1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας τις αλλαγές διατομών ώτε να μειωθούν οι υγκεντρώεις τάεων, και τέλος τον τρόπο ύνδεης άλλων τοιχείων πάνω τους άξονες (πχ. φηνόδρομοι για γρανάζια, τροχαλίες κλπ. Επίης πρέπει να προδιορίουμε την ποιότητα της επιφανειακής κατεργαίας ή την τραχύτητα της κάθε επιφανείας. Όλα τα πιο πάνω πρέπει να χεδιατούν κάτω από το πρίμα της εύκολης κατακευής, υναρμολόγηης και απουναρμολόγηης καθώς και της υντήρηης. Στο Σχήμα 1-6 βλέπουμε το χέδιο ενός άξονα που χεδιάτηκε με τον ανωτέρω περιγραφόμενο τρόπο. M0 5 Φ 50 Φ 60 Φ 75 Φ 90 Φ 100 Φ 90 Φ 80 Φ 65 Φ 60 Φ 50 Φ M5 11 11 1 1 Σχήμα 1-1: Λεπτομερές μηχανολογικό χέδιο άξονα Επειδή οι άξονες κατακευάζονται από χάλυβες που είναι γενικά υνεκτικά υλικά, οι χρηιμοποιούμενες θεωρίες για τον υπολογιμό τους είναι δύο: η θεωρία της Μέγιτης Διατμητικής Τάης (ΜΔΤ και η Θεωρία του Έργου Παραμόρφωης (ΘΕΠ. τ sy y = + = + = π d x 16 ax τxy M T 16 = ( M + T π d Η εξίωη oderberg για εναλλαόμενο φορτίο δίνει: y
y sy y = + r + + r se α τ τ όπου α = ύμφωνα με την Θεωρία της Μέγιτης Διατμητικής Τάης (ΜΔΤ, και α = ύμφωνα με την Θεωρία του Έργου Παραμόρφωης (ΘΕΠ, = ιοδύναμη ορθή τάη = μέη ορθή τάη r = εύρος εναλλαγής της ορθής τάης τ = μέη διατμητική τάη τ r = εύρος εναλλαγής της διατμητικής τάης y = Όριο διαρροής του υλικού του άξονα ε εφελκυμό e = Όριο τροποποιημένης διαρκούς αντοχής του υλικού του άξονα ε εφελκυμό ίο με: (Βλέπε για επανάληψη α τόμος κεφ. 5.. 1 = CFCRCCW n k sy = Όριο διαρροής του υλικού του άξονα ε διάτμηη se = Όριο τροποποιημένης διαρκούς αντοχής του υλικού του άξονα ε διάτμηη 1 = C C C C k se F R W sn sf Ν = υντελετής αφαλείας του άξονα. Η χέη του oderberg μπορεί να γραφεί, αν αντικατατήουμε τις τάεις με τις εξιώεις ως προς τις ροπές, και ως εξής: y a sy r r y e se d = M + M + T + T π Όταν ζητείται η διάμετρος ενός άξονα ε πολλά ημεία τα οποία έχουμε διαφορετικούς δυναμικούς υντελετές υγκέντρωης τάης, τότε θέτοντας se = CFCRCCW sn χρηιμοποιούμε την ακόλουθη χέη: f
y a sy f r fs r y e se d = M + k M + T + k T π για κάθε ημείο που μας ενδιαφέρει. Στην τελευταία χέη μπορούμε να παρατηρήουμε ότι, επειδή οι υντελετές υγκέντρωης ορθών και διατμητικών τάεων kf και k fs δεν περιλαμβάνονται τα τροποποιημένα όρια διαρκούς αντοχής ε εφελκυμό και διάτμηη se αντίτοιχα, μπαίνουν τη χέη υπολογιμού της δυναμικής τάης ορθής ή διατμητικής ανεξάρτητα. Είναι προφανές ότι ανάλογες χέεις υπολογιμού ιοδύναμων τάεων θα προκύψουν αν αντί του κριτηρίου του oderberg χρηιμοποιηθεί άλλο κριτήριο της παραγράφου 1. (πχ. B: Goodan, C: Gerber D: AME elliptic κλπ. B: Goodan: r + = ut ut 1 = + r = ut Συνδυαμός ορθών και διατμητικών εναλλαγών τάεων: C: Gerber: = + + α τ + τ ut sut ut r r se r ut ut + = 1 = + r = ut ut Συνδυαμός ορθών και διατμητικών εναλλαγών τάεων: ut sut ut = + r + + r ut sut se α τ τ D: AMΕ elliptic Ν r Ν + = 1 e y y = + r = y Συνδυαμός ορθών και διατμητικών εναλλαγών τάεων: y sy y = + r + α τ + τ r se ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ένας ηλεκτροκινητήρας κινεί μια ιμαντοκίνηη κατά το χήμα. Το βάρος της τροχαλίας είναι 1 k ενώ το φορτίο της οριζόντιας ιμαντοκίνηης είναι T 1 +T = k. Να υπολογιτούν η απαραίτητη διάμετρος του άξονα και η κρίιμη ταχύτητά του. Υλικό άξονα t.50, με y = 70 MPa και όριο διαρκούς αντοχής e = 800 MPa.
