3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/
ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία δεν στοχεύει απλά σε μια απλή επανάληψη θεωρίας. Φιλοδοξεί να θέσει τις βάσεις της σωστής γνώσης και επανάληψης της,που είναι απαραίτητη για την αντιμετώπιση των θεμάτων Β-Γ-Δ. Πιστεύοντας ότι οι 5 μονάδες θεωρίας αποτελούν την ποιο δυνατή άμυνα ενός πολύ καλού γραπτού αλλά και γενικότερα την βάση της ψυχολογικής ανάτασης του υποψηφίου,στην ψυχολογική πίεση πού δέχεται κατά την διάρκεια της εξέτασης,για τον λόγο αυτό έχουμε προσθέσει : σημαντικές επισημάνσεις θεωρίας ερωτήσεις θεωρίας προς απάντηση,όπου ελέγχοντας τις απαντήσεις δίνεται η δυνατότητα για αυτοαξιολόγηση. Βαγγέλης Νικολακάκης ΠΗΓΕΣ Αρχείο Θεωρίας Ερωτήσεων Β.Α.Νικολακάκη Σχολικό βιβλίο Τσόπελας Γιάννης Ερωτήσεις Θεωρίας Μιχαλακίδης Αλέξης Ερωτήσεις Θεωρίας Ενοτητα - ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Ερωτήσεις με απαντήσεις και οι αποδείξεις θεωρίας ανά κεφάλαιο Β. Ερωτήσεις θεωρίας προς απάντηση Γ. Ερωτήσεις Σ-Λ προς απάντηση Ενοτητα - ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Α. Ερωτήσεις με απαντήσεις και οι αποδείξεις θεωρίας ανά κεφάλαιο Β. Ερωτήσεις θεωρίας προς απάντηση Γ. Ερωτήσεις Σ-Λ προς απάντηση 3
Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Διαφορικός Λογισμός Tι ονομάζουμε συνάρτηση; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Συνάρτηση : A B είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συναρτήσεις στις οποίες το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης, είναι υποσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών, ενώ το Β συμπίπτει με το R, λέγονται πραγματικές συναρτήσεις. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α. Τι ονομάζεται εξαρτημένη και τι ανεξάρτητη μεταβλητή της ; Στον τύπο συνάρτησης y = το γράμμα, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού Α, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο και εξαρτάται από την τιμή του, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. 3 Τι ονομάζουμε τιμή μιας συνάρτησης στο ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α. Αν με τη συνάρτηση αυτή το A αντιστοιχίζεται στο y B,τότε γράφουμε y.δηλαδή y y y Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχίζεται το A,λέγεται τιμή της στο. 4 Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης ; Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A. Είναι δηλαδή: A y y για κάποιο A}. A, λέγεται 5 'Εστω οι συναρτήσεις, g που ορίζονται σε ένα σύνολο Α. Πως ορίζονται: Το άθροισμα S g Η διαφορά D g Το γινόμενο g v Το πηλίκο R ; g 4
Αν δύο συναρτήσεις, g ορίζονται και οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται και οι συναρτήσεις: Το άθροισμα S g, με S g, A Η διαφορά D g, με D g, A Το γινόμενο P g, με P g, A και Το πηλίκο R g, με R, όπου A και g. g 6 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση ή καμπύλη της ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Γραφική παράσταση ή καμπύλη της σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oy λέγεται το σύνολο των σημείων M, για όλα τα A. 7 Τι ονομάζεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Η εξίσωση y η οποία επαληθεύεται μόνο από τα ζεύγη, y που είναι συντεταγμένες σημείων της γραφικής παράστασης της, λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της. ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ - Η γραφική παράσταση της συμβολίζεται συνήθως με C. - Η εξίσωση, λοιπόν, y επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της Επομένως, η y είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της. - Οταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C. β Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C. γ Η τιμή της στο A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C Σχ. /γ. C. y y y = C Α C C A, O Α α O β O γ 5
- Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των y συναρτήσεων και. α Η γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M, που είναι συμμετρικά των M,, ως προς τον άξονα. Σχ.. O Μ, Μ, y= y= β Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. Σχ. 3. y y= O 3 y= 8 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων 3 α α β β α, α γ α δ α, α ε, g. Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω :, α α Η πολυωνυμική συνάρτηση α β y y y 4 O O O a> a< a= βη πολυωνυμική συνάρτηση α, α παραβολή. y y 5 O O α> α< 6
3 γ Η πολυωνυμική συνάρτηση α y, α. y 6 O O α> δ Η ρητή συνάρτηση α, α α< υπερβολή y y 7 O O α> α< ε Οι συναρτήσεις, g. y y y 8 y O O 9 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων και α, log, α ln α α β α γ ημ, συν, εφ Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α Η εκθετική συνάρτηση α, α. και 7
y y α α O O α> α <α< β β Η λογαριθμική συνάρτηση α y y log, α και 9 ln O α O α α> α <α< β γ Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις : ημ, συν, εφ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις ημ και συν είναι περιοδικές με περίοδο T π, ενώ η συνάρτηση εφ είναι περιοδική με περίοδο T π. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; 8
Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει, και γνησίως φθίνουσα στο Δ όταν για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει. Τι γνωρίζετε για τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης, ;, y y=ημ O π/ π 3π/ π Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημ, [, π] προκύπτει αμέσως ότι για δύο οποιαδήποτε σημεία, του διαστήματος, π με είναι ημ ημ. Αυτό το εκφράζουμε λέγοντας ότι η συνάρτηση ημ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, π. 3π Το ίδιο συμβαίνει και στο διάστημα, π. Όμως για δύο οποιαδήποτε σημεία, του διαστήματος π 3π, με, παρατηρούμε ότι ημ ημ. Λέμε σ αυτή την περίπτωση ότι η συνάρτηση ημ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα π 3π,. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, λέγεται γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ Το Δ είναι διάστημα όταν έχει μια από τις παρακάτω μορφές,,,,,,, Η ένωση διαστημάτων,δεν θεωρείται διάστημα.,,5 δεν θεωρείται διάστημα. πχ το Περιοχή του,ονομάζουμε κάθε ανοικτό διάστημα που περιέχει το. 9
3 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστo A. Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A όταν για κάθε σε μια περιοχή του και τοπικό ελάχιστο στο A, όταν, για κάθε σε μια περιοχή του. y y= 3 O 4 3 4 Τι ονομάζονται ακρότατα μίας συνάρτησης ; Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της συνάρτησης. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο,όπως παρατηρούμε στο σχήμα 3 που το τοπικό ελάχιστο στην θέση 3 είναι μεγαλύτερο του τοπικού μεγίστου στην θέση 4. Αν η ανισότητα ισχύει για κάθε A της.όμοια για το ολικό ελάχιστο.,τότε το είναι ολικό μέγιστο 5 Αν οι συναρτήσεις και g έχουν όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν ισχύει: lm = και lm g με, τότε ποια είναι τα όρια: lm g, lm g, lm, lm, lm g Τα ζητούμενα όρια αποδεικνύεται ότι είναι: lm g 6 Να εξηγήσετε γιατί lm = όταν, lm g lm =,, lm g lm = και, lm Γνωρίζουμε ότι οι πολυωνυμικές,ρητές,εκθετικές,λογαριθμικές,τριγωνομετρικές και γενικά οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών,είναι συνεχείς συναρτήσεις.
