Matematika

Σχετικά έγγραφα
Kalkulus 1. Sistem Bilangan Real. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Kalkulus 1. Sistem Koordinat. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia. Sistem Koordinat

Sistem Koordinat dan Fungsi. Matematika Dasar. untuk Fakultas Pertanian. Uha Isnaini. Uhaisnaini.com. Matematika Dasar

TINJAUAN PUSTAKA. Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur. bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Elementer. Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018

Kalkulus Multivariabel I

LOGIKA MATEMATIKA. MODUL 1 Himpunan. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 )

A. Distribusi Gabungan

KALKULUS LANJUT. Integral Lipat. Resmawan. 7 November Universitas Negeri Gorontalo. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November / 57

Hendra Gunawan. 16 April 2014

PERSAMAAN KUADRAT. 06. EBT-SMP Hasil dari

Sebaran Peluang Gabungan

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik

Konvergen dalam Peluang dan Distribusi

Sebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND LOGO

S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA

S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

Persamaan Diferensial Parsial

Transformasi Koordinat 3 Dimensi

Pumping Lemma. Semester Ganjil 2013 Jum at, Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc

2 m. Air. 5 m. Rajah S1

ANALISIS LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM

Transformasi Koordinat 2 Dimensi

Peta Konsep. 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI

Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.

Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.

MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 2 Peluang dan Eks

TH3813 Realiti Maya. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun

(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:

KONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS

BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh

BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh

( 2 ( 1 2 )2 3 3 ) MODEL PT3 MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA = + ( 3) ( 4 9 ) 2 (4 3 4 ) 3 ( 8 3 ) ( 3.25 )

TOPIK 1 : KUANTITI DAN UNIT ASAS

TEORI PELUANG* TKS 6112 Keandalan Struktur. Pendahuluan

Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat. March 5, 2016

Bab 1 Mekanik Struktur

Pengantar Proses Stokastik

Pengantar Proses Stokastik

Disediakan oleh Guru Matematik Tingkatan 4 GEORGE DAVID

Ukur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri. Sakdiah Basiron

PENGEMBANGAN INSTRUMEN

Ciri-ciri Taburan Normal

MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)

Tegangan Permukaan. Kerja

KEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA

RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN

Rajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk

Kuliah 4 Rekabentuk untuk kekuatan statik

Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]

Keterusan dan Keabadian Jisim

Perubahan dalam kuantiti diminta bagi barang itu bergerak disepanjang keluk permintaan itu.

STRUKTUR BAJA 2 TKS 1514 / 3 SKS PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL UNIVERSITAS JEMBER

PEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005

SMJ minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai. bahagian hujung cakera. Dengan data dan anggapan yang dibuat:

LABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR

Sudut positif. Sudut negatif. Rajah 7.1: Sudut

Jawab semua soalan. P -1 Q 0 1 R 2

SULIT 3472/2 SMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2. Dua jam tiga puluh minit

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga. Misalkan terdapat N buah besaran A µ dalam sistem koordinat {x µ } dan N

Klasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua

gram positif yang diuji adalah Bacillus subtilis, Staphylococcus aureus ATCC 25923,

CADASTRE SURVEY (SGHU 2313)

Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid

Model Mangsa Pemangsa dengan Pengaruh Musim

SESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH

ALIRAN BENDALIR UNGGUL

SEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Pemodulatan Sudut. Universiti Teknologi Malaysia

Unit PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM OBJEKTIF KHUSUS

PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK

BAB 3 PERENCANAAN TANGGA

BAB 4 PERENCANAAN TANGGA

PERENCANAAN JALAN ALTERNATIF & PERKERASAN LENTUR TANJUNG SERDANG KOTABARU,KALIMANTAN SELATAN KM KM 7+000

SEKOLAH MENENGAH KEBANGSAAN MENUMBOK. PEPERIKSAAN AKHIR TAHUN 2015 MATEMATIK TINGKATAN 4 Kertas 2 Oktober Dua jam tiga puluh minit

KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA

-9, P, -1, Q, 7, 11, R

LATIHAN. PENYUSUN: MOHD. ZUBIL BAHAK Sign. : FAKULTI KEJURUTERAAN MEKANIKAL UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA SKUDAI JOHOR

JAWAPAN. = (a + 2b) (a b) = 3b Jujukan ini bukan J.A. sebab beza antara sebarang dua sebutan berturutan adalah tidak sama. 3. d 1 = T 2 T 1 =

SMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM. MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JUMLAH

TOPIK 2 : MENGGAMBARKAN OBJEK

Daftar notasi. jarak s 2, mm 2. lebar dari muka tekan komponen struktur, mm.

