Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Αριθμοί Περιέχει: Ορισμούς ιδιότητες - θεωρήματα. Μεθοδολογία ασκήσεων. Τρόποι αντιμετώπισης άσκησης κάθε θέματος σε κάθε επίπεδο δυσκολίας. Σχόλια και παρατηρήσεις για την καλύτερη εκμετάλλευση δεδομένων. Λυμένες ασκήσεις που καλύπτουν όλα τα προβλήματα σε επίπεδο πανελληνίων εξετάσεων Προτεινόνενα Θέματα
Γεωμετρική ερμηνεία αθροίσματος μιγαδικών. Αν Μ Μ Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών = α+β =γ+δ + στο μιγαδικό επίπεδο τότε: H διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών = α+β =γ+δ ισούται με το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. Αν οι εικόνες M N των μιγαδικών είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κμν τότε από τον κανόνα του παραλλογράμμου έχουμε: Δεν ισχύουν d Οι συντεταγμένες μιας πράξης διανυσμάτων είναι ίδιες με τις συντεταγμένες της εικόναςτης αντίστοιχης πράξης των μιγαδικών αριθμών. Γεωμετρική ερμηνεία διαφοράς μιγαδικών. Αν Ν Μ Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών - στο μιγαδικό επίπεδο τότε: H διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών = α+β =γ+δ ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. Κανόνας του παραλληλογράμμου Με βάση τo παραλληλόγραμμο ΟΜ ΜΜ ΟΜ ΝΜ και τις ιδιότητες αυτών μπορούμε να λύσουμε πλήθος ασκήσεων..
. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς αβ ώστε οι μιγαδικοί αριθμοί να είναι ίσοι. Ισχύουν: Im Im N N ] [ ] [ 8 8 ή. Tα αβ είναι ρίζες της εξίσωσης P S ή. Άρα α=β= ή α= β=. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς αβ ώστε ο αριθμός 6 7 να είναι ίσος με το. Ισχύουν: Im 7 6 6 ή.
Υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς δ υ ν ά μ ε ω ν. Μεθοδολογία. Αν ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός τότε διαιρώ το με το από την Ευκλείδεια διαίρεση έχουμε: = ρ + υ υ =. = ρ+υ = ρ. υ = ρ. υ =. υ = υ υ = - =- ρ+υ =- ρ - υ =.- υ = - υ υ =. Αν ο εκθέτης έχει μεταβλητή ν ν φυσικός αριθμός τότε με τις ιδιότητες των ά δυνάμεων εμφανίζω το ν - ν ά και ξέρω ότι : N ά ά. Αν έχω αθροίσματα με όρους ν εφαρμόζω τους τύπους αθροίσματος προόδου Α.Π ΓΠ ή βγάζω κοινό παράγοντα. p. Κάθε φυσικός αριθμός ν μπορεί να γραφεί στη μορφή: p p Τύποι αριθμητικής - γεωμετρικής προόδου Αν η ακολουθία α ν είναι αριθμητική πρόοδος τότε: S Αν α β γ είναι διαδοχικοί όροι α.π τότε ισχύει: β = α+γ. Αν η ακολουθία α ν είναι γεωμετρική πρόοδος τότε: S Αν α β γ είναι διαδοχικοί όροι γ.π τότε ισχύει: β = αγ. Το σύνολο τιμών του ν ν φυσικός αριθμός είναι: A
. Να υπολογιστεί η παράσταση N. * και να λυθεί η εξίσωση Για ν = ρ το ν =. Άρα Για ν = ρ+ το ν =. Άρα Για ν = ρ+ το ν = -. Άρα Για ν = ρ+ το ν = -. Άρα H λύση της εξίσωσης είναι: 7. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: * N. N.. = ά ά N ά ά * [ ] ά ά ά ά N
Σ Y Ζ Y Γ Ε Ι Σ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Ορίζουμε: O συζυγής του μιγαδικού αριθμού είναι ο μιγαδικός αριθμός. Ισχύουν:.... R R Im I Im R e I m R... Im Im. ΣΧΟΛΙΟ Αν R οι διανυσματικές ακτίνες των =+ =α+β τότε ισχύει: det Im Στις ασκήσεις με όρους σχηματίζω τους Αντικαθιστώ τα Im με τους τύπους Im Αν υπάρχει κοινή ομάδα μιγαδικών αριθμών τη θέτω = +. Οι είναι συζυγής όταν: ή Im Im Im Im Im Γεωμετρική ερμηνεία συζυγούς μιγαδικού. Οι εικόνες των συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα.