Έτσι,λόγω του ορισμού συνέχειας προκύπτει : lm =, lm = και lm = 7 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής ; Ποιο είναι το χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα ; 4 Mια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε A ισχύει lm. Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ Από τον τύπο του ορισμού της συνέχειας προκύπτει ότι : το όριο και η τιμή της στο είναι ίσα Η συνέχεια της έχει νόημα μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της. Όταν η είναι συνεχής στο, η γραφική της παράσταση δεν διακόπτεται στο σημείο με τετμημένη Αν lm,τότε η λέγεται ασυνεχής στο. Το ότι η είναι συνεχής στο σημαίνει : A και υπάρχει το lm,δηλαδή Αν η είναι συνεχής στο,τότε η τιμή από τον τύπο lm 8 Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού ; και lm lm μπορεί να υπολογιστεί Η μέση ταχύτητα του κινητού στη διάρκεια του χρονικού διαστήματος θα είναι S St St. Η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t θα είναι S St St lm lm lm. Δηλαδή στιγμιαία ταχύτητα είναι η οριακή τιμή της μέσης ταχύτητας. 9 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο, της γραφικής της παράστασης C. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α ;
Ο συντελεστής διεύθυνσης της γραφικής παράστασης C στο Α, είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα και είναι ίσος με: lm όπου 8 και 9 Τι ονομάζεται παράγωγος της στο ; Παράγωγος της στο, που συμβολίζεται με,ονομάζεται το όριο lm μόνο σε περίπτωση που υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Είναι λοιπόν lm Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y = ως προς το, όταν = ; Η παράγωγος της στο εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y ως προς το, όταν. Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο, της γραφικής της παράστασης C. Αν είναι γνωστό ότι η είναι παραγωγίσιμη στο,να γράψετε τον την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της C στο Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α,y της C : Είναι η ευθεία ε y όπου το β R και υπολογίζεται από τις συνθήκες του προβλήματος 3 Τι ονομάζεται παράγωγος μια συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των A στα οποία η είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε B αντιστοιχίζεται στο lm. Η συνάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγος της και συμβολίζεται με.
ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ Το κλάσμα λέγεται λόγος μεταβολών. Κατά συνέπεια μια συνάρτηση θα είναι παραγωγίσιμη στο,αν υπάρχει το όριο του λόγου μεταβολών και είναι πραγματικός αριθμός. Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση στο είναι και συνεχής στο.αντίστροφα όμως δεν ισχύει,δηλαδή η συνέχεια στο δεν εξασφαλίζει και την παραγωγισιμότητας της στο Παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο,όχι όμως και παραγωγίσιμη. Για την εξίσωση της εφαπτόμενης μπορουμε να χρησιμοποιήσουμε χωρίς πρόβλημα y στην βαθμολόγηση και τον τύπο ε Η τιμή της συνάρτησης στο ισούται με την τιμή της εφαπτόμενης στο. Δηλαδή y Αν,τότε η εφαπτόμενη της C είναι παράλληλη στον άξονα. 4 Τι γνωρίζετε για την σχέση της συνάρτησης θέσης St με την στιγμιαία ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός κινητού ; H στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού την χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης St του κινητού κατά την χρονική στιγμή t υt = S t δηλαδή είναι ο ρυθμός μεταβολής της St ως προς t όταν t= t Για την εξίσωση κίνησης St ισχύουν : St=, το κινητό είναι στην αρχή του άξονα St, κίνηση προς τα δεξιά - St, κίνηση προς τα αριστερά St>, θέση επί του θετικού άξονα - St<, θέση επί του αρνητικού άξονα. S t =, μηδενισμός της ταχύτητας την χρονική στιγμή t H επιτάχυνση ενός κινητού την χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης ut του κινητού κατά την χρονική στιγμή t αt =υ t = S t 5 Τι ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης Είναι η παράγωγος της και συμβολίζεται με. Δηλαδή είναι 3