Kertas soalan ini mengandungi 20 halaman bercetak.

JAWAPAN BAB 1 BAB 2 = = Bentuk Piawai

LITAR ELEKTRIK 1 EET101/4. Pn. Samila Mat Zali

EMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan. Dr Zuraidah Mohd Zain Julai, 2005

Kuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua

artinya vektor nilai rata-rata dari kelompok ternak pertama sama dengan kelompok ternak kedua artinya kedua vektor nilai-rata berbeda

BAB V DESAIN TULANGAN STRUKTUR

MA5283 STATISTIKA Bab 2 Peluang

Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik

BAB 4 PERENCANAAN TANGGA

SOALMANDIRITINGKATSMA/MA/Sederajat ASAHTERAMPILMATEMATIKA(ASTRAMATIKA)XX I

BAB 2 KEAPUNGAN DAN HIDROSTATIK

DAFTAR NOTASI. adalah jarak antara dua pengaku vertikal, mm. adalah luas efektif penampang, mm2. adalah luas efektif pelat sayap, mm2

INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS. Oleh MUHAMMAD FAJAR

BAB III PERHITUNGAN TANGGA DAN PELAT. Gedung Kampus di Kota Palembang yang terdiri dari 11 lantai tanpa basement

Teori Pengikatan. Teori Pengikatan. Ikatan Kimia

Transcript:

Sistem Bilangan Real D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia

Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa D3 Analis Kimia angkatan 2016 2 Himpunan mahasiswa asal Sumatra Unsur-unsur dalam himpunan dinamakan anggota (elemen) Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, dinotasikan dengan atau {}

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a S dan dibaca a elemen S. Jika a bukan merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a / S dan dibaca a bukan elemen S.

Sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara, yaitu 1 dengan mendaftar seluruh anggotanya, contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2 dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut, contoh: A = {x x bilangan bulat positif kurang dari 10}.

1. Sifat 1: komutatif (i) a + b = b + a (ii) a b = b a 2. Sifat 2: asosiatif (i) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c (ii) a (b c) = (a b) c = a b c 3. Sifat 3: distributif a (b + c) = (a b) + (a c)

4. Sifat 4 (i) a b = a 1 b (ii) a b + c d = (a d)+(b c) b d, b 0, d 0 (iii) a c b d = a c b d, b 0, d 0 5. Sifat 5 (i) a ( b) = ( a) b = (a b) (ii) ( a) ( b) = a b (iii) ( a) = a

6. Sifat 6 (i) 0 = 0, untuk setiap bilangan a 0 (ii) a 0 tak terdefinisikan (iii) a a = 1 untuk setiap bilangan a 0 7. Sifat 7: hukum kanselasi (i) Jika a c = b c dan c 0 maka a = b (ii) Jika b, c 0 maka a c b c = a b 8. Sifat 8: sifat pembagi nol Jika a b = 0 maka a = 0 atau b = 0

Himpunan semua bilangan real dapat dibagi menjadi himpunan bagian tak kosong yang saling asing: 1 Himpunan semua bilangan real positif 2 Himpunan dengan bilangan 0 sebagai satu-satunya anggota 3 Himpunan semua bilangan real negatif

Untuk sebarang bilangan real a, b dan c: 1 Jika a b maka a + c b + c untuk setiap bilangan real c. 2 Jika a b dan b c maka a c. 3 i. Jika a b dan c > 0 maka a c b c. ii. Jika a b dan c < 0 maka a c b c. 4 i. Jika a > 0 maka 1 a > 0. ii. Jika 0 < a b maka 1 b 1 a. 5 Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu: a < b, a = 0, atau a > b 6 Jika a, b 0 maka: a b a 2 b 2 a b.