Εναλλαγή των συζυγών στους όρους μιας πράξης... R. I Im 6. Για τους μιγαδικούς αριθμούς να δείξετε ότι : α. Im Im β. α. Ισχύει: Im Im Im Im β. Iσχύει: ] Re[. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες τα σημεία ΑΒΓ αντίστοιχα. Αν τα ΑΒΓ είναι συνευθειακά σημεία να δείξετε ότι. R Τα σημεία ΑΒΓ είναι συνευθειακά. Άρα σχύει R R R. R
6. Aν p να δείξετε ότι Έχουμε p p p p p p p p p να δείξετε ότι οι διανυσματικές ακτίνες των είναι κάθετες και αντίστροφα. Εφαρμόζοντας τον κανόνας του παραλληλογράμμου έχουμε: Ισχύει: OM MM Το παραλληλόγραμμο ΟΜ ΜΜ είναι ορθογώνιο γιατί οι διαγώνιοι του ΟΜ Μ Μ ίσοι. Άρα οι πλευρές ΟΜ ΟΜ είναι κάθετες άρα οι διανυσματικές ακτίνες των είναι κάθετες. Aν είναι πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν:
. Α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών A B είναι ισόπλευρο. Β. Τα Α Β Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών. Αν ισχύει να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο Α. Άρα το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Β. Ισχύει: Ισχύει: Άρα Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.να δείξετε ότι οι εικόνες των είναι συνευθειακά σημεία. Άρα τα Α Β Γ είναι συνευθειακά σημεία. A B
6. Αν - = 6 και + =8 να βρείτε το +. Στο παραλληλόγραμμο ΟΒΔΓ με πλευρές τα διανύσματα των μιγαδικών έχουμε: 6 6 8. Για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει R.Να δείξετε ότι ΜN και η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία ή ότι το τρίγωνο ΜΟΝ είναι ισοσκελές. Ισχύει: R R R.
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ο Π Ο Ι ΜZ Μεθοδολογία Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ ενός μιγαδικού αριθμού τον βρίσκουμε με τους παρακάτω τρόπους. Α τρόπος Με Βασικούς Γεωμετρικούς Τόπους Αν = + = + = + τότε με τις ιδιότητες του μέτρου των μιγαδικών γράφω την άσκηση σε μορφή βασικών γεωμετρικών τόπων. Ισχύουν B τρόπος : Γράφω τον μιγαδικό αριθμό στη γενική μορφή = + τον αντικαθιστώ στην δοθείσα σχέση ή σε συνθήκη η οποία προκύπτει από τα δεδομένα της άσκησης κάνω πράξεις και βρίσκω μια σχέση μεταξύ των που είναι ο γ.τ των Μ. Γ τρόπος : Με τη μέθοδο των εικόνων Μ = Im. Βρίσκω Μ = Im =fλgκ;. Έστω N ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων με: = <=> = f λ<=> λ = h = Im <=> = g κ<=> κ = t Από τα δεδομένα βρίσκω μια σχέση που συνδέει τα κ λ. Αντικαθιστώντας το λ = h κ = t έχουμε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του.
