Intenzita sa rovná nule, keď E 1 + E =. Podľa obrázka je to vtedy, keďe 1 = E, teda 1 Q 1 Q =. 4πε 4 1 d1 πε d Obr..4 Obrázok k príkladu.1. Po použití vzťahu d = d d 1 a odmocnení rovnice dostaneme Q1 Q =, d1 d d1 po úprave 1

12 d d Q, m 9μC 1 1 = = = Q1 + Q 9μC+ 4μC,1 m Intenzita je nulová vo vzdialenosti 1 cm od väčšieho náboja. Príklad. Vo vrcholoch štvorca so stranami 1 cm sú umiestnené 4 rovnako veľké elektrické náboje s veľkosťou 1 7 C. Určite veľkosť a smer intenzity elektrostatického poľa v strede štvorca, ak znamienka nábojov Q 1, Q, Q 3, Q 4 sú a) , b) + +, c) + + Riešenie : Výsledná intenzita elektrického poľa v strede štvorca je daná vektorovým súčtom intenzít od jednotlivých elektrických nábojov: E 1 = E = E 3 = E 4. Pretože elektrické náboje sú rovnako veľké (Q 1 = Q = Q 3 = Q 4 ) a majú rovnakú vzdialenosť od stredu štvorca, platí pre veľkosť intenzity: 1 Q1 Q1 E1= E1= E3= E4= =. 4πε a πε a Obr..5 a, b, c Výsledná intenzita v prípade a) aj v prípade b) sa rovná nule (obr..5 a-c). V prípade c) je smer výslednej intenzity znázornený na obrázku c). Výsledná elektrická intenzita má veľkosť E = ( E + E4) + ( E1 + E3) 7 1 Q1 1 1 = E1 = = 4 Vm 1 4πε a 4π 8,854 1,1 = 5,8 1 Vm Výpočet intenzity elektrického poľa v niektorých špeciálnych prípadoch Intenzitu elektrického poľa vytvoreného sústavou bodových elektrických nábojov určíme podľa princípu superpozície ako súčet vektorov elektrickej intenzity od jednotlivých nábojov. Pri riešení reálnych polí sa najčastejšie stretávame s problémom spojitého rozloženia 13

13 elektrického náboja. Aj v takýchto prípadoch využívame princíp superpozície. Nepracujeme však s bodovými elektrickými nábojmi, ale s nekonečne malými nábojmi, vyjadrenými pomocou hustoty elektrického náboja na elemente dĺžky, plochy alebo v elemente objemu (pozri 1.3). Sumácia príspevkov vo vzťahu (.) prechádza na integrál cez celý priestor, v ktorom je rozložený elektrický náboj..3.1 Elektrická intenzita na osi nabitého kruhového vlákna Budeme hľadať intenzitu elektrického poľa na osi tenkého kruhového vlákna polomeru R. Na vlákne je rovnomerne rozmiestnený kladný elektrický náboj, ktorého dĺžková hustota je λ. Podľa obrázku.6 rovina vlákna je kolmá na os x, ktorá prechádza stredom vlákna. dq = λdl l λ R x de' de de' = de cosα de de dq' = λdl' Obr..6 Elektrostatické pole na osi nabitého kruhového vlákna Vyberme si element dĺžky vlákna dl, na ktorom je elektrický náboj dq a určime elektrickú intenzitu pochádzajúcu od tohoto elektrického náboja v bode vzdialenom od stredu vlákna o x. Vektor elektrickej intenzity de má vzhľadom k osi vlákna dve zložky de a de. Rovnako veľký elektrický náboj d Q umiestnený symetricky vzhľadom na stred vlákna na elemente dl bude mať opačne orientovanú a rovnako veľkú kolmú zložku de. Tieto zložky elektrickej intenzity sa navzájom kompenzujú. Rovnako sa budú kompenzovať kolmé zložky elektrickej intenzity od všetkých vzájomne symetrických elementov vlákna. Dôsledkom toho je, že všade na osi vlákna bude mať vektor výslednej elektrickej intenzity smer osi vlákna. Od nekonečne malého elektrického náboja dq vieme vyjadriť priemet elektrickej intenzity do osi vlákna de = de cos α. Podľa princípu superpozície výsledná elektrická intenzita bude súčtom, v tomto prípade integrálom, elementárnych príspevkov od všetkých elementov vlákna. dq λd x λ xd de = cosα = = (.4) 1 3 4πε R + x 4πε R + x R + x 4πε R + x ( ) ( ) ( ) ( ) Výsledná elektrická intenzita má veľkosť πr λxd λ xr Qx E = = = 4πε R + x ε R + x 4πε R + x ( ) ( ) ( ) Q kde sme za hustotu elektrického náboja dosadili λ =. πr, (.5) 14

14 Poznámka: Všimnite si, že v strede kruhového vlákna je intenzita elektrického poľa rovná nule. Ďalej, ak R bude vzdialenosť x dostatočne veľká a môžeme položiť x, potom pre intenzitu elektrického poľa od nabitého vlákna jednoduchou úpravou získame rovnaký vzťah, ako ten, ktorý poznáme pre intenzitu elektrického poľa od bodového elektrického náboja vo vzdialenosti x..3. Intenzita elektrického poľa na osi homogénne nabitej kruhovej dosky Majme podľa obrázka.7 kruhovú dosku polomeru R, ktorej rovina je kolmá na os x, a ktorá je rovnomerne nabitá kladným elektrickým nábojom s plošnou dl hustotou elektrického náboja de Q r σ =. x πr R dr dl x Hľadáme intenzitu elektrického poľa vo vzdialenosti x od stredu dosky. Dosku si môžeme predstaviť vytvorenú zo sústredných kruhových elementov nabitých vlákien, ktorých šírka je dr a polomer r. Predchádzajúce úvahy o smere vektora elektrickej intenzity pre nabité vlákno platia pre všetky takéto sústredné kruhové elementy a vektor výslednej intenzity elektrického poľa bude na osi dosky orientovaný v smere osi, teda bude na dosku kolmý. Pre každý z elementov platí vzťah (.4), len elektrický náboj Q nahradíme elektrickým nábojom dq = σ ds = σ π r dr. Veľkosť výslednej elektrickej intenzity dostaneme integráciou príspevkov od všetkých kruhových elementov dosky. R R R + x xσπrdr xσ rdr xσ dt xσ 1 1 E = = = = de de x Obr..7 Elektrostatické pole na osi homogénne nabitej dosky ε 4π ( ) ε x r x x ( r x ) ε ε + + t x + R. (.6) Často budeme používať predstavu elektrického poľa vytvoreného homogénne nabitou nekonečnou rovinou. K takémuto modelu nekonečnej nabitej roviny dospejeme, ak budeme 1 zväčšovať polomer kruhovej dosky. Ak R potom lim = a pre veľkosť R R + x intenzity elektrického poľa nekonečnej homogénne nabitej roviny dostávame E = σ (.7) ε Vždy, keď budeme v ďalšom uvažovať elektrické pole homogénne nabitej roviny, zanedbáme okrajové efekty. Elektrické pole budeme pokladať za konštantné a kolmé na rovinu. Veľkosť intenzity elektrického poľa takejto nabitej roviny bude určená vzťahom (.7). 15

15 .3.3 Intenzita elektrického poľa nekonečného homogénne nabitého priameho vlákna Priame nekonečné vlákno je nabité s dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ. Hľadáme intenzitu elektrického poľa v bode P, ktorého kolmá vzdialenosť od vlákna je a (Obr..8). dl' dl λ a r de P de ' de výsl. Obr..8. Elektrostatické pole nekonečného homogénne nabitého priameho vlákna Príspevky k elektrickej intenzite od dvoch elementov dĺžky vlákna umiestnených symetricky vzhľadom na bod P sú rovnako veľké a ich súčet bude vektor na vlákno kolmý. Vlákno je nekonečné, ku každému elementu vlákna z pravej strany od bodu P existuje symetrický element na ľavej strane a teda na vlákno musí byť kolmý aj vektor výslednej elektrickej intenzity. Pre veľkosť príspevkov platí a λ dϕ dq λd cos ϕ λdϕ de= de = = = =, 4πε r 4πεr a 4πεa 4πε cos ϕ (.8) kde sme využili = atg ϕ, adϕ a d = a r=. cos ϕ cosϕ (.9) Veľkosť výslednej elektrickej intenzity bude súčtom zložiek elektrickej intenzity kolmých na vlákno a dostávame π / λ λ π / λ E = cosϕ dϕ = [ sinϕ] =. 4πε a πε a πε a (.1).4 Tok intenzity elektrostatického poľa Pre elektrické aj magnetické javy je užitočné zaviesť novú veličinu tok vektora plochou. V elektrine to bude tok vektora intenzity elektrického poľa, v elektromagnetizme tok vektora magnetickej indukcie. Samotný pojem tok by odpovedal bezprostrednému významu tohoto slova, ak by dané vektorové pole predstavovalo napríklad pole vektora rýchlosti prúdiacej kvapaliny. Potom by náš tok vektora rýchlosti vyjadroval objem vody, ktorá by pretiekla danou plochou za jednotku času (objemový tok). 16

16 Vo fyzike pojem tok zovšeobecňujeme aj na iné vektorové polia. Pritom však nič konkrétne netečie. Je tu iba analógia. Na definovanie toku elektrickej intenzity budeme postupovať nasledovne (pozri obr..9). Zvolíme si malú orientovanú rovinnú plôšku ds. Pod orientáciou plôšky budeme rozumieť to, že sme si vybrali jednu z dvoch možností orientácie jednotkového normálového vektora n k rovine, v ktorej sa nachádza táto plôška. Nekonečne malej plôške potom môžeme priradiť vektor plošného elementu ds = ds n. Plôška ds musí byť taká malá, aby vektor elektrickej intenzity E bol vo všetkých jej bodoch rovnaký. Tok intenzity elektrického S poľa plochou ds definujeme ako skalárny súčin vektora E E a vektora elementu plochy ds dψ = EidS= Ein ds=ecosα ds. (.11) Obr..9 Definícia elementárneho toku intenzity elektrického poľa E n n Definíciu toku vektora môžeme rozšíriť na tok ľubovoľnou spojitou plochou. Urobíme to tak, že celú plochu S rozdelíme na veľmi malé elementárne plôšky ds (pozri obr..1), pre každú nájdeme normálový vektor n a definujeme vektor elementu plochy ds. Potom určíme intenzitu elektrického poľa E v mieste každej plôšky, príspevok k toku elektrickej intenzity poľa dφ a všetky príspevky spočítame. Matematicky to vyjadríme integrálom Ψ = EidS (.1) ( S ) Ak je na danej rovinnej ploche elektrická intenzita E konštantná a smer vektora E je vzhľadom k normále na plochu v každom bode rovnaký, integrál v (.1) prejde na skalárny súčin Ψ = En i S = EScosα (.13) ds Obr..1 Tok elektrickej intenzity cez plochu Ešte raz pripomíname, že tok vektora intenzity poľa je abstraktný pojem. V skutočnosti nič netečie. Je to však veličina užitočná na charakterizovanie elektrického poľa, ktorá nám umožní sformulovať Gaussov zákon. Gaussov zákon vyjadruje tok vektora intenzity elektrického poľa uzatvorenou plochou a je základným zákonom elektrostatiky..4.1 Tok intenzity elektrostatického poľa bodového elektrického náboja guľovou plochou. Zaujímavé výsledky dostaneme, ak budeme plochu S voliť ako spojitú a uzavretú plochu. Najjednoduchší prípad predstavuje guľová plocha s polomerom r okolo kladného bodového elektrického náboja Q. Nech náboj Q sa nachádza vo vnútri guľovej plochy. 17

17 E n ( S ) d 4π r. 4πε r ε Pri uzavretých plochách budeme zachovávať konvenciu, že normálový vektor n je vždy orientovaný z vnútra uzavretej plochy von. (pozri obr..11). Tok takouto plochou vždy bude znamenať výtok. Vektor elektrickej intenzity na guľovej ploche je Q E = r a normálový vektor n = r. 3 4πε r r Potom skalárny súčin Q r r Q En= i i =. 3 4πε r r 4πεr Táto veličina je však pri pevnej hodnote polomeru r konštantná a pre výsledný tok elektrickej intenzity poľa guľovou plochou dostaneme Q Q Ψ = E i S = = (.14) Q E Obr..11 Tok intenzity elektrického poľa cez guľovú plochu okolo bodového náboja v jej strede r n n E Tok vektora elektrickej intenzity guľovou plochou, v ktorej strede sa nachádza elektrický náboj Q, sa rovná podielu elektrického náboja a permitivity vákua. (Krúžok pri označení integrálu znamená, že integračná plocha je uzatvorená). Výsledok, ktorý sme dostali pre špeciálny tvar plochy budeme ďalej zovšeobecňovať..5 Gaussov zákon pre vákuum Uvažujme celkom všeobecnú do seba uzatvorenú plochu S, ktorá obklopuje elektrický náboj Q i (Obr..1). Plochu rozdelíme na malé plôšky ds, v rozsahu ktorých je vektor E konštantný. Ak každým okrajovým bodom plôšky ds vedieme priamku, ktorá prechádza bodovým elektrickým nábojom Q i, tak dostaneme kužeľovú plochu, ktorá pri svojom vrchole definuje priestorový uhol dω. Priestorový uhol Ω je definovaný ako podiel veľkosti plochy S na povrchu gule polomeru r, ktorú kužeľová plocha obopínajúca priestorový uhol Ω vytína, k 4πr druhej mocnine polomeru r. Plný priestorový uhol je teda Ω = = 4π. Príspevok od r plôšky ds k toku intenzity elektrického poľa je dψ i = E n ds = E ds cos α = E ds (.15) Súčin ds cos α môžeme interpretovať ako veľkosť priemetu plôšky ds do roviny, ktorá je kolmá na vektor ρ = r r i. Tento priemet sme označili ako ds a takouto kolmou plôškou je práve časť povrchu gule. Na základe definície priestorového uhla zrejme platí ds = ρ dw. (.16) Pokiaľ má plocha S taký tvar, že každá polpriamka vychádzajúca z bodového elektrického náboja Q i ju pretína iba raz (v jedinom bode), tak normála n je orientovaná od elektrického náboja Q i a cosα je kladný. Potom sčítanie príspevkov od všetkých elementov ds je jednoduché Qi Qi Qi Ψi = EidS = EdS = Eρ dω = ρ dω = dω= 4πε ρ 4πε (.17) S S ε Ω Ω Ω V (.17) sme využili definíciu priestorového uhla, podľa ktorej sa posledný integrál rovná 4p. 18

18 Q i q i Vo všeobecnosti však musíme predpokladať zložitejší tvar plochy S a pri záhyboch ds n E tejto plochy sa budú vyskytovať príspevky, kde cosα bude mať ako kladné tak aj záporné hodnoty (pozri obr..13). Pre jeden kužeľ obopínajúci uhol dω sú všetky príspevky E ds, E ds,..., čo do absolútnej hodnoty rovnaké, lebo ρ vystupujúce ρ v menovateli pre vyjadrenie elektrickej intenzity E sa ruší s členom ρ vo výraze ds =ρ dω. d S = d Scosα Znamienko takéhoto príspevku závisí od lokálnej orientácie normály n. Môžu nastať dva r prípady: dω dw a) elektrický náboj Q i sa nachádza vo vnútri plochy S, b) elektrický náboj Q i sa nachádza mimo r 1 plochy S. O Obr..1 Plocha S okolo elektrického náboja Q i a) Elektrický náboj Q i sa nachádza vo vnútri plochy S. V mieste prvého príspevku k dφ vektor ρ vychádza z vnútra plochy S von (obr..13), normála n je orientovaná od náboja Q i a teda cosα >. V mieste ďalšieho príspevku E n ds už vektor ρ prechádza z vonkajšej strany plochy S dovnútra, normála n smeruje k náboju Q i a znamienko príspevku je záporné. Vektor ρ takto pretína plochu S v nepárnom počte bodov, a preto párny počet rovnakých príspevkov s opačnými znamienkami n sa ruší a do výsledku zostáva iba prvý z nich. Teda Qi Ψi = (.18) ds ds " ε ' ds n ''' n Qq i i n n b) Elektrický náboj Q i sa nachádza mimo plochy S. Zopakujeme tú istú úvahu ako v predchádzajúcom prípade. Rozdiel je q Q i len v tom, že vektor ρ pretína plochu S i v párnom počte bodov, takže všetky Obr..13 Elektrický náboj vo vnútri plochy príspevky k dψ sa v konečnom dôsledku vyrušia a výsledok je rovný nule. Teda Ψ = d Ψ =. (.19) i S 19

19 Výsledok, ktorý sme získali v predchádzajúcom odseku môžeme teraz zovšeobecniť na ľubovoľnú sústavu bodových elektrických nábojov Q i ( i = 1,,..., n ). Podľa princípu superpozície je E E a teda = i i Q Q Ψ = = = i celk EidS EiidS= EiidS= (.) S S i i ε S i ε Pritom do sčítavania sa započítavajú iba tie náboje, ktoré sa nachádzajú vo vnútri plochy S. Výsledok (.), ku ktorému sme sa dopracovali sa nazýva Gaussov zákon (tiež Gaussova veta elektrostatiky). Gaussov zákon môžeme formulovať nasledovne: Tok vektora intenzity elektrostatického poľa vo vákuu cez uzavretú plochu sa rovná podielu celkového náboja uzavretého touto plochou a permitivity vákua ε o. Q celk E id S = ε (.1) S Táto formulácia vyjadruje Gaussov zákon v integrálnom tvare. Gaussov zákon je základným zákonom elektrostatiky. Coulombov zákon, hoci bol formulovaný skôr, je len jedným z experimentálnych dôkazov Gaussovho zákona. Gaussov zákon je veľmi dôležitý nielen pre výpočty elektrických polí v prípadoch, kde sa dá výhodne využiť symetria rozloženia elektrických nábojov, ale aj ako dôležitý nástroj v teórii elektromagnetického poľa. Vyplýva z neho totiž dôležitá diferenciálna rovnica vyjadrujúca vlastnosť elektrostatického poľa v danom bode priestoru..5.1 Gaussov zákon pre vákuum v diferenciálnom tvare* Vo vektorovej analýze platí Gaussova veta vektorového počtu, pomocou ktorej integrál toku vektorovej funkcie cez uzavretú plochu možno previesť na objemový integrál z divergencie danej funkcie. Platí: E id S = div E dτ, (.) S τ E E x y Ez kde dτ je element objemu a div E= + +. x y z Z (.1) a (.) dostávame ρ dτ E id S = div E dτ = ε, (.3) S ( τ) τ τ o kde sme nahradili Qcelk = ρ dτ pričom ρ je celková hustota elektrického náboja v mieste τ objemového elementu dτ. Z toho, že rovnosť objemových integrálov platí pre každý objem vyplýva, že sa musia rovnať integrované funkcie. Dostávame tak dôležitú rovnicu, ktorá vyjadruje Gaussov zákon elektrostatiky v diferenciálnom tvare ρ div E= (.4) ε

20 Poznámka: Divergencia vektora určuje výtok vektora cez nekonečne malú uzatvorenú plochu pripadajúcu na jednotkový objem. Ak je divergencia kladná, tak v danom mieste je zdroj vektorového poľa, ak je záporná je prepad. Z rovnice (.4) priamo vyplýva, že zdrojom elektrostatického poľa sú elektrické náboje, teda miesta s nenulovou hustotou elektrického náboja..6 Aplikácia Gaussovho zákona na určenie intenzity elektrostatického poľa Gaussov zákon umožňuje pomerne jednoducho určiť veľkosť intenzity elektrického poľa v prípadoch, keď riešená úloha má určité prvky symetrie. Zo symetrie úlohy vyplýva vhodná voľba Gaussovej plochy a z Gaussovho zákona pre tok vektora intenzity elektrického poľa touto plochou aj jednoduché riešenie. Väčšinou sa jedná o určenie intenzity elektrického poľa pre spojité rozloženie elektrického náboja. Zo symetrie rozloženia elektrického náboja vieme odpovedať na nasledovné otázky: aký tvar bude mať plocha (geometrické miesto bodov) kde bude intenzita elektrického poľa konštantná, aká bude orientácia vektora elektrickej intenzity vzhľadom k tejto ploche, a aký bude smer výsledného vektora elektrickej intenzity. Na ilustráciu ako sa riešia úlohy pomocou Gaussovho zákona určíme intenzitu elektrického poľa v okolí homogénne nabitej nekonečnej roviny, homogénne nabitého priameho vodiča a homogénne nabitej gule..6.1 Elektrické pole nekonečnej homogénne nabitej roviny Majme rovinu, ktorú budeme považovať za nekonečnú. Našou úlohou je určiť veľkosť a smer vektora intenzity elektrického poľa v okolí takejto roviny, ak je na nej rovnomerne rozložený elektrický náboj s plošnou hustotou elektrického náboja σ. Situácia je znázornená na obr..14. Pre ktorýkoľvek bod v okolí tejto roviny je vzhľadom na jej veľkosť (rovina je nekonečná) množstvo elektrického náboja zo všetkých strán rovnako veľké. Smer výsledného vektora elektrickej intenzity bude z dôvodu tejto symetrie na rovinu kolmý. Gaussovu plochu je preto vhodné zvoliť napríklad ako povrch valca, ktorého os bude na rovinu kolmá. Na povrchu plášťa takéhoto valca bude vektor E všade s povrchom rovnobežný a teda kolmý na vektor elementu plochy ds. Skalárny súčin E ds sa bude v každom bode plášťa rovnať nule a rovná sa nule aj tok vektora elektrickej intenzity celým plášťom valca. Na základniach valca bude vektor elektrickej intenzity s plošnými elementami ds rovnobežný. Ak si valec umiestnime tak, že nabitá rovina ho pretína v strede, potom zo symetrie musí byť na každej zo základní valca intenzita elektrického poľa nielen konštantná, ale aj rovnaká E 1 = E = E. Podľa Gaussovho zákona Q E d S = Tok plášťom + Tok dvomi základňami =, ε S kde Q je celkový elektrický náboj vo vnútri tejto plochy. V našom prípadeq= σ S, kde S je plocha prierezu valca. Tok plášťom valca sa rovná nule a zostávajú iba dva príspevky a to od 1

21 dna valca a jeho čela. Na obidvoch týchto plochách je vektor elektrickej intenzity konštantný a rovnobežný s normálou na povrch, preto E ds=e ds, a pre tok čelom a dnom valca platí ψ = E 1 S + E S = E S. (.5) Podľa Gaussovho zákona E 1 S E Obr..14 K výpočtu elektrického poľa nabitej roviny a teda σ S ES= (.6) ε σ E =. (.7) ε Výsledok je rovnaký ako (.7), ktorý sme dostali integráciou príspevkov k intenzite elektrického poľa na osi kruhovej dosky, ak miesto v ktorom určujeme elektrickú intenzitu je tesne nad nabitou plochou disku veľkého polomeru. Vidíme, že výpočet využitím Gaussovho zákona je oveľa jednoduchší a postup všeobecnejší. Vzťah (.7) platí aj pre konečné nabité rovinné plochy ďaleko od ich okrajov. Pri rovinných kondenzátoroch budeme používať práve takúto aproximáciu. Elektrické pole medzi rovinami kondenzátora budeme považovať za homogénne a pre každú z rovín bude elektrická intenzita určená vzťahom (.7). Ukážme si, aká bude intenzita elektrického poľa v prípade takýchto dvoch homogénne nabitých rovín, na ktorých sa nachádzajú elektrické náboje opačnej polarity. Situáciu znázorňuje obr..15. Prvá plocha je daná rovinou x = a je na nej rozložený y elektrický náboj s plošnou hustotou σ. Druhá plocha je daná rovinou x = d a je na nej elektrický náboj s plošnou hustotou σ. + - Zaujímame sa o elektrické pole v okolí týchto plôch a medzi nimi. Pre polia blízko nabitej plochy použijeme vzťah (.7). Intenzita elektrického poľa je na roviny kolmá a jej x vektor má iba zložku v osi x. Intenzitu z d Obr..15 elektrického poľa od prvej - kladne nabitej roviny označme E 1x, elektrickú intenzitu od druhej -záporne nabitej roviny označme E x. Budeme rozlišovať 3 oblasti: K intenzite elektrického poľa dvoch nabitých nekonečných rovín a) x <, v tejto oblasti dostávame σ ( σ ) σ E1x =, Ex = = ε ε ε a výsledné pole

22 E = x E + 1x E = σ σ x ε + ε = (.8) b) < x < d, v tejto oblasti platí σ ( σ ) σ E1x =, Ex = = ε ε ε čiže σ σ σ Ex = + = (.9) ε ε ε c) x > d σ ( σ ) σ E1x =, Ex = =, ε ε ε a výsledná intenzita E = σ σ x ε ε = (.3) Ak teda zanedbáme efekty spojené s okrajmi nabitých plôch, môžeme konštatovať: Elektrické polia od kladne a záporne nabitej rovinnej plochy sa vo vonkajšom priestore rušia. V priestore medzi nimi je homogénne elektrické pole s elektrickou intenzitou veľkosti E = σ. ε.6..elektrické pole rovnomerne nabitej gule Máme guľu s polomerom R, ktorá je rovnomerne nabitá elektrickým nábojom s objemovou hustotou náboja ρ. Situáciu znázorňuje obr..16. Pre tento prípad je typická sférická symetria úlohy, t.j. pri otočení systému okolo ľubovoľnej osi prechádzajúcej stredom gule sa žiadna fyzikálna veličina nemení. Z toho vyplýva, že: elektrické pole má radiálny smer veľkosť vektora E t.j. E = E je iba funkciou vzdialenosti r od stredu gule. V tomto prípade je najvýhodnejšie zvoliť Gaussovu plochu S ako guľovú plochu s polomerom r. Potom elektrická intenzita poľa E na povrchu plochy je v každom bode rovnobežná s normálou n k ploche S. Pre tok intenzity elektrického poľa potom dostaneme Ψ = E nds = E r ds = E r 4π r (.31) S ( ) ( ) S Elektrický náboj Q, ktorý je takouto plochou obklopený závisí od polomeru r. Ak je r < R, tak vo vnútri plochy sa nachádza iba časť náboja celého telesa 4π 3 Q( r) = ρ r (.3) 3 Z Gaussovho zákona potom vyplýva 4 3 ρ π r E( r) 4π r = 3 (.33) ε z čoho po úprave dostaneme 3

23 ( ) E r ρ r = pre r <R (.34) 3ε Pre plochy S, kde r > R, je elektrický náboj vo vnútri plochy konštantný 4 3 Q= Q( R) = ρ π R (.35) 3 E takže pre výslednú intenzitu ds n elektrického poľa dostaneme 3 ρr 1 1 Q E( r) = = 3ε r 4πε r R pre r R. (.36) E r = R r Obr..16 Výpočet elektrického poľa rovnomerne nabitej gule. Priebeh veľkosti vektora elektrickej intenzity E je znázornený na obr..16. Vidíme, že veľkosť vektora E pri zväčšovaní vzdialenosti od stredu gule najprv lineárne rastie. Najväčšiu hodnotu dosahuje na povrchu gule. Intenzita elektrického poľa mimo nabitej gule klesá so štvorcom vzdialenosti. Výsledok je veľmi zaujímavý. Vyplýva totiž z neho, že pole rovnomerne nabitej gule v priestore mimo nej je presne také isté ako pole rovnako veľkého bodového náboja umiestneného v jej strede..6.3 Elektrické pole gule nabitej na povrchu Uvažujme dutú guľu polomeru R, na ktorej povrchu je homogénne rozložený elektrický náboj s plošnou hustotou σ. Situáciu znázorňuje obr..17. Takáto dutá guľa je reálny model napríklad pre nabitú kovovú guľu, na ktorej bude elektrický náboj v dôsledku repulzie elektrických nábojov rozložený naozaj iba vo veľmi tenkej povrchovej vrstve. Budeme postupovať podobne ako v predchádzajúcom prípade. Stred súradnicovej sústavy umiestnime do stredu gule. Pre úlohu je typická sférická symetria, z čoho vyplýva radiálny smer vektora E. Veľkosť E je potom funkciou iba vzdialenosti r od stredu gule. Plochu S budeme voliť ako sférickú plochu o polomere r. Na tejto sférickej ploche je potom vektor E vždy rovnobežný s miestnou normálou n a pre tok vektora elektrickej intenzity dostaneme Ψ = E n ds = E( r) 4π r (.37) S Musíme rozlišovať dva prípady, a to r < R a r > R. Ak r < R, vo vnútri gule nie je žiaden elektrický náboj, preto tok ψ=. Z toho ihneď vyplýva E =. (.38) 4

24 E ds R E r = R n Obr..17 Výpočet elektrického poľa gule nabitej na povrchu r V druhom prípade, ak r > R, tak vo vnútri plochy S sa nachádza všetok elektrický náboj, ktorý je na povrchu nabitej gule, Q= 4π R σ takže podľa Gaussovho zákona platí Q 4π R σ Ψ = E( r) 4π r = ε = ε (.39) z čoho vyplýva σ R E( r) =, ak r > R (.4) ε r Závislosť elektrickej intenzity poľa od vzdialenosti r od stredu gule je znázornená na obr..17. Na funkčnej závislosti E(r) nás prekvapuje nespojitosť v bode r = R. Tu si musíme pripomenúť, že sme pracovali s abstrakciou gule, kde sa elektrický náboj na povrchu rozkladá v nekonečne tenkej vrstve. V skutočnosti, ak máme vodivé teleso nabité na povrchu, tento elektrický náboj sa vždy rozprestiera vo vrstve konečnej hrúbky. Výpočty ukazujú, že napríklad v kovoch hrúbka takejto vrstvy predstavuje niekoľko atomárnych rovín, čo je síce z makroskopického hľadiska zanedbateľná hrúbka, ale v rozsahu takejto veľmi tenkej vrstvy elektrické pole spojito narastá z nuly na konečnú hodnotu. Tesne nad povrchom nabitého vodiča, a teda aj nabitej vodivej gule, platí r = R a veľkosť intenzity elektrického poľa sa rovná E = σ (pozri časť 3.4). ε.6.4 Elektrostatické pole nekonečne dlhého nabitého vlákna Obr..18 Výpočet intenzity elektrického poľa nekonečne dlhého nabitého vlákna. Uvažujeme nekonečne dlhé vlákno nabité s konštantnou dĺžkovou hustotou elektrického náboja λ. Pri riešení využijeme valcovú symetriu, ktorá je typická pre tento problém. Vlákno je nekonečne dlhé, z čoho vyplýva, že intenzita elektrického poľa nemá zložky rovnobežné s osou vlákna, takže v každom bode je vektor E kolmý na os vlákna. Situáciu znázorňuje obr..18. Okrem toho, situácia sa nezmení pri ľubovoľnom pootočení okolo osi vlákna, z čoho vyplýva, že v rovnakej vzdialenosti a od vlákna majú všetky vektory E rovnakú veľkosť a veľkosť intenzity elektrického poľa je iba funkciou vzdialenosti E = E( a ). V takomto prípade je výhodné voliť Gaussovu plochu S ako valcovú plochu s polomerom a a určitou výškou l, ktorej osou je 5

25 nabité vlákno. Vo všetkých bodoch čela a dna tejto plochy je vektor poľa E kolmý na miestnu normálu k ploche ds, takže príspevok k toku elektrickej intenzity poľa je nulový. Nenulový príspevok dostaneme iba od plášťa valca, kde je vektor E v každom bode rovnobežný s normálou n. Vektory E majú na tomto plášti rovnakú veľkosť a tok vektora elektrickej intenzity je podľa Gaussovho zákona λ Ψ = E d S= E( a) Splašť = E( a) π a = ε, (.41) S kde sme elektrický náboj na úseku vlákna dĺžky l vyjadrili pomocou dĺžkovej hustoty elektrického náboja vzťahom Q = λ. Z toho pre intenzitu elektrického poľa E vo vzdialenosti a od vlákna ihneď dostávame λ E( a) = (.4) π aε Príklad.3 Akou silou je priťahovaná kladne nabitá častica s elektrickým nábojom Q k záporne nabitej nekonečne veľkej rovine s plošnou hustotou elektrického náboja σ. Elektrické náboje sa nachádzajú vo vákuu. Q = 4,8 μc, σ = μc m. Riešenie Pre silu platí F = QE a veľkosť intenzity elektrického poľa od nekonečnej nabitej roviny sa σ rovná E =. Častica je potom priťahovaná silou ε F Q σ = = 4,8 1 = 1,8 N. 1 ε 8, Práca v elektrostatickom poli Majme elektrostatické pole vytvorené bodovým elektrickým nábojom Q umiestneným v počiatku súradnicovej sústavy (obr..19). V tomto elektrickom poli na ďalší bodový elektrický náboj Q pôsobí sila A r A F Q r dr Q r B B Obr..19. Práca v elektrostatickom poli náboja Q 1 QQ F = r (.43) 3 4πε r Pri posunutí elektrického náboja Q z bodu A do bodu B sila elektrického poľa vykoná prácu 6

26 rb rb rb 1 QQ 1 QQ 1 QQ QQ 1 1 AB = r dr = d d 3 3 4πε A r = 4πε A r = 4πε A r 4πε r r r ra rb W r r r (.44) Pri úprave integrovanej funkcie sme využili, že platí r.dr = rdr. Pri vyjadrovaní práce elektrostatickej sily nikde nevystúpila dráha, ktorou bol náboj Q posunutý z miesta A do B. Práca na spôsobe posunutia náboja nezávisela. Silové pole, v ktorom práca nezávisí na trajektórii, po ktorej sa posunulo pôsobisko sily, ale iba na konečnej a počiatočnej polohe, nazývame konzervatívne, alebo potenciálové. Pre prácu sily elektrostatického poľa po uzatvorenej krivke a rovnako aj pre integrál intenzity elektrostatického poľa po uzatvorenej krivke platí F dr= E dr= (.45) V poli, pre ktoré platí (.45), môžeme definovať potenciálnu energiu a potenciál. V mechanike sme definovali potenciálnu energiu pomocou práce, ktorú vykoná sila poľa pri premiestnení pôsobiska sily z daného miesta poľa do vzťažného miesta. V elektrostatickom poli bodového elektrického náboja, podobne ako v gravitačnom poli hmotného bodu, za vzťažné miesto obyčajne volíme nekonečno a potenciálnu energiu v nekonečne kladieme rovnú nule. Pre potenciálnu energiu dvoch bodových elektrických nábojov Q a Q vzdialených o r potom dostávame QQ QQ Ep () r = Wr, = = (.46) 4πε r r 4πε r Prácu, ktorú vykoná sila elektrostatického poľa pri posunutí elektrického náboja Q z bodu A do bodu B môžeme vyjadriť aj ako rozdiel potenciálnych energií, pretože platí rb rb W = F dr = F dr+ F dr = F dr F d r= E ( r ) E ( r ) (.47) AB p A p B ra ra ra rb Pre každé elektrostatické pole, nielen pole bodového elektrického náboja, môžeme v určitom mieste poľa definovať pre daný elektrický náboj potenciálnu energiu, a to pomocou práce sily poľa pôsobiacej na tento elektrický náboj pri jeho posunutí do vzťažnej polohy r. r E () = d p r F r (.48) r.8 Potenciál elektrostatického poľa Pri charakterizovaní elektrického poľa pomocou vektora intenzity elektrického poľa sme vychádzali z vyjadrenia sily pôsobiacej na skúšobný náboj. Analogicky môžeme v každom bode elektrostatického poľa určiť potenciálnu energiu, ktorú by mal v danom mieste skúšobný náboj. Samozrejme, že potenciálna energia by bola rôzna pre rôzne skúšobné náboje. Podiel potenciálnej energie a náboja však bude veličina charakterizujúca iba samotné skúmané elektrické pole. Takúto veličinu nazývame potenciál elektrického poľa a označujeme symbolom V. Nech elektrický náboj Q je náboj, ktorého elektrické pole chceme charakterizovať. Potom podľa (.46) a predchádzajúcej úvahy r 1 d 1 d 1 QQ r QQ r Q V () r = = = Q 4πε r Q 4πε r 4πε r. (.49) r r 7

27 Potenciál elektrického poľa v určitom mieste sa číselne rovná práci, ktorú by vykonala sila poľa na prenesenie jednotkového kladného elektrického náboja z daného miesta do vzťažného miesta (v tomto prípade do nekonečnej vzdialenosti). Pomocou práce sily elektrického poľa sme definovali potenciálnu energiu pre určitý elektrický náboj v danom mieste elektrického poľa. Ekvivalentná je preto nasledovná názorná definícia elektrického potenciálu: Potenciál v nejakom bode elektrostatického poľa sa rovná potenciálnej energii ľubovoľného elektrického náboja v danom mieste delenej týmto nábojom. Pre elektrický potenciál bola zavedená jednotka volt. Jej rozmer v sústave SI je J 3 1 1volt = = kgm s A. C V určitom mieste elektrického poľa je potenciál 1 volt, ak na prenesenie elektrického náboja 1C z daného miesta do vzťažnej polohy pole vykoná prácu 1 joule. Pre elektrostatické pole bodového elektrického náboja sme vzťažné miesto miesto s nulovým potenciálom zvolili v nekonečne. Nie je to nevyhnutné, v tomto prípade je to však rozumná voľba, lebo sa tým výraz pre V(r) zjednodušuje. Prácu na prenesenie jednotkového kladného elektrického náboja môžeme vyjadriť aj pomocou sily pôsobiacej na jednotkový elektrický náboj. Pretože F = Q E potom r r F V () r = dr= d Q E r (.5) r r Potenciál elektrického poľa vyjadrený rovnicou (.49) bol špeciálnym prípadom elektrického potenciálu. Vyjadrili sme ním potenciál elektrického poľa, vytvoreného jedným bodovým elektrickým nábojom. Rovnica (.5) je všeobecnejšia v tom zmysle, že E je elektrická intenzita bližšie nešpecifikovaného elektrického poľa. Môžeme formulovať ďalšiu definíciu elektrického potenciálu: Potenciál v určitom bode elektrostatického poľa sa rovná integrálu elektrickej intenzity tohoto poľa po ľubovoľnej integračnej ceste z daného bodu poľa do vzťažného miesta. Potenciál vo vzťažnom mieste zvyčajne volíme rovný nule. Definovali sme elektrický potenciál v určitom bode a môžeme teraz vyjadriť rozdiel potenciálov medzi dvomi bodmi elektrického poľa. Využijeme konzervatívnosť elektrického poľa a pre rozdiel potenciálov dostávame r r r ra ra rb VB VA = E dr E dr= E dr+ E dr= E dr= E dr (.51) Rozdiel potenciálov V B V A je rb ra rb r rb ra B dv a z rovnice (.51) zapísanej v tvare A B A B dv = E d r vyplýva dv = E. dr (.5) Definíciu elektrického potenciálu môžeme zovšeobecniť na sústavu bodových elektrických nábojov pomocou princípu superpozície. Ak máme sústavu bodových elektrických nábojov Q i, tak potenciál elektrického poľa sústavy v určitom bode je súčtom elektrických potenciálov od jednotlivých elektrických nábojov A 8

28 V = V = 1 Q (.53) i i i 4πε i ri Množina bodov, v ktorých má elektrický potenciál rovnakú hodnotu, je ekvipotenciálna plocha. Pri pohybe elektrického náboja po ekvipotenciálnej ploche sila poľa nekoná žiadnu prácu. Siločiary preto musia byť kolmé na ekvipotenciálne plochy. Dôkaz tohoto tvrdenia je jednoduchý. Ak by neboli, potom by bola nenulová zložka intenzity elektrického poľa v smere dotyčnice ku ekvipotenciálnej ploche a práca elektrostatickej sily odpovedajúcej tejto zložke intenzity elektrického poľa by bola rôzna od nuly. Ekvipotenciálne plochy pre bodový elektrický náboj sú sústredné guľové plochy. V homogénnom poli, napr. v okolí nekonečnej nabitej roviny, sú ekvipotenciálne plochy rovnobežné roviny kolmé na siločiary. Ekvipotenciálne plochy pre konštantné elektrické pole a pole bodového elektrického náboja sú zobrazené na obr... + s + Obr... Ekvipotenciálne plochy pre homogénne elektrické pole.9 Súvis medzi elektrickou intenzitou a potenciálom Podľa (.5) platí dv = E dr, kde dv je diferenciál potenciálu V = V(x, y, z), E je vektor elektrickej intenzity a dr = dx i + dy j + dz k je vektor elementárneho posunutia v elektrickom poli. Po dosadení za diferenciál funkcie dv dostávame E V V V V V V d r = dx + dy + dz = + + ( dx dy dz ) x y z x i y j z k i+ j + k (.54) Ak zavedieme z matematiky známy gradient funkcie potom E dr= gradv dr E= gradv. (.55) Intenzita elektrického poľa, a teda aj sila pôsobiaca v elektrickom poli na kladný elektrický náboj, má smer maximálneho úbytku elektrického potenciálu. Kladný elektrický náboj sa v elektrickom poli bude pohybovať vždy z miesta s vyšším potenciálom do miesta s nižším potenciálom. Ak poznáme v každom bode elektrický potenciál ako funkciu súradníc x, y, z, potom vo všetkých bodoch môžeme určiť zložky vektora intenzity E x, E y, E z. Na určenie intenzity elektrického poľa máme teraz dve možnosti. Z rozloženia elektrických nábojov určiť skladaním vektorových príspevkov vektor intenzity elektrického poľa, alebo z rozloženia elektrických nábojov určiť sčítaním skalárnych príspevkov výsledný elektrický potenciál a z neho pomocou (.55) vektor elektrickej intenzity. Posledný spôsob je vo veľkej väčšine reálnych problémov schodnejšia cesta. 9

29 .1 Napätie v elektrostatickom poli Potenciál sme zaviedli pomocou práce. V dôsledku toho prácu na prenesenie elektrického náboja v elektrickom poli môžeme vyjadriť aj pomocou rozdielu elektrických potenciálov. Vzťah (.44) vyjadrujúci prácu elektrického poľa pri prenesení bodového elektrického náboja v poli iného bodového elektrického náboja môžeme upraviť na súčin QQ 1 1 Q Q WAB = = Q = Q { V ( ra) V ( rb) } (.56) 4πε ra rb 4πεrA 4πεrB Práca, ktorú sily elektrického poľa vykonajú na prenesenie elektrického náboja sa rovná súčinu náboja a rozdielu elektrických potenciálov v počiatočnej a konečnej polohe. Na charakterizovanie elektrického poľa definujeme elektrické napätie medzi dvomi bodmi elektrického poľa. Elektrické napätie medzi dvomi bodmi elektrostatického poľa sa rovná práci na prenesenie jednotkového kladného elektrického náboja medzi týmito bodmi elektrického poľa. Ako vyplýva z (.56) elektrické napätie sa rovná rozdielu potenciálov AB UAB = W = VA VB. (.57) Q Medzi dvoma bodmi elektrického poľa je elektrické napätie 1 volt, ak pri prenesení elektrického náboja 1C medzi týmito bodmi treba vykonať prácu 1J, alebo sa získa energia 1J. Definície, ktoré sme tu zaviedli pre elektrické pole bodového elektrického náboja, platia pre ľubovoľné elektrické pole. Vo fyzike sa často, hlavne vo fyzike atómov a molekúl a fyzike elementárnych častíc ako jednotka energie používa elektrónvolt (skratka ev). Elektrónvolt sa rovná práci, ktorú elektrické pole vykoná pri prenesení elementárneho elektrického náboja 1, C medzi dvomi miestami v elektrickom poli, ktorých rozdiel elektrických potenciálov sa rovná 1 V. Elektrické napätie môžeme vyjadriť aj pomocou intenzity elektrického poľa a platí rb rb rb UAB = VA VB = E dr- E dr= E dr+ E dr= E dr. (.58 ra ra ra ra Elektrické napätie medzi dvomi bodmi elektrostatického poľa sa rovná integrálu elektrickej intenzity tohoto poľa po ľubovoľnej krivke spájajúcej dané dva body. Poslednú definíciu budeme najčastejšie využívať pri výpočte elektrického napätia..11 Energia sústavy elektrických nábojov Majme dva kladné bodové elektrické náboje Q 1 a Q, ktorých vzdialenosť je r 1. Elektrické náboje sa odpudzujú a na to, aby sa elektrické náboje dostali do tejto vzdialenosti, 3

30 musela byť vonkajšou silou z nekonečnej do danej vzdialenosti vykonaná práca. Dva elektrické náboje majú preto potenciálnu energiu, ktorá sa podľa (.46) rovná 1 QQ 1 Ep () r =. (.59 4πε r1 Ak pridáme ďalší elektrický náboj Q 3, ktorý prinesieme z nekonečna do vzdialenosti r 13 od Q 1 a r 3 od Q, musíme v zmysle predchádzajúcej úvahy vykonať ďalšiu prácu. Podľa princípu superpozície potenciálna energia sústavy bude 1 QQ 1 QQ 1 3 QQ 3 Ep = + + = Ep(1, ) + Ep(1, 3) + Ep(, 3). (.6) 4πε r1 r13 r3 Vzťah (.6) môžeme zovšeobecniť na sústavu N elektrických nábojov a pre elektrostatickú energiu sústavy elektrických nábojov dostávame vzťah 1 QQ i j 1 QQ i j Ep = Ep(, i j) = =, (.61) i< j j 4πε i< j j rij 8πε i j rij v ktorom posledná sumácia prebieha cez všetky možné hodnoty indexov i j. Aby energia dvojice elektrických nábojov pri neobmedzených sumačných indexoch nebola započítaná dvakrát museli sme posledný výraz deliť dvomi. Na vyjadrenie potenciálnej energie môžeme využiť aj elektrický potenciál. Upravíme k tomu vhodným spôsobom predchádzajúcu rovnicu. Dostaneme 1 1 Qj 1 Ep = Qi = QV i i, (.6) i j i 4πε rij i kde symbolom V i sme označili potenciál elektrického poľa vytvoreného ostatnými elektrickými nábojmi sústavy v bode, v ktorom sa nachádza náboj Q i. Qj V = i j i 4πε r (.63) ij Potenciálnu energiu môžeme vyjadriť aj v prípade, že nemáme bodové elektrické náboje, ale spojité rozloženie elektrického náboja s objemovou hustotou r. Sumáciu cez bodové elektrické náboje v rovnici (.6) nahradíme integráciou cez objem z priestorovej hustoty elektrického náboja v každom bode a potenciálu elektrického poľa v tomto bode 1 Ep = ρ V dτ (.64).1 Elektrické pole dipólu Pod elektrickým dipólom rozumieme sústavu dvoch rovnako veľkých elektrických nábojov opačnej polarity. Budeme vyšetrovať elektrické pole dipólu v takej vzdialenosti od stredu dipólu, ktorá bude oveľa väčšia, ako vzájomná vzdialenosť elektrických nábojov. Nech sú obidva elektrické náboje vzdialené o l. Vyjadríme si najprv výsledný elektrický potenciál a z neho pomocou (.55) nájdeme intenzitu elektrického poľa. Podľa obr..1 Q 1 1 Q cosθ Q cosθ V = V+ + V = 4πε r+ r 4πε r+ r 4πε r, (.65) kde sme položili rr + r, r r+ cosθ. Ak zavedieme elektrický dipólový moment p = Ql ako vektor smerujúci od záporného elektrického náboja ku kladnému a ktorého veľkosť je Ql, 31

31 r - -r + r - r+. θ l -Q +Q p Obr..1. Elektrický dipól. potom elektrický potenciál dipólu môžeme pomocou elektrického dipólového momentu vyjadriť v tvare V() r = p r. (.66) 3 4πε r Na rozdiel od elektrického potenciálu bodového elektrického náboja, ktorý klesá nepriamo úmerne prvej mocnine vzdialenosti od elektrického náboja, elektrický potenciál dipólu klesá s druhou mocninou vzdialenosti od stredu dipólu. Na určenie intenzity elektrického poľa použijeme vzťah medzi elektrickou intenzitou a potenciálom (.55). Nech elektrické náboje dipólu sa nachádzajú na osi x. Potom vektor p má smer osi x a p r = px. px p p 3 p 3x r Ex = ( ) 1 3 = x r = = x 4πεr 4πεr 4πε x 4πεr r x (.67) p p = 3 ( 1+ 3cos θ) = 3 ( 3cos θ 1) 4πε r 4πε r px p 3 xp 4 r Ey = ( ) 3 = x r = ( 3) r = y 4πεr 4πε y 4πε y 3p x 3pcosθ y 3pcosθsinθ = ( x + y + z ) = = 4πε r r y 4πε r r 4πε r (.68) Vo výrazoch pre elektrickú intenzitu je treba si všimnúť, že intenzita elektrického poľa dipólu klesá úmerne s treťou mocninou vzdialenosti od stredu dipólu. (Pre bodový elektrický náboj bol pokles elektrickej intenzity s druhou mocninou vzdialenosti). Siločiary aj ekvipotenciálne plochy dipólu sú zobrazené na obr... V chemických štruktúrach sa často stretávame s dipólmi, ktoré vznikajú v molekulách v dôsledku rôznych akceptorových alebo donorových vlastností atómov, alebo molekulových skupín. Na atómoch v molekule vzniká parciálny kladný resp. záporný elektrický náboj, čo sa prejavuje elektrickým dipólovým momentom a polaritou molekuly. Molekula vody je polárna, má dipólový moment, ktorý je vektorovým súčtom dipólových momentov každej z OH väzieb. V molekule vody majú obidva atómy vodíka kladný parciálny náboj. Dvojnásobne veľký záporný parciálny náboj je na atóme kyslíka. Tento parciálny náboj nepredstavuje žiadne delenie elektrónu, iba menšiu, resp. väčšiu pravdepodobnosť výskytu elektrónu! Zo vzájomnej interakcie elektrických dipólových momentov vyplývajú mnohé fyzikálne vlastnosti látok. Napríklad pri laboratórnych podmienkach je voda kvapalina a SH je plyn. Spôsobujú to aj rozdielne elektrické dipólové momenty týchto molekúl a tým aj ich vzájomné interakcie. Elektrický dipólový moment molekuly vody p HO = 6, C m je takmer 3