6 Ποιοι είναι οι τύποι παραγώγων βασικών συναρτήσεων ; Συνάρτηση Παράγωγος =c c = = = = ν, ν ν ν- =ν = κ, κ - = α, α - =ln κ κ- =κ α α- =α ln = = = =e e =e =ημ ημ =συν =συν συν =-ημ =εφ εφ = +εφ συν =σφ σφ = - +σφ ημ = = - 7 Τι είναι οι κανόνες παραγώγισης ;Να γράψετε στην συνέχεια τους βασικούς τύπους τους. Είναι προτάσεις τύποι,οι οποίοι απλουστεύουν τον λογισμό των παραγώγων,δηλαδή την εύρεση παραγώγου μιας συνάρτησης και κάθε άλλη διαδικασία πράξεων που αναφέρετε σε παραγώγους. Οι βασικοί κανόνες παραγώγισης δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Παράγωγος αθροίσματος Παράγωγος διαφοράς Παράγωγος γινομένου αριθμού επί συνάρτηση Παράγωγος γινομένου Παράγωγος πηλίκου g g g g λ λ, λ g g g g g g g g g g, g, g 4
8 Ποιος είναι ο βασικός τύπος παραγώγου σύνθετης συνάρτησης ;Να γράψετε στην συνέχεια τους βασικούς τύπους παραγώγων σύνθετων συναρτήσεων. g g g,για τα εκείνα πού : Η g παραγωγίζεται στο Η παραγωγίζεται στο g Οι βασικοί τύποι παραγώγων σύνθετων συναρτήσεων, δίνονται στον παρακάτω πίνακα. ν ν- =ν, ν = ημ =συν συν =-ημ εφ = = +εφ συν σφ = - = -+σφ ημ e =e ln = Στις ερωτήσεις 9-33 δίνονται οι βασικές αποδείξεις παραγώγων 9 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης = c είναι δηλαδή ότι c =. Έχουμε c c και για,, οπότε : lm, άρα c. 3 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης είναι δηλαδή ότι =. Έχουμε, και για,. Επομένως: lm lm, άρα. 3 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης = είναι δηλαδή ότι =. 5
6 Έστω η συνάρτηση. Έχουμε, και για,, επομένως, lm lm. 3 Να αποδείξετε ότι : και εφ = συν. : Γενικά ισχύει v v v, οπότε:. Για την παράγωγο της εφ χρησιμοποιούμε τον τύπο του πηλίκου : ημ ημ συν ημσυν συν ημ συν συν συν συν 33 Να αποδείξετε ότι c c. Έστω η συνάρτηση c F. Έχουμε: c c c F F, και για : c c F F. Επομένως: lm lm c c F F. Άρα c c. 34 Να αποδείξετε ότι + g = + g. Έστω η συναρτηση g F. Έχουμε: g g F F g g και για, g g F F. Επομένως:. lm lm lm g g g F F Άρα g g.
35 Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τι αντιστοίχως συμπεραίνουμε για την μονοτονία της στο Δ ; Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αντίστοιχα, Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ. 36 Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για,,, και στο, αντιστοίχως για στο, και στο, της στο α, β; στο,, τι συμπεραίνουμε για τα ακρότατα για,, στο, και,, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα, για, μέγιστο. Αν για μια συνάρτηση ισχύουν στο Αντίστοιχα, αν για μια συνάρτηση ισχύουν για, και στο,, ελάχιστο. στο,,, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα, για 37 Να διατυπώσετε το κριτήριο πρώτης παραγώγου για τα ακρότατα. Δες ερώτηση 35 : ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ Αν για την συνάρτηση ισχύει για,,η είναι συνεχής στο και η παράγωγος της διατηρεί το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του,τότε : Η συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη στο,. Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατο στο,. Αν για την συνάρτηση ισχύουν :,. για Η παράγωγος της αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και Το, είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης το είναι ολικό ακρότατο της στο διάστημα,. τότε : 7