ΛΥΣΗ: B = 1 k, T = 8 k, l = 1500 Μέγιτη κάμψη το κατακόρυφο επίπεδο το μέο του άξονα: Bl 1k 1500 M z = = = 75 Μέγιτη κάμψη το οριζόντιο επίπεδο το μέο του άξονα: Tl k 1500 M y = = = 1500 Συνιταμένη καμπτική ροπή το μέο του άξονα: ( ( = + = + = ολ z y M M M 75 1500 156 Καμπτική τάη το μέο του άξονα: M M d M b = y = = I πd /6 πd Γωνιακή ταχύτητα περιτροφής: ολ ολ ολ ax π π ω = n= ( 1500rp = 157 rad/ s 60 60 Η ιχύς ειόδου από τον ηλεκτροκινητήρα: = 10HP = 10HP 75 W / HP= 750W Στρεπτική ροπή από είοδο μέχρι το μέο του άξονα: 750W M x = = = 7. ω 157 rad / s Στρεπτική τάη από την είοδο μέχρι το μέο του άξονα: M x Mx d 16Mx τ = r = = J πd / πd p
Ο άξονας καταπονείται ε καθαρά εναλλαόμενη καμπτική τάη ( = 0, r = b και ε ταθερή τρεπτική τάη (τ = τ, τ r = 0. Οπότε ύμφωνα με τα κριτήρια oderberg, και μέγιτης διατμητικής τάης: y sy y = + r + τ + τr se ολ y Mx e π M 16 y = + πd d ολ y Mx e π M 16 y = + πd d π Mx y d y Mολ + + ( y d Mολ Mx π y d 70 156 1000 + 7. 1000 π 70 / 80 d = 7. Η διάμετρος τυποποιείται τα 75. ( 1. Κρίιμες ταχύτητες αξόνων Οι περιτρεφόμενοι άξονες ε οριμένες γωνιακές ταχύτητες παρουιάζουν ατάθεια, μεγάλο εύρος ταλάντωης που έχει ως αποτέλεμα την ανάπτυξη μεγάλων τάεων που με τη ειρά τους μπορεί να οδηγήουν τον άξονα την ατοχία. Οι γωνιακές ταχύτητες όπου παρουιάζεται ατάθεια ονομάζονται κρίιμες ταχύτητες. Στο χεδιαμό των αξόνων είναι ημαντικός ο προδιοριμός αυτών των κριίμων ταχυτήτων. Η γνώη τους μας βοηθά να απομακρύνουμε την ταχύτητα λειτουργίας από αυτές αποφεύγοντα έτι ατάθειες. Από τη θεωρία των ταλαντώεων είναι γνωτό ότι για αμφιέρειτο αβαρή άξονα με k = 8 EI / L με μια μάζα το μέον του η κρίιμη ταχύτητα ιούται με: k 8EI 8E πd π Ed π Ed ω n = = = = = L L 6 L L Ενώ η αντίτοιχη υχνότητα είναι: (rad/s 60 Ed fn = ωn = 1.66 rp π L (
Αν ο άξονας θεωρηθεί ως υνεχές μέο πυκνότητας ρ (kg/ υνολικής μάζας, όγκου V, μήκους L και επιφάνειας διατομής Α τότε: = ρv = ρal= μl μ = ρ A όπου η γραμμική του πυκνότητα (kg/. Ο άξονας ως υνεχές μέον έχει άπειρες κρίιμες ταχύτητες οι οποίες δίδονται (για n = 1,,,... από τη χέη: ω = n π n EI μl ( rad s / Η χέη αυτή προκύπτει από την επίλυη της εξίωης του Euler για αμφιέρειτη δοκό. Τώρα αν ε έναν αβαρή άξονα έχουμε i δίκους μάζας i οι οποίοι επιδρώντας ταυτόχρονα τον άξονα προκαλούν μετατόπιη δ i το ημείο ανάρτηης της μάζας τότε η πρώτη κρίιμη ταχύτητα βρίκεται αν εξιώουμε την κινητική ενέργεια των ταλαντούμενων μαζών και τη δυναμική