32 dvojnásobkom elektrického dipólového momentu SH, p SH = 3,1 1-3 C m. Elektrická dipolárna interakcia molekúl SH je preto menšia ako interakcia molekúl vody. Ekvipotenciálna plocha Siločiara Obr... Siločiary a ekvipotenciálne plochy dipólu..13 Dipól v homogénnom elektrickom poli Majme dipól v homogénnom elektrickom poli ako je zobrazené na obr..3. Sily poľa pôsobiace na elektrické náboje tvoria dvojicu síl. Ak vektor od záporného elektrického náboja ku kladnému je l a elektrická intenzita poľa je E, pre moment pôsobiacej dvojice platí M +Q F l j - F - Q p E Obr..3. Dipól v homogénnom elektrickom poli M = QE= p E = pesin ϕ ( k), (.69) kde k je jednotkový vektor kolmý na rovinu nákresne a smerujúci von z nákresne. Dvojica síl sa bude snažiť dipól natočiť, a to tak, aby vektor elektrického dipólového momentu mal smer siločiar elektrického poľa. Takáto orientácia dipólu v homogénnom elektrickom poli je stabilná poloha. Ak je dipól vychýlený z tejto polohy, sily elektrického poľa pri návrate do stabilnej polohy môžu konať prácu. Dipólu v určitej orientácii vzhľadom na vonkajšie elektrické pole preto môžeme priradiť potenciálnu energiu. Zvoľme za vzťažnú polohu, t.j. polohu s potenciálnou energiou rovnajúcou sa nule, výchylku ϕ = π/. Potenciálnu energiu definujeme ako prácu, ktorú dvojica síl poľa vynaloží na otočenie dipólu z určitej orientácie ϕ do vzťažnej orientácie ϕ. Elementárna práca pri rotácii je určená skalárnym súčinom momentu sily a vektora elementárneho pootočenia dw = M.dj. Zaveďme dϕ = dϕ k. Po zohľadnení smeru vektorov M a dϕ, ktorý je opačný (odtiaľ cosp!) pre potenciálnu energiu dostávame 33

33 π / π / π / π / Ep = M d ϕ = ( p E) dϕ= pesinϕd ϕ(cosπ) = pesinϕdϕ= pecosϕ= p E ϕ ϕ ϕ ϕ E p pe (.7) π/ π ϕ -pe Stabilná poloha E p = - pe ϕ = Nestabilná poloha E p = pe ϕ = π Obr..4. Závislosť E p dipólu od jeho orientácie v homogénnom elektrickom poli. Priebeh potenciálnej energie v závislosti od uhla medzi vektorom elektrického dipólového momentu a intenzity vonkajšieho elektrického poľa je znázornený na obr..4. Prejavom orientácie dipólov v elektrickom poli je polarizácia dielektrika, s ktorou sa stretneme neskôr pri štúdiu elektrického poľa v dielektriku. Praktickým využitím orientácie dipólu v elektrickom poli je mikrovlnný ohrev. Molekula vody má elektrický dipólový moment, ktorého veľkosť je p = 6, C m. Ak na molekuly vody pôsobí striedavé elektrické pole, pri vhodnej frekvencii molekuly vody sledujú zmeny elektrického poľa. Pôsobením striedavého elektrického poľa v mikrovlnnej rúre dochádza k osciláciám molekúl vody a trením o susedné molekuly k premene energie elektromagnetického poľa na chaotický tepelný pohyb molekúl vody. Potraviny v mikrovlnke môžeme ohrievať teda preto, že obsahujú molekuly vody. Nespornou výhodou mikrovlnného ohrevu je, že sa ohrieva naraz celý objem. Pri frekvencii elektromagnetického vlnenia okolo,45 GHz je táto premena práve pre molekuly vody najúčinnejšia. Žiarenie však pôsobí aj na iné polárne molekuly. Mikrovlnné žiarenie sa od kovových povrchov odráža. Vzhľadom na jeho vlnovú dĺžku ak aj sú v kove otvory rozmerov asi 1 mm, tento povrch sa pre mikrovlny javí ako spojitý. Mikrovlnné žiarenie potom z mikrovlnky nemôže prenikať do okolitého prostredia napriek tomu, že cez dvierka môžeme vidieť. 34

34 3. Elektrické pole za prítomnosti vodičov 3.1 Vodiče a izolátory Už pri prvých pozorovaniach elektrického stavu telies sa zistilo, že niektoré si tento stav udržia dlhšiu dobu, z niektorých možno náboj previesť na iné telesá, niektoré telesá majú schopnosť viesť elektrický náboj, iné nie. Dnes vieme, že schopnosť látok viesť elektrický náboj súvisí s ich štruktúrou a rôzne sú v nich aj spôsoby prenosu elektrického náboja. V elektrostatike sa nebudeme zaoberať mechanizmami vedenia elektrického prúdu, bližšie o nich a ich súvislostiach so štruktúrou látok si povieme v kapitole 5. Z hľadiska elektrostatiky budú pre nás rozhodujúce iba dva stavy, a to, či látka môže prenášať elektrický náboj alebo nie, a nebudeme skúmať, akým spôsobom dochádza k jeho prenosu. Látka je vodič ak sa v nej nachádzajú voľne pohyblivé elektrické náboje. Ak sa v nej voľné elektrické náboje nenachádzajú, potom látka patrí medzi elektricky nevodivé materiály - izolátory (dielektriká). 3. Vodič v elektrickom poli - elektrostatická indukcia Pri vodičoch môžeme pozorovať zaujímavý úkaz. Ak sa s elektricky nabitým predmetom priblížime k jednému koncu dlhého vodiča, elektrické náboje sa vo vodiči prerozdelia tak, že na strane, kde sa s elektrickým nábojom približujeme, sa Obr.3.1 Elektrostatická indukcia objaví opačný elektrický náboj a na druhom konci elektrický náboj rovnaký ako náboj, s ktorým sa približujeme (obr.3.1). Tomuto javu hovoríme "elektrostatická indukcia", lebo indukujeme (vyvolávame) zmenu v rozložení elektrických nábojov vo vodiči vonkajším účinkom. Vysvetlenie tohto javu je pomerne jednoduché. Elektricky neutrálny vodič obsahuje elektrické náboje, ktoré sú vo vzájomnej rovnováhe. Dôležité je, že aspoň jeden typ týchto elektrických nábojov sa môže voľne pohybovať. Ak sa teraz priblížime napr. s kladným elektrickým nábojom Q k nenabitému vodiču, jeho elektrické pole začne pôsobiť silou na kladné aj záporné elektrické náboje vo vodiči. Predpokladajme, že záporné elektrické náboje sa môžu voľne pohybovať. Pod účinkom sily sa budú premiestňovať bližšie k tomu koncu, kde sa v blízkosti nachádza kladný elektrický náboj, tento koniec sa preto bude javiť ako záporný. Na druhej strane vodiča bude deficit záporných elektrických nábojov a kladné elektrické náboje nebudú mať vo svojom okolí dosť záporných nábojov na svoju kompenzáciu. Navonok sa to prejaví prítomnosťou kladného elektrického náboja na opačnom konci vodiča. Vo všeobecnosti môžeme povedať, že elektrické náboje sa vo vodičoch prerozdelia tak, aby kompenzovali účinok vonkajších elektrických nábojov pôsobiacich na vodič, teda vonkajšie elektrické pole. Schématicky je toto prerozdelenie znázornené na obr. 3.. Prerozdelenie elektrických nábojov vo vodičoch nie je okamžité, prebieha s veľmi krátkym časovým intervalom 1 1 až 1 14 s. 35

35 Intenzita elektrického poľa od prerozdelených elektrických nábojov má opačný smer ako intenzita vonkajšieho elektrického poľa. Po dosiahnutí výsledného ustáleného stavu je intenzita elektrického poľa vo vnútri vodiča nulová. Musí tomu tak byť, lebo inak by sa elektrické náboje pod vplyvom elektrickej sily vo vodiči pohybovali. E = E ext +E int =. (3.1) Vzhľadom na to, že intenzita je vo vnútri Obr. 3. Vodič v elektrickom poli vodiča nulová, platí podľa (.54 ) tiež aj gradv =. Ak sa gradient elektrického potenciálu všade vo vnútri vodiča rovná nule, potom elektrický potenciál je vo vnútri vodiča konštantný. Hovoríme, že vodič "je miesto konštantného elektrického potenciálu", je ekvipotenciálnou plochou. Vnútro vodičov je dokonale zatienené pred účinkom vonkajších statických elektrických nábojov. Tento jav sa využíva na elektrické tienenie citlivých zariadení (niektoré meracie prístroje, vstupné diely rozhlasových a televíznych prijímačov a pod.), ale aj na ochranu pred elektrickým výbojom Faradayova klietka. Kovová karoséria auta je takým príkladom bezpečného útočiska pred prípadným úderom blesku. Ak máme dutinu vo vodiči a vodič je vložený do elektrického poľa, elektrické pole je nulové vo vodiči aj v dutine vodiča. Príkladom jednoduchého experimentu dokumentujúceho tento jav je mobilný telefón zabalený do alobalu. Váš mobil bude nedostupný. 3.3 Nabitý izolovaný vodič Ak privedieme elektrický náboj na izolovaný vodič, elektrické náboje sa vplyvom vzájomnej repulzie rozmiestnia tak, aby boli od seba čo najviac vzdialené, a elektrický náboj bude sústredený na povrchu vodiča. Ľahko si toto tvrdenie dokážeme pomocou Gaussovho zákona. Zvoľme Gaussovu plochu tak, aby prechádzala tesne pod povrchom vodiča. Táto plocha leží vo vodiči, preto podľa časti 3. je intenzita elektrického poľa v každom bode tejto plochy nulová. Ak by nebola, tak by sa elektrický náboj pohyboval, čo je v rozpore s tým, že rozdelenie elektrického náboja je statické. Keďže na Gaussovej ploche prechádzajúcej tesne pod povrchom vodiča je v každom bode intenzita elektrického poľa nulová, je nulový aj celkový tok vektora intenzity. Z toho vyplýva, že je nulový aj celkový elektrický náboj vo vnútri tejto plochy. Keď nie je vo vnútri, tak musí byť na povrchu, čo je dôkazom vyššie uvedeného tvrdenia. Neznamená to, že elektrický náboj je rozložený vždy rovnomerne. Rovnomerne sa elektrický náboj rozmiestni iba na guľovom vodiči. Na hranách, hrotoch, nerovnostiach povrchu je hustota elektrického náboja výrazne odlišná. Na hrotoch môže byť až taká veľká, že dochádza k sršaniu náboja. Preto sú ostré predmety a hroty nebezpečné pri búrkach. Na objasnenie tohoto tvrdenia použijeme jednoduchý fyzikálny model. Predstavme si, že máme dve kovové gule rôzneho polomeru spojené tenkým vodičom a celá sústava je nabitá určitým elektrickým nábojom Q. Hľadáme vzťah medzi plošnou hustotou náboja na 36

36 jednotlivých guliach. Celá sústava je vodivá, teda musí mať rovnaký elektrický potenciál. Východiskom pre nájdenie rozloženia hustoty náboja preto bude rovnosť elektrických potenciálov vodivých gulí nabitých určitými elektrickými nábojmi. Elektrické potenciály gulí Q1 Q sú rovnaké, preto 4πεR = 1 4πεR. Po vyjadrení elektrického náboja každej z gulí pomocou plošnej hustoty elektrického náboja Q= Sσ = 4πR σ dostávame vzťah σ1r1= σ R, z ktorého vyplýva rozloženie plošnej hustoty náboja. Čím je polomer menší, tým musí byť väčšia plošná hustota náboja. Na ostrých hrotoch je u nabitých telies vysoká hustota náboja a podľa nasledujúcej Coulombovej vety bude tesne nad takýmto povrchom aj vysoká intenzita elektrického poľa. 3.4 Elektrické pole tesne nad povrchom vodiča, Coulombova veta Vektor intenzity elektrického poľa musí byť kolmý na povrch vodiča. Vyplýva to priamo z definície pojmu elektrostatika. Ak by nebol, elektrické náboje by sa museli pohybovať rovnobežne s povrchom a to by už nebol problém elektrostatiky. V smere kolmom na povrch intenzita elektrického poľa môže byť nenulová, lebo pohybu elektrických nábojov v tomto smere bráni povrch vodiča. Siločiary teda musia vystupovať, alebo vstupovať kolmo vzhľadom na povrch nabitého vodiča. Z toho, že siločiary sú na povrch vodiča kolmé tiež vyplýva, že pre ľubovoľný vektor posunutia dr po povrchu vodiča platí E dr =. Keďže platí pre elektrický potenciál dv = E dr dv = V = konštanta. Vo vnútri vodiča, ako sme zistili v predchádzajúcej časti, je elektrický potenciál tiež konštantný. Môžeme teda formulovať dôležitý výsledok: Elektrický potenciál je v celom objeme vodiča konštantný a rovná sa elektrickému potenciálu na jeho povrchu. Predpokladajme na povrchu vodiča nabitého s plošnou hustotou náboja σ malú E plôšku, na ktorej môžeme hustotu elektrického náboja považovať za konštantnú. Zvoľme si Gaussovu plochu ako plochu valčeka, ktorého výška je nekonečne malá. Nech jedna základňa E = valčeka je tesne nad povrchom vodiča a druhá tesne pod povrchom. (Pozri obr. 3.3). Celkový tok vektora intenzity môžeme rozložiť na tok základňou vo vnútri vodiča, tok Obr. 3.3 Gaussova plocha nad a pod plášťom a tok vonkajšou základňou valčeka. Tok povrchom vodiča prvými dvoma plochami je nulový, a to preto, že vo vnútri vodiča je nulová intenzita elektrického poľa. Tok cez stenu valčeka je nulový zase preto, že každý vektor elementu plochy je kolmý na vektor intenzity elektrického poľa. Zostáva len tok cez vonkajšiu základňu valčeka a platí σ ΔS Ψ = E id S = EΔ S = ε, S kde ΔS je základňa valčeka. Odtiaľ vyplýva E = σ (3.) ε 37

37 Tvrdenie, že intenzita elektrického poľa tesne nad povrchom nabitého vodiča je kolmá na povrch vodiča a že jej veľkosť je E = σ sa volá Coulombova veta. ε 3.5 Elektrická kapacita osamelého vodiča a kondenzátora Dôležitou vlastnosťou vodiča a sústavy vodičov je schopnosť prijať elektrický náboj. Táto schopnosť sústav vodičov má veľké praktické využitie v prvkoch elektrických obvodov a zariadení, ktoré voláme kondenzátory. Elektrický potenciál poľa v okolí bodového elektrického náboja je úmerný veľkosti tohto náboja. Podobne je elektrický potenciál na povrchu nabitého vodiča úmerný elektrickému náboju na jeho povrchu. Ak sa na vodiči zmení elektrický náboj o hodnotu ΔQ, zmene elektrického náboja bude priamo úmerná zmena elektrického potenciálu na povrchu vodiča ΔV. Kvôli zjednodušeniu vyjadrovania sa výraz elektrický potenciál elektrického náboja na povrchu vodiča často nahrádza skráteným výrazom elektrický potenciál vodiča. V ďalšom budeme používať tento skrátený výraz. Pomer celkového elektrického náboja Q vodiča k jeho elektrickému potenciálu V sa nazýva elektrická kapacita vodiča Q C =. (3.3) V Elektrická kapacita, aj keď je definovaná pomocou elektrického náboja na vodiči, nezávisí od tohto náboja, je iba funkciou tvaru vodiča, resp. zoskupenia vodičov. Výpočet elektrickej kapacity je vo všeobecnosti veľmi zložitý problém. Najjednoduchšie je určiť elektrickú kapacitu osamelej gule. Ak je na guli elektrický náboj Q, potom jej elektrický potenciál je rovnaký ako elektrický potenciál poľa rovnakého elektrického náboja, umiestneného v jej strede a pre elektrickú kapacitu vodivej gule platí 1 Q V =, C = 4π ε R. (3.4) 4πε R Čím je elektrická kapacita väčšia, tým + Q > väčším elektrickým nábojom je nutné vodič nabiť pri danej hodnote + + elektrického potenciálu. Jednotkou V A A < V A elektrickej kapacity je farad (F), + pričom podľa definície platí: + C 1 + F= = A s V Q = V Jeden farad je veľmi veľká jednotka. - Napríklad elektrickú kapacitu 1 μf by -σ i mala osamelá vodivá guľa s polomerom - B + 9 km. Uvažovali sme dosiaľ len osamelý vodič, na ktorom rozloženie + + elektrického náboja nie je ovplyvnené Obr. 3.4 Zmena elektrického potenciálu na inými vonkajšími poliami. Ak sú povrchu nabitého vodiča v prítomnosti iných v okolí nabitého vodiča ďalšie elektrických nábojov. elektrické náboje, tieto podľa princípu superpozície ovplyvnia elektrický potenciál na povrchu nabitého vodiča. Prítomnosťou okolitých nabitých, alebo nenabitých vodičov sa elektrický náboj na prvom 38

38 vodiči nezmení, zmení sa ale výsledný elektrický potenciál na jeho povrchu a tým sa zmení aj jeho elektrická kapacita. Uvedená situácia je schematicky zobrazená na obr.3.4. K pôvodne osamelej nabitej guli A s potenciálom V A sme priblížili nenabitý vodič B. Elektrostatickou indukciou sa na bližšej strane vodiča B indukuje záporný elektrický náboj. Elektrický potenciál od tohto elektrického náboja má opačné znamienko a zníži preto elektrický potenciál na guli A. Vo vzťahu (3.3) pre určenie elektrickej kapacity sa elektrický náboj nezmení, ale elektrický potenciál v menovateli sa zmenší a tým sa zväčší elektrická kapacita vodiča, v tomto prípade gule A. Veľký účinok sa dá dosiahnuť tesným priblížením druhého vodiča s opačným, rovnako veľkým elektrickým nábojom. Tento druhý vodič sa zároveň môže voliť tak, aby odtienil prvý vodič od vplyvu ďalších nabitých telies. Takéto zoskupenie dvoch vodičov sa nazýva kondenzátor. Elektrická kapacita kondenzátora je potom podiel elektrického náboja na prvom vodiči a rozdielu potenciálov prvého a druhého vodiča, t.j. napätia medzi prvým a druhým vodičom U C Q Q = = (3.5) V V U Elektrická kapacita doskového kondenzátora Doskový kondenzátor tvoria dve rovinné kovové platne. Priveďme na jednu z dosiek kondenzátora elektrický náboj Q a na druhú rovnako veľký opačný elektrický náboj -Q. Elektrické náboje sa rozložia po ich povrchu približne rovnomerne s plošnými hustotami σ + a σ. Približne, to znamená, že budeme zanedbávať nehomogenity na okrajoch dosiek. Ak je vzdialenosť dosiek oveľa menšia ako rozmery dosiek, môžeme tieto považovať za nekonečne veľké. Nech plošný obsah každej z dosiek je s + s E = s / e - S, potom elektrický náboj na kladnej doske je Q =σ S. Elektrické pole medzi doskami môžeme považovať za homogénne s intenzitou E = σ ε kolmou na povrch dosiek. Napätie medzi doskami podľa obr. 3.5 je σ d Qd U1 = E d = Ed= =. (3.6) ε 1 Sε d Po dosadení do (3.5) sa elektrická kapacita Obr. 3.5 Intenzita elektrostatického poľa doskového kondenzátora rovná medzi platňami doskového kondenzátora. ε S C =. (3.7) d Elektrická kapacita doskového kondenzátora je priamo úmerná plošnému obsahu dosiek a nepriamo úmerná vzájomnej vzdialenosti dosiek. Z vyššie uvedeného postupu môžeme formulovať návod, ako určiť elektrickú kapacitu určitej sústavy vodičov. a) Predpokladať na vodičoch určité rozloženie elektrického náboja a z intenzity elektrického poľa vypočítať napätie medzi vodičmi. b) Dosadiť vyjadrené napätie do vzťahu

39 3.6 Spájanie kondenzátorov Kondenzátory môžeme spájať v zásade dvomi spôsobmi. Je to paralelné spojenie kondenzátorov na obr.3.5a a sériové spojenie kondenzátorov podľa obr. 3.5b. Majme tri kondenzátory s elektrickými kapacitami C 1, C, C 3. Pri paralelnom spojení je na všetkých kondenzátoroch rovnaké napätie U, ale na ich doskách je rôzny elektrický náboj. Výsledný elektrický náboj na sústave je súčtom elektrických nábojov na každom z kondenzátorov Q = Q 1 + Q + Q 3. Ak dosadíme podľa (3.5) za príslušné náboje Q i = C i U, dostávame Q= UC= UC1+ UC + UC3 C = C1+ C+ C3. Vzťah môžeme zovšeobecniť na tvrdenie: Pri paralelnom spojení kondenzátorov výsledná elektrická kapacita sústavy kondenzátorov je daná vzťahom C= C (3.8) i i +Q -Q +Q -Q +Q -Q U + - +Q 1 +Q +Q 3 C 1 C -Q 1 -Q -Q 3 C 1 C C 3 U 1 U U Obr.3.5a Paralelné spájanie kondenzátorov Obr.3.5b Sériové spájanie kondenzátorov Pri sériovom spojení kondenzátorov je elektrický náboj na každom z kondenzátorov rovnaký. Rôzne je napätie kondenzátorov a celkové napätie na sústave kondenzátorov je súčtom napätí U = U 1 + U + U 3. Preto platí Q Q Q Q = + + = + +, C C1 C C3 C C1 C C3 čo môžeme zovšeobecniť na tvrdenie: Pri sériovom zapojení kondenzátorov výsledná elektrická kapacita sústavy je daná vzťahom 1 1 = (3.9) C i Ci Ak máme zložitejšie zapojenie kondenzátorov, pri určovaní výslednej elektrickej kapacity sústavy postupujeme tak, že si sústavu rozdelíme na časti, ktorých elektrickú kapacitu vieme určiť podľa vzťahov (3.8) a (3.9) a elektrické kapacity postupne skladáme. 3.7 Energia kondenzátora a energia elektrického poľa Jednoduchými pokusmi sa môžeme presvedčiť, že elektrostatické pole má svoju energiu, ktorá vyjadruje schopnosť konať prácu na úkor zmeny tohoto poľa. Ak dosky nabitého kondenzátora spojíme vodičom, potom elektrický prúd vyvinie na vodiči teplo, ktorého veľkosť bude súvisieť so zmenou elektrického náboja a teda aj intenzity elektrického poľa v kondenzátore. V súlade so zákonom zachovania energie musí mať elektrostatické pole 4

40 energiu W, ktorá sa pri vybíjaní kondenzátora premení na inú formu. Zo zákona zachovania energie je zrejmé, že táto energia sa musí rovnať práci na nabitie pôvodne nenabitého kondenzátora, to znamená na postupné prenesenie kladného elektrického náboja zo zápornej dosky na kladnú. Predstavme si, že máme izolovaný kondenzátor a že elektrický náboj prenášame cez priestor medzi doskami kondenzátora. Na prenesenie prvého nekonečne malého kladného elektrického náboja dq nie je potrebná práca. Tento elektrický náboj však vytvorí medzi doskami kondenzátora elektrostatické pole a pri prenášaní ďalšieho elektrického náboja dq proti prenášaniu elektrického náboja už pôsobí sila elektrostatického poľa. Ak je kondenzátor nabitý elektrickým nábojom Q na napätie U, je na prenesenie ďalšieho náboja dq potrebná elementárna práca Q dq dw = UdQ= (3.1) C Celá práca potrebná na nabitie pôvodne nenabitého kondenzátora, to znamená na postupné prenesenie celého náboja Q na kladnú dosku, je Q QdQ 1 Q 1 1 W = = = QU = CU (3.11) C C Energia kondenzátora je sústredená v elektrickom poli medzi doskami kondenzátora. Vedie k tomu jednoduchá úvaha. Majme izolovaný rovinný kondenzátor nabitý určitým elektrickým nábojom. Z plošnej hustoty náboja vyplýva intenzita elektrického poľa daná vzťahom E = s /e. Ak dosky kondenzátora oddialime, bude na nich rovnaký elektrický náboj a tiež aj intenzita elektrického poľa, pretože zostala rovnaká hustota náboja. Väčšia však bude energia kondenzátora. Na oddialenie dosiek kondenzátora sme museli vynaložiť prácu. Zvýšenie energie je spojené so zväčšením priestoru, v ktorom je elektrické pole. Zovšeobecnením tejto úvahy je tvrdenie: elektrické pole má energiu. V elektrostatike úvahy o energii elektrostatického poľa vyplývajú z potenciálnej energie elektrického náboja na doskách kondenzátora, čiže ide vlastne o potenciálnu energiu sústavy elektrických nábojov E pe. 3.8 Hustota energie elektrického poľa Nech rozmery dosiek rovinného kondenzátora sú veľmi veľké v porovnaní so vzdialenosťou dosiek. Zanedbáme okrajové efekty a budeme predpokladať, že pole medzi doskami je homogénne a je vytvorené len v objeme τ medzi doskami kondenzátora. Za predpokladu homogénneho elektrického poľa je napätie medzi doskami U= Ed, kde E je intenzita tohto poľa a d vzdialenosť dosiek kondenzátora. Elektrická kapacita doskového kondenzátora je daná vzťahom (3.7), kde S je obsah plochy dosky. Po dosadení do vzťahu (3.11) pre energiu kondenzátora dostávame 1ε S 1 Epe = W = E d = ε E τ, (3.1) d kde τ = Sd je objem homogénneho poľa v kondenzátore. Energiu pripadajúcu na jednotku objemu nazveme hustotou energie elektrostatického poľa w e 1 we= ε E. (3.13) Tento vzťah sa dá zovšeobecniť aj pre pole nehomogénne. Vo vákuu je v každom elektrickom poli intenzity E hustota energie určená vzťahom (3.13). Záverom konštatujme, že každé 41

41 elektrické pole má energiu a jej hustota vo vákuu je určená vzťahom (3.13). Hustotu energie elektrického prostredia v dielektriku určíme v ďalšej časti. Príklad 3.1 Kondenzátor kapacity C 1 = 4 μf bol nabitý na potenciálový rozdiel U = 1 V a odpojený od zdroja napätia. Ku kondenzátoru paralelne pripojíme nenabitý kondenzátor kapacity C = 6 μf. Vypočítajte napätie na sústave kondenzátorov, energiu sústavy kondenzátorov, porovnajte ju s pôvodnou energiou prvého nabitého kondenzátora a vysvetlite zmenu, ktorá nastala. Riešenie: Pri paralelnom zapojení kondenzátorov výsledná kapacitac = C1+ C. Náboj na sústave kondenzátorov bude rovnaký a z toho pre napätie na sústave paralelne spojených kondenzátorov dostávame 6 C1 41 CU 1 = ( C1+ C) U U = U = 1 = 4V. 6 C + C (4 + 6) 1 1 Energia sústavy kondenzátorov ( 1 ) W = C + C U = = J Energia pôvodne nabitého prvého kondenzátora bola W = CU = = J Rozdiel pôvodnej energie a energie po pripojení druhého kondenzátora bude 1 1 C1 1 CC 1 Δ W = CU 1 C1+ C U = U = 1, 1 J C + C C + C ( ) ( ) 1 1 Otázkou je kam sa stratila táto energia? Pri pripojení nenabitého kondenzátora vodičom musel pretekať prúd, uvolnilo sa teplo v prívodných vodičoch a to je tá chýbajúca energia. Príklad 3. Rovinný doskový kondenzátor má plochu dosiek S = 1 cm. Kondenzátor sme nabili na napätie U 1 = 8 V. Vypočítajte prácu vonkajšej sily potrebnú na oddialenie dosiek kondenzátora z pôvodnej vzdialenosti d 1 = mm na vzdialenosť d = 6 mm ak a) kondenzátor po nabití odpojíme od zdroja napätia, b) ak kondenzátor zostane pripojený na zdroj. Riešenie: V prvom prípade je kondenzátor izolovaná sústava a náboj sa pri odtiahnutí dosiek nezmení, v druhom prípade zmena vzdialeností dosiek bude spojená aj so zmenou náboja, pretože sústava nie je izolovaná. Z toho vyplýva aj rozdielne riešenie. a) Sústava je izolovaná. Práca vonkajšej sily sa podľa zákona zachovania energie bude rovnať rozdielu energie sústavy na konci a na začiatku deja. Označme pre tento prípad prácu symbolom A a podľa predchádzajúcej úvahy 4

42 1 Q 1 Q 1 ε S d d ε ε A= ΔW= W W = = U = C C d S S 1 ε S 1 8, = U d d = 41 =,831 d ( 1 ) ( 1) 3 1 J b) Sústava nie je izolovaná, pretože kondenzátor zostal pripojený na zdroj. V tomto prípade neplatí, že práca sa rovná rozdielu energií kondenzátora s doskami vzdialenými o d a d 1. Ak sa dosky vzďaľujú, tak pri konštantnom napätí sa zmenšuje náboj na kondenzátore a pôvodný náboj musíme vtlačiť naspäť na zdroja. Prácu v tomto prípade vypočítame buď ako krivkový integrál zo sily pôsobiacej medzi doskami kondenzátora, alebo pomocou bilancie energie celej sústavy. Riešenie pomocou práce sily. Dosky kondenzátora sa priťahujú. Sila medzi doskami je vlastne sila, ktorou je priťahovaný náboj na jednej z dosiek v elektrickom poli, ktoré je vytvorené nábojom na druhej doske. Intenzita elektrického poľa v kondenzátore E je súčtom intenzít od každej z dosiek (viď.9) E = E 1, takže intenzita elektrického poľa od jednej z dosiek v určitej E 1 U vzdialenosti dosiek x bude E1 = =. x Pre prácu vonkajšej sily dostávame d d d 1ε S d d1 A= Fdx = U dx= ε SU SU SU x x = ε = ε. 1 1 d d 1 1 d d d d 1d Po dosadení číselných hodnôt dostávame 1 1 8, A= ( 6 ) 1 = 9, Riešenie využitím bilancie energie celej sústavy. Sústavou nad ktorou vonkajšia sila koná prácu nie je len kondenzátor, ale aj zdroj. Ak oddialime dosky pri konštantnom napätí, náboj na kondenzátore sa zmenší o hodnotu ΔQ, pretože sa zmenší kapacita kondenzátora. Náboj ΔQ musí prejsť do zdroja a zvýši tak energiu zdroja. Bilancia energie bude nasledovná: A= ( W W ) +Δ QU, kd, kd, 1 kde W kd, značí energiu kondenzátora pri vzdialenosti dosiek d a DQU je práca na vtlačenie náboja DQ, do zdroja. Náboj ΔQ je 1 1 ε S Δ Q= ε S U = ( d d1) U, d1 d d1d takže výsledná práca 1εS 1εS εs 1 εs A= U U + ( d d1) U = ( d d1) U. d d1 dd 1 dd 1 Výsledok je samozrejme v obidvoch prípadoch rovnaký. J. 43

43 4 Elektrostatické pole v dielektriku Pod dielektrikom, alebo izolantom, rozumieme elektricky nevodivé prostredie. Ak dielektrikum vložíme medzi dosky kondenzátora a zaplníme pri tom celý priestor kondenzátora, meraním elektrickej kapacity kondenzátora zistíme, že pre určité dielektrikum sa elektrická kapacita každého typu takto zaplneného kondenzátora rovnakým pomerom zvýši. Ak elektrická kapacita bez dielektrika bola C a elektrická kapacita s dielektrikom je C potom podiel elektrickej kapacity s dielektrikom C a kapacity C je pri daných podmienkach konštantný a charakterizuje dané dielektrikum. Konštantu, ktorej sa tento podiel rovná, voláme relatívna permitivita e r a platí C = C e r. Budeme sa teraz podrobnejšie zaoberať dielektrikom v elektrickom poli a na základe vlastností dielektrík vysvetlíme príčinu tohto javu. Ak sme vodiče charakterizovali ako materiály, ktoré obsahujú voľné nosiče elektrického náboja, potom dielektriká voľné nosiče elektrického náboja nemajú. Dielektriká sú zložené z neutrálnych molekúl, ktoré môžu byť polárne alebo nepolárne a dielektrické vlastnosti majú aj iónové kryštály. Elektrické pole náhodne orientovaných polárnych molekúl sa v makroskopickom objeme ruší a dielektriká sa javia ako elektricky neutrálne. Ak dielektrikum umiestnime do vonkajšieho elektrického poľa, dochádza k deformácii rozloženia elektrického náboja v atómoch, alebo k orientácii polárnych molekúl. U iónových kryštálov vplyvom elektrického poľa dochádza k deformácii rovnovážnej mriežky katiónov a aniónov. Táto reakcia dielektrika na elektrické pole sa nazýva polarizácia dielektrika. Elektrónová polarizácia (tiež atómová polarizácia) vzniká vzájomným posuvom kladne nabitého jadra a záporne nabitého elektrónového obalu atómov alebo nepolárnych molekúl. Vysvetlime si elektrónovú polarizáciu na príklade polarizácie atómu. Elektrónový obal atómu môžeme považovať za rovnomerne nabitú guľovú vrstvu. Elektrostatické pole v jej okolí je také isté ako pole v okolí rovnako veľkého bodového náboja, ktorý by bol v jej strede. Výsledné pole od jadra a elektrónového obalu je teda nulové. Pôsobením vonkajšieho elektrostatického poľa sa táto súmernosť poruší. Nastane deformácia rozloženia elektrického náboja atómu. Stred elektrónového obalu sa už nezhoduje so stredom jadra (Obr.4.1). Atóm sa zmení na elektrický dipól s elektrickým dipólovým momentom, ktorý je úmerný vzájomnému Obr.4.1 Atómová polarizácia posunu nábojových ťažísk kladných a záporných elektrických nábojov. Príkladom takejto elektrónovej polarizácie je polarizácia atómov inertných plynov, napr. hélia, neónu, ale aj nepolárnych molekúl ako napr. H, O, CH 4,.... Orientačná polarizácia. Vzniká v kvapalinách a v plynoch zložených z polárnych molekúl napr. HCl, H O, C H 5 OH a pod.. Bez elektrického poľa sa orientácia polárnych molekúl vplyvom zrážok neustále mení. Mení sa teda aj smer elektrických dipólových momentov jednotlivých molekúl a stredná hodnota výsledného elektrického dipólového momentu molekúl sa rovná nule. Ak vložíme takúto látku do vonkajšieho elektrického poľa, elektrické pole sa snaží natočiť každý dipól tak, aby elektrický dipólový moment mal smer intenzity elektrického poľa. Usmerňovací účinok elektrického poľa je ale stále rušený tepelným pohybom molekúl, a preto je možný len istý stupeň orientácie. Tento závisí od l + 44

44 teploty a od veľkosti elektrického poľa. Ak sa natočia elektrické dipólové momenty všetkých molekúl do smeru elektrického poľa, nedá sa orientačná polarizácia už zvýšiť. Hovoríme, že orientačná polarizácia má charakter nasýtenia. Na obr. 4.a je zobrazené polárne dielektrikum bez vonkajšieho elektrického poľa s náhodne orientovanými polárnymi molekulami a na obr. 4.b je zobrazené dielektrikum s orientovanými molekulárnymi dipólmi. E Obr. 4.a Polárne dielektrikum bez vonkajšieho elektrického poľa Obr. 4.b Polárne dielektrikum orientované vo vonkajšom elektrickom poli Z teoretického výpočtu závislosti strednej hodnoty polarizácie polárneho dielektrika v závislosti na teplote a tiež z merania polarizácie vyplýva, že táto je nepriamo úmerná teplote. Čím je teplota vyššia, tým viac bude chaotický tepelný pohyb prekážať orientácii molekulárnych dipólov a polarizácia bude menšia. Záverom môžeme zhrnúť: orientačná polarizácia je polarizácia polárnych molekúl v elektrickom poli. Je nepriamo úmerná teplote a má charakter nasýtenia. Pod nasýtením rozumieme to, že od určitej hodnoty intenzity vonkajšieho elektrického poľa sa jej ďalším zvýšením polarizácia dielektrika nezvýši (všetky dipóly sú už orientované). Atómová polarizácia, na rozdiel od orientačnej polarizácie, nezávisí od teploty a môže rásť s intenzitou vonkajšieho elektrického poľa, pokiaľ to dovolí odolnosť dielektrika voči elektrickému prierazu (elektrická pevnosť dielektrika). K elektrónovej polarizácii dochádza v molekulách každej látky vloženej do elektrického poľa, teda aj u polárnych molekúl. V konkurencii s orientačnou polarizáciou je však podiel elektrónovej polarizácie na celkovej polarizácii výrazne menší. Iónová polarizácia. Vzniká v iónových kryštáloch, tvorených katiónmi a aniónmi umiestnenými v rovnovážnych polohách v uzlových bodoch kryštálovej mriežky. Príkladom takejto látky sú napr. kryštály NaCl. Ak sa takýto materiál nachádza vo vonkajšom elektrostatickom poli, posunú sa kladné ióny v smere elektrického poľa a záporné ióny proti tomuto smeru, takže výsledný elektrický dipólový moment už nie je nulový a jeho smer je rovnobežný so smerom elektrického poľa. 4.1 Vektor polarizácie V predchádzajúcej časti sme kvalitatívne vysvetlili mechanizmy, ktoré v materiáloch vedú k ich polarizácii. Teraz budeme charakterizovať polarizáciu kvantitatívne. Polarizáciou dochádza k vzniku resp. orientácii dipólov a výsledný elektrický dipólový moment dielektrika je nenulový. Ak je elektrické pole nehomogénne, alebo je nehomogénne dielektrikum, 45

45 polarizácia bude v rôznych bodoch dielektrika rôzna. Na kvantitatívne charakterizovanie polarizácie v určitom bode dielektrika definujeme vektor polarizácie vzťahom pi i P = lim, (4.1) Δτ Δτ kde daný bod sa nachádza v nekonečne malom objemovom elemente Δτ a v čitateli (4.1) je vektorový súčet všetkých elementárnych elektrických dipólových momentov nachádzajúcich sa v tomto objemovom elemente. Fyzikálne vektor polarizácie predstavuje elektrický dipólový moment objemovej jednotky v danom bode dielektrika. Jeho rozmer je C m = A s m. Predstavme si, že máme elektricky polarizované dielektrikum. Na obrázku 4.3 je zobrazený vektor intenzity vonkajšieho elektrického poľa a dielektrikum je reprezentované ako súbor elementárnych objemov hranolčekov dĺžky l, ktorých plôšky základní sú kolmé na smer elektrického poľa a majú veľkosť S. Výsledkom polarizácie je, že na stenách P s d l Obr.4.3 Polarizované dielektrikum S takýchto myslených hranolčekov sa nám polarizáciou objaví elektrický náboj. Vo vnútri dielektrika sa na susedných stenách hranolčekov elektrické náboje rušia, zostáva len elektrický náboj na vonkajších plochách. Tento elektrický náboj nemôžeme priamo merať, nemôžeme ho ani odobrať, preto sa preň používa názov polarizačný, alebo viazaný elektrický náboj. Je to elektrický náboj, ktorý je súčasťou atómov, resp. molekúl daného dielektrika. Ak označíme plošnú hustotu viazaného náboja σ p, potom veľkosť vektora polarizácie bude Q σ ps P = = = σ p. (4.) τ S Veľkosť vektora polarizácie sa rovná plošnej hustote polarizačného (viazaného) náboja na dielektriku s p. Sústreďme sa teraz na vysvetlenie elektrického poľa v dielektriku, ktoré úplne vypĺňa priestor medzi doskami nabitého kondenzátora. Nech plošná hustota náboja na doskách + kondenzátora je σ a σ. Elektrickému náboju na doskách kondenzátora sa nazýva voľný elektrický náboj a veľkosť plošnej hustoty σ + σ tohto náboja vyjadríme symbolom s. Voláme E ho voľný náboj preto, lebo je to elektrický náboj, ktorý môžeme priviesť alebo odobrať, teda aj priamo merať. E p Elektrické pole v dielektriku je superpozíciou dvoch polí, a to vonkajšieho poľa E od voľného elektrického náboja E a elektrického poľa od viazaného elektrického P náboja E p. Výsledné elektrické pole v σ - p σ + p dielektriku je Obr.4.4 Elektrické pole v dielektriku 46

46 E = E + E p. (4.3) Nech kondenzátor je doskový a plocha jeho dosiek nech je dostatočne veľká. Potom pre veľkosť intenzity elektrického poľa medzi doskami kondenzátora platí p E σ σ a Ep ε ε (4.4) Smer intenzity E p je opačný ako E a pre veľkosť intenzity výsledného poľa E platí σ σ p E = E Ep =, ε (4.5) kde σ a σ p sú veľkosti plošnej hustoty voľného a viazaného elektrického náboja. Je zrejmé, že polarizáciou dielektrika došlo k zmenšeniu intenzity elektrického poľa v dielektriku. Na začiatku kapitoly sme uviedli, že vložením dielektrika došlo k zväčšeniu elektrickej kapacity kondenzátora. Podiel elektrických kapacít, ako vidíme z nasledovných pomerov, je naozaj Q väčší ako jedna. C U U E r C σ ε Q U E σ σp > 1. (4.6) U Z rovnice (4.6) môžeme vyjadriť hustotu viazaného náboja σ p 1 σp = σ 1..(4.7) ε r Ak dosadíme za hustotu voľného náboja z rovnice (4.4) σ = ε E dostávame pre veľkosť vektora polarizácie 1 1 P= σ p = εe 1 = εεre 1 = ε( εr 1) E = εκe. (4.8) εr εr V rovnici (4.8) sme zaviedli novú konštantu κ= (ε r - 1), ktorá sa volá elektrická susceptibilita. V homogénnom izotropnom dielektriku vzťah (4.8) platí aj vo vektorovom tvare a vektor polarizácie P = ε κe, (4.9) kde E je vektor výslednej intenzity elektrického poľa v danom mieste dielektrika. 4. Gaussov zákon v dielektriku Podľa Gaussovho zákona pre tok vektora elektrickej intenzity uzatvorenou plochou platí Q E d S = ε, (4.1) S kde Q je celkový elektrický náboj vo vnútri uzatvorenej Gaussovej plochy. Majme nabitý doskový kondenzátor s plochou dosiek S, ktorý je najprv bez dielektrika. Gaussovu plochu si zvolíme tak, ako je zobrazené na obr.4.4a. Intenzita vo vnútri kondenzátora bude konštantná, v kovovej doske ako už vieme, je nulová. Z Gaussovho zákona dostávame Q E. d S = ES = ε (4.11) S kde Q je celkový elektrický náboj vo vnútri zvolenej plochy, teda voľný elektrický náboj na kovovej doske kondenzátora. 47

47 Gaussova plocha E +Q E +Q - Q Q Obr. 4.4a Gaussova plocha pre vákuový kondenzátor. - Q Obr. 4.4b Gaussova plocha pre kondenzátor s dielektrikom. - Q Pre intenzitu elektrického poľa platí Q E =. (4.1) ε S Nech sa teraz priestor kondenzátora úplne vyplní dielektrikom, pričom celkový elektrický náboj na kondenzátore sa nezmení. Elektrické pole medzi elektródami kondenzátora, teda v tomto prípade elektrické pole v dielektriku, môžeme určiť pomocou tej istej Gaussovej plochy. Vo vnútri Gaussovej plochy však máme jednak voľný elektrický náboj nabitého kondenzátora Q, ale aj na povrchu dielektrika indukovaný viazaný elektrický náboj opačného znamienka -Q. Celkový elektrický náboj vo vnútri Gaussovej plochy je Q Q. Podľa Gaussovho zákona potom platí Q Q E d S = ε, (4.13) S odkiaľ pre intenzitu elektrického poľa v dielektriku dostávame Q Q E =. (4.14) ε S V úvode k tejto časti sme uviedli, že vložením dielektrika sa intenzita elektrického poľa ε r - krát zmenšila, takže platí E σ Q E = = =. (4.15) ε r εε r εε r S Porovnaním (4.14) a (4.15) dostávame Q = Q Q. (4.16) ε r Po dosadení do rovnice (4.13) vyjadrujúcej Gaussov zákon v dielektriku postupne dostávame Q E d S= ε ε (4.17) S r r E ds S εε =Q (4.18) D d S= Q. (4.19) S 48

48 V poslednej rovnici, ktorá je najvšeobecnejším vyjadrením Gaussovho zákona, sme zaviedli novú veličinu a to vektor elektrickej indukcie D = ε ε r E. (4.) Gaussov zákon v dielektriku znie: Tok vektora elektrickej indukcie cez uzatvorenú plochu sa rovná celkovému voľnému náboju uzatvorenému vo vnútri tejto plochy. Rovnica (4.19) vyjadrujúca tento zákon je jedna z rovníc integrálnej formy sústavy Maxwellových rovníc elektromagnetizmu. Vektor elektrickej indukcie definovaný rovnicou (4.) môžeme vyjadriť aj pomocou vektora elektrickej polarizácie, ak využijeme vzťah P = ε κ E. Dostávame D = ε εre = ε( εr 1) E+ εe = P+ εe. (4.1) Uviedli sme už, že integrál cez uzatvorenú plochu môžeme previesť na integrál cez objem z divergencie daného vektora. Platí D d S = div D dτ (4.) S ( τ) τ Pomocou integrálu z objemovej hustoty voľného náboja môžeme vyjadriť voľný elektrický náboj Q v rovnici (4.18) a dostávame divd dτ = ρdτ (4.3) τ τ Posledná rovnica platí pre každý objem, z čoho vyplýva že sa musia rovnať integrované funkcie. Diferenciálnym vyjadrením Gaussovho zákona pre dielektrikum je z rovnice (4.) vyplývajúca veľmi dôležitá diferenciálna rovnica div D= ρ, (4.4) v ktorej ρ je objemová hustota voľného náboja. Táto rovnica je jedna zo sústavy Maxwellových rovníc vyjadrených v diferenciálnom tvare. Predstavme si, že v priestore doskového kondenzátora máme vložené rôzne dielektriká s relatívnymi permitivitami ε r 1 εr εr 3... Potom v rôznych dielektrikách bude rôzna intenzita elektrického poľa E 1 E E Rovnaká však bude elektrická indukcia poľa D1 = D = D a to preto, lebo elektrická indukcia je určená iba voľným elektrickým nábojom na doskách kondenzátora a ten je pre všetky dielektriká v priestore kondenzátora rovnaký. 4.3 Elektrické pole na rozhraní dvoch prostredí Ak sa v elektrickom poli nachádzajú rôzne prostredia (rôzne dielektriká, alebo dielektrikum a vodič), potom na rozhraní prostredí sa skokom menia vektory elektrickej intenzity aj elektrickej indukcie. Uvažujme rozhranie prostredí, na ktorom sa vo všeobecnosti môže nachádzať aj voľný elektrický náboj s plošnou hustotou σ. Vektor elektrickej indukcie má vo všeobecnosti rôzny smer vzhľadom na kolmicu k rozhraniu. Ako je znázornené na obr. 4.5 vektor elektrickej indukcie D 1 môžeme rozložiť na zložku elektrickej indukcie na rozhranie kolmú D 1n a zložku s rozhraním rovnobežnú D 1t. 49

49 ε r1 σ D τ D Ak na rozhranie umiestnime nekonečne nízku valcovú plochu, potom podľa Gaussovho zákona v dielektriku pre tok normálovej zložky vektora elektrickej indukcie takouto plochou platí D 1n D 1 α α 1 D 1τ ds D n ε r Obr.4.5 Elektrické pole na rozhraní dvoch prostredí D ds + D ds = σ ds D D = σ (4.5) 1n n n 1n Okolo bodu rozhrania môžeme definovať nekonečne úzku integračnú krivku (obr.4.6), pozdĺž ktorej podľa (.45) sa integrál z intenzity elektrostatického poľa vždy rovná nule. Krivka môže byť nekonečne úzka (úplne tesne na rozhraní) a potom sa pri integrácii pozdĺž takejto uzatvorenej krivky uplatní iba tangenciálna zložka elektrickej intenzity. Platí E d + E d = E = E. (4.6) 1τ τ 1τ τ ε r1 E 1n E t α 1 α E n E Rovnice (4.5) a (4.6) predstavujú všeobecné okrajové podmienky platné pre rozhranie. Preskúmajme teraz dva prípady, a to rozhranie dvoch dielektrík, teda rozhranie bez voľných nábojov, a rozhranie dielektrika a kovu, t.j. rozhranie s nenulovou hustotou voľného elektrického náboja. E 1 E 1t ε r A D dl B C Obr.4.6 Umiestnenie integračnej krivky na rozhraní dvoch prostredí a) Rozhranie dvoch rôznych dielektrík Hustota voľného elektrického náboja sa rovná nule a prvú podmienku môžeme vyjadriť pomocou intenzity elektrického poľa rovnicou ε r1e1n = ε ren. (4.7) E1 τ E τ Ak uvážime, že = tgα1 a = tgα a tiež E E že platí rovnica (4.6), potom platí rovnica lomu elektrických siločiar tgα1 ε r1 =. (4.8) tgα ε r1 b) Rozhranie dielektrika a vodiča Nech vodičom je prostredie 1. Vo vodiči sa intenzita elektrického poľa a teda aj elektrická indukcia rovná nule. Podľa rovnice (4.6) aj E τ = a z rovnice (4.7) pre elektrickú indukciu platí D n = σ, čo je vlastne Coulombova veta v dielektriku. 1n n 4.4 Materiálové charakteristiky niektorých dielektrík Dielektrické materiály vzhľadom na svoju rôznorodosť majú široké uplatnenie nielen v oblasti elektriny, ale aj mechaniky. Sú to materiály, ktorých vlastnosti sú základom zložitých elektro-opticko-mechanických zariadení. Príkladom veľmi častej aplikácie vlastností dielektrík sú kopírovacie prístroje na princípe tzv. Xeroxu. Dielektriká, u ktorých 5