Στατιστική 38 Τι ονομάζεται πληθυσμός, δείγμα, και πότε ένα δείγμα θα ονομάζεται αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού; Τι ονομάζεται μέγεθος ενός πληθυσμού και πως συμβολίζεται; Πληθυσμός λέγεται ένα σύνολο το οποίο θέλουμε να εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του. Δείγμα είναι ένα υποσύνολο του πληθυσμού το οποίο εξετάζεται, όταν είναι δύσκολη ή και αδύνατη η εξέταση ολόκληρου του πληθυσμού ως προς τα χαρακτηριστικά του. Ένα δείγμα θεωρείται αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού, εάν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί. Μέγεθος ενός πληθυσμού ονομάζεται το πλήθος των ατόμων του και συμβολίζεται με. 39 Τι ονομάζονται στη στατιστική μεταβλητές και τι τιμές μίας μεταβλητής; : Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό λέγονται μεταβλητές και τις συμβολίζουμε συνήθως με τα κεφαλαία γράμματα π.χ. Χ, Υ, Ζ. Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής. 4 Πως διακρίνονται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους; : Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε:. Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί. π.χ. το χρώμα των μαλλιών.. Σε ποσοτικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί π.χ. η ηλικία κάποιων ατόμων και διακρίνονται: Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές π.χ. ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας. Σε συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών, π.χ. τα ύψη κάποιων ατόμων. 4 Τι ονομάζεται απογραφή και τι δειγματοληψία ; Απογραφή λέμε την εξέταση όλου του πληθυσμού ως προς μια ιδιότητα,ενώ Δειγματοληψία είναι η εξέταση ενός δείγματος του πληθυσμού. 8
4 Πως γίνεται η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων με τους πίνακες ; Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων γίνεται με πίνακες στους οποίους τοποθετούμε κατάλληλα τις πληροφορίες σε γραμμές και στήλες, με τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των στοιχείων του πληθυσμού που εξετάζουμε ως προς κάποιο χαρακτηριστικό Κάθε πίνακας πρέπει να περιέχει: α Τίτλο: που δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα και γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα β Επικεφαλίδες: των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων, γ Κύριο σώμα κορμό: που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα δ Πηγή των πληροφοριών: που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων 43 Έστω..., κ ν οι διαφορετικές τιμές μιας μεταβλητής Χ, ενός δείγματος μεγέθους ν. Πως ορίζονται: α Η απόλυτη συχνότητα ν της τιμής. β Η σχετική συχνότητα της τιμής. γ Η σχετική συχνότητα% της τιμής %. δ Η αθροιστική συχνότητα N της τιμής για ποσοτικές μεταβλητές. ε Η αθροιστική σχετική συχνότητα F της τιμής ποσοστιαίο μέγεθος F %. και το αντίστοιχο α Απόλυτη συχνότητα της τιμής είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. β Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα ν με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα της τιμής, δηλαδή:,,,..., γ Τις σχετικές συχνότητες, μπορούμε να τις εκφράσουμε και επί τοις εκατό, οπότε v συμβολίζονται % και είναι: %,,,..., v δ Η αθροιστική συχνότητα N εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Ισχύει: N v v... v,,,...,. ε Η αθροιστική σχετική συχνότητα F εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Ισχύει: F...,,,...,. 44. Να αποδείξετε ότι για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες : α,,,..., β... 9