Sistem Bilangan Real Setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Garis lurus tersebut adalah Real.

Sistem Bilangan Real (inequality): pernyataan matematis yang memuat satu peubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >,, ). Peubah (variable): lambang (simbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan.

1 2x 7 x + 1 2 2x 1 x+3 > 1 3 x 2 + y 2 9 4 x 2 x 12 < 0

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x 5 < 5x + 7. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x 2 5x + 6 > 0. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x 3 2x 2 x + 1 1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x+8 x 2 x + 1.

Sistem Bilangan Real

Contoh 1 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 2 x 2 > 0.

Contoh 1 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 2 x 2 > 0. Solusi: Dalam bentuk selang: 3x 2 x 2 > 0 (3x + 2)(x 1) > 0

Contoh 2 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan (x + 1)(x 1) 2 (x 3) 0

Contoh 2 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan (x + 1)(x 1) 2 (x 3) 0 Solusi:

(Absolute Value) Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi Nilai mutlak x R, ditulis dengan notasi x, didefinisikan sebagai: x = x 2 Definisi di atas dapat juga dinyatakan sebagai: { x, x 0 x = x, x < 0

1. Sifat 1 Jika x, y R maka: (i) x 0 x = 0 x = 0 (ii) x y = x y x y = x y (iii) x y x + y x + y (Ketaksamaan segitiga) x y x y x + y 2. Sifat 2 Jika a 0, maka x = a x = a atau x = a.

3. Sifat 3 Jika a 0 maka: (i) x a a x a (ii) x a x a atau x a

Contoh 3 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan x 4 < 2 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real.

Contoh 3 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan x 4 < 2 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real. Solusi: x 4 < 2 2 < x 4 < 2 2 < x < 6

Contoh 4 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 5 1 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real.

Contoh 4 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x 5 1 dan tunjukkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan real. Solusi: 3x 5 1 atau 3x 5 1 3x 4 atau 3x 6 x 4 3 atau x 2 Himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari dua interval (, 4 3] [2, ).

Contoh 5 Sistem Bilangan Real Sebuah gelas kimia berukuran 1 2 liter (500 cm3 ) mempunyai jari-jari dalam 4 cm. Seberapa akurat kita harus mengukur ketinggian air h dalam gelas kimia untuk memastikan bahwa kita mempunyai 1 2 liter air dengan kesalahan (error) kurang dari 1%, yaitu kesalahannya kurang dari 5 cm 3.

Volume air V di dalam gelas diberikan oleh formula V = πr 2 h = 16πh. Kita ingin V 500 < 5, atau ekivalen dengan 16πh 500 < 5, maka 16πh 500 < 5 ( 16π h 500 ) < 5 16π 16π h 500 16π < 5 h 500 16π < 5 16π h 9.947 < 0.09947 0.1 Jadi, kita harus mengukur keakuratan ketinggian air sampai dengan kurang lebih 0.1 cm atau 1 mm.

Contoh 6 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x 6.

Contoh 6 Sistem Bilangan Real Selesaikan pertidaksamaan 3x + 1 < 2 x 6. Solusi: 3x + 1 < 2 x 6 3x + 1 < 2x 12 (3x + 1) 2 < (2x 12) 2 9x 2 + 6x + 1 < 4x 2 48x + 144 5x 2 + 54x 143 < 0 (x + 13)(5x 11) < 0 Himpunan penyelesaiannya adalah (, 13), ( 13, 11 ) ( 5, dan 11 5, ).

Sistem Bilangan Real Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat, yaitu: 1 Sistem koordinat cartesius 2 Sistem koordinat kutub (polar) 3 Sistem koordinat tabung 4 Sistem koordinat bola

Cartesius

Letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan titik (x, y).

Kutub (Polar) Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real (r, θ), dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub), sedangkan θ adalah besar sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu x-positif.

1 3x 7 2 2x+1 2 2x+1 x 1 2 3 x 2 < x 3 4 x 4 > x 2 5 2x + 1 5 2x