50 mechanická deformácia sa prejaví vznikom elektrického napätia voláme piezoelektriká. Táto vlastnosť sa využíva pri piezoelektrických váhach, alebo zapaľovačoch. V mnohých mechanických zariadeniach sa využíva deformácia dielektrík elektrickým poľom elektrostrikcia. Relatívna permitivita výrazne závisí aj od štruktúry látky a typu väzby v tuhej látke. Vlastnosti reálnych dielektrík sú preto veľmi rôznorodé. Vysokými hodnotami relatívnej permitivity sa vyznačujú nelineárne dielektriká, v ktorých dochádza k spontánnej polarizácii. Vzhľadom na určité podobnosti s magnetickými vlastnosťami kovov im hovoríme feroelektriká. Takéto vlastnosti má napr. kryštalický titaničitan barnatý BaTiO 3. U týchto látok relatívna permitivita môže dosiahnuť hodnoty až 1 5. Nasledujúca tabuľka 4.1 uvádza hodnoty relatívnej permitivity podľa druhu látky a typu polarizácie Tab. 4.1 Príklady hodnôt relatívnej permtivity podľa druhu látky a typu polarizácie Typ dielektrickej látky Typ polarizácie Relatívna permitivita ε r Plyn elektrónová 1,-1,6 Nepolárna kvapalina elektrónová 1,8-,3 Polárne kvapaliny, elektrónová a orientačná 3-81 polárne polyméry Sklá Iónové kryštály Dipólové kryštály elektrónová iónová orientačná Nelineárne dielektriká spontánna polarizácia >1 4.5 Energia kondenzátora s dielektrikom Štúdiom procesu nabíjania kondenzátora sme ukázali, že energia nabitého kondenzátora s elektrickou kapacitou C, na ktorého doskách je napätie U, je daná vzťahom 1 Epe = W = CU. Je potrebné si pripomenúť, ako sme dospeli k tomuto vzťahu a čo vlastne vyjadruje. Pri odvodzovaní tohto vzťahu sme hľadali prácu, ktorú musí vonkajšia sila vynaložiť na nabitie kondenzátora, teda na privedenie náboja proti existujúcemu elektrickému poľu, až po konečný elektrický náboj Q a s ním spojenú objemovú hustotu náboja a intenzitu elektrického poľa. Túto prácu potrebnú na vytvorenie elektrického poľa medzi doskami kondenzátora sme stotožnili s energiou nabitého kondenzátora. Na dosky kondenzátora sme privádzali voľný elektrický náboj a táto energia je teda energia spojená s voľným elektrickým nábojom. Je to energia, ktorá sa môže vybíjaním kondenzátora previesť na inú formu energie, napr. teplo na elektrickom odpore a pod.. Je to svojho druhu analógia potenciálnej energie. Majme doskový kondenzátor s plochou dosiek S, vzdialených o d a nech priestor kondenzátora je plne vyplnený dielektrikom relatívnej permitivity ε r. Po dosadení za elektrickú kapacitu a napätie dostávame pre energiu nabitého kondenzátora 1ε ε rs ( ) 1 1 Epe = W = Ed = E( ε εre) Sd = EDτ = weτ, (4.9) d 1 kde sme zaviedli hustotu energie elektrického poľa v materiálovom prostredí w e = ED a objem kondenzátora jeτ. Zanedbávame okrajové efekty, τ je teda súčasne aj objem priestoru, v ktorom sa nachádza elektrické pole. Vo vektorovom tvare pre hustotu energie elektrického poľa platí všeobecný vzťah 51

51 1 w e = E D (4.3) V prípade, že v kondenzátore je vákuum, ε r = 1 a (4.3) prechádza na už známy vzťah (3.13). Príklad 4.1 Doskový kondenzátor má plochu dosiek S =,1 m a vzdialenosť dosiek je mm. Aký bude elektrický náboj na kondenzátore, ak je kondenzátor nabitý na napätie U = V a ak medzi doskami je a) vákuum, b) priestor medzi doskami kondenzátora je plne vyplnený sklom. Relatívna permitivita skla je ε r = 4,5. Riešenie: εs a). Pre kapacitu doskového kondenzátora platí C = a elektrický náboj Q = CU. d Po dosadení pre elektrický náboj na kondenzátore dostávame 1 ε S 8,854 1,1 8, Q= U= = C. d, Pre elektrickú kapacitu kondenzátora plne vyplneného s dielektrikom platí C = ε rc, a v tomto prípade bude náboj na kondenzátore Q = 4,5 8, C = 3, C. Príklad 4. Rovinný doskový kondenzátor má plochu dosiek S = cm a ich vzdialenosť je d = 1cm. Kondenzátor pripojíme na zdroj a nabijeme na napätie U = 1 V. Po nabití kondenzátor odpojíme od zdroja a do stredu medzi dosky kondenzátora vložíme dosku dielektrika hrúbky d 1 =,4 cm tak, že v kondenzátore zostane vzduchová medzera hrúbky,6 cm. Relatívna permitivita dielektrika je ε r = 3. Vypočítajte: a) elektrickú kapacitu kondenzátora bez dielektrika a voľný elektrický náboj na kondenzátore, b) intenzitu elektrického poľa vo vzduchovej vrstve a v dielektriku, c) napätie na kondenzátore po vložení dielektrika, d) elektrickú kapacitu kondenzátora po vložení dielektrika, e) elektrickú indukciu poľa vo vzduchovej vrstve a v dielektriku, f) veľkosť vektora polarizácie dielektrika a plošnú hustotu polarizačného elektrického náboja. Riešenie: a) Medzi doskami kondenzátora je vzduch. Relatívna permitivita vzduchu je veľmi blízka jednej. Vlastnosti kondenzátora bez dielektrika budeme preto považovať za rovnaké, ako sú vlastnosti kondenzátora, v ktorom je vákuum. Podľa rovnice (3.7) pre elektrickú kapacitu doskového kondenzátora bez dielektrika platí 1 4 ε S 8, C = = = 1,77 1 F. d 11 Voľný elektrický náboj na kondenzátore bude 11 9 Q= CU = 1,77 1 1= 1,77 1 C. b) Na určenie intenzity elektrického poľa vo vzduchovej vrstve si zvoľme Gaussovu plochu ako plochu povrchu hranola, ktorého jedna základňa prechádza kovovou doskou a druhá sa nachádza v priestore medzi doskou kondenzátora a dielektrikom. Elektrická intenzita v 5

52 kovovej doske je nulová a skalárny súčin E ds je nenulový iba na základni nachádzajúcej sa vo vzduchovej vrstve. Na tejto ploche sú vektory E a ds rovnobežné. Podľa všeobecného Gaussovho zákona (4.18) potom εε re d S = ε (1)E S = Q, kde sme dosadili ε r = 1 a Q je voľný elektrický náboj, teda náboj na doske kondenzátora. Pre intenzitu elektrického poľa vo vzduchovej medzere dostávame 9 Q 1,77 1 E = = = 1 Vm ε S 8, Intenzitu elektrického poľa v dielektriku nájdeme pomocou Gaussovej plochy, ktorá bude mať rovnako ako v časti 4. tvar povrchu hranola, prechádza dolnou platňou a dielektrikom. Tok vektora elektrickej intenzity bude nenulový iba cez plochu prechádzajúcu dielektrikom. Smery vektorov E a ds sú ale opačné a E ds = E ds. Voľný elektrický náboj nachádzajúci sa vo vnútri tejto plochy na doske kondenzátora je v tomto prípade Q. Podľa všeobecného tvaru Gaussovho zákona (4.18) platí Q E εε re ds = εε res = Q E = = = 3333,3 Vm 1. ε εrs εr c) Napätie na kondenzátore po vložení dielektrika je dané vzťahom U = E d = E( d d1) + Ed1 = E( d d1) + E d E 1 = εr( d d1) + d Q 1 = εr( d d1) + d1 ε ε ε ε S + ( ) 53 ( ) ( ) r r r U = E( ε r d d1 + d1) = 3333,3(3, 6 +, 4) =73,33 V. Integračnú cestu sme volili tak, že po integračnej ceste bol element integračnej cesty rovnobežný s vektorom elektrickej intenzity E d E d = E d. d) Elektrickú kapacitu kondenzátora po vložení dielektrika určíme z predchádzajúceho vzťahu pre napätie Q ε ε 11 ( ) rs ε ε S r U = ε r( d d1) + d1 Q= U C = =,414 1 F. εε rs εr ( d d1) + d1 εr( d d1) + d1 Snaživejší čitateľ sa môže presvedčiť, že rovnaký výraz pre elektrickú kapacitu dostaneme, ak ju budeme hľadať ako elektrickú kapacitu dvoch sériovo spojených doskových kondenzátorov so vzdialenosťami dosiek d 1 a d d 1. Prvý z nich má priestor plne vyplnený dielektrikom a druhý je bez dielektrika. e) Elektrická indukcia poľa vo vzduchovej vrstve aj v dielektriku je rovnaká a platí D = εe = D= εεre = 8, = 8,854 1 Cm. 1 8 f) Veľkosť vektora polarizácie P= ε( εr 1) E= 8, ,3 = 5,9 1 Cm -. Podľa rovnice (4.) veľkosť vektora polarizácie sa rovná plošnej hustote polarizačného (viazaného) náboja na dielektriku. Príklad 4.3 Vypočítajte prácu, ktorú musí vykonať vonkajšia sila na vytiahnutie dielektrika z nabitého izolovaného kondenzátora. Dielektrikum s relatívnou permitivitou ε r = 3 úplne vypĺňa priestor doskového kondenzátora s plochou dosiek S = 1 m, vzdialenosťou dosiek d = 1 cm. Kondenzátor je nabitý na napätie U 1 = 3 V. Medzi doskou kondenzátora a dielektrikom nie je žiadne trenie.

53 Riešenie: Práca na vytiahnutie dielektrika sa rovná zmene energie elektrického poľa v kondenzátore. ude to rozdiel energií a to energie kondenzátora bez dielektrika a energie kondenzátora s 1 1 dielektrikom: W = Epe Epe1 = CU C1U1. Kondenzátor je izolovaný, náboj na kondenzátore je rovnaký a pre kondenzátor platí: U C1 = ε rc, U1 =. ε r Po dosadení týchto vzťahov pre prácu na vytiahnutie dielektrika dostaneme: 1 1ε ε r S W = C1U1 ( εr 1) = U1 ( εr 1) 4,8 1 6 J. d Poznámka: Na vytiahnutie dielektrika vonkajšia sila musí vykonať kladnú prácu. Znamená to, že dielektrikum je vťahované do priestoru kondenzátora. Príklad 4.4 Vypočítajte silu, ktorou je vťahovaná doska dielektrika s relatívnou permitivitou ε r > 1 do medzery vzduchového kondenzátora (Obr..8), ak medzi doskami kondenzátora a dielektrikom nevzniknú žiadne vzduchové medzery. Kondenzátor je pripojený na zdroj napätia a na kondenzátore je konštantné napätie U. Medzi doskami kondenzátora a dielektrikom nie je žiadne trenie. Riešenie: a Vťahovaním dielektrika sa mení elektrická kapacita kondenzátora, ako aj celková energia b elektrického poľa v kondenzátore. Usporiadanie podľa obrázku môžeme považovať za paralelné F spojenie dvoch kondenzátorov a to vzduchového d kondenzátora a kondenzátora s dielektrikom, kde: x a - x S ( a x) b S1 xb C = ε = ε, C1 = εεr = εεr. d d d d Obr..8 Pre výslednú elektrickú kapacitu pri paralelnom zapojení kondenzátorov platí: ε ba ( x) εε r bx εba εb C = C + C1 = + = + ( ε r 1) x d d d d Ak sa dielektrikum posunie do priestoru dosiek o vzdialenosť dx vykoná sa elementárna práca 1 1 ε b F dx a zvýši sa pritom energia kondenzátora o d W = d CU = U ( ε r 1) dx. Pre d veľkosť sily, ktorou je dielektrikum vťahované do priestoru kondenzátora dostaneme: dw 1 ε b F = = U ( ε r 1). dx d 54

54 5 Elektrický prúd Usmernený kolektívny pohyb elektrických nábojov nazývame elektrický prúd. Môže ísť o pohyb elektrónov, protónov, kladných alebo záporných iónov. Pohyb týchto elektrických nábojov sa môže konať buď vo vákuu alebo v materiálnom prostredí. Všeobecne budeme nazývať vodičom látku, v ktorej sú voľne pohyblivé elektricky nabité častice. Voľnými nabitými časticami v kovovom vodiči sú záporné elektróny, v elektrolytoch sú to kladné a záporné ióny, v plyne môže ísť o pohyb ako kladných a záporných iónov tak aj alektrónov, v polovodiči hovoríme o pohybe elektrónov a dier. Je zrejmé, že charakter a mechanizmus pohybu elektrických nábojov v tuhom, kvapalnom a plynnom prostredí sa bude značne odlišovať. Budeme sa zaoberať všeobecnými zákonitosťami platnými pre elektrické prúdy, bez ohľadu na konkrétny mechanizmus vedenia elektrického prúdu v jednotlivých médiách. 5.1 Základné pojmy a zákony Elektrický prúd Fyzikálna veličina charakterizujúca pohyb elektrického náboja je elektrický prúd: dq I = (5.1) dt Elektrický prúd je celkové množstvo elektrického náboja, ktoré pretečie prierezom vodiča za jednotku času. Jednotkou elektrického prúdu je 1 ampér, ktorý je aj základnou jednotkou SI. O jeho definícii sa zmienime v kapitole o silových účinkoch vodičov pretekaných prúdmi. Nosiče elektrického náboja sa bez prítomnosti elektrického poľa vo vodiči pohybujú neusporiadane. Cez jednotkovú plochu prierezu vodiča prejde rovnaké množstvo elektrického náboja obidvomi smermi. Aby mohol nastať usmernený pohyb nosičov náboja, musí na voľné častice pôsobiť sila, teda vo vodiči musíme udržovať nenulové elektrické pole. Ak intenzita elektrického poľa je E, potom na každý elektrický náboj bude pôsobiť sila F = Q E. Ak má intenzita elektrického poľa stále rovnaký smer, vznikne jednosmerný elektrický prúd. Ak sa smer intenzity periodicky mení na opačný, vzniká striedavý elektrický prúd. Ak chceme, aby vodičom tiekol stály elektrický prúd, musíme udržovať vo vodiči stále elektrické pole, teda rozdiel potenciálov. Elektrické pole potom premiestňuje voľné kladné náboje z miest vyššieho elektrického potenciálu do miest s nižším potenciálom, teda v smere intenzity elektrického poľa E a záporné elektrické náboje opačne. Ak by sa elektrické náboje pohybovali len pod vplyvom elektrického poľa, boli by stále urýchľované. Pri svojom pohybe však stále narážajú na seba navzájom a tiež na mriežku materiálu, ktorému odovzdávajú časť svojej kinetickej energie. V dôsledku toho sa vodič zahrieva. Zrážkový mechanizmus umožňuje vznik ustáleného stavu. 55

55 5.1. Hustota elektrického prúdu Z definície elektrického prúdu nie je zrejmé ako sa elektrické náboje pohybujú, môžu pretekať prierezom vodiča rôznymi smermi. Veličina I je skalárnou veličinou a preto kvôli popisu nielen veľkosti elektrického prúdu, ale aj jeho smeru (orientácie) sa zavádza vektorová veličina hustota elektrického prúdu J. Smer vektora hustoty elektrického prúdu sa historicky definoval v smere pohybu kladného náboja. Veľkosť hustoty elektrického prúdu sa rovná súčtu kladného elektrického náboja, ktorý prejde v smere intenzity elektrického poľa E za jednotku času cez plošnú jednotku kolmú na smer intenzity a záporného elektrického náboja, ktorý cez tú istú plôšku prejde v opačnom smere (obr.5.1) - J = J+ + J = ρ+ v+ + ρ v [A m ], (5.) kde ρ +, ρ sú objemové hustoty príslušného kladného, resp. záporného elektrického náboja, E v +, v sú ich stredné usmernené rýchlosti. + v + v - - J + J - Poznámka: Je potrebné si uvedomiť, že zatiaľ čo vektory v +, v - sú nesúhlasne rovnobežné, vektory J + a J - sú súhlasne rovnobežné a rovnobežné s vektorom intenzity elektrického poľa E (obr. 5.1). Priestor, v ktorom preteká prúd, nazvime pole vektora J. Prúdové čiary sú myslené čiary, ku J = J + + J - ktorým má v každom bode vektor J smer dotyčnice. Obr. 5.1 Elektrické náboje sa pohybujú po prúdových čiarach. Časť priestoru vymedzená plášťom sústavy prúdových čiar sa nazýva prúdová trubica. Uvažujme prúdovú trubicu prierezu S, ktorou preteká elektrický náboj (jednej polarity) s objemovou hustotou ρ (obr. 5.a). Takou prúdovou trubicou je napríklad tenký vodič. Nech d je posunutie elektrického náboja v trubici za čas dt strednou rýchlosťou v, kolmou ds S J ds α J ds = ds cosα d = v dt Obr. 5.a Obr. 5.b na prierez. Objem prúdovej trubice, v ktorom sa elektrické náboje za tento čas dt posunú o vzdialenosť d je dv = Sv dt. Potom pre veľkosť hustoty elektrického prúdu môžeme písať dq dq I J = ρ v = v = v =. (5.3) dv Svdt S Ak tento postup zovšeobecníme pre pretekanie elementárneho elektrického prúdu di d I nekonečne malou plôškou ds, kolmou na vektor J, dostaneme vzťah J =. ds 56

56 V prípade, že plôška ds nie je kolmá na vektor J a normála k plôške zviera s vektorom J uhol di α, bude platiť (obr. 5.b): J =. ds cosα Odtiaľ pre elektrický prúd vyplýva di = J ds I = J d S. (5.4) S Elektrický prúd je tokom vektora hustoty elektrického prúdu cez plochu S Ohmov zákon Ako sme už uviedli, podmienkou vzniku usmerneného pohybu elektrónov vo vodiči, teda podmienkou vzniku elektrického prúdu je existencia elektrického poľa. Výsledky experimentov s elektrickými prúdmi v kovových vodičoch ukázali, že pri konštantnej teplote hustota elektrického prúdu vo vodiči je priamo úmerná intenzite elektrického poľa. Pritom platí, že v izotropnom prostredí má vektor hustoty J elektrického prúdu J rovnaký smer ako vektor intenzity elektrického poľa E (prúdové čiary sú totožné so siločiarami). Matematicky môžeme tento zákon vyjadriť v tvare J = σ E, (5.5) kde konštanta úmernosti σ sa nazýva konduktivita a závisí od vlastností materiálu. Vzťah (5.5) platí len pre slabé elektrické polia, pri silných poliach je linearita vzťahu porušená v dôsledku zmien v mechanizme zrážok E (obr. 5.3). Obr. 5.3 Súvislosť intenzity elektrického poľa a vektora hustoty elektrického prúdu môžeme vyjadriť aj nasledovne: 1 E = J = ρ J. (5.6) σ Prevrátená hodnota konduktivity sa nazýva rezistivita ρ. Platí, že vo vodiči, ktorým preteká ustálený elektrický prúd je E a naopak, ak E = elektrický prúd vo vodiči neexistuje. Vzťahy (5.5), resp. (5.6) majú názov podľa nemeckého fyzika Georga Simona Ohma ( ) a voláme ich Ohmove zákony v diferenciálnom tvare. Tieto formulácie nezávisia od tvaru a objemu vodiča. A d V A E J Obr. 5.4 V B B Uvažujme časť vodiča, a v ňom elementárnu prúdovú trubicu (obr. 5.4). V izotropnom prostredí bude smer vektora intenzity E rovnobežný s vektorom J a rovnobežný s osou trubice. Zvoľme si na tomto úseku vodiča dva prierezy A a B. Každá prierezová plocha S nech je ekvipotenciálnou plochou. Charakterizujme tieto plochy elektrickými potenciálmi V A, V B, pričom nech platí V A > V B. Zvolený dĺžkový element ležiaci na prúdovej čiare nech je d. Medzi elektrickým potenciálom a intenzitou elektrického poľa platí vzťah (.51) E d = d V. 57

57 Dosadením vzťahu (5.6) a integrovaním po prúdovej čiare od hladiny A do B dostaneme B VB B I ρj d = dv ρ d = VA VB. S Α VA Α Pri úprave sme využili predpoklad E J d a uvažovali sme strednú hodnotu hustoty elektrického prúdu J = I/S. Predošlý výraz môžeme upraviť do tvaru B ρ I d = U IR= U, (5.7) S A kde U = V A V B je napätie medzi hladinami potenciálov vodiča, R je koeficient úmernosti medzi elektrickým prúdom a napätím na danom úseku vodiča a nazýva sa elektrický odpor. Integrálny tvar Ohmovho zákona môžeme formulovať nasledovne: Elektrický prúd daným úsekom vodiča pri danej teplote a pre daný materiál je priamo úmerný rozdielu potenciálov (napätiu) na koncoch tohto vodiča. Matematicky môžeme túto lineárnu závislosť medzi elektrickým napätím a prúdom vyjadriť vzťahom 1 U = R I, resp. I = U = GU (5.8) R pričom G =1/R je elektrická vodivosť úseku vodiča. Grafické vyjadrenie Ohmovho zákona je na obr. 5.5a. Ako vidieť z grafu I(U), v prípade, že elektrický odpor je konštantný (R = konšt.) dostávame priamku so smernicou 1 tg α = = G. R Závislosť elektrického prúdu od elektrického odporu I(R) pri konštantnom napätí U je znázornená hyberbolou na obr. 5.5b. I [A] I [A] α U = konšt. Obr. 5.5a U [V] Obr. 5.5b R [Ω] 58

58 5.1.4 Elektrický odpor vodiča Pri odvodení Ohmovho zákona v integrálnom tvare sme definovali novú veličinu - elektrický odpor úseku vodiča vzťahom B ρ R = d. (5.9) S A Táto veličina závisí od druhu materiálu, od geometrie vodiča (jeho dĺžky a prierezu) a závisí aj od teploty. Elektrický odpor kovov závisí napríklad aj od ich spracovania. Pre homogénne vodiče konštantného prierezu pri danej teplote platí R = ρ, (5.1) S kde je dĺžka uvažovaného úseku vodiča. Jednotkou elektrického odporu R vodiča je 1 ohm (1 Ω). Z Ohmovho zákona vyplýva jeho definícia: Jeden ohm je elektrický odpor vodiča, na ktorom pri elektrickom prúde 1 A vznikne medzi jeho koncami napätie (potenciálový spád) 1 V. 1V 3 Platí: 1Ω= = 1m kg s A. 1A Jednotkou elektrickej vodivosti G = 1/R je 1 siemens (1 S) a platí: 1 S = 1 Ω 1. Materiálové konštanty rezistivita ρ a konduktivita σ (definované v časti 5.1.3) majú 1 nasledovné jednotky: ρ [ Ω m ], σ [S m ]. Hodnoty konduktivity sa pre jednotlivé druhy materiálov výrazne líšia. Pre dobré vodiče (napr. meď) sú rádovo 1 8 S m 1 a naopak v prípade izolantov sú rádove 1 17 S m 1. Veľký vplyv na konduktivitu majú rôzne prímesi. Malé množstvo prímesi môže veľmi zmenšiť konduktivitu čistého kovu Spájanie rezistorov Elektrotechnické súčiastky, ktoré môžeme charakterizovať elektrickým odporom R, budeme nazývať rezistory. Pre potreby praxe potom môžeme takéto súčiastky rezistory - spájať buď do série, paralelne alebo do rôznych sériovo-parelných zapojení, podľa toho, aký potrebujeme výsledný elektrický odpor. Sériové zapojenie rezistorov tzv. zapojenie za sebou znamená, že spojíme vždy výstupnú svorku jedného rezistora so vstupnou svorkou nasledujúceho (obr.5.6a). Nech rezistory majú elektrické odpory R 1, R, R 3,... R n. Pre takéto zapojenie rezistorov potom platí: a) všetkými rezistormi preteká rovnaký elektrický prúd I a platí Ohmov zákon v tvare U = R I, b) výsledné napätie U medzi bodmi A, B sa rozdelí na napäťové spády U i na jednotlivých rezistoroch, pričom platí n U = U = U + U + U +... = RI + R I + R I +... = ( R + R + R +...) I = I R i i= 1 i= 1 59 n i

59 c) ekvivalentný elektrický odpor sériového zapojenia rezistorov R potom bude n U R = = R (5.11) I i= 1 i Výsledný elektrický odpor sústavy je rovný súčtu elektrických odporov jednotlivých rezistorov. Takéto zapojenie používame, ak potrebujeme elektrický odpor zväčšiť. Paralelné zapojenie rezistorov tzv. zapojenie vedľa seba (obr. 5.6b). Spojíme navzájom vstupné svorky všetkých rezistorov ako aj všetky výstupné svorky. Potom platí: a) napätie na všetkých rezistoroch je rovnaké U, je to spoločné napätie medzi uzlom vstupným a výstupným, b) elektrický prúd v nerozvetvenej časti sa rovná súčtu elektrických prúdov v jednotlivých n n U U U vetvách I = Ii = I1+ I + I3+... = = U( ) = U, i= 1 R1 R R3 R1 R R3 i= 1 Ri c) ak je R ekvivalentný elektrický odpor rozvetvenej časti medzi bodmi A, B, platí pre 1 elektrický prúd I: I = U, R d) porovnaním predošlých vzťahov dostaneme pre výsledný elektrický odpor paralelného n n 1 1 zapojenia: =, resp. pre výslednú elektrickú vodivosť: G = Gi. (5.1) R i= 1 Ri i= 1 Výsledný elektrický odpor je teda menší ako elektrický odpor ktorejkoľvek vetvy. I 1 R 1 A I R 1 R R 3 R n B A I I I 3 R R 3 B A U 1 U U n U R B I n R n U U A R B U Obr. 5. 6a Obr. 5.6b Teplotná závislosť elektrického odporu Elektrický odpor materiálov závisí od teploty. Pre kovy a väčšinu vodivých látok môžeme túto závislosť vyjadriť vzťahom 1 1 A T T R= R e, (5.13) kde R je elektrický odpor pri teplote T, R je elektrický odpor pri teplote T, A je konštanta s rozmerom teploty. Pre kovy platí A <, pre polovodiče A >. Pre charakterizovanie teplotnej závislosti zaveďme novú veličinu - teplotný koeficient elektrického odporu vzťahom 6

60 1dR 1 αt = [K ], (5.14) R dt ktorý vyjadruje relatívnu zmenu elektrického odporu pri jednotkovej zmene teploty. Po derivácii vzťahu (5.13) podľa teploty T a dosadení do (5.14) dostaneme súvis medzi konštantou A a koeficientom α T A α. T = (5.15) T Pre kovy a ich zliatiny je tento koeficient kladný, pre polovodiče a izolanty záporný. Hodnoty rezistivít a teplotných koeficientov elektrického odporu sú pre niektoré materiály uvedené v tabuľke 5.1. Ak dosadíme (5.15) do (5.13), urobíme Taylorov rozvoj vzťahu (5.13) a zanedbáme vyššie mocniny, dostaneme R= R[1 αtt + ( αtt ) +...], 1! T T! T T čo môžeme zjednodušene zapísať v tvare: 3 R R[1 + αδ T + β( Δ T) + γ( Δ T) +...] (5.16) pričom platí: Δ T = T T, α, β, γ... sú koeficienty závislé od teploty a určia sa meraním elektrického odporu pri rôznych teplotách. ρ ρ Pre malé zmeny teploty v okolí teploty t = C je závislosť elektrického odporu väčšiny kovov od teploty lineárna. Stačí uvažovať len c prvý člen radu (5.16) a platí R = R(1 + α t), (5.17) resp. analogicky pre rezistivitu materiálu b ρ = ρ(1 + αt), (5.18) T c 5 15 Obr. 5.7 a T [K] pričom ρ je rezistivita materiálu pri teplote t = C. Hodnota koeficientu α je závislá od vzťažnej teploty. Nielen hodnoty rezistivít ale aj teplotných koeficientov elektrického odporu veľmi silne závisia od čistoty materiálu a od spôsobu spracovania. Väčšina čistých kovov má teplotný koeficient α približne rovnaký α K 1 v rozmedzí teplôt od do 1 C. Závislosti rezistivity od teploty pre čisté kovy (krivka a) ako aj pre kovy s prímesou (krivka b) a pre porovnanie aj závislosť rezistivity od teploty pre polovodiče (krivka c) sú na obr Už malé množstvo prímesi spôsobí veľké zvýšenie elektrického odporu Supravodivosť Pri veľmi nízkych teplotách je elektrický odpor kovov veľmi malý a pre niektoré kovy v blízkosti absolútnej nuly elektrický odpor zaniká takmer úplne. Tento jav sa nazýva supravodivosť a experimentálne ho objavil r holandský fyzik Kammerlingh-Onnes ( ). Prechod do supravodivého stavu nastáva skokom pri určitej, tzv. kritickej teplote T c, ktorá je charakteristická pre daný kov, resp. zliatinu (obr. 5.7, krivka a). Napríklad 61

61 pre olovo je to teplota 7,6 K, pričom elektrický odpor olova pri tejto teplote je 1 krát menší ako pri izbovej teplote. Ak v supravodivom prstenci vzbudíme elektrický prúd, potom aj pri odpojenom zdroji elektrického prúdu sa bude elektrický náboj pohybovať bez akýchkoľvek strát. Boli popísané experimenty, pri ktorých bol pokles elektrického prúdu v takomto supravodivom materiáli aj po uplynutí roka ledva merateľný. Zaujímavý jav u supravodičov objavili r Meissner a Ochsenfeld - totiž, že magnetické pole po prechode látky do supravodivého stavu je v supravodiči nulové (B = ). Táto skutočnosť je základom tzv. supravodivej levitácie. Ak priblížime k supravodivej doštičke pri príslušnej nízkej teplote magnet, bude sa tento magnet vznášať v určitej výške nad povrchom doštičky. Približujúci sa magnet vyvolá v supravodiči vznik indukovaných elektrických prúdov, ktorých magnetické pole spôsobí levitáciu. Negatívnym javom u supravodičov je, že pôsobením magnetického poľa supravodivosť zaniká. Každý materiál v supravodivom stave má tzv. prahovú hodnotu magnetickej indukcie, pri ktorej ešte ostáva supravodivým. Zistilo sa tiež, že niektoré kovy (napr. Cu, Ag, Au, Fe) nie je možné dostať do supravodivého stavu. Široké praktické využitie supravodivosti limituje fakt, že sa dosahuje len pri veľmi nízkych teplotách (teploty kvapalného hélia), čo je cenovo veľmi náročné. Po r boli však objavené také keramické materiály, ktoré dosahovali supravodivosť pri oveľa vyšších teplotách, napr. teplote kvapalného dusíka. V súčasnosti sa hľadajú supravodiče pri izbovej teplote. Cieľom výskumov v oblasti supravodivosti je nájsť materiál, ktorý by bol supravodivý pri čo najvyššej teplote, dali by sa z neho vytvárať magnety a súčasne by mal vysokú prahovú hodnotu magnetickej indukcie. Spektrum aplikácií supravodivosti už v súčasnosti je veľké. Využívajú sa najmä v supravodivých cievkach na vytváranie silných magnetických polí, supravodivé vinutia generátorov, v kozmickom výskume a jadrovej technike, na konštrukciu magnetov pre magneto-hydrodynamické generátory (MHD) pri výskume termojadrových syntéz, ale budúcnosť môžu mať aj aplikácie v bežnom živote, napr. pohyb vozidiel na supravodivých magnetických poduškách Zdroje elektromotorického napätia Na voľné nosiče elektrického náboja vo vodiči musí stále pôsobiť sila, aby vodičom tiekol elektrický prúd. Ak by sme prepojili nabité dosky kondenzátora vodičom, bude kladný elektrický náboj prechádzať z dosky (elektródy) s vyšším elektrickým potenciálom do miesta s nižším elektrickým potenciálom. Dokiaľ sa elektrické náboje na doskách kondenzátora nevyrovnajú, vodičom potečie elektrický prúd. Ak chceme vo vodiči dosiahnuť ustálený elektrický prúd, musíme stále dodávať kladný elektrický náboj zo zápornej dosky (elektródy) na kladnú (obr. 5.8a). Zariadenie, ktoré dopĺňa elektrické náboje na týchto elektródach tak, že udržuje na nich konštantný rozdiel potenciálov sa nazýva zdroj elektromotorického napätia. Elektróda s vyšším elektrickým potenciálom je kladný pól zdroja (+ svorka), druhá elektróda sa nazýva záporný pól zdroja ( svorka). Vnútri takéhoto zdroja sa kladné elektrické náboje pohybujú z miest s nižším elektrickým potenciálom do miest s vyšším potenciálom, teda ku kladnému pólu zdroja. Je to práve opačný smer, než smer, v ktorom by sa pohybovali za účinku elektrického poľa medzi týmito elektródami. V zdroji elektromotorického napätia preto musia existovať sily, ktoré konajú prácu proti silám elektrického poľa. Tieto sily sú neelektrického pôvodu a nazývame ich cudzie alebo vnútené sily F c. Môžu mať napr. mechanickú, chemickú, difúznu, elektromagnetickú povahu. Pre intenzitu takéhoto vnúteného poľa môžeme písať 6

62 c E c = F. (5.19) Q Výsledná intenzita je daná vektorovým súčtom intenzity elektrického poľa a vnúteného poľa E výsl. = E c + E. (5.) Základnými charakteristikami zdroja sú elektromotorické napätie (EMN) a vnútorný elektrický odpor zdroja. Definujme si postupne obe tieto veličiny. Elektromotorické napätie zdroja sa rovná práci, ktorú vykoná cudzia sila pri prenesení jednotkového kladného elektrického náboja z miesta nižšieho elektrického potenciálu (zo zápornej svorky zdroja) do miesta s vyšším potenciálom (kladná svorka) proti silám existujúceho elektrického poľa. Matematicky túto definíciu zapíšeme nasledovne + + W + Fc E = = d c d Q = Q E. (5.1a) Intenzita cudzích (vnútených) síl je nenulová iba vo vnútri zdroja a definíciu elektromotorického napätia môžeme rozšíriť na integráciu po uzatvorenej krivke prechádzajúcej zdrojom ale v smere od svorky po svorku + + E = E d = E d. (5.1b) c c Uvažujme najprv tzv. nezaťažený zdroj, teda zdroj neprepojený elektrickým obvodom. Elektrický prúd je nulový a hustota elektrického prúdu je tiež nulová. Na základe Ohmovho zákona môžeme písať: ρ J = = ( Ec + E) E c = E. Z definície EMN potom dostaneme: + + E = Ec d = E d = E d = E d + E d = E d E d = V V = U. (5.) Rozdiel potenciálov na svorkách zdroja sa nazýva svorkové napätie Napätie na svorkách nezaťaženého zdroja sa rovná elektromotorickému napätiu zdroja. Ak pripojíme k svorkám zdroja EMN záťaž teda napr. určitý spotrebič s elektrickým odporom R a obvod uzavrieme, bude pretekať elektrický prúd od kladnej svorky zdroja cez odporovú záťaž k zápornej svorke zdroja a odtiaľ cez zdroj opäť ku kladnému pólu zdroja (obr. 5.8a). Vynásobme vektor hustoty elektrického prúdu skalárne dĺžkovým elementom prúdnice d a integrujme rovnicu pozdĺž celého obvodu. Smer integračnej cesty volíme tak, aby práca vnútených síl bola kladná, smer elektrických prúdov je kladný v smere integračnej cesty. ρj = Ec + E (5.3) ρj d = ( Ec + E) d = Ec d + E d. Prvý integrál na pravej strane predstavuje podľa (5.1b) elektromotorické napätie zdroja, druhý integrál je nulový, pretože elektrické pole je konzervatívne a teda ρj d = Ec d. (5.4) Rozpíšme integrál na ľavej strane ako súčet integrálov pozdĺž vonkajšej časti obvodu a integrál po ceste cez zdroj nasledovne:

63 + ρ J d = ρ J d + ρ J d. + Pretože smery vektorov J a d sú súhlasne rovnobežné, platí J d = J d, pričom môžeme dosadiť za veľkosť hustoty elektrického prúdu vzťah + ρjd + ρjd = E + + I J =. Nakoniec dostávame S ρd ρd E I + I = E I( R+ R) = E,resp. I =, i Sobv. Szdroja R+ R + i 5.5) ρ d pričom výraz R = predstavuje elektrický odpor vonkajšieho obvodu t.j. elektrický S + obv. odpor záťaže, a analogicky výraz + ρ d Ri = (5.6) S zdroja znamená vnútorný elektrický odpor zdroja. Na základe odvodeného vzťahu (5.4) si môžeme predstaviť náhradnú schému zdroja EMN tak, že reálny zdroj EMN nahradíme sériovým zapojením ideálneho (bezodporového) zdroja EMN a jeho vnútorného elektrického odporu R i (obr. 5.8b). R R I + E E c + _ Súvis medzi elektromotorickým E a svorkovým napätím U môžeme ďalej vyjadriť: Ri E = I( R+ Ri) = U + IRi = U(1 + ) R (5.7) resp. U = E IRi. Svorkové napätie U = R I je súčasne napätím na záťaži s elektrickým odporom R. Svorkové napätie je menšie ako elektromotorické napätie o napäťový úbytok na vnútornom elektrickom odpore zdroja. Svorkové napätie sa rovná elektromotorickému napätiu v prípade nezaťaženého zdroja (I = ) alebo v prípade ideálneho zdroja, pri ktorom môžeme jeho vnútorný odpor zanedbať (R i = ). Zdrojmi elektromotorického napätia sú napr. galvanické články, akumulátory, dynamá, termočlánky a pod. Podľa veľkosti vnútorného elektrického odporu delíme zdroje na tvrdé a mäkké. Ak má zdroj malý vnútorný odpor hovoríme o tvrdých zdrojoch EMN. Na takomto zdroji je napäťový spád malý v porovnaní s elektromotorickým napätím. Ide napr. o akumulátor používaný v autách, ktorého vnútorný elektrický odpor je rádovo 1 3 Ω a preto aj keď štartovací prúd je asi A, predstavuje úbytok napätia na vnútornom elektrickom odpore len, V. I R i + _ Obr. 5.8a Obr. 5.8b E 64

64 Mäkké napäťové zdroje sú zdroje s veľkým vnútorným elektrickým odporom sú to napr. elektrostatické generátory napätia. Zdroje EMN môžeme spájať do série aj paralelne. Pri sériovom zapojení zdrojov dostaneme výsledný zdroj, ktorého EMN bude dané súčtom EMN jednotlivých zdrojov (napr. zmienený 1 V akumulátor je sériovým spojením šiestich článkov, každý s EMN = V), ale súčasne aj vnútorný elektrický odpor výsledného zdroja je sumou vnútorných odporov jednotlivých zdrojov, a preto sa výsledný zdroj stáva mäkším. Toto tvrdenie vyplýva z. Kirchhoffovho zákona (rovnica 5.41), ktorý si objasníme v časti 5... Paralelne môžeme zapojiť len identické zdroje, pričom spájame spolu svorky rovnakej polarity. Výsledné EMN tohto radenia je rovnaké ako EMN jedného zdroja, ale vnútorný elektrický odpor klesne n- krát v porovnaní s vnútorným odporom jedného zdroja. Môžeme tým dostať tvrdší zdroj napätia Práca a výkon elektrického prúdu Uvažujme zdroj elektromotorického napätia pripojený k spotrebiču (obr. 5.8b). Nech zdroj EMN má vnútorný elektrický odpor R i a spotrebič má elektrický odpor R. Obvodom bude tiecť elektrický prúd, potenciálna energia elektrických nábojov sa v spotrebiči mení na iné formy energie napr. na mechanickú prácu, na chemickú energiu, na teplo. Vyjadrime elementárnu prácu zdroja EMN pri prenášaní náboja dq cez uzavretý obvod dw = dq Evýsl. d = dqe = Id t ( R+ Ri ) I = I ( R+ Ri )d t, (5.8) pričom sme využili úpravu integrálu analogicky ako v rovniciach (5.3) a (5.4). Práca vykonaná za jednotku času je výkon dw dqe P= = = EI, resp. dt dt (5.9) d W I ( R+ Ri )dt P= = = RI + RI i EI = RI + RI i. dt dt Po dosadení elementárnej práce (5.8) sme dostali energetickú bilanciu v obvode celkový odovzdávaný výkon zo zdroja P c =E I sa rovná súčtu výkonu spotrebovaného v spotrebiči P = R I a výkonu, ktorý sa spotrebuje v samotnom zdroji P i = R i I. Stratový výkon v zdroji sa prejaví zahrievaním zdroja, elektrická energia sa premieňa na Jouleovo teplo. Skúmajme teraz užitočný výkon, spotrebovaný v záťaži. Dosaďme za elektrický prúd priebeh závislosti elektrického prúdu od elektrického odporu zo vzťahu (5.5). Potom pre užitočný výkon dostaneme P RI R E = =. (5.3) ( R + R i) Uvažujme limitné prípady: a) Ak elektrický odpor záťaže R =, hovoríme, že zdroj je skratovaný. Obvodom bude pretekať maximálny tzv. skratový elektrický prúd Iskr = E. Ri Užitočný výkon P =, celý výkon zdroja sa realizuje ako stratový výkon v zdroji a môže spôsobiť zničenie zdroja: P skr = E. R i 65

65 b) Ak elektrický odpor záťaže R =, ide o otvorený zdroj, tzv. zapojenie zdroja naprázdno.platí I =, P =. Ak meníme hodnotu elektrického odporu záťaže v intervale R <, >, mení sa užitočný výkon, pričom v týchto limitných prípadoch je nulový. Musí preto existovať taká hodnota elektrického odporu záťaže, pri ktorej dosiahne užitočný výkon svoje maximum. Hľadajme preto extrém funkcie (5.3) P ( R+ Ri) ( R+ Ri) R = E = R = R 4 i. (5.31) R ( R+ Ri ) Zdroj bude odovzdávať do záťaže maximálny výkon vtedy, keď bude splnená podmienka výkonového prispôsobenia zdroja a záťaže, t. j. ak elektrický odpor záťaže je rovný vnútornému elektrickému odporu zdroja. Takáto záťaž sa nazýva prispôsobená záťaž. Maximálny užitočný výkon potom bude P = E. (5.3) 4Ri Ak vyjadríme účinnosť zdroja ako pomer užitočného a celkového výkonu P RI 1 η = = = (5.33) Pc ( R+ Ri) I Ri 1+ R vidíme, že v prípade prispôsobenej záťaže dodáva síce zdroj do záťaže maximálny výkon, ale je to len polovica celkového výkonu zdroja, účinnosť je η = 1/. Druhá polovica výkonu spôsobuje veľké zahrievanie zdroja. V takomto režime môžu pracovať zdroje len krátkodobo, keď je potrebné dodať do spotrebiča okamžite veľkú energiu napr. pre štartovanie motora. V bežnej energetickej prevádzke sa vyžaduje čo najvyššia účinnosť η 1 (aj na úkor toho, že užitočný výkon nebude maximálny). To dosiahneme vtedy, keď elektrický odpor záťaže bude oveľa väčší ako vnútorný elektrický odpor zdroja R >>R i. Priebeh užitočného výkonu P ako aj účinnosti zdroja η v závislosti od pomeru R/R i je na obr P η E 1 4R i P η,5 1 3 Obr. 5.9 R R i 66

66 5. Jednosmerné elektrické obvody Pod elektrickou sieťou rozumieme zapojenie rôznych elektrotechnických prvkov ako sú kondenzátory, rezistory, cievky a zdroje EMN do určitých uzavretých konfigurácií. Jednosmerná sieť je potom taká elektrická sieť, v ktorej tečie ustálený jednosmerný elektrický prúd. Pozostáva len zo zdrojov EMN, rezistorov a spojovacích vodičov. Uzlom siete nazývame miesto, kde sa spájajú aspoň tri vodiče. Vetva siete je vodivé spojenie sériovo zapojených rezistorov a zdrojov EMN medzi dvoma uzlami. Časť elektrickej siete, tvoriaca uzavretý nerozvetvený obvod sa nazýva slučka. Riešiť elektrickú sieť znamená vypočítať jednotlivé elektrické prúdy v jednotlivých vetvách obvodu Rovnica kontinuity elektrického prúdu Jedným zo zákonov charakterizujúcich vlastnosti elektrického náboja je zákon zachovania elektrického náboja. Uvažujme spojenie viac ako dvoch vodičov - uzol v elektrickej sieti. Vodičmi nech pretekajú ustálené (stacionárne) elektrické prúdy I i. Celkový elektrický náboj vtekajúci do uzla sa musí rovnať elektrickému náboju vytekajúcemu z uzla, pretože elektrický náboj podľa zákona zachovania elektrického náboja nemohol zaniknúť a ani sa nikde hromadiť, pretože elektrické prúdy sú ustálené. Bilanciu elektrického náboja v elektrických prúdoch I i. vyjadríme rovnicou vst vyst I = I i j. (5.34) i j Rovnica (5.34) vyjadruje I. Kirchhoffov zákon a je dôsledkom zákona zachovania elektrického náboja pre stacionárne elektrické prúdy. Elektrický prúd má v skutočnosti nespojitý charakter, pretože ide o pohyb nabitých mikročastíc. Pre elektrické prúdy, ktoré nie sú extrémne malé môžeme zaviesť predstavu elektrického prúdu ako pohybu spojitého rozloženia elektrického náboja s určitou objemovou hustotou. Rovnica spojitosti, resp. kontinuity vyplýva zo zákona zachovania elektrického náboja. Zvoľme si vo vodiči (obr. 5.1) objem τ, ohraničený plochou S, a nech v tomto objeme je elektrický náboj Q s objemovou d Q hustotou ρ =, potom Q ρ d τ dτ =. S ds τ ρ J Výtok vektora hustoty elektrického prúdu J τ z uzavretej plochy sa rovná časovému úbytku náboja z objemu τ: Obr. 5.1 dq J d S = dt (5.35) S ( τ ) Rovnica (5.35) je rovnica kontinuity elektrického prúdu v integrálnom tvare. 67

67 Rovnica kontinuity elektrického prúdu v diferenciálnom tvare*. Ľavú stranu rovnice (5.35) môžeme prepísať pomocou Gaussovej vety vektorovej analýzy na objemový integrál z divergencie vektora J. Ak na pravej strane vyjadríme celkový elektrický náboj pomocou objemovej hustoty náboja dostaneme d divj dτ = d dt ρ τ τ τ. (5.36) ρ divj d τ = dτ t τ τ Keďže hustota elektrického náboja môže závisieť nielen od času ale aj od polohy, prešla obyčajná derivácia v predošlom vzťahu na parciálnu deriváciu. Obor integrácie je na obidvoch stranách rovnice rovnaký, preto musí platiť ρ div J + =. (5.37) t Rovnica (5.37) je rovnica spojitosti elektrického prúdu v diferenciálnom tvare a rovnako ako (5.35) vyjadruje zákon zachovania elektrického náboja. Rovnica spojitosti elektrického prúdu platí ako pre jednosmerné, tak pre nízkofrekvenčné aj vysokofrekvenčné elektrické prúdy. Dosaďme do rovnice (5.37) Ohmov zákon (5.5) v diferenciálnom tvare J = σ E a za intenzitu elektrického poľa diferenciálny tvar ρ Gaussovho zákona z elektrostatiky: dive =. Dostaneme ε div ρ ρ σ E + = σ = ρ. t ε t Separáciou premenných a integráciou dostaneme časovú závislosť objemovej hustoty elektrického náboja v tvare ρ t dρ σ ρ σ = dt ln t ρ = ε ρ ρ ε. (5.38) σ t ε ρ = ρ e Vidíme, že ak sa vo vnútri vodiča z nejakej príčiny vytvoril elektrický náboj, tak sa s časom rozplynie podľa uvedenej rovnice, pričom mierou rýchlosti návratu k pôvodnému stavu ε r je časová konštanta τ = ( pre vodiče jeτ rádovo s, pre polovodiče σ s). 5.. Kirchhoffove zákony Z rovnice spojitosti (5.35) pre stacionárny (od času nezávislý) stav d Q dt = vyplýva J d S =. (5.39) S Uvažujme teraz časť elektrickej siete uzol, v ktorom sa stretajú napr. štyri vodiče. Obklopme uzol myslenou uzavretou plochou S, ktorá vytína na prierezoch vodičov plochy S 1, S, S 3, S 4. Týmito vodičmi pretekajú elektrické prúdy I 1, I, I 3, I 4 (obr. 5.11). V takomto prípade musí platiť 68