α Από τη σχέση v v διαιρώντας με ν, προκύπτει ότι:.... β..., αφού:...... 45. Τι ονομάζεται κατανομή συχνοτήτων μίας μεταβλητής με τιμές,,..., ; Το σύνολο των ζευγών, v λέμε ότι αποτελεί μία κατανομή συχνοτήτων. Το σύνολο των ζευγών, ή των ζευγών, % λέμε ότι αποτελεί την κατανομή σχετικών συχνοτήτων. 46 Πως γίνεται η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων με τις γραφικές παραστάσεις ; Τα στατιστικά δεδομένα παρουσιάζονται πολλές φορές και υπό μορφή γραφικών παραστάσεων ή διαγραμμάτων. Οι γραφικές παραστάσεις παρέχουν ποιο σαφή εικόνα του χαρακτηριστικού σε σχέση με τους πίνακες και είναι ποιό ελκυστικές και σύντομες στην εξαγωγή συμπερασμάτων. Διευκολύνουν την σύγκριση μεταξύ ομοειδών στοιχείων πχ ανταγωνιστικών εταιριών για το ίδιο ή για διαφορετικά χαρακτηριστικά. Όμως σε κάθε περίπτωση δεν προσφέρουν περισσότερες πληροφορίες από αυτές που παρέχονται από τους αντίστοιχους πίνακες συχνοτήτων. Οι γραφικές παραστάσεις,πρέπει να συνοδεύονται από: α τον τίτλο, β την κλίμακα με τις τιμές των μεγεθών που απεικονίζονται, γ το υπόμνημα που επεξηγεί συνήθως τις τιμές της μεταβλητής και δ την πηγή των δεδομένων. 47Τι είναι το ραβδόγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ; Να δώσετε μία περιγραφή του. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ραβδόγραμμα συχνοτήτων ή σχετική συχνότητα ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Η απόσταση μεταξύ των
στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους καθορίζονται αυθαίρετα. 48Τι είναι το διάγραμμα συχνοτήτων και πότε χρησιμοποιείται ; Να δώσετε μία περιγραφή του. Το διάγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Αποτελείται από κατακόρυφα ευθύγραμμα τα οποία υψώνουμε στην τιμή,υποθέτοντας ότι...,που έχουν μήκος την αντίστοιχη συχνότητα ν διάγραμμα συχνοτήτων ή την αντίστοιχη σχετική συχνότητα διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων Δηλαδή κάθε στήλη απεικονίζει ένα ζεύγος, ή, ή, % 49Τι είναι το πολύγωνο συχνοτήτων και πότε χρησιμοποιείται ; Να δώσετε μία περιγραφή του. Το πολύγωνο συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Χρησιμοποιείται για να δώσει μια γενική ιδέα για τη μεταβολή της συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε. Στο πολύγωνο συχνοτήτων είναι η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται αν ενώσουμε τα σημεία,ν Στο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων είναι η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται αν ενώσουμε τα σημεία,
5Τι είναι το κυκλικό διάγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ; Να δώσετε μία περιγραφή του. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ν ή τις σχετικές συχνότητες των τιμών της μεταβλητής Το τόξο α του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή δίνεται από τον τύπο 36 ν o o =36 α =ν, για,,...,. 5Τι είναι το σημειόγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ; Να δώσετε μία περιγραφή του. Είναι το διάγραμμα στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία πάνω από ένα οριζόντιο άξονα.είναι το ίδιο με το διάγραμμα συχνοτήτων, μόνο που αντί για ευθύγραμμα τμήματα έχουμε στήλες από σημεία τελείες Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής όσο και ποσοτικής μεταβλητής όταν οι παρατηρήσεις είναι σχετικά λίγες. Παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα των χρόνων σε λεπτά που χρειάστηκαν δεκαπέντε μαθητές, για να λύσουν ένα πρόβλημα. 5Τι είναι το χρονόγραμμα και πότε χρησιμοποιείται ; Να δώσετε μία περιγραφή του. Είναι το διάγραμμα στο οποίο ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου και ο κατακόρυφος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των % 6 4 8 6 4 Θήλεις Σύνολο Άρρενες 99 99 99 993 994 995
τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής που εξετάζει την διαχρονική εξέλιξη ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους Παράδειγμα στο διπλανό σχήμα έχουμε το χρονόγραμμα του ποσοστού ανεργίας στη χώρα μας από το 99 έως το 995.Παρατηρούμε ότι στο γυναικείο πληθυσμό υπάρχει συστηματικά μεγαλύτερο ποσοστό ανεργίας, γύρω στις 8 εκατοστιαίες μονάδες. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ για τις συχνότητες και την συμπλήρωση πινάκων.αν αναφερόμαστε σε ένα δείγμα μεγέθους και,,..., είναι οι τιμές μιας... N μεταβλητής Χ,,τότε ισχύουν :... F και % %... % F % N, N N,..., N N F, F F,..., F F N F απόδειξη N............ F............. Για τις διακριτές μεταβλητές ισχύουν : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΠΛΗΘΟΣ ΠΟΣΟΣΤΟ το πολύ N F % ακριβώς 3 ή 4 τουλάχιστον 5 από έως και j ή αλλιώς τουλάχιστον και το πολύ j j N 6 κάτω από 7 πάνω από 8 από έως το j % % j% F % N j N j F % F % N N F % F % j N j N j F % F % 3
53 Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ενός δείγματος και πως γίνεται; Ομαδοποίηση παρατηρήσεων κάνουμε όταν το πρόβλημα αναφέρεται σε ποσοτικές κυρίως συνεχείς μεταβλητές και η κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων είναι δύσκολη. Για το λόγο αυτό βρίσκουμε τη διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής και τη διαιρούμε σε ισομήκη διαστήματα.σε περίπτωση όμως που αυτό δεν διευκολύνει αριθμητικούς υπολογισμούς,διευρύνουμε την διαφορά και την διαιρούμε με το πλήθος των κλάσεων σε ισομήκη διαστήματα. 54 Τι είναι οι κλάσεις και τα όρια των κλάσεων; Τι είναι η κεντρική τιμή, το πλάτος και η συχνότητα μίας κλάσης ; : Όταν το πλήθος των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο, τότε τα δεδομένα ταξινομούνται ομαδοποιούνται σε μικρό πλήθος ομάδων, οι οποίες ονομάζονται κλάσεις έτσι, ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση. Τα άκρα των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες και μπορούν να «αντιπροσωπευθούν» από τις λεγόμενες κεντρικές τιμές κάθε κλάσης, δηλαδή από τα κέντρα κάθε κλάσης. Για την κεντρική τιμή μιας κλάσης, ισχύει ότι:. Η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο μιας κλάσης, λέγεται πλάτος της κλάσης και συμβολίζεται συνήθως με c. Είναι δηλαδή: c. Το πλήθος v των παρατηρήσεων που ανήκουν στην κλάση λέγεται συχνότητα της κλάσης. 55 Ποιες γραφικές παραστάσεις χρησιμοποιούμε στην ομαδοποίηση ; : Ιστόγραμμα αθρoιστικών συχνοτήτων συχνοτήτων Ιστόγραμμα αθρoιστικών F Ν 4
Για την κατασκευή του πολυγώνου αθροιστικών συχνοτήτων ή αθρ. σχετ. συχνοτήτων ενώνουμε τα δεξιά άκρα των ορθογωνίων. 56 Τι ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων ; : Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά μεγάλος τείνει στο άπειρο και ότι το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό τείνει στο μηδέν, τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων. 57 Nα γράψετε τι γνωρίζετε για τις χαρακτηριστικές κατανομές συχνοτήτων. : Η μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων εξαρτάται από το πώς είναι κατανεμημένες οι παρατηρήσεις σε όλη την έκταση του εύρους τους. Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχνοτήτων που συναντάμε συχνά στις εφαρμογές δίνονται στο παρακάτω σχήμα Η κατανομή β, με κωδωνοειδή μορφή λέγεται κανονική κατανομή και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. Όταν οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], όπως στην κατανομή α, η κατανομή λέγεται ομοιόμορφη. Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες, η κατανομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στην κατανομή γ ή αρνητική ασυμμετρία όπως στην κατανομή δ. 58 Τι λέγεται ομοιόμορφη κατανομή; Τι λέγεται κανονική κατανομή και ποια η καμπύλη συχνοτήτων της; 5