ενέργεια του παραμορφούμενου άξονα. n cr ( δ + δ + L+ δ 1 g F F F 1 δ = = g π Fδ Fδ F δ π δ 1 1 i i 1 1+ + L+ i i (cps Εξίωη Rayleigh όπου g = 9.81 /s η επιτάχυνη της βαρύτητας, η ποότητα F i είναι το υγκεντρωμένο βάρος (υμπεριλαμβανομένων και εξωτερικών δυνάμεων και δ i είναι η τατική μετατόπιη του ημείου εφαρμογής των δυνάμεων F i. Αυτή η εξίωη είναι γνωτή ως εξίωη του Rayleigh. Να ημειωθεί ότι η εξίωη του Rayleigh αποτελεί μια πρώτη εκτίμηη της πρώτης κρίιμης ταχύτητας την οποία και υπερεκτιμά (δηλ η ανωτέρω υπολογιζόμενη κρίιμη ταχύτητα είναι πάντα μεγαλύτερη από την πραγματική. Ένας κανόνας χεδιαμού είναι να φροντίζει ο χεδιατής μηχανικός να κρατά την ταχύτητα λειτουργίας 5% χαμηλότερα από την υπολογιθεία μέω της εξίωης Rayleigh. Επίης η εξίωη αγνοεί το ίδιο βάρος του άξονα, την απόβεη του υλικού του άξονα, την ελατικότητα των εδράνων και θεωρεί ότι τα φορτία είναι υγκεντρωμένα το ημείο εφαρμογής τους. Εξίωη του Dunkerley: Μια άλλη προέγγιη για την πρώτη κρίιμη ταχύτητα άξονα με πολλαπλούς δίκους είναι η εξίωη του Dankerley. 1 1 1 1 = + + L + Εξίωη Dankerley ω ω ω ω cr 1 i Όπου ω 1 είναι η πρώτη κρίιμη ταχύτητα με μόνο την πρώτη μάζα, ω είναι η πρώτη κρίιμη ταχύτητα με μόνο την δεύτερη μάζα, κλπ. Και οι δύο εξιώεις είναι προεγγίεις της πρώτης κρίιμης φυικής υχνότητας. Γενικά η εξίωη του Dankerley υποεκτιμά ενώ η εξίωη του Rayleigh υπερεκτιμά τη φυική υχνότητα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δίνεται ο κοίλος άξονας ΑΔ του χήματος με εξωτερική διάμετρο D = 60, και εωτερική διάμετρο d = 50, φέρει δύο δίκους τα ημεία Β και Γ, με βάρη kν και 6kΝ αντίτοιχα. Να υπολογιτεί η κρίιμη ταχύτητά του ε rp. ΛΥΣΗ: Η ροπή αδράνειας της διατομής του άξονα είναι: I π π = ( D d = ( 60 50 = 976 6 6 Από τον Πίνακα 1-(β βρίκουμε τη μετατόπιη τα ημεία Β και Γ, λόγω του φορτίου το Β: Pbx δ = 6lEI ( 00( 1100( 00 ( l b x δ BB = 1500 1100 00 = 0.8 6 1500 10000 0000 ( ( ( ( MPa ( 00( 1100( 900 δ BΓ = 1500 1100 900 = 0.16 6 1500 10000 0000 ( ( ( ( MPa Μετατόπιη τα Β και Γ λόγω του φορτίο το Γ: ( 600( 600( 00 δ Γ B = 1500 600 00 = 0.99 6 1500 10000 0000 ( ( ( ( MPa ( 600( 600( 900 δ ΓΓ = 1500 600 900 = 0.56 6 1500 10000 0000 ( ( ( ( MPa Συνολική μετατόπιη το Β: δ Β = δ ΒΒ + δ ΓΒ = 0.8 + 0.99 = 0.67 Συνολική μετατόπιη το Γ: δ Γ = δ ΒΓ + δ ΓΓ = 0.16 + 0.560 = 0.706
n cr ( 1δ1+ Fδ 9.81( 00 0.67 10 + 600 0.706 10 F1 1+ F ( + ( 1 g F 1 = = π δ δ π 00 0.67 10 600 0.706 10 = 19cps = 110rp