68 = J d S = J d S + J d S + J d S + J d S = I + I + I I S S1 S S3 S4 Vektor hustoty elektrického prúdu mimo vodičov je nulový, preto tok vektora hustoty elektrického prúdu cez celú uzavretú plochu S je daný súčtom integrálov, ktoré predstavujú elektrické prúdy jednotlivými vodičmi. Znamienko pri jednotlivých elektrických prúdoch závisí od toho, či vektory J a ds sú súhlasne rovnobežné (prúd prierezom vyteká) alebo nesúhlasne rovnobežné (prúd prierezom vteká do uzla). Ak zovšeobecníme túto úvahu pre n-vodičov, stretávajúcich sa v uzle, môžeme pre I 1 I 4 S 1 S 3 S 4 jednosmerný stacionárny stav matematicky a slovne vyjadriť 1. Kirchhoffov zákon nasledovne: I = I, resp. I =. (5.4) vst vyst alg i j k i j k Súčet elektrických prúdov do uzla vtekajúcich sa rovná súčtu elektrických prúdov z uzla vytekajúcich. Tento zákon sme v úvode k tejto časti jednoducho formulovali pre ustálené prúdy. Teraz sme videli, ako vyplýva zo všeobecne platnej rovnice kontinuity. Obr Majme časť elektrickej siete, tvoriacu uzavretý obvod, tzv. slučku. Jednotlivé vetvy siete - medzi susednými uzlami obsahujú zdroje jednosmerného napätia, charakterizované elektromotorickými napätiami E i, a rezistory s elektrickými odpormi R k (vnútorný elektrický odpor zdrojov môžeme formálne zahrnúť do elektrického odporu danej vetvy). Postupujme teraz tak ako v prípade jednoduchého elektrického obvodu a rozpíšme rovnicu (5.4) ρj d = E d pre slučku na obr. 5.1 zvlášť pre jej ľavú a pravú stranu. uzol I 3 c S I B I + A I 1 R 1 E 1 I 4 R 4 R + E I 3 R 3 C Pre ľavú stranu dostávame B C D A B C D A ρd ρd ρd ρd ρ J d = ρ J d + ρ J d + ρ J d + ρ J d = I + I I I = S S S S A B C D A B C D = IR+ IR IR IR D Obr

69 Pre pravú stranu dostávame B C D A E c d E c d E c d E c d E c d ( E1) + E = E E1. A B C D Ak zovšeobecníme tento postup na n zdrojov EMN a m elektrických odporov v danej slučke, môžeme formulovať. Kirchhoffov zákon n m alg alg i = ( RI k k) i= 1 k= 1 E. (5.41) Algebraický súčet elektromotorických napätí zdrojov v ľubovoľnom uzavretom obvode sa rovná algebraickému súčtu napäťových úbytkov na jednotlivých vetvách. Znamienka zdrojov a napäťových úbytkov v algebraickom súčte sú určené nasledovne: Znamienko elektromotorického napätia zdroja je kladné, ak integračná cesta vo vnútri zdroja je od zápornej svorky ku kladnej, znamienko napäťového úbytku je kladné, ak zvolený smer elektrického prúdu má smer rovnaký ako je smer integrácie Riešenie jednoduchých elektrických sietí Pomocou 1. a. Kirchhoffovho zákona môžeme riešiť jednoduché elektrické siete. Pod riešením rozumieme výpočet elektrických prúdov vo všetkých vetvách danej siete alebo určenie elektrických potenciálov všetkých uzlov. Postup pri analýze elektrickej siete je nasledovný: 1. Ľubovoľne si zvolíme a do schémy šípkami označíme smery elektrických prúdov v jednotlivých vetvách. (Ak vypočítaná hodnota elektrického prúdu bude kladná smer elektrického prúdu v danej vetve bol zvolený správne, ak vypočítaný elektrický prúd bude záporný, tečie v skutočnosti elektrický prúd opačným smerom ako bola naša voľba.). Zvolíme si kladný smer obehu slučky (je to v podstate voľba smeru integrácie). 3. Zakreslíme si do schémy smery intenzity E c v zdrojoch od zápornej svorky ku kladnej. 4. Ak máme v analyzovanej sieti celkove p-prúdov a u -uzlov, zostavíme podľa 1. Kirchhoffovho zákona (u 1) lineárne nezávislých rovníc pre elektrické prúdy. 5. Zostavíme pomocou. Kirchhoffovho zákona rovnice pre n nezávislých uzavretých obvodov, pričom musí platiť: n = p (u 1), pretože aby sme mohli vypočítať p neznámych elektrických prúdov potrebujeme zostaviť celkove p lineárne nezávislých rovníc. 6. Ak smer obehu slučky je totožný so smerom E c, resp. so smerom elektrických prúdov vo vetvách, budú EMN napätia E i, resp. napäťové úbytky R k I k kladné, v opačnom prípade záporné. 7. Riešime sústavu lineárnych rovníc a vypočítame neznáme elektrické prúdy. 7

70 Pre ilustráciu zostavme na základe 1. a. Kirchhoffovho zákona a použitím uvedenej konvencie a postupu sústavu lineárne nezávislých rovníc pre elektrický obvod na obr R 3 E 1 I 1 I 3 I E R I I I = 1 3 RI + RI = E RI + ( R3+ R4) = E Riešením týchto lineárne nezávislých rovníc môžeme dostať neznáme elektrické prúdy I 1, I a I 3 : E1( R + R3+ R4) ER I1 = R ( R + R + R ) + R ( R + R ) I I E1( R3+ R4) + ER1 = R ( R + R + R ) + R ( R + R ) E1R E( R1+ R) = R ( R + R + R ) + R ( R + R ) R 1 R 4 Obr Prechodové javy v RC obvode Každý elektrický obvod, obsahujúci kondenzátor (resp. 1 cievku) prechádza pri akejkoľvek zmene napätia tzv. R prechodovým stavom. Popíšeme prechodový jav, vznikajúci na kondenzátore v RC obvode jednosmerného elektrického prúdu + E (obr. 5.14) pri pripojení (spojenie kontaktu 1) a odpojení zdroja C elektromotorického napätia (spojenie kontaktu ). Časovo závislé napätia a elektrické prúdy budeme v ďalšom označovať malými písmenami. Nech je kondenzátor v čase t = nenabitý. V okamihu Obr pripojenia (prepínač v polohe 1) jednosmerného zdroja elektromotorického napätia E bude obvodom pretekať elektrický prúd: i() = I = E R kondenzátor bude predstavovať skrat, a elektromotorické napätie zdroja sa bude rovnať napäťovému úbytku na rezistore: E = U R. 71

71 d Qt ( ) Nabíjací elektrický prúd it () = privádza na dosky kondenzátora elektrický dt Qt () náboj, na kondenzátore vzniká elektrické napätie: uc() t =. V čase t sa už napätie zdroja C bude rovnať súčtu napätí na rezistore a na kondenzátore, pričom napätie na kondenzátore počas tohto prechodového javu narastá, napätie na rezistore klesá. Časový priebeh však nie je lineárny. Aplikujme. Kirchhoffov zákon pre danú slučku a dosaďme doňho priebeh napätia na kondenzátore u C (t) a definíciu elektrického prúdu i(t). Proces nabíjania kondenzátora bude charakterizovať potom diferenciálna rovnica, ktorú riešime separáciou premenných. Qt () E E E = ur() t + uc() t = Ri() t + C d Qt ( ) Qt ( ) E = R + τ τ 3τ t τ τ 3τ t dt C Q t u C u C dq 1 Q dq 1 = ( E ) = dt dt R C Q R E C Q E t 1 Q RC Cln C = t E = E e E R C τ τ 3τ t τ τ 3τ t u R u R Z poslednej rovnice dostávame časový priebeh elektrického náboja na kondenzátore, resp. hľadaný priebeh napätia na kondenzátore τ τ 3τ v tvare: t τ τ 3τ t t RC Qt () = CuC() t = CE(1 e ), (5.4) t RC uc() t = E(1 e ). Obr a Obr b Konštantu τ = RC voláme časová konštanta RC obvodu. Ak uplynie čas t = τ, potom napätie na kondenzátore dosiahne hodnotu u C (τ) =,63 E. Prechodový stav pri nabíjaní kondenzátora skončí približne za čas t = 3τ, kedy napätie na kondenzátore vzrastie na 95 % napätia zdroja. Elektrický nabíjací prúd ako aj napätie na rezistore budú počas tohto deja exponenciálne klesať z počiatočnej hodnoty I (resp. U R ) U R RC t t d Qt ( ) d[ CE(1 e )] E RC RC it () = = = e = I e, dt dt R t RC R = = = R RC u () t Ri() t RI e U e. t t (5.43) Podobný prechodový jav vzniká aj pri odpojení zdroja (prepínač v polohe ). Kondenzátor je nabitý na napätie U (pričom hodnota U = E), počiatočný elektrický náboj kondenzátora je Q = CU. Kondenzátor sa začne vybíjacím elektrickým prúdom vybíjať cez rezistor s elektrickým odporom R. Pri vybíjaní sa vlastne premieňa elektrická energia 7

72 akumulovaná v kondenzátore na tepelnú energiu spotrebovanú v rezistore. Základná rovnica, popisujúca tento dej bude (zdroj je odpojený, preto E = ) ur() t + uc() t = Qt () Ri() t + = C Q t dq Q dq 1 = dt dt RC = Q RC (5.44) Q t Q t RC ln = Q= Q e, Q RC t RC resp. uc( t) = U e a jej riešením sme dostali exponenciálny pokles napätia na kondenzátore. Časový priebeh vybíjacieho elektrického prúdu, resp. priebeh napätia na rezistore bude: t RC t t d Qt ( ) d( Q e ) Q RC RC () = = = e = Ie, it dt dt RC t RC R = = = R t (5.45) RC u () t Ri() t RI e U e. Na rezistore vzniká pri vybíjaní napätie opačnej polarity ako pri nabíjaní. Napätia na kondenzátore a na rezistore sa zmenšujú, za čas t = τ, napätie na kondenzátore dosiahne hodnotu u C (τ) =,368 U. Prechodový stav zanikne približne po uplynutí doby t = 3τ. Časové priebehy napätia na kondenzátore a na rezistore pri zapínaní a vypínaní zdroja sú na obr. 5.15a, b Meranie jednosmerného elektrického prúdu a napätia Elektrické meracie prístroje využívajú väčšinou magnetické účinky elektrických prúdov alebo naopak magnetické pôsobenie na elektrické prúdy. Ide o magnetoelektrické (deprézske) prístroje, elektromagnetické a elektrodynamické meracie prístroje. V každom prípade preteká meracím prístrojom elektrický prúd. Ak má merací prístroj malý vnútorný elektrický odpor R A [ (,1 1) Ω pri rozsahu 1A], zapájame ho do elektrického obvodu sériovo a jeho výchylka je potom priamo úmerná pretekajúcemu elektrickému prúdu. Stupnica tohto prístroja je okalibrovaná v jednotkách elektrického prúdu a prístroj nazývame ampérmeter, resp. miliampérmeter, mikroampérmeter, podľa rozsahu meraných elektrických prúdov. A Ak rovnaký merací prístroj, ale s veľkým I vnútorným elektrickým odporom R V (R V > 1 3 Ω ) pripojíme paralelne k zdroju alebo spotrebiču, bude R i slúžiť ako merač napätia. Prístroj nazývame voltmeter V R (milivoltmeter) a jeho stupnica je priamo okalibrovaná v jednotkách napätia. Vnútorný elektrický odpor E voltmetra musí byť podstatne vyšší ako vnútorný elektrický odpor zdroja EMN R V >> R i, aby sa jeho svorkové napätie pripojením voltmetra podstatne Obr nezmenilo. Schéma zapojenia ampérmetra a voltmetra 73

73 v jednoduchom elektrickom obvode je na obr V súčasnosti sa najviac používajú digitálne meracie prístroje. Základ týchto prístrojov tvorí digitálno-analógový prevodník. Na reguláciu jednosmerných elektrických prúdov a napätí používame reostaty a potenciometre. Ide zvyčajne o navinutý drôt na keramickom valci, po vinutí sa pohybuje tzv. jazdec uhlíkový zberný kontakt. Podľa spôsobu zapojenia takéhoto rezistora v elektrickom obvode môžeme regulovať buď elektrický prúd alebo napätie. V zapojení podľa obr. 5.17a plynule regulujeme elektrický prúd v obvode pomocou reostatu. Jeho premenlivá časť s elektrickým odporom R r medzi svorkami 1 a J je sériovo 1 J 1 J + U R r R + U R p R Obr. 5.17a pripojená k rezistoru spotrebiča s elektrickým odporom R. Tým dokážeme meniť celkový elektrický odpor v obvode a teda aj elektrický prúd, pretekajúci spotrebičom v rozmedzí U U I <, >. R + Rr R V zapojení podľa obr. 5.17b môžeme dosiahnuť plynulú reguláciu napätia od po celkové svorkové napätie zdroja U. Rezistor s pohyblivým jazdcom je teraz vo funkcii potenciometra deliča napätia. V obidvoch zapojeniach nesmieme prekročiť dovolené prúdové zaťaženie ako zdroja, tak rezistorov v ich celom regulačnom rozsahu Zväčšovanie rozsahov prístrojov Obr. 5.17b Rozsah ampérmetra môžeme zväčšiť tak, že časť meraného elektrického prúdu odvedieme do paralelnej vetvy do tzv. bočníka s elektrickým odporom R b. Zo schémy (obr. 5.18a) vidíme, že vo vnútri ampérmetra ide o paralelné radenie rezistorov s elektrickými odpormi ampérmetra R A a bočníka R b. Na základe Kirchhoffových zákonov musí platiť ampérmeter I I b I A R b R A voltmeter I V A V R i R R V U V U R i R E R p U p E Obr. 5.18a Obr. 5.18b 74

74 I = I + I RI A b b b RAIA=. Ak základný rozsah ampérmetra je elektrický prúd I A (hodnota nameraná pri maximálnej výchylke základnej stupnice prístroja), a chceme merať elektrický prúd, ktorý je n krát väčší, t.j. I = n I A, musíme v prístroji zaradiť bočník, ktorého elektrický odpor bude RI A A RI A A RI A A RA Rb = = = =. (5.46) Ib I IA nia IA n 1 Rozsah voltmetra zväčšujeme tak, že vo vnútri prístroja zaradíme sériovo tzv. predradný rezistor, ktorého elektrický odpor je R p. Potom cez vnútorný elektrický odpor voltmetra R V a predradný odpor R p tečie rovnaký elektrický prúd, a na elektrických odporoch dostávame vlastne napäťový delič (obr. 5.18b). Bude platiť: UV = RVIV U V U = UV + Up = ( RV + Rp) IV = ( RV + Rp). R V Ak chceme pôvodný rozsah voltmetra (plná výchylka meradla ukazuje hodnotu U V ) zväčšiť n krát, t.j. U = n U V, musíme pripojiť predradný rezistor s elektrickým odporom: U V nu V = ( RV + Rp) Rp = ( n 1) RV. (5.47) R V Bezpečnosť práce s elektrickým napätím Elektrický prúd pôsobí na ľudský organizmus rôznym spôsobom. Podľa Ohmovho zákona závisí elektrický prúd od aplikovaného napätia a od elektrického odporu. Nakoľko bunky ľudského tela obsahujú veľké percento vody aj s rozpustenými soľami (napr. NaCl) vyznačujú sa veľkou vodivosťou. Izolačné vlastnosti má len povrchová vrstva pokožky, pokiaľ je v suchom stave. Pre jednosmerné elektrické prúdy (ako aj nízkofrekvenčné striedavé elektrické prúdy) je práve elektrický odpor kože rozhodujúci z hľadiska jeho účinkov na organizmus. Elektrický odpor kože sa mení rádovo od 1 5 Ω pre suchú kožu, po 1 3 Ω pre mokrú (spotenú) kožu. Preto elektrický prúd pretekajúci cez telo (ak uvažujeme napätie siete V), môže nadobúdať hodnoty ma, resp. ma. Zatiaľ čo v prvom prípade pretekajúci elektrický prúd cez telo nespôsobí vážne poranenia, môže v druhom prípade byť smrteľným. Nebezpečie poškodenia organizmu elektrickým prúdom nezávisí len od jeho veľkosti ale aj od prúdovej cesty. Rovnako veľký elektrický prúd pretekajúci od prstov po rameno jednej ruky môže síce spôsobiť bolesti a nepríjemný šok, ale ten istý elektrický prúd prechádzajúci z jednej ruky do druhej cez pľúca môže byť fatálny. Jednotlivé časti ľudského tela sú rôzne citlivé na účinky elektrického prúdu. Najviac ohrozené sú mozog, nervové centrá kontrolujúce dýchanie a chod srdca a hrudné svaly. Elektrický prúd môže poškodiť ľudský organizmus tromi spôsobmi: - môže spôsobiť intenzívne zohriatie tela až horenie, - porušiť správnu činnosť nervového systému a srdca, - spôsobiť nekontrolovateľné a nekoordinované svalové kŕče a fibriláciu srdca. Pri veľkých elektrických prúdoch sa môže srdce zastaviť (bez fibrilácie), čo je z hľadiska oživenia činnosti srdca nádejnejšie ako stav fibrilácie. V prípade fibrilácie musíme najprv pomocou defibrilátora, (ktorým aplikujeme na srdečný sval krátkodobý elektrický prúd s 75

75 výkonom okolo 1 kw), vlastne srdce najprv celkom zastaviť a až potom nastavovať normálny srdcový rytmus. V nasledujúcej tabuľke sú orientačné hodnoty elektrického (nízkofrekvenčného) prúdu s uvedením ich účinkov na ľudský organizmus. Elektrický prúd I Biologický účinok [ma],5 Žiadny,5, strata citlivosti 1 svalové kŕče, bolesti 1 svalové kŕče, poruchy činnosti orgánov 1 paralýza dýchania 1 3 smrteľné fibrilácie srdca > 3 Zastavenie srdca (pri krátkodobom šoku je možné srdce aktivovať), ťažké popáleniny 5.3 Základy teórie vodivosti V tejto časti kvalitatívne popíšeme rôzne mechanizmy vedenia elektrického prúdu v jednotlivých médiách v kovoch, polovodičoch, elektrolytoch a v plynoch Elektrický prúd v kovoch Valenčné elektróny voľných atómov kovov (atómov ešte nezabudovaných do kryštálovej mriežky kovu) sú pomerne slabo viazané. Ak sú atómy kovov usporiadané v kryštálovej mriežke kovu, tak tieto valenčné elektróny sa môžu od jedného atómu kovu k druhému voľne pohybovať. Kov si v prvom priblížení môžeme predstaviť tak, že je vytvorený z iónov atómov kovu umiestnených v kryštálovej mriežke kovu a plynu voľných elektrónov. Tieto elektróny sa z hľadiska pásmovej teórie aj nazývajú vodivostné elektróny. Pokiaľ nie je prítomné elektrické pole je výsledný elektrický prúd nulový, pretože počet elektrónov pohybujúcich sa v jednom smere je rovnaký ako počet elektrónov v smere opačnom. Až prítomnosť elektrického poľa usmerní pohyb elektrónov v určitom smere. Klasická elektrónová teória vysvetľuje vznik ustáleného elektrického prúdu tak, že vodivostné elektróny v kovoch, pohybujúce sa pod vplyvom elektrického "urýchľovacieho" poľa, narážajú pri svojom pohybe na ióny v uzloch kryštalickej mriežky. Elektróny pritom strácajú časť energie získanej od elektrického poľa, s čím súvisí existencia elektrického odporu kovového materiálu. Teória elektrónovej vodivosti kovov siaha do r. 19, kedy P. Drude ( ) navrhol klasickú teóriu vodivosti kovov. Pre strednú kinetickú energiu ideálneho elektrónového plynu platí v rámci klasickej fyziky Maxwellovo-Boltzmannovo rozdelenie energie, pričom pre strednú hodnotu kinetickej energie pri absolutnej teplote T platí 3 1 E = kt = mv (5.48) kde k je Boltzmannova konštanta, m je hmotnosť elektrónu, v je stredná tepelná rýchlosť elektrónov (pri izbových teplotách dosahuje hodnoty rádove 1 5 m s 1 ). 76

76 Ak na elektrón pôsobí sila od elektrického poľa, začne sa elektrón okrem tohto chaotického tepelného pohybu pohybovať aj driftovou unášavou rýchlosťou proti smeru intenzity elektrického poľa E, ktorú môžeme vyjadriť riešením pohybovej rovnice ee λ eeτ ma = ee v = a τ = =, (5.49) mv m kde λ označuje strednú voľnú dráhu, je to stredná vzdialenosť, ktorú elektrón prejde medzi λ dvomi zrážkami a t je čas, ktorý pritom uplynie: τ =. v Driftová rýchlosť v je stredná usmernená rýchlosť elektrónov v, ktorú sme zaviedli v rovnici (5.) pri definovaní hustoty elektrického prúdu J. Preto po dosadení vzťahu (5.49) do (5.) dostaneme pre hustotu elektrického prúdu vzťah eeτ ne τ J = ρ v = ne = E = σ E. (5.5) m m Objemovú hustotu náboja sme vyjadrili pomocou koncentrácie elektrónov n: ρ = n e. Driftová rýchlosť usporiadaného pohybu vodivostných elektrónov je veľmi malá. Napr. v medenom vodiči prierezu 1 mm, ktorým preteká elektrický prúd 4A, bude usmernená rýchlosť elektrónov len m s -1. Porovnaním výrazu (5.5) s Ohmovým zákonom v diferenciálnom tvare (5.5) dostaneme pre konduktivitu kovov výraz: ne λ σ =. (5.51) mv Elektrické pole neovplyvní strednú dobu medzi zrážkami elektrónov, ktorá je závislá na strednej rýchlosti. Túto rýchlosť elektrické pole môže zmeniť iba o driftovú rýchlosť a tá je o mnoho rádov menšia. Výpočty konduktivity pre mnohé kovy (napriek obtiažnosti určenia λ) na základe tejto teórie pomerne dobre súhlasili s experimentom. Základným nedostatkom modelu však je, že na pohyb elektrónu je aplikovaný Newtonov zákon. Elektrón je mikročastica a pohyb mikročastíc sa riadi zákonmi kvantovej mechaniky. Kvantová teória elektrickej vodivosti kovov uvažuje pohyb vodivostných elektrónov v kove ako pohyb elektrónových vĺn. Pokiaľ by sme uvažovali dokonalý kryštál, elektróny by prechádzali cez takúto mriežku skoro tak ako vo vákuu, nenastával by žiaden rozptyl elektrónov. Akékoľvek "nedokonalosti" v mriežke kovu - ako sú defekty, prímesi, tepelné kmity a pod. sú miestami rozptylu elektrónov, kde vodivostné elektróny strácajú svoju hybnosť získanú od elektrického poľa. S rastúcou teplotou nastáva väčší rozptyl elektrónov na defektoch vzniknutých tepelnými kmitmi mriežky. Tým sa zväčšuje elektrický odpor kovu. Základom kvantovomechanickej teórie supravodivosti je interakcia elektrónov s kmitmi atómov mriežky. Podľa J. Bardeena, L.N.Coopera a J.R. Schrieffera (Nobelova cena za fyziku v roku 197) táto interakcia umožňuje vznik viazaných stavov dvoch elektrónov s opačnými spinmi ( Cooperove páry ). Tieto elektrónové dvojice majú nulový spin a pre takto viazané dvojice elektrónov už neplatí Pauliho princíp. Môžu obsadiť najnižší energetický stav a umožňujú pri veľmi nízkych teplotách vznik supravodivosti. Je zaujímavé, že pre dobré vodiče ako sú zlato, striebro a meď je interakcia s kmitmi mriežky veľmi slabá a pre čisté materiály z týchto prvkov sa supravodivý stav získať nedá. Najlepšie technické uplatnenie majú rôzne zliatiny, napr. NbTi, Nb 3 Ge, Nb 3 Al a iné, s vyššími hodnotami kritických teplôt. Nádeje sa vkladajú do supravodivých keramických materiálov, u ktorých sa dosiahla supravodivosť nad teplotami kvapalného dusíka. (Súčasný rekord má materiál na 77

77 báze (Hg,8 Tl, )Ba Ca Cu O 8,33 a to 138 K). Bariérou pre technické využitie keramík sú zlé mechanické vlastnosti a zánik supravodivosti v magnetickom poli Elektrický prúd v polovodičoch Polovodiče môžeme definovať ako látky, ktoré za normálnych podmienok majú elektrickú vodivosť väčšiu ako izolanty (nevodiče) a menšiu ako kovy. Ich rezistivita môže nadobúdať rádovo veľmi rozdielne hodnoty od 1 do 1 9 Ω m. Ako sme už uviedli, ďalším charakteristickým znakom pre polovodiče je, že ich rezistivita s rastom teploty klesá (obr. 5.7, krivka c). Elektrickú vodivosť polovodičov môžeme popísať pomocou klasickej teórie analogicky ako pre kovy, ale pôvod nosičov elektrického náboja je iný. Polovodiče delíme na tzv. vlastné a nevlastné (prímesové) polovodiče. Vo vlastných polovodičoch existujú v dôsledku preskoku elektrónov na vyššiu energetickú hladinu dva typy voľných nosičov náboja voľné elektróny a kladné diery. Diera je vlastne zostatkový kladný elektrický náboj na mieste uvoľneného elektrónu. Výsledný elektrický prúd v polovodiči je súčtom elektrického prúdu, tvoreného elektrónmi a prúdu, tvoreného dierami. Takejto vodivosti hovoríme vlastná vodivosť. Typickými vlastnými polovodičmi sú germánium a kremík. Závislosť konduktivity vlastných polovodičov od teploty môžeme vyjadriť rovnicou ΔE kt e σ = σ (5.5) kde ΔE je tzv. šírka zakázaného pásma, je to energia, ktorú musíme elektrónu dodať, aby sa uvoľnil z valenčného energetického pásu, k je Boltzmannova konštanta, σ je od teploty A V Obr nezávislá materiálová konštanta. Teplotná závislosť konduktivity vlastných polovodičov sa využíva napr. v termistoroch, pri ktorých môžeme elektrický odpor riadiť teplotou. Konduktivita (resp. rezistivita) vlastných polovodičov závisí však nielen od teploty, ale aj od iných vplyvov, napr. od magnetického poľa, alebo od osvetlenia. Fotorezistory napr. využívajú možnosť regulácie elektrického odporu pomocou osvetlenia. Meranie elektrickej vodivosti polovodičov sa robí dvojsondovou (štvorbodovou) metódou (obr ). V bodoch 1, sú napájacie bodové kontakty, ktorými privádzame elektrický prúd do polovodiča. V bodoch 3, 4 meriame elektrické napätie. Z nameraných hodnôt elektrického prúdu, napätia a zo známej geometrie polovodiča vieme určiť konduktivitu polovodiča. Vodivosť nevlastných polovodičov je spôsobená prímesami. Hovoríme o polovodičoch typu N s elektrónovou vodivosťou, pri ktorých prímesové atómy tzv. donory obsahujú voľný elektrón, ktorý sa nezúčastňuje na kovalentnej väzbe so susednými atómami. Polovodiče typu P majú tzv. dierovú vodivosť, prímesové atómy v tomto prípade tzv. akceptory prijímajú voľný väzbový elektrón z okolia, čím v danom mieste vznikne diera. Z hľadiska využitia polovodičov sú dôležité najmä tzv. diódový a tranzistorový jav. Na rozhraní dvoch polovodičov s odlišným typom vodivosti vznikne prechod PN. Ide o elektrickú dvojvrstvu s iónmi opačnej polarity, ktorá vznikne v dôsledku difúzie elektrónov a dier z jednej vrstvy do druhej. Tým vzniká elektrické pole v prechode PN, brániace ďalšej difúzii majoritných nosičov náboja. Ak zapojíme takýto PN prechod do vonkajšieho 78

78 elektrického obvodu, môžeme ho zapojiť v tzv. priepustnom alebo závernom smere (obr.5. a, b). Ak vonkajšie pole pôsobí na majoritné nosiče elektrického náboja tak, že ich cez PN prechod urýchli, obvodom potečie elektrický prúd. Ak na PN prechod pripojíme zdroj opačnej polarity, PN prechodom potečie len veľmi malý, tzv. záverný elektrický prúd (tvorený minoritnými nosičmi elektrického náboja). Tento jav sa nazýva diódový jav a súčiastky, využívajúce tento jav nazývame polovodičové diódy. Využívajú sa na usmerňovanie napätia Voltampérová charakteristika diódy je na obr.5.1. Ak spojíme dva PN prechody za sebou (ktoré môžeme realizovať ako PNP alebo NPN prechody), dostaneme polovodičové súčiastky, nazývané tranzistory. Tranzistory sa využívajú na zosilenie prúdu, alebo výkonu. N P A N P A Obr. 5.a Obr. 5.b Elektrický prúd v kvapalinách Chemicky čisté kvapaliny sú väčšinou zlými I [A] vodičmi elektrického prúdu. Napríklad destilovaná voda má konduktivitu rádovo S m 1. Stačí ale pridať veľmi malé množstvo napr. soli, kyseliny alebo zásady a vodivosť roztoku sa zvýši miliónkrát. Meranie vodivosti vody sa preto dá využiť na posúdenie chemickej čistoty vody. Elektricky vodivé roztoky nazývame elektrolyty. Experimentálne je overené, že elektrický prúd pretekajúci elektrolytom má podobné účinky ako elektrický prúd v pevných látkach teda, že vytvára U [V] vo svojom okolí magnetické pole, platí Ohmov Obr. 5.1 zákon, pretekaním elektrického prúdu sa roztok zahrieva a pod. Okrem toho je však pretekanie elektrického prúdu elektrolytom sprevádzané aj chemickými zmenami, ktoré Faraday nazval elektrolýzou. Voľnými nosičmi elektrických nábojov v roztokoch sú voľne pohyblivé ióny, vznikajúce disociáciou molekúl rozpustenej látky. Ak vložíme do elektrolytu elektródy, pripojené k zdroju napätia, začnú sa ióny pohybovať. Kladné ióny (katióny) sa pohybujú v smere intenzity elektrického poľa (smerom ku katóde), záporné ióny (anióny) opačným smerom t.j. k anóde. Elektrická vodivosť v roztokoch je vodivosť iónová. Na anóde sa potom vylučuje vždy nekov alebo kyslá časť zlúčeniny, na katóde kov, resp. zásaditá časť zlúčeniny. Disociácia nastáva bez pôsobenia vonkajšieho elektrického poľa, len pôsobením molekúl rozpúšťadla. Opačný dej k disociácii je rekombinácia t. j. spojenie dvoch opačne nabitých iónov do neutrálnej molekuly. Vplyvom disociácie a rekombinácie sa v roztoku vytvorí dynamická rovnováha. V rovnovážnom stave môžeme definovať stupeň disociácie α ako pomer počtu disociovaných molekúl k celkovému počtu molekúl rozpustenej látky: 79

79 nd α =, (n d, n sú odpovedajúce koncentrácie). Stupeň disociácie rastie s teplotou a zvyšuje n sa so zmenšením koncentrácie roztokov. Ak do disociovaného roztoku priložíme na elektródy napätie, vzniknuté elektrické pole spôsobí usporiadaný pohyb iónov, čím vzniká elektrický prúd. V elektrolyte pôsobí na každý ión sila elektrického poľa a proti pohybu sila trenia, ktorej veľkosť je úmerná rýchlosti pohybu iónu. Nech m +, v +, Q +, k + sú hmotnosť, rýchlosť, elektrický náboj kladného iónu, k + je konštanta charakterizujúca trenie kladného iónu pri pohybe kvapalinou, E je intenzita elektrického poľa. Analogický význam so znamienkom ( ) budú mať veličiny pre záporné ióny. V ustálenom stave sa ióny budú pohybovať konštantnými rýchlosťami (sila od elektrického poľa sa rovná vtedy sile trenia): Q+ E Q E v+ = = u+ E, v = = u E. (5.53) k+ k Q+ Q V rovnici sme zaviedli nové veličiny: u+ =, u+ =, ktoré nazývame pohyblivosti k+ k kladného, resp. záporného iónu. Pohyblivosť iónov závisí od ich druhu, rádovo má hodnotu m s 1 V 1. Elektrický prúd v elektrolyte je daný súčtom elektrických prúdov kladných a záporných iónov. Pre hustotu elektrického prúdu môžeme preto písať: J = J+ + J = αnq + v+ + αnq v = αn( Qu Qu ) E = σe. (5.54) Posledná rovnica je vyjadrením Ohmovho zákona pre elektrolyty. V dôsledku rôznej pohyblivosti iónov u +, u -, vznikajú v elektrolyte pri vedení elektrického prúdu zmeny koncentrácie, najmä pri elektródach. Ak z rovnice (5.54) vyjadríme konduktivitu elektrolytu dostávame σ = α n( Q+ u+ + Q u ). (5.55) Vidíme, že konduktivita priamo úmerne závisí od stupňa disociácie a od pohyblivostí iónov. Pre čisté rozpúšťadlo (α = ) bude konduktivita nulová σ =. S rastúcim stupňom disociácie konduktivita rastie a pre veľmi zriedený roztok (α = 1), kde sú všetky molekuly disociované, bude maximálna. Prenos elektrického náboja iónmi cez elektrolyt sa na elektródach mení na prenos elektrického náboja elektrónmi v kovových vodičoch. Pri pohybe iónov v elektrolyte sa prenáša aj látka, ktorá sa vylučuje na elektródach. Tento proces elektrolýzu - kvantitatívne prvýkrát popísal M. Faraday (r. 1833), pričom formuloval dva zákony. 1. Faradyov zákon: Hmotnosť látky vylúčená na elektróde je priamo úmerná prejdenému elektrickému náboju elektrolytom m= AIt = AQ, (5.56) kde konštanta A [kg C 1 ] tzv. elektrochemický ekvivalent, sa číselne rovná hmotnosti látky vylúčenej na elektróde pri prenose jednotkového elektrického náboja. Hmotnosť vylúčenej látky nezávisí ani od elektrického odporu elektrolytu, ani od jeho koncentrácie a teploty, nezávisí ani od veľkosti a vzdialenosti elektród, ani od svorkového napätia na nich.. Faradyov zákon: Uvažujme, že sa na elektróde vylúči n atómov, každý atóm má elektrický náboj Q = z e, kde z je nábojové číslo iónu. Hmotnosť atómu m a môžeme vyjadriť pomocou hmotnosti 1 mólu 8

80 látky M a Avogadrovej konštanty N A = 6, 1 3 mol 1, ktorá udáva počet atómov v jednom móle m a = M/N A. Po dosadení do konštanty A dostaneme m nma M M A = = = =, (5.57) Q nq N A ze zf kde F = 9, C mol 1 je Faradayova konštanta. Faradayova konštanta predstavuje náboj jedného mólu jednomocných iónov. Na vylúčenie hmotnosti 1 mólu látky je potrebný elektrický náboj číselne rovný Faradayovej konštante vynásobenej nábojovým číslom iónu. Ak spojíme obidva zákony, môžeme formulovať spojený Faradayov zákon: Pri elektrolýze sa na elektróde elektrickým nábojom Q vylúči látka hmotnosti m: M m= AQ= Q. (5.58) zf Elektrický prúd vo vákuu a v plynoch V bežných podmienkach sú vákuum a plyny nevodivé látky, pretože neobsahujú takmer žiadne voľné nosiče elektrického náboja. Plyny sa stanú vodivými, keď sa z neutrálnych atómov plynu vytvoria ióny alebo elektróny. Elektrický prúd v plynoch a vo vákuu je prúd konvekčný, zatiaľ čo v pevných látkach a kvapalinách išlo o kondukčný elektrický prúd Elektrický prúd vo vákuu Prechod elektrického prúdu vo vákuu je možný vtedy, ak sa na elektródach uvoľnia nosiče elektrických nábojov. Uvažujme evakuovanú sklenú trubicu so zatavenými dvomi elektródami. Katódu tvorí volfrámový drôt, druhá elektróda je pripojená na kladný pól zdroja a nazýva sa anóda. Ak katódu budeme žeraviť, pri dostatočne veľkej teplote sa z nej uvoľnia elektróny, a ak uzavrieme vonkajší elektrický obvod, potečie obvodom elektrický prúd. Popísaný spôsob uvoľnenia elektrónov z kovu sa nazýva termoemisia. Z rozžhaveného vlákna môžu uniknúť len tie elektróny, ktorých energia je väčšia ako výstupná práca pre daný kov. Výstupná práca závisí aj od čistoty kovu. Čím je výstupná práca menšia, tým kov lepšie emituje elektróny. Uvoľnené elektróny sú potom vo vákuovej trubici priťahované anódou, čím sa uzavrie prúdový obvod cez trubicu. Popísané zariadenie (obr. 5.) sa nazýva vákuová dióda, jej voltampérová charakteristika je na obr Diódou tečie elektrický prúd aj pri nulovom napätí (pokiaľ je elektrický obvod uzavretý), pretože z katódy A I a ma I a [A] K U a V I ž Obr. 5. Obr. 5.3 U a [V] 81

81 vyletujúce elektróny s rýchlosťou v > doletia k anóde aj bez napätia. S rastom napätia na anóde U a rastie aj elektrický prúd I a, a to až po nasýtený stav, kedy ďalším zvyšovaním napätia už elektrický prúd nerastie. Uvoľňovanie elektrónov z povrchu kovov je možné aj iným mechanizmom, nielen termoemisiou. Ide napr. o fotoemisiu uvoľňovanie elektrónov účinkom svetla. S popisom fotoelektrického javu sa budeme zaoberať až v rámci základov kvantovej fyziky. Na fotoelektrickom jave sa zakladá činnosť vákuových fotóniek a fotonásobičov. Ďalším mechanizmom uvoľnenia elektrónov z vodičov aj polovodičov je tzv. studená emisia. Ide o pôsobenie silného elektrického poľa s intenzitou 1 1 V m 1, ktorá sa dá dosiahnuť len v blízkosti ostrých hrotov Elektrický prúd v plynoch Vznik elektrického náboja v plyne sa nazýva ionizácia plynu. Takúto ionizáciu môže spôsobiť vonkajšie ionizačné pôsobenie. Ak máme uzavretý elektrický obvod cez výbojovú trubicu naplnenú plynom, na ktorý pôsobíme takýmto vonkajším ionizačným činidlom, zaregistrujeme elektrický prúd v obvode, ktorý ale zanikne ak odstránime vonkajšie pôsobenie. Ide o tzv. nesamostatnú vodivosť, v plyne nastáva nesamostatný výboj. Priebeh závislosti elektrického prúdu od napätia v plynoch je na obr I [A] Prudké zvýšenie elektrického prúdu (oblasť c v obr. 5.4) už charakterizuje vznik samostatného výboja, ktorý sa udrží aj po odstránení vonkajšieho ionizačného pôsobenia. Ionizáciu plynu môžeme dosiahnuť predovšetkým zvyšovaním teploty plynu tzv. c teplotná ionizácia, ožiarením plynu najmä b ultrafialovým, röntgenovým a gama žiarením ionizácia žiarením. I Ionizácia nárazom nastáva najčastejšie pri a n zrážkach molekúl plynu s elektrónmi. Podmienkou vzniku ionizácie je, aby energia či už tepelného U [V] pohybu častíc, žiarenia, alebo kinetická energia Obr. 5.4 elektrónu pri zrážkach s neutrálnou molekulou bola väčšia ako ionizačná práca. Súčasne s ionizáciou nastáva v plyne rekombinácia, v stave + dynamickej rovnováhy platí: m+ Wi m + e, kde m je neutrálna molekula, m + je kladný ión, e je elektrón, W i = e U i je ionizačná práca. Bez vonkajšieho napätia sa teda ustáli rovnováha medzi ionizáciou, vytvorenou vonkajším pôsobením a medzi rekombináciou, takže v časovej jednotke sa vytvorí rovnaký počet iónov ako ich ubudne v dôsledku rekombinácie. Keď priložíme vonkajšie napätie k výbojovej trubici, v ktorej už máme zionizovaný plyn a uzavrieme elektrický obvod, vznikne elektrický prúd, ktorý je súčtom elektrického prúdu kladných iónov smerom ku katóde a záporných iónov idúcich k anóde. Pri malých napätiach rastie elektrický prúd úmerne napätiu, väčšina iónov rekombinuje skôr ako sa dostanú na elektródu. Zvyšovaním napätia rekombinácia prakticky prestane, pretože všetky vytvorené nosiče elektrického náboja prídu na elektródy. Tak vzniká oblasť nasýteného elektrického prúdu (oblasť b v obr. 5.4). Pri ďalšom zvyšovaní napätia elektrický prúd začne prudko narastať. V plyne vznikla ionizácia nárazom bez vonkajšieho ionizačného pôsobenia. Takáto ionizácia nárazom má lavínovitý charakter, pretože prvotné elektróny značne urýchlené zvyšujúcim sa napätím vytvárajú pri zrážkach s neutrálnou molekulou ďalšie elektróny, takže ich počet so 8

82 vzdialenosťou exponenciálne narastá: n= n e α x (α je ionizačný koeficient, n je hustota elektrónov vo vákuu, n je hustota elektrónov v ionizovanom plyne). Ionizáciou nárazom vzniká samostatný výboj. Z grafu I(U) je zrejmé, že v oblasti (a) pokiaľ nenastane stav nasýtenia platí aj v plynoch Ohmov zákon. V oblasti nasýteného prúdu potom elektrický odpor rastie a v oblasti nárazovej ionizácie prudko klesá. Vyjadrime teraz Ohmov zákon pre plyny a konduktivitu plynu. Pri malých napätiach, t.j. pri malej intenzite elektrického poľa zaniká väčšina iónov rekombináciou, len malá časť z nich sa dostane k elektródam. Preto môžeme uvažovať, že počet vznikajúcich dvojíc iónov sa rovná počtu iónov podliehajúcich rekombinácii. Predpokladajme, že objemové hustoty kladných a záporných iónov sú rovnaké: n + = n = n. Označme n počet iónových dvojíc, ktoré sa vytvoria v dôsledku pôsobenia ionizačného činidla v objemovej jednotke plynu za sekundu. Počet iónových dvojíc n r, ktoré v tomto objeme za sekundu podľahne rekombinácii je úmerné objemovým hustotám kladných a záporných iónov: n r = k n + n = k n, kde k je rekombinačný koeficient. V stave rovnováhy medzi ionizáciou a rekombináciou bude platiť: n nr = n kn = n n=. (5.59) k Pri stálom pôsobení ionizačného činidla s konštantnou účinnosťou je potom objemová hustota iónov v plyne daná vzťahom (5.59). Hustota elektrického prúdu je daná súčtom hustôt elektrického prúdu kladných a záporných iónov: n J = J+ + J = ρ( v+ + v ) = ne( v+ + v ) = e( u+ + u ) E. (5.6) k Pri úprave rovnice (5.6) sme opäť ako v kvapalinách zaviedli pohyblivosti kladného a záporného iónu, ktoré udávajú rýchlosť daného iónu v elektrickom poli jednotkovej intenzity: v+ = u+ E, v = u E. Ak porovnáme vzťah (5.6) s Ohmovým zákonom v diferenciálnom tvare J = σ E, dostaneme pre konduktivitu plynu: n σ = eu ( + + u ). (5.61) k Pri slabých elektrických poliach (oblasť a v obr.5.4) je konduktivita plynu závislá od objemovej hustoty iónov a od súčtu ich pohyblivostí. V ostatných oblastiach (b, c v obr. 5.4) výboja v plyne Ohmov zákon neplatí. Nárazová ionizácia, ktorá prebieha v miestach s vysokou intenzitou elektrického poľa vedie k tzv. samostatnému elektrickému výboju v plyne. Rozlišujeme štyri základné typy samostatného výboja: tlecí, iskrový, korónový a oblúkový výboj. Pri tlaku p 1 Pa a dostatočnom napätí na elektródach prejde nesamostatný výboj na samostatný, obvykle tlecí výboj. Odpovedajúce napätie sa nazýva zápalné napätie. Elektrický prúd prudko vzrastie a VA charakteristika výboja má záporný sklon. Pri veľmi malej zmene napätia sa elektrický prúd prudko mení to sa využíva v tzv. tlejivkách na stabilizáciu napätia. Výbojový stĺpec tlecieho výboja obsahuje vzbudené atómy, resp. molekuly, ktoré pri prechode do základného stavu vyžarujú fotóny, čo sa prejaví rôznou farbou vyžarujúceho svetla podľa druhu plynu vo výbojke (napr. argón bledomodré svetlo, neón červené). Z tejto vlastnosti vyplýva využitie tlecieho výboja v reklamných výbojkách, žiarivkách, skúšačkách napätia a pod. Hustota elektrického prúdu je (1 1 4 ) A m, je najvyššia v osi výbojovej trubice. Tlecí výboj môže prejsť vo výboj oblúkový, ak sa tlak plynu blíži k atmosférickému 83

83 tlaku a napätie je dostatočne veľké. Elektródy sa zohrejú elektrickým prúdom pri ich mechanickom kontakte, horúce elektródy sa oddialia, elektróny unikajúce termoemisiou a urýchľované v elektrickom poli medzi elektródami silne ionizujú plyn. Vznikne vodivý kanál s teplotou 5 C, materiál katódy sa odparuje, prítomnosť jeho pár vo výboji je charakteristický pre oblúkový výboj. Hustota elektrického prúdu je 1 A m. Oblúkový výboj sa v praxi využíva napríklad v oblúkových zdrojoch svetla, pri elektrickom zváraní, v magnetohydrodynamických generátoroch elektrického prúdu. Iskrový výboj vzniká pri tlakoch plynu p patm a pri vysokom napätí. Ide o elektrický prieraz plynu. Vzniká napr. v okolí hrotov nabitých vodičov, pretože tam je veľmi silné elektrické pole, ktoré urýchľuje elektróny, ióny a tie potom nárazom ionizujú plyn. V iskrovom výboji vzniká viacnásobná ionizácia plynu. Teplota v iskrovom kanáli je veľmi vysoká 5 K, celkový výboj trvá veľmi krátko. Iskrový výboj je sprevádzaný praskotom, pretože Jouleovo teplo (vyvinuté veľkým okamžitým elektrickým prúdom) spôsobí veľké zohriatie plynu. Tým vznikne vysoký tlak, ktorý sa vyrovnáva tlakovou vlnou praskotom. Napätie, pri ktorom dochádza k iskre závisí od tvaru a vzdialenosti elektród, od tlaku plynu a od jeho druhu. Špeciálnym prípadom iskrového výboja je blesk. Vzniká pri napätí ( )V medzi mrakom a zemou, alebo medzi dvomi mrakmi, trvá rádovo milisekundy a má energiu 5 MWh. Tab. 5.1 Hodnoty rezistivít a teplotných koeficientov elektrického odporu pre niektoré materiály Materiál Rezistivita ρ pri C [Ω m ] Čisté kovy Zliatiny Polovodiče Izolanty Kvapaliny Teplotný koeficient odporu α [K -1 ] Striebro 1, ,8 1 3 Meď 1, , Hliník, ,9 1 3 Železo 9, ,5 1 3 Zlato, , 1 3 Platina 1, ,9 1 3 Cín 11, , 1 3 Tantal 15, ,8 1 3 Volfrám 5, ,5 1 3 Nikel 7, , 1 3 Mosadz 7,5 1 8 (-7) 1 3 Nichróm Konštantan Bronz ,8 1 3 Uhlík 1,5 1 5 (6-1) 1 3 Germánium Kremík Bakelit Sklo Kremeň > Porcelán Acetón 14 Etylalkohol Najčistejšia voda vo vákuu,5 1 5 Destilovaná voda Transformátorový olej

84 85

85 6. Magnetické pole Podivné chovanie niektorých látok si ľudia všimli už v staroveku. Podľa niektorých prameňov sa orientácia magnetky na navigáciu využívala v Číne už pred 3 rokmi a prvé dokumentované pozorovania zvláštneho chovania niektorých nerastov (oxidov železa FeO a Fe O 3 ) pochádzajú od Thalesa z Milétu (6 rokov pred naším letopočtom) a Aristotela. Nepozorovalo sa žiadne prepojenie medzi elektrickými javmi a prejavmi magnetizmu, čo viedlo k ich oddelenému skúmaniu a aj hľadaniu ich príčin. Prvý, kto objavil vzájomný súvis medzi elektrickými javmi a magnetizmom, bol dánsky fyzik Hans Christian Oersted ( ). V roku 18 náhodne pozoroval, že v okolí vodiča pretekaného elektrickým prúdom dochádza k pohybu magnetky. Objavil, že elektrický prúd spôsobuje vznik magnetického poľa. Zanedlho po Oerstedovi Ampér pozoroval silové pôsobenie medzi vodičmi, ktorými preteká elektrický prúd. Ďalší objav, ktorý viedol k poznaniu súvislostí medzi elektrickými a magnetickými prejavmi hmoty, bol v roku 1831 Faradayov objav zákona elektromagnetickej indukcie (Michael Faraday ). Faraday dokázal, že ak sa mení magnetické pole (presnejšie magnetický tok), tak vzniká pole elektrické. Teóriu elektromagnetizmu zavŕšil svojou sústavou rovníc popisujúcich elektrické a magnetické javy J. C. Maxwell v roku (James Clerk Maxwell ). Od Maxwellovho formulovania teórie elektrických a magnetických javov už hovoríme o elektromagnetizme, lebo tieto javy sú vo svojej podstate neoddeliteľné. Vždy, ak sa mení pole elektrické vzniká pole magnetické, ak sa mení pole magnetické vzniká pole elektrické. Len vtedy, keď študujeme stacionárne polia, môžeme ich popisovať oddelene. So stacionárnym magnetickým poľom sa budeme zaoberať v nasledujúcich kapitolách. Magnetické javy sú buď dôsledkom pohybu elektrických nábojov, alebo sú prejavom magnetických momentov elementárnych častíc. Elementárne častice, ktoré majú nenulový vlastný moment hybnosti - spin, majú aj vlastný magnetický moment. Vytvárajú vo svojom okolí magnetické pole a chovajú sa v ňom ako elementárne prúdové závity. 6.1 Magnetická indukcia Magnetické pole sa prejavuje silovým pôsobením na pohybujúce sa elektrické náboje, alebo elektrické prúdy. Analogicky ako sme pomocou sily na elektrický náboj zaviedli intenzitu elektrického poľa, zavedieme veličinu charakterizujúcu magnetické pole - vektor magnetickej indukcie. Z pozorovaní vyplýva, že sila na pohybujúci sa elektrický náboj závisí od náboja, vektora rýchlosti, veľkosti a orientácie magnetického poľa. Ak magnetické pole charakterizujeme vektorovou veličinou B, ktorú nazveme magnetická indukcia, potom pre silu na pohybujúci sa elektrický náboj platí F = Q ( v B) (6.1) a túto silu nazývame magnetická sila. Ako vyplýva z definície vektorového súčinu, magnetická sila je vždy kolmá na vektor rýchlosti a vektor magnetickej indukcie. Pri určení smeru sily nesmieme zabudnúť na polaritu náboja! Magnetická sila nemôže meniť veľkosť rýchlosti častice, iba jej smer. Nemá totiž nenulovú zložku v smere rýchlosti. Z rovnice (6.1) vyplýva rozmer magnetickej indukcie a jej jednotka: 85