: Όταν οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], η κατανομή λέγεται ομοιόμορφη. Η κατανομή με κωδωνοειδή μορφή λέγεται κανονική κατανομή και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. 59 Τι καλούμε μέτρα θέσης; Τι καλούμε μέτρα διασποράς; : Με τον όρο «μέτρα» εννοούμε αριθμητικά μεγέθη, με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να περιγράψουμε σύντομα την κατανομή ενός συνόλου δεδομένων. Τα μέτρα μιας κατανομής είναι κυρίως δύο ειδών: Τα μέτρα θέσης, τα οποία δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή τη θέση γύρω από την οποία είναι συγκεντρωμένες οι περισσότερες τιμές της κατανομής. Τα μέτρα διασποράς, τα οποία δίνουν τη «διασπορά» των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το κέντρο τους.μας δείχνουν δηλαδή πόσο συσπειρωμένες ή διεσπαρμένες είναι οι τιμές γύρω από την μέση τιμή. 6 Τι καλούνται μέτρα ασυμμετρίας ; : Εκτός από τα μέτρα θέσης και διασποράς μιας κατανομής πολλές φορές είναι απαραίτητος και ο προσδιορισμός κάποιων άλλων μέτρων, που καθορίζουν τη μορφή της κατανομής. Κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη συχνοτήτων είναι συμμετρική ή όχι ως προς την ευθεία, για δεδομένο σημείο του άξονα O. Τα μέτρα αυτά, που συνήθως εκφράζονται σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, καλούνται μέτρα ασυμμετρίας. Γ B A Δ 6 Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών t, t,..., t μεγέθους ν ; : Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων διά του πλήθους των παρατηρήσεων. Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι t, t,..., t v, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με και δίνεται από τη σχέση: 6
t t t... t t 6 Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών,,..., μεγέθους ν, με αντίστοιχες συχνότητες ; v, v,..., v Σε μια κατανομή συχνοτήτων, αν συχνότητες :,,..., κ είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με, v vκ αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση: v,...,...... 63 Τι ονομάζουμε σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο των τιμών,,..., v με συντελεστές στάθμισης βαρύτητας w,w,...,w v ; : Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα έμφαση στις τιμές,..., ενός συνόλου δεδομένων, τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο. Ο σταθμικός μέσος με συντελεστές στάθμισης βαρύτητας δίνεται από τον τύπο: w w w w... w... w ν ν ν ν ν 64 Πως εκφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτικής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών,,...,, μεγέθους ν από τις τιμές της μεταβλητής και τις σχετικές συχνότητές τους,,..., ; : Η σχέση της μέσης τιμής συναρτήσει των τιμών της μεταβλητής και των σχετικών συχνοτήτων τους δίνεται από τον τύπο: w w., ν 7
65 Πως ορίζεται η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά ; : Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ονομάζεται: Η μεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό. Το ημιάθροισμα των μεσαίων παρατηρήσεων αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο. 66 Πως υπολογίζεται η διάμεσος δ όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα ; 9 8 7 6 5 4 3 F % A B Γ δ Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων F %.Αν η ευθεία y A κάθετη στον κατακόρυφο άξονα στην τιμή F 5 τέμνει το πολύγωνο συχνοτήτων στο Β και Γ είναι η προβολή του Β στον οριζόντιο άξονα,τότε : B Σχόλιο Η παραπάνω διαδικασία δίνει κατά προσέγγιση την διάμεσο με πιθανή απόκλιση από την πραγματική τιμή χωρίς αυτό να σημαίνει και βαθμολογική απώλεια!. Μπορούμε να εργαστούμε και με ομοιότητα τριγώνων ή Θ. Θαλή. 67 Αν υπολογίσουμε την μέση τιμή και την διάμεσο στις τιμές t,t,t 3,...t με ή χωρίς ομαδοποίηση,θα προκύψουν ίδια αποτελέσματα ;Να δώσετε εξήγηση στην απάντηση σας. Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν να αντιπροσωπευθούν από τις κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης. 8