Β α σ ι κ ο ί Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ί Τ ό π ο ι Αν έχω p p τότε : ο γεωμ. τόπος των εικόνων Μ = είναι σημεία κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα p. H εξίσωση του κύκλου είναι: C: + = p. Ισχύει p p p p p p p p Im p p p p p Αν έχω p p τότε : Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ = είναι σημεία κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα p. Oπου = +. H εξίσωση του κύκλου είναι: - + - = p Αν έχω p p τότε : Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ = είναι τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα p. Oπου = +. H εξίσωση εσωτερικών σημείων του κύκλου είναι: - + - < p. Αν έχω p p τότε : Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ = είναι τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα p. Oπου = +. H εξίσωση εξωτερικών σημείων του κύκλου είναι: - +- > p.. Αν έχω τότε : Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ είναι σημεία κύκλου με διάμετρο το Α Β. Oπου = + = +. To κέντρο του κύκλου είναι το. K R
Γεωμετρικός τόπος παράστασης Π. Μεθοδολογία Α τρόπος : Θέτω την παράσταση Π = λύνω αυτήν ως προς τον γνωστό μιγαδικό αντικαθιστώ το σε δοθείσα σχέση και βρίσκω το Γ.Τ της παράστασης. B τρόπος : Βρίσκω την εικόνα της παράστασης Μ Π ImΠ. Έστω N ο Γ.Τ. των εικόνων με = Π <=> = fλ = Im Π <=> = g κ Λύνω ως προς λ= h κ=t.αντικαθιστώ το λ = h κ = t σε μια σχέση που συνδέει τα κ λ και έχουμε το Γ.Τ της παράστασης. Γ τρόπος : Eμφανίζω την παράσταση σε δοθείσα σχέση και βρίσκω το Γ.Τ της παράστασης. ΣΧΟΛΙΟ. Στις ασκήσεις εύρεσης ενός Γ.Τ όταν δεν έχουμε ισοδυναμία είναι αναγκαίο να δείχνουμε το ευθύ και το αντίστροφο. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων ενός μιγαδικού o οποίος ικανοποιεί μια ισότητα μιγαδικών αριθμών είναι μεμονωμένα σημεία ενός γεωμετρικού τόπου. 7. = + με R και Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των Μ. O γ.τ. των Μ= είναι η μεσοκάθετος του ΑΒ με άκρα Α Β- H εξίσωση ε της μεσοκαθέτου είναι: d M A d M B A M A M B M B M 6 O γ.τ των Μ είναι η ευθεία ε: =.
8.. = + με R και. Bρείτε το γεωμετρικό τόπο των Μ.. Bρείτε το γεωμετρικό τόπο των Μ όταν ισχύει:. Η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με Α Β- είναι ο άξονας. Ο μιγαδικός επαληθεύει την ανίσωση επειδή για = : Άρα o γ.τ. των Μ είναι το ημιεπιπέδου Π που χωρίζει το επίπεδο η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και περιέχει την εικόνα του μιγαδικού =. Άρα το Π είναι το ημιεπίπεδο πάνω του άξονα.. Iσχύει: Re[ ]. Άρα o γ.τ. των Μ είναι σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ- και ακτίνα το ρ= εκτός του σημείου Ο. 7. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί με τις ιδιότητες: και. Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του Iσχύει: Θέτoντας όπου u = + έχω u O γεωμ.τόπος των εικόνων Mu= είναι κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα R = Θέτοντας όπου p p έχω: p p p O γεωμετρικός τόπος των εικόνων Mp= είναι κύκλος με κέντρο Κ - και R =..
Δ > Αν Επίλυση της α +β +γ = στο C με αβγ η έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: Δ = η έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες: Δ < η έχει δύο ρίζες μιγαδικούς συζυγείς: Ισχύουν οι τύποι του Vet: S P α +β +γ = <=> S P Στο τριώνυμο οι τύποι του Vett ισχύουν και για μη πραγματικούς συντελεστές αβγ. Αν τα αβγ δεν είναι πραγματικοί αριθμοί τότε θέτω = + αντικαθιστώ το και έχω ισότητα μιγαδικών αριθμών. Αν ο συντελεστής του είναι φανταστικός τότε εμφανίζω κοινή ομάδα με τη βοήθεια των δυνάμεων του έχουμε: = -. Πλήθος ριζών της α +β +γ = στο C με αβγ Η εξίσωση έχει -ρίζες πραγματικές αν η εξίσωση έχει -ρίζες θετικές Δ > P > S > Η εξίσωση έχει -ρίζες πραγματικές αν η εξίσωση έχει -ρίζες ετερόσημες P< Η εξίσωση δεν έχει ρίζες πραγματικές αν η έχει -ρίζες αρνητικές Δ<P>S< *. Η εξίσωση έχει ρίζες στο σύνολο των μιγαδικών. Να δειχθεί ότι μια εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Α τρόπος Βρίσκω τις ρίζες της εξίσωσης και βλέπω ότι δεν είναι πραγματικές. Β τρόπος Έστω ότι έχει πραγματικές ρίζες o =. Άτοπο από τα δεδομένα της άσκησης. Γ τρόπος Δείχνω ότι ο γεωμ.τόπος των Μ δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον άξονα. Για τους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς ισχύουν: Αν τότε: Είναι λάθος να λύσουμε μία εξίσωση με την βοήθεια μέτρων.