86 F N B Q v Cms 1 1 = = = NA m = 1 1 tesla = 1 T. Staršou jednotkou nepatriacou do sústavy SI bol 1 gauss = 1 4 T. Ak sa elektrický náboj pohybuje v elektrickom aj magnetickom poli, potom celková sila pôsobiaca na elektrický náboj je F = Q( E+ v B), (6.) kde E je intenzita elektrického poľa. Výsledná sila pôsobiaca na elektrický náboj pohybujúci sa v elektrickom a magnetickom poli má názov Lorentzova sila. Magnetickú indukciu zobrazujeme pomocou magnetických indukčných čiar. Magnetické indukčné čiary sú orientované krivky, ktorých dotyčnica v každom bode má smer vektora magnetickej indukcie. Základnou charakteristikou magnetických indukčných čiar je, že sú to vždy uzavreté krivky. V elektrickom poli siločiary vychádzali, resp. vchádzali do náboja, pretože máme elektrické náboje. Magnetické náboje, alebo tiež magnetické monopóly neexistujú, iba magnetické dipóly. Nejestvovanie magnetických nábojov spôsobuje, že magnetické indukčné čiary sú uzavreté krivky. Podobne, ako pri elektrických siločiarach, aj pri zobrazovaní magnetického poľa indukčné čiary kreslíme tak, že hustota magnetických indukčných čiar (t.j. počet indukčných čiar prechádzajúcich jednotkovou plochou kolmou na indukčné čiary) je úmerná veľkosti vektora magnetickej indukcie Pohyb nabitej častice v magnetickom poli Pozrime sa bližšie na pohyb nabitej častice v magnetickom poli. Nech nabitá častica hmotnosti m vletí do magnetického poľa indukcie B tak, že vektor rýchlosti v je kolmý na vektor B. Nech elektrický náboj častice je kladný a vektor magnetickej indukcie smeruje von z nákresne, ako je znázornené na obr Pre veľkosť sily a zakrivenie dráhy bude platiť mv mv Fm = Fdostr Qv B= R=. R QB m, Q... v v.... F m. F m B Obr. 6.1 Zakrivenie trajektórie elektricky nabitej častice.. R.... Častica sa bude pohybovať po kružnici (resp. podľa experimentálnych podmienok iba po časti kružnice). Veľkosť rýchlosti častice sa nezmení! Konštantná bude aj uhlová rýchlosť v QB π m ω = = a perióda T =. Všimnite si, že uhlová rýchlosť aj doba obehu častice R R QB nezávisia na rýchlosti, ktorou častica vletela do magnetického poľa.. v 86

87 Ak častica nevletí do magnetického poľa kolmo na smer indukčných čiar, ale vektor rýchlosti bude zvierať s vektorom magnetickej indukcie uhol α, potom vektor rýchlosti musíme rozložiť na zložku kolmú na magnetické pole v = v sinα a zložku rovnobežnú so smerom vektora magnetickej indukcie v = v cosα. Pohyb častice bude zložitejší a bude sa skladať z dvoch pohybov. Bude to pohyb po kružnici spôsobený zložkou v a priamočiary pohyb rýchlosťou v v smere vektora B. Výsledkom bude pohyb po špirále. Magnetická sila sa prejavuje napríklad zakrivením stopy elementárnej častice v bublinových komorách, používaných pri analýze zrážok elementárnych častíc urýchlených v urýchľovačoch častíc na vysoké energie. V chemickej analýze sa táto sila uplatňuje v hmotnostných spektrometroch. Ióny molekúl sa podľa hmotností pohybujú po kružniciach rôznych polomerov, čo umožňuje ich analýzu Ampérova sila Elektrický prúd vo vodiči predstavuje usmernený pohyb elektrických nábojov. Na vodič pretekaný elektrickým prúdom umiestnený v magnetickom poli preto musí pôsobiť sila. Uvažujme nekonečne krátky úsek vodiča dĺžky dl. Charakterizujme tento úsek vektorom dl, ktorého smer nech je totožný so smerom elektrického prúdu. (Prísne vzaté smer má iba vektor hustoty elektrického prúdu. Ak teda použijeme spojenie smer elektrického prúdu, tak budeme mať na mysli práve smer vektora prúdovej hustoty. Nech vodičom preteká elektrický prúd I. Na elementárny náboj dq = I dt pohybujúci d sa rýchlosťou v = na úseku vodiča dl potom bude v magnetickom poli indukcie B dt pôsobiť sila d df = d Q( v B) = Id t( B) = I(d B). (6.3) dt Výslednú silu, pôsobiacu na vodič pretekaný elektrickým prúdom I v magnetickom poli s magnetickou indukciou B, dostaneme integráciou elementárnych síl df po celej časti vodiča nachádzajúcej sa v magnetickom poli F = I (d B). (6.4) vodič vmag.poli Vektor dl je orientovaný v smere vektora hustoty elektrického prúdu J. V ďalšom texte ak použijeme termín smer elektrického prúdu, bude to znamenať práve smer J. V prípade, že vodič je priamy, má dĺžku l a smer elektrického prúdu zviera s vektorom B uhol j platí: F = I B, (6.5) B B df F Obr. 6. Smerovanie magnetickej sily v prípade priameho vodiča dl I kde vektor l je orientovaný v smere elektrického prúdu. Veľkosť sily bude F = I l B sinj. Smer vektora sily pre prípad priameho vodiča je zobrazený na obr. 6.. Jednoduchou pomôckou na určenie smeru pôsobiacej sily je pravidlo ľavej ruky. Ak položíme otvorenú ľavú ruku na vodič tak, že indukčné čiary budú vstupovať do dlane a vystreté 87

88 prsty ukazujú smer elektrického prúdu, potom palec ukazuje smer pôsobiacej sily. Silové pôsobenie medzi vodičmi prvý popísal André-Marie Ampère, a vzťah (6.4) pre silu pôsobiacu na vodič pretekaný elektrickým prúdom nachádzajúci sa v magnetickom poli, sa tiež nazýva Ampérov silový zákon Prúdový závit v magnetickom poli Majme závit, pre jednoduchosť obdĺžnikového tvaru, ktorým preteká elektrický prúd I a závit sa nachádza v magnetickom poli s magnetickou indukciou B. Ak je závit orientovaný tak, že vektor magnetickej indukcie je kolmý na rovinu závitu, potom ako je zrejmé z obr B Ampérova sila bude mať iba deformačné účinky. Bude mať tendenciu závit roztiahnuť. Ak je pevný, a taký budeme predpokladať, Ampérova sila sa na... závite neprejaví. Zaujímavejší je prípad, keď vektor B zviera s kolmicou na rovinu závitu uhol α, π. F Podľa obr. 6.4 dve sily F 1 a F (smerom hore a dole v I rovine nákresne) budú mať znovu iba deformačné... účinky. Zaujímavé chovanie takéhoto závitu však spôsobia dve sily F 3 a F 4 kolmé na nákresňu. Tvoria dvojicu síl a pôsobia otáčavým momentom na závit. Obr. 6.3 Prúdový závit v Ich veľkosti sú F 3 = F 4 = I b B, ich kolmá vzdialenosť magnetickom poli je d= a sinα a veľkosť otáčavého momentu dvojice síl je M = d F= IabBsinα. Definujme magnetický moment závitu vzťahom m= I ab n = I S, (6.6) kde vektor n a vektor S sú vektory kolmé na rovinu závitu a orientované v pravotočivom zmysle vzhľadom na smer elektrického prúdu. Vektor n smeruje na tú stranu, z ktorej sa smer elektrického prúdu v závite javí proti smeru hodinových ručičiek. Jednoduchou pomôckou na určenie smeru vektora n je pravidlo pravej ruky. Ak zahnuté prsty pravej ruky majú smer elektrického prúdu, potom smer palca ukazuje orientáciu vektora S. Moment sily pôsobiacej na prúdový závit nachádzajúci sa v magnetickom poli môžeme využitím magnetického momentu m vyjadriť jednoduchým vzťahom M= m B. (6.7) F 4 b a F 1 n o F I F 3 B F 4 α a sinα a α (a) Pohľad z boku (b) Pohľad z hora Obr. 6.4 Rôzne pohľady na prúdový závit v magnetickom poli Analogicky ako sme definovali potenciálnu energiu elektrického dipólu v homogénnom elektrickom poli, môžeme definovať potenciálnu energiu pre prúdový závit, n o F 3 I. M B 88

89 teda magnetický dipól, nachádzajúci sa v magnetickom poli. Ako vzťažnú polohu, t.j. orientáciu, ktorej potenciálna energia bude rovná nule, zvolíme polohu, v ktorej vektor magnetickej indukcie leží v rovine závitu a uhol medzi magnetickým momentom m a magnetickou indukciou B je α =π/. Potenciálnu energiu určíme podľa definície potenciálnej energie ako prácu, ktorú vykoná magnetická otáčavá sila pri otočení závitu z určitej orientácie danej uhlom ϕ do vzťažnej polohy. Zohľadniť pritom musíme smer vektora momentu sily a vektora elementárneho otočenia. Pre potenciálnu energiu prúdového závitu v magnetickom poli dostávame π / π / π / M α ( ) [ ] Ep = d = mbsinα cosπ dα = mbsinαdα = mbcosα = mbcosϕ = m B ϕ ϕ ϕ (6.8) Otáčavý účinok magnetického poľa má mimoriadny praktický význam. Na princípe otáčania prúdového závitu v magnetickom poli sú konštruované elektromotory aj niektoré meracie prístroje. Orientácia elementárnych magnetických momentov v materiáloch ovplyvňuje magnetické vlastnosti látok. Z pohľadu chemickej analýzy je orientácia magnetických momentov atómových jadier, alebo nespárených elektrónov v radikáloch fyzikálny jav, na ktorom sú založené dve mimoriadne dôležité spektrálne metódy a to jadrová magnetická rezonancia (NMR) a elektrónová paramagnetická rezonancia (EPR). Jadrová magnetická rezonancia využíva na chemickú analýzu zmeny magnetického poľa. Magnetické pole, v ktorom sa nachádza napríklad jadro vodíka, alebo aj jadrá iných atómov s nenulovým magnetickým momentom, je súčtom "molekulového" magnetického poľa a vonkajšieho magnetického poľa. Lokálne pole preto závisí od "chemického" okolia v molekule. Zmena potenciálnej energie pri zmene orientácie jadier bude v každom rôznom "chemickom" okolí iná. Energetické prechody sa dajú merať a sú podkladom pre analýzu štruktúry molekúl. Uvedený výklad je samozrejme fyzikálne veľmi zjednodušený, ale princíp metódy vystihuje. π / ϕ 6. Magnetické pole vodiča pretekaného elektrickým prúdom Už v úvode sme spomenuli, že Oersted pozoroval orientáciu magnetky v okolí vodiča pretekaného elektrickým prúdom. S pohybom elektrického náboja je vždy spojený vznik magnetického poľa, preto v okolí každého vodiča pretekaného elektrickým prúdom vzniká magnetické pole. Výpočet magnetického poľa umožňuje zákon, ktorý je zovšeobecnením experimentálnych pozorovaní Jeana Baptista Biota ( ) a Felixa Savarta ( ). Tento zákon vyjadruje aký je príspevok nekonečne malého úseku tenkého vodiča k magnetickej indukcii v určitom bode v okolí vodiča. Polohu bodu vzhľadom k vybranému elementu vodiča určuje polohový vektor r, element vodiča charakterizuje vektor dl, ktorý je orientovaný v smere elektrického prúdu. Orientácie vektorov sú zobrazené na obr.6.5. Biotov-Savartov zákon má tvar μ I d r db =. (6.9) dl r db Obr. 6.5 Magnetické pole v okolí vodiča pretekaného elektrickým prúdom I 3 4π r Matematicky tento zákon formuloval Pierre Simon de Laplace ( ) a niekedy sa tiež nazýva Biotov-Savartov- Laplaceov zákon. Zaviedli sme novú konštantu μ, ktorá sa nazýva permeabilita vákua (tiež magnetická konštanta). Má presnú hodnotu a veľkosť tejto konštanty v sústave SI súvisí s definíciou ampéru a 89

90 určitými racionálnymi dôvodmi. Veľkosť permeability vákua je Rozmer tejto konštanty je μ [kg ms A ] μ 4 π1 7 =. =. Permeabilitu vákua môžeme vyjadriť aj pomocou jednotky indukčnosti 1 henry, potom jej rozmer je H m 1. S permitivitou vákua a permeabilitou vákua súvisí rýchlosť svetla vo vákuu a to vzťahom 1 c =. (6.1) ε μ Biotov-Savartov zákon je zákon v diferenciálnom tvare. Magnetickú indukciu v okolí určitého vodiča dostaneme integráciou elementárnych príspevkov db cez celý vodič μ I d r B = db=. (6.11) 3 4π r vodič vodič 6..1 Príklady magnetických polí vodičov pretekaných elektrickým prúdom Biotov-Savartov zákon umožňuje určiť magnetickú indukciu v okolí vodičov ľubovoľného tvaru (výnimkou sú elektrické obvody s kondenzátormi). Podstatné je, že pri výpočte magnetickej indukcie musíme vedieť integrovať elementárne príspevky k magnetickej indukcii od všetkých častí vodiča: B= db. Pri integrácii musíme zohľadniť vektorový charakter magnetickej indukcie. Ukážeme si ako určiť magnetickú indukciu na dvoch príkladoch, a to pre nekonečný priamy vodič a v strede kruhového závitu. celý vodič Magnetické pole priameho vodiča Majme priamy vodič zanedbateľného prierezu konečnej dĺžky a hľadáme magnetickú indukciu v bode P, ako je znázornené na obr. 6.6a, 6.6b. I I ϕ r. a db A. a B P dϕ r ϕ 1 r 1 ϕ dl. ϕ ds Obr. 6.6a Určenie integračných hraníc Obr. 6.6b Magnetické pole priameho vodiča Smer príspevku db k celkovej magnetickej indukcii od každého elementu vodiča d bude kolmý na rovinu nákresne a bude smerovať do nákresne. To nám veľmi zjednodušuje problém, pretože celková indukcia bude smerovať tiež do nákresne. Stačí nám integrovať iba 9

91 veľkosti db a určiť tak veľkosť B. Podľa Biotovho-Savartovho zákona sa veľkosť elementárneho príspevku db rovná μi d sinϕ d B =. (6.1) 4π r Takýto výraz pre db je však na integráciu nevhodný, pretože pre rôzne úseky vodiča sa mení element dĺžky vodiča dl, uhol ϕ a vzdialenosť r. Pre ďalší výpočet musíme všetky tieto veličiny vyjadriť pomocou jednej premennej. Vhodnou premennou je uhol medzi vektorom r a vodičom (obr. 6.6b). Z elementárnej trigonometrie platí ds = d sinϕ a ak ds vyjadríme pomocou elementárneho uhla dϕ, tak súčasne platí ds= r dϕ. Z týchto dvoch vzťahov potom vyplýva r dϕ d =. (6.13) sinϕ a Pre vzdialenosť r platí r = a po dosadení do (6.1) postupne dostávame sinϕ r dϕ sin ϕ μi sinϕ μidϕ μi dϕ μi db = = = = sinϕ dϕ. (6.14) 4π r 4π r 4π a 4πa sinϕ Na určenie magnetickej indukcie potrebujeme ešte poznať integračné hranice pre uhol ϕ. V prípade vodiča konečnej dĺžky sú integračné hranice zrejmé z obr. 6.6a, pre magnetickú indukciu dostávame ϕ μi μi ϕ μi B = sin d [ cos ] ( cos 1 cos ) 1 4πa ϕ ϕ = ϕ = ϕ ϕ. (6.15) ϕ 4πa 4πa ϕ1 V prípade nekonečného priameho vodiča budú hraničné uhly ϕ 1 = aϕ = π. Pre veľkosť magnetickej indukcie vo vzdialenosti a od nekonečného priameho vodiča dostávame μi B = (6.16) πa Veľkosť magnetickej indukcie klesá lineárne so vzdialenosťou od vodiča. Indukčné čiary budú sústredné kružnice so stredom na vodiči a znázornené sú na obr I B Obr Indukčné čiary v okolí nekonečného priameho vodiča V našich úvahách sme pokladali vodič za dostatočne tenký a jeho prierez sme nebrali do úvahy. Vzťah (6.16) však platí aj pre vodič s nenulovým prierezom, ak vzdialenosť a R. Vo vnútri vodiča pretekaného elektrickým prúdom v prípade, že a< R je tiež magnetické pole. Určené je však iba elektrickým prúdom, pretekajúcim prierezom vodiča ohraničeným 91

92 polomerom a. Vo vnútri dutého vodiča pretekaného elektrickým prúdom nie je magnetické pole. Praktická poznámka: Na určenie smeru indukčných čiar sa často používa pravidlo pravej ruky. Ak uchopíme pravou rukou vodič tak, že palec ukazuje smer elektrického prúdu, potom prsty obopínajúce vodič majú smer indukčných čiar Magnetická indukcia v strede kruhového závitu Majme kruhový závit polomeru R, ktorým tečie prúd I. Podľa obr. 6.8 príspevok k magnetickej indukcii od každého elementu dĺžky závitu bude smerovať do nákresne, sprievodič r od elementu vodiča do miesta, v ktorom určujeme magnetickú indukciu, t.j. do stredu závitu, bude kolmý na element dĺžky závitu. Integrácia Biotovho-Savartovho zákona je veľmi jednoduchá. Pre veľkosť elementárneho príspevku k magnetickej indukcii platí db r I dl μi d db = (6.17) 4π R a veľkosť magnetickej indukcie v strede závitu πr μ I μi B = d 4πR =. (6.18) R R Obr. 6.8 Magnetické pole v strede závitu 6.. Sila medzi dvomi rovnobežnými vodičmi, definícia ampéru Majme dva rovnobežné vodiče, ktorými pretekajú elektrické prúdy I 1 a I a kolmá vzdialenosť vodičov nech je d. Vodiče nech majú zanedbateľný prierez a medzi vodičmi nech je vákuum. Vodiče budú na seba pôsobiť silou. Z toho, čo sme si dosiaľ uviedli o magnetickom poli, vieme túto silu medzi vodičmi jednoducho vysvetliť. Na jeden z vodičov sa môžeme pozerať ako na vodič, ktorý vytvára magnetické pole a na druhý ako na vodič, nachádzajúci sa v magnetickom poli. Samozrejme platí to tiež naopak (obr. 6.9). Sila medzi vodičmi bude príťažlivá alebo odpudivá, a to podľa orientácie elektrických prúdov. Ak majú elektrické prúdy I 1 a I rovnaký smer sila je príťažlivá, ak majú elektrické prúdy I 1 a I opačný smer sila je odpudivá. Na čitateľa ponechávame, aby sa o tom sám presvedčil. Budeme sa teraz zaoberať veľkosťou tejto sily. Vodič 1 vytvára magnetické pole a magnetická indukcia v každom mieste vodiča μi1 podľa (6.16) má veľkosť B1 =. Magnetická indukcia od magnetického poľa vodiča 1 je v π d každom mieste vodiča na tento vodič kolmá. Vodičom preteká elektrický prúd I a podľa (6.5) sila pôsobiaca na úsek vodiča dĺžky sa rovná 9

93 μ I π d 1 1 = 1 =. (6.19) F I B I I 1 I I 1 F 1 F 1 F 1 F 1 B 1 B 1 B 1 B 1 B B B B d d (a) Elektrické prúdy majú rovnaký smer (b) Elektrické prúdy majú opačný smer Obr. 6.9 Rozloženie magnetických polí a orientácia síl medzi dvoma vodičmi Sila pôsobiaca medzi dvomi priamymi vodičmi zanedbateľného prierezu vo vákuu je základom pre definíciu jednotky elektrického prúdu v sústave SI. 1 ampér je elektrický prúd, ktorý ak preteká v dvoch paralelných vodičoch zanedbateľného kruhového prierezu a umiestnených vo vákuu vo vzdialenosti 1m, vyvolá medzi vodičmi silu 1 7 N na 1 meter dĺžky. I 6.3 Ampérov zákon V elektrostatickom poli nám Gaussov zákon umožnil určiť intenzitu elektrického poľa v úlohách, ktoré sa vyznačovali vhodnou symetriou. Gaussov zákon okrem tejto praktickej použiteľnosti mal aj hlboký fyzikálny význam pre pochopenie vlastností elektrostatického poľa. Analogické postavenie má Ampérov zákon (tiež nazývaný zákon celkového prúdu) v magnetizme. Ampérov zákon tvrdí: Cirkulácia vektora magnetickej indukcie po uzatvorenej krivke sa rovná celkovému elektrickému prúdu pretekajúcemu plochou, preloženou integračnou krivkou, vynásobenému permeabilitou vákua B d = μ I. (6.) celk Krúžok na označení integrálu znamená, že integrácia sa koná po uzatvorenej krivke. Element d má smer dotyčnice ku krivke a je orientovaný v smere obiehania krivky. Takýto integrál sa volá cirkulácia vektora. Vypočítať tento integrál vyžaduje poznať v každom bode integračnej krivky skalárny súčin vektora B a elementu krivky d. Integrál potom znamená súčet všetkých takýchto súčinov. Pod celkovým elektrickým prúdom I celk. rozumieme algebraický súčet elektrických prúdov prechádzajúcich ľubovoľnou plochou, preloženou 93

94 integračnou krivkou. (Plocha môže mať ľubovoľný tvar, len musí končiť na integračnej krivke. Podobne, ako na obruči končí sieťka na chytanie motýľov) Pre znamienko elektrických prúdov platí znamienková dohoda: elektrický prúd počítame kladne, ak elektrický prúd smeruje na tú stranu plochy, na ktorú smeruje zdvihnutý palec pravej ruky, ak zahnuté prsty pravej ruky ukazujú smer integrácie krivky, t.j. smer d. Opačne orientovaný elektrický prúd počítame záporne. Ampérov zákon si dokážeme pre jednoduchý prípad integračnej krivky na obr Na rovinu krivky nech je kolmý nekonečný priamy vodič, ktorým tečie elektrický prúd I. Vektor magnetickej indukcie má v každom bode krivky smer dotyčnice ku kružnici, ktorej stred je na vodiči. Dosaďme podľa obr.6.1 do definície cirkulácie vektora a výraz postupne upravujme. Dostávame μi μi B d = Bd cosα = Bd = rdϕ= dϕ= μi πr π (6.1) Podľa obrázka 6.1 sme využili skutočnosť, že súčin d cosα = d je vlastne element kružnice, a tento môžeme vyjadriť pomocou polomeru kružnice a elementárneho stredového uhla d =r d ϕ. Zostal nám iba integrál po uzatvorenej krivke od elementov stredového uhla a ten sa rovná π. Dokázali sme pre zvolenú krivku a jeden vtekajúci elektrický prúd Ampérov zákon. Ak by vtekalo do plochy krivky viacej elektrických prúdov, potom magnetická indukcia by bola súčtom magnetických indukcií od jednotlivých vodičov. Ak by elektrický prúd v niektorom vodiči mal opačný smer, potom skalárny súčin B d by bol rovný ( Bd cosα ) a pri odpovedajúcom elektrickom prúde by sme mali záporné znamienko. Dôkaz Ampérovho zákona po tejto úvahe teraz môžeme zovšeobecniť a platí B= n i= 1 B i n B d = B d = μ I = μ I i i celk i= 1 i= 1 (algeb) n (6.) Znamienka elektrických prúdov v poslednej sumácii sú podľa predchádzajúcej znamienkovej dohody. krivka dĺžky l d r dl d l α B I Or. 6.1 Platnosť Ampérovho zákona pre prípad jednoduchej integračnej krivky 94

95 6.3.1 Diferenciálny tvarampérovho zákona * Vo výraze (6.) môžeme elektrický prúd vyjadriť pomocou hustoty elektrického prúdu I = J d S. Podľa Stokesovej vety vektorovej analýzy B d = rot B d S. (6.3) S Spojením týchto vzťahov dostávame rotb ds= μ J ds (6.4) S S V poslednej rovnici sa musia rovnať integrované funkcie a platí rotb= μ J. (6.5) Posledná rovnica je diferenciálnym tvarom Ampérovho zákona.vyjadruje dôležitú lokálnu vlastnosť vírovosť magnetického poľa. Všade, kde tečú elektrické prúdy vytvára magnetické pole víry. V takomto poli nie je možné definovať potenciál, ani potenciálnu energiu Aplikácia Ampérovho zákona na určenie magnetickej indukcie Ampérov zákon môžeme výhodne použiť na určenie magnetickej indukcie v okolí vodičov pretekaných elektrickým prúdom. Podobne, ako tomu bolo v elektrostatike, musíme v úlohe vedieť využiť určité prvky symetrie Magnetické pole priameho vodiča Ako prvú úlohu určíme magnetickú indukciu vo vzdialenosti a od nekonečného priameho vodiča zanedbateľného prierezu ktorým tečie elektrický prúd I. Na určenie cirkulácie vektora B, vystupujúcej v Ampérovom zákone B d = μ I, potrebujeme poznať smer vektora B. Pomôže nám Biotov Savartov Laplaceov zákon, μ I d r podľa ktorého db =, elementárny príspevok db od každého prúdového elementu 3 4π r vodiča bude na vodič aj sprievodič r kolmý, z čoho vyplýva, že indukčné čiary musia byť sústredné kružnice so stredom na vodiči. Zo symetrie úlohy vyplýva, že veľkosť magnetickej indukcie musí byť v každom bode takejto kružnice rovnaká. Vhodnou integračnou krivkou bude preto kružnica, ktorej rovina je kolmá na vodič, jej polomer je a, stred kružnice - integračnej krivky je v strede vodiča a smer integrácie si zvolíme v smere, ktorý pre magnetickú indukciu vyplýva z Biotovho-Savartovho zákona (obr. 6.11). Potom B d = B d = B d = Bπ a=μi (6.6) a pre magnetickú indukciu dostávame μ I B =. (6.7) π a Magnetické pole vytvorené dlhým (nekonečným) priamym vodičom bude mať nasledovné charakteristiky: Indukčné čiary sú sústredné kružnice so stredom v strede vodiča. 95

96 Magnetická indukcia klesá lineárne so vzdialenosťou od vodiča, najväčšia je na povrchu vodiča. dl I a Obr Aplikácia Ampérovho zákona pre priamy vodič Obr. 6.1 Magnetické pole nekonečného priameho vodiča pravidlo pravej ruky. Orientáciu indukčných čiar môžeme ľahko určiť pomocou pravidla pravej ruky. Ak uchopíme pravou rukou vodič tak, že palec ukazuje smer prúdu, potom zahnuté prsty určujú orientáciu indukčných čiar (Obr. 6.1) Magnetické pole solenoidu Solenoidom nazývame dlhú jednovrstvovú valcovú cievku s hustým vinutím závitov. V blízkom okolí povrchu závitu má magnetické pole podobný priebeh ako u priameho vodiča. Indukčné čiary od susedných závitov majú opačnú orientáciu, takže sa magnetické pole na povrchu solenoidu zoslabuje (v ideálnom prípade až zanikne). V bodoch dostatočne vzdialených od okrajov solenoidu je magnetické pole homogénne a magnetická indukcia je u dostatočne dlhého solenoidu prakticky rovnobežná s osou solenoidu. Priebeh indukčných čiar je zobrazený v reze solenoidu na obr Na určenie magnetickej indukcie v solenoide použijeme Ampérov zákon, pričom na základe predchádzajúcich úvah o magnetickom poli za integračnú krivku zvolíme pravouhlú krivku zobrazenú na obr. 6.13a). Integrál po uzatvorenej krivke rozdelíme na integrály po jednotlivých úsekoch krivky. Nech dĺžka úsekov ab a cd je h. b a I c d a) b) Obr Aplikácia Ampérovho zákona na solenoid (a), indukčné čiary solenoidu (b) 96

97 b c d a B d = B d + B d + B d + B d (6.8) a b c d Prvý integrál sa rovná B h, druhý a štvrtý integrál sa rovnajú nule, lebo vektor magnetickej indukcie je kolmý na element integračnej krivky d, resp. je nulový, a napokon tretí integrál sa rovná nule, lebo integračná krivka siaha dostatočne ďaleko a tam magnetická indukcia je nulová. Zvolenú krivku pretína N závitov a podľa Ampérovho zákona potom Bh= μn I B= μni, (6.9) N kde n = je počet závitov na jednotku dĺžky solenoidu. Vzťah (6.9) platí presne pre ideálny h solenoid (nekonečne dlhý). Na okrajoch konečného solenoidu magnetické pole nie je homogénne, zoslabuje sa a indukčné čiary sa rozbiehajú Magnetické pole toroidu Toroid je cievka, ktorej rovnaké závity sú navinuté na prstenci. Toroid si môžeme jednoducho predstaviť ako solenoid, stočený do tvaru prstenca (obr. 6.14). (a) (b) Obr Aplikácia Ampérovho zákona pre toroid (a), indukčné čiary pre toroid (b). Magnetickú indukciu v toroide určíme využitím Ampérovho zákona. Zložením magnetických polí jednotlivých závitov ( zatočením magnetického poľa solenoidu) dostaneme magnetické pole, ktorého indukčné čiary vo vnútri toroidu budú mať tvar kružníc so stredom v strede prstenca. Vyberme si za integračnú krivku jednu z takýchto kružníc s polomerom r.zo symetrie úlohy vyplýva, že magnetická indukcia musí byť všade na tejto kružnici rovnaká. Z Ampérovho zákona aplikovaného na kružnicu polomeru r dostávame μ NI Bπ r= μ N I B=, (6.3) π r kde N je počet závitov toroidu. Vidíme, že magnetická indukcia vo vnútri toroidu nebude konštantná a magnetické pole ani v ideálnom toroide nebude homogénne. Na rozdiel od solenoidu konečnej dĺžky v toroide nemáme žiadne okrajové efekty. 97

98 6.4 Magnetický tok Dôležitou veličinou na charakterizovanie magnetického poľa je magnetický tok. S tokom vektora sme sa už stretli v elektrostatike a v magnetizme ho zavádzame analogicky. Elementárny magnetický tok je definovaný ako skalárny súčin vektora magnetickej indukcie a vektora elementu plochy dφ = B ds. Magnetický tok určitou plochou je integrálom elementárneho magnetického toku cez túto plochu Φ = B d S. (6.31) S Jednotkou magnetického toku je 1weber = Wb = Tm Nežriedlovosť magnetického poľa Základnou charakteristickou vlastnosťou magnetického poľa je, že magnetické indukčné čiary sú uzatvorené krivky. Pre tok vektora magnetickej indukcie z toho vyplýva dôležitý vzťah, vyjadrujúci túto vlastnosť magnetického poľa d S =. (6.3) B S Magnetický tok cez uzavretú plochu sa rovná nule. Táto vlastnosť magnetického poľa sa dá matematicky bezprostredne dokázať pre magnetické pole vytvorené pohybom elektrického náboja. Tvrdenie však platí pre každé magnetické pole. Dôkaz však prekračuje rámec nášho úvodného kurzu. V elektrostatickom poli sa tok vektora elektrickej indukcie rovnal celkovému elektrickému náboju vo vnútri danej plochy. Elektrostatické pole malo pôvod v elektrických nábojoch. Magnetické náboje na rozdiel od elektrických nábojov ako sme už uviedli neexistujú Nežriedlovosť magnetického poľa v diferenciálnom tvare* Účinným matematickým nástrojom na charakterizovanie vlastností vektorových polí je vektorová analýza. Podľa Gaussovej vety vektorovej analýzy B d S = div Bd τ, (6.33) S ( τ) τ kde objemový integrál je integrál cez celý objem ohraničený integračnou plochou na ľavej strane rovnice. Magnetický tok uzavretou plochou (6.3) sa rovná nule a využitím Gaussovej vety túto vlastnosť magnetického poľa môžeme vyjadriť v diferenciálnom tvare. Pravá strana rovnice (6.33) platí pre všetky plochy, preto pre integrovanú funkciu podľa (6.3) musí platiť divb dτ = div B =. (6.34) τ Posledná rovnica vyjadruje v diferenciálnom tvare základnú vlastnosť magnetického poľa a tou je, že neexistujú magnetické náboje. Ak divergencia vektorovej funkcie je nulová, hovoríme, že v danom mieste nie sú "žriedla". Rovnica 6.34 platí v každom bode magnetického poľa a o magnetickom poli hovoríme, že je nežriedlové. 98

99 6.5 Intenzita magnetického poľa Vektor intenzity magnetického poľa je ďalšou veličinou, ktorá bola zavedená na charakterizovanie magnetického poľa. Zavedenie tejto veličiny súviselo s historickým vývojom poznávania magnetických javov. Ak Ampérov zákon upravíme vydelením rovnice s m dostávame B d = Icelk. (6.35) μ Je účelné definovať novú veličinu - vektor intenzity magnetického poľa B 1 H = [ H ] = Am, (6.36) μ pre ktorého cirkuláciu platí H d = I. (6.37) celk Elektrický prúd I celk je algebraický súčet všetkých elektrických prúdov prechádzajúcich plochou preloženou integračnou krivkou. Pokiaľ vyšetrujeme magnetické pole vo vákuu medzi vektormi B a H je len formálny rozdiel. Intenzitu magnetického poľa dostaneme jednoduchým delením magnetickej indukcie s μ. Rozdiely medzi vektormi B a H sa prejavia pri štúdiu magnetického poľa v látkovom prostredí magnetiku. Magnetické vlastnosti prostredia charakterizuje relatívna permeabilita μ r. Pre intenzitu magnetického poľa v magnetiku potom platí B B H = =. (6.38) μrμ μ Podrobnejšie sa s Ampérovým zákonom v látkovom prostredí budeme zaoberať v časti Maxwellov posuvný prúd Ampérov zákon vyjadrený vo vákuu rovnicou (6.), v ktorom I celk je celkový elektrický prúd elektrických nábojov, nie je v prípade nestacionárnych elektrických polí v súlade so zákonom zachovania elektrického náboja vyjadreným rovnicou kontinuity. Celkový elektrický prúd v rovnici (6.) môžeme vyjadriť pomocou vektora hustoty elektrického prúdu a rovnicu zapísať v tvare H d = J d S, (6.39) S kde integračná plocha na pravej strane rovnice (6.39) je síce plocha ľubovoľného tvaru, ale ohraničená integračnou krivkou na ľavej strane tejto rovnice. Predstavme si obvod, v ktorom je zapojený kondenzátor. Pri zapnutí zdroja sa bude nabíjať kondenzátor a obvodom bude pretekať elektrický prúd, ktorý vytvorí magnetické pole. Ak integračnú plochu zvolíme tak, ako je naznačená na obr.6.15a, je všetko v poriadku. Cirkulácia vektora intenzity magnetického poľa je nenulová, v okolí vodiča je elektrickým prúdom vytvorené magnetické pole, lebo J d S. Ak však integračnú plochu zvolíme tak, ako je na obr. 6.15b, tak S J d S =. Cirkulácia vektora intenzity sa bude v tomto prípade rovnať nule a v okolí vodiča S pretekaného elektrickým prúdom by nemalo byť magnetické pole! 99

100 I I (K) (K) R R Obr a Obr b Tvorca teórie elektromagnetizmu J. C. Maxwell si uvedomil vyššie uvedený rozpor a odstránil ho tak, že v priestore, kde sa mení intenzita elektrického poľa zaviedol elektrický prúd, ktorý nazval posuvný prúd. Tento elektrický prúd nepredstavuje žiaden pohyb elektrického náboja, ale rovnako ako pohyb elektrického náboja, vytvára magnetické pole. Vektor hustoty posuvného prúdu je definovaný vzťahom D Jp = t. (6.4) Maxwell pridal k hustote elektrického prúdu od pohybujúcich sa elektrických nábojov hustotu posuvného prúdu. Takto doplnený Ampérov zákon bude vyhovovať pre každú integračnú plochu ohraničenú integračnou krivkou pre cirkuláciu intenzity magnetického poľa. Ako je uvedené v nasledovnej časti, splnená je aj rovnica kontinuity elektrického prúdu. Ampérov zákon doplnený o Maxwellov posuvný prúd má tvar d = D d = d d Icelk Ip D H J + S J S + S = +. (6.41) S t t S S Elektrický prúd I celk je celkový elektrický prúd od elektrických nábojov a I p je posuvný prúd. Integrácia v obidvoch členoch prebieha cez plochu preloženú integračnou krivkou krivkového integrálu na ľavej strane. Z rovnice (6.41) vidíme, že na tvorbe magnetického poľa sa môžu podieľať pohybujúce sa elektrické náboje, ale aj elektrické pole. Vo vákuu, kde elektrické náboje nie sú, bude príčinou magnetického poľa iba premenlivé elektrické pole Dôkaz súladu Ampérovho zákona so zákonom zachovania elektrického náboja.* Rovnica kontinuity je matematickým vyjadrením zákona zachovania elektrického náboja. V diferenciálnom tvare má rovnica kontinuity tvar ρ div J + =. t Ampérov zákon je v diferenciálnom tvare vyjadrený rovnicou (6.5) rot B= μ J. Ak urobíme divergenciu tejto rovnice, tak podľa matematickej identity (pozri dotatok) div rot a a platí 1

101 div rotb= μ div J = div J =. ρ Podľa rovnice kontinuity však div J =. Je tu teda spor a ten je možné odstrániť tak, že t k hustote elektrického prúdu na pravej strane rovnice (6.5) sa pripočíta veličina, ktorej divergencia bude vyhovovať rovnici kontinuity. Z elektrostatiky poznáme takúto veličinu. Vieme, že platí div D = ρ, kde ρ je objemová hustota voľného elektrického náboja. Ak teda k hustote elektrického prúdu tvorenej pohybujúcimi sa elektrickými nábojmi pripočítame D hustotu posuvného prúdu J p =, dostávame t D ρ div rotb= μdiv( J+Jp) = μdiv J+ μdiv( ) = div J+ =. t t Ampérov zákon, v ktorom je hustota elektrického prúdu od elektrických nábojov doplnená hustotou Maxwellovho posuvného prúdu je teraz v súlade so zákonom zachovania elektrického náboja. Po aplikácii divergencie vyplýva z neho rovnica kontinuity, ktorá je vlastne matematickým vyjadrením tohoto zákona. 11

102 7 Elektromagnetická indukcia Experimentálnym základom pre objav elektromagnetickej indukcie boli pokusy Michaela Faradaya v roku Cieľom týchto experimentov bolo nájsť súvislosti medzi elektrickými a magnetickými javmi. Počiatky hľadania týchto vzťahov už boli v prácach Oersteda a Ampéra., z ktorých vyplynulo, že elektrický prúd vytvára magnetické pole. Faraday zas ukázal, že magnetické pole môže byť zdrojom elektrického prúdu. Všimnime si bližšie dva experimenty, ktoré nám budú slúžiť na výklad elektromagnetickej indukcie. Majme cievku spojenú s galvanometrom zobrazenú na obr N S G Obr. 7.1 Vznik indukovaného elektrického prúdu. R B l I F m,v F m,q + v F ext. Obr. 7. Vznik indukovaného prúdu Do cievky budeme zasúvať permanentný magnet. Zistíme, že pri zasúvaní magnetu obvodom tvoreným cievkou a galvanometrom začne pretekať elektrický prúd. Zistíme, že: smer elektrického prúdu bude rôzny pri zasúvaní a pri vyťahovaní magnetu, veľkosť elektrického prúdu bude závisieť od toho, ako rýchlo magnet zasúvame, resp. vyťahujeme. Čím rýchlejšie, tým bude amplitúda elektrického prúdu väčšia. Podobný výsledok získame ak umiestnime blízo seba dve cievky. V obvode jednej je galvanometer a v obvode druhej je zdroj jednosmerného napätia, ktorý môžeme zapínať a vypínať. Obvodom cievky s galvanometrom bude pri zapnutí, resp. vypnutí prúdu pretekať elektrický prúd, ktorého amplitúda bude tým väčšia, čím bude nárast elektrického prúdu rýchlejší. Iný typ experimentu pri ktorom tiež bude vznikať elektromotorické napätie vytvoríme obdĺžnikovým závitom, ktorého jedna strana je pohyblivá a ktorý je vložený do konštantného magnetického poľa kolmo na indukčné čiary (obr. 7.). Ak budeme pohybovať pohyblivou časťou závitu konštantnou rýchlosťou, obvodom bude pretekať konštantný elektrický prúd. Veľkosť pretekajúceho prúdu bude závisieť na rýchlosti, ktorou sa bude pohybovať pohyblivá časť závitu. 1

103 7.1 Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie Faraday si pri rôznych pokusoch uvedomil, že elektrický prúd, teda aj elektrické napätie v cievke vzniká vtedy, keď sa v cievke mení magnetické pole, presnejšie magnetický tok. Magnetický tok sa mení aj v experimente s obdĺžnikovým závitom hoci magnetická indukcia je konštantná a to preto, lebo sa mení plocha závitu nachádzajúca sa v magnetickom poli. Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie znie: Elektromotorické napätie indukované v prúdovom závite sa rovná časovej zmene magnetického toku prechádzajúceho závitom. Matematickým vyjadrením Faradayovho zákona elektromagnetickej indukcie je rovnica: dφ Ui =, (7.1) dt kde Φ = B d S je magnetický tok plochou S, preloženou prúdovým závitom. S Magnetický tok sa v čase môže meniť z rôznych dôvodov: môže sa meniť veľkosť magnetickej indukcie, môže sa meniť uhol medzi vektorom B a vektorom plošného elementu ds, môže sa meniť veľkosť plochy závitu. Smer indukovaného elektrického prúdu určuje Lencovo pravidlo: Smer indukovaného elektrického prúdu je taký, že magnetické pole indukovaného elektrického prúdu svojimi účinkami pôsobí proti zmene, ktorá ho vyvolala. Lencovo pravidlo (niekedy sa nazýva tiež Lencov zákon) je dôsledkom základného prírodného zákona zákona zachovania energie. Ak by tomu tak nebolo, tak po iniciovaní elektromagnetickej indukcie by proces samovoľne a neohraničene narastal. Ukážeme si teraz, ako z posledného myšlienkového pokusu s rozťahovaním pravouhlého závitu v magnetickom poli konštantnej magnetickej indukcie B, podľa obr. 7. vyplynie Faradayov zákon. V pohyblivej časti závitu dĺžky l sa nachádzajú voľné nosiče elektrického náboja. V obrázku predpokladáme, že sú to kladné nosiče. Už sme vysvetlili pri elektrickom prúde, že z makroskopického hľadiska na tom nezáleží (vieme totiž, že v kovovom vodiči sa pohybujú elektróny). Na pohybujúci sa elektrický náboj v magnetickom poli začne pôsobiť na úseku a - b magnetická sila podľa vzťahu F = Q( v B). Sila je ekvivalentná intenzite elektrického Fi poľa Ei = = v B. Smer intenzity je podľa obr. 7. v smere spojnice a - b. Na úseku dĺžky Q l a teda aj v celom závite vytvára napätie U i = E = ( v B). (7.) Posledný výraz môžeme upraviť podľa pravidiel pre zmiešaný vektorový súčin (a b) c = b (a c) a postupne dostávame d r (d r ) B ds dφ Ui = ( v B) = B ( v )= B ( )= B = = (7.3) dt dt dt dt kde sme využili dr l = ds, je vektor vyjadrujúci element plochy, o ktorú sa plocha závitu zväčšila. Pre indukované elektromotorické napätie sme dostali Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie. Na tomto mieste je vhodné pripomenúť, že znamienko mínus vo 13

104 Faradayovom zákone súvisí s dohodou o orientácii vektora plošného elementu ds a nie je matematickým vyjadrením Lenzovho zákona. Na nasledovných dvoch obrázkoch 7.3a), 7.3b) budeme ilustrovať Lencov zákon. Predpokladajme, že v čase sa mení len veľkosť magnetickej indukcie. Magnetická indukcia klesá (obr. 7.3a), alebo rastie (obr. 7.3b). Na obrázkoch je zaznačený smer indukovaného elektrického prúdu a B i označuje magnetickú indukciu od indukovaného elektrického prúdu v strede závitu. Smer B i je taký, že má tendenciu korigovať vzniknutú zmenu magnetického toku. B klesá B rastie B i B i (a) Obr. 7.3 Lencov zákon (b) 7. Elektromagnetická indukcia a zákon zachovania energie Vráťme sa znova k experimentu zobrazenému na obr. 7. v ktorom sme rozťahovali v konštantnom magnetickom poli závit tak, že sme rýchlosťou v kolmou na smer magnetickej indukcie posúvali pohyblivú stranu závitu tvaru obdĺžnika. Dĺžka tejto strany nech je l a elektrický odpor závitu nech je R. Ako bolo vysvetlené v predchádzajúcej časti, v závite sa indukuje elektromotorické napätie Ui = v B. Závitom začne pretekať indukovaný elektrický prúd v B Ii =. (7.4) R Z hľadiska magnetostatiky sa na experiment môžeme pozerať aj ako na vodič pohybujúci sa v magnetickom poli. Magnetická sila pôsobiaca na tento vodič sa rovná vb vb Fm,v = I B= B=. (7.5) R R Sila F m,v je sila ktorá bude brániť pohybu vodiča, pretože smeruje na opačnú stranu, ako vonkajšia sila F ext rozťahujúca plochu závitu. Ak je pohyb rovnomerný, tak vonkajšia sila F ext je rovnako veľká ako sila F m,v. Pozrime sa teraz na pokus z hľadiska práce a energie. Výkon vonkajšej sily je v B P= Fext v =. (7.6) R Otázkou je, na čo sa spotrebuje tento výkon, táto energia za jednotku času odovzdaná vonkajšou sústavou? V závite preteká indukovaný elektrický prúd, dochádza k disipácii energie a vzniká Joulovo teplo. Ako vieme z kapitoly 5 pre výkon spotrebovaný na Joulovo teplo platí P= RI. Dosaďme do tohto vzťahu za elektrický prúd (7.4) a dostávame B B P R v v = =, (7.7) R R 14

105 teda výraz totožný s výrazom, ktorý sme dostali pre výkon vonkajšej sily. Pri elektromagnetickej indukcii ako vidíme platí zákon zachovania energie. Dôležité poznámky: 1. Elektromagnetickú indukciu a vznik indukovaného napätia sme v tejto časti vysvetľovali vždy v súvislosti s určitým experimentálnym usporiadaním. Buď sme mali cievku, alebo závit a menil sa magnetický tok. Môže to viesť k domnienke, že elektrické pole pri zmene magnetickej indukcie vznikne len vtedy, ak máme nejaký prúdový závit, cievku, alebo vodič, ktorým pohybujeme. Z Maxwellovej teórie elektromagnetizmu vyplýva, že vždy, keď sa mení indukcia magnetického poľa vzniká elektrické pole. Bez ohľadu na to, či sa tam nachádza nejaký vodič, alebo závit. Toto elektrické pole nie je konzervatívne pole, teda nemôžeme v ňom definovať potenciál, ani potenciálnu energiu. Takýmto poliam hovoríme, že sú vírové. K vzniku elektrického poľa pri zmene magnetického poľa dochádza napríklad vo vákuu pri šírení elektromagnetického vlnenia. Nie je preto možné v prípade časovo premenných polí hovoriť o elektrickom a magnetickom poli oddelene. Ak nazveme nejaký kurz fyziky Elektrina a magnetizmus z fyzikálneho hľadiska to nie je korektné. Správne bude Elektromagnetizmus.. Objav elektromagnetickej indukcie mal mimoriadny význam pre rozvoj techniky. Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie je fyzikálnym princípom, na ktorom pracujú generátory v elektrárňach, elektrické transformátory a množstvo ďalších technických aplikácií. 3. Indukovaný elektrický prúd vzniká aj vtedy, ak sa v magnetickom poli pohybujú rozmerné vodivé telesá, napr. vodivá platňa. V takýchto materiáloch vznikajú elektrické prúdy a volajú sa vírivé prúdy. Nestacionárnym magnetickým poľom zase môžeme vytvoriť vírivé prúdy v nepohyblivých vodivých materiáloch. Joulovo teplo vznikajúce od vírivých prúdov sa potom využíva na indukčný ohrev kovových materiálov. 7.3 Diferenciálny tvar zákona elektromagnetickej indukcie * dφ Integrálny tvar Faradayovho zákona daný rovnicou Ui = môžeme preformulovať dt využitím matematického aparátu vektorovej analýzy na diferenciálny tvar. Využijeme pri tom Stokesovu vetu vektorovej analýzy, podľa ktorej v d = rot v ds. Pre indukované napätie platí 15 S U i = E d = rot E d S (7.8) S Pre časovú zmenu magnetického toku z definície magnetického toku platí dφ d = d dt t B S. (7.9) d S Ak nedochádza k žiadnej geometrickej zmene (orientácie B, ds, alebo integračnej plochy), potom d d = d t B S B S. (7.1) t d S S Porovnaním prvej a tretej rovnice dostávame rot E ds= B ds (7.11) t S S

106 Integrácia prebieha cez rovnakú plochu, rovnica platí pre každú integračnú plochu, musia sa preto rovnať integrované funkcie a platí B rot E= t. (7.1) Posledná rovnica vyjadruje v diferenciálnom tvare skutočnosť už zdôraznenú v predchádzajúcej poznámke, že vždy, keď sa mení indukcia magnetického poľa vzniká v danom priestore elektrické pole. Toto elektrické pole je vírové, pretože rotácia elektrickej intenzity tohto poľa je rôzna od nuly. Rovnica (7.11) je jednou z Maxwellových rovníc elektromagnetizmu. 7.4 Vlastná a vzájomná indukcia Pri výklade elektromagnetickej indukcie sme predpokladali, že v závite, alebo cievke sa v čase menil magnetický tok vytváraný vonkajším magnetickým poľom. K vzniku indukovaného elektrického poľa dochádza však aj vtedy, keď sa mení elektrický prúd v prúdovom závite a tým sa mení aj magnetický tok vytvorený týmto elektrickým prúdom. Takýto jav voláme samoindukcia, alebo vlastná indukcia. Magnetický tok závitom, cievkou, alebo uzatvoreným vodičom iného tvaru bude úmerný pretekajúcemu elektrickému prúdu Φ = LI. (7.13) Symbolom L sme označili fyzikálnu veličinu, ktorú voláme vlastná indukčnosť. Ak v okolí vodiča nie sú magnetické materiály (feromagnetiká) vlastná indukčnosť závisí len od geometrie vodiča (napr. tvare cievky, počte závitov), v opačnom prípade bude závisieť aj od pretekajúceho elektrického prúdu L= L( I). Z definície vlastnej indukčnosti vyplýva jej jednotka, ktorá sa nazýva henry, označujeme ju symbolom H. Jej rozmer [ Φ ] 1 je: [ ] = H = Wb A kg m s L A = =. [ I] Ak elektrický prúd prechádzajúci vodičom závisí od času i= i() t, dochádza k vlastnej indukcii a podľa Faradayovho zákona sa vo vodiči indukuje elektromotorické napätie Φ i Ui = = L t t. (7.14) Pre elektrický prúd závislý od času sme použili symbol i a predpokladali sme, že vlastná indukčnosť je konštantná. (Vždy tomu tak nie je). Teraz si môžeme objasniť veľkosť jednotky 1 henry: Vodič má vlastnú indukčnosť 1 H vtedy, ak pri zmene magnetického toku 1Wb s 1 vo vodiči indukuje napätie 1 V. sa Pre samoindukované napätie platí Lenzov zákon. Elektrický prúd v cievke, alebo v závite práve v dôsledku samoindukcie nemôže okamžite vzniknúť ani zaniknúť. Bráni tomu indukované napätie a teda aj vznikajúci indukovaný elektrický prúd. Ak máme blízko seba umiestnené dva závity, alebo cievky, potom zmenou elektrického prúdu v jednom z vodičov sa mení magnetický tok druhým vodičom. Takýto jav voláme vzájomná indukcia. Majme dva závity blízo seba. Ak prvým vodičom tečie elektrický prúd i 1, magnetické pole vyvolané týmto elektrickým prúdom spôsobuje magnetický tok druhým závitom. Je zrejmé, že pri danej geometrii vodičov, čím bude väčší elektrický prúd i 1, tým bude väčší magnetický tok druhým závitom. 16

107 Φ = M1 I1. (7.15) Koeficient úmernosti M 1 nazývame vzájomná indukčnosť. Rovnako ako vlastnú indukčnosť aj vzájomnú indukčnosť vyjadrujeme v jednotkách henry. Ak sa mení vo vodiči 1 elektrický prúd, vo vodiči sa indukuje elektromotorické napätie U di1 = M 1. (7.16) d t Tento vzťah, rovnako ako (7.13) platí za predpokladu, že vzájomná indukčnosť nezávisí od elektrického prúdu i 1 Pokiaľ v okolí vodičov nie sú feromagnetiká je to vždy splnené a vzájomná indukčnosť závisí iba od geometrie vodičov a ich vzájomnom usporiadaní. Na jav vzájomnej indukcie sa môžeme pozrieť aj z hľadiska druhého vodiča. Vzájomná indukčnosť musí byť preto symetrická vzhľadom k daným sústavám vodičov a platí M = M. (7.17) Energia magnetického poľa Majme elektrický obvod, v ktorom sa nachádza zdroj napätia a rezistor a preteká ním elektrický prúd. Potom zdroj za čas t vykoná prácu W = U It = RI t. Práca vykonaná zdrojom sa premení na Joulovo teplo. Ak máme v obvode zdroj, rezistor a cievku s vlastnou indukčnosťou L, potom pri zapnutí zdroja začne elektrický prúd narastať a na cievke sa bude indukovať napätie. Cievka je ďalším zdrojom napätia! Ak pre takýto obvod použijeme II. Kirchhoffov zákon, potom algebraický súčet elektromotorických napätí zdrojov sa rovná úbytku napätia na prvkoch obvodu a platí rovnica di U L = Ri (7.18) dt Ak rovnicu vynásobíme okamžitým elektrickým prúdom i dostávame rovnicu di Ui Li = Ri, (7.19) dt v ktorej jednotlivé členy predstavujú postupne: okamžitý výkon zdroja (Ui), výkon potrebný na vytváranie magnetického poľa v cievke ( di Li ) a dt výkon spotrebovaný na Joulovo teplo ( Ri ). Okamžitú elementárnu prácu na vytváranie magnetického poľa v cievke, t.j. prácu za nekonečne krátky časový interval dt predstavuje člen Lidi. Na vytvorenie konečného magnetického poľa v cievke, t.j. poľa, ktoré odpovedá konečnému elektrickému prúdu I, bolo potrebné vynaložiť prácu m I 1 d (7.) W = Li i= LI Táto práca sa podľa zákona zachovania energie musí rovnať energii obsiahnutej v magnetickom poli a hovoríme, že energiu 17

108 1 E W LI pm = m = (7.1) má cievka s vlastnou indukčnosťou L, ktorou preteká elektrický prúd I. Túto energiu dodal zdroj na vytvorenie poľa a nazveme ju energia magnetického poľa. Je namieste otázka, čo sa stane s touto energiou, keď vypneme v našom obvode zdroj elektromotorického napätia. Ak zdroj vypneme, elektrický prúd nezanikne okamžite, dochádza k prechodovým javom a elektrický prúd zaniká postupne v dôsledku indukovaného napätia. Energia obsiahnutá v magnetickom poli cievky sa zanikajúcim elektrickým prúdom na rezistore premení na Joulovo teplo. Na záver vyjadrime energiu magnetického poľa dlhého solenoidu, ktorý má dĺžku l, počet závitov N, prierez závitov je S, tečie ním elektrický prúd I a dutinu solenoidu vypĺňa homogénne prostredie, ktorého relatívna permeabilita je μ r. Podľa (6.9) a (6.38) magnetická indukcia v solenoide bude B = μ μ r NI, (7.) magnetický tok solenoidom bude μμr NS μμrns Φ = NBS= I= LI L=. (7.3) Energia magnetického poľa cievky bude W m 1 μμ = rns I. (7.4) Predpokladáme, že solenoid je dostatočne dlhý, magnetické pole je homogénne a môžeme definovať objemovú hustotu energie magnetického poľa solenoidu w W W 1 N τ S = m = m = m μμ r I. (7.5) NI Pre magnetickú indukciu v solenoide platí B = μμ r môžeme prepísať do tvaru a predchádzajúci vzťah (7.5) 1 B 1 1 m = = = μμ r. (7.6) μμ r w BH H Vzťah, ktorý sme získali pre hustotu energie magnetického poľa platí všeobecne. V prípade, že smery vektorov B a H nie sú rovnaké, pre hustotu energie magnetického poľa platí v tvare 1 w m = B H. (7.7) 18

109 Ak sa v určitom priestore nachádza magnetické pole, potom zo známej hustoty energie magnetického poľa, môžeme určiť energiu magnetického poľa. Podobne, ako sme vyjadrili energiu elektrického poľa pomocou hustoty energie elektrického poľa pre pole elektrické. Wm = wmdτ. (7.8) 19

110 8 Magnetické pole v látkovom prostredí V úvodných historických poznámkach o magnetizme sme sa zmienili o magnetických vlastnostiach niektorých minerálov. S magnetickými materiálmi sa však stretávame denne. Sú vo všetkých reproduktoroch, slúchadlách, bankomatových kartách, magnetofónoch, atď., vo forme permanentných magnetov. Permanentné magnety sú tvorené z usporiadaných elementárnych magnetov. Magnetické pole permanentného tyčového magnetu je analogické magnetickému poľu cievky a priebeh indukčných čiar je rovnaký. Časti tyčového magnetu, z ktorej indukčné čiary vychádzajú, hovoríme severný pól (N), časti do ktorej indukčné čiary vchádzajú južný pól (S). Zem sa navonok tiež prejavuje ako permanentný magnet. V blízkosti severného zemepisného pólu sa nachádza južný magnetický pól Zeme. V blízkosti severného zemepisného pólu indukčné čiary magnetického poľa Zeme do Zeme vchádzajú. V blízkosti južného zemepisného pólu je severný magnetický pól Zeme a tam indukčné čiary zemského magnetického poľa zo Zeme vychádzajú. Permanentný magnet môžeme rozlomiť a dostaneme vždy dva magnety, každý bude mať svoj severný a južný pól, každý sa bude chovať ako prúdový závit magnetický dipól. Dochádzame k poznatku, že najmenšia magnetická štruktúra je magnetický dipól. Vyvstáva otázka, čo je príčinou tohto elementárneho magnetizmu. Príčiny sú dve: vlastný magnetický moment elementárnych častíc a to hlavne elektrónov a magnetické pole vytvorené orbitálnym pohybom elektrónov. Elektrón má vlastný moment hybnosti spin. Konštatujme, že je to základná vlastnosť mikročastice a nebudeme sa pokúšať o jeho znázornenie. Merateľný je iba priemet spinu do určitého smeru. Tento smer je určený orientáciou vonkajšieho magnetického poľa a stotožňujeme ho so smerom osi z. Pre veľkosť tohoto priemetu platí Sz = ms, (8.1) 1 h kde m s =± je spinové magnetické kvantové číslo a = = 1, J s je redukovaná π hodnota Planckovej konštanty h. Znamienko plus znamená, že spin je orientovaný v kladnom smere osi z, záporné znamienko označuje opačnú orientáciu. So spinom elektrónu súvisí jeho spinový magnetický moment. Priemet spinového magnetického momentu do smeru vonkajšieho magnetického poľa sa rovná e μ s, z = S z, (8.) me kde e je absolútna hodnota elektrického náboja elektrónu a m e je hmotnosť elektrónu. Aby nedošlo k nedorozumeniu poznamenávame, že na rozdiel od označenia magnetického momentu závitu m v časti 6.1.3, v atómovej fyzike sa pre označenie magnetického momentu prednostne používa symbol μ. Po dosadení za priemet spinu do (8.) dostávame pre priemet magnetického momentu elektrónu e μsz, = = μb. (8.3) me Znamienka plus, resp. mínus odpovedajú súhlasne, resp. nesúhlasne orientovanému priemetu magnetického spinového momentu do smeru osi z. Veľkosť μ s, z pre elektrón je 4 μ B = 9, 74 1 Am a túto veličinu voláme Bohrov magnetón. Druhým zdrojom elementárneho magnetického momentu je orbitálny pohyb elektrónov v atómoch a molekulách. Ak na predstavu štruktúry atómu použijeme Bohrov model atómu, potom pohybujúci sa elektrón okolo atómového jadra predstavuje elektrický 11

111 prúd elementárny závit. Orbitálny magnetický moment súvisí s orbitálnym momentom hybnosti elektrónu vzťahom e μ orb = L, (8.4) me kde L je vektor orbitálneho momentu hybnosti elektrónu. Merateľný je len priemet momentu hybnosti do smeru vonkajšieho magnetického poľa. Smer vonkajšieho magnetického poľa stotožňujeme so smerom osi z a pre priemet orbitálneho magnetického momentu platí e μ orb, z = m, m =, ± 1, ±,... ±, (8.5) me kde m l je orbitálne magnetické kvantové číslo. μorb 8.1 Druhy magnetických materiálov Elementárny spinový a orbitálny magnetický moment každého z elektrónov v atóme sa skladajú do výsledného magnetického momentu atómu, resp. molekuly a ten sa sčíta s magnetickými momentami ostatných atómov a molekúl. Ak sa takýmto súčtom vytvorí makroskopické magnetické pole, je látka magnetická. Rozlišujeme tri základné druhy magnetických materiálov (magnetík): diamagnetické, paramagnetické a feromagnetické. Diamagnetické látky (diamagnetiká) Diamagnetické chovanie majú všetky látky. Tento jav je však veľmi slabý a je niekedy prekrytý paramagnetizmom a feromagnetizmom. Názov diamagnetické látky používame pre materiály, ktorých spinový aj orbitálny magnetický moment atómov, alebo molekúl je nulový. Príkladmi takýchto látok sú napríklad zlato, bizmut, ortuť, voda, vzácne plyny a mnohé organické látky. Magnetické vlastnosti materiálov charakterizuje relatívna permeabilita μ r, alebo s ňou súvisiaca magnetická susceptibilita κ = μ r 1. Relatívna permeabilita vyjadruje pomer medzi veľkosťou magnetickej indukcie výsledného magnetického poľa v magnetiku B a veľkosťou magnetickej indukcie B vo vákuu. B μ r = (8.6) B Pre diamagnetiká je relatívna permeabilita μ r o niečo menšia než jedna a magnetická susceptibilita κ <. Príčinou diamagnetizmu je pohyb elektrónov v magnetickom poli. Ak akýkoľvek materiál umiestnime do magnetického poľa, v atómoch sa indukujú veľmi malé magnetické momenty, ktoré sú vždy orientované proti vonkajšiemu magnetickému poľu. Toto je všeobecný jav a dochádza k nemu u všetkých látok. Ak do magnetického poľa vložíme diamagnetikum, potom sa diamagnetizmus môže prejaviť, lebo nie je prekrytý inými magnetickými vlastnosťami látok. Ak bude magnetické pole nehomogénne, diamagnetikum bude mať snahu dostať sa do oblasti s menšou magnetickou indukciou poľa. Hovoríme, že diamagnetikum je vytláčané z magnetického poľa. Pokiaľ je hustota častíc materiálu konštantná, diamagnetizmus nezávisí od teploty. Paramagnetické látky (paramagnetiká) Atómy, alebo molekuly paramagnetických látok majú vlastný elementárny magnetický moment. Príčinou môže byť nepárny počet elektrónov a teda nevykompenzovaný spinový a orbitálny magnetický moment. Nenulový magnetický moment však môže mať aj molekula s 111

112 párnym počtom elektrónov, ako je napríklad kyslík. Magnetizácia paramagnetík je založená na orientácii týchto elementárnych magnetických momentov vo vonkajšom magnetickom poli. Vonkajšie magnetické pole pôsobí na elementárne magnetické momenty otáčavým momentom (pozri 6.1.3), snaží sa dosiahnuť stav ich minimálnej potenciálnej energie a teda ich orientovať do smeru vonkajšieho magnetického poľa. Proti tejto orientácii pôsobí chaotický tepelný pohyb. Magnetizácia paramagnetika preto s rastúcou teplotou klesá. Na druhej strane znižovaním teploty a zväčšovaním veľkosti vonkajšieho magnetického poľa môžeme dosiahnuť stav, kedy sú zorientované všetky elementárne momenty a dosiahli sme nasýtenú magnetizáciu. Magnetizáciu môžeme kvantitatívne vyjadriť vektorom magnetizácie M. vektorovýsúčet elementárnych momentov mi i 1 M = = lim [ M ] = Am.(8.7) objem Δτ Δτ Vektorom magnetizácie kvantitatívne charakterizujeme magnetizáciu všetkých druhov magnetík. Pierre Curie v roku 1895 objavil, že magnetizácia paramagnetika je priamo úmerná magnetickej indukcii vonkajšieho magnetického poľa a nepriamo úmerná absolútnej teplote ext M = C B. (8.8) T Táto závislosť sa volá Curieho zákon a C je Curieho konštanta. Paramagnetickými materiálmi sú mnohé kovy ako hliník, platina, titán, početné zliatiny, ale aj NO, O, MnO, FeCl a iné. Pre paramagnetiká je relatívna permeabilita μ r o málo väčšia ako jedna a magnetická susceptibilitaκ >. Ak paramagnetikum umiestnime do nehomogénneho magnetického poľa paramagnetikum bude do poľa vťahované. Táto vlastnosť nehomogénneho magnetického poľa sa aj využíva na meranie magnetizácie na magnetických váhach. Feromagnetické látky (feromagnetiká) Feromagnetické látky sú tuhé látky, v ktorých pri teplotách nižších ako určitá kritická teplota dochádza k spontánnej magnetizácii. Táto významne rastie, ak feromagnetikum vložíme do magnetického poľa. Kritická teplota, pod ktorou sa látka chová ako feromagnetikum, sa volá Curieho teplota a je pre feromagnetiká rôzna. Feromagnetiká majú významné technické využitie, pretože relatívne malým vonkajším magnetickým polom možno v nich vytvoriť silnú magnetizáciu, ktorá u niektorých z nich pretrváva aj po zániku vonkajšieho poľa. Feromagnetickými materiálmi sú Fe, Co, Ni, Gd a ich zliatiny. Relatívna 3 6 permeabilita feromagnetika dosahuje vysoké hodnoty μ r = 1 1, pričom magnetický moment jedného atómu feromagnetika sa výrazne nelíši od magnetického momentu paramagnetika. Feromagnetizmus nie je vlastnosťou jedného atómu, ale je dôsledkom interakcie elektrónov určitého súboru atómov. Vo feromagnetikách existuje vnútorné pole, ktoré pri teplotách nižších ako je Curieho teplota vytvorí v celých oblastiach feromagnetika nasýtenú magnetizáciu. K tejto magnetizácii dochádza spontánne, bez prítomnosti vonkajšieho poľa. Príčinou sú takzvané výmenné interakcie medzi elektrónmi atómov viazaných v určitej kryštalickej oblasti, a ktoré bolo možné vysvetliť len pomocou zákonov kvantovej mechaniky. Takéto oblasti spontánnej magnetizácie sa volajú magnetické domény. 4 1 Rozmery domén sú 1 1 mm (obr. 8.1). 11

113 Smerovanie vonkajšieho poľa Obr. 8.1 Domény bez vonkajšieho magnetického poľa a s vonkajším magnetickým poľom Bez vonkajšieho magnetického poľa sú domény chaoticky orientované a výsledná magnetizácia je nulová. Po vložení do magnetického poľa sa najprv zväčšujú rozmery domén súhlasne orientovaných s vonkajším magnetickým poľom, pri ďalšom zvyšovaní vonkajšieho poľa sa skokom mení smer magnetizácie ďalších domén do smeru vonkajšieho magnetického poľa a výsledkom je vysoká celková magnetizácia materiálu. Táto zostáva aj po vypnutí vonkajšieho poľa a voláme ju zvyšková magnetizácia. Je to magnetizácia, ktorú pozorujeme u trvalých magnetov. Magnetizácia feromagnetík sa vyznačuje hysteréziou. Hysterézna krivka, zobrazená na obr. 8., predstavuje závislosť magnetizácie od intenzity magnetického poľa. Obr. 8.a Hysterézna krivka pre tvrdé magnetiká Obr. 8.b Hysterézna krivka pre mäkké magnetiká Magnetizačná krivka vychádzajúca z počiatku sa volá krivka prvotnej magnetizácie ( panenská krivka ). Zvyšovaním intenzity magnetického poľa H magnetizácia narastá až do nasýteného stavu. Pri znižovaní intenzity magnetického poľa H magnetizácia klesá, ale nie po krivke pôvodnej magnetizácie. Pri nulovej hodnote intenzity vonkajšieho magnetického poľa magnetizácia nezanikne a túto magnetizáciu voláme zvyšková magnetizácia (tiež remanentná magnetizácia). Ako vidieť z hysteréznej krivky magnetizácia zanikne len vtedy, ak zmeníme smer intenzity vonkajšieho magnetického poľa. Podľa tvaru hysteréznej krivky feromagnetiká rozdeľujeme na magneticky tvrdé materiály s vysokou hodnotou zvyškovej magnetizácie a magneticky mäkké materiály, pri ktorých je zvyšková magnetizácia malá. Tieto materiály majú rôzne technické využitie. Tvrdé magnetiká sa používajú na výrobu permanentných magnetov, mäkké magnetiká sa používajú na výrobu plechov pre jadrá transformátorov. 113

114 8. Ampérov zákon v magnetickom prostredí V úvahách o príčinách elementárneho magnetizmu v materiáloch sme zaviedli elementárne magnetické momenty atómov a molekúl. Ak je látka vložená do magnetického poľa dochádza k orientácii elementárnych magnetických momentov a v magnetiku sa vplyvom vonkajšieho magnetického poľa vytvorí určitá magnetizácia. Kvantitatívnou mierou magnetizácie je vektor magnetizácie M definovaný vzťahom (8.7). Magnetizácia predpokladá orientáciu elementárnych momentov. Magnetický moment závitu sme definovali ako súčin plochy závitu a elektrického prúdu, ktorý závitom preteká m = IS. Ak použijeme pre elementárne magnetické momenty v magnetiku predstavu elementárnych molekulárnych elektrických prúdov (elementárny magnetický moment predstavuje prúdový závit), potom v zmagnetizovanom magnetiku sa v zmysle magnetizácie budú orientovať aj tieto molekulárne elektrické prúdy. Majme toroid, ktorým preteká elektrický prúd. V jadre toroidu nech sa nachádza homogénne diamagnetikum. Magnetické indukčné čiary v toroide majú tvar sústredných kružníc a v diamagnetiku sa nezávisle od teploty zorientujú všetky elementárne magnetické momenty. V prípade nášho diamagnetika opačne so smerom magnetického poľa vytvoreného elektrickým prúdom. (Predstava diamagnetika úvahy zjednodušuje v tom zmysle, že predpoklad o orientácii všetkých elementárnych magnetických momentov je splnený). Vyberme v zmagnetizovanom prostredí elementárny valček výšky dl, s plochou základne ds. Os valčeka nech je rovnobežná so smerom vektora magnetizácie. Elementárnym magnetickým momentom odpovedajú elementárne elektrické prúdy, ktoré vzhľadom na zvolenú orientáciu osi valčeka tečú v rovinách rovnobežných sa základňou valčeka. Ako je vidieť z obr. 8.3 vnútorné elementárne prúdy sa budú navzájom kompenzovať a makroskopicky sa prejaví iba elektrický prúd po obvode valčeka. Valček zmagnetizovaného magnetika sa nám efektívne bude javiť tak, ako by na jeho povrchu pretekal elektrický ds prúd. Tento elektrický prúd budeme volať magnetizačný dl J prúd. Na plášti valčeka výšky dl tečie magnetizačný prúd M dim = JMd, kde sme symbolom J M zaviedli dĺžkovú hustotu magnetizačného prúdu vyjadrenú v jednotkách Am 1. Skúsme teraz vyjadriť veľkosť vektora magnetizácie pomocou takýchto prúdov. Zvolený valček magnetizovanej látky má magnetický moment rovnajúci sa dim ds a magnetický moment objemovej jednotky bude dimds JMd ds 1 M = = = JM [ JM] = Am. (8.9) Obr. 8.3 Magnetizácia látky a d ds d ds magnetizačný prúd. Vidíme, že veľkosť vektora magnetizácie sa rovná dĺžkovej hustote magnetizačného prúdu. Je treba zdôrazniť, že je to elektrický prúd nedostupný priamemu meraniu. Podobne tomu bolo aj pri polarizácii dielektrika. Viazané náboje na polarizovanom dielektriku rovnako nie sú dostupné priamemu meraniu. Podľa Ampérovho zákona cirkulácia vektora magnetickej indukcie sa rovná celkovému elektrickému prúdu prechádzajúcemu plochou preloženou integračnou krivkou. B d = μicelk K vodivostnému elektrickému prúdu pretekajúcemu integračnou krivkou musíme v magnetiku pripočítať ešte magnetizačný prúd. Na obrázku 8.4 je zjednodušene zobrazený problém magnetizačných prúdov. Integračnou krivkou (K) nachádzajúcou sa v magnetiku 114

115 sme preložili určitú plochu. Túto plochu pretína vodič, ktorým tečie vodivostný elektrický prúd I v. Okrem tohto elektrického prúdu plochu pretínajú elementárne elektrické prúdy, pochádzajúce od orientácie elementárnych magnetických momentov magnetika. Z nich sú nezaujímavé tie, ktoré plochu pretínajú dvakrát, lebo vtekajúce prúdy sa rušia s vytekajúcimi. I v (K) Obr. 8.4 Do celkového elektrického prúdu budú prispievať len tie elementárne prúdy, ktorých stredy sú blízo integračnej krivky, a ktoré integračnú plochu pretínajú iba jeden raz. Ak celkový elektrický prúd rozdelíme na vodivostný prúd a magnetizačný prúd, Ampérov zákon pre magnetikum bude mať tvar B d = μ I + I, (8.1) k ( ) v M kde symbolom I M sme označili celkový magnetizačný prúd pretekajúci plochou integračnej krivky. Magnetizačný prúd môžeme vyjadriť pomocou dĺžkovej hustoty magnetizačného prúdu a veľkosti vektora magnetizácie (8.9) vzťahom I = J d = M d M M (8.11) k k Podrobnejšia analýza by nám ukázala, že platí M d = M d. Rovnicu (8.1) môžeme potom zapísať vo vektorovom tvare B d = μ Iv+ M d, (8.1) k k z ktorého po úprave dostávame Ampérov zákon pre magnetikum v tvare B d Iv μ M =. (8.13) k Výraz v zátvorke je intenzita magnetického poľa H v magnetiku, ktorú sme v časti (6.6) už definovali pre vákuum vzťahom (6.36). Intenzita magnetického poľa B H = M (8.14) μ je veličina určená iba celkovým vodivostným elektrickým prúdom, pretože platí H d = I. (8.15) k v Pri odvodení rovnice (8.15) sme použili zjednodušujúce predpoklady. Dá sa však ukázať, že táto rovnica platí všeobecne. Vodivostné prúdy sú elektrické prúdy pretekajúce závitmi cievok. Vyjadrenie (8.15) Ampérovho zákona má veľký praktický význam, pretože vodivostné elektrické prúdy sú prúdy dostupné priamemu meraniu a pomocou nich môžeme určiť intenzitu magnetického 115

116 poľa. Aj v materiálovom prostredí je pre nás najviac zaujímavou veličinou magnetická indukcia. Určenie magnetickej indukcie B predpokladá, že poznáme vzťah medzi vektormi magnetizácie M a intenzity magnetického poľa H. V homogénnom izotropnom magnetiku je magnetizácia úmerná intenzite magnetického poľa a platí vektorová rovnica M=κ H, (8.16) kde κ je magnetická susceptibilita. Po dosadení do (8.14) dostávame B= μ( 1+ κ) H = μμrh = μh. (8.17) V praxi sa pri určovaní magnetickej indukcie zvyčajne postupuje tak, že zo známych vodivostných elektrických prúdov určíme intenzitu magnetického poľa a z dostupných experimentálnych závislostí pre B = B(H), resp. M = M(H) sa určí magnetická indukcia. S komplikáciami sa môžeme pritom stretnúť u feromagnetík, kde magnetizácia závisí na histórii magnetizácie ako sme to už mohli vidieť na hysteréznej krivke. 8.3 Súhrn poznatkov o elektromagnetizme - Maxwellove rovnice Postupne, hlavne vychádzajúc z experimentálnych poznatkov, sme sa oboznamovali s dôležitými zákonmi vyjadrujúcimi vlastnosti elektrických a magnetických polí. Možno takto, zovšeobecnením experimentálnych poznatkov, škótsky fyzik a matematik James Clerk Maxwell ( ) dal známe javy do vzájomných súvislostí a formuloval ucelenú teóriu elektromagnetizmu (Treatise on Electricity and Magnetism 1873). Jej základom sú štyri Maxwellove rovnice, z ktorých sa dajú odvodiť všetky pozorované prejavy elektriny a magnetizmu. To by však pre správnu teóriu bolo málo. Teória musí vypovedať viac, ako sme do nej vložili. Z Maxwellových rovníc sa dali teoreticky predpovedať aj neznáme javy, ako napr. elektromagnetické vlny, neskôr experimentálne dokázané H. Hertzom ( ). Sústavu Maxwellových rovníc tvoria nasledovné rovnice, ktoré uvádzame v ich integrálnom tvare. Gaussov zákon pre elektrické pole d S = Q (8.18) celk D Tok vektora elektrickej indukcie uzavretou plochou sa rovná celkovému voľnému elektrickému náboju uzatvorenému vo vnútri tejto plochy. Gaussov zákon vyjadruje súvislosť medzi elektrickým indukčným tokom uzavretou plochou a celkovým elektrickým nábojom vo vnútri tejto uzavretej plochy. Elektrické pole má zdroje v elektrických nábojoch. Ak je elektrický náboj kladný, potom siločiary elektrického poľa z elektrického náboja vychádzajú, ak je záporný, do elektrického náboja vchádzajú. Gaussov zákon pre magnetické pole d S = B Tok vektora magnetickej indukcie uzavretou plochou je vždy rovný nule. (8.19) Vyplýva z neho, že magnetické indukčné čiary sú uzavreté krivky a že nejestvujú magnetické náboje. 116

117 Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie dφ E d =, (8.) dt (k) kde Φ = B d S. S Elektromotorické napätie indukované na uzavretej krivke sa rovná zápornej časovej zmene toku vektora magnetickej indukcie plochou preloženou danou krivkou. Faradayov zákon vyjadruje súvislosť medzi cirkuláciou vektora intenzity elektrického poľa a časovou zmenou magnetického toku. Všade tam, kde sa mení magnetický tok, vzniká elektrické pole. Integrácia po uzavretej krivke na ľavej strane rovnice (8.) vôbec nemusí súvisieť s konkrétnym vodičom. Môže to byť ľubovoľná myslená krivka napr. vo vákuu, alebo v dielektriku. Ak sa plochou preloženou takouto krivkou mení magnetický tok, bude cirkulácia intenzity elektrického poľa rôzna od nuly. Ampérov zákon D H d ds, (8.1) t (k) = I + v S Cirkulácia vektora intenzity magnetického poľa sa rovná súčtu celkového vodivostného elektrického prúdu prechádzajúceho plochou preloženou integračnou krivkou a celkového posuvného prúdu reprezentovaného časovou zmenou elektrického indukčného toku touto plochou. Príčinou magnetického poľa je podľa tohto zákona je buď elektrický prúd voľných elektrických nábojov (vodivostný elektrický prúd), alebo časová zmena elektrického indukčného toku. K týmto štyrom rovniciam ešte pristupujú: - rovnica pre určenie sily pôsobiacej na pohybujúci sa elektrický náboj ( v ) F = Q E + B, (8.) - rovnica definujúca hustotu vodivostného elektrického prúdu J =σ E (8.3) - vzťahy medzi E, D, B a H v izotropnom prostredí D = ε ε E, B = μ μ H. (8.4) r r 8.4 Diferenciálny tvar Maxwellových rovníc* Vektorová analýza umožňuje formulovať a charakterizovať lokálne vlastnosti vektorových polí, t.j. vlastnosti v určitom bode priestoru. Charakteristické vlastnosti vektorových polí sú matematicky vyjadrené parciálnymi diferenciálnymi rovnicami. Tieto vyplývajú z integrálnych rovníc po úprave s využitím Gaussovej, resp. Stokesovej vety vektorovej analýzy. Vyjadríme teraz sústavu Maxwellových rovníc v diferenciálnom tvare. Diferenciálny tvar Maxwellových rovníc vyjadruje lokálne vlastnosti elektrického a magnetického poľa. 117

118 Gaussov zákon pre elektrické pole div D = ρ, (8.5) kde ρ je hustota voľného elektrického náboja. Zdrojom elektrického poľa sú elektrické náboje. Gaussov zákon pre magnetické pole div B = (8.6) Z rovnice vyplýva, že v žiadnom bode priestoru nie sú zdroje magnetického poľa a neexistujú magnetické náboje. Dôsledkom potom je, že magnetické indukčné čiary musia byť uzavreté krivky. Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie B rot E = (8.7) t Faradayov zákon vyjadruje vzájomný vzťah medzi premenlivým magnetickým poľom a elektrickým poľom. Elektrické pole, ktoré vzniká časovou zmenou magnetického poľa je vírové (rot E π ). (Elektrostatické pole takéto nie je, pre elektrostatické pole rote = ). Vo vírovom elektrickom poli nemôžeme definovať potenciál ani napätie. Ampérov zákon D rot H = J vod +, (8.8) t kde J vod. je vektor prúdovej hustoty vodivostného prúdu. Zákon vyjadruje dve možné príčiny vzniku magnetického poľa. Magnetické pole môže vzniknúť buď v dôsledku vodivostného elektrického prúdu, alebo časovou zmenou elektrického poľa. Magnetické pole je vírové pole, pre každé magnetické pole platí roth π. K štyrom základným rovniciam pribudnú rovnice ( ). Z Maxwellových rovníc je zreteľne vidieť už spomínané vzájomné prepojenie a väzbu elektrických a magnetických javov. 118

119 9. Striedavý elektrický prúd V čase začiatkov využívania elektrickej energie v priemysle sa spočiatku zdalo, že jediným využiteľným druhom elektrického prúdu je prúd jednosmerný, zdrojmi jednosmerných elektrických prúdov boli napr. galvanické články. Faradayov objav elektromagnetickej indukcie, pomocou ktorého bol získaný striedavý elektrický prúd, odkryl veľké možnosti jeho využitia v praxi. Výhody striedavého elektrického prúdu sa prejavujú najmä pri prenose elektrickej energie na veľké vzdialenosti. V súčasnosti sa v elektrotechnike skoro výlučne využíva striedavý elektrický prúd a jeho vlastnosti. 9.1 Vznik a základné vlastnosti striedavého elektrického prúdu Základné charakteristiky Časovo premenné elektrické prúdy vznikajú v elektrických obvodoch v dôsledku pripojenia týchto obvodov k časovo premenným napätiam alebo v dôsledku náhlych zmien prúdov pri ich zapojení (odpojení) na jednosmerné napätia. Ide napríklad o pripojenie (odpojenie) zdroja napätia alebo o skrat v obvodoch, ktorých súčasťou sú kondenzátory, alebo cievky. Vznikajú rôzne prechodové javy - napríklad nabíjanie a vybíjanie kondenzátora, prechodové javy v RL, alebo RLC obvodoch. Periodické prúdové priebehy sú dôležitou podmnožinou časovopremenných elektrických prúdov. Periodické elektrické prúdy a napätia menia svoju veľkosť, prípadne aj polaritu podľa nejakej periodickej funkcie času f () t = f( t+ n T), (9.1) kde n je celé číslo a T je perióda funkcie. Perióda je čas, za ktorý funkcia nadobudne rovnakú hodnotu ako na začiatku. Prevrátená hodnota periódy je frekvencia, ktorá udáva počet periód za sekundu. Jednotkou frekvencie je 1 Hz = 1 s 1. Súvis medzi periódou, frekvenciou a uhlovou frekvenciou je 1 π f =, ω = = π f. (9.) T T Dôležitá vlastnosť periodických pohybov je možnosť ich rozložiť na periodický harmonický pohyb so základnou frekvenciou a s násobkami základnej frekvencie Fourierova analýza. Vo Fourierovom rade prvý člen radu, ktorý je konštantný, od času nezávislý, predstavuje konštantné napätie alebo elektrický prúd. Ak je tento člen nulový, hovoríme, že funkcia f(t) nemá jednosmernú zložku a takýto priebeh potom nazývame striedavý. Veľmi dôležitú úlohu v teórii striedavých elektrických prúdov a napätí majú harmonické priebehy, vyjadrené funkciami sínus alebo kosínus, pretože ich súčet aj súčin, derivácia či integrácia opäť vedú k harmonickým priebehom. Harmonické napätia a prúdy môžeme vyjadriť časovými závislosťami ut () = U cos( ωt± ϕu ) (9.3) it () = I cos( ωt± ϕi ), kde u(t), i(t) sú okamžité hodnoty elektrického napätia a prúdu, U, I sú ich amplitúdy, argument funkcie (ω t ±ϕ) je fáza harmonickej funkcie, ϕ je fázová konštanta, resp. fázový posun.v prípade časovo premenných elektrických veličín, budeme ich okamžité hodnoty označovať malými písmenami a ich amplitúdy veľkými. Ak zvolíme za referenčný priebeh napr. funkciu 119

120 u() t = Ucos ωt, (9.4) potom hodnota (+ϕ u ) vyjadruje skutočnosť, že napätie u(t) v (9.3) fázovo predbieha napätie u, hodnota ( ϕ u ) znamená, že napätie u(t) fázovo zaostáva za napätím u. Rovnako môžeme hovoriť o fázových posunoch elektrických prúdov navzájom, resp. o fázovom posune medzi elektrickým prúdom a napätím. Harmonické priebehy napätí a elektrických prúdov môžeme vyjadriť aj pomocou funkcie sínus, pretože tým zavedieme len konštantný fázový posun π/, nakoľko platia trigonometrické vzťahy π ± cos( ωt+ ϕ) = sin( ωt+ ϕ± ) (9.5) π ± sin( ωt+ ϕ) = cos( ωt+ ϕ ). Priebeh harmonickej funkcie i = I sin(ω t +ϕ) je na obr.9.1. i i= I sinϕ I T t = -ϕ/ω t Obr. 9.1 Harmonický priebeh striedavého elektrického prúdu i V čase t = dostávame i = I sinϕ, fázová konštanta je potom ϕ = arcsin, elektrický prúd I bude nulový i =, keď argument sínusovej funkcie sa rovná nule, nπ ϕ ϕ ωt+ ϕ = + nπ t =, kde n =,1,..., pre n = : t =. ω ω Striedavý elektrický prúd sú v podstate elektrické kmity, pri ktorých voľné elektróny vo vodiči kmitajú s frekvenciou f, vplyvom striedavého elektrického poľa. O elektrických kmitoch sa dozvieme v ďalšej podkapitole. Podľa veľkosti frekvencie rozlišujeme striedavé elektrické prúdy nízkofrekvenčné (16 Hz - khz), striedavé elektrické prúdy strednej frekvencie (khz - 3 khz) a vysokofrekvenčné (až do 1 11 Hz) elektrické prúdy. Naša elektrická sieť má frekvenciu 5 Hz. V rádiokominukácii oblasť stredných vĺn (AM rádio) je v okolí 1 6 Hz, veľmi krátke vlny (FM rádio) a televízia majú frekvencie 1 8 Hz, radar, to sú frekvencie 1 9 Hz a napríklad mobilné telefóny pracujú so striedavými obvodmi na frekvenciách 9 MHz a 18 MHz. Príklad 9.1 Určte amplitúdu striedavého elektrického prúdu, ak pre jeho okamžitú hodnotu v čase t platí i = I cos(ωt + π 4) a v čase t = s bola okamžitá hodnota elektrického prúdu 1 A. Ak je frekvencia tohto striedavého elektrického prúdu f = 5 Hz, vypočítajte periódu a uhlovú frekvenciu elektrického prúdu ako aj čas, kedy bude elektrický prúd nulový. Riešenie: 1

121 Ak dosadíme do kosínusového priebehu striedavého elektrického prúdu zadané počiatočné podmienky, dostaneme hľadanú amplitúdu I π i 1 i = I cos I = = = 14,1 A. 4 π 1 cos 4 Pre periódu a uhlovú frekvenciu platí: T = = =,s, ω = πf = 1π = 314 s. f 5 Využime podmienku, že elektrický prúd má byť nulový, π π π = I cos( ωt+ ) ( ωt+ ) = + nπ, 4 4 kde n je celé číslo. Pre hľadaný čas dostaneme π + nπ 4 1 n 1 1 t = = + = ( 1+ 4n ) T, pre n = t =, 5 s. πf 8 f Vznik striedavého elektrického napätia a prúdu Činnosť generátora striedavého napätia, pracujúceho na princípe elektromagnetickej indukcie, si ilustrujme na príklade otáčania cievky v magnetickom poli (obr. 9.). S ωt B ε =ε sinωt Obr.9. Princíp činnosti generátora striedavého napätia Cievka s N závitmi a s plochou jedného závitu S sa otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou ω v magnetickom poli indukcie B. Pre uhol otočenia platí α = ω t+ϕ. Podľa Faradayovho zákona, ktorý bol vysvetlený v kap.7, bude sa v cievke indukovať striedavé elektromotorické napätie. Pre magnetický tok plochou cievky platí Φ = NB S = NBScos( ωt+ ϕ) = Φ cos( ωt+ ϕ) (9.6) a indukované elektromotorické napätie bude dφ d( NB S) d( NBScos( ωt+ ϕ)) ε = = = = NBSωsin( ωt + ϕ) = ε sin( ωt + ϕ). (9.7) dt dt dt Časový priebeh napätia na cievke je harmonický, popísaný je sínusovou funkciou s amplitúdou ε = N B S ω a okamžitou fázou (ω t+ϕ). Pri maximálnom toku Φ, keď rovina cievky je kolmá na smer magnetickej indukcie, je elektromotorické napätie (EMN) nulové a naopak EMN je maximálne a rovné ε, keď magnetický tok je nulový. Sínusoida EMN je 11

122 posunutá vzhľadom k magnetickému toku Φ o π/, magnetický tok predbieha EMN o T/4 (obr. 9.3). ε ε Φ t Obr. 9.3 Časovopremenný magnetický tok a EMN Ak ku generátoru s vnútorným elektrickým odporom R i pripojíme zaťažovací rezistor s elektrickým odporom R a obvod uzavrieme, bude ním pretekať striedavý elektrický prúd ε ε sin( ωt + ϕ) i = = = I sin( ωt+ ϕ). (9.8) Ri + R Ri + R Pokiaľ máme v obvode len "odporovú" záťaž, bude elektrický prúd vo fáze s napätím Efektívne hodnoty striedavého elektrického napätia a prúdu Priebehy striedavých elektrických napätí a prúdov sme doteraz popisovali ich okamžitými hodnotami a amplitúdami. Stredná hodnota ľubovoľnej periodickej funkcie f (t), závislej od času, je definovaná v intervale t <,Τ > nasledovne T 1 f () t = f() t d t. T (9.9) V ďalšom budeme používať kosínusové priebehy elektrických napätí a prúdov podľa vzťahu (9.3). Vypočítajme strednú hodnotu striedavého elektrického prúdu: 1 T I T I π i ( t) = Icos( t ) d t [sin( t )] [sin( T ) sin ]. T ω + ϕ = ωt ω + ϕ = ωt T + ϕ ϕ = (9.1) Pre periodické striedavé priebehy je stredná hodnota elektrického prúdu počas jednej periódy vždy rovná nule. Rovnako platí, že stredná hodnota striedavého napätia je nulová. ut () =. (9.11) Kvôli možnosti porovnávania účinkov striedavého a jednosmerného elektrického prúdu je výhodné zaviesť efektívne hodnoty striedavého prúdu a napätia. Efektívna hodnota striedavého elektrického prúdu je taká hodnota jednosmerného elektrického prúdu I ef, pri ktorej sa za čas jednej periódy vytvorí na rovnakej odporovej záťaži R rovnaké množstvo tepla ako daným striedavým elektrickým prúdom. 1

123 T T T RI ef R I T = Ri ( t) dt = RI cos ( ωt+ ϕ)d t = (1 + cos ( ωt+ ϕ))dt = T sin ( ωt + ϕ) RI RI =. t+ = T ω Odtiaľ dostaneme pre efektívnu hodnotu striedavého elektrického prúdu a analogicky pre efektívnu hodnotu striedavého napätia vzťahy I U Ief =, Uef =. (9.1) Vzťahy (9.1) nám udávajú súvis medzi efektívnymi hodnotami a amplitúdami striedavých harmonických veličín. Na obr. 9.4 vyšrafovaná plocha I pod krivkou i (t) je úmerná vyvinutému i teplu pri prechode striedavého elektrického prúdu nejakým elektrickým odporom za dobu jednej periódy. Táto I plocha je totožná s plochou obdĺžnika I ef i I ef T, ktorá je úmerná teplu vzniknutému prechodom jednosmerného elektrického T/4 T/ t prúdu tým istým elektrickým odporom. Meracie prístroje striedavého napätia a elektrického prúdu majú T stupnicu okalibrovanú v efektívnych Obr. 9.4 Efektívna hodnota striedavého prúdu hodnotách, pričom sa počíta s harmonickým priebehom napätia, resp. prúdu Výkon striedavého elektrického prúdu Okamžitý výkon p striedavého elektrického prúdu, (výkon zdroja, dodávaný do obvodu) je podobne ako pri jednosmernom elektrickom prúde daný súčinom okamžitého napätia a elektrického prúdu pt () = ut ()() it = UI cosωtcos( ωt+ ϕ). (9.13) V okamžitom výkone sa vo všeobecnosti periodicky mení nielen veľkosť ale aj znamienko. Ak je elektrický prúd vo fáze s napätím, p potom p>, čo znamená, že do obvodu sa privádza energia zo zdroja a v obvode sa aj spotrebuje. Ak sú elektrický prúd a napätie u i fázovo posunuté, môže nastať prípad, keď p < (keď okamžité hodnoty elektrického prúdu a napätia majú opačné znamienka), i zdroj prijíma energiu z obvodu. Priebeh t okamžitého výkonu v závislosti od času je vidieť na obr u Vzťah (9.13) môžeme využitím Obr. 9.5 Výkon striedavého cosα cos β = 1/ { cos( α β) + cos( α + β) } elektrického prúdu ďalej upraviť na tvar 13

124 UI UI p = cosϕ + cos( ωt+ ϕ). (9.14) Prvý člen je od času nezávislý, je to ustálená zložka okamžitého výkonu a nazýva sa činný (aktívny) výkon. Druhá zložka je časovo premenná s dvojnásobnou uhlovou frekvenciou a nazýva sa jalový (reaktívny) výkon. V skutočnosti pozorujeme len stredné hodnoty okamžitých výkonov za určitú dobu. Vyjadrime teraz stredný výkon striedavého elektrického prúdu ako strednú hodnotu okamžitého výkonu za dobu jednej periódy. T T T UI UI ( )d cosϕ d cos( ω ϕ)d cos ϕ. 1 1 p = p t t = t+ t+ t = U I T T T (9.15) Stredná hodnota jalového výkonu za jednu periódu je rovná nule. Táto zložka ale prenáša energiu, ktorá sa akumuluje v prvkoch obvodu (v cievke, kondenzátore). Je to škodlivá zložka, ktorá zaťažuje okamžitým výkonom generátory a vedenie. Činný výkon môžeme vyjadriť v tvare 1 P = p = UIcosϕ = UefIefcos ϕ. (9.16) Činný výkon striedavého elektrického prúdu je súčinom efektívnych hodnôt elektrického prúdu a napätia a kosínusu fázového posunu medzi U ef elektrickým prúdom a napätím. Súčin P S = U ef I ef sa A nazýva zdanlivý výkon. Faktor cos ϕ sa nazýva účinník. I Na obr. 9.6 sú vektorovo znázornené (podrobnejšie v W kap )- efektívne hodnoty elektrického prúdu a ϕ napätia s fázovým rozdielom ϕ. Zložka prúdu OA sa nazýva wattová - činná I W Ij I ef, zložka OB je bezwatová - jalová I j. Pre tieto zložky platí: B I = I cos ϕ, I = I sin ϕ. W ef j ef Elektrický prúd koná prácu cosϕ krát menšiu,. Obr. 9.6 K výkonu striedavého prúdu zvyšok sa nemení na prácu, ale kmitá medzi spotrebičom a zdrojom a zaťažuje vedenie. Zdroj aj vedenie však musia byť dimenzované na maximálny možný výkon P S = U ef I ef, ktorý nastáva v prípade, ak je elektrický prúd vo fáze s napätím (ϕ = ). Ak je fázový posun ϕ = π/, výkon sa rovná nule, čo znamená, že elektrický prúd nekoná prácu v prvej štvrťperióde dodáva zdroj energiu do obvodu a v druhej štvrťperióde sa táto energia vracia späť do generátora. Ak je napríklad efektívna hodnota elektrického prúdu I ef = 3 A, efektívne napätie U ef = V a fázový rozdiel medzi elektrickým prúdom a napätím ϕ = π/3, bude sa elektrický IW = Ief cosϕ = 3cos π 3= 15A, prúd skladať z činnej a jalovej zložky: Ij = Ief sinϕ = 3sin π 3= 5,9A. Môžeme potom vyjadriť zdanlivý výkon, činný výkon a jalový výkon: PS = UefIef = 3 = 6,6 kw P = Uef Ief cosϕ = Uef IW = 15 = 3,3 kw PQ = UefIef sinϕ = UefIj = 5,9 = 5,7 kw. Tepelné straty vznikajúce v obvode ale odpovedajú elektrickému prúdu I ef = 3 A. 14