8. Να λυθεί η εξίσωση. C 7 7 7 7 7 7 8. Αν είναι ρίζες της εξίσωσης 7 να αποδείξετε ότι οι εικόνες τους Α Β Γ στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Έχουμε: ] [ 7 ή <=> ή ή Οι ρίζες της εξίσωσης 7 είναι : Αν ΑΒΓ είναι οι εικόνες των μιγαδικών τότε: 7 8 7 7 8 7 Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.
88. Να δειχθεί ότι η εξίσωση... N δεν έχει πραγματικές ρίζες. Από τη σχέση ισχύει...... Προσθέτοντας κατά μέλη τις ισότητες + έχουμε:. Άρα η εξίσωση...... * I δεν έχει πραγματικές ρίζες.
A Ν Ι Σ Ω Σ Ε Ι Σ Μεθοδολογία Τις ανισωτικές σχέσεις στους μιγαδικούς τις δείχνω με τους παρακάτω τρόπους:. Τρ ι γ ω ν ι κ ή ι δ ι ό τ η τ α Για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει: Σχόλιο Aν έχω ισότητα μέτρων τότε: Θέτοντας την ισότητα έχουμε Ισχύουν. Α λ γ ε β ρ ι κ ά Mόνο αν είναι πραγματικοί αριθμοί Εναλλαγή των συζυγών σε μια πράξη. Πχ:. Γεωμετρικά Ελάχιστο-Μέγιστο Μέτρο \... Βρίσκω τον γεωμετρικό τόπο και ξέρω ά έ
. Nα δείξετε ότι:... Θέτω. Ισχύει. Ισχύει. Θα δείξω ότι ισχύει Im Αν < η ισχύει. θετικός αριθμός > από αρνητικό αριθμό Αν από την έχουμε: ισχύει. Οπότε ισχύει 6. Έστω ο μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε και. Nα δείξετε : Μ = είναι τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ και ρ =. Μ = είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ρ=. Στο τόξο CAB OA OB ισχύει OA OB..
7. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί. Nα συγκρίνετε τους αριθμούς Οι αριθμοί και είναι πραγματικοί οπότε μπορούμε να τους συγκρίνουμε. Το πρόσημο της διαφοράς τους είναι:. Άρα ισχύει:
Π ρ ο τ ε ι ν ό μ ε ν α θ έ μ α τ α ΘΕΜΑ ο Α. Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του για τον οποίο ισχύει. Β. Αν οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο του προηγούμενου ερωτήματος και είναι συμμετρικές ως προς την αρχή Ο να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του. Γ. Αν για το ισχύει να βρείτε την τιμή της παράστασης ΘΕΜΑ ο Έστω οι μιγαδικοί και με οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : και Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Β. Να αποδείξετε ότι Γ. Να αποδείξετε ότι είναι πραγματικός αριθμός και ότι και να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ ο Έστω οι μιγαδικοί και οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : Im και Α. Nα αποδείξετε ότι o γεωμετρικόs τόποs των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι παραβολή με εξίσωση Β. Να αποδείξετε ότι o γεωμετρικόs τόποs των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα. Γ. Βρείτε τα σημεία ΑΒ του μιγαδικού επιπέδου τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών με = Δ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και να βρείτε το μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ Α Λ Β να είναι τετράγωνο.
ΘΕΜΑ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των M στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακρίνα ρ=. β. Αν είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με τότε να βρείτε το γ. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των M στο επίπεδο είναι έλλειψη με εξίσωση και στη συνέχεια να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του δ. Για τους μιγαδικούς αριθμούς και που επαληθεύουν τις σχέσεις να αποδείξετε ότι:..