125 Príklad 9. Vypočítajte, s akým účinníkom pracoval jednofázový motor, ktorý odoberal 1 minút striedavý elektrický prúd s efektívnou hodnotou A pri efektívnom napätí V. Elektromer ukázal spotrebu,5 kwh. Riešenie: Činný výkon môžeme vyjadriť v tvare W Uef Ief cos ϕ = P =. t Odtiaľ vypočítame účinník W 5 6 cosϕ = = =,68. U I t 1 ef ef Transformátory V sústavách rozvodov elektrickej energie je dôležité zaistiť bezpečnosť práce. Preto v mieste výroby energie - v elektrárňach, ale aj v mieste spotrebiteľa - potrebujeme pracovať s nízkymi napätiami. Z hľadiska prenosu energie od výrobcu k spotrebiteľovi je však žiadúce, aby boli straty vyvolané Joulovým teplom v prenosových vedeniach čo najnižšie. K tomu potrebujeme dosiahnuť čo možno najmenší elektrický prúd, pretože stratový výkon vo vedení je P s = RI! Z tejto požiadavky potom pre prenos elektrickej energie vyplýva potreba čo najväčšieho napätia, aby sme pri malom elektrickom prúde preniesli vyrobený výkon do záťaže. Zariadenie, ktorým môžeme napätie zvyšovať (kvôli prenosu energie), resp. znižovať (na strane výrobcu a spotrebiteľa), pričom súčin elektrického prúdu a napätia ostáva konštantný, sa nazýva transformátor. Transformátorom sa premieňa vstupné napätie zdroja (primárne) na výstupné (sekundárne) napätie. Transformátor pracuje na princípe elektromagnetickej indukcie. Transformátor sa skladá z dvoch cievok - primárnej a sekundárnej - s počtami závitov N 1, resp. N. Cievky majú spoločné feromagnetické alebo feritové jadro, pomocou ktorého dosiahneme to, že takmer celý magnetický tok Φ vytvorený v spoločnom feromagnetickom jadre elektrickým prúdom v primárnej cievke sa prenáša do jadra druhej cievky. Z toho vyplýva, že pri zmene magnetického toku v jadre transformátora je napätie indukované dφ v jednom závite primárnej aj sekundárnej cievky rovnaké ε =, kde Φ je magnetický dt tok jedným závitom. Toto platí v prípade tzv. ideálneho transformátora. Pri reálnom transformátore sa časť indukčného toku rozptyľuje a časť energie sa spotrebuje na hysterézne straty v jadre. Celkové straty sú však aj v reálnych transformátoroch malé a nebudeme sa nimi zaoberať. Magnetický tok primárnou cievkou Φ 1 = N 1 Φ, magnetický tok sekundárnou cievkou Φ = NΦ. Predpokladajme, že obidve cievky majú zanedbateľný elektrický odpor. Ak privedieme na vstup primárnej cievky premenné napätie u 1 (t) vytvorí na základe javu elektromagnetickej indukcie na svorkách tejto cievky rovnako veľké indukované napätie. Preto platí dφ u1() t = N1ε = N1. (9.17) d t Magnetický tok preniká cez N závitov sekundárnej cievky a vytvorí na nej indukované napätie dφ u() t = Nε = N. (9.18) dt 15

126 Delením vzťahov (9.17) a (9.18) dostaneme pomer okamžitých napätí: u1() t N1 =. (9.19) u() t N Ak dosadíme za časové priebehy okamžitých napätí napr. sínusový priebeh, dostaneme pre pomer amplitúd (resp. efektívnych hodnôt) primárneho a sekundárneho napätia vzťah: U1 N1 = = pt, (9.) U N kde p t sa nazýva transformačný pomer. Pri splnení podmienky p t > 1 ide o transformáciu napätia nadol, pri p t < 1 ide o transformáciu nahor. Popíšme teraz kvalitatívne dej, ktorý nastane po pripojení odporovej záťaže k sekundárnej cievke. Sekundárnym obvodom bude pretekať striedavý elektrický prúd i (t), ktorý vytvorí premenný magnetický tok v jadre. Tento podľa Faradayovho a Lenzovho zákona indukuje v primárnej cievke opačne orientované EMN. Primárnou cievkou preto musí pretekať taký striedavý elektrický prúd i 1 (t), aby ním indukované EMN v primárnej cievke práve zrušilo EMN indukované v nej sekundárnym elektrickým prúdom. Pretože medzi primárnym elektrickým prúdom i 1 a napätím u 1 je fázový posun rôzny od π/, dodáva generátor do primárnej cievky výkon P 1, ktorý sa prenáša do sekundárnej cievky. Transformátor prenáša energiu z generátora do záťaže. Ak predpokladáme, že počas prenosu energie nedochádza k jej stratám, musí zo zákona zachovania energie platiť I U = I U. 1 1 Odtiaľ dostaneme pre transformáciu elektrického prúdu vzťah U1 N1 I = I1 I1 pt I1. U = N = (9.1) Maximálny prenos výkonu zo zdroja do záťaže nastáva, keď je splnená podmienka výkonového prispôsobenia (analogicky ako u jednosmerných obvodov), t.j. keď sú impedancie generátora a záťaže prispôsobené. Účinnosť transformátora je daná pomerom činného výkonu v sekundárnej cievke a činného výkonu v primárnej cievke. Účinnosť výkonových transformátorov býva dosť vysoká ( 98 %). 9. Elektrické kmity Podobne ako sme v mechanike hovorili o netlmených, tlmených a vynútených kmitoch, môžeme analogicky hovoriť aj o elektromagnetických kmitoch. Budeme študovať elektrické obvody, ktoré sú formálne úplne analogické spomínaným mechanickým kmitom Netlmené elektrické kmity. Kmitavý LC obvod* Uvažujme uzavretý ideálny LC obvod, teda obvod pozostávajúci z cievky s vlastnou indukčnosťou L a z kondenzátora s elektrickou kapacitou C, pričom elektrický odpor v obvode je nulový (R = Ω). Schéma takéhoto obvodu je na obr.9.7. Zopakujme si potrebné definičné vzťahy pre elektrickú kapacitu kondenzátora, elektrický prúd ako aj Faradayov zákon pre vznik indukovaného elektromotorického napätia 16

127 i u C + C L u L + Q dq di C =, I =, εi = L. U dt dt Na začiatku pokusu nabime kondenzátor na napätie U elektrickým nábojom Q. Po uzavretí obvodu, začne obvodom pretekať v čase premenný elektrický prúd i(t), elektrický náboj na kondenzátore bude klesať podľa vzťahu t t (9.) Obr. 9.7 Kmitavý LC obvod qt () = Q idt= UC idt netlmený harmonický oscilátor a napätie na kondenzátore tiež klesá z pôvodnej hodnoty t qt () 1 U : uc () t = U id t. C = C (9.3) Hovoríme, že kondenzátor sa vybíja cez cievku a obvodom tečie okamžitý elektrický prúd i(t). Na cievke sa bude indukovať elektromotorické napätie ε i a spád napätia na cievke bude di ul () t = εi = L. (9.4) d t Podľa. Kirchhoffovho zákona sa musí algebraický súčet týchto napätí v obvode rovnať nule, pretože v obvode nepôsobí nijaký zdroj napätia uc ul =. (9.5) Ak dosadíme predošlé vzťahy (9.3), (9.4) do rovnice (9.5), dostaneme t 1 di U idt L. C dt = Derivovaním tejto rovnice podľa času a po úprave dostávame d i 1 + i =. (9.6) dt LC Je to homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientami. Ak zavedieme substitúciu 1 ω =, (9.7) LC dostaneme rovnicu analogickú rovnici, ktorú sme riešili v mechanike pre netlmený mechanický harmonický oscilátor. Riešením tejto rovnice je okamžitá hodnota elektrického prúdu v tvare it ( ) = Isinω U t= sinωt= UC ωsin ωt. (9.8) Lω Vidíme, že okamžitá hodnota elektrického prúdu je harmonickou funkciou času, amplitúda elektrického prúdu je U I = = UCω = Qω (9.9) Lω a pre uhlovú frekvenciu, frekvenciu a periódu vzniknutých netlmených harmonických kmitov dostaneme zo vzťahu (9.7) 1 1 ω =, f =, T = π LC. (9.3) LC π LC Uvedený vzťah pre frekvenciu je známy pod názvom Thomsonov vzorec. Pre okamžité napätie na kondenzátore potom platí 17

128 t 1 I t [ ] [ ] C ω ω ω ω Cω u ( t) = U I sin t dt = U + cos t = U + U cos t 1 = U cos t C a pre okamžité napätie na cievke di ul () t = L = LIωcosωt = Ucos ωt. dt Počiatočné napätie na kondenzátore U je amplitúdou napätia na kondenzátore aj cievke. Vzťahy pre u C a u L môžeme ešte upraviť na tvar π T uc () t = Ucosωt = Usin( ωt+ ) = Usin ω( t+ ) = ul (). t 4 Fázový posun napätia oproti elektrickému prúdu je ϕ C = ϕ L = π/, resp. časový posun priebehov je T/4. LC obvod predstavuje idealizovaný netlmený harmonický oscilátor, časové priebehy napätia a elektrického prúdu sú netlmené elektrické kmity s uhlovou frekvenciou, danou Thomsonovým vzťahom (9.3). Pri elektrických netlmených kmitoch dochádza k premene energie elektrickej (akumulovanej v kondenzátore) na energiu magnetickú (ktorá sa akumuluje v cievke) a naopak. Celková elektromagnetická energia v obvode ostáva konštantná, od času nezávislá E = CuC + Li = CU cos ωt + LI sin ωt = E, kde 1 1 E = CU = LI (9.31) je maximálna hodnota amplitúda energie v kondenzátore a v cievke. Takýto obvod by kmital bez straty energie nekonečne dlho. Thomsonov obvod je však idealizácia, pretože v reálnom obvode je elektrický odpor vždy rôzny od nuly (elektrický odpor spojovacích vodičov, cievky). 9.. Tlmené elektrické kmity. Kmitavý RLC obvod* Vyšetrime teraz reálny uzavretý kmitavý RLC obvod, ktorého schéma je na obr.9.8. Výsledný elektrický odpor v obvode (včítane u C spojovacích vodičov) nech je R. Zostavme opäť + rovnicu pomocou. Kirchhoffovho zákona C + uc ul ur =. (9.3) i R u R L V tejto rovnici nám oproti rovnici pre netlmený + kmitavý LC obvod pribudol úbytok napätia na u L rezistore, ktorý podľa Ohmovho zákona má tvar Obr. 9.8 Kmitavý RLC obvod ur () t = Ri(). t (9.33) tlmený harmonický oscilátor Ak dosadíme do rovnice (9.3) za u R, u C a u L vzťahy (9.33), (9.3) a (9.4) dostaneme rovnicu t 1 di U idt L Ri, C dt = ktorej derivovaním a úpravou dostávame homogénnu diferenciálnu rovnicu. rádu s konštantnými koeficientami v tvare d i R di i =. (9.34) dt L dt LC 18

129 Táto rovnica je analogická rovnici pre tlmené mechanické kmity. Ak zavedieme rovnaké označenie v substitúciách ako sme to urobili v mechanike, bude platiť R 1 δ =, ω =, (9.35) L LC pričom δ je koeficient tlmenia, vyjadrujúci rýchlosť zániku kmitov v obvode a ω je vlastná uhlová frekvencia netlmených kmitov. V ďalšom sa budeme zaoberať len vyšetrovaním periodických kmitov, ktoré vznikajú za podmienky malého tlmenia, t.j. ω > δ, teda v prípade keď platí 1 R L R. LC > L < C Riešenie rovnice (9.34) bude v tomto prípade analogické ako pre tlmené mechanické kmity δ t U it ( ) = Ie sin ω1t, kde I = (9.36) ω1l je amplitúda elektrického prúdu. Pre uhlovú frekvenciu ω 1 a periódu T 1 tlmených elektrických 1 R C kmitov dostaneme: ω1 = ω δ =, T 1 = 4π L. (9.37) LC 4L 4L R C Vidíme, že uhlová frekvencia tlmených kmitov je menšia ako uhlová frekvencia netlmených kmitov ω a perióda tlmeného pohybu je väčšia. Elektrický prúd má periodický priebeh s exponenciálne klesajúcou amplitúdou, pričom uhlová frekvencia tlmených kmitov je funkciou všetkých parametrov daného obvodu (R, L, C). Amplitúdy napätí na prvkoch obvodu budú tiež exponenciálne klesať. Fázový posun medzi elektrickým prúdom a napätiami v obvode už nie je π/ a závisí tiež od všetkých parametrov obvodu. Kmitavý RLC obvod je analógom tlmeného harmonického pohybu a čím väčší je elektrický odpor obvodu, tým bude tlmenie kmitov väčšie. Preto aj elektromagnetická energia v tomto obvode bude s časom klesať podľa vzťahu E = E e δt, kde E je energia kmitov v čase t= s. Na rezistore dochádza k disipatívnej nevratnej premene časti elektromagnetickej energie na teplo Vynútené elektrické kmity. Sériový rezonančný RLC obvod* Ak chceme, aby v reálnom RLC obvode elektrické kmity nezanikali, musíme do obvodu dodávať energiu pripojením vonkajšieho zdroja napätia. Zapojme k zdroju striedavého napätia u všetky nasledovné pasívne prvky u C (rezistor, cievku a kondenzátor) do série podľa obr Pomocou Kirchhoffovho zákona môžeme písať u C základnú rovnicu pre tento sériový obvod RLC di Q R u R L + Ri + = U cos ωt. (9.38) i L dt C Derivovaním tejto rovnice podľa času a ďalšou u L úpravou dostaneme diferenciálnu rovnicu pre Obr. 9.9 Sériový RLC obvod elektrický prúd v tvare d i R di 1 Uω + + i = sin ωt, (9.39) dt L dt LC L pričom sme využili definičný vzťah i = dq/dt. Dostali sme nehomogénnu diferenciálnu rovnicu. rádu s konštantnými koeficientami. Riešenie takejto rovnice je superpozíciou 19

130 riešenia homogénnej rovnice a jedného partikulárneho riešenia nehomogénnej rovnice. Ak zavedieme rovnaké substitúcie ako v (9.35), potom riešenie homogénnej rovnice je totožné s riešením (9.36) pre tlmené elektrické kmity. Preto môžeme pre celkové riešenie navrhnúť tvar (predpokladáme, že elektrický prúd musí byť tiež harmonickou funkciou) δt it () = Ite sinω1t+ Icos( ωt ϕ). (9.4) Prvý člen riešenia s časom exponenciálne zaniká a bude nás zaujímať len stacionárna časť riešenia. Postup je analogický ako pri riešení rovnice vynútených mechanických kmitov. Hľadaná amplitúda elektrického prúdu I a fázový posun ϕ medzi elektrickým prúdom a napätím v obvode RLC budú mať tvar 1 ωl U U U XL XC I, tg ωc = = = ϕ = =, (9.41) 1 ( ) R ( XL XC) Z R R R + ωl + ωc 1 kde X L =ωl [Ω] sa nazýva induktívna reaktancia (induktancia) a X C = [ Ω ] ωc X C je kapacitná reaktancia (kapacitancia). Amplitúda elektrického prúdu ako aj fázový posun sú funkciami frekvencie zdroja napätia. Elektrický prúd môže - podľa hodnoty frekvencie - napätie vo fáze predbiehať alebo za ním zaostávať. Vo vzťahu (9.41) sme zaviedli novú fyzikálnu veličinu Z - ktorá sa nazýva impedancia (zdanlivý odpor) sériového RLC obvodu. Je to pomer amplitúd elektrického napätia a prúdu v obvode a má podobný význam ako elektrický odpor v jednosmerných elektrických obvodoch, jednotkou je ohm [Ω] 1 Z = R + ( ωl ) = R + ( XL XC). (9.4) ωc Pri určitej frekvencii je amplitúda elektrického prúdu maximálna a súčasne je pri tejto frekvencii fázový posun nulový. Je to tzv. rezonancia v obvode RLC, jav analogický rezonančným mechanickým javom. Jav rezonancie nastane za podmienky 1 ωl, ωc = (9.43) vtedy je impedancia obvodu najmenšia a má len ohmický charakter Z = R, fázový uhol ϕ =. Elektrický prúd dosahuje maximálnu amplitúdu I r = U /R.. Ak by elektrický odpor klesal k nule, rástla by amplitúda elektrického prúdu nad všetky medze. Rezonančná frekvencia, resp. perióda kmitov, vyjadrené zo vzťahu (9.43) budú 1 ωr = = ω, Tr = π LC, (9.44) LC čo je známa Thomsonova frekvencia vlastných kmitov obvodu - vzťah (9.3). Amplitúdy napätí na kondenzátore a cievke pri rezonancii môžeme vyjadriť vzťahmi 1 1 U U U = C X r C I = r r Ir ωrl XL I r r UL. r ωrc = ωrc R R = = Ako vidieť, amplitúdy napätia na kondenzátore a cievke sú rovnako veľké, ale napätia sú vzájomne fázovo posunuté o π (hovoríme, že napätia sú v protifáze), takže sa ich súčet v obvode za rezonancie rovná nule. Rezonancii v sériovom RLC obvode sa hovorí aj napäťová rezonancia. RLC sériový rezonančný obvod sa v praxi často využíva napr. v prijímacích obvodoch rozhlasových a televíznych prijímačov k selekcii zvolenej stanice zo spektra vysielačov elektromagnetických vĺn. 13

131 Príklad 9.3 Sériový obvod zložený z rezistora s elektrickým odporom R = 3 Ω, cievky s vlastnou indukčnosťou L = 1,7 H, kondenzátora s elektrickou kapacitou C = 1,59 μf je pripojený na zdroj striedavého napätia s amplitúdou U = 17 V a s frekvenciou f = 5 Hz. Vypočítajte impedanciu obvodu, amplitúdu elektrického prúdu v obvode, napätia na kondenzátore, napätia na cievke a fázové posunutie medzi elektrickým prúdom a napätím. Riešenie: Impedanciu obvodu určíme vzťahom: Z = R + ωl ωc 1, pričom ω = π f. 6 1 Číselne: Z = 3 + π 5 1, 7 = 163,8 Ω. π 5 1,59 Amplitúda elektrického prúdu v obvode je I = U / Z = 17 /163,8 =,78 A. Amplitúda napätia na kondenzátore 6 UC = I / ωc = I /π f C =,78/(π 5 1,59 1 ) = 156,15 V. Amplitúda napätia na cievke: UL = Iω L= Iπ f L=,78 π 5 1,7 = 31,1 V. Fázové posunutie medzi elektrickým prúdom a napätím určíme pomocou vzťahu: ω L π f L 6 π 5 1,7 ω C π f C π 5 1,59 tgϕ = = = = 5,34 R R 3 ϕ = 79, Riešenie obvodov so striedavými elektrickými prúdmi Pri riešení elektrických obvodov so striedavými harmonickými priebehmi sa používajú analytická a vektorová metóda. Analytická metóda vyjadruje striedavú veličinu ako funkciu času a pracuje s okamžitými hodnotami striedavých veličín. Túto metódu sme používali doteraz. Vektorová metóda pracuje s maximálnymi, prípadne efektívnymi hodnotami striedavých veličín. Je výhodná najmä na sledovanie vzájomných fázových posunov striedavých veličín. Symbolicko - komplexná metóda nahrádza grafické riešenie predošlej metódy algebraickým. Elektrické napätia, elektrické prúdy a impedancie sú reprezentované komplexnými číslami, funkciami, resp. vektormi v komplexnej rovine. Výhoda tejto metódy je v tom, že v elektrických obvodoch môžeme pri riešení použiť Kirchhoffove zákony v komplexnej forme, keď jednotlivým prvkom siete priradíme odpovedajúce komplexné impedancie. Táto metóda presahuje rámec nášho kurzu a nebudeme sa s ňou zaoberať Jednoduché obvody a vektorové znázornenie striedavých elektrických prúdov Riešme analyticky najprv jednoduché obvody striedavého prúdu v zapojeniach podľa obr. 9.1 a), b), c). Výsledky ktoré získame z riešenia týchto jednoduchých obvodov využijeme pri vektorovom zobrazení prúdov a napätí na prvkoch striedavých obvodov. 131

132 u i R u R u i L u L u i C u C a) b) c) Obr. 9.1 Jednoduché obvody striedavého prúdu a) Obvod s rezistorom Uvažujme jednoduchý obvod (obr. 9.1a) pozostávajúci len z rezistora s elektrickým odporom R a zdroja striedavého napätia u = U cos ωt. Z. Kirchhoffovho zákona pre okamžité hodnoty elektrického prúdu a napätia platí: u u = Ri i = = U cos ωt. (9.45) R R U Elektrický prúd je vo fáze s napätím a má amplitúdu: I =. R b) Obvod s cievkou K zdroju striedavého napätia (obr. 9.1b) je pripojená ideálna bezodporová cievka s vlastnou indukčnosťou L. Potom pre tento obvod platí di u = L (9.46) d t Integráciou dostaneme elektrický prúd U π i = udt Ucos t dt Usin t i cos( t ) L = L ω = ωl ω + = ωl ω (9.47) (jednosmerná zložka elektrického prúdu i = ). Elektrický prúd je fázovo oneskorený za U U napätím o π/ a má amplitúdu: I = =. Pomer amplitúdy napätia a amplitúdy prúdu je ωl XL impedancia cievky X L = wl. c) Obvod s kondenzátorom K zdroju striedavého napätia (obr. 9.1c) pripojíme teraz kondenzátor s elektrickou kapacitou C. Východzia rovnica pre tento obvod je: Q idt u = = (9.48) C C Derivovaním tejto rovnice dostaneme elektrický prúd: du d( U cos ωt) π i = C = C = UωC( sin ωt) = UωCcos( ωt+ ) (9.49) dt dt Elektrický prúd kondenzátorom predbieha napätie o π/ a jeho amplitúda je: U I = U ωc =. (9.5) X C Pomer amplitúdy napätia na kondenzátore a amplitúdy prúdu je impedancia kondenzátora 1 X C =. ωc 13

133 O vektorovom zobrazení mechanického kmitavého pohybu sme už hovorili v mechanike. Ak aplikujeme túto metódu na priebehy striedavých elektrických napätí a prúdov, dostaneme v rovine xy rotujúce vektory, ktorých veľkosť sa rovná amplitúde danej veličiny. ω ω Uhlová rýchlosť otáčania týchto vektorov sa rovná I U uhlovej frekvencii ω a fázový posun medzi napätím a elektrickým prúdom je uhol ϕ. Okamžité hodnoty striedavého elektrického napätia a prúdu dostaneme ako priemety týchto vektorov do osi x ϕ (obr. 9.11). ωt Ak využijeme poznatky o veľkosti fázového posunu medzi napätím a elektrickým I cos(ωt+ϕ) U cosωt prúdom, dostávame pre amplitúdy striedavých Obr Vektorové znázornenie striedavých elektrických napätí a prúdov na jednotlivých elektrických veličín prvkoch obvodov R, L, C nasledovné vektorové diagramy (obr. 9.1). V diagramoch je vektor zobrazujúci prúd zobrazený vodorovne, ak vektor napätia prúd predbieha o π/ je otočený o 9, teda smeruje zvisle nahor, ak zaostáva za prúdom smeruje nadol. Vektorové diagramy jednoduchých sériových obvodov RL, RC, LC dostaneme vektorovým skladaním, ako vidieť na obr Priamo z obrázku môžeme potom počítať výslednú amplitúdu napätia a fázový posun medzi elektrickým prúdom a napätím. Napríklad v RL obvode bude platiť U X L ωl U = U + U = I R + X = I R + ω L, tg ϕ = = =. U R R L R L L R a) i u R R b) i u C C c) i u L L U L I ϕ I ϕ U R U C Obr. 9.1 Vektorové znázornenie fázových posunov medzi elektrickým prúdom a napätím na: a) rezistore, b) kondenzátore, c) cievke I 133

134 u ~ i L R u R u ~ i C R u R u ~ i L C u C u L u C u L U L U U L ϕ U R I U I I ϕ U R U C U C U a) b) c) Obr Vektorové diagramy jednoduchých sériových obvodov a) RL obvod, b) RC obvod, c) LC obvod 9.3. Riešenie sériového RLC obvodu pomocou vektorových diagramov. Ukážeme si ako možno jednoduchú metódu zobrazenia striedavých veličín pomocou rotujúcich vektorov využiť na riešenie obvodu striedavého prúdu. Majme sériový rezonančný obvod RLC (obr.9.1). Veľkosť výsledného vektora amplitúdy napätia a fázový posun medzi výsledným napätím a elektrickým prúdom - ako vyplýva z trigonometrie na obr budú: U L a) b) c) U L -U C U U L U C ϕ I I U R U L I ϕ U R U =U R U C -U L U U C UC Obr Vektorový diagram sériového RLC obvodu: a) Indukčného charakteru, b) kapacitného charakteru, c) v rezonancii 1 U = ( UL UC) + UR = I ( XL XC) + R = I ( ωl ) + R = IZ ωc 1 ωl tg ϕ = ωc. R 134

135 Za príslušné impedancie sme dosadili vzťahy z časti V prípade, že prevláda indukčný 1 charakter obvodu platí ω L >, tg ϕ >, ωc 1 v prípade kapacitného charakteru ω L <, tg ϕ <, ωc a v stave rezonancie platí ωl= 1, U = =, tg, UR RI ϕ = obvod má ohmický ωc charakter, fázový posun medzi elektrickým prúdom a napätím je nulový a obvodom preteká maximálny elektrický prúd. 9.4 Viacfázové sústavy elektrických prúdov V elektroenergetike je výhodné využívať viacfázové sústavy elektrických napätí a prúdov. Viacfázové systémy sú také, v ktorých pôsobí viac elektromotorických napätí s rovnakou frekvenciou, ale fázovo posunutých Trojfázová sústava Trojfázové napätie a elektrický prúd pre energetickú sieť sa vyrába v tzv. alternátoroch. Trojfázový alternátor sa od jednofázového nelíši fyzikálnym princípom, ale len konštrukčne. Základom činnosti alternátora je využitie Faradayovho zákona elektromagnetickej indukcie. Tri zhodné cievky rotujú s uhlovou rýchlosťou ω okolo spoločnej osi v homogénnom magnetickom poli (obr. 9.15). ω u B t Obr Generátor trojfázového prúdu Obr Časový priebeh trojfázového napätia Rovina každej cievky zviera so zbývajúcimi uhol 1. V cievkach sa indukuje striedavé elektromotorické napätie rovnakej amplitúdy a frekvencie, fázovo posunuté o π/3. Okamžité hodnoty napätí indukovaných do cievok môžeme napísať v tvare u1 = Ucosωt u = Ucos( ωt+ π) (9.51) 3 u3 = Ucos( ωt π) 3 a ich časový priebeh je znázornený na obr Sčítaním okamžitých hodnôt dostávame u + u + u = (9.5)

136 Napätia by sme mohli odviesť šiestimi vodičmi, výhodnejšie však je použiť zapojenie cievok do hviezdy. Z uzla vychádzajúci vodič sa nazýva nulový a býva uzemnený. Vodiče pripojené ku koncom cievok sú fázové vodiče, napätia merané voči nulovému vodiču sú fázové napätia. Vektorový diagram fázových napätí je na obr Ak je generátor symetricky zaťažený, teda k cievkam sú pripojené spotrebiče s rovnakou impedanciou, potom tečú každou záťažou elektrické prúdy rovnakej amplitúdy, fázovo posunuté o 1. Pre okamžité hodnoty elektrických prúdov môžeme U 1 a) U 3 U π/3 i 1 Z Z U 1 Obr Vektorový diagram trojfázového napätia Z písať i1+ i + i3 =, (9.53) pričom platí: i1 = Icos( ωt ϕ) i = Icos( ωt+ π ϕ) (9.54) 3 i3 = Icos( ωt π ϕ). 3 i 1 i = Z Z Z i i 3 i i 3 b) i 1 i 1 i 3 1 i 31 3 i i 3 Obr Zapojenie spotrebiča k fázovej sieti: a) do hviezdy, b) do trojuholníka Spojením jedných koncov všetkých troch cievok generátora a odpovedajúcich svoriek spotrebičov nahrádzame tri vodiče jediným nulovým vodičom. Pri symetrickom spotrebiči netečie nulovým vodičom žiaden elektrický prúd a nulový vodič sa môže vynechať. Pri nesymetrickej záťaži tečie týmto vodičom vyrovnávací elektrický prúd. Trojfázové vedenie umožňuje zapojenie symetrických spotrebičov (napr. trojfázové elektromotory) ku generátoru dvomi spôsobmi do hviezdy a do trojuholníka. Schematické znázornenie zapojenia spotrebiča k fázovej sieti do hviezdy a do trojuholníka je na obr a), b). Napätie medzi ktorýmikoľvek dvoma fázami sa nazýva združené napätie. 136

137 U 1 Pre amplitúdu združeného napätia U s = U 1 dostaneme pomocou kosínusovej vety (obr. 9.19) 1 Us = Uf + Uf Uf cos1 = Uf (1 + ) = 3 Uf, (9.55) U = 3 U, resp. U = 3 U. s f sef fef U f Vidíme, že amplitúda združeného napätia je 3 krát väčšia ako amplitúda fázového napätia. To isté platí pre efektívne hodnoty. Na každom spotrebiči je fázové napätie a elektrický prúd cez spotrebič je fázový prúd. V spotrebiteľskej sieti je efektívna hodnota fázového Obr Fázové a združené napätie napätia spravidla 3 V (napätie medzi nulovým vodičom a niektorou fázou) a používa sa napr. k osvetleniu. Efektívne napätie medzi dvomi fázami, teda združené napätie, je potom V a využíva sa pre pohon motorov. Pri zapojení do hviezdy máme v sieti k dispozícii fázové napätia 3 x 3 V a združené napätia 3 x 4 V. Pri zapojení spotrebiča k fázovej sieti do trojuholníka je na každom spotrebiči združené napätie, pretože ide o napätie medzi dvomi fázovými vodičmi. Elektrické prúdy cez spotrebiče sú rovnakej amplitúdy fázovo posunuté o 1. Súvisia s elektrickými prúdmi vo fázových vodičoch ako to vidíme v obr b) i = i i, i = i i, i = i i. (9.56) U π/3 U s U 3 U Súvis medzi amplitúdami, resp. efektívnymi hodnotami elektrických prúdov môžeme vyjadriť z vektorového diagramu (obr. 9.): (I sp =I 1 = I 3 =I 31 ) I 1 I 3 π/3 I 1 I 31 1 I1 = Isp + Isp Isp cos 1 = Isp(1 + ) = 3Isp (9.57) Výkon pri zapojení do trojuholníka je trikrát väčší ako pri zapojení do hviezdy. Elektrické prúdy vo fázových vodičoch sú rôzne pri zapojení do trojuholníka a do hviezdy, pri zapojení do hviezdy je elektrický prúd trikrát menší. Pri rozbiehaní elektromotorov využívame preto pripojenie do hviezdy, sieť je menej zaťažená, zatiaľ čo v pracovnom režime sa prepoja do trojuholníka na plný výkon. Obr. 9. Elektrické prúdy pri zapojení do trojuholníka 9.4. Točivé magnetické pole Trojfázová sústava striedavých elektrických prúdov umožňuje vytvoriť točivé magnetické pole. Každú z troch fáz trojfázovej sústavy striedavých elektrických prúdov budeme viesť do jednej z troch cievok umiestnených tak, že ich osi zvierajú uhol 1 (obr. 9.1). Tým sa vytvoria tri magnetické polia, pričom magnetická indukcia každého poľa je v ľubovoľnom okamihu priamo úmerná elektrickým prúdom, ktoré pretekajú cievkami. Pretože sa hodnoty elektrických prúdov menia periodicky, aj hodnoty 137 B 3x B x B 3 B y B 3x B 1 Obr. 9.1 Vznik točivého magnetického poľa x

138 magnetickej indukcie sa budú periodicky meniť podľa vzťahov B1 = Bcosωt π B = Bcos( ωt+ ) 3 π B3 = Bcos( ωt ), 3 pričom pre súčet vektorov platí B1+ B + B 3 =. Rozložme vektory do zložiek, potom musí platiť v smere osi x a osi y (9.58) (9.59) π π Bx = B1 Bcos B3cos = 3 3 π π π π π 3 = B cosωt cos cosωtcos sinωtsin + cosωtcos + sinωtsin = B cos ωt, π π By = Bcos + B3cos = 6 6 π π π π π 3 = B cos cosωtcos + sinωtsin cosωtcos + sinωtsin = B sin ωt (9.6) Vidíme, že zložky B x, B y sú priemetmi vektora y 3/B do súradnicových osí x, y. Vektor indukcie výsledného magnetického poľa všetkých troch cievok má ω konštantnú veľkosť nezávislú od času, ale jeho smer sa s 3 časom periodicky mení. Magnetické pole sa rovnomerne B otáča s uhlovou rýchlosťou ω, rovnakou ako je uhlová frekvencia striedavého elektrického prúdu (obr. 9.). Ak ωt vložíme do priestoru točivého magnetického poľa x permanentný magnet, bude sledovať výsledné magnetické pole, teda sa bude otáčať zhodne s vektorom výslednej Obr. 9. Točivé magnetické magnetickej indukcie. Ide o princíp činnosti synchrónneho pole motora. V prípade, keď permanentný magnet synchrónneho motora nahradíme vodivou uzavretou slučkou - kotvou, ktorá sa otáča okolo osi kolmej na pole, dostaneme asynchrónny motor. Točivé magnetické pole indukuje v kotve elektrický indukovaný prúd, ktorého smer je podľa Lenzovho pravidla taký, že pôsobí proti zmene, ktorá ho vyvolala. Indukovaný elektrický prúd v kotve sa snaží odstrániť relatívnu rotáciu poľa a slučky. Magnetické pole pôsobí na kotvu otáčavým momentom a ten ju strháva do rotácie s poľom. Ak by neexistovalo trenie v ložiskách, nakoniec by sa otáčala synchrónne s poľom a žiadne elektrické prúdy by sa v nej neindukovali a aj otáčavý moment by bol nulový. Ak takýto motor mechanicky zaťažíme, poklesne frekvencia otáčok kotvy. Kotva sa potom otáča asynchrónne s poľom (uhlová rýchlosť kotvy ω k < ω). Na tomto princípe pracujú asynchrónne trojfázové elektromotory. Charakteristickou veličinou stroja pri danom výkone je tzv. sklz, ω ωk definovaný vzťahom s =, ktorý sa obyčajne vyjadruje v percentách. ω 138

139 1 Elektromagnetické vlnenie Veľkým úspechom Maxwellovej teórie elektromagnetizmu bolo, že z nej vyplynula existencia vĺn elektrického a magnetického poľa - elektromagnetických vĺn. Z teórie vyplývalo, že elektromagnetické vlny budú mať rovnaké vlnové vlastnosti ako svetlo a rýchlosť elektromagnetických vĺn sa bude rovnať rýchlosti svetla. Maxwell tak ukázal, že svetlo je elektromagnetické vlnenie. Dnes vieme, že viditeľné svetlo tvorí iba veľmi úzku oblasť spektra elektromagnetického vlnenia. Pre rôzne oblasti spektra elektromagnetických vĺn používame špecifické názvy ako napr. rádiové vlny, mikrovlny, infračervené žiarenie, viditeľné svetlo, röntgenove žiarenie, gama žiarenie. Podrobnejšia informácia o vlnových dĺžkach, frekvenciách spektra elektromagnetického vlnenia je uvedená na obr Obr. 1.1 Spektrum elektromagnetického vlnenia Prvý, kto dokázal generovať elektromagnetické vlny v rádiofrekvenčnej oblasti bol H. Hertz ( ) v roku Hertz ukázal, že elektricky generovaná elektromagnetická vlna môže prenášať energiu, že elektromagnetickú vlnu je možné polarizovať, že rovnako ako svetlo je priečnym vlnením a zákon lomu svetla na rozhraní prostredí platí aj pre elektromagnetickú vlnu. Elektromagnetická vlna vzniká rôznymi spôsobmi: V mikroskopických objektoch - atómoch a molekulách, riadiacich sa zákonmi kvantovej mechaniky, je elektromagnetická vlna vyžiarená napríklad pri prechode elektrónu z vyššej energetickej hladiny na nižšiu. Všeobecne môžeme povedať, že k emisii elektromagnetického vlnenia v takýchto sústavách dochádza pri prechodoch medzi jednotlivými energetickými hladinami. Nemusia to byť len prechody elektrónové. Môžu to 139

140 byť aj prechody medzi rôznymi vibračnými a rotačnými stavmi molekúl (infračervené molekulové spektrum). V makroskopických sústavách zdrojom elektromagnetického vlnenia je elektrický náboj pohybujúci sa so zrýchlením. Zdrojom elektrických kmitov môže byť napríklad oscilačný RLC obvod spojený kapacitne, alebo indukčne s anténou tvorenou dvomi vodičmi. Schéma takéhoto zariadenia je na obr. 1.. Generátor kmitov Anténa Indukčná väzba Obr. 1. Schéma zariadenia na generovanie elmagnetického vlnenia. V oscilačnom obvode vzniká meniaci sa elektrický prúd. V anténe vytvára elektrické kmity rovnakej frekvencie a anténa tak predstavuje oscilujúci elektrický dipól. Meniace sa elektrické pole vyvoláva vznik magnetického poľa a meniace sa magnetické pole zas, podľa Maxwellových rovníc, indukuje elektrické pole. Meniace sa elektrické a magnetické pole spolu vytvárajú elektromagnetickú vlnu šíriacu sa vo vákuu od antény rýchlosťou svetla. Dostatočne ďaleko od antény elektromagnetickú vlnu môžeme považovať za rovinnú vlnu. Elektrickým a magnetickým poľom rovinnej elektromagnetickej vlny sa budeme podrobnejšie zaoberať v nasledovných častiach. 1.1 Kvalitatívny popis rovinnej elektromagnetickej vlny šíriacej sa vo vákuu Ak fyzikálna veličina, ktorej zmena sa vlnením šíri, má rovnakú hodnotu vo všetkých bodoch roviny kolmej na smer šírenia, vlna je rovinná. Predstavu rovinnej vlny môžeme použiť, ak vzdialenosť od zdroja vlnenia je veľmi veľká. Postupné elektromagnetické vlnenie má takéto kvalitatívne charakteristiky: 1. Elektromagnetické vlnenie je vlnenie priečne. Vektory elektrickej intenzity E a magnetickej indukcie B sú kolmé na smer šírenia vlnenia.. Vektory elektrickej intenzity E a magnetickej indukcie B elektromagnetickej vlny sú na seba kolmé. 3. Vektorový súčin E B udáva smer šírenia elektromagnetickej vlny a tiež smer šírenia energie elektromagnetického vlnenia. 4. V harmonickej elektromagnetickej vlne majú vektory E a B rovnakú fázu a frekvenciu. Vektory elektrickej intenzity a magnetickej indukcie pre rovinnú vlnu šíriacu sa v smere osi x sú pre určitý časový moment zobrazené na obr

141 Obr. 1.3 Elektromagnetická vlna Nech elektrické pole elektromagnetickej vlny sa periodicky mení v rovine xy a magnetické pole v rovine xz. Šíriacu sa zmenu elektrického a magnetického poľa môžeme vyjadriť vlnovými funkciami: Ey = E cos( ωt kx), (1.1) Bz = B cos( ωt kx) π kde k = je vlnové číslo a λ = ct je vlnová dĺžka. Vlnové funkcie pre elektrickú intenzitu λ a magnetickú indukciu sú riešeniami vlnových rovníc pre elektrickú a magnetickú zložku elektromagnetickej vlny Ey 1 Ey = (1.) x c t Bz 1 Bz = (1.3) x c t Uvedené vlnové rovnice sa dajú získať z Maxwellových rovníc pre vákuum, vyjadrených v diferenciálnom tvare, ak použijeme matematický aparát vektorovej analýzy. (Pozri dodatok). Pomocou tohoto matematického nástroja sa dajú relatívne jednoducho ukázať aj spomínané dôležité kvalitatívne vlastnosti elektromagnetického vlnenia. Aktívnejšieho čitateľa preto odkazujeme na nasledovnú časť 1.3. Rýchlosť elektromagnetickej vlny vo vákuu je rýchlosť svetla a je presne c = ms -1. Pozoruhodné na rýchlosti svetla je, že nezávisí na pohybe pozorovateľa ani na pohybe zdroja. Konštantnosť rýchlosti svetla vo vákuu a teda elektromagnetického vlnenia, je jeden zo základných postulátov Einsteinovej špeciálnej teórie relativity. Rýchlosť svetla súvisí s elektrickou permitivitou a magnetickou permeablitou vzťahom 1 c =. (1.4) ε μ V materiálovom prostredí pre rýchlosť elektromagnetickej vlny platí 1 c v = =. (1.5) ε εμμ εμ r r r r V dielektrických materiáloch je μr 1 a rôzne rýchlosti svetla v dielektrikách sú spôsobené prakticky iba rôznou relatívnou permitivitou ε r. V harmonickej elektromagnetickej vlne pre podiel amplitúd a tiež aj okamžitých veľkostí elektrickej intenzity a magnetickej indukcie platí 141

142 E E = = c. (1.6) B B Energiu prenášanú elektromagnetickou vlnou jednotkou plochy kolmej na smer šírenia vlnenia za jednotku času vyjadruje Poyntingov vektor S p. 1 Sp = E H = E B [ S ] = Wm. (1.7) μ V elektromagnetickej vlne sú vektory E a B vždy na seba kolmé a pre pomer ich veľkostí platí (1.6). Veľkosť Poyntingovho vektora sa potom rovná S = EH = 1 1 p μ EB= cμ E, (1.8) kde E, resp. B sú veľkosti elektrickej intenzity, resp. magnetickej indukcie elektromagnetickej vlny. Veľkosť Poyntingovho vektora vyjadrená rovnicou (1.8) sa rovná energii, ktorú elektromagnetické vlnenie prenáša za jednotku času jednotkou plochy kolmej na smer šírenia elektromagnetického vlnenia. V harmonickej vlne sa veľkosť intenzity E aj indukcie B periodicky mení. Stredná hodnota S p sa volá intenzita elektromagnetickej vlny. Nech vlnová funkcia pre intenzitu elektrického poľa je E = E cos ( ωt kx ). Ak uvážime, že pre strednú hodnotu platí T 1 1 cos ( ωt kx) = cos ( ωt kx) dt T =, (1.9) potom pre intenzitu elektromagnetickej vlny dostávame I = S = 1 1 p cos ( ) c E ω μ t kx = cμ E, (1.1) alebo alternatívne 1 1 cb I = S = p cε E = EB μ = μ (1.11) V častiach (3.8) a (7.5) sme získali výrazy pre hustotu energie elektrického a magnetického poľa vo vákuu 1 1 we = ε E ; wm = B. μ Ak využijeme vzťah (1.6) vyjadrujúci pomer medzi elektrickou intenzitou a magnetickou indukciou v elektromagnetickej vlne tak vidíme, že we = εe = εc B = ε B = B = wm. εμ μ Hustota energie elektrického poľa a hustota energie magnetického poľa elektromagnetickej vlny je presne rovnaká. 1. Tlak elektromagnetického vlnenia Maxwell ukázal, že ak teleso absorbuje energiu elektromagnetickej vlny, tak súčasne získa hybnosť, ktorú má elektromagnetická vlna. Ak absorbovaná energia je E potom pri Ea úplnej absorbcii sa telesu odovzdá hybnosť p =. Ak nastáva na telese úplný odraz c elektromagnetického vlnenia tak odovzdaná hybnosť bude dvojnásobná. a 14

143 Podľa II. Newtonovho zákona zmena hybnosti Δ p = FΔ t. Na teleso, ktoré absorbuje, alebo odrazí elektromagnetické vlnenie bude preto elektromagnetické vlnenie pôsobiť silou. Nech elektromagnetické vlnenie intenzity I dopadá kolmo na plochu Δ S. Energia absorbovaná za čas Δ t bude E = IΔSΔ t. Teleso získa hybnosť a I ΔSΔt Δ p =. (1.1) c Podľa Newtonovho zákona na teleso bude pôsobiť sila Δp IΔSΔt IΔS F = = =. (1.13) Δt cδt c Tlak je definovaný ako sila pôsobiaca na jednotku plochy. Pre tlak elektromagnetického vlnenia - radiačný tlak, alebo tiež tlak žiarenia, pri úplnej absorpcii elektromagnetickej vlny dostávame I p r =. (1.14) c Pri úplnom odraze bude tlak elektromagnetického žiarenia dvojnásobný I p r =. (1.15) c Tlak svetla pri bežných intenzitách je príliš malý. V špeciálnych experimentoch je možné vytvoriť vysoké tlaky žiarenia pomocou laserov s extrémne veľkými výkonmi. Laserovými impulzami elektromagnetického žiarenia nasmerovanými zo všetkých strán do určitého bodu možno vytvoriť podmienky až na hranici vzniku termonukleárnej reakcie. Krásnym prejavom tlaku svetla na nočnej oblohe je odklon chvosta kométy od Slnka. 1.3 Odvodenie vlastností elektromagnetickej vlny z Maxwellových rovníc* Vyjadrime v diferenciálnom tvare Maxwellove rovnice pre vákuum. Pre vákuum platí ε r = μr = 1, ρ=, J = a sústava Maxwellových rovníc bude mať tvar B rote = t E rotb = με (1.16a-d) t dive = divb = Urobme rotáciu prvej rovnice. Pri jej úprave využijeme vzťah z vektorovej analýzy rot( rot a) = grad div a a (1.17) a skutočnosť, že vo vákuu platí div E =. Dostávame =εμ E E (1.18) t Po formálnej matematickej stránke je táto rovnica totožná s vlnovou rovnicou, s ktorou sme sa oboznámili v mechanike 143

144 = 1 u u v t. Rovnica (1.18) je vlnová rovnica pre vektorovú funkciu E(x,y,z,t) a vyjadruje zmeny elektromagnetického poľa v šíriacej sa elektromagnetickej vlne. Podstatný rozdiel s mechanikou je ten, že v tomto prípade sa nejedná o výchylku prostredia, alebo zmenu hustoty, ale ide o zmenu intenzity elektrického poľa šíriaceho sa vo vákuu. Porovnaním s vlnovou rovnicou v mechanike vidíme, že rýchlosť šírenia elektromagnetického vlnenia je 1 1 = εμ c =. c ε μ Z Maxwellových rovníc sme zistili akou rýchlosťou sa bude pohybovať elektromagnetická vlna. Ak urobíme rotáciu druhej rovnice (1.16b) dostaneme vlnovú rovnicu pre vektor indukcie =εμ B B. (1.19) t Ukážme si teraz, že elektromagnetické vlnenie je vlnenie priečne. Kvôli jednoduchosti predpokladajme, že vlna je rovinná a šíri sa v smere osi x. Vlnová funkcia takejto vlny bude x E( xt, ) = E ( t ). (1.) c Rovinná vlna šíriaca sa v smere osi x nemôže závisieť na súradniciach y ani z. Pre tento špeciálny prípad nám preto z operátora nabla postačuje iba časť závislá na súradnici x a použijeme operátor = i. Maxwellova rovnica (1.16a) vyjadruje súvis medzi rotáciou x vektora elektrickej intenzity a časovou zmenou vektora magnetickej indukcie. Urobme teda rotáciu vlnovej funkcie (1.) a dosaďme do (1.16a). Pre rotáciu E dostávame x x E t t x 1 c 1 i E c rot E= E= i E t = = i. (1.1) x c c t c t Porovnaním rovníc (1.16a) a (1.1) dostávame 1 ( i E) B =. (1.) c t t Po integrácii podľa času dostávame vzťah medzi vlnovými funkciami pre E a B i E=cB. (1.3) Vychádzali sme z predpokladu rovinnej vlny šíriacej sa v smere osi x, teda v smere jednotkového vektora i. Zo vzťahu (1.3) vidíme dôležitú vlastnosť elektromagnetickej vlny a to, že vektory E a B sú na seba kolmé a kolmé sú aj na smer šírenia vlnenia. Dokázali sme tak v predchádzajúcej časti uvedené kvalitatívne charakteristiky elektromagnetickej vlny. Získali sme aj kvantitatívnu charakteristiku a to pomer medzi veľkosťami elektrickej E intenzity a magnetickej indukcie = c, (rovnica (1.6)). B 144

145 Ukážme si teraz ako z Maxwellových rovníc môžeme vyjadriť energiu prenášanú elektromagnetickou vlnou. Môže nás k tomu priviesť hustota energie elektrického a magnetického poľa. Hustotu energie získame ak Maxwellove rovnicu (1.16a) a upravenú rovnicu (1.16b) vynásobíme skalárne vektormi H a E. Dostávame B 1 H. rote = H = μh (1.4a) t t E 1 E. roth = εe = εe (1.4b) t t Na pravej strane týchto rovníc sme dostali časovú zmenu hustoty energie magnetického poľa a hustoty elektrického poľa. Rovnice odčítame a použijeme vzťah A.rotB B.rotA = - div (A B). Po úprave dostávame 1 1 E. roth H. rot E = div( E H ) = εe + μh. (1.5) t Vektorový súčin E H je Poyntingov vektor S p a platí div S ε E μ H p = + t. (1.6) Fyzikálne veľmi názorný je integrálny tvar tejto rovnice εe μh div S p dτ = + dτ t. (1.7) τ τ Na úpravu ľavej strany použijeme Gaussovu vetu vektorovej analýzy a dostávame d εe μh S. S d p = + τ t τ, (1.8) kde symbol ds označuje element plochy. Ak súčet hustoty energie elektrického a magnetického poľa nazveme hustota elektromagnetickej energie potom rovnicu (1.8) môžeme fyzikálne prečítať" nasledovne: časový úbytok elektromagnetickej energie v určitom objeme sa rovná výtoku elektromagnetickej energie plochou obklopujúcou tento objem. Energia sa šíri v smere vektora S p teda kolmo na intenzitu elektrického poľa aj indukciu magnetického poľa. 1.4 Polarizácia elektromagnetického vlnenia Vlastnosťou priečneho vlnenia je, že priečne vlnenie je možné polarizovať. Rovinná elektromagnetická vlna je lineárne polarizovaná, ak kmity vektora intenzity elektrického poľa sú v rovine určenej smerom šírenia vlnenia a smerom polarizácie. Túto rovinu voláme rovina kmitov. Na obr. 1.4a,b je v dvoch pohľadoch zobrazená lineárne polarizovaná elektromagnetická vlna, ktorej rovina kmitov je rovina xy. Zobrazenie na obr. 1.4b je pohľad z hľadiska pozorovateľa, ku ktorému elektromagnetická vlna prichádza. 145

146 y E y z x z E B (a) (b) Obr. 1.4 Lineárne polarizovaná elektromagentická vlna Pre optické javy, videnie a interakciu elektromagnetického vlnenia s prostredím vôbec, je najvýznamnejšie elektrické pole a vektor E. Pod rovinou kmitov elektromagnetického vlnenia preto rozumieme rovinu určenú vektorom E a smerom šírenia vlnenia. Ak koncový bod vektora E opisuje v šíriacej sa vlne kružnicu, alebo elipsu, hovoríme, že vlnenie je kruhovo, resp. elipticky polarizované. Kruhovo polarizované vlnenie je vytvorené superpozíciou dvoch lineárne polarizovaných kolmých rovinných vlnení rovnakej amplitúdy, fázovo posunutých o π/ (obr. 1.5). Smer šírenia vlny Smer šírenia vlny y 9 x z Obr. 1.5 Kruhovopolarizované elektromagnetické vlnenie Obr.1.6 Skladanie dvoch lineárne polarizovaných vlnení vertikálnej rovine. Ak amplitúdy nie sú rovnaké, vznikne vlnenie elipticky polarizované. Kruhovo, resp. elipticky polarizované vlnenie získame pomocou polopriepustného zrkadla, na ktoré dopadajú dve navzájom kolmé lineárne polarizované vlnenia (obr. 1.6). Elektromagnetické vlnenie od bežných zdrojov, napr. svetlo žiarovky, slnka, plameňa, nie je polarizované. Vektor E je v každom mieste kolmý na smer šírenia elektromagnetického vlnenia, ale je orientovaný náhodne. Veľký význam má polarizácia elektromagnetického vlnenia v optickej oblasti. Polarizovane je vysielaný napr. tiež televízny signál rôznych vysielačov, a to v horizontálnej, alebo vo 146

147 Lineárne polarizovanú vlnu môžeme získať polarizáciou a to odrazom a lomom, dvojlomom, alebo polarizačnými filtrami-polaroidmi. Pri odraze je odrazený lúč úplne polarizovaný a vektor intenzity elektrického poľa kmitá v rovine kolmej na rovinu dopadu, ak uhol medzi lomeným a odrazeným lúčom je π (obr. 1.7). Pre uhol dopadu zo Snellovho N zákona potom platí tgα =, kde N i sú absolutné indexy lomu (Pozri Fyzika I, časť 3..6). N1 Pri polarizácii dvojlomom sa využíva rôzny index lomu anizotropických kryštálov pre svetlo polarizované v rôznych smeroch. Vhodnou úpravou tvaru lámavého hranola dosiahneme, že kryštálom prejde iba lineárne polarizované svetlo. Významné praktické využitie majú polaroidy. Polaroidy sú fólie zo špeciálneho plastu zloženého z dlhých orientovaných molekúl. Ak na orientované makromolekuly dopadá elektromagnetická vlna, potom sa v polarizátore absorbuje tá časť elektromagnetických vĺn, v ktorých vektor intenzity elektrického poľa kmitá v smere molekulového reťazca. Elektromagnetické vlny, v ktorých vektor elektrickej intenzity kmitá v rovine kolmej na molekulový reťazec, polaroidom prechádzajú. Tento smer označíme ako smer polarizácie. ^ Brewsterov uhol α β α 9 ^ ^ % Brewsterov uhol Uhol α ^ Obr. 1.7 Polarizácia odrazom Zamerajme sa teraz na intenzitu prejdeného elektromagnetického vlnenia. Nech na y polaroid dopadá nepolarizované elektromagnetické vlnenie. Všetky chaoticky orientované vektory E y E elektrickej intenzity dopadajúceho vlnenia môžeme rozdeliť na dve navzájom kolmé zložky, a to v smere ϕ polarizácie a v smere kolmom. Polarizátorom prejde z nich iba jedna zložka a intenzita prejdeného svetla je E z z 1 I = I Nech polarizátor je orientovaný tak, že ním prechádza elektromagnetické vlnenie, ktorého vektor elektrickej intenzity kmitá v smere osi y. Smer osi y je smer polarizácie polaroidu. Ak na takýto polarizátor dopadá lineárne polarizované vlnenie a to tak, že Obr.1.8. Prechod lineárne rovina kmitov zviera so smerom polarizácie polaroidu polarizovaného vlnenia polaroidom určitý uhol ϕ (obr. 1.8), potom vektor elektrickej intenzity dopadajúceho vlnenia môžeme podľa obr. 1.8 rozložiť na zložku rovnobežnú so 147

148 smerom polarizácie a zložku na tento smer kolmú. Polaroidom prejde iba zložka rovnobežná so smerom polarizácie, pre ktorú platí Ey = Ecosϕ. Intenzita prejdeného vlnenia je úmerná druhej mocnine amplitúdy elektrickej intenzity a pre intenzitu vlnenia prejdeného polarizátorom v tomto prípade dostávame I= I cos ϕ. Praktické využitie má polarizácia v chemickej analýze. Niektoré molekuly stáčajú rovinu polarizovaného svetla. Látky, ktoré stáčajú rovinu polarizovaného svetla, sa volajú opticky aktívne. Uhol otočenia je úmerný koncentrácii opticky aktívnej zlúčeniny v roztoku, ktorým polarizované svetlo prechádza. Polarimetria sa používa napríklad v rôznych odboroch potravinárskeho priemyslu na stanovenie cukrov, laktózy, glukózy, škrobu, atď.. V bežnom živote sú používané polarizačné okuliare, ktoré zmenšujú intenzitu svetla odrazeného od mokrej vozovky (je odrazom čiastočne polarizované) a znižujú tak osvetlenie od protiidúcich vozidiel. 148

149 11 Atómové jadro 11.1 Objav a zloženie jadra Na začiatku st. vznikali prvé predstavy o zložení atómu. Keďže atóm sa prejavoval ako elektricky neutrálny, prvá hypotéza zloženia atómu vychádzala z rovnováhy kladného a záporného náboja, rovnomerne rozloženého v atóme (Thomsonov model). Táto hypotéza atómu zloženého z elektrónov v spojitom kladnom prostredí bola čoskoro prekonaná na základe experimentov. V r navrhol Ernest Rutherford model atómu, pozostávajúci z jadra atómu, obsahujúceho kladný náboj a takmer celú hmotnosť atómu a z tzv. elektrónového obalu atómu. Existencia jadra atómu bola experimentálne dokázaná spolupracovníkmi Rutherforda Hansom Geigerom a Ernestom Marsdenom. Ide o historicky známy pokus s ostreľovaním zlatej tenkej fólie produktami samovoľnej premeny radónu. Pozorovalo sa, že tieto ostreľujúce častice (dnes nazývané α-častice, ktoré sú vlastne jadrá héliových atómov nesúce kladný náboj +e) sa rozptyľujú od fólie o rôzne uhly, dokonca aj o uhol 18. Na odchýlenie α-častice do spätného smeru musela α-častica naraziť na kladný náboj atómu Au sústredený v hmotnom bodovom jadre. K ďalšej predstave o zložení jadra prispeli objavy protónu (v r prvá jadrová reakcia uskutočnená Rutherfordom), a neutrónu (v r. 193 Chadwickom). Podľa tejto protónovo-neutrónovej hypotézy sa jadro skladá z protónov a neutrónov. Protón je kladne nabitá častica, veľkosť jej náboja je e = 1, C, pokojová hmotnosť protónu je m p = 1, kg (ide o jadro atómu vodíka). Celkový počet protónov v jadre sa nazýva atómové (tiež protónové) číslo Z, ktoré v neutrálnom atóme súčasne udáva aj počet elektrónov v elektrónovom obale atómu a určuje aj poradie prvku v Mendelejevovej periodickej tabuľke. Pomocou atómového čísla môžeme vyjadriť aj celkový elektrický náboj jadra Q = Z e. Neutrón je elektricky neutrálna častica s približne rovnakou hmotnosťou ako protón m n = 1, kg. Celkový počet neutrónov v jadre udáva neutrónové číslo N. Neutróny a protóny nazývame spoločným názvom nukleóny. Hmotnostné (tiež nukleónové) číslo A vyjadruje celkový počet nukleónov v jadre, platí: A = Z + N. A Symbolicky môžeme potom každé jadro - nuklid X - zapísať v tvare: Z X. Nuklidy s rovnakým atómovým číslom Z, ale rôznym hmotnostným číslom A, sa líšia počtom neutrónov a nazývajú sa izotopy. Nuklidy s rovnakým A a rôznym Z sú izobary a nuklidy s rovnakým počtom neutrónov N a rôznym počtom protónov Z sú izotony. Rutherfordovu jadrovú reakciu (ostreľovanie jadier dusíka α-časticami, vznik jadier kyslíka a vodíka), pri ktorej došlo k objavu protónu, môžeme potom zapísať v tvare N + He 8O + 1H, resp. 7N( α,p) 8O (11.1) Jadrová reakcia Chadwickovho objavu neutrónu v symbolickom zápise je * Be + He 6C 6C + n, resp. 4Be( α, n) 6C. (11.) V periodickej tabuľke prvkov sú izotopy toho istého prvku umiestnené na rovnakom mieste, danom atómovým číslom Z a majú rovnaké chemické vlastnosti. Jadrové vlastnosti rôznych izotopov toho istého prvku sú ale veľmi rozdielne. Niektoré izotopy sú stabilné, iné sú nestabilné, tzv. rádioaktívne, ktoré sa časom menia. Pri takejto premene je emitovaná nejaká častica a pôvodný rádionuklid sa mení na iný nuklid. Nuklidy môžeme klasifikovať pomocou nuklidového diagramu (Segrého diagram), tj. závislosti Z(N), kde sa dajú vyznačiť stabilné nuklidy a rádionuklidy. Ľahké stabilné nuklidy sa nachádzajú blízko priamky Z = N, s rastúcou hmotnosťou nuklidov vzrastá nadbytok neutrónov. Pre Z > 83 už neexistujú stabilné nuklidy. 149

150 11. Polomer a hmotnosť jadra Atómové jadro nie je tuhé teleso s presne definovaným tvarom. Na získanie poznatkov o štruktúre a veľkosti nuklidov sa využívajú rôzne experimentálne metódy (napr. štúdium rozptylu α-častíc, protónov alebo rýchlych neutrónov na jadrách, ostreľovanie jadra vysokoenergetickými elektrónmi). V prvom priblížení si predstavujeme nuklidy ako guľové objekty, pričom pre efektívny polomer nuklidu platí 13 R = R A, (11.3) kde z jednotlivých experimentov dostávame hodnotu R (1,1 1,5) 1 15 m, (môžeme používať podielovú jednotku femtometer: 1 fm = 1 15 m). Objem nuklidu V je úmerný celkovému počtu nukleónov V R 3 A a nezávisí od jednotlivých počtov protónov Z a neutrónov N. V atómovej a jadrovej fyzike môžeme vyjadrovať hmotnosť pomocou atómovej hmotnostnej jednotky. Atómová hmotnostná jednotka je definovaná ako 1/1 pokojovej hmotnosti atómu izotopu 1 C, a platí: 1 u 1, kg. Hmotnostné číslo nuklidu A vyjadruje hmotnosť nuklidu v jednotkách atómovej hmotnosti, zaokrúhlenú na celé číslo (napr. atómová hmotnosť 8 Pb je 7,9767 u 8 u). Príklad 11.1 Prvé experimenty, ktoré dokázali, že atómy sa skladajú z atómových jadier, boli štúdie rozptylu α častíc na atómoch. Nech jadrá atómov medi sú ostreľované časticami α. Vypočítajte najmenšiu vzdialenosť (vzhľadom k stredu jadra), do ktorej sa dostane α - častica s energiou 5,3 MeV pri čelnej zrážke. Riešenie: Riešenie vychádza zo zákona zachovania energie. Na začiatku ostreľovania je celková energia rovná kinetickej energii α - častice E k, = 5,3 MeV, E p, =. Pri približovaní sa k jadru medi postupne klesá kinetická energia α - častice a mení sa na elektrickú potenciálnu energiu α - častice v elektrickom poli jadra Cu. V mieste x, kde sa α - častica zastaví (E k (x) = ) bude platiť E k, + E p, = E k (x) + E p (x), QQ 1 Ek, =, 4πε x kde Q 1 = e je náboj α - častice, Q = Z e = 9 e je náboj jadra atómu medi. Odtiaľ vyjadríme hľadanú vzdialenosť x 19 QQ 1 9 (1,6 1 ) 14 x = = = 1,58 1 m = 15,8 fm πε E 4π (8, ,3 1 1,6 1 ) k, Príklad 11. Prvé modely jadra pokladali jadrá za sférické útvary, v ktorých pre polomer jadra platí vzťah 13 R = R A. Nech experimentálna hodnota R 1, 1 15 m, hmotnosť nukleónov je približne rovnaká a rovná sa m n = 1, kg. Ukážte, že hustota jadra bude pre všetky nuklidy rovnaká a odhadnite ju! 15

151 Riešenie: Ak predpokladáme sférický tvar jadra, bude pre hustotu platiť ρ = m m 3 m, 3 V = 4 3 πr 4πR A 3 pretože pre polomer jadra platí: R R A 1/3. Pre hmotnosť nuklidu môžeme približne odhadnúť: m A m nu, kde m nu je hmotnosť nukleónu, m nu m p m n 1, kg. Potom 7 Amnu 3mp 31, ρ,3 1 kg m π RA 4 π R 4 π (1, 1 ) 3 Z výsledku vidieť, že hustota nezávisí od nukleónového čísla A a môžeme ju považovať za rovnakú pre všetky nuklidy Väzbová energia jadra a jeho stabilita Energia, potrebná na to, aby sme jadro rozložili na jednotlivé voľné nukleóny s nulovou kinetickou energiou sa nazýva väzbová energia jadra. Pri vytvorení jadier spojením nukleónov sa táto energia uvoľní. Presné merania hmotností jadier ukázali, že hmotnosť jadier je menšia ako súčet hmotností voľných nukleónov, z ktorých je jadro zložené m= Zmp + ( A Z) mn Δ m, (11.4) kde m p, m n sú hmotnosti protónu a neutrónu, Δm je hmotnostný schodok, ktorý súvisí s energiou väzby nukleónov v jadre. Hmotnosť celého atómu včítane obalových elektrónov potom je ma = ZmH + ( A Z) mn Δ m, (11.5) kde m H je hmotnosť atómu vodíka. Podľa Einsteinovho vzťahu medzi energiou a hmotnosťou väzbová energia súvisí s hmotnostným schodkom a väzbovú energiu môžeme vyjadriť vzťahom Δ E =Δ mc = [ Zm ] H + ( A Z) mn ma c (11.6) Energia odpovedajúca hmotnosti 1 u je 931,5 MeV. (V príkladoch môžeme potom výhodne použiť namiesto c ekvivalent: 931,5 MeV/u). Pre porovnanie: väzbová energia elektrónov v elektrónovom obale atómu je rádove v ev, zatiaľ čo väzbové energie jadier sú v MeV. Pri porovnávaní stability jadier je vhodné používať energiu pripadajúcu na jeden nukleón ΔE Δmc [ Zm ] H + ( A Z) mn ma c ε = = =. (11.7) A A A V závislosti ε(a) (obr.11.1) pozorujeme lokálne maximá v prípadoch, keď počet protónov alebo neutrónov sa rovná magickým číslam, 8,, 8, 5, 8, 16, 15 a takéto jadrá vykazujú výnimočnú stabilitu. Maximum hodnoty ε max = 8,5 MeV sa pozoruje pre nukleónové číslo A 5 (v okolí Fe). V oblasti A (5, 15) ostáva ε takmer konštantná, pre A > 15 hodnota ε klesá. Z uvedeného vyplýva, že sily, ktoré viažu nukleóny do jadier sa nasycujú. Z poklesu závislosti ε(a) pri veľkých hodnotách A vyplýva, že nukleóny sú 151

152 ε [MeV] Obr.11.1 Závislosť väzbovej energie pripadajúcej na jeden nukleón od nukleónového čísla A pevnejšie viazané v dvoch stredne hmotných nuklidoch ako v jednom nuklide s veľkým hmotnostným číslom. Dôsledkom toho je, že pri jadrovom štiepení týchto jadier sa uvoľní energia. Pokles krivky väzbovej energie ε pre malé A zas vypovedá o tom, že zlúčením dvoch nuklidov s malým hmotnostným číslom do stredne hmotného nuklidu sa tiež uvoľní energia ide o jadrovú syntézu, ktorá napr. prebieha vnútri Slnka a iných hviezd. Hodnoty energie jadra sú podobne ako energie atómu kvantované. Jadro sa môže nachádzať len v istých diskrétnych energetických stavoch, pri prechode jadra z vyššej na nižšiu energetickú hladinu je emitovaný fotón v oblasti γ - žiarenia elektromagnetického spektra. Príklad 11.3 Vypočítajte koľko energie je treba na oddelenie všetkých nukleónov tvoriacich jadro izotopu zlata 197 Au, ak hmotnosť neutrálneho atómu Au vyjadrená v atómových hmotnostných jednotkách je m a = 196, u. Vypočítajte väzbovú energiu pripadajúcu na jeden nukleón v tomto nuklide! Riešenie: Väzbovú energiu, teda energiu potrebnú na oddelenie všetkých nukleónov, vypočítame zo vzťahu Δ E =Δ mc = [ ZmH + ( A Z) mn ma] c, kde hmotnosti atómu vodíka a neutrónu vyjadrené v atómových hmotnostných jednotkách sú: m H = 1,785 u, m n = 1,8665 u, pre nuklid Au je atómové číslo Z = 79, a počet neutrónov je N = A Z = = 118. Po dosadení dostaneme MeV ΔE [79 1, , ,966543] u 931,5 1559, 4 MeV. u Väzbová energia na jeden nukleón je ΔE 1559, 4 MeV ε = 7,91 MeV. A 197 A 11.4 Jadrové sily a modely jadier * Sila určujúca pohyb elektrónov v atóme je nám už známa Coulombova sila. Sila udržujúca jadro musí mať iný ako elektromagnetický charakter je nezávislá od elektrického náboja, musí byť väčšia ako odpudivá elektrická sila medzi protónmi, musí byť väčšia a to z dôvodu udržania protónov a neutrónov v maličkom objeme a musí byť krátkodosahová pôsobí len vnútri jadra. Ako sme uviedli v predošlej kapitole väzbové sily sú nasýtené 15

153 pôsobia len na obmedzený počet častíc. Jadrové sily sú prejavom síl, ktoré nazývame silné interakcie. Mnohé experimentálne pozorované vlastnosti jadier vysvetľujeme pomocou rôznych modelov jadier. Pre vysvetlenie vlastností jadier hrali dôležitú úlohu najmä dva z modelov jadier. V kvapkovom modeli jadra sa nukleóny pohybujú chaoticky, silne spolu interagujú a sú v jadre usporiadané tak, že vytvárajú najtesnejšie usporiadanie. Ide o analógiu s molekulami v kvapke tekutiny a ich tepelný pohyb. V tomto modeli sa predpokladá, že vznik jadra a jeho prípadná premena na iné jadro sú navzájom úplne nezávislé javy. Pomocou tohto modelu sa vysvetľuje napr. štiepenie jadier. Hladinový model predpokladá, že každý nukleón v jadre sa nachádza v jednoznačne definovanom kvantovom stave (pomocou súboru kvantových čísel) a pohybuje sa v priemernom potenciáli jadrových síl od ostatných nukleónov. Pre nukleóny platí podobne ako pre elektróny Pauliho vylučovací princíp, teda v jednom kvantovom stave sa nemôžu súčasne nachádzať dva nukleóny. Podľa tohto modelu sa dá dobre vysvetliť existencia magických čísel. Z analógie s elektrónovým obalom najstabilnejšie sú jadrá s úplne obsadenými nukleárnymi orbitálmi. Každý nukleón má okrem orbitálneho momentu aj vnútorný moment hybnosti spin. Orbitálny a spinový moment hybnosti sa vektorovo skladajú do celkového momentu hybnosti nukleónu. Celkový moment hybnosti jadra je potom vektorovým súčtom celkových momentov hybnosti nukleónov. Spolu s vlastným mechanickým momentom majú jadrá aj vlastné magnetické momenty. Jednotkou magnetického momentu jadier je jadrový magnetón: μ 5,5 1 7 A m. Experimentálnym dôkazom existencie magnetického momentu jadier je hyperjemná štruktúra atómových spektier, ktorá vzniká interakciou magnetického momentu atómového jadra s magnetickým poľom vytvoreným elektrónmi atómového obalu Jadrové premeny a ich kinetika Základné pojmy popisu jadrových premien Rádioaktivita je jav, pri ktorom sa jadrá jedného prvku samovoľne menia na jadrá iného prvku emisiou napr. α-častíc, neutrónov, elektrónov alebo pozitrónov za súčasnej emisie γ - žiarenia - elektromagnetického žiarenia malej vlnovej dĺžky. Jadro sa pri tom stabilizuje - prechádza do stavu s minimálnou energiou. Z historického pohľadu delíme rádioaktivitu na prirodzenú a umelú. Výskumy spontánnej premeny jadier atómov zhrnula Mária Curie - Sklodowska r. 191 v Štúdii o rádioaktivite na základe experimentov s jáchymovským smolincom. Spolu s manželom Pierrom Curie zistili, že táto uránová ruda obsahuje neznámy prvok rádium, ktorý sa samovoľne premieňa na ďalšie prvky a táto premena je sprevádzaná rádioaktívnym žiarením, ktoré sa prejavuje fluorescenčnými, ionizačnými, chemickými a biologickými účinkami. Tento jav, pozorovaný u izotopov existujúcich v prírode (Z > 8), sa označuje ako prirodzená rádioaktivita. V r Irena a Joliot Curie pozorovali podobnú premenu pri umelo vytvorených, bežne v prírode sa nevyskytujúcich nestabilných izotopoch. Stabilné jadrá ostreľovali α-časticami alebo neutrónmi a tým vytvorili prebytok buď protónov, alebo neutrónov v jadre. Takto vzniknuté nestabilné jadrá sa ďalej samovoľne premieňajú - tento jav bol nazvaný umelá rádioaktivita. Podľa súčasných poznatkov neexistuje zásadný rozdiel medzi prirodzenou a umelou rádioaktivitou pretože vlastnosti izotopov nezávisia od spôsobu, akým izotop vznikol. Rádioaktívne procesy sú náhodné procesy a riadia sa štatistickými zákonmi. Nevieme povedať, v ktorom jadre nastane jadrová premena, vieme iba aká je pravdepodobnosť, že v 153

154 určitom (dostatočne veľkom) počte jadier premena nastane. Preto k popisu rádioaktívnej premeny potrebujeme zaviesť aj niektoré štatistické veličiny. Energia premeny je energia častíc emitovaných pri jadrovej premene. Aktivita A je podiel stredného počtu dn rádioaktívnych premien z daného energetického stavu v určitom množstve rádionuklidu za časový interval dt a tohto intervalu: dn A =, (11.8) dt aktivita predstavuje teda rýchlosť rádioaktívnej premeny nuklidu. Súčasne aktivita A odpovedá počtu nuklidov, ktoré sa premenia za jednu sekundu. Jednotkou aktivity je becquerel, pričom platí 1 Bq = s 1. Ak má rádioaktívna látka aktivitu 1 Bq, dochádza v nej v priemere k jednej premene za sekundu. Aktivita je charakteristikou látky, žiariča ako celku, a nie jednotlivého atómového jadra. Hmotnostná aktivita a m je podiel aktivity a celkovej hmotnosti rádioaktívnej látky, resp. pri nerovnomernom rozložení rádionuklidu v látke: d A, Bq kg 1 am =. dm (11.9) Objemová aktivita a V je podiel aktivity a celkového objemu rádioaktívnej látky, resp. pri nerovnomernom rozložení rádionuklidu v látke: d A, Bq m 3 av =. dv (11.1) Konštanta premeny λ vyjadruje pravdepodobnosť premeny rádioaktívnej látky v malom časovom intervale, delenú týmto intervalom. Konštanta premeny λ predstavuje pravdepodobnosť premeny za jednotku času: d P, s 1 λ =. dt (11.11) Stredná doba života τ je čas, za ktorý sa pôvodný počet rádioaktívnych jadier N zníži na hodnotu N /e (e- základ prirodzených logaritmov). Medzi strednou dobou života a konštantou premeny platí: 1 τ =, [] s. (11.1) λ Doba polpremeny T 1/ je priemerný časový interval potrebný na premenu polovice počiatočného množstva atómových jadier rádioaktívneho izotopu Zákonitosti rádioaktívnej premeny Počet jadier dn, ktoré sa v priebehu času dt premenia, závisí od počtu ešte nepremenených jadier N v čase t, od časového intervalu dt a od pravdepodobnosti premeny jadra λ vzťahom dn = λ Ndt. Vo formulácii tohoto vzťahu sme priamo predpokladali, že pravdepodobnosť premeny jadra vôbec nezávisí na jeho histórii. Pravdepodobnosť premeny je rovnaká bez ohľadu na to, či jadro existuje sekundu, alebo dajme tomu tisíc rokov! (Na ozrejmenie tohoto vzťahu uvedomte si napríklad, že by vôbec neplatil pre pravdepodobnosť úmrtia v skupine ľudí. Určite by závisela od ich veku!) Po separovaní premenných a integrovaní N t dn N = λdt ln = λ t N N N 154

155 sme dostali zákon premeny, udávajúci závislosť počtu ešte nepremenených rádionuklidov po uplynutí času t v tvare: e λt N = N, (11.13) kde N je počiatočný počet nuklidov nestabilného izotopu v čase t = s. Tento zákon premeny má štatistický charakter a preto platí presne len pre veľký počet jadier N. Ak vezmeme do úvahy definíciu doby polpremeny T 1/, bude mať zákon (11.13) v čase t = T 1/ tvar: N λt1/ λt1/ = N e e =, odkiaľ dostávame súvis medzi dobou polpremeny a konštantou premeny: ln λ =. (11.14) T1/ Zákon premeny môžeme potom písať v tvare: N = N ln t T1/ e. Na obr. 11. je znázornený pokles relatívneho počtu rádionuklidu (krivka a) a súčasne nárast relatívneho počtu dcérskeho nuklidu (krivka b), vznikajúceho premenou pôvodného rádionuklidu. N/N Pre aktivitu, teda rýchlosť premeny v ľubovoľnom čase t dostaneme: 1 b) dn λt λt A= = λ Ne = λn = Ae, dt,5 (11.15) kde A je rýchlosť premeny v čase t = s. a) Pre jadrové premeny platia zákony zachovania elektrického náboja a počtu 1T 1/ T 1/ 3T 1/ t nukleónov. Pre jednotlivé druhy premien majú nasledovný tvar: Obr.11. Zákon premeny N/N (t). α - premena a) pokles relatívneho počtu rádionuklidov, Pri tejto samovoľnej premene jadra sa b) nárast relatívneho počtu dcérskych nuklidov emituje α- častica, tj. jadro hélia, dcérsky nuklid má atómové číslo o jednotky a hmotnostné číslo o 4 jednotky menšie ako materský nuklid: A A ZX Z Y+ α, napr. 88Ra 86Rn + He. (11.16) β - premena β - premena je najrozšírenejší proces jadrovej premeny. Pojem β - premena zahŕňa tri možné druhy premeny, pričom pri každej z nich sa mení elektrický náboj jadra a teda atómové číslo Z o jednotku. Ide o elektrónovú β - premenu, pozitrónovú β + - premenu a K záchyt elektrónu. Symbolický zápis β - premeny má tvar: A A ZX Z+ 1Y + 1e, napr. 55Cs 56 Ba + 1e. (11.17) Pri β - premene sa z jadra emitujú elektróny (ktoré nie sú súčasťou jadra!), vznikajúce vnútri jadra tým, že sa premieňa neutrón podľa rovnice: 1 1 n 1p+ 1e + υ. (11.18) β + - premenu môžeme vyjadriť: A X A Y + e, napr Cs Ba + e. (11.19) Z Z

156 Pri pozitrónovej, β + - premene, nastáva emitovanie pozitrónu (pozitrón je antičastica k elektrónu, má rovnakú hmotnosť ale kladný náboj), ktorý vzniká v jadre v dôsledku premeny protónu podľa vzťahu: 1 1 p n+ e + υ. (11.) Symboly ΰ a ν v rovniciach (11.18) a (11.) označujú antineutríno a neutríno subnukleárne častice s takmer nulovou hmotnosťou, odnášajúce časť energie, uvoľnenej pri premene jadra. Záchyt orbitálneho elektrónu nastáva, keď jadro obsahuje o jeden protón viac ako pripúšťa jeho stabilita, zachytí jeden orbitálny elektrón. Najčastejšie ide o K-záchyt, pretože pravdepodobnosť záchytu elektrónu je úmerná pravdepodobnosti, s ktorou sa nachádza elektrón v blízkosti jadra. Protón v jadre sa premení na neutrón a uvoľní sa neutríno, uvoľnené miesto elektrónu sa zaplní elektrónom z vyššej hladiny a prebytok energie sa vyžiari vo forme fotónu. Schéma orbitálneho záchytu: A A X + e Y, napr. Cd + e Ag. (11.1) Z 1 Z p+ e n + υ. (11.) Pri β premenách sú kinetické energie medzi elektrónom a antineutrínom rozdeľované náhodne, preto energetické spektrum β premien je spojité. Kinetické energie elektrónu sú rádove kev až 16,6 MeV. Pri α - premene sa neuvoľňuje ďalšia častica, kinetická energia α - častice môže mať len diskrétne hodnoty, preto energetické spektrum α - premeny je čiarové (obr. 11.3). Diskrétnosť energií α častíc je prejavom kvantovania energetických stavov jadra. N N a) b) E E Obr Energetické spektrá ionizujúceho žiarenia: a) spojité pri β premene, b) čiarové pri α premene N -počet emitovaných častíc, E - energia emitovaných častíc Príklad 11.4 Rádioaktívny jód 18 I sa používa v medicíne pri vyšetreniach štítnej žľazy. Pri meraniach rýchlosti premeny tohto rádionuklidu sme namerali aktivitu A 1 = 39 Bq po 4 minútach od jeho aplikácie a aktivitu A = 7 Bq po 1 minútach. Aká je počiatočná aktivita, konštanta premeny, doba polpremeny a stredná doba života tohto rádionuklidu? 156

157 Riešenie: Pre aktivitu platí vzťah (11.15), v našom prípade pre aktivitu A 1 v čase t 1 a aktivitu A v čase t môžeme písať: λt1 λt A1 = Ae, A = Ae. Predelením týchto rovníc dostaneme: A1 λ ( t t1 = e ). A Po logaritmovaní rovnice a úprave dostaneme konštantu premeny: A1 ln 39 ln A λ = = = 4,6 1 s. t t Stredná doba života tohto rádionuklidu je: 1 τ = = 36 min. λ Doba polpremeny: ln T 1/ = =5 min. λ Počiatočnú aktivitu môžeme vyjadriť z pôvodnej rovnice: λt1 λt A = A e = A e = 436 Bq. 1 Príklad 11.5 Za aký čas klesne aktivita rádioaktívneho 4 Na na jednu desatinu počiatočnej hodnoty, ak doba polpremeny sodíka je T 1/ = 15, h? Riešenie: Aktivita v čase t je A a keďže A =,1 A, dostaneme: ln t T1/,1 A = Ae. Odtiaľ vyjadríme čas: T1/ t = ln1 = 49,8 h. ln Príklad 11.6 Vypočítajte počet nuklidov, ktoré sa premenia za sekundu, ak žiaričom je 1 gram čistého rádioaktívneho kobaltu 6 Co, ktorého doba polpremeny je T 1/ = 5,3 rokov? Riešenie: Počet nuklidov, ktoré sa premenia za sekundu udáva aktivita žiariča. Súvis medzi aktivitou a celkovým počtom nuklidov vyjadruje vzťah (11.15) v tvare: A= λ N, kde konštanta premeny súvisí s dobou polpremeny: ln λ = T1/ a počet nuklidov N je rovný počtu atómov v množstve látky hmotnosti m =,1 kg, ktorej molárna hmotnosť je M: 157

158 m N = NA, M kde N A je Avogadrova konštanta. Potom: ln mna 13 A= λ N = N = ln = 4, 1 Bq. T MT 1/ 1/ Počet nuklidov, ktoré sa premenia za sekundu je 4, Príklad 11.7 Aká je energia a premeny rádionuklidu 35 U? Atómové hmotnosti sú: m U = 35,439 u, m Th = 31,363 u, m He = 4,6 u. Riešenie: a - premenu vyjadríme schémou: U 9 Th + He. Súčet hmotností atómov, ktoré vzniknú premenou je menší ako hmotnosť atómu uránu, platí: Δ m= mju ( mjth + mjhe) = ( mju + 9 me ) ( mjth + 9me + mjhe + me ) = mu ( mth + mhe ), kde m ju, m jth, m jhe sú hmotnosti jadier. Ako vidieť keď zahrnieme aj hmotnosti elektrónov, tieto sa rušia a rozdiel hmotností jadier je rovnaký ako rozdiel hmotností atómov. Energia a - premeny bude: 931,5 MeV Δ E =Δ mc = [ 35,439 (31,363+ 4,6) ] u = 4,65 MeV. u Táto energia sa prejaví ako kinetická energia vyletujúcej a - častice a odrazeného atómu Th. Kinetická energia α častíc je <4, 9> MeV. Táto energia je menšia, ako energia, ktorú by α častica mala mať, ak unikla z jadra, ktoré má daný polomer a elektrický náboj. Prechod α častice potenciálovou bariérou jadra sa vysvetľuje tunelovým javom (obr. 11.4). Vysvetlenie tohoto javu poskytla kvantová mechanika. (Bližšie pozri časť 13.3). E p 59Fe T 1/ = 47 d E α β -,46 MeV β -,6 MeV 5% 5% r γ 1,1 MeV γ 1,3 MeV 59Co Obr Únik α častice cez potenciálový val jadra tunelovým efektom Obr Vznik γ žiarenia pri β- premene 59Fe na 59 Co 158

159 Žiarenie γ je sprievodným znakom obidvoch premien, keďže nové jadro je vo vzbudenom energetickom stave, pri prechode do nižšieho energetického stavu sa vyžiari fotón elektromagnetického žiarenia c E1 E = h f = h. (11.6) λ Keďže tento energetický rozdiel je rádovo MeV, vzniká kvantum veľmi prenikavého žiarenia γ s malou vlnovou dĺžkou λ. Na obr je ilustrovaný vznik dvoch γ kvánt žiarenia ako sprievodný jav pri β - premene izotopu železa na izotop kobaltu. Príklad 11.8 Izotop cézia 137 Cs sa premieňa β premenou na izotop bárya Ba a uvoľňuje sa veľké množstvo energie. Napíšte schému premeny a vypočítajte celkové množstvo uvoľnenej energie pri tejto premene. Aká je maximálna kinetická energia emitovaného elektrónu? Atómové hmotnosti sú: m Cs = 136,971 u, m Ba = 136,958 u. Riešenie: Schéma β premeny je: Cs 56 Ba + 1 e + ν. Rozdiel hmotností vstupného nuklidu a hmotností produktov premeny je: Δ m= mjcs ( mjba + me ) = ( mjcs + 55 me ) ( mjba + 56 me ) = mcs mba, kde m jcs, m jba sú hmotnosti jadier odpovedajúcich izotopov. V rovnici sme pripočítali (a odpočítali) hmotnosť 55 elektrónov a dostali sme tak rozdiel atómových hmotností týchto izotopov. Energetický ekvivalent tohto hmotnostného rozdielu je 931,5 MeV Δ E =Δ mc = ( mcs mba ) c = (136, ,958) u = 1, 1 MeV. u Táto energia premeny sa uvoľní a rozdeľuje sa medzi elektrón a antineutríno. Ak antineutríno neodnáša žiadnu energiu, potom táto uvoľnená energia pri premene je maximálnou kinetickou energiou emitovaného elektrónu: E kmax = 1,1 MeV. Príklad 11.9 Stanovte množstvo tepla, ktoré sa uvoľní z,1 mg izotopu polónia 1 Po za dobu, ktorá sa rovná strednej dobe života tohto izotopu, ak energia častíc a, ktoré sa uvoľňujú pri premene je E a = 5,3 MeV. Riešenie: Počet premien za strednú dobu života t = 1/l sa vypočíta tak, že sa vyjadrí počet jadier N, ktoré sa v čase t = t ešte nepremenili: λ λ t λ N = N e = N e = N e 1 a potom počet premien N t za čas t bude: N t = N N = N (1 e 1 ). 159

160 Vo vzorke polónia hmotnosti m je N jadier m N = NA M a množstvo tepla Q, ktoré uvoľní preparát je: m 1 Q= Nτ Eα = NA 1 Eα M e Po dosadení číselných hodnôt bude uvoľnené teplo Q = 1, J. Poznámka: Uvolnená energia je rádovo 1 7 krát väčšia, ako energia uvolnená pri horení ekvivalentného množstva uhlíka Rádioaktívne datovanie Rádioaktívna premena nuklidu s veľmi dlhou dobou polpremeny môže byť využitá pri určovaní veku hornín, alebo organických materiálov. Rádionuklid 4 K sa premieňa na stabilný izotop vzácneho plynu argónu 4 Ar s dobou polpremeny 1,5 1 9 r. Meraním pomeru 4 K a 4 Ar v skúmanej hornine môžeme vypočítať jej vek. Maximálna hodnota veku hornín či už zo Zeme, Mesiaca, či meteoritov je 4,5 1 9 r. Rádiouhlíkové datovanie pomocou rádionuklidu 14 C sa používa na určovanie veku organických látok. Meraním jeho obsahu v danej látke sa dá zistiť čas, ktorý uplynul od smrti organizmu. Rádionuklid 14 C (T 1/ = 573 r) vzniká v atmosfére pri ostreľovaní atmosférického dusíka kozmickým žiarením, mieša sa s atmosférickým dusíkom tak, že sa vyskytuje približne 1 atóm 14 C na každých 1 13 atómov stabilného 1 C. Pri dýchaní a ďalších biologických procesoch dochádza k náhodnej výmene atómov atmosférického uhlíka s atómami uhlíka v živom organizme a za istý čas sa dosiahne rovnováha tak, že každý žijúci organizmus obsahuje aj rádioaktívny 14 C. Po smrti organizmu sa výmena s atmosférou zastaví a rádionuklid 14 C sa z organizmu vytráca s dobou polpremeny T 1/ = 573 r. Príklad 1.1 Pri archeologických vykopávkach starých hrobov sa našli zvyšky ľanovej tkaniny s hmotnosťou g. Po zmeraní hmotnostnej aktivity 14 C tejto vzorky sa zistilo, že odpovedá 1/3 hmotnostnej aktivity zrovnateľnej súčasnej tkaniny. Určte vek tkaniny z vykopávky! Riešenie: Uhlík 14 C vzniká nepretržite v ovzduší z atmosférického dusíka pôsobením neutrónov kozmického žiarenia ako výsledok reakcie: N+ n 6C+ p a vo forme 14 CO je stálou zložkou ovzdušia. Živé organizmy vždy obsahujú a obsahovali konštantné množstvo rádioaktívneho uhlíka. Keď živý organizmus odumrie rovnováha sa poruší a organizmus už neprijíma ďalej rádioaktívny uhlík. Rádioaktívny uhlík sa neustále premieňa s dobou polpremeny T 1/, vykopávky preto obsahujú menej 14 C ako žijúce organizmy. Keď sa označí hmotnostná aktivita súčasnej tkaniny ako a, potom aktivita v čase t bude:,693,693 a t 1 t λ t T1/ T1/ a = = ae = ae = e

161 Logaritmovaním dostaneme:,693 1, 98 = t. T1/ Keď sa vyjadrí čas t a dosadí sa doba polpremeny 14 C, dostaneme: 1, 98 t = 573= 98 rokov., Základné charakteristiky a klasifikácia jadrových reakcií Deje, ktoré nastanú pri zrážkach jadier atómov so základnými časticami alebo s inými atómovými jadrami sa nazývajú jadrové reakcie. Pri takýchto reakciách sa mení štruktúra jadier. Pri jadrových reakciách platia zákony zachovania počtu nukleónov, elektrického náboja, hybnosti a relativistickej celkovej energie. Všeobecné vyjadrenie jadrovej reakcie je: A+a B+b+ Q resp. A(a,b)B, (11.7) kde A je ľubovoľné terčové jadro, a častica, ktorá s ním interaguje, B vzniknuté jadro, b emitovaná častica, Q energia reakcie. V súčasnosti poznáme viac ako 15 rôznych izotopov a pre každý z nich existujú viaceré jadrové reakcie, v ktorých môžu vystupovať ako terče, alebo prostredníctvom iných reakcií vznikať. Je známych viac ako 1 rôznych jadrových reakcií, ktoré môžeme klasifikovať podľa rôznych kritérií, napr.: a) podľa energie ostreľujúcich častíc nastávajú reakcie pri nízkych energiách týchto častíc (< 1 ev), stredných (< 1 MeV) a vysokých (> 1 MeV); b) podľa druhu ostreľujúcich častíc môžu reakcie prebiehať s nenabitými časticami (neutróny, fotóny) alebo s nabitými časticami (elektróny, protóny, deuteróny, ióny ľahkých prvkov); c) podľa druhu terčových jadier delíme reakcie na ľahkých jadrách (A< 5), na stredných jadrách (5 < A <1) a reakcie na ťažkých jadrách (A >1); d) podľa energie reakcie delíme jadrové reakcie na endoenergetické (Q < ) kedy sa energia na vznik reakcie spotrebuje, a reakcie exoenergetické (Q >) kedy sa energia pri reakcii uvoľňuje; e) podľa charakteru jadrových premien poznáme napr. reakcie radiačný záchyt, vzbudenie jadier, delenie jadier, jadrový fotoefekt, jadrová syntéza, rozptyl a pod.; f) podľa mechanizmu, akým prebiehajú reakcie ich delíme na priame a nepriame. Z celého spektra jadrových reakcií spomeňme v krátkosti niektoré z nich. Transmutácie sú také jadrové reakcie, pri ktorých nukleónové a atómové čísla nového jadra sa len málo odlišujú od pôvodného terčového jadra, pričom ostreľujúcou časticou môže byť ľubovoľná častica (p, n, e, γ, d, α). Napríklad reakcie: N(α, p) 8O, 3Li (p, d) 3Li, 4Be(e,n) 3Li, (11.8) D (γ, n) 1H, 3Li (n,α) 1H, 5B(α, n) 7N. Do tejto kategórie reakcií môžeme zaradiť aj špeciálny prípad jadrovej reakcie termojadrovú reakciu ide o syntézu ľahkých jadier na ťažšie pri veľmi vysokých teplotách. Takéto procesy prebiehajú na Slnku a iných hviezdach. K termonukleárnej syntéze môže dochádzať len za podmienok extrémne vysokých teplôt a tlakov, aby mali jadrá dostatok energie na prekonanie elektrických odpudivých síl. Tieto podmienky sú vo vnútri hviezd. Energia uvoľnená pri zlučovaní ľahkých jadier je termojadrová energia. Ako zdroj termojadrovej energie na Zemi je výhodná napr. reakcia typu: 161

162 H + H He + n (11.9) Táto reakcia je silne exoenergetická (17,6 MeV). Využitie reakcie predpokladá zdroj deutéria. Tým je deutérium v značnej miere obsiahnuté vo svetových moriach a oceánoch. Pri realizácii takejto reakcie sa využívajú úplne ionizované plyny s vysokou teplotou (vysokoteplotná plazma), obsahujúce deutérium alebo zmes deutéria a trícia a udržujú sa v silných magnetických poliach. Magnetické pole sa využíva ako bezkontaktná nádoba, aby sa plazma neznečistila a neochladila. Zvládnutie technológie termojadrových reakcií, najmä získanie vysokej teploty dostatočne dlhý čas, je nádejou pre budúce využitie týchto reakcií ako zdrojov energie. Štiepenie jadier je jadrová reakcia, pri ktorej sa ťažké jadro štiepi na dve ľahšie jadrá úlomky štiepenia. Súčasne sa uvoľňujú aj ďalšie častice ako neutróny, γ kvantá atď. Pri typickom štiepení jadro uránu 35 U absorbuje tepelný neutrón a vytvorí sa zložené jadro 36 U vo vzbudenom energetickom stave. Toto jadro sa potom štiepi na dva fragmenty, ktoré rýchlo emitujú dva neutróny. Schéma takejto štiepnej reakcie je: U + n U Xe + Sr + n. (11.3) Ťažké jadro sa štiepi vtedy, keď získa dostatočnú excitačnú energiu ( 5 MeV), napr. 35 U potrebuje len energiu, ktorú získa absorbciou neutrónu, 38 U už potrebuje väčšiu energiu a podlieha štiepeniu len urýchlenými časticami s dostatočnou kinetickou energiou. K excitácii okrem bombardovania neutrónmi môže dôjsť aj ostreľovaním elektrónmi, protónmi, gama fotónmi. Skutočnosť, že sa pri štiepení vytvára viac neutrónov ako ich je absorbovaných na vstupe reakcie, dáva predpoklad vzniku reťazovej reakcie. Každý uvoľnený neutrón môže spôsobiť ďalšie štiepenie. Ak vyvoláme štiepenie u malého počtu jadier, má takéto štiepenie možnosť rozšíriť sa už bez ďalšieho zásahu zvonku a vznikne reťazová reakcia. Táto reakcia môže byť rýchla - ak neobmedzujeme rozmnoženie neutrónov. Za krátky čas sa uvoľní obrovská energia, čo má za následok explóziu tento proces prebieha pri výbuchu jadrovej bomby. Ak vonkajším zásahom obmedzujeme počet vzniknutých neutrónov a reakcia prebieha regulovane hovoríme o riadenej reťazovej reakcii. Prvá kontrolovateľná reťazová reakcia bola realizovaná v jadrovom reaktore r. 194 v Chicagu pod vedením E. Fermiho Jadrové reakcie a jadrový reaktor Ako sme už uviedli štiepne reakcie sú silne exoenergetické a môžu slúžiť ako zdroje energie. Jadrová energia je časť väzbovej energie uvoľnenej pri jadrových reakciách. Pri štiepení uránu jadrová energia predstavuje asi 1 % väzbovej energie. Zariadenie na získanie energie pomocou štiepnych riadených reťazových reakcií je jadrový reaktor. Hlavné časti jadrového reaktoru sú: jadrové palivo, moderátor a absorbátor. Palivo: 35 U, 38 U, 39 Pu + pomalé neutróny. V prírode najrozšírenejší izotop 38 U ľahko zachytáva rýchle neutróny, ale väčšinou sa zbaví excitačnej energie emisiou γ žiarenia a nie štiepením. Vhodným štiepnym palivom je izotop uránu 35 U, ktorého však v prírodnom uráne je len,7 %. 35 U má veľký účinný prierez pre štiepenie vyvolané pomalými neutrónmi, zatiaľ čo 38 U má tento účinný prierez malý. Je preto potrebné neutróny uvoľnené pri štiepení spomaliť, aby sa zabránilo ich pohlteniu jadrami 38 U a umožnilo sa ďalšie štiepenie 35 U. Na spomalenie štiepnych neutrónov v reaktore používame moderátor. Moderátor je látka pohlcujúca energiu dopadajúcich rýchlych neutrónov bez toho, aby ich zachytávala. Ide o látku s nízkou atómovou hmotnosťou, aby došlo k energetickej 16

163 výmene pri zrážke neutrónu s takouto látkou. Pôvodne sa používal ako moderátor uhlík vo forme grafitu, neskôr ťažká voda. Absorbátor slúži ako regulátor reakcie. Sú to kadmiové tyče, schopné absorbovať pomalé neutróny. Ich zasúvaním, resp. vysúvaním sa riadi výkon reťazovej reakcie. Energia vo forme tepla sa odvádza chladiacim médiom do zásobníka vody vzniká para tepelná energia sa premieňa na mechanickú a elektrickú. Jadro reaktora je obklopené vrstvou betónu, ktorý pohlcuje sprievodné žiarenie (γ, p, e, n). Schéma primárneho a sekundárneho okruhu jadrovej elektrárne s tlakovodným reaktorom je na nasledovnom obrázku (prevzaté z [9]). Voda sa tu používa ako moderátor aj ako médium, prenášajúce teplo. V primárnom okruhu preteká nádobou reaktora voda vysokej teploty a tlaku a prenáša energiu od horúceho jadra reaktoru k parnému generátoru, ktorý je už súčasť sekundárneho okruhu. Tu vzniká vyparovaním vysokotlaká para, poháňajúca turbínu generátora elektrického prúdu. V kondenzátore sa nízkotlaká para ochladzuje a ako voda sa vháňa naspäť do parogenerátora. V jadrovej elektrárni produkujúcej asi 1 MW elektrického výkonu je nádoba reaktoru asi 1 m vysoká a váži okolo 45 t, prietok vody v primárnom okruhu je asi 1 m 3 min -1. Jadrové elektrárne spotrebujú oproti klasickým elektrárňam veľmi málo paliva. Napríklad na výrobu miliónu kwh spotrebuje jadrová elektráreň (s reaktormi typu VVER) asi 4 g uránu, čo je ekvivalentné takmer 1 t uhlia. Jadrové elektrárne nie sú závislé na obmedzených zdrojoch fosílneho paliva, na rozdiel od tepelných elektrární nezamorujú ovzdušie popolčekom, oxidom uhličitým a oxidom síričitým. Vyžadujú však dokonalé riešenie, optimalizáciu radiačnej ochrany a priebežný dozimetrický monitoring. 163